Алгебра факториал: Факториал — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математикеАлгебраКомбинаторика

      При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Факториалы
Перестановки
Размещения
Сочетания

Факториалы

      Для произвольного натурального числа   n   формула

определяет факториал числа   n   ( n !   читается, как   n   – факториал).

      Например,

      Считается, что

0 ! = 1 ,     1 ! = 1.

Перестановки

      Рассмотрим следующую задачу.

      Задача.   6   карточек пронумерованы числами   1, 2, 3, 4, 5, 6.   Карточки наугад выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных шестизначных чисел?

      Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое, пятое, шестое. На первое место можно положить одну из 6 карточек. Для этого есть   6   способов. В каждом из этих 6 способов на второе место можно положить одну из оставшихся   5   карточек. Таким образом, существует

способов, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих   30   способов на третье место можно положить одну из оставшихся   4   карточек. Следовательно, существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих   120   способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся   3   карточек. Отсюда вытекает, что существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье и четвертое места. В каждом из этих   360   способов на пятое место можно положить одну из оставшихся   2   карточек. Следовательно, существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье, четвертое и пятое места. После этого у нас остается одна единственная карточка, которую мы и кладем на шестое место. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить   720   различных шестизначных чисел.

      Ответ: 720.

      Замечание 1. В задаче мы рассмотрели   6   пронумерованных карточек и установили, что количество способов выкладывания этих карточек в ряд равно   6!

      Если бы у нас было n пронумерованных карточек, то количество способов выкладывания их в ряд равнялось бы   n ! .

      Замечание 2. Каждое расположение   n   пронумерованных карточек в ряд является перестановкой из n элементов, к изучению которых мы сейчас и переходим.

      Определение 1. Пусть   n   – натуральное число. Рассмотрим произвольное множество, содержащее n элементов. Говорят, что на этом множестве задано упорядочение (отношение порядка), если его элементы пронумерованы числами   1, 2, 3, … , n.

      Множество с заданным упорядочением называют упорядоченным множеством.

      Определение 2. Рассмотрим множество, содержащее n элементов. Перестановкой из n элементов называют любое упорядочение этого множества.

      Число перестановок из   n   элементов обозначают символом   Pn.

      В соответствии с Замечанием 1, справедлива формула:

Pn = n !

      В частности,

P6 = 6! = 720 .

      Замечание 3. Введенные в данном разделе перестановки называют также перестановками без повторений.

   С понятиями размещений из   n   элементов по   m   элементов и сочетаний из   n   элементов по   m   элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: размещения и сочетания» нашего справочника.

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Таблица факториалов натуральных чисел n от 1 до 100

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Факториалы натуральных чисел

Факториал натурального числа n (обозначение – “n!“) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

n! = 1 * 2 * 3 * 4 … * n

Ниже представлены таблицы с факториалами чисел от 1 до 20 (точные значения) и от 21 до 100 (приближенные значения).

  • 1. Факториалы чисел от 1 до 20
  • 2. Факториалы чисел от 21 до 100

1. Факториалы чисел от 1 до 20

Факториал числа n
(n!)
Значение
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5040
8!40320
9!362880
10!3628800
11!39916800
12!479001600
13!6227020800
14!87178291200
15!1307674368000
16!20922789888000
17!355687428096000
18!6402373705728000
19!121645100408832000
20!2432902008176640000

microexcel. ru

2. Факториалы чисел от 21 до 100

Факториал – это быстрорастущая функция, и начиная с определенного n значения достаточно велики. Поэтому в математических вычислениях удобнее пользоваться приближенными значениями для больших чисел.

Факториал числа n
(n!)
Приближенное значение
21!5,10909 ⋅ 1019
22!1,124 ⋅ 1021
23!2,5852 ⋅ 1022
24!6,20448 ⋅ 1023
25!1,55112 ⋅ 1025
26!4,03291 ⋅ 1026
27!1,08889 ⋅ 1028
28!3,04888 ⋅ 1029
29!8,84176 ⋅ 1030
30!2,65253 ⋅ 1032
31!8,22284 ⋅ 1033
32!2,63131 ⋅ 1035
33!8,68332 ⋅ 1036
34!2,95233 ⋅ 1038
35!1,03331 ⋅ 1040
36!3,71993 ⋅ 1041
37!1,37638 ⋅ 1043
38!5,23023 ⋅ 1044
39!2,03979 ⋅ 1046
40!8,15915 ⋅ 1047
41!3,34525 ⋅ 1049
42!1,40501 ⋅ 1051
43!6,04153 ⋅ 1052
44!2,65827 ⋅ 1054
45!1,19622 ⋅ 1056
46!5,50262 ⋅ 1057
47!2,58623 ⋅ 1059
48!1,24139 ⋅ 1061
49!6,08282 ⋅ 1062
50!3,04141 ⋅ 1064
51!1,55112 ⋅ 1066
52!8,06582 ⋅ 1067
53!4,27488 ⋅ 1069
54!2,30844 ⋅ 1071
55!1,26964 ⋅ 1073
56!7,10999 ⋅ 1074
57!4,05269 ⋅ 1076
58!2,35056 ⋅ 1078
59!1,38683 ⋅ 1080
60!8,32099 ⋅ 1081
61!5,0758 ⋅ 1083
62!3,147 ⋅ 1085
63!1,98261 ⋅ 1087
64!1,26887 ⋅ 1089
65!8,24765 ⋅ 1090
66!5,44345 ⋅ 1092
67!3,64711 ⋅ 1094
68!2,48004 ⋅ 1096
69!1,71122 ⋅ 1098
70!1,1979 ⋅ 10100
71!8,5048 ⋅ 10101
72!6,1234 ⋅ 10103
73!4,4701 ⋅ 10105
74!3,3079 ⋅ 10107
75!2,4809 ⋅ 10109
76!1,8855 ⋅ 10111
77!1,4518 ⋅ 10113
78!1,1324 ⋅ 10115
79!8,9462 ⋅ 10116
80!7,1569 ⋅ 10118
81!5,7971 ⋅ 10120
82!4,7536 ⋅ 10122
83!3,9455 ⋅ 10124
84!3,3142 ⋅ 10126
85!2,8171 ⋅ 10128
86!2,4227 ⋅ 10130
87!2,1078 ⋅ 10132
88!1,8548 ⋅ 10134
89!1,6508 ⋅ 10136
90!1,4857 ⋅ 10138
91!1,352 ⋅ 10140
92!1,2438 ⋅ 10142
93!1,1568 ⋅ 10144
94!1,0874 ⋅ 10146
95!1,033 ⋅ 10148
96!9,9168 ⋅ 10149
97!9,6193 ⋅ 10151
98!9,4269 ⋅ 10153
99!9,3326 ⋅ 10155
100!9,3326 ⋅ 10157

microexcel. ru

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Презентация к уроку алгебры 9 класс Перестановки и факториал | Методическая разработка по алгебре (9 класс):

Тема: Перестановки

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального            

                      забега на 5-ти беговых дорожках?  

Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая      

                      цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно  Р3=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

            Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести                

                       девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И          

                  варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,        

                  считаются разными, поэтому:

                                               

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,        

                      6, 7, 8, 9  при условии, что в записи числа каждая цифра используется только                

                      один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из  

                  трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

                  расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

                  и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти        

                  элементов по три.

                  По формуле числа размещений находим:

                                   

                                

Ответ:  504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3  

                     человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все  

                   возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из  7

                   человек. Искомое число способов равно 

                           

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов  

                       распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение: А123 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

                                                                Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7.  На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из  

                       10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  

                        побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:  способов.

                                                                                   Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

                       зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

                  второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из    

                  оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

                  Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

                                              Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.                                                                                                                                                                Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

                      время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:   способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10. В 9  классе учатся 7 учащихся, в 10  — 9 учащихся, а в 11  — 8 учащихся. Для

                       работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

                       трех – из 10,  и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора  

                       учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

                  первой совокупности (С72)  может сочетаться с каждым вариантом выбора из    

                  второй (С93)  ) и с каждым вариантом выбора третьей (С81)  по правилу  

                  умножения получаем:

                           

                                                                                                 Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11.  Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и  Оля побежали на  

                         перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

                         способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

                         очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

                  оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

                  девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

                  правилу умножения у пяти  учащихся существует 5· 4⋅3⋅2⋅1=120 способов  

                  занять очередь.

Перестановки и факториалы. Способы вычисления факториала. Рекурсия

Вид урока: Бинарный (математика – информатика)

Место проведения: компьютерный класс .

Тема:

Алгебра: Перестановки и факториалы.

Информатика и ИКТ: Способы вычисления факториала. Рекурсия.

