Дифференцирование параметрически заданных функций: Дифференцирование функции, заданной параметрически

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 13Следующая ⇒

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

<< Пример 21.1

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у²· у’-3(1· у+х· у’)=0

следует, что у²у’-ху’=у-х², т. е. у’=(у-х²)/(у²-х).

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у’_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х).

Полученная формула позволяет находить производную у’_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть

Найти у’_х.

Решение: Имеем x’_t=3t², y’_t=2t. Следовательно, у’_х=2t/t², т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е.

60)

Понятие дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке xсуществует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

(1)

является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

(2)

(величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

(3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке

или

Следовательно,

(4)

или

(5)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

— наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

(6)

или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину .

61)

Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Следствие 2.4.1.

dz = F′(y0)dy = Φ′(x0)dx.

В зтой формуле dy = f′(x)dx является дифференциалом функции, а dx дифференциалом независимой переменной.

– 75 –Таким образом, дифференциал функции z имеет один и тот же вид (а именно, произведение производной функции на дифференциал переменной) независимо от того, считается ли эта переменная независимой (dz = Φ′(x0)dx) или она является функцией (dz = F′(y0)dy). В этом и заключается инвариантность формы дифференциала (первого порядка).

Замечание 2.4.2. Если приходится иметь дело со сложной функцией z =z(y), y = y(x), то для обозначения ее производной употребляется также индекс x или y, указывающий, по какой переменной берется производная, т. е. пишут z′x или z′y. В этих обозначениях формула для вычисления производной сложной функции имеет вид z′x = z′yy′x.

62)

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Читайте также:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману



Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; просмотров: 3478; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.

Ключевые понятия

• Производная параметрически заданной кривой \(x=x(t)\) и \(y=y(t)\) может быть рассчитана по формуле \(\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{y′(t)}{x′(t)}\). Используя производную, мы можем найти уравнение касательной к параметрической кривой. 92}\номер\]

Авторы и авторство

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

2. Метки

   На этой странице нет тегов.

Производные параметрических функций

Связь между переменными x и y может быть определена в параметрической форме с помощью двух уравнений:

\[\left\{ \begin{align} x &= x\left( t\right) \\ y &= y\left( t\right) \end{aligned} \right., \]

, где переменная t называется параметром. Например, две функции

\[ \left\{ \begin{aligned} x &= R \cos t \\ y &= R \sin t \end{aligned} \right. \]

описывают в параметрической форме уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(R.\). В этом случае параметр \(t\) изменяется от \(0\) до \(2 \pi.\)

Найдите выражение для производной параметрически заданной функции. Предположим, что функции \(x = x\left( t \right)\) и \(y = y\left( t \right)\) дифференцируемы в интервале \(\alpha \lt t \lt \beta \ ) и \(x’\left( t \right) \ne 0.\) Кроме того, мы предполагаем, что функция \(x = x\left( t \right)\) имеет обратную функцию \(t = \varphi \влево( х \вправо). \)

По теореме об обратной функции можно написать:

\[\frac{{dt}}{{dx}} = {t’_x} = \frac{1}{{{x’_t}}}.\]

Исходная функция \(y\left( x \right)\) может рассматриваться как составная функция:

\[y\влево( x \вправо) = y\влево( {t\влево( x \вправо)} \вправо).\]

Тогда его производная равна

\[{y’_x} = {y’_t} \cdot {t’_x} = {y’_t} \cdot \frac{1}{{{x’_t}}} = \frac{{{y ‘_t}}}{{{x’_t}}}.\]

Эта формула позволяет найти производную параметрически заданной функции, не выражая функцию \(y\left( x \right)\) в явном виде. 9\prime = 2\cos t \cdot \left( { — \sin t} \right) = — 2\sin t\cos t = — \sin 2t.\]

Затем

\[\require{cancel} \frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} = \frac {{ — \cancel{\sin 2t}}}{{\cancel{\sin 2t}}} = — 1,\;\; \text{где}\;\;t \ne \frac{{\pi n}}{2},\;\; n \in \mathbb{Z}.\]

Пример 6.

\[x = \sinh t,\;y = \cosh t.\]

Раствор.

Вычислить производные:

\[{x’_t} = \left( {\sinh t} \right)^\prime = \cosh t,\;\;{y’_t} = \left({\cosh t} \right)^ \prime = \sinh т. \] 9\простое число = b\cos т.\]

Производная \(\frac{{dy}}{{dx}}\) зависит от \(t\) следующим образом:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} = \frac{{b\cos t}}{{\left( { — a\sin t} \right)}} = — \frac{b}{a}\cot t.\]

Здесь параметр \(t\) изменяется от \(-\pi\) до \(\pi\). Однако производная \(\frac{{dy}}{{dx}}\) обращается в бесконечность в точках \(t = 0, \pm \pi .\). Поэтому область можно представить в виде \(0 \lt \влево|t \вправо|\lt\pi .\) 92}} }}{{\left( { — t} \right)}} = — \frac{1}{t},\]

где параметр \(t\) может принимать значения, удовлетворяющие условиям \(\left| t \right| \lt 1,\;t \ne 0.\)

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Объяснение урока: Производные параметрических уравнений

В этом объяснении мы узнаем, как найти первую производную кривой, заданной параметрическими уравнениями, и найти уравнения касательных и нормалей к кривым.

Параметрические уравнения — это способ выражения переменных в нашем уравнении через параметр. Например, если у нас есть декартово уравнение вида 𝑦=𝑓(𝑥), мы можем выразить 𝑥 и 𝑦 через параметр 𝑡: 𝑥=𝑔(𝑡),𝑦=ℎ(𝑡).

Эти параметрические уравнения будут описывать ту же самую кривую, что и 𝑦=𝑓(𝑥), только в другой форме.

Примечание:

Параметрические уравнения могут использоваться в сочетании с любой системой координат, не только декартовой. Например, если бы мы хотели параметризовать некоторые полярные координаты, мы бы выразили 𝑟 и 𝜃 через параметр.

Запись уравнений в параметрической форме имеет множество различных применений. Это может значительно упростить написание отношений «один ко многим», например, уравнений эллипсов, кардиоид и лимаконов, которые обычно сложнее записать в декартовой форме.

Существует метод, который мы можем использовать для нахождения производной уравнения в параметрической форме без необходимости преобразовывать параметрические уравнения обратно в декартову форму. Формула, которую мы можем использовать, выглядит следующим образом.

Определение: производная параметрического уравнения

Пусть 𝑓 и 𝑔 — такие дифференцируемые функции, что мы можем составить пару параметрических уравнений, используя 𝑥 и 𝑦: 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

Тогда мы можем определить производную от 𝑦 по 𝑥 как дд𝑦𝑥=дддд когда дд𝑥𝑡≠0.

