Алгебра факториал: Факториал — урок. Алгебра, 9 класс.

факториалов | Purplemath

Purplemath

Что такое факториалы?

Факториалы очень простые вещи; это просто продукты, и они отмечены восклицательным знаком. Например, «четыре факториала» записывается как 4! и означает произведение целых чисел от 1 до 4.

1×2×3×4 = 24

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

В общем, n ! (произносится как «enn factorial») означает произведение всех целых чисел от 1 до n ; то есть n ! = 1×2×3×…× n .

(Потому что… причины, 0! определяется как равный 1, а не 0. Да, 1! также равен 1. Потому что причины. Просто запомните это сейчас: 0! = 1! = 1. )

Какой пример нахождения значения факториала?

• Оценка 6!.

Факториал — это просто продукт. В данном случае они хотят, чтобы я взял факториал 6. Это означает, что мне нужно умножить все целые числа от 1 до 6 включительно. Моя работа довольно проста:

1×2×3×4×5×6 = 720

Это значение — все, что им нужно, поэтому мой ответ:

6! = 720

Это все, что нужно знать о факториалах в отношении обозначения, жаргона и концепции. Но факториалы становятся очень большими, очень быстрыми, и вы почти наверняка увидите факториальные выражения с переменными в них или, по крайней мере, с очень большими числами. Но в таких ситуациях есть полезные приемы, которые значительно упрощают вашу работу.

Может ли мой калькулятор вычислять факториалы за меня?

Многие (большинство?) калькуляторов могут вычислять факториалы за вас (пока вы берете факториалы меньших чисел). Например, команда факториала доступна в меню «вероятность» одного из моих калькуляторов:

Чтобы использовать ее, я сначала ввожу число, чей факториал берется. Затем я открываю меню вероятности, выбираю [ ! ], а затем нажмите [enter]. Калькулятор возвращает значение факториала.

В калькуляторе найдите [ ! ] (возможно, в качестве второй функции) или [ x! ] или обратитесь к руководству пользователя.

• Упрости 12!

Этот факториал является произведением всех целых чисел от 1 до 12.

12! = 1×2×3×4×…

О, черт с ним. Где мой калькулятор…?

Это было *намного* проще! Мой ответ:

12! = 47

00

Насколько большой факториал может обработать калькулятор?

Поскольку факториалы растут так быстро, почти во всех калькуляторах (и особенно в карманных) быстро заканчивается память или методы для хранения всех цифр факториала. Мой TI-84 Plus отключается после 13!, переводя обычное целое число в экспоненциальное представление. Даже онлайн-калькуляторы, использующие Javascript или какой-либо другой язык, обычно преобразуются в экспоненциальное представление к 16!, если не раньше. (Однако есть один, который будет принимать целые числа до 9999 в свою онлайн-форму.) Так что не планируйте использовать свой портативный компьютер для поиска значений выражений с большими факториалами.

Когда вы начнете делать комбинации, перестановки и вероятности, вы будете упрощать выражения, в которых есть факториалы в числителях и знаменателях. Например:

• Упростите следующее:

Я могу сделать это в своем калькуляторе:

Я также могу работать с определением факториала:

В любом случае мой ответ один и тот же:

6! ÷ 4! = 30

Обратите внимание, как я смог сократить кучу чисел в предыдущей задаче. Это связано с тем, как определены факториалы, а именно как произведения всех целых чисел от 1 до любого числа, из которого вы берете факториал, и это свойство может значительно упростить вашу работу, позволяя вам отменить все от 1 до какое бы ни было наибольшее целое число, разделяемое двумя факториалами.

Приведите пример использования сокращения для упрощения дробей с факториалами?

• Упростите следующее:

Сразу же могу сократить множители с 1 по 14, которые будут общими для обоих 17! и 14!. Затем я могу упростить то немногое, что осталось, что гораздо удобнее:

Обратите внимание, как я сократил написанное, оставив пробел посередине; а именно та часть в середине, которую я заполнил «многоточием» или тройной точкой. Этот процесс промежутка и отмены станет удобным позже (например, в исчислении, где вы будете часто использовать эту технику), особенно когда вы имеете дело с выражениями, которые ваш калькулятор не может обработать. Например:

Какой пример упрощения факториала с переменными?

• Упростите следующее:

Из-за переменных мой калькулятор не может вычислить это за меня. Мне придется упростить это вручную. Для этого я выпишу факториалы, используя достаточное количество факторов, чтобы получить материал, который может сокращаться.

Возвращаясь к задачам со словами «число», последовательные целые числа отстоят друг от друга на одну единицу, поэтому множители в произведении ( n  + 2)! имеют вид:

1×2×3×4×…× ( n  – 1) × ( n ) × ( n  + 1) × ( n  + 2)

По ходу вернуться вниз по списку факторов до « n – 1″, я создал список факторов, которые могут аннулироваться:

Обратите внимание на то, как я справился с этим аннулированием. Я расширил факториальные выражения достаточно, чтобы увидеть, где я могу исключить повторяющиеся множители. Хотя я понятия не имел, что такое n может быть, я все еще могу отменить. Сохраните эту технику в памяти, потому что даже если она вам не нужна сейчас, она почти наверняка понадобится позже.

Информацию о том, как найти количество нулей в конце факториала (например, «Сколько нулей в конце числа 23! после умножения?»), см. в этой статье.

URL: https://www. purplemath.com/modules/factorial.htm

Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Определение и свойства
• Некоторые наблюдения
• Факторный рост
• Расширение n!n!n!
• Расширение
• Решение проблем с факториалами — основы
• Факториалы Решение задач — средний уровень
• Смотрите также

Давайте сначала познакомимся с определением факториала, а затем обсудим некоторые свойства, связанные с факториалом.

Для всех положительных целых чисел n!n!n! (читается как nnn факториал ) определяется как

n!=n(n−1)(n−2)⋯(2)(1). н! = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1). n!=n(n−1)(n−2)⋯(2)(1).

Проще говоря, n!n!n! является произведением всех положительных целых чисел, меньших или равных nnn.

Вот несколько примеров, основанных на приведенном выше определении:

Оцените 5!5!5!.

---

У нас есть

5!=5×4×3×2×1=120. □\begin{выровнено} 5!&=5×4×3×2×1\\\\ &=120.\ _\квадрат \end{выровнено}5!​=5×4×3×2×1=120. □​​

Вычислите 10!6!.\dfrac{10!}{6!}.6!10!​.

---

Мы можем написать 10!10!10! как10×9×8×7×6!10\умножить на 9\раз 8\раз 7\раз 6!10×9×8×7×6!. Подставив это значение в вопрос, получим

10×9×8×7×6!6!=10×9×8×7=5040. □\begin{align} \dfrac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{6!} & =&10\times 9\times 8\times 7 \\ &=& 5040.\ _\ квадрат \end{align}6!10×9×8×7×6!​​==​10×9×8×75040. □​​

Вычислите 4!×3!4!×3!4!×3!.

---

У нас есть

4!×3!=(4×3×2×1)×(3×2×1)=24×6=144. □\begin{выровнено} 4!×3! &=(4×3×2×1)\раз (3×2×1)\\ &=24×6\\ &=144.\ _\квадрат \end{align}4!×3!​=(4×3×2×1)×(3×2×1)=24×6=144. □​​

Если x!=1, x!= 1,x!=1, сколько различных значений может иметь xxx?

---

У нас есть

0!=1,1!=1.0!=1,\quad 1!=1.0!=1,1!=1.

Итак, 222 значения xxx удовлетворяют данному уравнению. □_\квадрат□​

Оцените 3!5!\dfrac{3!}{5!} 5!3!​.

---

Выражение равно

3×2×15×4×3×2×1=15×4=120. □ \begin{выровнено} \dfrac{3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = & \dfrac{1}{5 \times 4}\\\\ = & \dfrac{1}{20}.\ _\квадрат \end{выровнено} 5×4×3×2×13×2×1​==​5×41​201​. □​​

Теперь вы можете легко решить следующие задачи:

Если n!=3!×5!×7!,n! = 3! \ раз 5! \times 7!,n!=3!×5!×7!, что такое n?n?n?

18!+19!=x10!\dfrac{1}{{8!}} + \dfrac{1}{{9!}} = \dfrac{x}{{10!}}8!1​+ 9!1​=10!x​

Найдите значение xxx, удовлетворяющее приведенному выше уравнению.

Обозначение: !!! обозначает факториальную запись. Например, 8!=1×2×3×⋯×88! = 1\times2\times3\times\cdots\times8 8!=1×2×3×⋯×8.

Рассмотрим частный случай 0!0!0!. Было много споров по поводу случая 0!0!0!, но в конце концов было принято, что 0!=1.0!=1.0!=1. Прежде чем доказывать это, давайте разберемся с основной теоремой.

Для любого натурального числа nnn выполняется n!n=(n−1)!.\frac{n!}{n}=(n-1)!.nn!​=(n−1)!.

Мы можем записать n!n\frac{n!}{n}nn!​ как

n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n=(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1=(n−1)!. □\begin{выровнено} \dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1}{n} &=&(n-1)\times(n-2)\times\ cdots\times3\times2\times1 \\ &=& (n-1)!.\ _\квадрат \end{выровнено} nn×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1​​==​(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1 (n−1)!. □​​

Теперь докажем, что 0!=1.0! = 1,0!=1.

Мы можем выразить (n−1)!=n!n(n-1)!=\frac{n!}{n}(n−1)!=nn!​. Тогда мы можем поставить значение n=1n=1n=1, чтобы получить

(1−1)!=1!10!=1!=1. □\begin{align} (1-1)!&=&\dfrac{1!}{1} \\\\0!&=&1!\\&=&1.\ _\square \end{align} ( 1−1)!0!​===​11!​1!1. □​​

Оцените 8!8.\frac{8!}{8}.88!​.

---

У нас есть

8!8=7!=7×6×5×4×3×2×1=5040. □\begin{выровнено} \dfrac {8!}{8} &=7!\\ &=7×6×5×4×3×2×1\\ &=5040.\ _\квадрат \end{align}88!​=7!=7×6×5×4×3×2×1=5040. □​​

Вычислить 8!×7!6!×5!.\frac{8!×7!}{6!×5!}.6!×5!8!×7!​.

---

У нас есть

8!×7!6!×5!=8×7×6×5×4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×16×5×4×3×2× 1×5×4×3×2×1=2352. □\begin{выровнено} \dfrac {8!×7!}{6!×5!} &=\dfrac {8×7×6×5×4×3×2×1×7×\cancel{6×5×4×3×2×1}}{\cancel{6×5×4×3 ×2×1}×5×4×3×2×1}\\\\ &=2352.\ _\квадрат \end{выровнено}6!×5!8!×7!​=6×5×4×3×2×1​×5×4×3×2×18×7×6×5×4×3 ×2×1×7×6×5×4×3×2×1=2352. □​​

Найдите наибольшую степень числа 125, которая делится на 100!100!100!.

Обозначение : !!! обозначает факториальную запись. Например, 8!=1×2×3×⋯×88! = 1\times2\times3\times\cdots\times8 8!=1×2×3×⋯×8.

Двойной факториал:

Теперь поговорим о том, что такое двойной факториал. Этот тип факториала обозначается n!!n!!n!!. Это тип мультифакториала, который будет обсуждаться в этой вики. Что касается двойного факториала, то он заканчивается на 222 для четного числа и заканчивается на 111 для нечетного числа. Другими словами,

• для четного числа и n>0,n>0,n>0, n!!=n×(n−2)×⋯×4×2;n!!=n×(n-2 )×\cdots×4×2;n!!=n×(n−2)×⋯×4×2;
• для нечетных чисел и n>0,n>0,n>0, n!!=n×(n−2)×⋯×3×1;n!!=n×(n-2)× \cdots×3×1;n!!=n×(n−2)×⋯×3×1;
• , если n=0,n=0,n=0, 0!!=1.0!!=1.0!!=1.

Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

n!n!!=(n−1)!! или n!=(n−1)!!×n!!.\begin{array}{c}&\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!! &\text{ или } &n!=(n-1)!!×n!!. \end{array}​n!!n!​=(n−1)!!​ или ​n!=(n−1)!!×n!!. ​

Есть следующие 2 корпуса:

• Случай 1: nnn равно нечетному . Тогда у нас есть n!n!!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n×(n−2)×(n−4)×⋯×5×3×1.\dfrac {n!}{n!!}=\dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1}{n\times(n-2)\times (n-4)\times \cdots \times 5\times3\times1}.n!!n!​=n×(n−2)×(n−4)×⋯×5×3×1n×(n− 1)×(n−2)×⋯×3×2×1​. Поскольку все нечетные числа n,n−2,n−4,…,5,3,1n, n-2, n-4, \ldots, 5, 3, 1n,n−2,n−4,…, 5,3,1 сокращаются, это уравнение эквивалентно n!n!!=(n−1)!!.\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.n!!n!​=(n−1)!!.

• Случай 2: nnn равно даже . Тогда у нас есть n!n!!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1n×(n−2)×(n−4)×⋯×4×2.\dfrac{n !}{n!!}=\dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1}{n\times(n-2)\times(n -4)\times \cdots \times 4\times2}.n!!n!​=n×(n−2)×(n−4)×⋯×4×2n×(n−1)×(n− 2)×⋯×3×2×1​. Так как все четные числа n,n−2,n−4,…,4,2n, n-2, n-4, \ldots, 4, 2n,n−2,n−4,…,4,2 получают сокращенное, это уравнение эквивалентно n!n!!=(n−1)!!. \dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.n!!n!​=(n−1)!!.

Теперь, если объединить оба случая, мы обнаружим, что для любое неотрицательное целое число n,n,n,

n!n!!=(n−1)!!. □\dfrac{n!}{n!!}=(n-1)!!.\ _\squaren!!n!​=(n−1)!!. □​

Вычислите 9!9!!.\frac {9!}{9!!}.9!!9!​.

---

Мы знаем, что n!n!!=(n−1)!!\frac {n!}{n!!}=(n-1)!!n!!n!​=(n−1)! !. Подставив значения, получим

9!9!!=(9−1)!!=8!!=8×6×4×2=384. □\begin{выровнено} \dfrac{9!}{9!!} &=(9-1)!!\\ &=8!!\\ &=8×6×4×2\\ &=384.\ _\квадрат \конец{выровнено}9!!9!​=(9−1)!!=8!!=8×6×4×2=384. □​​

Если 100×99×98×97×⋯×3×2×1100×99\frac{100\times 99\times 98\times 97\times\cdots\times 3\times 2\times 1}{100\times 99 }100×99100×99×98×97×⋯×3×2×1​ можно записать как x!,x!,x!, каково значение x?x?x?

---

У нас есть

100×99×98×97×⋯×3×2×1100×99=98×97×96×95×⋯×3×2×1=98!.\begin{выровнено} \dfrac{100 \times 99 \times 98 \times 97 \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1}{100 \times 99} &=98 х 97 х 96 \times 95 \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1\\ &=98!. \end{align}100×99100×99×98×97×⋯×3×2×1=98×97×96×95×⋯×3×2×1=98!.​

Итак, значение xxx равно 98.98.98. □_\квадрат□​

Предположим, что n!!n!!n!! определяется следующим образом:

n!!={n×(n−2)×⋯×5×3×1, если n нечетно;n×(n−2)×⋯×6×4×2, если n четно; 1если n=0,−1. п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 &\text{if } n \text{ нечетно}; \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 &\text{если} n \text{четно}; \\ 1 &\text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} n!!=⎩⎪⎨⎪⎧​n×(n−2)×⋯×5×3×1n×(n− 2)×⋯×6×4×21​если n нечетно;если n четно;если n=0,−1.​

Тогда что такое

9!6!!÷9!!6!?\color{#D61F06}{\dfrac{9!}{6!!}} \div \color{#20A900}{\dfrac{ 9!!}{6!}}?6!!9!​÷6!9!!​?

Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

(2n+1)!(2n)!!=(2n+1)!!.\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!.(2n) !!(2n+1)!​=(2n+1)!!.

Здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая, потому что не имеет значения, является ли nnn нечетным или четным.

Мы можем расширить выражение до

(2n+1)×(2n)×(2n−1)×⋯×3×2×1(2n)×(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2.\dfrac{( 2n+1)×(2n)×(2n-1)\times \cdots ×3×2×1}{(2n)×(2n-2)×(2n-4)\times \cdots \times 4×2 }.(2n)×(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2(2n+1)×(2n)×(2n−1)×⋯×3×2×1​.

Мы находим, что 2n,2n−2,2n−4,…,4,22n, 2n-2, 2n-4,\ldots , 4, 22n,2n−2,2n−4,…,4,2 сокращаются (т.е. все четные числа отменяются), что приводит нас к такому результату:

(2n+1)!(2n)!!=(2n+1)!!. □\dfrac{(2n+1)!}{(2n)!!}=(2n+1)!!.\ _\square(2n)!!(2n+1)!​=(2n+1)! !. □​

9!8!!÷7!6!!= ?\Large{\color{#20A900}{\dfrac{9!}{8!!}}} \div {\color{#EC7300}{\ dfrac{7!}{6!!}}} = \, ? 8!!9!​÷6!!7!​=?

Обозначение:

n!!={n×(n−2)×⋯×5×3×1, если n нечетно;n×(n−2)×⋯×6×4×2, если n четно ;1если n=0,−1. п!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1 && \text{if } n \text{ нечетно;} \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 && \text{если } n \text{ четно;} \\ 1 && \text{if } n = 0, — 1. \\ \end{cases} n!!=⎩⎪⎨⎪⎧​n×(n−2)×⋯×5×3×1n×(n− 2)×⋯×6×4×21​​если n нечетно;если n четно;если n=0,−1.​

Попробуйте первую часть здесь!

Для любого неотрицательного целого числа n,n,n мы находим, что

(2n-1)!(2n-2)!!=(2n-1)!!.\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!! .(2n−2)!!(2n−1)!​=(2n−1)!!.

Опять же, здесь нет необходимости рассматривать два отдельных случая.

Мы можем расширить выражение в LHS как

(2n−1)×(2n−2)××(2n−3)×⋯×3×2×1(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2.\dfrac{(2n -1)\times(2n-2)\times×(2n-3)\times\cdots\times3\times2\times1}{(2n-2)\times(2n-4)\times\cdots\times 4\ раз2}.(2n−2)×(2n−4)×⋯×4×2(2n−1)×(2n−2)××(2n−3)×⋯×3×2×1​.

Поскольку все четные числа 2n−2,2n−4,…,4,22n-2, 2n-4, \ldots, 4, 22n−2,2n−4,…,4,2 сокращаются, это уравнение эквивалентно

(2n−1)!(2n−2)!!=(2n−1)!!. □\dfrac{(2n-1)!}{(2n-2)!!}=(2n-1)!!.\ _\square(2n−2)!!(2n−1)!​=(2n −1)!!. □​

Примечание: Не интерпретировать n!!n!!n!! быть (n!)!(n!)!(n!)!. Они совершенно разные.

Вычислите 9!8!!\dfrac{9!}{8!!}8!!9!​.

---

У нас есть

9!8!!=(2×5−1)!(2×5−2)!!=(2×5−1)!!=9!!=9×7×5×3×1=945. □ \begin{выровнено} \дфрак { 9! } {8!!} = & \dfrac{ (2 \times 5 — 1 ) ! } { (2 \ раз 5 — 2 ) !! } \\ = & (2 \times 5 — 1 )!! \\ = & 9 !! \\ = & 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 \\ = &945.\ _\квадрат \end{выровнено} 8!!9!​=====​(2×5−2)!!(2×5−1)!​(2×5−1)!!9!!9×7 ×5×3×1945. □​​

Вычислите (3!)!3!!\dfrac {(3!)!}{3!!}3!!(3!)!​.

---

У нас есть

(3!)!3!!=(3×2×1)!3×1=6!3=6×5×4×3×2×13=7203=240. □\begin{выровнено} \dfrac {(3!)!}{3!!} &=\dfrac {(3×2×1)!}{3×1}\\ &=\dfrac {6!}{3}\\ &=\dfrac {6×5×4×3×2×1}{3}\\ &=\dfrac {720}{3}\\ &=240.\ _\квадрат \end{выровнено}3!!(3!)!​=3×1(3×2×1)!​=36!​=36×5×4×3×2×1​=3720​=240 . □​​ 9{n}n!} π​4nn!(2n)!​.

Идея факториалов не ограничивается только двойными факториалами, существуют и мультифакториалы!

Для какого целого числа nnn есть n!n!n! равно количеству секунд в 6 неделях?

Попробуйте решить это без использования калькулятора.

Сколько из следующих 99 целых чисел являются простыми?

100!+2,100!+3,100!+4,…,100!+100\begin{array}{c}&100!+2, &100!+3, &100!+4, &\ldots, &100!+100 \end{массив}​100!+2,​100!+3,​100!+4,​…,​100!+100​

Вычислить

(10!+9!)(8!+7!)(6!+5!)(4!+3!)(2!+1!)(10!−9!)(8! −7!)(6!−5!)(4!−3!)(2!−1!).\frac{(10!+9!)(8!+7!)(6!+5!) (4!+3!)(2!+1!)}{(10!-9!)(8!-7!)(6!-5!)(4!-3!)(2!-1! )} . (10!−9!)(8!−7!)(6!−5!)(4!−3!)(2!−1!)(10!+9!)(8!+7!)( 6!+5!)(4!+3!)(2!+1!)​.

Подсказка : Вам не нужно умножать все факториалы!

1+2×2!+3×3!+⋯+9×9!= ? 1 + 2\умножить на 2! + 3\умножить на 3! + \cdots + 9\times9! знак равно 1+2×2!+3×3!+⋯+9×9!=?

Учитывая, что nnn — целое положительное число, сколько значений nnn удовлетворяют приведенному ниже уравнению? 9{.}}} } } } =\ 1 x!x!x!…= 1

Учитывая, что x (>0)x\, (>0)x(>0) удовлетворяет описанной выше бесконечно вложенной функции, найти ХХХ.

• Перестановки

• Комбинации

Цитировать как: Факториалы. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/factorials-properties/

Факториалы, перестановки и комбинации — Уроки Византа

Факториалы

Факториал обозначается знаком (!) . Когда мы сталкиваемся с n! (известный как «n факториал») мы говорим, что факториал — это произведение всех целых чисел
между 1 и n , где n всегда должно быть положительным.

Например

0! факториал частного случая.

Это особенное, потому что нет положительных чисел меньше нуля, и мы определили
факториал как произведение чисел от n до 1. Мы говорим, что 0! = 1, утверждая
, что произведение ни одного числа равно 1. Рассуждения и математика, стоящие за этим
, сложны и выходят за рамки этой страницы, так что давайте просто примем 0! как равный
к 1.

Это оказывается математически верным и позволяет нам переопределить n! следующим образом:

Например

Вышеизложенное позволяет нам манипулировать факториалами и разбивать их, что полезно
в комбинациях и перестановках.

Полезные факториальные свойства

Последние два свойства важно помнить. Знак факториала НЕ распределяет
между сложением и вычитанием.

Перестановки и комбинации

И перестановки, и комбинации в математике относятся к различным способам упорядочивания заданного набора переменных. Перестановки не являются строгими, когда речь идет о порядке
вещей пока Комбинации есть.

Например; учитывая буквы abc

Перестановки перечислены ниже

Комбинации, с другой стороны, считаются разными, все вышеперечисленное считается
одинаковым, поскольку они имеют точно такие же буквы, только расположенные по-разному. В других словах
, в комбинации, вы не можете просто переставить одни и те же буквы, а затем заявить, что
имеет совершенно другую комбинацию. Комбинации делаются по-разному: Дано
abc , мы можем составить ряд комбинаций, взяв группы букв по номеру
один раз, т. е.

В группах по 1 получаем

В группах по 2 получаем

В группах по 3 получаем

Из приведенного выше вы должны увидеть, что Комбинации предназначены для определения того, сколько способов
вы можете комбинировать различные элементы данной сущности.

Обозначение для комбинаций дано как

что означает количество комбинаций из n предметов, состоящих из r предметов по
за раз

Например

означает найти количество способов, которыми можно соединить 3 предмета, взяв по 2 за раз, и из
предыдущего примера мы увидели, что это 3.

Другой пример, иллюстрирующий это, следующий:

Даны четыре буквы abcd найти

решение:

Помните, что порядок не имеет значения, когда речь идет о комбинациях, то есть bcd
совпадает с dbc , который также совпадает с cdb.

другими словами,

Комбинации также обычно обозначаются как

и вопрос в приведенном выше примере мог быть задан как

Поэтому важно помнить, что

Теперь, когда мы увидели, что такое комбинации, давайте перейдем к соотношению факториалов
и комбинаций.

Комбинационная функция может быть определена с использованием факториалов следующим образом:

Мы можем доказать, что это верно, используя предыдущий пример;

это тот же ответ, который мы получили раньше.

Вернемся к перестановкам, которые мы определили выше, а также видели пример.
Перестановки обозначаются следующим образом

что означает количество перестановок n элементов, взятых r элементов за
раз.

Например; даны 3 буквы abc найти

решение:

Помните, что повторение разрешено в перестановках, в отличие от комбинаций;

что означает, что есть 6 способов, другими словами

Функция Permutation также может использовать факториалы:

Мы можем доказать вышесказанное, используя предыдущий пример

Это тот же ответ, что и раньше.

Если вы внимательно посмотрите на формулы для комбинаций и перестановок, вы
сможете увидеть, что они могут быть выражены друг через друга, т. е.

из вышеизложенного можно вывести следующее соотношение:

Сказанное можно доказать, подставив формулу перестановок в уравнение

Что, как мы уже видели, является формулой для комбинаций.

Примеры факториалов, перестановок и комбинаций

Пример 1

Оцените следующее, не используя калькулятор

Шаг 1

Мы видели, что относительно большое число (например, 10 в этом примере) может быть разбито на
на произведение факториалов, т.е.

Шаг 2

Мы можем использовать приведенное выше, чтобы оценить выражение как

Этап 3

С 7! появляется как в числителе, так и в знаменателе, мы можем приступить к сокращению
это из

Этап 4

Пример 2

Оцените следующее

Шаг 1

Мы уже определили обозначение комбинации выше как:

Шаг 2

Поэтому мы можем просто подставить в приведенную выше формулу

Этап 3

Числитель и знаменатель равны, поэтому мы можем просто сократить их как

Пример 3

Оцените следующее выражение

Шаг 1

Обозначение выше не должно быть таким незнакомым, если вы прошли страницу
всю эту страницу. Мы видели это

Отсюда следует, что

Шаг 2

Итак, как и в предыдущем примере, мы можем просто подставить и решить

Этап 3

но верно и следующее

и мы также можем быстро увидеть, что

Этап 4

И поэтому мы можем заменить вышеизложенное, чтобы упростить вычисления

Сокращение равных членов в числителе и знаменателе приводит к

= 5 х 4 = 20

Пример 4

Вычислить следующее

Шаг 1

Обозначение, использованное выше, является обозначением перестановки и означает следующее:

Шаг 2

Таким образом, мы можем заменить переменную, чтобы получить:

Этап 3

Этап 4

3! отменяется, чтобы оставить следующее выражение

Викторина по факториалам, перестановкам и комбинациям

1. Сколькими способами можно выбрать комитет из 5 членов из группы
из 20 человек?

Вышеупомянутый вопрос спрашивает, сколькими способами вы можете выбрать 5 вещей из 20 вещей,
, что, по сути, спрашивает, сколько комбинаций 5 вещей вы можете выбрать из пула
из 20 вещей, т.е.

15504

2. Если вы подбросите монету 10 раз, возможны 1024 (или 2  ¹⁰ ) исхода.
Сколько из этих исходов имеют 6 решек?

Когда вы подбрасываете монету один раз, возможны два исхода; голова или хвост. Если
вы подбрасываете монету более одного раза, аут появляется в комбинациях
орла и решки: например: если вы подбросите монету дважды, вы получите; 2 решки,
или 2 решки, или решка и решка или решка и решка. Другими словами, мы ищем
комбинаций! Поэтому возникает вопрос

210

3. Сколькими способами можно расположить буквы слова
КОМБИНАЦИИ ?

Этот вопрос действительно прост, хитрость заключается в том, чтобы игнорировать этот вводящий в заблуждение выбор из
словосочетаний. Этот вопрос касается перестановок, поскольку нас попросили
расположить буквы без учета порядка.

Все, что нам нужно сделать, это подсчитать количество букв в слове «КОМБИНАЦИИ».

47

00

3б. Сколькими способами можно расположить буквы слова
КОМБИНАЦИИ с первыми 3 буквами как БАН ?

Этот вопрос аналогичен предыдущему, нас по-прежнему просят перестановки
(расстановка) букв слова «КОМБИНАЦИИ». Единственная разница здесь
состоит в том, что нас спросили, что первые 3 буквы всех различных перестановок
должен быть «БАН».

Итак, как нам быть с этим?

Решение состоит в том, чтобы вычесть количество букв, позиция которых постоянна, и
, а затем переставить оставшиеся буквы:

Следовательно, количество различных способов расположения букв в «КОМБИНАЦИЯХ»
с «БАН» в качестве первой буквы:

362880

Факториалы — примеры и практические задачи

Факториалы — это просто произведения, обозначенные восклицательным знаком. Факториалы показывают, что есть умножение всех чисел от 1 до этого числа. Алгебраические выражения с факториалами можно упростить, расширив факториалы и найдя общие множители.

