Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).
Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры). / Ответы на экзамен по геометрии / Готовые сочинения на экзаменПоступим.ру — сообщество школьников, выпускников и абитуриентов, егэ 2021, ответы на экзамены, мобильные шпаргалки, готовые сочинения, егэ, экзаменационные сочинения, темы сочинений, форум, коллективный блог
|
Последние публикации в коллективном блоге:Интернет-порталы, которые помогут вам успешно сдать ЕГЭ. 1 / Автор: MiriadaЕсли бы вы инвестировали 00 в Amazon 10 лет назад, вот сколько у вас было бы сейчас 2 / Автор: admin Методические рекомендации для выпускников по самостоятельной подготовке к ЕГЭ 2 / Автор: admin В Минпросвещения допустили повторный перенос даты сдачи ЕГЭ 1 / Автор: admin ЕГЭ не отменят из-за коронавируса, но проведут позже 1 / Автор: admin Рособрнадзор будет выявлять нарушения во время ЕГЭ 2020 с помощью нейросетей 1 / Автор: admin ФИПИ опубликовал проекты контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2020, существенных изменений нет 4 / Автор: admin Рособрнадзор проанализировал поступившие предложения по совершенствованию ЕГЭ 2 / Автор: admin Посещаемые разделы форума: Последние обсуждаемые темы на форуме:Детские игровые комплексы 0 / Раздел: Помогаем друг другуМягкая кровать без изголовья 2 / Раздел: Помогаем друг другу Очень нужно купить права на трактор 0 / Раздел: Помогаем друг другу кто знает бактерицидные лампы где можно приобрести? 2 / Раздел: Помогаем друг другу мне нужен магазин со стройматериалами 3 / Раздел: Помогаем друг другу Можно ли накрутить голосование в конкурсе? 4 / Раздел: Помогаем друг другу Управление медиафайлами 0 / Раздел: Помогаем друг другу Скажите, пожалуйста, вот в маршрутках в которых мы ездим 3 / Раздел: ВУЗЫ РОССИИ Изучение итальянского языка 5 / Раздел: Помогаем друг другу |
|
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
|
руСвойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей
Здравствуйте ребята!
Садитесь.
У вас на партах лежат рабочие листы, запишите на них дату в правом верхнем углу.
Ребята, как вы считаете, где в жизни используется математика? А геометрия?
ответы детей
(возможные предположения)
+++++ 1. Если дети ответят в архитектуре, то я говорю……
Говоря об архитектуре, математику используют по нескольким причинам.
Даже если отбросить необходимость математики для проектирования здания, архитекторы используют геометрию для определения пространственной формы здания.
— — — — — 2. Если дети не ответят, то я говорю……
Ко всему перечисленному также можно добавить архитектуру, в которой математику используют по нескольким причинам. Даже если отбросить необходимость математики для проектирования здания, архитекторы используют геометрию для определения пространственной формы здания.
Я предлагаю вам вспомнить о Пизанской башне.
Слайд (с башней)
Пиза́нская башня
(итал. Torre pendente di Pisa) — колокольная башня, часть ансамбля городского собора Санта-Мария-Ассунта (Пизанский собор) в городе Пиза, получившая всемирную известность благодаря непреднамеренному наклону.
Основные сведения: Башня имеет 294 ступеньки. Высота башни составляет 55,86 м от земли в самой низкой точке и 56,7 м в самой высокой точке.
Диаметр основания — 15,54 м. Автор проекта Бонанно Пизано. Строительство башни велось в 2 этапа, начиная с 9 августа 1173, и с двумя длинными перерывами продолжалось почти 200 лет, до 1360 года.
Что же послужило причиной наклона башни?
ответы детей
(возможные предположения)
Оказывается, изначально ошибка была еще в самом начале проектирования башни. Фундамент, который заложен, не соответствовал высоте и толщине стен.
Ребята, как вы думаете, от чего зависит прочность здания?
Ответы детей
(фундамент)
Ребята, а какую форму фундамента имеют здания, в которых мы живем и учимся?
Ответы детей
(прямоугольную форму)
Да, в основе фундамента наших зданий прямоугольник.
Чтобы построить прочное здание, надо заложить прочный фундамент.