Давайте обсудим, как мы можем прийти к этому уравнению. При этом нам нужно будет использовать цепное правило, поэтому мы должны напомнить себе его определение.

Определение: правило цепи (ℎ(𝑥)) дифференцируема в 𝑥, а ее производная 𝑓′ определяется выражением 𝑓′(𝑥)=ℎ′(𝑥)𝑔′(ℎ(𝑥)).

Мы можем начать с наших параметрических уравнений 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

Предположим, что мы можем записать эти параметрические уравнения в декартовой форме так, что 𝑦=𝐶(𝑥).

Мы можем подставить наши параметрические уравнения в это уравнение, чтобы получить 𝑔(𝑡)=𝐶(𝑓(𝑡)).

Далее мы хотим продифференцировать это уравнение по 𝑡. С правой стороны мы видим, что у нас есть составная функция, поэтому нам нужно применить цепное правило: 𝑔′(𝑡)=𝑓′(𝑡)𝐶′(𝑓(𝑡)).

Здесь нужно быть осторожным с дифференцированием, так как производные строчных функций обозначают дифференцирование по 𝑡, а производная строчных функций обозначает производную по 𝑥. Используя это вместе с нашими параметрическими уравнениями, 𝑥=𝑓(𝑡) и 𝑦=𝑔(𝑡), мы получаем 𝑓′(𝑡)=𝑥𝑡𝑔′(𝑡)=𝑦𝑡.ddanddd

Теперь мы можем подставить 𝑥 и 𝑦 в наше дифференциальное уравнение, которое даст нам дддд𝑦𝑡=𝑥𝑡𝐶′(𝑥).

Наконец, поскольку 𝐶′(𝑥) является производной от 𝐶 по 𝑥 и 𝑦=𝐶(𝑥), 𝐶′(𝑥)=𝑦𝑥dd, то дддддд𝑦𝑡=𝑥𝑡𝑦𝑥, который можно преобразовать в наш результат dd𝑦𝑥=.dddd

Теперь, когда мы увидели вывод формулы для производной параметрических уравнений, давайте посмотрим на пример того, как мы можем ее использовать.

Пример 1. Нахождение производной параметрического уравнения

Учитывая, что 𝑦=−7𝑡+8 и 𝑧=−7𝑡+3, найдите скорость изменения 𝑦 по отношению к 𝑧.

Ответ

Нас попросили найти скорость изменения 𝑦 по отношению к 𝑧, которую также можно записать как dd𝑦𝑧. Нам даны 𝑦 и 𝑧 через параметр 𝑡, поэтому нам нужно будет использовать формулу для нахождения производной параметрических уравнений, которая выглядит следующим образом: dd𝑦𝑧=.dddd

Мы можем начать с поиска dd𝑦𝑡. 𝑦 — многочлен от 𝑡, поэтому мы можем использовать полиномиальное дифференцирование, чтобы найти эту производную. Мы умножаем каждый член на его мощность 𝑡, а затем уменьшаем мощность 𝑡 на единицу. Это дает нам дд𝑦𝑡=−21𝑡.

Аналогичным образом мы можем найти производную от 𝑧 по 𝑡 следующим образом: дд𝑧𝑡=−14𝑡.

Теперь, когда у нас есть dd𝑦𝑡 и dd𝑧𝑡, мы можем подставить их в нашу формулу, чтобы найти наше решение: dd𝑦𝑧=−21𝑡−14𝑡=32𝑡.

Фактически мы можем найти производную функции по отношению к другой функции, используя производные параметрических уравнений.

Определение: производная функции по другой функции

Если у нас есть две функции, 𝑦=𝑓(𝑥) и 𝑧=𝑔(𝑥), то мы можем определить производную от 𝑓(𝑥) по отношению к 𝑔(𝑥) как dd𝑦𝑧=. dddd

Давайте рассмотрим пример того, как это можно использовать.

Пример 2. Нахождение производной функции по отношению к другой функции

Найдите производную от 7𝑥+4𝑥sin по cos𝑥+1 при 𝑥=𝜋6.

Ответ

Мы можем начать с определения наших функций как 𝑦=7𝑥+4𝑥,𝑧=𝑥+1.sincos

Когда мы записываем наши уравнения в этой форме, мы видим, что вопрос просит нас найти производную от 𝑦 по отношению к 𝑧. Формула, которую мы можем использовать, чтобы найти эту производную: dd𝑦𝑧=.dddd

Нам нужно продифференцировать 𝑦 и 𝑧 по отношению к 𝑥. Это будет включать как тригонометрическое, так и полиномиальное дифференцирование. Для полиномиального дифференцирования мы умножаем член на степень 𝑥, а затем уменьшаем степень 𝑥 на единицу. Для тригонометрического дифференцирования имеем ddsincosandddcossin𝑥(𝑥)=𝑥𝑥(𝑥)=−𝑥.

Используя это, мы находим, что ddcos𝑦𝑥=7+4𝑥 и ddsin𝑧𝑥=−𝑥.

Подставляя их обратно в нашу формулу, мы получаем ddcossin𝑦𝑧=7+4𝑥−𝑥.

Вопрос просил нас найти производную при 𝑥=𝜋6, поэтому нам нужно заменить это на dd𝑦𝑧. Это дает нам ddcossin𝑦𝑧|||=7+4−=7+4.√

Упрощая это, мы можем видеть, что наше решение dd𝑦𝑧|||=14−4√3.

Мы знаем, что можем использовать производные, чтобы найти наклон прямой в заданной точке, и, используя этот наклон, мы можем найти касательную или нормаль к линия в этой точке. Мы можем сделать то же самое, используя производные параметрических уравнений.

В следующем примере мы увидим, как можно использовать производные некоторых параметрических уравнений для нахождения касательной к кривой в заданной точке.

Пример 3. Нахождение касательной к кривой с помощью производных параметрических уравнений

Найдите уравнение касательной к кривой 𝑥=5𝜃sec и 𝑦=5𝜃tan при 𝜃=𝜋6.

Ответ

Нам дали пару параметрических уравнений и попросили найти касательную к кривой в заданной точке. Чтобы найти уравнение касательной, нам сначала нужно найти наклон касательной. Мы можем сделать это, вычислив производную параметрических уравнений в данной точке. Нам нужно будет использовать формулу для нахождения производной параметрического уравнения, помня, что наш параметр равен 𝜃: дд𝑦𝑥=.дддд

Теперь нам нужно продифференцировать эти тригонометрические уравнения, что даст нам ддсек𝑦𝜃=5𝜃 а также ddsectan𝑥𝜃=5𝜃𝜃.

Подставляя их обратно в нашу формулу, мы получаем ddsectansectancoscossin𝑦𝑥=5𝜃5𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃𝜃𝜃.

Это можно еще упростить, что дает нам, что наша производная ddsin𝑦𝑥=1𝜃.