Оборудование: компьютерная сеть из 14 компьютеров, мультимедийный проектор, экран, маркерная доска.

Цели и задачи урока:

  1. Повторить понятие перестановки и правила вычисления числа перестановок.
  2. Повторить понятие факториала и рассмотреть рекурсивный способ его вычисления в среде программирования Турбо Паскаль.
  3. Сравнить итерационный и рекурсивный способы вычисления факториала.
  4. Рассмотреть типичные задачи и отработать способы их решения.
  5. Отработать применение подпрограммы при программировании решения комбинаторной задачи.
  6. Закрепить изученный материал, используя ИКТ.

Ход урока

I. Понятие факториала и перестановки.

Рассмотрим задачу, которая хорошо известна Вам как гуманитарному классу, хотя возможно Вы и не догадывались, что перед Вами именно задача (иллюстрируем презентацией).

“Проказница Мартышка, Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть.
А вы, друзья, как ни садитесь,
Всё в музыканты не годитесь».

И.А. Крылов”.

Итак, данной группе пришлось решать не такой уж простой вопрос: “Как расположить 4 объекта по 4 местам?”. Баснописец Крылов предложил только 2 способа рассадки участников квартета. А сколько их было на самом деле?

У нас 4 объекта:

1) Проказница мартышка;
2) Осёл;
3) Козёл;
4) Косолапый мишка.

И мест тоже 4: первое, второе, третье, четвертое.

Записываем решение на слайде.

Допустим, мартышка, как дама, выбирает место первой. Сколько у неё возможностей? Ведь она может занять любое из 4 мест, следовательно – 4.

Мишка по старшинству будет выбирать вторым, но уже только из 3 мест, так как одно занято, следовательно, у него 3 возможности.

Допустим, следующим будет козел, как имеющий неоспоримое преимущество в виде рогов. У него всего 2 возможности выбора, так как незанятых мест всего 2.

И последнему, ослу, остается только занять единственное свободное место, то есть его выбор – 1.

Напоминаю правило умножения для конечного числа испытаний: “Число всех возможных исходов независимого проведения n испытаний равно произведению количества исходов этих испытаний”.

Значит, число возможных вариантов рассадки членов квартета составит:

4•3•2•1=24.

И если бы баснописец Крылов описал все возможные способы, то мы получили бы не басню, а поэму. А как называется полученное нами произведение идущих подряд n натуральных чисел? Факториалом!

Определение.

Произведение идущих подряд n натуральных чисел обозначают n! и называют “эн факториал”.

n!=1•2•3• … • (n – 1)• n.

Фактически мы с Вами решали задачу о количестве перестановок некоторого n – элементного множества (в нашем случае 4-х элементного множества).

Теорема.

Число всех перестановок n – элементного множества равно n!.

n 1 2 3 4 5 6 7 8
n! 1 2 6 24 120 720 5040 40320

II.

Рассмотрим ещё несколько задач. (Тексты перед Вами)

№1. У мамы и папы – один сын. К ним в гости пришла другая семья – мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если:

а) место хозяина в доме неприкосновенно;
б) первыми садятся дети, и они садятся рядом;
в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом;
г) жены садятся рядом со своими мужьями?

Ответы:

№1 а) 120; б) 288; в) 432; г) 72.

Обратите внимание, какие числовые выражения, значения которых надо найти, получены в ответах. Что же может помочь нам в этом?

Используется презентация “Алгоритм вычисления факториала”

III. Самостоятельная работа.

Учащиеся работают на компьютерах, выполняя задания и заполняя индивидуальные бланки самостоятельной работы:

Самостоятельная работа

Домашнее задание.

№5. В зоопарке 5 львов надо распределить по одному по пяти клеткам, четырех тигров – по четырем другим клеткам и трех слонов – по трем вольерам.

а) Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке.
б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку.
в) То же, что и в пункте а), но если у львов есть две семейные пары.
г) то же, что и в пункте а), но если между клетками для тигров и клетками для львов нет разницы.

Ответ: а) 5!•4!•3!=17280; б) 17280; в)( 5•4•3)•4!•3!=8640; г) 2177280.

IV. Подводим итоги урока.

1. Чему равно количество перестановок в множестве из n элементов?

2. Сколько алгоритмов вычисления факториала нами изучено?

Какие это алгоритмы? В чём различия между ними?

Презентация

Факторизация факториала

  • Египетские дроби. Часть вторая
  • Египетские (аликвотные) дроби
  • По сегменту определить радиус окружности
  • Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами
  • Деление треугольника на равные площади параллельными
  • Определение основных параметров целого числа
  • Свойства обратных тригонометрических функций
  • Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями
  • Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ
  • Аутотрофные и миксотрофные организмы
  • Рассечение круга прямыми на равные площади
  • Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений.
  • Представить дробь, как сумму её множителей
  • Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений
  • Расчет основных параметров четырехполюсника
  • Цепочка остатков от деления в кольце целого числа
  • Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн
  • Уравнение пятой степени. Частное решение.
  • Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн
  • Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения
  • Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными
  • Онлайн разложение дробно рациональной функции
  • Корни характеристического уравнения
  • Имя пользователя при работе с Excel
  • Распределение частот появления букв русского алфавита в текстах
Положительное целое число, для расчета факториала
Полученный результат

Название темы, для несведущих людей, может быть немного запутанным, и даже похоже на тафтологическое выражение «масло масленое». k}]\)

где квадратные скобки означают что берётся целая часть от деления.

Самый простой пример, сколько раз входит число 3 в факториал 50?

\(S=[\cfrac{50}{3}]+[\cfrac{50}{9}]+[\cfrac{50}{27}]+[\cfrac{50}{81}]=16+5+1+0=22\)

то есть тройка встречается в числе 50! ровно 22 раза.

Теперь несложно, пробежавшись по всем простым числам  от 1 до 50, для каждого из них узнать количество вхождений.

Окончательный ответ, в виде факторизации факториала пятидести будет иметь вид.

Решим еще один пример, часто встречающийся.

На какое количество нулей оканчивается факториал числа 306?

Для решения такой задачи надо знать что 10 это произведение двух простых чисел 2 и 5.

Таким образом узнав количество вхождений пятерки в факториал ( количество вхождений двойки, естественно будет больше), мы  узнаем какое количество нулей будет в факториала 306.

Ответ:  на 75 нулей будет оканчиваться заданный факториал.

Удачных расчетов!

  • Формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени >>
Поиск по сайту
  • Русский и английский алфавит в одну строку
  • Часовая и минутная стрелка онлайн. Угол между ними.
  • Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн
  • Перемешать буквы в тексте онлайн
  • Массовая доля химического вещества онлайн
  • Декoдировать текст \u0xxx онлайн
  • Частотный анализ текста онлайн
  • Поворот точек на произвольный угол онлайн
  • Площадь многоугольника по координатам онлайн
  • Остаток числа в степени по модулю
  • Расчет процентов онлайн
  • Обратный и дополнительный код числа онлайн
  • Как перевести градусы в минуты и секунды
  • Поиск объекта по географическим координатам
  • Расчет пропорций и соотношений
  • Время восхода и захода Солнца и Луны для местности
  • DameWare Mini Control. Настройка.
  • Растворимость металлов в различных жидкостях
  • Калькулятор географических координат
  • Теория графов. Матрица смежности онлайн
  • Расчет значения функции Эйлера
  • Географические координаты любых городов мира
  • Перевод числа в код Грея и обратно
  • Онлайн определение эквивалентного сопротивления
  • Произвольный треугольник по заданным параметрам
  • НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF)
  • Площадь пересечения окружностей на плоскости
  • Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней
  • Непрерывные, цепные дроби онлайн
  • Построить ненаправленный граф по матрице
  • Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление
  • Месторождения золота и его спутники
  • Сообщество животных. Кто как называется?
  • Расчет понижающего конденсатора
  • Система комплексных линейных уравнений
  • Из показательной в алгебраическую. Подробно
  • Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн
  • Проекция точки на плоскость онлайн
  • Определение формулы касательной к окружности
  • Расчет параметров конденсатора онлайн
Онлайн расчеты
Подписаться письмом

Курсы 19-20 — Факториал

 

 

Физика, 7 класс

Название: Физика

Преподаватель: Ангелина Шестакова

Время: суббота, 17:00

Аудитория: 5-25

Описание.

Физика, 8 класс

Название: Юный физик. Исследуем школьную физику 8 класса

Преподаватель: Львов Кирилл

Время: пятница, 17:00

Аудитория: 5-25

Описание.

Курс охватывает основную тематику школьной физики 8 класса. Будет сделан упор на исследовательское обучение путем решения небольших практических заданий и их закрепления при решении задач. Основная цель курса — привить желание интересоваться неизвестным, ставить проблемы и решать их.