Здесь мы рассмотрим сводку факториалов. Также мы рассмотрим примеры факториалов и упрощение факториалов с ответами, чтобы понять рассуждения, используемые при решении этих типов упражнений.

АЛГЕБРА

Актуально для …

Решение факториальных и факториальных задач упрощения.

См. примеры

Содержание

АЛГЕБРА

Актуально для …

Решение факториальных задач и задач факториального упрощения.

См. примеры

Резюме факториалов

Мы представляем факториалы с восклицательным знаком «!» ставится после числа или переменной. Восклицательный знак означает, что мы должны умножить все целые числа, которые находятся между числом и 1.

Например:

$latex 5!=1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$ также читайте это как «факториал 5». По разным причинам 0! определяется как равный 1, а не 0, поэтому рекомендуется запомнить это. Факторное упрощение Когда у нас есть факториалы и в числителе, и в знаменателе, мы можем легко упростить это, расширив факториалы и упростив соответствующие числа. Чтобы упростить факториальные выражения с переменными как в числителе, так и в знаменателе, мы хотим сформировать общие множители, чтобы мы могли сократить. Суть в том, чтобы сравнить факториалы и определить, какой из них имеет большее значение. Например, если у нас есть факториалы $latex (n + 3)!$ и $latex (n + 1)!$, мы легко знаем, что $latex (n + 3)!$ больше, поэтому мы расширяем его пока в последовательности не появится $latex (n + 1)!$, чтобы затем упростить: $latex (n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!$ Факториалы – примеры с ответами Следующие примеры показывают упрощение факториалов. Каждое упражнение имеет свое решение, в котором подробно описаны рассуждения, использованные для решения проблемы. Попробуйте решить упражнения самостоятельно, прежде чем смотреть решение. ПРИМЕР 1 Найдите результат факториала 8!. Решение Мы можем оценить это, полностью разложив факториал: $latex 8!=1 \times 2 \times 3  \times 4  \times 5  \times 6  \times 7 \times 8$ $latex =40 320$ Мы видим, что получили большое число. Факториалы быстро растут. ПРИМЕР 2 Упростите факториальное выражение $latex  \frac{6!}{4!}$. Решение Чтобы упростить, мы должны разложить факториалы: $latex  \frac{6!}{4!}=\frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{ 1 \times 2\times 3\times 4}$ Мы видим, что числа от 1 до 4 повторяются как в числителе, так и в номинале, поэтому их можно исключить: $latex \frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{1 \times 2\times 3\times 4}=  5\times 6$ $latex =30$ ПРИМЕР 3 Упростите факториальное выражение $latex  \frac{5!}{2!3!}$. Решение Разлагая эти факториалы, мы имеем: $latex  \frac{5!}{2!3!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\ раз 1)(3\раз 2\раз 1)}$ Мы можем упростить числа от 1 до 3. Мы также можем упростить 4 с помощью 2: $latex \frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(3\times 2\times 1)}=10$ Начните прямо сейчас: изучите нашу дополнительную математику ресурсы ПРИМЕР 4 Упростите выражение: $latex  \frac{17!}{14!3!}$. Решение Начнем с расширения факториалов: $latex  \frac{17!}{14!3!}=\frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 … 14)(1\times 2 \times 3)}$ Теперь мы можем упростить числа от 1 до 14, которые являются общими для обоих 14! как для 17 !: $latex \frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 … 14)( 1\times 2 \times 3)}=\frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}$ Теперь мы можем упростить до 2 и 3 с 16 и 15: $ латекс \frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}=5\times 8 \times 17=680$ В этом упражнении мы используем три точки посередине. Это полезно, чтобы немного упростить факториальное выражение. ПРИМЕР 5 Упростите выражение $latex  \frac{n!}{(n-2)!}$. Решение Факторное выражение в числителе больше, чем факториальное выражение в знаменателе, поэтому мы расширяем n ! частично, пока не появится выражение $latex (n-2)!$: $latex  \frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!} {(n-2)!}$ Теперь мы можем сократить общие делители: $latex \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=n (n-1)$ 92}-n$ ПРИМЕР 6 Упростите выражение $latex  \frac{(k+1)!}{(k+3)!}$. Решение В этом случае знаменатель явно больше числителя, так как 3 добавляется к n , а не к числителю, к которому добавляется только 1. Мы сохраняем числитель без изменений, расширяя знаменатель пока не появится выражение $latex (k + 1)!$: $latex  \frac{(k+1)!}{(k+3)!}= \frac{(k+1)!}{(k +3)(к+2)(к+1)!}$ 92}+5k+6}$ ПРИМЕР 7 Упростите выражение $latex \frac{(n+2)!}{(n-1)!}$. Решение Здесь числитель больше, так как мы прибавляем 2, а в знаменателе вычитаем 1. Поэтому частично расширяем числитель, пока не появится выражение $latex (n-1)!$: $latex \frac{(n+2)!}{(n-1)!}= \frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!} $ Упрощаем $latex (n-1)!$ как в числителе, так и в знаменателе: 92}+2n$ Факториалы – практические задачи Используйте следующие задачи, чтобы проверить свои знания факториалов и факториального упрощения. Решите задачи, выберите ответ и проверьте его, чтобы убедиться, что вы выбрали правильный. Найдите результат 6!. Выберите ответ 120 540 720 840 Найдите результат $latex \frac{6!}{3!}$. Выберите ответ 80 120 240 360 Упростите выражение $latex \frac{5!}{2!3!}$. Выберите ответ 10 12 15 20 Упростите выражение $latex \frac{x!}{(x-1)!}$. Выберите ответ $латекс (x+1)$ $латекс x$ $латекс (x-1)$ $latex (x-2)$ См. также Хотите узнать больше о факториалах, перестановках и комбинациях? Взгляните на эти страницы: Примеры комбинаций Примеры перестановок Изучайте математику с помощью наших дополнительных ресурсов по различным темам УЗНАТЬ БОЛЬШЕ Факториал: определение, формула и уравнение, функция Факториалы — это функции в математике со знаком (!), они умножают число на каждое предшествующее ему число. Их можно выразить как n !, где n — последнее число факториала. Символ n представляет собой целое число, а восклицательный знак представляет выражение как факториал. Правило факториала гласит, что факториал любого числа равен этому числу, умноженному на факториал предыдущего числа. Это может быть выражено в виде формулы . Особый случай для этого — 0! = 1 Факториалы можно найти в перестановках и комбинациях. Как вычислить факториал Вы можете выполнить следующие действия, чтобы найти факториал числа n. Чтобы расширить это, вам нужно будет заменить число n на 6, пока последнее вычитание не будет равно n-(n-1), в этом случае 1. Примеры факториалов Какие возможные комбинации можно составить из синего, красного и желтого цветов по порядку? Ответ: Нам нужно найти факториал 3, учитывая, что есть три цвета, и мы находим, сколько комбинаций может быть по порядку. н! = п (п-1)! 3! = 3 (3-1) (3-2) 3! = 6 Существует шесть возможных комбинаций, которые можно составить из этих трех цветов по порядку: Синий, красный и желтый — 1 Синий, желтый и красный — 2 Желтый, синий и красный — 3 Желтый, красный и синий — 4 Красный, синий и желтый — 5 Красный, желтый и синий — 6 Сколько как можно расположить буквы в слове «прости» так, чтобы они не повторялись? Ответ: Чтобы решить подобную задачу, нужно подсчитать количество букв в слове «простить» и найти его факториал. Количество букв здесь равно 7. Максимальное количество способов перестановки букв в слове «прости» равно 5040 без повторов. Работа с факториалами Давайте рассмотрим несколько примеров сложения, вычитания, умножения и деления факториалов. Сложение факториалов Вычислите 3! +2! Ответ: Вычитание факториалов Оцените 5! — 3! Ответ: Умножение факториалов Оцените 3! 4! Ответ: В этом выражении 3! 4 ! означает, что два факториала умножаются друг на друга. (3!) (4!) Деление факториалов Вычислить Ответ: Здесь мы должны выполнить две операции. Мы будем умножать и делить по мере расширения. Однако обратите внимание, что 5! также можно найти в 6!. Мы могли бы продолжить наш первоначальный метод, но мы также можем удалить часть фигур как можно раньше. Давайте посмотрим ниже. 5! с обеих сторон отменяются. Мы можем сначала умножить 3 и 2, поэтому в последующей операции это также аннулирует Алгебраические факториалы Иногда встречаются ситуации с переменными и факториалами. Итак, попробуем упростить выражения в форме . Допустим, n = 7. Это будет означать . 7! может сократиться, чтобы дать нам 8. Давайте добавим еще одну возможную ситуацию и нарисуем из них закономерности. Допустим, теперь n = 10. Это также означает . 10! Оба тоже отменятся, оставив нам 11. В этих примерах вы заметите, что при вычислении наш ответ всегда будет равен n + 1 или какому бы то ни было числителю. Таким образом, мы можем заключить как общее правило для факториалов Однако есть способ решить это алгебраически. n отменит n и (n-1)! сократит (n-1)!. Оставляя нас с n + 1. Оценить Ответ: Условия (n-2)! оба отменят друг друга, и (n-1) срок также отменится. Оставив нас с Мы можем проверить это, вставив числовое значение в переменную. Возьмем n = 8. 7! Будут ли оба сокращаться, оставляя нам Факториалы — ключевые выводы Факториалы — это функции в математике, обозначаемые символом n!. Они умножают число n на каждое предшествующее ему число. Формула факториала может быть выражена как Конкретный факториал равен 0! = 1 Факториалы используются для нахождения расположений, перестановок и комбинаций. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт