Алгебра что значит: Алгебра | это… Что такое Алгебра?

Линейная алгебра: что это такое, как разобраться с матрицами

Линейная алгебра — это специальный раздел алгебры, который изучает линейные объекты. В качестве линейного объекта в алгебре выступают:

• векторы и пространство из векторов,

• линейное отображение,

• линейное уравнение,

• теория инвариантов,

• тензоры и операции над тензорами,

• и др.

Может возникнуть вопрос: «Как линейная алгебра связана с программированием?». На самом деле, это укорененный вопрос всех начинающих программистов, который выглядит так: «Нужна ли математика в программировании?». Ответ: все зависит от того, в какой сфере программирования вы будете работать. К примеру, если в веб-разработке, тогда там вам не нужны будут глубокие познания в математике, хватит основных школьных знаний. Если же вы рассчитываете работать в сфере искусственного интеллекта, машинного обучения или больших данных, тогда без математики вам будет очень сложно.

Кстати, линейная алгебра нужна при работе над искусственным интеллектом. В этой сфере используется большое количество математических концепций и принципов. Поэтому, если вы планируете развиваться в этой сфере как программист, значит, подтянуть знания по математике — обязательное условие. Что такое линейная алгебра? Мы расскажем.

Линейная алгебра — что это?

Если простыми словами, тогда линейная алгебра — это «математическая деятельность», образуемая вокруг небольшого количества «линейных» терминов-инструментов. Например:

• вектор,

• скаляр,

• тензор,

• матрица.

Все эти термины важны, когда речь идет о машинном обучении и искусственном интеллекте, поэтому каждый из них нужно рассмотреть подробнее.

Линейная алгебра: скаляр

Скаляр представляет собой простую величину в линейной алгебре и обычное число. Он определяет элемент поля, в котором описывается вектор. Из последовательности скаляров образуется вектор.

Скаляр может быть представлен:

• вещественным числом,

• действительным числом,

• натуральным числом.

Линейная алгебра: вектор

Если упорядочить скаляры в определенной последовательности, тогда получается вектор. По сути, скаляр в векторе — это координаты точек в пространстве. Если объединить несколько векторов в единое множество, тогда получится векторное пространство.

Векторы поддаются математическим операциям, например, их можно:

• складывать друг с другом,

• умножать друг на друга,

• масштабировать разными видами умножения между собой,

• умножать вектор на число,

• и др.

Для того чтобы с векторами было удобнее работать, у каждого вектора обозначен собственный индексный идентификатор.

Линейная алгебра: матрица

Матрица в линейной алгебре представляет собой двумерный массив скаляров. Каждый отдельный элемент массива из-за двухмерности имеет 2 индекса.

Когда матрицы одинаковы по количеству столбцов и строк, тогда их можно:

Когда количество столбцов одной матрицы будет равно количеству строк второй матрицы, эти матрицы можно умножить одну на другую. Еще матрицу можно:

В зависимости от элементов, содержащихся внутри матрицы, сама матрица бывает:

• квадратной — когда число строк равняется числу столбцов;

• диагональной — когда все элементы основного поля равняются «0», кроме тех, которые идут по диагонали;

• единичной — когда диагональные элементы равняются «1», а остальные — «0»;

• симметричной — когда все элементы имеют симметричное расположение относительно диагонали;

• кососимметричной — когда симметричные стороны матрицы отличаются знаком, то есть одни положительные, а другие отрицательные;

• и др.

Линейная алгебра: тензор

В линейной алгебре тензор представляет собой многомерный массив. Тензор состоит из нескольких измерений, поэтому его часто изображают как многомерную сетку из определенных чисел.

Каждая матрица, по сути, также является тензором, только двумерным. Это и отличает матрицу от тензора.

Тензор — это апогей в иерархии линейной алгебры:

• скаляр — один элемент,

• вектор — одномерный массив элементов,

• матрица — двумерный массив элементов,

• тензор — многомерный массив элементов.

Над тензором можно проводить ряд операций. Например:

• умножить тензор на скаляр,

• сложить два тензора,

• умножить один тензор на другой,

• и др.

Заключение

Линейная алгебра — это часть высшей математики, которая нужна будет при работе с искусственным интеллектом, машинным обучением и большими данными. Сегодня мы затронули лишь теоретическую часть темы «что такое линейная алгебра» и рассказали об ее основных составляющих. Мы продолжим цикл статей по этой тематике.