Этот курс будет полезен тем, кто хочет глубже прочувствовать физику и тем, кому надоели скучные уроки в тетрадках.

 

Название: Олимпиадная физика для 8 класса

Преподаватели: Ильин Максим, Сенотрусова Софья

Время: понедельник, 17:00

Аудитория: 5-18

Описание.

Данный курс включает в себя не только теоретическую подготовку и разбор стандартных школьных задач, но и работу с заданиями олимпиад муниципального уровня ВсОШ, им. Дж.Максвелла, «Ломоносов» и «Росатом».

В курсе внимание будет уделено следующим разделам:

Механика (равномерное и равноускоренное движение, относительность движения, кинематика в графиках, законы Ньютона, блоки, движение со связями, законы сохранения и др.)

Тепловые явления (внутренняя энергия, работа и теплопередача как способы изменения внутренней энергии тела, расчет количества теплоты при теплообмене и др.)

Электричество (закон Ома, закон Джоуля-Ленца, вычисление сопротивлений цепей постоянного тока, правила Кирхгофа, симметрия в цепях, диоды и ВАХ и др.).

Магнитные явления (магнитное поле проводника с током и др.).

Световые явления ( законы отражения, плоское зеркало, формулы линзы, построение изображений, созданных линзой и др.)

 

Математика, 8 класс

Название: Сферическая лошадка

Преподаватели: Степанян Мария, Коноплицкий Владислав

Время: среда, 17:00

Аудитория: 5-24

Описание.

Базовый курс математики для 8 класса. Будем заниматься по отдельности алгеброй и геометрией, повторять школьную программу, приобретать и закреплять новые знания.

 

Физика, 9 класс

Название: Физика-просто

Преподаватели: Трухова Анна, Кравченко Евгения

Время: вторник, 17:00

Аудитория: 5-26

Описание.

На курсе мы разберём с вами базовые понятия в физике, поймём, что физика на самом деле не страшная, и порешаем простейшие задачки.

 

Название: Гуки на деревьях

Преподаватели: Манухов Степан, Орешкин Антон

Время: четверг, 17:00

Аудитория: 5-52

Описание.

Цель курса – научиться решать задачи по физике для того, чтобы в будущем выступать на олимпиадах, таких как Ломоносов и Физтех. На занятиях мы будем с вами разбирать теорию, решать задачки и время от времени писать проверочные работы. Все, что от вас требуется в начале курса – базовые знания по математике, поэтому не стоит пугаться слова «олимпиады».

 

Математика, 9 класс

Название: Элементарная математика

Преподаватели: Чупова Дарья, Горбов Игорь

Время: понедельник, 19:00

Аудитория: 5-18

Описание.

Курс охватывает все основные разделы математики, нужные для написания ОГЭ, и даёт наглядное представление о математике как о прикладной науке; рассчитан на среднего ученика, стремящегося расширить границы своего познания.

 

Название: Олимпиадная математика

Преподаватели: Ситникова Анастасия, Доронин Павел

Время: суббота, 17:00

Аудитория: 5-52

Описание.

Курс направлен на расширение математического мышления, углубление базовых знаний. Большое внимание уделяется задачам повышенной сложности. Также разбираются задачи с параметрами.

 

Физика, 10 класс

Название: Чаепитие с дядюшкой Фейнманом

Преподаватели: Обухов Илья, Хламин Василий

Время: вторник, 19:00

Аудитория: 5-23

Описание.

Курс делает акцент на освещении основных фундаментальных законов и физическом смысле производных явлений. Мы попытаемся дать единую картину многообразия физических явлений, опирающуюся на небольшое число исходных посылок.

 

Название: Физика углубительная и увлекательная

Преподаватель: Мерзук Барбара

Время: четверг, 17:30

Аудитория: 5-40

Описание.

Углубленное изучение физики для 10 класса, получение знаний сверх школьной программы и подготовка к олимпиадам.

 

Название: Массивная пружина

Преподаватель: Куратцев Владимир

Время: пятница, 17:00

Аудитория: 5-23

Описание.

Углублённый курс физики для 10 класса. На занятиях предполагается разбор теории и решение разноуровневых задач.

 

Математика, 10 класс

Название: Алгебра и основы анализа

Преподаватели: Обухов Илья, Хламин Василий

Время: вторник, 17:00

Аудитория: 5-23

Описание.

Разберём математику со всех сторон: поработаем с алгеброй, геометрией, математическим анализом и теорией вероятностей.

 

Название: NotaBene

Преподаватели: Рогачев Григорий, Ситникова Анастасия

Время: суббота, 15:00

Аудитория: 5-52

Описание.

Продвинутый курс по алгебре для школьников 10 класса.

 

11 класс

Название: Физика

Преподаватели: Подыман Анатолий, Мельник Александр

Время: понедельник, 17:00

Аудитория: библиотека

Описание.

Подготовка к олимпиадам. Будем изучать теорию и разбирать задачи с таких олимпиад, как

«Физтех», «Ломоносов» и ВсОШ.

 

Название: Математика

Преподаватели: Ситникова Наталья, Щербаков Алексей

Время: понедельник, 19:00

Аудитория: библиотека

Описание.

На курсе разбираются задачи углубленного уровня по всем темам школьного курса алгебры. Курс не направлен напрямую на подготовки к ЕГЭ или ДВИ, но предполагает решение задач такого уровня сложности.

 

Общие курсы для 9-11 классов

Название: Математика по жизни

Преподаватели: Лаптев Антон, Смирнов Александр

Время: среда, 19:00

Аудитория: 5-39

Описание.

Курс рассчитан на углубленное изучение математики для 9-11 классов. Особое место в курсе будет играть роль математики в естественных науках, таких как физика, химия и биология.

 

Название: Физика глазами математика

Преподаватели: Пархоменко Егор, Шуров Арсений

Время: среда, 17:00

Аудитория: 5-26

Описание.

Цель курса — показать, что решение многих экзаменационных задач по физике, в частности ЕГЭ, напрямую сводится к обычной математической задаче и не требует нестандартного подхода, а лишь понимания сути задачи, знания соответствующих физических законов и формул. В заключительной части курса планируется ряд занятий по разбору нестандартных и олимпиадных задач, а также лекций по некоторым интересным темам из университетского курса физики, которые могут быть понятны школьникам с соответствующей подготовкой.

Факториалы умножения и деления — Алгебра II

Факториалы умножения и деления — Алгебра II

—>

  • Войти
  • Биографии репетитора
  • Подготовка к тесту
    СРЕДНЯЯ ШКОЛА
    • ACT Репетиторство
    • SAT Репетиторство
    • Репетиторство PSAT
    • ASPIRE Репетиторство
    • ШСАТ Репетиторство
    • Репетиторство STAAR
    ВЫСШАЯ ШКОЛА
    • Репетиторство MCAT
    • Репетиторство GRE
    • Репетиторство по LSAT
    • Репетиторство по GMAT
    К-8
    • Репетиторство AIMS
    • Репетиторство по HSPT
    • Репетиторство ISEE
    • Репетиторство ISAT
    • Репетиторство по SSAT
    • Репетиторство STAAR
    Поиск 50+ тестов
  • Академическое обучение
    репетиторство по математике
    • Алгебра
    • Исчисление
    • Элементарная математика
    • Геометрия
    • Предварительный расчет
    • Статистика
    • Тригонометрия
    Репетиторство по естественным наукам
    • Анатомия
    • Биология
    • Химия
    • Физика
    • Физиология
    иностранные языки
    • французский
    • немецкий
    • Латинский
    • Китайский мандарин
    • Испанский
    начальное обучение
    • Чтение
    • Акустика
    • Элементарная математика
    прочие
    • Бухгалтерский учет
    • Информатика
    • Экономика
    • Английский
    • Финансы
    • История
    • Письмо
    • Лето
    Поиск по 350+ темам
  • О
    • Обзор видео
    • Процесс выбора наставника
    • Онлайн-репетиторство
    • Мобильное обучение
    • Мгновенное обучение
    • Как мы работаем
    • Наша гарантия
    • Влияние репетиторства
    • обзоров и отзывов
    • Освещение в СМИ
    • О преподавателях университета

Мы открыты в субботу и воскресенье!

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все ресурсы по алгебре II

10 диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 Следующая →

Алгебра II Справка » Математические отношения и основные графики » Факториалы » Факториалы умножения и деления

У Стьюи есть шарики в мешке. Сколько шариков у Стьюи?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Упрощая это уравнение, мы замечаем, что числа 3, 2 и 1 сокращаются, поэтому

Альтернативное решение

Сообщить об ошибке

Что из следующего НЕ совпадает с ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Отменяется все, кроме частей старше 4, остается 6 и 5 для умножения

Сообщить об ошибке

Упростите следующее выражение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Напомним, .