Итак, вот прямоугольник. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Слайд (прямоугольник)
Давайте вспомним, что мы знаем о прямоугольнике?
Ответы детей
(периметр, площадь, диагональ, стороны)
Проверим наши ответы
Слайд (формулы)
1) Периметр (+формула)
2) Площадь (+формула)
3) Диагональ
4) Стороны противолежащие (параллельные)
Я предлагаю вам, на рабочих листах под номером 1 начертить прямоугольник, как на картинке с вершинами A, B, C, D и диагональю AC.
А давайте продолжим противолежащие стороны AB и DC, и диагональ AC.
А стороны AD и СB сотрем.
Что мы с вами получили?
ответы детей
(две параллельные прямые, которые пересекает секущая)
А давайте вспомним, что мы уже выучили по данной теме. Для этого я предлагаю вам решить устно задачи на картинках.
Ваша задача сказать, как называются отмеченные углы, и чему равен угол со знаком вопроса.
Работать будем по рядам, 1-й ряд – 1-я картинка, 2-й ряд – 2-я картинка и соответственно 3-й ряд – 3-я картинка.
Итак, первый ряд, кто готов отвечать?
ответы детей
(1 картинка – соответственные углы, 50 градусов
2 картинка – внутренние односторонние углы, 130 градусов
3 картинка – внутренние накрест лежащие углы, 50 градусов)
Виды углов повторили, теперь давайте повторим признак параллельности прямых. Желающие
ответы детей
(п.31 признак параллельности прямых:
Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны, т.4.2)
А если секущая по отношению к одной из прямых проходит под прямым углом, то чему будут равны остальные углы?
слайд (прямой угол)
ответы детей
(все углы прямые)
Итак, давайте сделаем вывод
слайд (вывод)
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.
Т.О. мы пришли с вами к свойству, которым обладают углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей.
Поэтому на рабочих листах сверху, в отведенном для темы месте вписываем тему нашего урока
слайд (тема урока)
«Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей»
Прежде чем перейти к решению задач, давайте проведем физкульминутку.
слайд (физкультминутка)
Для этого встанем.
Ученик читает задания для физкультминутки
1.Сожмите кисть столько раз, сколько равна площадь прямоугольника со сторонами 3см, 2 см. Ответ: 6 раз.
2. а=2см, в=1см
Наклоны туловищем влево/вправо столько раз, сколько равен периметр прямоугольника. Ответ: 6 раз
3. Присядьте столько раз, сколько будет равна площадь квадрата со стороной 1см.
Ответ: 1
Немножко отдохнули, переходим к решению задач.
Слайд ЗАДАЧА 1
1. При пересечении двух параллельных прямых секущей, образовано 8 углов. Угол 1 равен Найдите остальные углы.
Решение
Слайд ЗАДАЧА 2
2. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей c, если один из углов в 5 раз больше другого.
Решение
Слайд ЗАДАЧА 3 (резерв)
3. Докажите, что биссектриса одного из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей отсекает на одной из параллельных прямых отрезок, равный отрезку секущей.
Дано
Доказать
Доказательство
Теперь давайте проработаем эту тему в игровой форме, 1 человек с ряда читает предложение, а весь ряд говорит верно/неверно (такое задание вы встретите в государственной итоговой аттестации). Записывайте номера верных утверждений в рабочие листы под номером 4.
слайд (ИГРА ВЕРНО/НЕВЕРНО)
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
6. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
Прежде чем подвести итоги, запишите домашнее задание на своих рабочих листах.
слайд ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Итак, давайте подведем итог. У каждого из вас на рабочем листе внизу записаны фразы, касающиеся нашей темы, но в них пропущено несколько слов, ваша задача их правильно вписать. Приступайте к выполнению.
ответы детей
Давайте проверим
Слайд (по очереди высвечивать ответ)
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°. (теорема 4.3)
Молодцы!
СЛАЙД НА УРОКЕ Я…………
Теперь возьмите вот такие листочки и продолжите каждую фразу на уроке я…
По желанию листочки подпишите. Кто написал, передаем мне.
