Алгебра упрощение выражений 8 класс: Упрощение рациональных выражений — урок. Алгебра, 8 класс.

8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби. — Преобразование рациональных выражений.

Комментарии преподавателя

Урок: Пре­об­ра­зо­ва­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний

Вспом­ним сна­ча­ла опре­де­ле­ние ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния.

Опре­де­ле­ние. Ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние – ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, не со­дер­жа­щее кор­ней и вклю­ча­ю­щее толь­ко дей­ствия сло­же­ния, вы­чи­та­ния, умно­же­ния и де­ле­ния (воз­ве­де­ния в сте­пень).

Под по­ня­ти­ем «пре­об­ра­зо­вать ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние» мы имеем в виду, пре­жде всего, его упро­ще­ние. А это осу­ществ­ля­ет­ся в из­вест­ном нам по­ряд­ке дей­ствий: сна­ча­ла дей­ствия в скоб­ках, затем про­из­ве­де­ние чисел (воз­ве­де­ние в сте­пень), де­ле­ние чисел, а затем дей­ствия сло­же­ния/вы­чи­та­ния.

Ос­нов­ной целью се­го­дняш­не­го урока будет при­об­ре­те­ние опыта при ре­ше­нии более слож­ных задач на упро­ще­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний.

При­мер 1. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Сна­ча­ла может по­ка­зать­ся, что ука­зан­ные дроби можно со­кра­тить, т. к. вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях дро­бей очень по­хо­жи на фор­му­лы пол­ных квад­ра­тов со­от­вет­ству­ю­щих им зна­ме­на­те­лей. В дан­ном слу­чае важно не спе­шить, а от­дель­но про­ве­рить, так ли это.

Про­ве­рим чис­ли­тель пер­вой дроби: . Те­перь чис­ли­тель вто­рой: .

Как видно, наши ожи­да­ния не оправ­да­лись, и вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях не яв­ля­ют­ся пол­ны­ми квад­ра­та­ми, т. к. у них от­сут­ству­ет удво­е­ние про­из­ве­де­ния. Такие вы­ра­же­ния, если вспом­нить курс 7 клас­са, на­зы­ва­ют непол­ны­ми квад­ра­та­ми. Сле­ду­ет быть очень вни­ма­тель­ны­ми в таких слу­ча­ях, т. к. пе­ре­пу­ты­ва­ние фор­му­лы пол­но­го квад­ра­та с непол­ным – очень частая ошиб­ка, а по­доб­ные при­ме­ры про­ве­ря­ют вни­ма­тель­ность уча­ще­го­ся.

По­сколь­ку со­кра­ще­ние невоз­мож­но, то вы­пол­ним сло­же­ние дро­бей. У зна­ме­на­те­лей нет общих мно­жи­те­лей, по­это­му они про­сто пе­ре­мно­жа­ют­ся для по­лу­че­ния наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля, а до­пол­ни­тель­ным мно­жи­те­лем для каж­дой из дро­бей яв­ля­ет­ся зна­ме­на­тель дру­гой дроби.

 

Ко­неч­но же, далее можно рас­крыть скоб­ки и при­ве­сти затем по­доб­ные сла­га­е­мые, од­на­ко, в дан­ном слу­чае можно обой­тись мень­ши­ми за­тра­та­ми сил и за­ме­тить, что в чис­ли­те­ле пер­вое сла­га­е­мое яв­ля­ет­ся фор­му­лой суммы кубов, а вто­рое – раз­но­сти кубов. Для удоб­ства вспом­ним эти фор­му­лы в общем виде:

 и .

В нашем же слу­чае вы­ра­же­ния в чис­ли­те­ле сво­ра­чи­ва­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

, вто­рое вы­ра­же­ние ана­ло­гич­но. Имеем:

.

Ответ. .

При­мер 2. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Дан­ный при­мер похож на преды­ду­щий, но здесь сразу видно, что в чис­ли­те­лях дро­бей на­хо­дят­ся непол­ные квад­ра­ты, по­это­му со­кра­ще­ние на на­чаль­ном этапе ре­ше­ния невоз­мож­но. Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру скла­ды­ва­ем дроби:

, здесь мы ана­ло­гич­но спо­со­бу, ука­зан­но­му выше, за­ме­ти­ли и свер­ну­ли вы­ра­же­ния по фор­му­лам суммы и раз­но­сти кубов.

Ответ. .

При­мер 3. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Можно за­ме­тить, что зна­ме­на­тель вто­рой дроби рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли по фор­му­ле суммы кубов. Как мы уже знаем, раз­ло­же­ние зна­ме­на­те­лей на мно­жи­те­ли яв­ля­ет­ся по­лез­ным для даль­ней­ше­го по­ис­ка наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля дро­бей.

.

Ука­жем наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей, он равен: , т. к. де­лит­ся на зна­ме­на­тель тре­тьей дроби, а пер­вое вы­ра­же­ние во­об­ще яв­ля­ет­ся целым, и для него по­дой­дет любой зна­ме­на­тель. Ука­зав оче­вид­ные до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли, за­пи­шем:

.

Ответ.

Рас­смот­рим более слож­ный при­мер с «мно­го­этаж­ны­ми» дро­бя­ми.

При­мер 4. 2+ab+ac+bc)}{(b+c)(a+c)(a+b)} = \frac{a(a+b)+c(a+b)}{(a+c)(a+b)} = \frac{(a+c)(a+b)}{(a+c)(a+b)} = 1$$

Что и требовалось доказать.

Упрощение выражений и объединение сходных терминов

Алгебра — это раздел математики, изучающий математические выражения. Он содержит переменные, коэффициенты, операторы и константы. Пример: пусть 3x + 4 будет алгебраическим выражением. Тогда 3 — коэффициент, x — переменная, + — оператор, 4 — константа. Алгебра помогает вывести неизвестные величины. Давайте пройдемся по компонентам алгебры один за другим.

• Переменная: — неизвестное количество. Это не фиксировано. Мы оцениваем значение переменных на основе некоторых других условий.
• Коэффициент: — это количество, умноженное на переменную.
• Оператор: операторов +, -, / ×.
• Константа: является фиксированной величиной и не имеет связанных с ней переменных.

Термины

Терм – это число, переменное произведение двух чисел, произведение двух переменных или произведение переменной и коэффициента. Например: В выражении x – 4y, x и -4y являются терминами. Термины можно разделить на две части,

• Подобные термины: Термины с одинаковой мощностью и одинаковыми переменными. Коэффициенты могут варьироваться, но условие является переменным, и их показатели должны быть одинаковыми. Мы в основном объединяем подобные термины и помогаем в упрощении алгебраических выражений. Например: 4х + 6х = 10х. Здесь переменные одни, коэффициенты разные и степени тоже одинаковые.
• В отличие от терминов: Термины, которые имеют разные степени, разные переменные и коэффициенты, также могут различаться. Их нельзя упростить. Например: 4x + 6y + 2x ² переменные, мощность разные.

Как объединить похожие термины и упростить?

Ответ:

Термы с одинаковыми переменными и одинаковыми степенями можно упростить. Сначала мы перестраиваем все выражение, комбинируя похожие и неодинаковые термины. Одинаковые термины выделяются с одной стороны, а разные термины сохраняются с другой. Затем выполняется операция подобных термов. Например: Вычислить x ² + 3x + y ² +4x. В этом выражении степень x одинакова, поэтому мы выполняем операцию сложения 4x и 3x, что равно 7x. Результирующее выражение будет x ² + 7x + y ² .

Примеры вопросов

Вопрос 1: Оцените 3x + 4x + 5x ² + 7x ² + 4x.

Решение:

Объедините одинаковые члены x и x ² .

3x + 4x + 4x = 11x

5x ² + 7x ² = 12x ²

Результат: 11x + 12x ²  

Вопрос 2: Решите 4a + 3b +5c +6a + 9d.

Решение:

Объедините подобные члены,

4a + 6a = 10a

Результат: 10a + 3b + 5c + 9d.

Вопрос 3: выполнить вычитание x ³ – y из x ² – 2y -9y.

Решение:

x ² -2y -9y -(x ³ -Y)

= x ² -11y -x ³ +y

= x ² -10y -x ³

9006. : Найдите сумму подобных слагаемых 5ab + 6ab + 7ab + 8ba + 90ba. Отсюда найдите значение, когда a = 1, b = 2.

Решение:

Как мы все знаем, умножение коммутативно, поэтому ba = ab

Следовательно, в данном вопросе все термины подобны терминам. Сложение этих членов равно 116ba

Следовательно, положим a = 1, b = 2

Ответ: 116 × 1 × 2 = 232.

Вопрос 5: Найдите x, если углы треугольника равны 8x, 3x и 4x.

Решение:

Все углы похожи на термины

Сумма углов треугольника составляет 180 °

8x + 3x + 4x = 180

=> 15x = 180

=> x = 12

.

Углы равны 96, 36, 48.

Вопрос 6: Если f(x) = x ² + 5x + 9 и g(x) = 3x ² + 9y + 9x найти f(x) + g(x).

Решение:

Подобные члены в f(x) и g(x) равны x ² и x, поэтому мы выполняем сложение,

x ² + 3x ^{2 9x + 9y + 9}

= 4x ² + 14x + 9y + 9

= (а + б) ²

Решение:

f(x) = g(x)

=> (a – b) ² = (a + b) ²

=> a ^{3 4 + 9003} -2ab = a ² + b ² + 2ab

Выполняя операции подобных членов, получаем,

=> 4ab = 0

Это условие проверки равенства двух функций.

Выражения и уравнения — Common Core: Математика для 8-го класса

All Common Core: Математические ресурсы для 8-го класса

7 Диагностические тесты 75 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 22 23 Следующая →

Common Core: Справка по математике для 8-го класса » Выражения и уравнения

Упростите выражение:

Возможные ответы:

Нельзя упростить

3

30260 Правильный ответ:

Объяснение:

Начните с распределения показателя степени через круглые скобки. Правило степени диктует, что увеличение степени до другой степени означает, что два показателя степени умножаются:

Любые отрицательные степени могут быть преобразованы в положительные степени в знаменателе дроби:

Подобные термины могут быть упрощены вычитание степени знаменателя из степени числителя:

Сообщить об ошибке

Упрощение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:3

7

Объяснение:

Используйте правило мощности для распределения показателя:

Отчет о ошибке

Упрощение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

0 Объяснение:

Чтобы упростить это, нам нужно будет использовать правило мощности и порядок операций.

Оценить первый член. Это будет сделано двумя способами, чтобы показать, что правило степени будет работать для показателей степени за скобками для одного члена.

Для второго члена мы не можем распределить и с показателем степени вне круглых скобок, потому что это не один член. Вместо этого мы должны сначала оценить термины в скобках.

 Оцените второй член.

Возведите в квадрат значение в скобках.

Вычесть значение второго члена из первого члена.

Сообщить об ошибке

Что из следующего эквивалентно выражению ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Что из следующего эквивалентно выражению ?

Мы можем переписать данное выражение, распределив экспоненту снаружи.

Теперь это может выглядеть немного запутаннее, но нам нужно вспомнить, что когда мы распределяем показатель степени через круглые скобки, как мы пытались сделать выше, нам нужно умножить показатель степени внутри на число снаружи.

В общем виде это выглядит так:

Для нашей конкретной проблемы это выглядит так:

Сообщить об ошибке

Упростить.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Когда показатель степени повышается на другой показатель степени, мы просто умножаем степени показателей степени и сохраняем основание прежним.

Сообщить об ошибке

Упрощение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Когда показатель степени повышается на другой показатель степени, мы просто умножаем степени показателей степени и сохраняем основание прежним.

Сообщить об ошибке

Упрощение.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Когда показатель степени повышается на другой показатель степени, мы просто умножаем степени показателей степени и сохраняем основание прежним.

Сообщить об ошибке

Упростите выражение 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Оценить

Возможные ответы:

Правильный ответ:

2 Объяснение:

Если вы разделите два экспоненциальных выражения с одним и тем же основанием, вы можете просто вычесть показатели степени.

No related posts.