Аналогично, .

Таким образом, выражение может быть упрощено в двух частях:

и

Продукт этих двух выражений является окончательным ответом:

Отчет о ошибке

Возможные ответы:

:

. Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы упростить это, просто напишите каждый фактор:

Отчет о ошибке

Найдите значение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

  • Правильный Ответ:

  • . Объяснение:

    Знак факториала (!) просто говорит нам умножать это число на каждое целое число, которое ведет к нему. Таким образом,  также можно записать как: 

    Чтобы облегчить себе задачу, мы можем отменить числа, которые появляются как сверху, так и снизу:

    Сообщить об ошибке

    Что из следующего эквивалентно ?

    Возможные ответы:

    Ни один из других ответов не является правильным.

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Это факторный вопрос. Формула факториала такова.

     

    Сообщить об ошибке. Объяснение:

    Факториал — это число, являющееся произведением самого себя и всех предшествующих ему целых чисел. Например

    В нашем случае нас просят разделить на . Для этого мы установим следующее:

    Мы знаем, что это можно переписать как произведение самого себя и всех целых чисел перед ним или:

    Подставляя эту эквивалентность и упрощая термин, мы получаем:

     

    Сообщить об ошибке

    Если  является положительным целым числом, какой из следующих вариантов ответа является возможным для выражения.

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Пояснение:

    Это выражение факториалов сводится к (n+1)(n+2). Следовательно, решение должно быть числом, которое умножается на 2 последовательных целых числа. Только 30 является произведением двух последовательных целых чисел.

    Значит, в этой задаче n должно быть равно 4.

    Сообщить об ошибке

    Упрощение:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Пояснение:

    Вспомните, что такое факториал, и сначала запишите, что означает исходное уравнение. Факториал — это число, которое вы умножаете на все целые числа, предшествующие ему, пока не получите единицу.

    Можно упростить, ведь всего слагаемых в выражении 17! находятся в 20!.

    Так:

    Отчет о ошибке

    Упрощайте:

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Перепишите факториалы в порядке умножения.

    В этом случае числа факториала в числителе и знаменателе НЕ МОГУТ сокращаться. Упростите, умножив факториалы.

    Сообщить об ошибке

    ← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 8 Next →

    Уведомление об авторских правах

    Просмотр алгебра 2 репетиторы

    Khunsha
    Сертифицированный репетитор

    View Algebra 2 Tutors

    Marian
    Сертифицированный Tutor Tutor 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2

    Рэйчел
    Сертифицированный преподаватель

    Университет штата Орегон, бакалавр наук, укрепление здоровья и образование. Университет Колорадо в Денвере, магистратура, социальные …

    Все ресурсы по алгебре II

    10 диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

    Объяснение

    факториалов | Purplemath

    Purplemath

    Что такое факториалы?

    Факториалы очень простые вещи; это просто продукты, и они отмечены восклицательным знаком. Например, «четыре факториала» записывается как 4! и означает произведение целых чисел от 1 до 4.

    1×2×3×4 = 24

    Содержание продолжается ниже

    MathHelp.com

    В общем, n ! (произносится как «enn factorial») означает произведение всех целых чисел от 1 до n ; то есть n ! = 1×2×3×…× n .

    (Потому что… причины, 0! определяется как равный 1, а не 0. Да, 1! также равен 1. Потому что причины. Просто запомните это сейчас: 0! = 1! = 1. )

    Какой пример нахождения значения факториала?

    • Оценка 6!.

    Факториал — это просто продукт. В данном случае они хотят, чтобы я взял факториал 6. Это означает, что мне нужно умножить все целые числа от 1 до 6 включительно. Моя работа довольно проста:

    1×2×3×4×5×6 = 720

    Это значение — все, что им нужно, поэтому мой ответ:

    6! = 720

    Это все, что нужно знать о факториалах в отношении обозначения, жаргона и концепции. Но факториалы становятся очень большими, очень быстрыми, и вы почти наверняка увидите факториальные выражения с переменными в них или, по крайней мере, с очень большими числами. Но в таких ситуациях есть полезные приемы, которые значительно упрощают вашу работу.


    Может ли мой калькулятор вычислять факториалы за меня?

    Многие (большинство?) калькуляторов могут вычислять факториалы за вас (пока вы берете факториалы меньших чисел). Например, команда факториала доступна в меню «вероятность» одного из моих калькуляторов:

    Чтобы использовать ее, я сначала ввожу число, чей факториал берется. Затем я открываю меню вероятности, выбираю [ ! ], а затем нажмите [enter]. Калькулятор возвращает значение факториала.

    В калькуляторе найдите [ ! ] (возможно, в качестве второй функции) или [ x! ] или обратитесь к руководству пользователя.

    • Упрости 12!

    Этот факториал является произведением всех целых чисел от 1 до 12.

    12! = 1×2×3×4×…

    О, черт с ним. Где мой калькулятор…?

    Это было *намного* проще! Мой ответ:

    12! = 47

    00

    Насколько большой факториал может обработать калькулятор?

    Поскольку факториалы растут так быстро, почти во всех калькуляторах (и особенно в карманных) быстро заканчивается память или методы для хранения всех цифр факториала. Мой TI-84 Plus отключается после 13!, переводя обычное целое число в экспоненциальное представление. Даже онлайн-калькуляторы, использующие Javascript или какой-либо другой язык, обычно преобразуются в экспоненциальное представление к 16!, если не раньше. (Однако есть один, который будет принимать целые числа до 9999 в свою онлайн-форму.) Так что не планируйте использовать свой портативный компьютер для поиска значений выражений с большими факториалами.


    Когда вы начнете делать комбинации, перестановки и вероятности, вы будете упрощать выражения, в которых есть факториалы в числителях и знаменателях. Например:

    • Упростите следующее:

    Я могу сделать это в своем калькуляторе:

    Я также могу работать с определением факториала:

    В любом случае мой ответ один и тот же:

    6! ÷ 4! = 30


    Обратите внимание, как я смог сократить кучу чисел в предыдущей задаче. Это связано с тем, как определены факториалы, а именно как произведения всех целых чисел от 1 до любого числа, из которого вы берете факториал, и это свойство может значительно упростить вашу работу, позволяя вам отменить все от 1 до какое бы ни было наибольшее целое число, разделяемое двумя факториалами.

    Приведите пример использования сокращения для упрощения дробей с факториалами?

    • Упростите следующее:

    Сразу же могу сократить множители с 1 по 14, которые будут общими для обоих 17! и 14!. Затем я могу упростить то немногое, что осталось, что гораздо удобнее:

    Обратите внимание, как я сократил написанное, оставив пробел посередине; а именно та часть в середине, которую я заполнил «многоточием» или тройной точкой. Этот процесс промежутка и отмены станет удобным позже (например, в исчислении, где вы будете часто использовать эту технику), особенно когда вы имеете дело с выражениями, которые ваш калькулятор не может обработать. Например:

    Какой пример упрощения факториала с переменными?

    • Упростите следующее:

    Из-за переменных мой калькулятор не может вычислить это за меня. Мне придется упростить это вручную. Для этого я выпишу факториалы, используя достаточное количество факторов, чтобы получить материал, который может сокращаться.

    Возвращаясь к задачам со словами «число», последовательные целые числа отстоят друг от друга на одну единицу, поэтому множители в произведении ( n  + 2)! имеют вид:

    1×2×3×4×…× ( n  – 1) × ( n ) × ( n  + 1) × ( n  + 2)

    По ходу вернуться вниз по списку факторов до « n – 1″, я создал список факторов, которые могут аннулироваться:


    Обратите внимание на то, как я справился с этим аннулированием. Я расширил факториальные выражения достаточно, чтобы увидеть, где я могу исключить повторяющиеся множители. Хотя я понятия не имел, что такое n может быть, я все еще могу отменить. Сохраните эту технику в памяти, потому что даже если она вам не нужна сейчас, она почти наверняка понадобится позже.


    Информацию о том, как найти количество нулей в конце факториала (например, «Сколько нулей в конце числа 23! после умножения?»), см. в этой статье.


    URL: https://www. purplemath.com/modules/factorial.htm

    Brilliant Math & Science Wiki

    Содержание
    • Определение и свойства
    • Некоторые наблюдения
    • Факторный рост
    • Расширение n!n!n!
    • Расширение
    • Решение проблем с факториалами — основы
    • Факториалы Решение задач — средний уровень
    • Смотрите также

    Давайте сначала познакомимся с определением факториала, а затем обсудим некоторые свойства, связанные с факториалом.