слайд (башня и смайлики)
Так как хорошее настроение одна из главных составляющих успеха, поэтому давайте на смайликах, которые лежат у вас на партах, дорисуем свое настроение, и этим настроением укрепим нашу башню!
Предлагаю каждому из Вас приклеить свой смайлик на фото Пизанской башни.
Ввиду имеющегося наклона высота южной и северной стороны здания неодинаковы. Так, с наклонной стороны (северной) она равна 55,8 м, а с противоположной составляет 56,6 м.
слайд (спасибо за урок)
Спасибо за урок!
Спасибо за внимание!
Опыт Галилео
Любопытно, что история этого сооружения связана с именем великого астронома, математика и физика XVII века Галилео Галилея, родившегося в Пизе в 1642 году. Поскольку Пизанская башня наклонена в сторону, она явилась весьма удобным местом для проведения его опытов. Именно Галилей сбрасывал предметы разной массы, иллюстрируя ученикам свои научные выводы. Несмотря на то, что в прежние годы ряд исследователей подвергал эту информацию сомнению, позднейшие открытия показали её достоверность. Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью. Движение происходит с постоянным ускорением.
Поперечная
Горячая математика В геометрии а поперечный это линия, пересекающая две или более других (часто
параллельно
) линии.
На рисунке ниже линия н представляет собой поперечные линии разреза л и м .
При пересечении двух или более прямых секущей углы, занимающие одно и то же относительное положение, называются соответствующие углы .
На рисунке пары соответствующих углов:
∠ 1 и ∠ 5 ∠ 2 и ∠ 6 ∠ 3 и ∠ 7 ∠ 4 и ∠ 8
Если прямые параллельны, то соответствующие углы равны конгруэнтный .
Когда две прямые пересекаются секущей, пары углов по одну сторону от этой и внутри двух прямых называются углами. последовательные внутренние углы .
На приведенном выше рисунке последовательные внутренние углы равны:
∠ 3 и ∠ 6 ∠ 4 и ∠ 5
Если две параллельные прямые пересечь секущей, то образуются пары последовательных внутренних углов.
дополнительный
.
Когда две прямые пересекаются секущей, пары углов по обе стороны от этой и внутри двух прямых называются углами. альтернативные внутренние углы .
На приведенном выше рисунке альтернативные внутренние углы:
∠ 3 и ∠ 5 ∠ 4 и ∠ 6
Если две параллельные прямые пересечь секущей, то образованные параллельные внутренние углы равны конгруэнтный .
Когда две прямые пересекаются секущей, пары углов по обе стороны от этой секущей и вне двух прямых называются углами. альтернативные внешние углы .
На приведенном выше рисунке альтернативные внешние углы:
∠ 2 и ∠ 8 ∠ 1 и ∠ 7
Если две параллельные прямые пересечь секущей, то образующиеся накрест внешние углы равны
конгруэнтный
.
Пример 1:
На приведенной выше схеме линии Дж и к разрезаются поперек л . Углы ∠ с и ∠ е являются…
А. Соответствующие углы
B. Последовательные внутренние углы
C. Альтернативные внутренние углы
D. Альтернативные внешние углы
Углы ∠ с и ∠ е лежат по обе стороны от поперечной л и внутри двух строк Дж и к .
Следовательно, они являются альтернативными внутренними углами.
Правильный выбор С .
Пример 2:
На приведенном выше рисунке, если линии А Б ↔ и С Д ↔ параллельны и м ∠ А Икс Ф «=» 140 ° тогда в чем мера ∠ С Д Е ?
Углы
∠
А
Икс
Ф
и
∠
С
Д
Е
лежат по одну сторону от поперечной
Е
Ф
↔
и внутри двух строк
А
Б
↔
и
С
Д
↔
.
Значит, это последовательные внутренние углы.
Поскольку линии А Б ↔ и С Д ↔ параллельны, т. теорема о последовательных внутренних углах , ∠ А Икс Ф и ∠ С Д Е являются дополнительными.
То есть, м ∠ А Икс Ф + м ∠ С Д Е «=» 180 ° .
Но, м ∠ А Икс Ф «=» 140 ° .
Подставить и решить.