АЛГЕБРА • Большая российская энциклопедия

А́ЛГЕБРА [ср.-век. лат. al­geb­ra, от араб. аль-джебр, аль-джабр – вос­со­е­ди­не­ние (от­дель­ных ча­стей урав­не­ния)], раз­дел ма­те­ма­ти­ки, при­над­ле­жа­щий, на­ря­ду с ариф­ме­ти­кой и гео­мет­ри­ей, к чис­лу ста­рей­ших вет­вей этой нау­ки; она изу­ча­ет опе­ра­ции над ма­те­ма­тич. объ­ек­та­ми и влия­ет на фор­ми­ро­ва­ние об­щих по­нятий и ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки. За­да­чи и ме­то­ды А. за­клю­ча­лись пер­во­на­чаль­но в со­став­ле­нии и ре­ше­нии урав­не­ний. В свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми урав­не­ний раз­ви­ва­лось по­ня­тие чис­ла, бы­ли вве­де­ны от­ри­ца­тель­ные, ра­ци­о­наль­ные, ир­ра­цио­наль­ные и ком­плекс­ные чис­ла; об­щее ис­сле­до­ва­ние свойств этих чи­сло­вых сис­тем от­но­сит­ся к А. В ал­геб­ре сфор­ми­ро­ва­лись бу­к­вен­ные обо­зна­че­ния, по­зво­лив­шие за­пи­сать свой­ст­ва дей­ст­вий над чис­ла­ми в фор­ме, не со­дер­жа­щей кон­крет­ных чи­сел. Пре­об­ра­зо­ва­ния по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам (свя­зан­ным со свой­ст­ва­ми дей­ст­вий) бу­к­вен­ных вы­ра­же­ний со­став­ля­ет ап­па­рат клас­сич. А. Раз­ви­тие А. ока­за­ло боль­шое влия­ние на раз­ви­тие но­вых об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти ма­те­ма­тич. ана­ли­за, диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. При­ме­не­ние А. воз­мож­но всю­ду, где при­хо­дит­ся иметь де­ло с опе­ра­ция­ми, ана­ло­гич­ны­ми сло­же­нию и ум­но­же­нию чи­сел. Эти опе­ра­ции мо­гут про­из­во­дить­ся над объ­ек­та­ми са­мой раз­лич­ной при­ро­ды. Наи­бо­лее из­вест­ным при­ме­ром та­ко­го рас­ши­рен­но­го при­ме­не­ния ал­геб­ра­ич. ме­то­дов яв­ля­ет­ся век­тор­ная ал­геб­ра (см. Ли­ней­ная ал­геб­ра) и её даль­ней­шее обоб­ще­ние – тен­зор­ная ал­геб­ра (см. Тен­зор­ное ис­чис­ле­ние), став­шая од­ним из важ­ных средств совр. фи­зи­ки.

А. в бо­лее ши­ро­ком, совр. по­ни­ма­нии мо­жет быть оп­ре­де­ле­на как нау­ка о сис­те­мах объ­ек­тов той или иной при­ро­ды, в ко­то­рых ус­та­нов­ле­ны опе­ра­ции, на­зы­вае­мые ал­геб­раи­че­ски­ми, по сво­им свой­ст­вам сход­ные со сло­же­ни­ем и ум­но­же­ни­ем чи­сел. А. клас­си­фи­ци­ру­ет сис­те­мы с за­дан­ны­ми на них ал­геб­ра­ич. опе­ра­ция­ми по их свой­ст­вам и изу­ча­ет разл. за­да­чи, ес­те­ст­вен­но воз­ни­каю­щие в этих сис­те­мах, вклю­чая и за­да­чу ре­ше­ния и ис­сле­до­ва­ния урав­не­ний, ко­то­рая в но­вых сис­те­мах объ­ек­тов по­лу­ча­ет но­вый смысл (ре­ше­ни­ем урав­не­ний мо­жет быть век­тор, мат­ри­ца, опе­ра­тор). Этот но­вый взгляд на А., офор­мив­ший­ся лишь в 20 в., спо­соб­ст­во­вал даль­ней­ше­му рас­ши­ре­нию об­лас­ти при­ме­не­ния ал­геб­ра­ических ме­то­дов не толь­ко в ма­те­ма­ти­ке, но и в других нау­ках, в ча­ст­но­сти в фи­зи­ке. Он ук­ре­пил свя­зи А. с другими раз­де­ла­ми ма­те­ма­ти­ки и уси­лил влия­ние А. на их даль­ней­шее раз­ви­тие.

Исторический очерк

А. пред­ше­ст­во­ва­ла ариф­ме­ти­ка, опе­ра­ция­ми ко­то­рой бы­ли сло­же­ние, вы­чи­та­ние, ум­но­же­ние и де­ле­ние чи­сел, cначала толь­ко це­лых, а за­тем и дроб­ных. Вна­ча­ле от­ли­чие А. от ариф­ме­ти­ки за­клю­ча­лось в том, что в А. вво­ди­лась не­из­вест­ная ве­ли­чи­на, дей­ст­вия над ко­то­рой, дик­туе­мые ус­ло­вия­ми за­да­чи, при­во­ди­ли к урав­не­нию, из ко­то­ро­го на­хо­ди­лась эта не­из­вест­ная ве­ли­чи­на. Эле­мент та­кой трак­тов­ки ариф­ме­тич. за­дач со­дер­жит­ся в др.-егип. па­пи­ру­се Ах­ме­са (см. в ст. Па­пи­ру­сы ма­те­ма­ти­че­ские), где ис­ко­мая ве­ли­чи­на обо­зна­ча­ет­ся со­от­вет­ст­вую­щим иеро­гли­фом. Древ­ние егип­тя­не ре­ша­ли и дос­таточ­но слож­ные за­да­чи (свя­зан­ные, напр., с ариф­ме­тич. и гео­мет­рич. про­грес­сия­ми). Как фор­му­ли­ров­ка за­дач, так и ре­ше­ния да­ва­лись в сло­вес­ной фор­ме и толь­ко в ви­де кон­крет­ных чис­лен­ных при­ме­ров.