Чтобы найти наклон касательной при 𝜃=𝜋6, нам нужно подставить его в наш дифференциал. Когда мы делаем это, мы получаем ddsin𝑦𝑥|||=1=2.

Теперь, когда мы нашли наклон касательной, нам нужно найти точку, через которую проходит касательная. Мы можем сделать это, найдя значения 𝑥 и 𝑦, когда 𝜃=𝜋6. Подстановка 𝜃=𝜋6 в наши уравнения для 𝑥 и 𝑦 дает нам 𝑥=5𝜋6=10√33,𝑦=5𝜋6=5√33.сектан

Теперь, когда у нас есть наклон нашей касательной, 2, и точка, через которую проходит касательная, 10√33,5√33, мы можем составить наше уравнение. Мы можем использовать формулу 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥),, где 𝑚 — наклон касательной, а (𝑥,𝑦) — точка, через которую проходит касательная. Это дает нам 𝑦−5√33=2𝑥−10√33=2𝑥−20√33.

Далее мы можем переместить все в левую часть уравнения: 𝑦−2𝑥+15√33=0.

И, наконец, упростим наше решение: 𝑦−2𝑥+5√3=0.

Мы могли бы использовать аналогичный метод, чтобы найти нормаль к параметрической кривой в заданной точке. Единственное, с чем нам нужно быть осторожным, так это с тем, что, как только мы нашли наклон 𝑚 кривой в данной точке, мы должны использовать тот факт, что наклон нормального наклона касательной = −1.

Итак, в случае, если наклон касательной равен 𝑚, наклон нормали будет равен −1𝑚.

В нашем последнем примере мы увидим, как мы можем идентифицировать точки, в которых параметрическая кривая имеет вертикальные касательные.

Пример 4. Нахождение значения переменной, при котором кривая с параметрическими уравнениями имеет вертикальную касательную +2 имеет вертикальную касательную.

Ответ

Чтобы у кривой была вертикальная касательная, ее градиент должен быть бесконечным. Хотя это может показаться немного абстрактным, наша формула для производной параметрического уравнения может нам помочь. Мы знаем это дд𝑦𝑥=.дддд

Эта производная будет становиться все больше и больше по мере того, как dd𝑥𝑚 будет становиться все меньше и меньше. Следовательно, наша производная и наклон касательной будет стремиться к бесконечности, поскольку dd𝑥𝑚 стремится к нулю.

Найдем значения 𝑚 такие, что dd𝑥𝑚=0. Мы можем начать с дифференцирования 𝑥 по 𝑚. Мы получаем dd𝑥𝑚=24𝑚+10𝑚+1.

Теперь нам нужно установить эту производную равной 0 и найти значения 𝑚. У нас есть это 24𝑚+10𝑚+1=0.

Мы можем использовать квадратную формулу, которая говорит нам, что решения квадратного уравнения вида 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0 𝑚=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

В нашем случае 𝑎=24, 𝑏=10 и 𝑐=1; следовательно, 𝑚=−10±√10−4×24×12×24=−10±√100−9648=−10±248.

Теперь мы можем разделить два наших решения, которые получаются со знаком плюс или минус. Во-первых, беря плюс, 𝑚=−848=−16.

И, во-вторых, минус, 𝑚=−1248=−14.

Следовательно, значения 𝑚, при которых наша кривая имеет вертикальные касательные, равны когда 𝑚=−16 и когда 𝑚=−14.

Ключевые моменты

• Для пары дифференцируемых параметрических уравнений 𝑥=𝑓(𝑡) и 𝑦=𝑔(𝑡) мы определяем производную параметрические уравнения как дд𝑦𝑥=дддд когда дд𝑥𝑡≠0.
• Если у нас есть две функции, 𝑦=𝑓(𝑥) и 𝑧=𝑔(𝑥), то мы можем определить производную от 𝑓(𝑥) по 𝑔(𝑥) как dd𝑦𝑧=.dddd
• Мы можем найти уравнения касательных и нормалей к параметрической кривой, найдя наклон с помощью производной, а затем применив формулу 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥) , где (𝑥,𝑦) — точка касательной или нормали.

Объяснение урока: Вторые производные параметрических уравнений

В этом объяснении мы узнаем, как находить вторые производные и производные более высокого порядка параметрических уравнений с применением цепного правила.

Параметрические уравнения — это способ, которым мы можем выразить переменные в уравнении в терминах другого параметра. Например, если у нас есть уравнение относительно переменных 𝑥 и 𝑦, то мы могли бы написать параметрические уравнения для эти переменные через параметр 𝑡 следующим образом: 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

Примечание

Параметрические уравнения могут использоваться в сочетании с любой системой координат, не только декартовой. Например, если бы мы хотели параметризовать некоторые полярные координаты, мы бы выразили 𝑟 и 𝜃 в терминах параметра.

Мы можем найти производную от 𝑦 по 𝑥 с точки зрения параметрические уравнения, использующие следующее определение.

Определение: производная параметрического уравнения

Пусть 𝑓 и 𝑔 — дифференцируемые функции, такое, что 𝑥 и 𝑦 — пара параметрических уравнений: 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

Тогда мы можем определить производную от 𝑦 по 𝑥 как дд𝑦𝑥=дддд когда дд𝑥𝑡≠0.

Первая производная уравнения может быть очень полезным инструментом для нахождения уравнений касательных и нормалей к кривая или вычисление градиентов вдоль кривой. Вторая производная или дд𝑦𝑥, также может сообщить нам полезную информацию о вогнутости кривой.

Вы можете подумать, что мы можем найти вторую производную, найдя вторые производные параметрических уравнений относительно 𝑡 и деления dd𝑦𝑡 на дд𝑥𝑡, аналогично тому, как мы это сделали для первой производной. Однако это не работает, как вы увидите ниже.

Найдем вторую производную от 𝑦 по 𝑥 дифференцированием первая производная по 𝑥: ддддд𝑦𝑥=𝑥𝑦𝑥.

Найти эту вторую производную с помощью параметрических уравнений непросто, поскольку уравнение, которое мы имеем для первой производной, выражается в терминах нашего параметра, 𝑡. Чтобы выполнить это дифференцирование по 𝑥, нам нужно будет использовать цепное правило. Напомним определение цепного правила.

Определение: цепное правило

Дана функция ℎ, дифференцируемая в 𝑥 и функция 𝑔, дифференцируемая в ℎ(𝑥), их композиция 𝑓=𝑔⋅ℎ, который определяется как 𝑓(𝑥)=𝑔(ℎ(𝑥)) дифференцируема в 𝑥, а ее производная 𝑓′ определяется выражением 𝑓′(𝑥)=ℎ′(𝑥)𝑔′(ℎ(𝑥)).