    Для всех положительных целых чисел n!n!n! (читается как nnn факториал ) определяется как

    n!=n(n−1)(n−2)⋯(2)(1). н! = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1). n!=n(n−1)(n−2)⋯(2)(1).

    Проще говоря, n!n!n! является произведением всех положительных целых чисел, меньших или равных nnn.

    Вот несколько примеров, основанных на приведенном выше определении:

    Оцените 5!5!5!.


    У нас есть

    5!=5×4×3×2×1=120. □\begin{выровнено} 5!&=5×4×3×2×1\\\\ &=120.\ _\квадрат \end{выровнено}5!​=5×4×3×2×1=120. □​​

    Вычислите 10!6!.\dfrac{10!}{6!}.6!10!​.


    Мы можем написать 10!10!10! как10×9×8×7×6!10\умножить на 9\раз 8\раз 7\раз 6!10×9×8×7×6!. Подставив это значение в вопрос, получим

    10×9×8×7×6!6!=10×9×8×7=5040. □\begin{align} \dfrac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{6!} & =&10\times 9\times 8\times 7 \\ &=& 5040.\ _\ квадрат \end{align}6!10×9×8×7×6!​​==​10×9×8×75040. □​​

    Вычислите 4!×3!4!×3!4!×3!.


    У нас есть

    4!×3!=(4×3×2×1)×(3×2×1)=24×6=144. □\begin{выровнено} 4!×3! &=(4×3×2×1)\раз (3×2×1)\\ &=24×6\\ &=144.\ _\квадрат \end{align}4!×3!​=(4×3×2×1)×(3×2×1)=24×6=144. □​​

    Если x!=1, x!= 1,x!=1, сколько различных значений может иметь xxx?


    У нас есть

    0!=1,1!=1.0!=1,\quad 1!=1.0!=1,1!=1.

    Итак, 222 значения xxx удовлетворяют данному уравнению. □_\квадрат□​

    Оцените 3!5!\dfrac{3!}{5!} 5!3!​.


    Выражение равно

    3×2×15×4×3×2×1=15×4=120. □ \begin{выровнено} \dfrac{3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = & \dfrac{1}{5 \times 4}\\\\ = & \dfrac{1}{20}.\ _\квадрат \end{выровнено} 5×4×3×2×13×2×1​==​5×41​201​. □​​

    Теперь вы можете легко решить следующие задачи:

    Если n!=3!×5!×7!,n! = 3! \ раз 5! \times 7!,n!=3!×5!×7!, что такое n?n?n?

    18!+19!=x10!\dfrac{1}{{8!}} + \dfrac{1}{{9!}} = \dfrac{x}{{10!}}8!1​+ 9!1​=10!x​

    Найдите значение xxx, удовлетворяющее приведенному выше уравнению.


    Обозначение: !!! обозначает факториальную запись. Например, 8!=1×2×3×⋯×88! = 1\times2\times3\times\cdots\times8 8!=1×2×3×⋯×8.

    Рассмотрим частный случай 0!0!0!. Было много споров по поводу случая 0!0!0!, но в конце концов было принято, что 0!=1.0!=1.0!=1. Прежде чем доказывать это, давайте разберемся с основной теоремой.

    Для любого натурального числа nnn выполняется n!n=(n−1)!.\frac{n!}{n}=(n-1)!.nn!​=(n−1)!.

    Мы можем записать n!n\frac{n!}{n}nn!​ как

    n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n=(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1=(n−1)!. □\begin{выровнено} \dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1}{n} &=&(n-1)\times(n-2)\times\ cdots\times3\times2\times1 \\ &=& (n-1)!.\ _\квадрат \end{выровнено} nn×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1​​==​(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1 (n−1)!. □​​

    Теперь докажем, что 0!=1.0! = 1,0!=1.

    Мы можем выразить (n−1)!=n!n(n-1)!=\frac{n!}{n}(n−1)!=nn!​. Тогда мы можем поставить значение n=1n=1n=1, чтобы получить

    (1−1)!=1!10!=1!=1. □\begin{align} (1-1)!&=&\dfrac{1!}{1} \\\\0!&=&1!\\&=&1.\ _\square \end{align} ( 1−1)!0!​===​11!​1!1. □​​

    Оцените 8!8.\frac{8!}{8}.88!​.


    У нас есть

    8!8=7!=7×6×5×4×3×2×1=5040. □\begin{выровнено} \dfrac {8!}{8} &=7!\\ &=7×6×5×4×3×2×1\\ &=5040.\ _\квадрат \end{align}88!​=7!=7×6×5×4×3×2×1=5040. □​​

    Вычислить 8!×7!6!×5!.\frac{8!×7!}{6!×5!}.6!×5!8!×7!​.


    У нас есть

    8!×7!6!×5!=8×7×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×16×5×4×3×2× 1×5×4×3×2×1=2352. □\begin{выровнено} \dfrac {8!×7!}{6!×5!} &=\dfrac {8×7×6×5×4×3×2×1×7×\cancel{6×5×4×3×2×1}}{\cancel{6×5×4×3 ×2×1}×5×4×3×2×1}\\\\ &=2352.\ _\квадрат \end{выровнено}6!×5!8!×7!​=6×5×4×3×2×1​×5×4×3×2×18×7×6×5×4×3 ×2×1×7×6×5×4×3×2×1=2352. □​​

    Найдите наибольшую степень числа 125, которая делится на 100!100!100!.

    Обозначение : !!! обозначает факториальную запись. Например, 8!=1×2×3×⋯×88! = 1\times2\times3\times\cdots\times8 8!=1×2×3×⋯×8.

    Двойной факториал:

    Теперь поговорим о том, что такое двойной факториал. Этот тип факториала обозначается n!!n!!n!!. Это тип мультифакториала, который будет обсуждаться в этой вики. Что касается двойного факториала, то он заканчивается на 222 для четного числа и заканчивается на 111 для нечетного числа. Другими словами,

    • для четного числа и n>0,n>0,n>0, n!!=n×(n−2)×⋯×4×2;n!!=n×(n-2 )×\cdots×4×2;n!!=n×(n−2)×⋯×4×2;
    • для нечетных чисел и n>0,n>0,n>0, n!!=n×(n−2)×⋯×3×1;n!!=n×(n-2)× \cdots×3×1;n!!=n×(n−2)×⋯×3×1;
    • , если n=0,n=0,n=0, 0!!=1.0!!=1.0!!=1.

    Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

    n!n!!=(n−1)!! или n!=(n−1)!!×n!!.\begin{array}{c}&\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!! &\text{ или } &n!=(n-1)!!×n!!. \end{array}​n!!n!​=(n−1)!!​ или ​n!=(n−1)!!×n!!.

    Есть следующие 2 корпуса:

    • Случай 1: nnn равно нечетному . Тогда у нас есть n!n!!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n×(n−2)×(n−4)×⋯×5×3×1.\dfrac {n!}{n!!}=\dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1}{n\times(n-2)\times (n-4)\times \cdots \times 5\times3\times1}.n!!n!​=n×(n−2)×(n−4)×⋯×5×3×1n×(n− 1)×(n−2)×⋯×3×2×1​. Поскольку все нечетные числа n,n−2,n−4,…,5,3,1n, n-2, n-4, \ldots, 5, 3, 1n,n−2,n−4,…, 5,3,1 сокращаются, это уравнение эквивалентно n!n!!=(n−1)!!.\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.n!!n!​=(n−1)!!.

    • Случай 2: nnn равно даже . Тогда у нас есть n!n!!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n×(n−2)×(n−4)×⋯×4×2.\dfrac{n !}{n!!}=\dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1}{n\times(n-2)\times(n -4)\times \cdots \times 4\times2}.n!!n!​=n×(n−2)×(n−4)×⋯×4×2n×(n−1)×(n− 2)×⋯×3×2×1​. Так как все четные числа n,n−2,n−4,…,4,2n, n-2, n-4, \ldots, 4, 2n,n−2,n−4,…,4,2 получают сокращенное, это уравнение эквивалентно n!n!!=(n−1)!!. \dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.n!!n!​=(n−1)!!.

    Теперь, если объединить оба случая, мы обнаружим, что для любое неотрицательное целое число n,n,n,

    n!n!!=(n−1)!!. □\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.\ _\squaren!!n!​=(n−1)!!. □​

    Вычислите 9!9!!.\frac {9!}{9!!}.9!!9!​.


    Мы знаем, что n!n!!=(n−1)!!\frac {n!}{n!!}=(n-1)!!n!!n!​=(n−1)! !. Подставив значения, получим

    9!9!!=(9−1)!!=8!!=8×6×4×2=384. □\begin{выровнено} \dfrac{9!}{9!!} &=(9-1)!!\\ &=8!!\\ &=8×6×4×2\\ &=384.\ _\квадрат \конец{выровнено}9!!9!​=(9−1)!!=8!!=8×6×4×2=384. □​​

    Если 100×99×98×97×⋯×3×2×1100×99\frac{100\times 99\times 98\times 97\times\cdots\times 3\times 2\times 1}{100\times 99 }100×99100×99×98×97×⋯×3×2×1​ можно записать как x!,x!,x!, каково значение x?x?x?


    У нас есть

    100×99×98×97×⋯×3×2×1100×99=98×97×96×95×⋯×3×2×1=98!.\begin{выровнено} \dfrac{100 \times 99 \times 98 \times 97 \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1}{100 \times 99} &=98 х 97 х 96 \times 95 \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1\\ &=98!. \end{align}100×99100×99×98×97×⋯×3×2×1=98×97×96×95×⋯×3×2×1=98!.​

    Итак, значение xxx равно 98.98.98. □_\квадрат□​

    Предположим, что n!!n!!n!! определяется следующим образом:

    n!!={n×(n−2)×⋯×5×3×1, если n нечетно;n×(n−2)×⋯×6×4×2, если n четно; 1если n=0,−1. п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 &\text{if } n \text{ нечетно}; \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 &\text{если} n \text{четно}; \\ 1 &\text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} n!!=⎩⎪⎨⎪⎧​n×(n−2)×⋯×5×3×1n×(n− 2)×⋯×6×4×21​если n нечетно;если n четно;если n=0,−1.​

    Тогда что такое

    9!6!!÷9!!6!?\color{#D61F06}{\dfrac{9!}{6!!}} \div \color{#20A900}{\dfrac{ 9!!}{6!}}?6!!9!​÷6!9!!​?

    Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

    (2n+1)!(2n)!!=(2n+1)!!.\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!.(2n) !!(2n+1)!​=(2n+1)!!.

    Здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая, потому что не имеет значения, является ли nnn нечетным или четным.

    Мы можем расширить выражение до

    (2n+1)×(2n)×(2n−1)×⋯×3×2×1(2n)×(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2.\dfrac{( 2n+1)×(2n)×(2n-1)\times \cdots ×3×2×1}{(2n)×(2n-2)×(2n-4)\times \cdots \times 4×2 }.(2n)×(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2(2n+1)×(2n)×(2n−1)×⋯×3×2×1​.

    Мы находим, что 2n,2n−2,2n−4,…,4,22n, 2n-2, 2n-4,\ldots , 4, 22n,2n−2,2n−4,…,4,2 сокращаются (т.е. все четные числа отменяются), что приводит нас к такому результату:

    (2n+1)!(2n)!!=(2n+1)!!. □\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!.\ _\square(2n)!!(2n+1)!​=(2n+1)! !. □​

    9!8!!÷7!6!!= ?\Large{\color{#20A900}{\dfrac{9!}{8!!}}} \div {\color{#EC7300}{\ dfrac{7!}{6!!}}} = \, ? 8!!9!​÷6!!7!​=?

    Обозначение:

    n!!={n×(n−2)×⋯×5×3×1, если n нечетно;n×(n−2)×⋯×6×4×2, если n четно ;1если n=0,−1. п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 && \text{if } n \text{ нечетно;} \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 && \text{если } n \text{ четно;} \\ 1 && \text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} n!!=⎩⎪⎨⎪⎧​n×(n−2)×⋯×5×3×1n×(n− 2)×⋯×6×4×21​​если n нечетно;если n четно;если n=0,−1.​


    Попробуйте первую часть здесь!

    Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

    (2n-1)!(2n-2)!!=(2n-1)!!.\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!! .(2n−2)!!(2n−1)!​=(2n−1)!!.

    Опять же, здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая.

    Мы можем расширить выражение в LHS как

    (2n−1)×(2n−2)××(2n−3)×⋯×3×2×1(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2.\dfrac{(2n -1)\times(2n-2)\times×(2n-3)\times\cdots\times3\times2\times1}{(2n-2)\times(2n-4)\times\cdots\times 4\ раз2}.(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2(2n−1)×(2n−2)××(2n−3)×⋯×3×2×1​.

    Поскольку все четные числа 2n−2,2n−4,…,4,22n-2, 2n-4, \ldots, 4, 22n−2,2n−4,…,4,2 сокращаются, это уравнение эквивалентно

    (2n−1)!(2n−2)!!=(2n−1)!!. □\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!!.\ _\square(2n−2)!!(2n−1)!​=(2n −1)!!. □​

    Примечание: Не интерпретировать n!!n!!n!! быть (n!)!(n!)!(n!)!. Они совершенно разные.

    Вычислите 9!8!!\dfrac{9!}{8!!}8!!9!​.


    У нас есть

    9!8!!=(2×5−1)!(2×5−2)!!=(2×5−1)!!=9!!=9×7×5×3×1=945. □ \begin{выровнено} \дфрак { 9! } {8!!} = & \dfrac{ (2 \times 5 — 1 ) ! } { (2 \ раз 5 — 2 ) !! } \\ = & (2 \times 5 — 1 )!! \\ = & 9 !! \\ = & 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 \\ = &945.\ _\квадрат \end{выровнено} 8!!9!​=====​(2×5−2)!!(2×5−1)!​(2×5−1)!!9!!9×7 ×5×3×1945. □​​

    Вычислите (3!)!3!!\dfrac {(3!)!}{3!!}3!!(3!)!​.


    У нас есть

    (3!)!3!!=(3×2×1)!3×1=6!3=6×5×4×3×2×13=7203=240. □\begin{выровнено} \dfrac {(3!)!}{3!!} &=\dfrac {(3×2×1)!}{3×1}\\ &=\dfrac {6!}{3}\\ &=\dfrac {6×5×4×3×2×1}{3}\\ &=\dfrac {720}{3}\\ &=240.\ _\квадрат \end{выровнено}3!!(3!)!​=3×1(3×2×1)!​=36!​=36×5×4×3×2×1​=3720​=240 . □​​ 9{n}n!} π​4nn!(2n)!​.

    Идея факториалов не ограничивается только двойными факториалами, существуют и мультифакториалы!

    Для какого целого числа nnn есть n!n!n! равно количеству секунд в 6 неделях?

    Попробуйте решить это без использования калькулятора.

    Сколько из следующих 99 целых чисел являются простыми?

    100!+2,100!+3,100!+4,…,100!+100\begin{array}{c}&100!+2, &100!+3, &100!+4, &\ldots, &100!+100 \end{массив}​100!+2,​100!+3,​100!+4,​…,​100!+100​

    Вычислить

    (10!+9!)(8!+7!)(6!+5!)(4!+3!)(2!+1!)(10!−9!)(8! −7!)(6!−5!)(4!−3!)(2!−1!).\frac{(10!+9!)(8!+7!)(6!+5!) (4!+3!)(2!+1!)}{(10!-9!)(8!-7!)(6!-5!)(4!-3!)(2!-1! )} . (10!−9!)(8!−7!)(6!−5!)(4!−3!)(2!−1!)(10!+9!)(8!+7!)( 6!+5!)(4!+3!)(2!+1!)​.

    Подсказка : Вам не нужно умножать все факториалы!

    1+2×2!+3×3!+⋯+9×9!= ? 1 + 2\умножить на 2! + 3\умножить на 3! + \cdots + 9\times9! знак равно 1+2×2!+3×3!+⋯+9×9!=?

    Учитывая, что nnn — целое положительное число, сколько значений nnn удовлетворяют приведенному ниже уравнению? 9{.}}} } } } =\ 1 x!x!x!…= 1

    Учитывая, что x (>0)x\, (>0)x(>0) удовлетворяет описанной выше бесконечно вложенной функции, найти ХХХ.

    • Перестановки

    • Комбинации

    Цитировать как: Факториалы. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/factorials-properties/

    Факториалы, перестановки и комбинации — Уроки Византа

    Факториалы

    Факториал обозначается знаком (!) . Когда мы сталкиваемся с n! (известный как «n факториал») мы говорим, что факториал — это произведение всех целых чисел
    между 1 и n , где n всегда должно быть положительным.

    Например

    0! факториал частного случая.

    Это особенное, потому что нет положительных чисел меньше нуля, и мы определили
    факториал как произведение чисел от n до 1. Мы говорим, что 0! = 1, утверждая
    , что произведение ни одного числа равно 1. Рассуждения и математика, стоящие за этим
    , сложны и выходят за рамки этой страницы, так что давайте просто примем 0! как равный
    к 1.

    Это оказывается математически верным и позволяет нам переопределить n! следующим образом:

    Например

    Вышеизложенное позволяет нам манипулировать факториалами и разбивать их, что полезно
    в комбинациях и перестановках.

    Полезные факториальные свойства


    Последние два свойства важно помнить. Знак факториала НЕ распределяет
    между сложением и вычитанием.

    Перестановки и комбинации

    И перестановки, и комбинации в математике относятся к различным способам упорядочивания заданного набора переменных. Перестановки не являются строгими, когда речь идет о порядке
    вещей пока Комбинации есть.

    Например; учитывая буквы abc

    Перестановки перечислены ниже

    Комбинации, с другой стороны, считаются разными, все вышеперечисленное считается
    одинаковым, поскольку они имеют точно такие же буквы, только расположенные по-разному. В других словах
    , в комбинации, вы не можете просто переставить одни и те же буквы, а затем заявить, что
    имеет совершенно другую комбинацию. Комбинации делаются по-разному: Дано
    abc , мы можем составить ряд комбинаций, взяв группы букв по номеру
    один раз, т. е.

    В группах по 1 получаем

    В группах по 2 получаем

    В группах по 3 получаем

    Из приведенного выше вы должны увидеть, что Комбинации предназначены для определения того, сколько способов
    вы можете комбинировать различные элементы данной сущности.

    Обозначение для комбинаций дано как

    что означает количество комбинаций из n предметов, состоящих из r предметов по
    за раз

    Например

    означает найти количество способов, которыми можно соединить 3 предмета, взяв по 2 за раз, и из
    предыдущего примера мы увидели, что это 3.

    Другой пример, иллюстрирующий это, следующий:

    Даны четыре буквы abcd найти

    решение:

    Помните, что порядок не имеет значения, когда речь идет о комбинациях, то есть bcd
    совпадает с dbc , который также совпадает с cdb.

    другими словами,

    Комбинации также обычно обозначаются как

    и вопрос в приведенном выше примере мог быть задан как

    Поэтому важно помнить, что

    Теперь, когда мы увидели, что такое комбинации, давайте перейдем к соотношению факториалов
    и комбинаций.

    Комбинационная функция может быть определена с использованием факториалов следующим образом:

    Мы можем доказать, что это верно, используя предыдущий пример;

    это тот же ответ, который мы получили раньше.

    Вернемся к перестановкам, которые мы определили выше, а также видели пример.
    Перестановки обозначаются следующим образом

    что означает количество перестановок n элементов, взятых r элементов за
    раз.

    Например; даны 3 буквы abc найти

    решение:

    Помните, что повторение разрешено в перестановках, в отличие от комбинаций;

    что означает, что есть 6 способов, другими словами

    Функция Permutation также может использовать факториалы:

    Мы можем доказать вышесказанное, используя предыдущий пример

    Это тот же ответ, что и раньше.

    Если вы внимательно посмотрите на формулы для комбинаций и перестановок, вы
    сможете увидеть, что они могут быть выражены друг через друга, т. е.

    из вышеизложенного можно вывести следующее соотношение:

    Сказанное можно доказать, подставив формулу перестановок в уравнение

    Что, как мы уже видели, является формулой для комбинаций.

    Примеры факториалов, перестановок и комбинаций

    Пример 1

    Оцените следующее, не используя калькулятор

    Шаг 1

    Мы видели, что относительно большое число (например, 10 в этом примере) может быть разбито на
    на произведение факториалов, т.е.

    Шаг 2

    Мы можем использовать приведенное выше, чтобы оценить выражение как

    Этап 3

    С 7! появляется как в числителе, так и в знаменателе, мы можем приступить к сокращению
    это из

    Этап 4

    Пример 2

    Оцените следующее

    Шаг 1

    Мы уже определили обозначение комбинации выше как:

    Шаг 2

    Поэтому мы можем просто подставить в приведенную выше формулу

    Этап 3

    Числитель и знаменатель равны, поэтому мы можем просто сократить их как

    Пример 3

    Оцените следующее выражение

    Шаг 1

    Обозначение выше не должно быть таким незнакомым, если вы прошли страницу
    всю эту страницу. Мы видели это

    Отсюда следует, что

    Шаг 2

    Итак, как и в предыдущем примере, мы можем просто подставить и решить

    Этап 3

    но верно и следующее

    и мы также можем быстро увидеть, что

    Этап 4

    И поэтому мы можем заменить вышеизложенное, чтобы упростить вычисления

    Сокращение равных членов в числителе и знаменателе приводит к

    = 5 х 4 = 20

    Пример 4

    Вычислить следующее

    Шаг 1

    Обозначение, использованное выше, является обозначением перестановки и означает следующее:

    Шаг 2

    Таким образом, мы можем заменить переменную, чтобы получить:

    Этап 3

    Этап 4

    3! отменяется, чтобы оставить следующее выражение

    Викторина по факториалам, перестановкам и комбинациям

    1. Сколькими способами можно выбрать комитет из 5 членов из группы
    из 20 человек?

    Вышеупомянутый вопрос спрашивает, сколькими способами вы можете выбрать 5 вещей из 20 вещей,
    , что, по сути, спрашивает, сколько комбинаций 5 вещей вы можете выбрать из пула
    из 20 вещей, т.е.

    15504

    2. Если вы подбросите монету 10 раз, возможны 1024 (или 2  10 ) исхода.
    Сколько из этих исходов имеют 6 решек?

    Когда вы подбрасываете монету один раз, возможны два исхода; голова или хвост. Если
    вы подбрасываете монету более одного раза, аут появляется в комбинациях
    орла и решки: например: если вы подбросите монету дважды, вы получите; 2 решки,
    или 2 решки, или решка и решка или решка и решка. Другими словами, мы ищем
    комбинаций! Поэтому возникает вопрос

    210

    3. Сколькими способами можно расположить буквы слова
    КОМБИНАЦИИ ?

    Этот вопрос действительно прост, хитрость заключается в том, чтобы игнорировать этот вводящий в заблуждение выбор из
    словосочетаний. Этот вопрос касается перестановок, поскольку нас попросили
    расположить буквы без учета порядка.

    Все, что нам нужно сделать, это подсчитать количество букв в слове «КОМБИНАЦИИ».

    47

    00

    3б. Сколькими способами можно расположить буквы слова
    КОМБИНАЦИИ с первыми 3 буквами как БАН ?

    Этот вопрос аналогичен предыдущему, нас по-прежнему просят перестановки
    (расстановка) букв слова «КОМБИНАЦИИ». Единственная разница здесь
    состоит в том, что нас спросили, что первые 3 буквы всех различных перестановок
    должен быть «БАН».

    Итак, как нам быть с этим?

    Решение состоит в том, чтобы вычесть количество букв, позиция которых постоянна, и
    , а затем переставить оставшиеся буквы:

    Следовательно, количество различных способов расположения букв в «КОМБИНАЦИЯХ»
    с «БАН» в качестве первой буквы:

    362880

    Факториалы — примеры и практические задачи

    Факториалы — это просто произведения, обозначенные восклицательным знаком. Факториалы показывают, что есть умножение всех чисел от 1 до этого числа. Алгебраические выражения с факториалами можно упростить, расширив факториалы и найдя общие множители.

    Здесь мы рассмотрим сводку факториалов. Также мы рассмотрим примеры факториалов и упрощение факториалов с ответами, чтобы понять рассуждения, используемые при решении этих типов упражнений.

    АЛГЕБРА

    Актуально для

    Решение факториальных и факториальных задач упрощения.

    См. примеры

    Содержание

    АЛГЕБРА

    Актуально для

    Решение факториальных задач и задач факториального упрощения.

    См. примеры

    Резюме факториалов

    Мы представляем факториалы с восклицательным знаком «!» ставится после числа или переменной. Восклицательный знак означает, что мы должны умножить все целые числа, которые находятся между числом и 1.

    Например:

    $latex 5!=1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$ также читайте это как «факториал 5».

    По разным причинам 0! определяется как равный 1, а не 0, поэтому рекомендуется запомнить это.

    Факторное упрощение

    Когда у нас есть факториалы и в числителе, и в знаменателе, мы можем легко упростить это, расширив факториалы и упростив соответствующие числа.

    Чтобы упростить факториальные выражения с переменными как в числителе, так и в знаменателе, мы хотим сформировать общие множители, чтобы мы могли сократить. Суть в том, чтобы сравнить факториалы и определить, какой из них имеет большее значение.

    Например, если у нас есть факториалы $latex (n + 3)!$ и $latex (n + 1)!$, мы легко знаем, что $latex (n + 3)!$ больше, поэтому мы расширяем его пока в последовательности не появится $latex (n + 1)!$, чтобы затем упростить:

    $latex (n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!$


    Факториалы – примеры с ответами

    Следующие примеры показывают упрощение факториалов. Каждое упражнение имеет свое решение, в котором подробно описаны рассуждения, использованные для решения проблемы. Попробуйте решить упражнения самостоятельно, прежде чем смотреть решение.

    ПРИМЕР 1

    Найдите результат факториала 8!.

    Решение

    Мы можем оценить это, полностью разложив факториал:

    $latex 8!=1 \times 2 \times 3  \times 4  \times 5  \times 6  \times 7 \times 8$

    $latex =40 320$

    Мы видим, что получили большое число. Факториалы быстро растут.

    ПРИМЕР 2

    Упростите факториальное выражение $latex  \frac{6!}{4!}$.

    Решение

    Чтобы упростить, мы должны разложить факториалы:

    $latex  \frac{6!}{4!}=\frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{ 1 \times 2\times 3\times 4}$

    Мы видим, что числа от 1 до 4 повторяются как в числителе, так и в номинале, поэтому их можно исключить:

    $latex \frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{1 \times 2\times 3\times 4}=  5\times 6$

    $latex =30$

    ПРИМЕР 3

    Упростите факториальное выражение $latex  \frac{5!}{2!3!}$.

    Решение

    Разлагая эти факториалы, мы имеем:

    $latex  \frac{5!}{2!3!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\ раз 1)(3\раз 2\раз 1)}$

    Мы можем упростить числа от 1 до 3. Мы также можем упростить 4 с помощью 2:

    $latex \frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(3\times 2\times 1)}=10$

    Начните прямо сейчас: изучите нашу дополнительную математику ресурсы

    ПРИМЕР 4

    Упростите выражение: $latex  \frac{17!}{14!3!}$.

    Решение

    Начнем с расширения факториалов:

    $latex  \frac{17!}{14!3!}=\frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 … 14)(1\times 2 \times 3)}$

    Теперь мы можем упростить числа от 1 до 14, которые являются общими для обоих 14! как для 17 !:

    $latex \frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 … 14)( 1\times 2 \times 3)}=\frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}$

    Теперь мы можем упростить до 2 и 3 с 16 и 15:

    $ латекс \frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}=5\times 8 \times 17=680$

    В этом упражнении мы используем три точки посередине. Это полезно, чтобы немного упростить факториальное выражение.

    ПРИМЕР 5

    Упростите выражение $latex  \frac{n!}{(n-2)!}$.

    Решение

    Факторное выражение в числителе больше, чем факториальное выражение в знаменателе, поэтому мы расширяем n ! частично, пока не появится выражение $latex (n-2)!$:

    $latex  \frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!} {(n-2)!}$

    Теперь мы можем сократить общие делители:

    $latex \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=n (n-1)$ 92}-n$

    ПРИМЕР 6

    Упростите выражение $latex  \frac{(k+1)!}{(k+3)!}$.

    Решение

    В этом случае знаменатель явно больше числителя, так как 3 добавляется к n , а не к числителю, к которому добавляется только 1.

    Мы сохраняем числитель без изменений, расширяя знаменатель пока не появится выражение $latex (k + 1)!$:

    $latex  \frac{(k+1)!}{(k+3)!}= \frac{(k+1)!}{(k +3)(к+2)(к+1)!}$ 92}+5k+6}$

    ПРИМЕР 7

    Упростите выражение $latex \frac{(n+2)!}{(n-1)!}$.

    Решение

    Здесь числитель больше, так как мы прибавляем 2, а в знаменателе вычитаем 1. Поэтому частично расширяем числитель, пока не появится выражение $latex (n-1)!$:

    $latex \frac{(n+2)!}{(n-1)!}= \frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!} $

    Упрощаем $latex (n-1)!$ как в числителе, так и в знаменателе: 92}+2n$


    Факториалы – практические задачи

    Используйте следующие задачи, чтобы проверить свои знания факториалов и факториального упрощения. Решите задачи, выберите ответ и проверьте его, чтобы убедиться, что вы выбрали правильный.

    Найдите результат 6!.

    Выберите ответ


    120


    540


    720


    840


    Найдите результат $latex \frac{6!}{3!}$.

    Выберите ответ


    80


    120


    240


    360


    Упростите выражение $latex \frac{5!}{2!3!}$.

    Выберите ответ


    10


    12


    15


    20


    Упростите выражение $latex \frac{x!}{(x-1)!}$.

    Выберите ответ


    $латекс (x+1)$


    $латекс x$


    $латекс (x-1)$


    $latex (x-2)$



    См. также

    Хотите узнать больше о факториалах, перестановках и комбинациях? Взгляните на эти страницы:

    • Примеры комбинаций
    • Примеры перестановок

    Изучайте математику с помощью наших дополнительных ресурсов по различным темам

    УЗНАТЬ БОЛЬШЕ

    Факториал: определение, формула и уравнение, функция

    Факториалы — это функции в математике со знаком (!), они умножают число на каждое предшествующее ему число. Их можно выразить как n !, где n — последнее число факториала.

    Символ n представляет собой целое число, а восклицательный знак представляет выражение как факториал.

    Правило факториала гласит, что факториал любого числа равен этому числу, умноженному на факториал предыдущего числа. Это может быть выражено в виде формулы . Особый случай для этого — 0! = 1

    Факториалы можно найти в перестановках и комбинациях.

    Как вычислить факториал

    Вы можете выполнить следующие действия, чтобы найти факториал числа n.

    Чтобы расширить это, вам нужно будет заменить число n на 6, пока последнее вычитание не будет равно n-(n-1), в этом случае 1.

    Примеры факториалов Какие возможные комбинации можно составить из синего, красного и желтого цветов по порядку?

    Ответ: Нам нужно найти факториал 3, учитывая, что есть три цвета, и мы находим, сколько комбинаций может быть по порядку.

    н! = п (п-1)!

    3! = 3 (3-1) (3-2)

    3! = 6

    Существует шесть возможных комбинаций, которые можно составить из этих трех цветов по порядку:

    Синий, красный и желтый — 1

    Синий, желтый и красный — 2

    Желтый, синий и красный — 3

    Желтый, красный и синий — 4

    Красный, синий и желтый — 5

    Красный, желтый и синий — 6

    Сколько как можно расположить буквы в слове «прости» так, чтобы они не повторялись?

    Ответ: Чтобы решить подобную задачу, нужно подсчитать количество букв в слове «простить» и найти его факториал. Количество букв здесь равно 7.

    Максимальное количество способов перестановки букв в слове «прости» равно 5040 без повторов.

    Работа с факториалами

    Давайте рассмотрим несколько примеров сложения, вычитания, умножения и деления факториалов.

    Сложение факториалов

    Вычислите 3! +2!

    Ответ:

    Вычитание факториалов

    Оцените 5! — 3!

    Ответ:

    Умножение факториалов

    Оцените 3! 4!

    Ответ:

    В этом выражении 3! 4 ! означает, что два факториала умножаются друг на друга.

    (3!) (4!)

    Деление факториалов

    Вычислить

    Ответ:

    Здесь мы должны выполнить две операции. Мы будем умножать и делить по мере расширения.

    Однако обратите внимание, что 5! также можно найти в 6!. Мы могли бы продолжить наш первоначальный метод, но мы также можем удалить часть фигур как можно раньше. Давайте посмотрим ниже.

    5! с обеих сторон отменяются.

    Мы можем сначала умножить 3 и 2, поэтому в последующей операции это также аннулирует

    Алгебраические факториалы

    Иногда встречаются ситуации с переменными и факториалами. Итак, попробуем упростить выражения в форме .

    Допустим, n = 7. Это будет означать .

    7! может сократиться, чтобы дать нам 8.

    Давайте добавим еще одну возможную ситуацию и нарисуем из них закономерности. Допустим, теперь n = 10.

    Это также означает .

    10! Оба тоже отменятся, оставив нам 11.

    В этих примерах вы заметите, что при вычислении наш ответ всегда будет равен n + 1 или какому бы то ни было числителю.

    Таким образом, мы можем заключить как общее правило для факториалов

    Однако есть способ решить это алгебраически.

    n отменит n и (n-1)! сократит (n-1)!. Оставляя нас с n + 1.


    Оценить

    Ответ:

    Условия (n-2)! оба отменят друг друга, и (n-1) срок также отменится. Оставив нас с

    Мы можем проверить это, вставив числовое значение в переменную. Возьмем n = 8.

    7! Будут ли оба сокращаться, оставляя нам

    Факториалы — ключевые выводы

    • Факториалы — это функции в математике, обозначаемые символом n!. Они умножают число n на каждое предшествующее ему число.
    • Формула факториала может быть выражена как
    • Конкретный факториал равен 0! = 1
    • Факториалы используются для нахождения расположений, перестановок и комбинаций.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.

      © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

      Карта сайта