140 ° + м ∠ С Д Е «=» 180 ° 140 ° + м ∠ С Д Е − 140 ° «=» 180 ° − 140 ° м ∠ С Д Е «=» 40 °
Объяснение урока: Углы пересекающихся прямых в окружности
В этом объяснении мы научимся находить величины углов, возникающих в результате пересечения двух хорд, двух секущих, двух касательных или касательных и секущих в окружности.
Начнем с повторения определений различных типов линий, которые встречаются или пересекаются по окружности.
- Хорда окружности — это отрезок, оба конца которого лежат на окружности окружности.
- Секанс — это прямая, пересекающая окружность ровно в двух точках. Секанту можно представить как хорду, бесконечно протянувшуюся в обоих направлениях.
- Касательная — это линия, которая касается окружности только в одной точке.
Эти три типа линий показаны на рисунке ниже.
Основное внимание в этом толкователе уделяется определению мер углов, образованных при пересечении двух таких линий внутри или вне круга. Меры этих углов связаны с мерами дуг, пересекаемых линиями, образующими их стороны. Мы должны помнить, что мера дуги определяется как мера ее центрального угла, как показано на рисунке ниже.
Сначала рассмотрим пересечения внутри круга. Наше первое определение касается мер углов, образованных пересекающимися хордами.
Теорема: углы между пересекающимися хордами
Мера угла, образованного двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равна половине суммы мер дуг, пересекаемых углом, и его вертикального угла.
Рассмотрим углы, образованные пересечением хорд 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 на рисунке ниже.
Дуга, пересекаемая углом 𝑥, равна 𝐴𝐶. Дуга, пересекаемая ее вертикально противоположным углом, равна 𝐵𝐷. Отсюда по теореме об углах между пересекающимися хордами 𝑥=12𝑚𝐴𝐶+𝑚𝐵𝐷.
Для угла 𝑦 дуги, пересекаемые этим углом и его вертикальным углом, равны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷. Следовательно, 𝑦=12𝑚𝐵𝐶+𝑚𝐴𝐷.
Тот же результат можно применить для нахождения меры угла, образованного при пересечении двух секущих внутри окружности или секущей и хорды. Это возможно, потому что секущая является продолжением хорды на неопределенный срок в обоих направлениях.
В нашем первом примере мы продемонстрируем, как применить этот результат, чтобы найти меру угла между двумя пересекающимися хордами, зная меры двух пересекаемых дуг.
Пример 1. Нахождение меры вписанного угла между двумя пересекающимися хордами по вписанным дугам
Найти 𝑥.
Ответ
Из рисунка видно, что отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 являются хордами окружности, так как обе конечные точки каждого отрезка лежат на окружности окружности.
Значение, которое нас просят вычислить, 𝑥, является мерой одного из углов, образованных в точке пересечения этих двух хорд. Напомним поэтому теорему об углах между пересекающимися хордами: «Мера угла, образованного двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равна половине суммы мер дуг, охватываемых углом, и его вертикального угла. ”
Дуги, пересекаемые углом 𝑥 и его вертикальным углом, равны 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷. Следовательно, 𝑥=12𝑚𝐴𝐶+𝑚𝐵𝐷.
Замена 𝑚𝐴𝐶=73∘ и 𝑚𝐵𝐷=133∘ и упрощение дает 𝑥=12(73+133)=12×206=103.∘∘∘∘
Теперь рассмотрим углы, образованные пересечениями вне круга. В этом случае две пересекающиеся линии могут быть касательными или секущими, или одной из них.
Теорема: углы между пересекающимися секущими и касательными
Мера угла, образованного двумя секущими, двумя касательными или секущей и касательной, которые пересекаются в точке вне круга, равна половине положительной разности меры пересекаемых дуг.
На рисунке ниже мы иллюстрируем этот результат для угла, образованного пересечением двух секущих, ⃖⃗𝐴𝐶 и ⃖⃗𝐴𝐸.
Малая дуга, пересекаемая двумя секущими, равна 𝐵𝐷, а большая дуга равна 𝐶𝐸. Отсюда по теореме об углах между пересекающимися секущими 𝑥=12𝑚𝐶𝐸−𝑚𝐵𝐷.
Таким же образом проиллюстрируем результат для пересечения двух касательных, ⃖⃗𝐴𝐵 и ⃖⃗𝐴𝐶: 𝑥=12𝑚𝐵𝐷𝐶−𝑚𝐵𝐶.
Обратите внимание, что когда две касательные пересекаются в точке вне круга, большая и малая пересекаемые дуги вместе образуют всю окружность. Следовательно, сумма мер двух пересекаемых дуг равна 360∘. Это важно помнить, поскольку нам может быть задана мера только одной из перехваченных дуг, и ожидается, что мы вычислим другую, применяя это знание.
Теперь рассмотрим пример, в котором мы найдем меру угла между двумя секущими, которые пересекаются вне круга, зная меры двух пересекаемых дуг.
Пример 2. Нахождение меры вписанного угла между двумя секущими по величине двух пересекаемых дуг
Найдите значение 𝑥.
Ответ
Отрезки 𝐴𝐸 и 𝐶𝐸 являются отрезками секущих окружности, поскольку каждый из них пересекает окружность ровно в двух точках.
Два секущих отрезка пересекаются в точке за пределами круга, и значение, которое нам нужно вычислить, является мерой образовавшегося угла. Отсюда вспоминаем теорему об углах между пересекающимися секущими: «Мера угла, образованного двумя секущими, пересекающимися в точке вне круга, равна половине положительной разности мер пересекаемых дуг».
Две перехваченные дуги — это 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷. Поскольку 𝐴𝐶 имеет большую меру, положительная разница находится путем вычитания меры 𝐵𝐷 из меры 𝐴𝐶. Следовательно, 𝑥=12𝑚𝐴𝐶−𝑚𝐵𝐷.∘
Подстановка размеров двух дуг, как показано на рисунке, и упрощение дает 𝑥=12(144−71)=12×73=36,5.∘∘∘∘∘
Значение 𝑥 равно 36,5.
Обратите внимание, что в предыдущей задаче значение 𝑥 было чисто числовым: наш ответ был 36,5, а не 36,5∘. Сравним это с примером 1, в котором наше решение было 𝑥=103∘. Это связано с разницей в том, была ли единица измерения (градусы) включена при обозначении угла: в примере 1 угол был обозначен просто как 𝑥, тогда как в нашем втором примере угол был помечен как 𝑥∘.
Теперь мы рассмотрели примеры того, как вычислить меру угла между двумя хордами и меру угла между двумя секущими, зная меры двух пересекаемых дуг. Также возможно работать в обратном направлении, зная меру угла между двумя хордами, секущими или касательными, чтобы определить меру одной или обеих пересекаемых дуг, при условии, что нам предоставлено достаточно другой информации. В более сложных задачах это также может потребовать от нас составить и решить алгебраическое уравнение, как мы увидим в нашем следующем примере.
Пример 3. Нахождение меры большой дуги по размерам малой дуги и вписанному углу между двумя касательными к этим дугам
Учитывая, что 𝑥∘ является мерой большой дуги 𝐵𝐶, найдите значение 𝑥.
Ответ
При рассмотрении рисунка мы видим, что есть две касательные, ⃖⃗𝐴𝐵 и ⃖⃗𝐴𝐶, проведенные из одной и той же внешней точки к окружности. Нас просят вычислить меру большой дуги, пересекаемой этими двумя касательными. Напомним теорему об углах между пересекающимися касательными: «Мера угла, образованного двумя касательными, пересекающимися в точке вне окружности, равна половине положительной разности мер пересекаемых дуг».
Если мы представим точку 𝐷 на окружности в любом месте на большой дуге, соединяющей 𝐵 и 𝐶, мы можем выразить этот результат для этой задачи как 𝑚∠(𝐶𝐴𝐵)=12𝑚𝐵𝐷𝐶−𝑚𝐵𝐶.
На рисунке дана мера угла между двумя касательными и алгебраическое выражение для меры большой дуги, которую мы теперь называем 𝐵𝐷𝐶. Чтобы найти выражение для меры малой дуги, вспомним, что мера полной длины окружности равна 360∘. Следовательно, мера малой дуги 𝐵𝐶 равна (360−𝑥)∘.
Теперь мы можем составить уравнение относительно 𝑥, подставив эти значения и выражения в приведенную выше формулу. Единица измерения одинакова для всех выражений и поэтому может быть опущена. Замена 𝑥 на меру большой дуги, (360−𝑥) на меру малой дуги и 64 на меру угла между двумя касательными дает 12(𝑥−(360−𝑥))=64.
Чтобы найти 𝑥, мы сначала умножаем обе части уравнения на 2, а затем распределяем скобки: (𝑥−(360−𝑥))=1282𝑥−360=128.
Наконец, мы добавляем 360 к каждой части уравнения, а затем делим обе части на 2:
2𝑥=488𝑥=244.
Теперь рассмотрим другой пример, в котором требуется составить и решить алгебраическое уравнение, связав меру угла между секущей и касательной с мерами двух пересекаемых дуг. Обе эти меры дуги будут заданы как линейные выражения неизвестного, которое нам необходимо определить.
Пример 4. Нахождение меры двух дуг, вписанных между секущими, при заданном вписанном угле
Учитывая, что на показанном рисунке 𝑦=(𝑥−2) и 𝑧=(2𝑥+2), определите значение 𝑥.
Ответ
Из рисунка видно, что отрезок 𝐴𝐵 является касательной к окружности, поскольку пересекает окружность только в одной точке. Отрезок 𝐴𝐷 является секущим отрезком, поскольку он пересекает окружность ровно в двух точках, а его конечная точка находится на окружности окружности. Эти два отрезка пересекаются в точке вне круга, и нам дана мера угла, образованного их пересечением. Напомним теорему об углах между пересекающимися секущими и касательными: «Мера угла, образованного секущей и касательной, пересекающимися в точке вне круга, равна половине положительной разности мер пересекаемых дуг.
”
Из рисунка видно, что большая пересекаемая дуга — это 𝐵𝐷, а меньшая — 𝐵𝐶. Следовательно, мы можем составить уравнение, используя меры этих двух дуг и меру угла пересечения секущей и касательной: 50=12(𝑧−𝑦).
Нам даны выражения для 𝑦 и 𝑧 через третью переменную, 𝑥, значение которой нам нужно вычислить. Подстановка 𝑧=2𝑥+2 и 𝑦=𝑥−2 в приведенное выше уравнение дает уравнение только в 𝑥: 50=12((2𝑥+2)−(𝑥−2)).
Теперь решим это уравнение, чтобы найти 𝑥. Хотя это и не обязательно, мы начнем с того, что поменяем местами две стороны, чтобы неизвестное оказалось слева. Затем мы упрощаем в скобках, чтобы дать следующее: 12(2𝑥+2−𝑥+2)=5012(𝑥+4)=50.
Умножение обеих частей уравнения на 2 дает 𝑥+4=100.
Наконец, вычитание 4 из каждой части уравнения дает 𝑥=96.
Итак, мы рассмотрели четыре примера, в которых продемонстрировано применение двух ключевых теорем как к числовым, так и к алгебраическим задачам. Результаты, которые мы представили в этом объяснении, также могут быть применены к более сложным задачам, связанным с другими геометрическими фигурами, вписанными в окружности.
Теперь рассмотрим пример, в котором правильный пятиугольник вписан в окружность и требуется найти меру угла между двумя касательными к окружности.
Пример 5. Нахождение угла между двумя касательными с помощью свойств касательных к окружности и правильных многоугольников
касательной к окружности в 𝐴, а ⃖⃗𝐸𝑋 является касательной к окружности в точке 𝐸. Найдите 𝑚∠𝐴𝑋𝐸.Ответ
После проверки диаграммы мы видим, что угол 𝐴𝑋𝐸 — это угол, образованный пересечением двух касательных ⃖⃗𝐴𝑋 и ⃖⃗𝑋𝐸. Напомним поэтому теорему об углах между пересекающимися касательными: «Мера угла, образованного двумя касательными, пересекающимися в точке вне круга, равна половине положительной разности мер соединяемых дуг».
Мы можем счесть полезным добавить цвет к диаграмме, чтобы помочь идентифицировать перехваченные дуги, как показано ниже.
Мы будем называть большую дугу, показанную розовым, как 𝐴𝐵𝐸, а малую дугу, показанную оранжевым, как 𝐴𝐸. Следовательно, мера угла 𝐴𝑋𝐸 определяется выражением
𝑚∠𝐴𝑋𝐸=12𝑚𝐴𝐵𝐸−𝑚𝐴𝐸.
Нам не известны меры ни углов, ни дуг на рисунке. Вместо этого напомним, что пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 правильный. Следовательно, его можно разделить на пять конгруэнтных треугольников, проведя радиусы от каждой вершины пятиугольника до центра круга. Мы проиллюстрируем один такой треугольник, нарисовав радиусы 𝐴𝑀 и 𝐸𝑀 на рисунке ниже.
Размер большой дуги 𝐴𝐵𝐸 равен углу рефлекса в центре окружности. Мера малой дуги 𝐴𝐸 равна острому углу в той же точке. Напомним, что сумма углов вокруг точки равна 360∘. Поскольку пятиугольник правильный, а пять треугольников конгруэнтны, острого угла 𝐸𝑀𝐴 можно найти, разделив 360∘ на 5: 𝑚∠𝐸𝑀𝐴=3605=72.∘∘
Следовательно, мера малой дуги 𝐴𝐸 равна 72∘. Размер большой дуги можно найти, вычитая это значение из 360∘, чтобы получить 288∘.
Подставив размеры двух дуг в приведенную выше формулу, мы получим 𝑚∠𝐴𝑋𝐸=12(288−72)=12×216=108.∘∘∘∘
В более сложных задачах с несколькими пересекающимися отрезками нам может понадобиться применить несколько теорем, представленных в этом объяснении.
Нам также может понадобиться использовать результаты, относящиеся к другим типам углов в окружностях. Вписанный угол имеет вершину на окружности окружности и стороны, содержащие хорды окружности. Ниже мы определим связь между мерой вписанного угла и его дугой.
Определение: мера вписанного угла
Мера угла, вписанного в окружность, равна половине длины дуги, на которую он опирается.
Для рисунка ниже этот результат может быть выражен как 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=12𝑚𝐴𝐵.
Теперь рассмотрим последний пример: многошаговую задачу, в которой мы применяем как теорему об углах между пересекающимися хордами, так и теорему об углах между пересекающимися секущими, в дополнение к нашим знаниям о вписанных углах.
Пример 6. Нахождение меры угла по мерам его большой и малой дуг
Найти 𝑥.
Ответ
Изучив рисунок, мы видим, что 𝑥∘ является мерой угла, образованного пересечением двух хорд 𝐵𝐸 и 𝐶𝐷 внутри круга. Значит, по теореме об углах между пересекающимися хордами мера этого угла равна половине суммы охватываемых дуг:
𝑥=12𝑚𝐶𝐸+𝑚𝐵𝐷.
∘
Далее отметим, что один из углов, меры которых нам даны, угол 𝐵𝐴𝐷, представляет собой угол, образованный пересечением секущих отрезков 𝐴𝐶 и 𝐴𝐸 вне круга. Отсюда, учитывая, что мера такого угла равна половине положительной разности охватываемых дуг, имеем 40=12𝑚𝐶𝐸−𝑚𝐵𝐷.∘
Теперь у нас есть два линейных одновременных уравнения, включающих меры 𝐶𝐸 и 𝐵𝐷, но у нас недостаточно информации для их решения. Другая информация, указанная на диаграмме, является мерой вписанного угла 𝐵𝐸𝐷. Вспоминая, что мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается, мы можем вычислить меру 𝐵𝐷: 12𝑚𝐵𝐷=30𝑚𝐵𝐷=2×30=60.∘∘∘
Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение, которое позволит нам найти меру 𝐶𝐸. Затем мы сможем подставить меры обеих дуг в наше первое уравнение, чтобы определить 𝑥.
Подстановка 𝑚𝐵𝐷=60∘ во второе уравнение дает 12𝑚𝐶𝐸−60=40.∘∘
Мы решаем определить 𝑚𝐶𝐸, сначала умножая каждую часть уравнения на 2, а затем добавляя 60∘ к каждой стороне:
𝑚𝐶𝐸−60=80𝑚𝐶𝐸=140.