В нач. 20 в. бы­ли рас­шиф­ро­ва­ны кли­но­пис­ные ма­те­ма­ти­че­ские тек­сты и дру­гой древ­ней­шей куль­ту­ры – ва­ви­лон­ской. Ва­ви­ло­ня­не уже за 4000 лет до на­ших дней с по­мо­щью спец. таб­лиц уме­ли ре­шать раз­но­об­раз­ные за­да­чи; не­ко­то­рые из них рав­но­силь­ны ре­ше­нию квад­рат­ных урав­не­ний и да­же од­но­го ви­да урав­не­ний 3-й сте­пе­ни.

Ло­гич. до­ка­за­тель­ст­ва в ма­те­ма­ти­ку впер­вые вве­ли др.-греч. гео­мет­ры. В рам­ках гео­мет­рич. ме­то­да мн. ма­те­ма­тич. во­про­сы пе­ре­во­ди­лись на язык гео­мет­рии: ве­ли­чи­ны трак­то­ва­лись как дли­ны, про­из­ве­де­ние двух ве­ли­чин – как пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка и т. д. В совр. ма­те­ма­тич. язы­ке со­хра­ни­лось, напр., назв. «квад­рат» для про­из­ве­де­ния ве­ли­чи­ны на са­моё се­бя. К дру­гой, не­гео­мет­рич. ли­нии раз­ви­тия др.-греч. ма­тема­ти­ки от­но­сит­ся трак­тат Дио­фан­та «Ариф­ме­ти­ка», в ко­то­ром он до­воль­но сво­бод­но опе­ри­ру­ет с урав­не­ния­ми 1-й, 2-й и бо­лее вы­со­ких сте­пе­ней. В этом трак­та­те мож­но най­ти по­пыт­ки упот­реб­ле­ния бу­к­вен­ной сим­во­ли­ки и от­ри­ца­тель­ных чи­сел. На кон­крет­ных при­ме­рах пред­вос­хи­ща­ют­ся ме­то­ды ре­ше­ния в ра­цио­наль­ных чис­лах урав­не­ний 3-й сте­пе­ни с дву­мя не­из­вест­ны­ми.

Дос­ти­же­ния др.-греч. нау­ки раз­ви­ва­лись учё­ны­ми ср.-век. Вос­то­ка, в т. ч. аль-Хо­рез­ми и Би­ру­ни. Учё­ные Вос­то­ка пе­ре­да­ли Ев­ро­пе из­вест­ную им ма­те­ма­ти­ку в сво­ей ори­ги­наль­ной пе­ре­ра­бот­ке, при­чём осо­бен­но мно­го они за­ни­ма­лись имен­но А. Тер­мин «А.» про­ис­хо­дит от на­зва­ния со­чи­не­ния аль-Хо­рез­ми «Аль-джебр аль-му­ка­ба-ла», оз­на­чаю­ще­го один из приё­мов пре­об­ра­зо­ва­ния урав­не­ний. Со вре­ме­ни аль-Хо­рез­ми А. мож­но рас­смат­ри­вать как отд. раз­дел ма­те­ма­ти­ки.

Ма­те­ма­ти­ки ср.-век. Вос­то­ка все дей­ст­вия из­ла­га­ли сло­ва­ми. Даль­ней­ший про­гресс А. стал воз­мож­ным толь­ко по­сле по­яв­ле­ния удоб­ных сим­во­лов для обо­зна­че­ния дей­ст­вий (см. Ма­те­ма­ти­че­ские зна­ки). Этот про­цесс шёл очень мед­лен­но, и толь­ко в кон­це 15 в. поя­ви­лись при­ня­тые те­перь зна­ки + и –. За­тем бы­ли вве­де­ны и по­лу­чи­ли все­об­щее при­зна­ние зна­ки, обо­зна­чаю­щие сте­пень, ко­рень, а так­же скоб­ки. К сер. 17 в. пол­но­стью сло­жил­ся ап­па­рат сим­во­лов совр. А. – упот­реб­ле­ние букв для обо­зна­че­ния не толь­ко ис­ко­мо­го не­из­вест­но­го, но и всех во­об­ще вхо­дя­щих в за­да­чу ве­ли­чин. До это­го в А. и ариф­ме­ти­ке как бы не бы­ло об­щих пра­вил и до­ка­за­тельств; рас­смат­ри­ва­лись ис­клю­чи­тель­но чис­лен­ные при­ме­ры, поч­ти не­воз­мож­но бы­ло вы­ска­зать к.-л. об­щие су­ж­де­ния. Да­же эле­мен­тар­ные учеб­ни­ки то­го вре­ме­ни да­ва­ли де­сят­ки ча­ст­ных пра­вил вме­сто од­но­го об­ще­го. Ф. Ви­ет (1591) пер­вым на­чал пи­сать за­да­чи в об­щем ви­де, обо­зна­чая не­из­вест­ные ве­ли­чи­ны глас­ны­ми $A, E, I, \ldots,$ а из­вест­ные – со­глас­ны­ми $B, C, D, \ldots .$ Эти бу­к­вы он со­еди­нял имев­ши­ми­ся в то вре­мя зна­ка­ми ма­те­ма­тич. опе­ра­ций, т. о. впер­вые воз­ник­ли бу­к­вен­ные фор­му­лы, ха­рак­тер­ные для совр. А. На­чи­ная с Р. Де­кар­та для не­из­вест­ных упот­реб­ля­ют, как пра­ви­ло, по­след­ние бу­к­вы лат. ал­фа­ви­та $x, y, z$.