Мы знаем, как найти dd𝑦𝑥 через 𝑡, так как мы можем найти первую производную параметрического уравнения. Однако нам необходимо различать это относительно 𝑥, чтобы найти вторую производную. Чтобы сделать это, нам нужно будет использовать другую форму цепного правила, которая выглядит следующим образом: дддддд𝑥(𝑦)=𝑢(𝑦)×𝑢𝑥.

Применяя это к нашему уравнению для второй производной, мы получаем дддддддддд𝑦𝑥=𝑥𝑦𝑥=𝑡𝑦𝑥×𝑡𝑥.

Теперь у нас есть дддд𝑡𝑦𝑥, что в терминах 𝑡; однако, дд𝑡𝑥 находится в терминах 𝑥. Здесь мы можем использовать теорему об обратной функции, что говорит нам о том, что для производных, отличных от нуля, dd𝑡𝑥=1. dd

Подставляя это в наше уравнение, мы получаем следующую формулу для нахождения второй производной параметрического уравнения: дд𝑦𝑥=.дддддд

Определение: вторая производная параметрического уравнения

Пусть 𝑓 и 𝑔 — дифференцируемые функции такое, что 𝑥 и 𝑦 — пара параметрических уравнений: 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡). Тогда мы можем определить вторую производную от 𝑦 по 𝑥 как дд𝑦𝑥=дддддд когда дд𝑥𝑡≠0.

Давайте теперь рассмотрим пример того, как мы можем найти вторую производную параметрического уравнения.

Пример 1. Нахождение второй производной параметрического уравнения

Учитывая, что 𝑥=3𝑡+1 и 𝑦=3𝑡+5𝑡, найти дд𝑦𝑥.

Ответ

Первым шагом в нахождении второй производной этих параметрических уравнений является нахождение первая производная. Мы можем сделать это, используя формулу dd𝑦𝑥=.dddd

Во-первых, мы можем дифференцировать 𝑦 относительно 𝑡. Поскольку 𝑦 — многочлен относительно 𝑡, мы используем полиномиальное дифференцирование. Сначала умножьте каждый член на его степень 𝑡, а затем уменьшите мощность 𝑡 на единицу. Это дает нам дд𝑦𝑡=6𝑡+5.

Точно так же нам нужно дифференцировать 𝑥 по 𝑡. Это дает нам дд𝑥𝑡=6𝑡.

Подставляя их обратно в нашу формулу для первой производной, мы получаем дд𝑦𝑥=6𝑡+56𝑡=1+56𝑡.

Теперь мы готовы использовать формулу для второй производной, которая выглядит следующим образом: dd𝑦𝑥=.dddddd

Мы уже нашли dd𝑥𝑡, поэтому все, что нам нужно сделать, это найти производную от dd𝑦𝑥 по отношению к 𝑡. Дифференцируя, получаем дддд𝑡𝑦𝑥=−56𝑡.

Теперь мы нашли все части нашего уравнения для второй производной; мы можем заменить их, что даст нам наше решение dd𝑦𝑥=6𝑡=−536𝑡.

Мы можем вычислить вторую производную параметрического уравнения в данной точке, как мы можем видеть в следующем примере.

Пример 2: вычисление второй производной параметрического уравнения в заданной точке

Если 𝑦=−5𝑥−7 и 𝑧=3𝑥+16, найти дд𝑧𝑦 при 𝑥=1.

Ответ

Поскольку мы пытаемся найти вторую производную от 𝑧 по 𝑦, где 𝑦 и 𝑧 представлены в параметрической форме, мы можем использовать следующее уравнение: dd𝑧𝑦=.dddddd

Мы можем начать с дифференцирования 𝑦 и 𝑧 по 𝑥. Используя полиномиальное дифференцирование, мы получаем дд𝑦𝑥=−15𝑥 а также дд𝑧𝑥=6𝑥.

Используя это, мы можем найти dd𝑧𝑦=6𝑥−15𝑥=−25𝑥.

Далее нам нужно продифференцировать dd𝑧𝑦 по 𝑥. При этом получаем дддд𝑥𝑧𝑦=25𝑥.

Теперь мы готовы найти dd𝑧𝑦. Подставляя найденное в формулу, получаем dd𝑧𝑦=−15𝑥=−275𝑥.

Теперь все, что нам нужно сделать, это вычислить нашу вторую производную в заданной точке, 𝑥=1. Когда мы делаем это, мы достигаем нашего решения дд𝑧𝑦|||=−275.

Вторая производная уравнения может также сказать нам о вогнутости функции в этой точке.

Определение: вогнутость функции в точке

Для функции 𝑓(𝑥), дважды дифференцируемой и существующей в некотором 𝑥,

• если 𝑓′′(𝑥)>0, то 𝑓(𝑥) вогнуто вверх в 𝑥;
• если 𝑓′′(𝑥)0, то 𝑓(𝑥) вогнуто вниз в 𝑥;
• , если 𝑓′′(𝑥)=0, то 𝑓(𝑥) может быть вогнутым вверх или вниз, или может быть точка перегиба в 𝑥.
  Нам нужно будет провести еще один тест, чтобы проверить, в чем дело.

Давайте теперь рассмотрим пример того, как мы можем найти вогнутость параметрической кривой в заданной точке.

Пример 3. Определение вогнутости параметрической кривой в заданной точке

Рассмотрим параметрическую кривую 𝑥=𝜃cos и 𝑦=𝜃sin. Определите, является ли эта кривая вогнутой вверх, вниз или ни одной из них в точке 𝜃=𝜋6.

Ответ

Нас спросили о вогнутости кривой, поэтому нам нужно будет вычислить вторую производную кривой в заданной точке. Поскольку это параметрическая кривая, мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти ее вторую производная: dd𝑦𝑥=.dddddd

Начнем с нахождения dd𝑥𝜃 и дд𝑦𝜃. Мы можем сделать это, используя тригонометрическое дифференцирование. У нас есть это ddsin𝑥𝜃=−𝜃 а также ddcos𝑦𝜃=𝜃.

Итак, мы находим, что ddcossincot𝑦𝑥=𝜃−𝜃=−𝜃.

Теперь мы можем дифференцировать dd𝑦𝑥 по 𝜃. Используя дифференциалы обратных тригонометрических функций, мы имеем, что ddddcsc𝜃𝑦𝑥=𝜃.

Теперь мы можем подставить их в формулу для второй производной. При этом получаем ddcscsincsc𝑦𝑥=𝜃−𝜃=−𝜃.

Теперь, когда мы нашли вторую производную кривой, нам нужно подставить значение параметра в точке, в которой мы пытаемся найти вогнутость. Данная точка равна 𝜃=𝜋6, поэтому мы подставляем это в наше уравнение, которое дает нам ddcsc𝑦𝑥|||=−𝜋6=−8.

Мы видим, что вторая производная при 𝜃=𝜋6 отрицательна, поэтому мы имеем, что dd𝑦𝑥|||0. 