Вве­де­ние сим­во­лич. обо­зна­че­ний и опе­ра­ций над бу­к­ва­ми, за­ме­няю­щи­ми кон­крет­ные чис­ла, име­ло ис­клю­чи­тель­но важ­ное зна­че­ние. Без это­го язы­ка фор­мул бы­ло бы не­мыс­ли­мо бур­ное раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки на­чи­ная с 17 в., соз­да­ние ма­те­ма­тич. ана­ли­за, ма­те­ма­тич. вы­ра­же­ния за­ко­нов ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки и пр.

Ис­то­ри­че­ски пер­вой за­да­чей А. бы­ло ре­ше­ние ал­геб­ра­ич. урав­не­ний, т. е. на­хо­ж­де­ние их кор­ней. Важ­ную роль в ре­ше­нии урав­не­ний сыг­ра­ло по­яв­ле­ние от­ри­ца­тель­ных чи­сел. Они бы­ли вве­де­ны инд. ма­те­ма­ти­ка­ми в 10 в., но учё­- ные ср.-век. Вос­то­ка их не ис­поль­зо­ва­ли. С от­ри­ца­тель­ны­ми чис­ла­ми свыка­лись по­сте­пен­но; это­му спо­соб­ст­во­ва­ли ком­мерч. вы­чис­ле­ния, в ко­то­рых от­ри­ца­тель­ные чис­ла име­ют на­гляд­ный смысл, напр. убыт­ка, не­дос­тат­ка, дол­га. Окон­ча­тель­но от­ри­ца­тель­ные чис­ла во­шли в упот­реб­ле­ние толь­ко в 17 в., по­сле то­го как Р. Де­карт пред­ло­жил их на­гляд­ное гео­мет­рич. пред­став­ле­ние.

При ре­ше­нии ал­геб­раи­че­ских урав­не­ний воз­ник­ла по­треб­ность рас­ши­ре­ния чи­сло­вой об­лас­ти. Так, при ре­ше­нии урав­не­ний 2-й сте­пе­ни по­яв­ля­ют­ся ир­ра­цио­наль­ные чис­ла (см. так­же Ал­геб­ра­и­че­ское чис­ло). С из­вле­че­ни­ем кор­ней стал­ки­ва­лись ещё др.-греч. и ср.-ази­ат. ма­те­ма­ти­ки, ко­то­рые пред­ло­жи­ли ост­ро­ум­ные спо­со­бы их при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния. Взгляд на ир­ра­цио­наль­ность как на чис­ло ус­та­но­вил­ся зна­чи­тель­но поз­же. Вве­де­ние ком­плекс­ных чи­сел от­но­сит­ся к 18 в.

Лю­бое урав­не­ние $n$-й сте­пе­ни име­ет $n$ кор­ней, во­об­ще го­во­ря ком­плекс­ных, при­чём это вер­но и для урав­не­ний с ком­плекс­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Эта важ­ная тео­ре­ма, но­ся­щая на­зва­ние ос­нов­ной тео­ре­мы А., бы­ла впер­вые сфор­му­ли­ро­ва­на в 17 в., её до­ка­за­тель­ст­во бы­ло да­но в кон. 18 в. К. Га­ус­сом. Все из­вест­ные до­ка­за­тель­ст­ва долж­ны бы­ли в той или иной фор­ме ис­поль­зо­вать не­пре­рыв­ность; т.  о., до­ка­за­тель­ст­во ос­нов­ной тео­ре­мы А. вы­хо­ди­ло за пре­де­лы А., де­мон­ст­ри­руя не­раз­рыв­ность ма­те­ма­ти­ки в це­лом.

Мно­гие тео­ре­тич. и прак­тич. во­про­сы при­во­дят не к од­но­му урав­не­нию, а к сис­те­мам урав­не­ний с неск. не­из­вест­ны­ми. Осо­бен­но ва­жен слу­чай сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний. К этим про­стей­шим сис­те­мам сво­дят­ся сис­те­мы урав­не­ний, встре­чаю­щих­ся на прак­ти­ке. Ре­ше­ние сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний со­став­ля­ет су­ще­ст­вен­ную часть при чис­лен­ном ре­ше­нии раз­но­об­раз­ных при­клад­ных за­дач. Г. Лейб­ниц (1693) об­ра­тил вни­ма­ние на то, что при изу­че­нии сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний важ­ную роль иг­ра­ет мат­ри­ца, со­став­лен­ная из их ко­эф­фи­ци­ен­тов. Впо­след­ст­вии мат­ри­цы ста­ли пред­ме­том са­мо­сто­ят. изу­че­ния в А., т. к. их роль не ис­чер­пы­ва­ет­ся при­ло­же­ния­ми к тео­рии сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний.

По­яв­ле­ние ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии тес­но свя­за­но с А. Ес­ли у древ­них гре­ков чис­то ал­геб­ра­ич. за­да­чи об­ле­ка­лись в гео­мет­рич. фор­му, то те­перь ал­геб­ра­ич. сред­ст­ва вы­ра­же­ния ока­за­лись на­столь­ко удоб­ны­ми и на­гляд­ны­ми, что гео­мет­рич. за­да­чи пе­ре­во­ди­лись на язык ал­геб­ра­ич. фор­мул.

В кон. 17 – нач. 18 вв. был соз­дан и бы­ст­ро рас­про­стра­нил­ся ана­лиз бес­ко­неч­но ма­лых, сыг­рав­ший важ­ней­шую роль в раз­ви­тии ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ний, что во мно­гом бы­ло под­го­тов­ле­но раз­ви­ти­ем А. В ча­ст­но­сти, бу­к­вен­ные вы­ра­же­ния и дей­ст­вия над ни­ми спо­соб­ст­во­ва­ли за­ро­ж­де­нию ещё в 16–17 вв. взгля­да на ма­те­ма­тич. ве­ли­чи­ны как на пе­ре­мен­ные, что ха­рак­тер­но для ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых, где не­пре­рыв­но­му из­ме­не­нию од­ной ве­ли­чи­ны обыч­но со­от­вет­ст­ву­ет не­пре­рыв­ное из­ме­не­ние дру­гой (функ­ции от этой пе­ре­мен­ной).

А. и ма­те­ма­тич. ана­лиз раз­ви­ва­лись в 17–18 вв. в тес­ной свя­зи. В А. про­ни­ка­ли по­ня­тия и ме­то­ды ана­ли­за, в этом на­прав­ле­нии её обо­га­тил И.  Нью­тон. С др. сто­ро­ны, А. да­ла ана­ли­зу раз­ви­тый на­бор фор­мул и пре­об­ра­зо­ва­ний, сыг­рав­ших боль­шую роль в на­чаль­ный пе­ри­од раз­ви­тия ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния и тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Круп­ным со­бы­ти­ем в А. это­го пе­рио­да бы­ло по­яв­ле­ние учеб­ни­ка Л. Эй­ле­ра. От­ли­чие А. от ана­ли­за в 18–19 вв. ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что А. име­ет сво­им осн. пред­ме­том дис­крет­ное, ко­неч­ное. Осн. опе­ра­ции, напр. сло­же­ние, про­из­во­дят­ся в А. ко­неч­ное чис­ло раз. Эту осо­бен­ность А. под­черк­нул в 1-й пол. 19 в. Н. И. Ло­ба­чев­ский, на­звав од­ну из сво­их книг «Ал­геб­ра, или Вы­чис­ле­ние ко­неч­ных» (1834).

К 18 в. А. сло­жи­лась при­мер­но в том объ­ё­ме, ко­то­рый до на­ших дней пре­пода­ёт­ся в сред­ней шко­ле. Эта А. ох­ва­ты­ва­ет дей­ст­вия сло­же­ния, ум­но­же­ния с об­рат­ны­ми им дей­ст­вия­ми вы­чи­та­ния и де­ле­ния, а так­же воз­ве­де­ние в сте­пень и об­рат­ное ему из­вле­че­ние кор­ня. Эти дей­ст­вия про­во­дят­ся над чис­ла­ми или бу­к­ва­ми, ко­то­рые мо­гут обо­зна­чать по­ло­жи­тель­ные или от­ри­ца­тель­ные, ра­цио­наль­ные или ир­ра­цио­наль­ные чис­ла. На рус. язы­ке из­ло­же­ние эле­мен­тар­ной А. в ви­де, сло­жив­шем­ся к нач. 18 в., бы­ло впер­вые да­но в «Ариф­ме­ти­ке…» Л. Ф. Маг­ниц­ко­го.

А. 18–19 вв. есть пре­ж­де все­го А. мно­го­чле­нов. Пред­мет А., та­ким об­ра­зом, ока­зы­ва­ет­ся зна­чи­тель­но уже, чем пред­мет ана­ли­за. Вме­сте с тем А. и ма­те­ма­тич. ана­лиз про­дол­жа­ют иметь мно­го то­чек со­при­кос­но­ве­ния, и раз­гра­ни­че­ние ме­ж­ду ни­ми не яв­ля­ет­ся жё­ст­ким. Во мно­гих слу­ча­ях изу­че­ние мно­го­чле­нов как до­воль­но про­стых функ­ций по­мо­га­ло раз­ви­тию об­щей тео­рии функ­ций. Че­рез всю ис­то­рию ма­те­ма­ти­ки про­хо­дит тен­ден­ция све­де­ния изу­че­ния бо­лее слож­ных функ­ций к изу­че­нию мно­го­чле­нов или ря­дов. С др. сто­ро­ны, А. на­чи­на­ет всё боль­ше поль­зо­вать­ся идея­ми не­пре­рыв­но­сти и бес­ко­неч­но­сти, ха­рак­тер­ны­ми для ма­те­ма­тич. ана­ли­за.

Современное состояние алгебры

Для совр. А. ха­рак­тер­но то, что в цен­тре вни­ма­ния ока­зы­ва­ют­ся свой­ст­ва опе­ра­ций, а не объ­ек­тов, над ко­то­ры­ми про­из­во­дят­ся эти опе­ра­ции. 2.$$Здесь два­ж­ды ис­поль­зо­ван за­кон ди­ст­ри­бу­тив­но­сти, за­кон ас­со­циа­тив­но­сти при сло­же­нии по­зво­ля­ет пе­ре­груп­пи­ро­вать сла­гае­мые, на­ко­нец, ис­поль­зу­ет­ся за­кон ком­му­та­тив­но­сти $ba=ab$. Что пред­став­ля­ют со­бой объ­ек­ты, обо­зна­чен­ные бу­к­ва­ми $a$ и $b$, не име­ет зна­че­ния; важ­но, что­бы они при­над­ле­жа­ли мно­же­ст­ву, в ко­то­ром оп­ре­де­ле­ны две опе­ра­ции, сло­же­ние и ум­но­же­ние, удов­ле­тво­ряю­щие пе­ре­чис­лен­ным тре­бо­ва­ни­ям, ка­саю­щим­ся свойств опе­ра­ций, а не объ­ек­тов. Фор­му­ла ос­та­нет­ся вер­ной, ес­ли $a$ и $b$ оз­на­ча­ют век­то­ры, в этом слу­чае сло­же­ние в ле­вой час­ти – это сло­же­ние век­то­ров, а в пра­вой час­ти фор­му­лы – сло­же­ние чи­сел; под ум­но­же­ни­ем по­ни­ма­ет­ся ска­ляр­ное ум­но­же­ние век­то­ров. В этой фор­му­ле вме­сто $a$ и $b$ мож­но под­ста­вить так­же ком­му­ти­рую­щие мат­ри­цы (т. е. та­кие, что $ab=ba$, что для мат­риц мо­жет не вы­пол­нять­ся), опе­ра­то­ры диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния по двум не­за­ви­си­мым пе­ре­мен­ным и др.

От­вле­ка­ясь от при­ро­ды объ­ек­тов, но фик­си­руя оп­ре­де­лён­ные свой­ст­ва опе­ра­ций над ни­ми, при­хо­дят к по­ня­тию мно­же­ст­ва, на­де­лён­но­го ал­геб­ра­ич. опе­ра­ция­ми (см. Уни­вер­саль­ная ал­геб­ра). В хо­де раз­ви­тия ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ний пер­во­на­чаль­но вы­де­ли­лись срав­ни­тель­но не­мно­гие ти­пы ал­геб­ра­ич. струк­тур: груп­пы, по­ля, век­тор­ные про­стран­ст­ва, ас­со­циа­тив­ные коль­ца и ал­геб­ры, мо­ду­ли. В даль­ней­шем пред­метом изу­че­ния ста­ли так­же др. клас­сы: не­ас­со­циа­тив­ные коль­ца и ал­геб­ры (в т. ч. ал­геб­ры Ли, йор­да­но­вы ал­геб­ры), ре­шёт­ки, по­лу­груп­пы и др. (см. Групп тео­рия, Ко­лец тео­рия, Ли ал­гебр тео­рия, Ре­шё­ток тео­рия). Боль­шим раз­де­лом А., имею­щим мно­го­числ. при­ло­же­ния, как в са­мой ма­те­ма­ти­ке, так и в ес­те­ст­во­зна­нии, яв­ля­ет­ся тео­рия пред­став­ле­ний групп. А. име­ет тес­ные свя­зи и с ма­те­ма­тич. ло­ги­кой (см. Бу­ле­ва ал­геб­ра, Мо­де­лей тео­рия).

Раз­ви­ва­ют­ся так­же раз­де­лы А., изу­чаю­щие ал­геб­ра­ич. опе­ра­ции в мно­же­ст­вах, снаб­жён­ных до­пол­ни­тель­ны­ми струк­ту­ра­ми. Та­ким об­ра­зом воз­ник­ли то­по­ло­ги­че­ская ал­геб­ра, тео­рия групп Ли (т. е. групп, яв­ляю­щих­ся глад­ки­ми мно­го­об­ра­зия­ми), тео­рии разл. упо­ря­до­чен­ных сис­тем. Тео­рия по­лей, воз­ник­шая из ал­геб­ра­ич. тео­рии чи­сел, и изу­че­ние ком­му­та­тив­ных ко­лец от­но­сят­ся к ком­му­та­тив­ной ал­геб­ре, ко­торая слу­жит ос­но­вой ал­геб­раи­че­ской гео­мет­рии. Под влия­ни­ем то­по­ло­гии поя­вил­ся но­вый раз­дел А. – го­мо­ло­ги­че­ская ал­гебра, ко­то­рая, в свою оче­редь, при­ве­ла к воз­ник­но­ве­нию ка­те­го­рий тео­рии, дав­шей но­вый уни­вер­саль­ный язык для опи­са­ния по­ня­тий не толь­ко А., но и прак­ти­че­ски всех об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки.

На­ря­ду с фун­дам. ро­лью внут­ри ма­те­ма­ти­ки, А. име­ет боль­шое при­клад­ное зна­че­ние: она при­ме­ня­ет­ся в фи­зи­ке (сим­плек­тич. фор­мы в ме­ха­ни­ке, пред­став­ле­ния групп Ли в кван­то­вой тео­рии, су­пер­ал­геб­ры Ли в тео­рии по­ля, фё­до­ров­ские груп­пы в кри­стал­ло­гра­фии), в дис­крет­ной ма­те­ма­ти­ке (тео­рия ав­то­ма­тов, ал­геб­ра­ич. тео­рия ко­ди­ро­ва­ния), в ма­те­ма­тич. эко­но­ми­ке (ли­ней­ные не­ра­вен­ст­ва) и др.

Определение и значение алгебры — Merriam-Webster

алгебра ˈal-jə-brə 

1

: обобщение арифметики, в которой буквы, представляющие числа, комбинируются в соответствии с правилами арифметики

2

: любая из различных систем или разделов математики или логики, связанных со свойствами и отношениями абстрактных объектов (таких как комплексные числа, матрицы, наборы, векторы, группы, кольца или поля), управляемых в символической форме при операциях, часто аналогичных арифметическим

сравнение булевой алгебры

алгебраист

al-jə-ˌbrā-ist

существительное

Примеры предложений

Недавние примеры в Интернете Используя немного алгебры , это означает, что в команде из 10 человек 10% команды выполняют около 35% значимой работы. — Джеффри Х. Марголис, 9 лет.0027 Forbes

, 6 февраля 2023 г. Арабские ученые заложили основы алгебры в девятом веке; исчисление не возникло в полном расцвете до конца 1600-х годов. — Карл Циммер, Discover Magazine , 19 августа 2014 г. Это может означать предоставление алгебры в тандеме с физикой; Осборн сказал, что английский наряду с исполнительским искусством или любым другим сочетанием. — BostonGlobe.com , 15 февраля 2023 г. Учащимся всегда даются задачи, которые их подталкивают — алгебра понятий вводятся уже в третьем классе. — Николь Лапорт, Town & Country , 15 февраля 2023 г. Что-то в этой математике не складывается; и поклонники были слишком готовы продемонстрировать

алгебру . — Лорен Пакетт-Папа, 9 лет.0027 ЭЛЬ , 6 фев. 2023 В одном удивительно эффективном методе используются коды Рида-Соломона, построенные на той же базовой алгебре , которую ученики изучают в школе. — Патрик Хоннер, Quanta Magazine , 23 января 2023 г. Ее учитель алгебры стоял рядом с ней на коленях и молился. — Нуран Салахие, CNN , 18 сентября 2022 г. Это небольшая разница в сложной математике, но подумайте о алгебра пример разности двух квадратов: x² — 16, например, является результатом (x — 4)(x + 4). — Кэролайн Делберт, Popular Mechanics , 31 января 2023 г. Узнать больше

Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «алгебра». Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв.

История слов

Этимология

Средневековая латынь, от арабского al-jabr , буквально сокращение

Первое известное использование

1551, в значении, определенном в смысле 1

Путешественник во времени

Первое известное использование алгебры было в 1551 году

Посмотреть другие слова того же года

Словарные статьи рядом с

алгебра

альгазель

алгебра

алгебраический

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Алгебра.

» Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/алгебра. По состоянию на 21 марта 2023 г.

Ссылка на копию

Детское определение

алгебра

существительное

алгебра ˈal-jə-brə 

: раздел математики, который использует буквы для представления чисел и изучает числа и операции (такие как умножение и сложение), которые используются над ними

алгебраический

ˌal-jə-ˈbrā-ik

прилагательное

алгебраически

-ˈbrā-ə-k(ə-)lē

наречие

Подробнее от Merriam-Webster на

Algebra

Nglish: перевод Algebra для испанских носителей

Engannica Algebra для арабских динамиков

Britannica. com. Последнее обновление: 11 марта 2023 г. — Обновлены примеры предложений

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

палевый

См. Определения и примеры »

Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

---

Сложные стандартизированные тестовые слова, Vol. 2

• Новая компьютерная система предприятия оказалась не на панацея .

• Панацея Дорогостоящее бремя
• Безопасное пространство Препятствие

Вы знаете, как это выглядит. .. но как это называется?

ПРОЙДИТЕ ТЕСТ

Сможете ли вы составить 12 слов из 7 букв?

ИГРАТЬ

Алгебра | История, определение и факты

математиков греко-римского мира

Смотреть все СМИ

Ключевые люди:

Джон фон Нейман Сэр Уильям Роуэн Гамильтон Диофант Эмми Нётер Томас Хэрриот

Похожие темы:

элементарная алгебра современная алгебра линейная алгебра теорема о рациональном корне биномиальная теорема

Просмотреть весь связанный контент →

Популярные вопросы

Что такое алгебра?

Алгебра — это раздел математики, в котором абстрактные символы, а не числа, обрабатываются или оперируются с помощью арифметики. Например, x + y = z или b — 2 = 5 являются алгебраическими уравнениями, а 2 + 3 = 5 и 73 * 46 = 3358 — нет. Используя абстрактные символы, математики могут работать с общими терминами, применимыми гораздо шире, чем конкретные ситуации, связанные с числами.

Чем отличаются алгебра и геометрия?

Алгебра — это раздел математики, в котором арифметические операции и другие формальные операции применяются к абстрактным символам, а не к конкретным числам. Геометрия — это раздел математики, изучающий форму объектов, их пространственные отношения и свойства пространства, в котором находятся объекты.

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

алгебра , раздел математики, в котором арифметические операции и формальные манипуляции применяются к абстрактным символам, а не к конкретным числам. Представление о существовании такой отдельной дисциплины математики, а также термин алгебра для ее обозначения возникли в результате медленного исторического развития. В этой статье представлена ​​эта история, прослеживается эволюция во времени понятия уравнения, систем счисления, символов для передачи математических утверждений и манипулирования ими, а также современного абстрактного структурного взгляда на алгебру. Для получения информации о конкретных разделах алгебры, см. элементарная алгебра, линейная алгебра и современная алгебра.

Возникновение формальных уравнений

Возможно, самым основным понятием в математике является уравнение, формальное утверждение о том, что две части математического выражения равны — как в простом уравнении x + 3 = 5 — и что обе части можно одновременно манипулировать уравнением (складывать, делить, извлекать корни и т. д. с обеих сторон), чтобы «решить» уравнение. Тем не менее, каким бы простым и естественным ни казалось это понятие сегодня, его принятие сначала потребовало развития многочисленных математических идей, каждая из которых требовала времени, чтобы созреть. Фактически, только в конце 16 века закрепилась современная концепция уравнения как единого математического объекта.

Особого внимания заслуживают три основных направления процесса, ведущего к этой консолидации:

1. Попытки решить уравнения с одной или несколькими неизвестными величинами. При описании ранней истории алгебры слово уравнение часто используется из соображений удобства для описания этих операций, хотя ранние математики не знали о таком понятии.

2. Эволюция представления о том, что именно считается допустимым числом. Со временем это понятие расширилось, чтобы включить более широкие области (рациональные числа, иррациональные числа, отрицательные числа и комплексные числа), которые были достаточно гибкими, чтобы поддерживать абстрактную структуру символической алгебры.

3. Постепенное совершенствование символического языка, пригодного для разработки и передачи обобщенных алгоритмов или пошаговых процедур для решения целых категорий математических задач.

Эти три нити прослеживаются в этом разделе, особенно в том, как они развивались на древнем Ближнем Востоке и в Греции, в исламскую эпоху и в эпоху европейского Возрождения.

Викторина «Британника»

Числа и математика

Решение задач в Египте и Вавилоне

Самый ранний дошедший до нас математический текст из Египта — папирус Райнда (ок. 1650 г. до н. э.). Этот и другие тексты свидетельствуют о способности древних египтян решать линейные уравнения с одним неизвестным. Линейное уравнение — это уравнение первой степени, то есть уравнение, в котором все переменные даны только в первой степени. (В сегодняшних обозначениях такое уравнение с одним неизвестным будет 7 x + 3 x = 10.) Свидетельства примерно 300 г. до н.э. указывают на то, что египтяне также знали, как решать задачи, включающие систему двух уравнений с двумя неизвестными величин, включая квадратные (второй степени или квадраты неизвестных) уравнения. Например, учитывая, что периметр прямоугольного участка земли составляет 100 единиц, а его площадь 600 квадратных единиц, древние египтяне могли найти длину поля l и ширина w . (В современных обозначениях они могли решить пару одновременных уравнений 2 w + 2 l = 100 и w l = 600.) Однако в течение всего этого периода символы не использовались — задачи формулировались. и решается устно. Типична следующая задача:

• Метод расчета количества,

• умножить на 1 ¹ / ₂ прибавив 4 получилось 10.

• Какое количество говорит об этом?

• Сначала вы вычисляете разницу между этими 10 и этими 4. Затем получается 6 результатов.

• Затем вы делите 1 на 1 ¹ / ₂ . Затем ² / ₃ результаты.

• Затем вы вычисляете ² / ₃ из этих 6. Затем 4 результата.

• Вот, это 4, количество, которое сказало это.

• То, что вы нашли, верно.

Обратите внимание, что за исключением ² / ₃ , для которых существовал специальный символ, египтяне выражали все дробные количества, используя только единичные дроби, то есть дроби, имеющие числитель 1. Например, ³ / ₄ будет записано как ¹ / ₂ + ¹ / ₄ .

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Вавилонская математика восходит к 1800 г. до н.э., о чем свидетельствуют клинописные тексты, сохранившиеся на глиняных табличках. Вавилонская арифметика была основана на хорошо разработанной позиционной шестидесятеричной системе счисления, то есть на системе с основанием 60, в отличие от современной десятичной системы, основанной на единицах 10. Вавилоняне, однако, не использовали постоянно ноль. . Большая часть их математики состояла из таблиц, например, для умножения, обратных величин, квадратов (но не кубов), а также квадратных и кубических корней.

Помимо таблиц, многие вавилонские таблички содержали задачи, требующие решения какого-то неизвестного числа. Такие задачи объясняли процедуру решения конкретной проблемы, а не предлагали общий алгоритм решения подобных задач.

No related posts.