Следовательно, в этой точке наша функция должна быть вогнутой вниз.

В нашем последнем примере давайте посмотрим, как мы можем найти функцию, которая включает вторую производную параметрических уравнений.

Пример 4. Нахождение второй производной функции, заданной параметрическими уравнениями

найти (2𝑥−1)𝑦𝑧дд.

Ответ

Чтобы решить этот вопрос, нам сначала нужно найти dd𝑦𝑧. Мы можем использовать формулу dd𝑦𝑧=.dddddd

Чтобы найти dd𝑦𝑧, нам нужно найти дд𝑦𝑥 и дд𝑧𝑥. Мы можем разложить биномиальные члены по 𝑦 и 𝑧 чтобы получить 𝑦=−4𝑥−16𝑥−𝑥−4,𝑧=𝑥−𝑥−20.

Продифференцируем их по 𝑥, чтобы получить dddd𝑦𝑥=−12𝑥−32𝑥−1,𝑧𝑥=2𝑥−1.

Используя то, что мы только что нашли, мы можем сказать, что дд𝑦𝑧=−12𝑥−32𝑥−12𝑥−1.

Чтобы найти вторую производную, нам нужно продифференцировать дд𝑦𝑧 по отношению к 𝑥. Для этого нам нужно будет использовать правило отношения для дифференцирования. Факторное правило говорит нам, что если у нас есть функция вида 𝑢𝑣, то мы найдем ее производную, используя 𝑢𝑣=𝑣𝑢′−𝑢𝑣′𝑣.

В нашем случае 𝑢=−12𝑥−32𝑥−1 и 𝑣=2𝑥−1. Следовательно, 𝑢′=−24𝑥−32 и 𝑣′=2. Подставив эти значения в нашу формулу, мы получаем dddd𝑥𝑦𝑧=(2𝑥−1)(−24𝑥−32)−−12𝑥−32𝑥−1×2(2𝑥−1).

Мы можем упростить числитель, чтобы получить dddd𝑥𝑦𝑧=−24𝑥+24𝑥+34(2𝑥−1).

Теперь мы готовы найти dd𝑦𝑧. Подставляя в формулу, имеем dd()𝑦𝑧=(2𝑥−1)=−24𝑥+24𝑥+34(2𝑥−1).

Чтобы найти решение проблемы, все, что нам нужно сделать, это умножить дд𝑦𝑧 по (2𝑥−1). При этом мы достигаем наше решение (2𝑥−1)𝑦𝑧=−24𝑥+24𝑥+34.dd

Теперь мы увидели, как найти вторую производную параметрических уравнений и как мы можем использовать ее для нахождения вогнутость параметрической кривой. Напомним некоторые ключевые моменты.

Ключевые моменты

• Вторую производную параметрических уравнений можно найти по формуле дд𝑦𝑥=,дддддд куда дд𝑦𝑥=дддд когда дд𝑥𝑡≠0.
• Мы можем использовать вторую производную, чтобы найти вогнутость кривой в различных точках.

Параметрическое дифференцирование

Нас часто просят найти производную выражения, в котором одна переменная ( зависимая переменная , обычно называемая y ) выражается как функция другой переменной ( независимая переменная , обычно называемая x ). В математических терминах мы можем записать это как y = ƒ( x ). Однако так будет не всегда. Иногда мы сталкиваемся с ситуациями, в которых невозможно выразить и через х (или наоборот), но когда мы можем выразить оба х и y в терминах третьей переменной, которую по соглашению мы обычно называем t (вероятно, потому, что она часто используется для представления во времени ). Мы называем эту третью переменную параметром .

Функция, которая имеет эту третью переменную (или параметр ), называется параметрической функцией . Процесс дифференцирования параметрической функции называется параметрическим дифференцированием . Как и следовало ожидать, дифференцировать параметрическую функцию несколько сложнее, чем дифференцировать функцию, имеющую только две переменные, но это возможно . Прежде чем мы на самом деле рассмотрим, как различать параметрические функции, было бы полезно взглянуть на пример параметрической функции и посмотреть, как выглядит ее график (который мы называем параметрической кривой ).

Первое, что нужно отметить, это то, что параметрическая функция на самом деле записывается как две отдельные функции. Давайте начнем с размышлений об уравнении окружности радиусом в одну единицу с центром в начале координат (т. е. единичный круг ). Обычно мы записываем это уравнение в терминах x и y как:

x ²  +  y ²   =  1

То, что мы имеем здесь, фактически является неявной функцией , то есть функцией, в которой зависимая переменная не изолирована с одной стороны уравнения. В качестве альтернативы мы можем переписать уравнение для единичного круга в параметрических терминах. Это, как мы уже сказали, фактически включает в себя две отдельные (хотя и связанные) функции. Каждая из этих функций будет принимать диапазон значений, которые позволят им определить координаты всех точек на окружности окружности. Первая функция определяет x координаты всех точек, составляющих окружность. Мы можем записать эту функцию как:

x ( t )  =  cos ( t )    или просто     x   =  cos ( t )

В этой первой функции x является зависимой переменной , а t является независимой переменной . Вторая функция определяет координаты y точек, составляющих окружность. Мы можем записать эту функцию как:

y ( t )  =  sin ( t )    или просто     y   =  sin ( t )

В этой второй функции y является зависимой переменной, а t снова является независимой переменной. Таким образом, у нас есть две зависимых переменных, x и y , значения обеих которых зависят от значения одного параметра, t . Если мы не ограничим диапазон значений, которые t разрешено принимать, как x , так и y будут бесконечно циклически проходить один и тот же диапазон значений. Если мы хотим начертить единичную окружность только один раз (и предполагая, что t выражено в радианах ), мы должны ограничить диапазон значений t до нижнего предела нуля и верхнего предела из 2π. Таким образом, наша полная параметрическая функция для единичного круга может быть записана как:

x   =  cos ( t ),   y   =  sin ( t )  для 0 ≤ t ≤ 2π

Вот график функции:

График параметрической функции

Одно из самых очевидных отличий между параметрическими (и в некоторой степени неявных ) функций и явных функций (в которых x и y являются независимыми и зависимыми переменными соответственно) заключается в том, что горизонтальное направление кривой, созданной путем построения графика явной функции, не может измениться. , тогда как для параметрической (или неявной) функции это возможно. Это допускает некоторые очень интересные возможности, но это также означает, что параметрические кривые имеют четкое направление движения по отношению к . 0162 т . В случае параметрической функции x   =  cos ( t ),   y   =  sin ( t )  для 0 ≤ t ≤ 2π, рисуя график единицы измерения по окружности против часовой стрелки направление, начиная с координат xy (1, 0).

Чтобы дополнительно проиллюстрировать это, давайте посмотрим на график другой параметрической функции. На этот раз мы рассмотрим функцию x = t ² + t , y = 2 t — 1. Обратите внимание, что сейчас мы не будем указывать никаких ограничений на значение t . Вот график функции:

График параметрической функции x = t ² + t , y = 2 t — 1

Обратите внимание на стрелки на кривой. Они указывают кривую направление движения , т.е. направление, в котором график будет «расти» по мере увеличения значения t . Кривая меняет свое горизонтальное направление, когда значение t достигает минус ноль целых пять десятых (-0,5). Это значение t , для которого функция возвращает наименьшее возможное значение x , то есть минус ноль-точка два-пять (-0,25). Сама кривая представляет собой параболу, открывающуюся вправо. Поскольку никакие ограничения не налагаются на значения, которые может принимать t , оба плеча параболы уйдут в бесконечность в положительном горизонтальном направлении. Обратите внимание, однако, что направление движения будет отрицательным в нижней части руки и положительным в верхней части руки. Если мы ограничим диапазон значений, принимаемых t , до минимального значения минус один (-1) и максимального значения один (1), мы получим следующую параметрическую кривую:

График параметрической функции х = t ² + t , y = 2 t – 1 для -1 ≤ t ≤ 1

Эта кривая идентична кривой, которую мы имели до того, как наложили ограничения на значение t , за исключением того, что нижнее плечо усечено на оси y , а верхнее плечо простирается только до x = 2. В зависимости от точной природы параметрической функции и ограничений, наложенных на нее, построение графика параметрической функции иногда приводит к повторяющейся кривой. Чтобы визуализировать то, о чем мы говорим, подумайте о параметрической функции, которая моделирует движение маятника. Параметрические функции также можно использовать для моделирования гораздо более сложного поведения. По этой причине они часто используются в таких областях, как физика, для описания движения частицы или траектории снаряда.

Теперь, когда мы в общих чертах установили, что такое параметрическая функция и как выглядит типичная параметрическая кривая, мы обратимся к вопросу о том, как дифференцировать параметрическую функцию. Это, очевидно, будет несколько более сложным, чем дифференциация явных функций, определенных только в терминах x и y . В конце концов, теперь у нас есть три переменных для размышления (включая параметр t ) и функция другого типа — та, которая на самом деле . 0162 две отдельные , хотя и тесно связанные функции. Тем не менее, несмотря на эти различия, производная, которую мы ищем, по-прежнему является наклоном графика, построенного с использованием координат x и y . Другими словами, мы все еще ищем d y /d x .

Конечно, было бы проще, если бы мы могли рассматривать y как функцию х . На самом деле, если подумать, даже если это невозможно выразить y в зависимости от x , как мы это делали ранее, мы можем видеть, изучая график параметрической функции, что y действительно изменяется по мере изменения x . Это означает, что y все еще можно считать функцией x , даже если мы не можем определить эту функцию. Сформулируем это формально:

y   =  ƒ( x )

Не забывайте, однако, что y также является явной функцией t , которую мы обозначим как g ( t ):

г   =   г ( т )

Хотя мы не знаем, что на самом деле делает функция ƒ( x ), нам не о чем беспокоиться. Мы уже знаем самое важное о x , а именно то, что это явная функция 9.0162 т . Мы обозначим эту функцию как h ( t ):

x   =   ч ( т )

Вы уже должны были понять, что ƒ( x ) является составной функцией , для которой внутренняя функция равна h ( t ). Таким образом, мы можем выразить отношения между идентифицированными нами функциями следующим образом:

y   =   g ( t )  =  ƒ( x )  =  ƒ( h ( t ))

Помните, что если мы хотим дифференцировать составную функцию, нам нужно использовать правило цепочки . Цепное правило говорит нам, что для того, чтобы найти производную композиции двух функций, нам нужно умножить производную внешней функции на производную внутренней функции . Итак, дифференцируя по t , теперь мы можем написать следующее:

г ′( t )  =  ƒ′( ч ( t )) ч ′( t )

Надеюсь, вы видите, что это эквивалентно написанию:

г ‘( t )  =  ƒ'( x )  ч ‘( t )

К сожалению, нотация, которую мы использовали, обязательно включала использование несколько произвольных имен функций, которые могли немного сбить с толку, когда мы попытаемся двигаться дальше. Чтобы прояснить ситуацию, давайте перепишем производную, используя обозначения Либница (с которыми вы должны быть уже достаточно знакомы, если вы просматривали страницы этого раздела по порядку). Вот исправленная версия:

Принимая во внимание, что в конечном итоге мы ищем d y /d x , нам нужно немного изменить порядок вещей:

Или альтернативно:

Давайте посмотрим на пример. Найдем производную параметрической функции x = t ² + t , y = 2 t — 1, которую мы видели ранее. Сначала мы применяем соответствующие правила дифференцирования, чтобы найти производную от y = 2 t — 1 относительно t :

Теперь найдем производную от x = t ² — 1 по отношению к t :

Помните, что нам нужно найти d т /д х . Это просто обратное значение d x / d t :

Таким образом, производная от x = t ² + t , y = 2 t — 1 определяется как:

Все это было относительно просто, но как теперь использовать этот результат, чтобы найти наклон (то есть производную) нашей параметрической функции в заданной точке, что, в конце концов, и является целью дифференцирования? Прежде всего, как нам определить точку, в которой мы хотим найти наклон? Что ж, давайте предположим, что мы хотим найти наклон для заданного значения 9. 0162 т . Это кажется разумным, поскольку t здесь фактически является независимой переменной и часто представляет собой время. Предположим, мы хотим найти наклон м кривой, когда t = 1. Подставив это значение для t в производную функцию, мы получим:

Предполагая, что мы хотим нарисовать касательную, представляющую наклон кривой для t = 1, нам нужно найти координаты x и y , которые соответствуют этому значению t :

x   =   t ²  +  t   =  2

y   =  2 t  — 1  =  1

Помните, что уравнение прямой равно y = m x + b , где m — наклон линии, а b — точка пересечения y . Поскольку у нас есть наклон и координаты x и y для точки на линии, мы можем найти точку пересечения:

b   =   y  —  m x   =  1 — ( ² / ₃  × 2)  =   ^-1 / ₃

Таким образом, уравнение, описывающее нашу касательную, будет таким:

y   =   ² / ₃   x  —  ¹ / ₃

На рисунке ниже показан график функции вместе с касательной к кривой в точке (2, 1).

График х = t ² + t , y = 2 t – 1 и касательная к кривой в точке (2, 1)

Давайте рассмотрим другой пример. На этот раз мы найдем производную параметрической функции x = cos (2 t ), y = sin (3 t ). Это приведет к усложнению, которое, возможно, уже пришло вам в голову, учитывая тот факт, что параметрические функции могут создавать кривые, которые ведут себя так, как мы раньше не сталкивались, но мы придем к этому в свое время. Сначала найдем производную от 9.0162 y = sin (3 t ) относительно t (помните, нам нужно использовать цепное правило):

Теперь найдем производную от x = cos (2 t ) по отношению к t :

Опять же, нам нужно найти d t /d x , что является обратной величиной d x /d t :

Таким образом, производная от x = cos (2 t ), y = sin (3 t ) определяется по формуле:

Прежде чем идти дальше, давайте посмотрим, как выглядит кривая, созданная этой функцией.

График x = cos (2 t ), y = sin (3 t )

Эта функция интересна по нескольким причинам. Помните, что мы говорили ранее, что некоторые функции повторяют одну и ту же кривую. Это прекрасный пример такой функции. По мере увеличения t функция многократно повторяет показанную здесь кривую сначала в одном направлении, а затем в другом (поэтому стрелки, указывающие направление движения, отсутствуют). Для каждого полного цикла требуется интервал 2π (т.е. t будет увеличиваться на 2π в течение каждого цикла). Еще одна особенно интересная вещь, на которую стоит обратить внимание, это то, что верхняя и нижняя половины кривой являются зеркальными отражениями друг друга. Фактически, плечи кривой пересекаются друг с другом в точке (-0,5, 0). Если нас попросят найти наклон функции в этой точке, может быть два возможных ответа (хотя, конечно, будет только один правильный ответ для конкретного значения t ).

Кривая прослеживается в одном направлении в интервале π — т.е. t увеличится на π, так как кривая прослеживается полностью только в одном направлении. Наклон кривой в любой точке будет одинаковым, независимо от направления движения, поэтому производная, которую мы получим, когда значение t будет установлено в некоторую долю π, будет такой же, как производная для значений t равно этой дроби плюс некоторое число, кратное π. Найдем пару касательных к этой кривой. Во-первых, мы найдем производную, когда t = ¹ / ₆ π. Подставив это значение для t в производную функцию, мы получим:

Это будет означать, что мы смотрим на горизонтальную касательную. Теперь мы найдем x и y координаты, которые соответствуют этому значению t :

x   =  cos (2 t )  =  cos ( ¹ / ₃  π)  =  0,5

y   =  sin (3 t )  =  sin ( ¹ / ₂  π)  =  1

Теперь мы можем снова подставить полученные значения в уравнение прямой, чтобы получить и перехват:

b   =   y  —  m x   =  1 — (0 × 0,5)  =  1

Таким образом, уравнение, описывающее нашу касательную, будет таким:

у  =  0 x  + 1  =  1

Это уравнение горизонтальной линии, пересекающей ось y в точке y = 1. Вероятно, вы уже видите, что эта линия действительно будет касательной к кривой в точке (0,5, 1). Для полноты картины приведем еще раз график x = cos (2 t ), y = sin (3 t ) вместе с горизонтальной касательной к локальному максимуму на x = 0,5.

График x = cos (2 t ), y = sin (3 t ) и касательная к кривой в точке (0,5, 1)

Теперь найдем производную, когда t = ¹ / ₄ π. Подставив это значение на t в производную функцию, получаем:

Далее мы найдем x и y координаты, которые соответствуют этому значению t :

x   =  cos (2 t )  =  cos ( ¹ / ₂ π)  =  0

0,707

Подставьте эти значения в уравнение прямой, чтобы получить точку пересечения y :

b   =   y  —  m x   =  0,707 — (1,061 × 0)  =  0,707

Уравнение, описывающее нашу касательную, будет таким:

y   =  1,061 x  + 0,707

Вот график x = cos (2 t ), y = sin (3 t ), на этот раз показывающий касательную к точке (0, 0,707).

График x = cos (2 t ), y = sin (3 t ) и касательная к кривой в точке (0, 0,707)

Мы также можем найти высшие производные параметрической функции. Высшие производные могут дать нам полезную информацию о функции. вторая производная , например, может сказать нам о вогнутости кривой в конкретной точке и, при соблюдении определенных условий, может также сказать нам, является ли локальный экстремум локальным максимумом или локальным минимумом. Давайте посмотрим, как мы можем найти вторую производную параметрической функции. Как и следовало ожидать, это немного сложнее, чем нахождение старших производных явной функции, которая имеет только две переменные.

К настоящему моменту вы должны знать, что 90 162 вторая производная 90 163 функции (параметрической или иной) является 90 162 производной производной 90 163 функции. Во-первых, давайте подумаем, как найти первую производную параметрической функции. Помните, что мы по существу имеем дело с двумя функциями. Одна функция дает нам значение x в терминах t , а другая функция дает нам значение y в терминах т . Сравнительно легко получить производные этих функций по отдельности, которые затем можно подставить в формулу производной параметрической функции. Вот формула еще раз:

или же:

Теперь нам нужно найти формулу для второй производной функции, т. е. производной производной, которая в обозначениях Либница записывается как d ² г / д x ² . Если вы читали страницу «Основные правила дифференцирования», возможно, вы помните, что для некоторой функции ƒ( x ) мы выражаем производную функции как:

Обозначение д/д x по существу просто говорит нам, что мы берем производную некоторой функции по отношению к x (просто чтобы прояснить возможную путаницу, обозначение d y /d x говорит нам явно , что мы взяв производную от х как функцию х ). Итак, учитывая, что производная функции — это, по сути, просто другая функция, мы можем записать вторую производную следующим образом:

Если мы расширим это, мы получим:

Теперь, если мы немного изменим это, мы получим:

И это, по сути, формула для второй производной. Не совсем интуитивно понятно, но работает. Что мы сделали, по сути, так это снова применили цепное правило, на этот раз к первой производной, чтобы получить вторую производную. Чтобы продемонстрировать, что наша формула работает, давайте рассмотрим пару примеров. Начнем с нахождения второй производной параметрической функции x = t ⁵ – 4 t ³ , y = t ² . Очевидно, нам нужно будет найти первую производную, прежде чем делать что-либо еще. Примените соответствующие правила дифференцирования, чтобы найти производную от y = t ² по отношению к t :

Теперь найдем производную от x = t ⁵ — 4 t ³ по отношению к t :

Помните, что нам нужно найти d т /д х . Это просто обратное значение d x / d t :

Итак, первая производная от x = t ⁵ – 4 t ³ , y = t ² определяется как:

Упрощая это, мы получаем:

Теперь, чтобы найти вторую производную, которую мы установили, дается выражением:

D 2 y	=	D	(	D Y	66666622 2 Y	6666666666666666622 D Y 9018	66666666666666626)	D Y 6666666)	D Y 9	66666626).
г x  2		d t		d x				d x

Так:

Во-первых, мы продифференцируем d y /d x относительно t . Здесь нам нужно использовать правило отношения, которое, как вы, возможно, помните, говорит нам, что производная частного двух функций равна произведению знаменателя и производной числителя минус произведение в числителе и производной от знаменателя , всего знаменателя в квадрате . Итак, у нас есть:

Теперь нам нужно умножить этот результат на dt/dx:

Упрощение дает нам:

И все, у нас есть вторая производная.

Давайте решим еще одну примерную задачу. Предположим, мы хотим найти вторую производную параметрической функции x = T ³ + 3 T ² , Y = T ⁴ — 8 T ^{2 . Как и раньше, начнем с нахождения первой производной. Дифференцируя y = t  4 — 8 t  2 по отношению к t , мы получаем:}

И дифференцирование x = t ³ + 3 t ² по отношению к t дает нам:

Находим д т / d x , взяв обратную величину d x / d t :

Итак, первая производная от x = t ³ + 3 t ² , y = t ⁴ — 8 t ² определяется по формуле:

d y

=

4 т  3  — 16 т3 3 3 d x 3 t  2  + 6 t Мы можем упростить это следующим образом: г г   =   4 т  ( т  2  — 4) d x 3 t  ( t  + 2) г г  =   4 т  ( т  — 2)( 9 0 186 т d x 3 t  ( t  + 2) d y   =   4 ( t  — 2) г x 3 Напомню, что формула для второй производной такова: d x x D 2 y = D ( D Y 66666622 2 Y 6666666666666666622 D Y 9018 66666666666666626) D Y 6666666) D Y 9 66666626). d x  2 d t d x Подставив полученные результаты в эту формулу, получим: D 2 y = D ( 4 ( T -2) ) 6 66 66 66 66 66 66 66) ) ) ) ) д x  2 d t 3 3 t  ( t  +1 2) 90  +1 2) Мы будем использовать правило частных, чтобы дифференцировать d y / d x относительно t : 4 d  ( 4 ( t  — 2) )    =   8 д т 3 3 Умножаем этот результат на d t /d x : 2 4 4 4 4 D 2 y = 4 × 1 = 4 1 = 4 1 = 1 = 1 = 1 = D T 2 3 3 T ( T +2) 9 T ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (+2)0163  + 2) И снова мы нашли вторую производную. Параметрическое дифференцирование: примеры и уравнения, неявные Параметрическое дифференцирование — это процесс дифференцирования двух отдельных параметрических уравнений. Параметрическое дифференцирование отличается от стандартного процесса дифференцирования, поскольку два отдельных уравнения (y,x) являются функциями третьей зависимой переменной, называемой параметром. В стандартном методе дифференцирования уравнения имеют декартову форму, где зависимая переменная (y) выражается как функция другой переменной (x) . Например, декартовы уравнения могут иметь вид y=f(x) , тогда как параметрические уравнения имеют вид y=f(t) и x=f(t) . Почему мы используем параметрическое дифференцирование? Параметрическое дифференцирование используется для описания наклона и вогнутости параметрических кривых, которые определяются параметрическими уравнениями. Эти типы уравнений часто описывают кривые, которые пересекаются в нескольких точках, и их трудно описать с помощью декартовых уравнений. Затем параметрические производные можно использовать для построения уравнений касательных и нормалей к кривым. Каковы этапы параметрического дифференцирования? Давайте разберем это. Применение стандартного цепного правила Первым шагом является применение стандартного цепного правила, поскольку мы все еще ищем производную от dy/dx , но нам нужно найти правильное выражение для данных параметрических уравнений. Цепное правило выглядит следующим образом: Давайте рассмотрим пример, содержащий параметрические уравнения окружности: Используя цепное правило, мы теперь имеем следующее выражение: Цепное правило также может быть выражено как отношение двух производных по отношению к общему параметру путем преобразования выражения, как показано выше, при условии, что знаменатель не равен нулю. Это уловка, упрощающая процесс, также называемая правилом обратной цепочки. Дифференцирование каждого параметрического уравнения отдельно В качестве второго шага мы должны провести дифференцирование каждого уравнения. Теперь мы приступим к дифференцированию функции x по t, а затем повторим процесс для функции y. Затем это будет использоваться для создания соотношения, показанного на шаге 2, для нахождения параметрической производной 9.0162 dy/dx , путем деления двух производных. Продолжая первый пример, производные функций x, y по t следующие: Создание отношения параметрических производных Третий и последний шаг включает подстановку каждой параметрической производной в выражение отношения получено применением цепного правила. Продолжая пример, мы делим производную по y на производную по x. Найдите отношение dy/dx, если dy/dθ равно x 5 +6 и dx/dθ равно x 3 . Решение: Делим dy/dθ на dx/dθ, чтобы получить dy/dx. Найдите соотношение du/dz равно du/da равно tan(a) и dz/da равно cos 2 (a). Решение: Мы делим du/da на dz/da так, чтобы исключить компонент da из отношения. Нахождение уравнения касательной кривой методом параметрического дифференцирования Касательная кривой представляет собой прямую линию, которая касается поверхности кривой в определенной точке, как показано на рисунке ниже. Поскольку касательная представляет собой прямую линию, уравнение касательной имеет вид y = ax +c , где a — градиент или наклон, а c — константа. Наклон касательной равен производной кривой. Если известна точка касания, а также параметрические уравнения, уравнение касательной можно найти с помощью параметрического дифференцирования по следующей формуле, где — координаты точки касания. Пример касательной кривой StudySmarter Найдите уравнение касательной кривой в точке (4, -6). Решения: Сначала выполните параметрическое дифференцирование, поскольку заданы параметрические уравнения. Используя правило обратной цепочки, мы делим dx/dt на dy/dt . Теперь нам нужно найти значения t в точке касания, подставив координаты (4,-6) в одно из параметрических уравнений. Мы подставим координату y в параметрическое уравнение y для этого конкретного примера, чтобы показать, что происходит, когда встречаются два возможных значения t. В общем случае необходима только одна замена, чтобы найти значение t в точке касательной. Чтобы проверить, какое из двух значений x является допустимым, нам нужно проверить соответствующее значение x, если оно истинно для выбранного значения t, поскольку мы хотим, чтобы значение t было согласованным и истинным. для значений x и y. При t=3 тогда: но реальное значение x равно 4. Следовательно, значение t=3 недействительно для точки касания. Когда t=2, тогда: Следовательно, значение t=2 допустимо. Мы нашли значение t, которое является истинным, поэтому теперь мы можем продолжить поиск соответствующего наклона, подставив значение t в найденную производную. Последним шагом является подстановка наклона и координат в данную формулу: Как найти уравнение нормали к кривой Нормалью к кривой также является прямая линия, перпендикулярная касательной к кривой в определенной точке , как показано на рисунке ниже. Аналогично уравнению касательной, уравнение нормали можно найти и по производной в заданной точке. Однако наклон нормали должен быть обратной отрицательной производной кривой, как показано в формуле ниже, где T и N обозначают наклон касательной и нормали соответственно. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт