Решение систем уравнений через определитель. Определители
В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!
Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.
На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .
Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.
Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!
(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)
Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!
Обозначения : Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .
1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.
2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.
Начнем с определителя «два» на «два» :
ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.
Сразу рассмотрим пример:
Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.
Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.
Начнем с двух простых способов
Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:
Пример:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя
Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.
Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.
В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке .
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.
Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.
Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:
И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?
Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.
Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:
Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)
Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:
1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
2) Затем записываем сам элемент:
3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:
Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).
Переходим ко второму элементу строки.
4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
5) Затем записываем второй элемент:
6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:
Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:
7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
8) Записываем третий элемент:
9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!
Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу.
Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:
В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :
А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно.
Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.
Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!
Матрица — прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:
Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число
Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число
Пример1: Найти определители матриц и
Система линейных алгебраических уравнений
Пусть дана система 3х линейных уравнений с 3мя неизвестными
Систему (1) можно записать в матрично-векторной форме
где А — матрица коэффициентов
В — расширенная матрица
Х — искомый компонентный вектор;
Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными:
Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера.
Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:
где x1, x2 — корни системы уравнений,
Главный определитель системы, x1, х2 — вспомогательные определители.
Вспомогательные определители:
Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными по методу Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:
Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами:
где x1, x2, x3 — корни системы уравнений,
Главный определитель системы,
x1, x2, x3 — вспомогательные определители.
Главный определитель системы определяется:
Вспомогательные определители:
- 1. Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить основной определитель.
- 2. Найти — дополнительный определитель x, получаемый из заменой первого столбца на столбец свободных членов.
- 3. Найти — дополнительный определитель y, получаемый из заменой второго столбца на столбец свободных членов.
- 4. Найти — дополнительный определитель z, получаемый из заменой третьего столбца на столбец свободных членов. Если основной определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5.
- 5. Найти значение переменной x по формуле x / .
- 6. Найти значение переменной у по формуле y / .
- 7. Найти значение переменной z по формуле z / .
- 8. Записать ответ: х=…; у=…, z=… .
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
«Утверждаю»
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент А.И.СМИРНОВА
«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома, 2004.
Введение
1. Определители второго и третьего порядка.
2. Свойства определителей. Теорема разложения.
3. Теорема Крамера.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.
2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме «Векторная алгебра» при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопросОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида :
(1)
Числа а 11, …, а 22
называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а 11 ; а 22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а 12 ; а 21 -п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида :
Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
» + » » – »
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопросСВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину .
.
Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца ) можно выносить за знак определителя.
.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
D = — DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца ) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента а i j обозначается М i j . Так для элемента а 11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1) k , где k — сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента а i j обозначается А i j .
Таким образом, А i j =
.
Выпишем алгебраические дополнения для элементов а 11 и а 12.
. .
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами.
Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Три случая при решении систем линейных уравнений
Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
** ,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение.
Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть дана система
.
На основании теоремы Крамера
………….
,
где
—
определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:
Пример 2.
.
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители
По формулам Крамера находим:
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют
какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы — (2; -1; 1).
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
К началу страницы
Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.
Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение.
Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных
Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.
В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих
переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное.
На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов.
То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества
экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко
ходить не надо.
Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Находим определители при неизвестных
Определитель матрицы разложением по первой строке. Разложение определителей по элементам его рядов
Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный
определитель третьего порядка также
разложим по элементам строки и столбца,
предварительно получив нули, например,
в первом столбце. Для этого от первой
строки отнимаем две вторые строки, а от
третьей — вторую:
Ответ.
12. Слау 3 порядка
1. Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
2. Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
3. Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен
сумме произведений элементов строки
определителя на их алгебраические
дополнения. Обычно выбирают ту
строку/столбец, в которой/ом есть нули.
Строку или столбец, по которой/ому
ведется разложение, будет обозначать
стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель
Решение.
Ответ.
4.Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получаем
нули во втором столбце на месте элементов,
стоящих под главной диагональю. И снова,
если диагональный элемент будет равен ,
то вычисления будут более простыми. Для
этого меняем местами вторую и третью
строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых,
комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых
находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.
Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле. Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю. Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное значение.
Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке, такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и
методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном
программировании.
Бесплатный онлайн калькулятор
Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.
Пример. Для
Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т. е.
Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
где i=1,2,3.
Доказательство.
Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.
Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:
Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.
Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и Следовательно,
Определители более высоких порядков .
Определение1. 9 . Определитель n-го порядка
есть сумма n! членов каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.
Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.
Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.
Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :
Следовательно,
Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.
олнение минора определяется следующим образом:
Справедливо следующее утверждение.
Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.
Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам.
Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения
Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания стоки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителя порядка имеет порядок . Будем его обозначать через .
Пример 1. Пусть , тогда .
Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.
Алгебраическим дополнением элемента называется соответствующий минор, умноженный на , т.е , где –номер строки и -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.
Пример 2. Пусть , тогда
Пример 3. Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.
Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.
Определителемматрицы порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.
Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.
Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.
Пример 4. Вычислить определитель:
Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.
Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства VII . Умножим первую строку последовательно на числа и прибавим её ко строкам и получим:
Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:
так как определитель содержит два пропорциональных столбца.
Некоторые виды матриц и их определители
Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы ()называется треугольной.
Их схематичное строение соответственно имеет вид: или
.
Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
Ответ.
12.
Слау 3 порядка1. Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
2. Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
3. Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель
Решение.
Ответ.
4.Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Линейный решатель | Trilinos
Обзор
Введение
Trilinos предоставляет широкий спектр методов решения для линейных и собственных систем. Цель этой страницы — дать обзор возможностей итерационных и прямых решателей, предварительных условий, высокоуровневых интерфейсов и собственных решателей. Если не указано иное, все пакеты были опубликованы.
Начало работы
Сначала вам следует решить, хотите ли вы использовать библиотеку разреженной линейной алгебры Epetra или Tpetra. Это решение определит, какие решатели и предварительные условия вы можете использовать, поскольку не все решатели совместимы с обоими. Подробнее см. в таблице совместимости в следующем разделе.
Epetra использует целочисленные порядковые типы и двойные скалярные типы. Это означает, что в настоящее время он может выполнять задачи не более чем с 2 31 -1 (~ 2,1 миллиарда) степеней свободы (DOF). (Однако в настоящее время выполняется обновление до Epetra, которое снимет это ограничение индекса.) Tpetra основан на порядковом типе, скалярном типе и типе узла. Tpetra позволяет создавать задачи с любым количеством степеней свободы, задачи, отличные от типа double, оптимизировать вычисления на множестве многоядерных архитектур (включая GPU) через Kokkos, а также смешивать MPI и многопоточность.
После того, как вы выбрали библиотеку разреженной линейной алгебры, вы можете сосредоточиться на библиотеках решателя/предобуславливателя.
В следующей таблице приводится однострочное описание доступных пакетов Trilinos linear и eigensolver, а также их совместимости с Epetra и Tpetra.
| Эпетра | Тпетра | ||
| Методы Крылова | АцтекОО | Д | |
| Белос | Д | Д | |
| Прямые решающие устройства | Амесос | Д | |
| Амесос2 | Д | Д | |
| Плирис | Д | ||
| Неполные факторизации, методы SOR, Additive Schwarz | Ифпак | Д | |
| Ифпак2 | Д | ||
| Алгебраическая многосеточная система | мл | Д | |
| Муэлу | Д | Д | |
| Структура предварительной обработки блоков | Теко | Д | |
| собственные методы | Анасази | Д | Д |
| Предобуславливатели декомпозиции домена и решатели поддоменов | ШилУ | Д | |
| Эквивалентные вещественные формы | Комплекс | Д | |
| Менеджер решателя | Стратимикос | Д | Д |
Интерфейсы линейного решателя
Stratimikos : Интерфейс линейного решателя высокого уровня Контактное лицо: Роско Бартлетт (rabartl@sandia. gov)
https://trilinos.org/stratimikos содержит
7 Stratimikos унифицированный набор оберток для возможностей линейного решателя и предобуславливателя в Trilinos. Stratimikos по существу состоит из одного класса DefaultLinearSolverBuilder. Этот класс принимает в качестве входных данных (вложенный) список параметров, который содержит параметры для желаемых решателей и предварительных условий.
У компании Strtimikos есть адаптеры для AztecOO, Belos, Amesos, Ifpack и ML.
Стратимикос совместим с Эпетрой и Тпетрой.
Итерационные линейные и собственные решатели
AztecOO : Предобуславливатели и методы подпространства Крылова Контактное лицо: Майк Эру ([email protected])
https://trilinos.github.io/aztecoo. html
AztecOO включает ряд итерационных методов Крылова, таких как метод сопряженного градиента (CG), обобщенный минимум невязки (GMRES) и стабилизированный бисопряженный градиент (BiCGSTAB) для решения систем уравнений. AztecOO может использовать множество внутренних предварительных условий, таких как SOR, полиномиальная, декомпозиция домена и неполная факторизация, а также предварительные условия, предоставляемые другими пакетами Trilinos. AztecOO также полностью содержит пакет линейного решателя Aztec на языке C, поэтому любое приложение, использующее Aztec, может использовать библиотеку AztecOO вместо Aztec. Обратите внимание, что к AztecOO применяются только исправления ошибок. Активная разработка алгоритма происходит в Белосе.
AztecOO совместим только с Epetra.
Белос : Классические и блочные методы подпространства Крылова Контактные лица: Хайди Торнквист ([email protected]) и Дженнифер Ло ([email protected])
https://trilinos.github.io/ belos.html
Belos предлагает итерационные линейные решатели следующего поколения и мощную среду разработки линейных решателей. Эта структура включает следующие абстрактные интерфейсы и реализации:
Абстрактные интерфейсы к линейной алгебре с использованием механизмов трейтов.
Это позволяет пользователю использовать любые существующие инвестиции в описание матриц и векторов. Предоставляемые конкретные адаптеры линейной алгебры позволяют использовать Belos везде, где Epetra и Thyra используются для услуг линейной алгебры.Абстрактные интерфейсы к ортогонализации; включены реализации повторного классического метода Грама-Шмидта (ICGS), классического метода Грама-Шмидта с шагом коррекции DGKS и повторного модифицированного метода Грама-Шмидта (IMGS).
Абстрактные интерфейсы к ядрам итераций; включены реализации сопряженного градиента (CG), блочного CG, блочного GMRES, псевдоблочного GMRES, блочного гибкого GMRES и итераций GCRO-DR.
Предусмотрены мощные менеджеры решателей для решения линейной системы с использованием CG или блочного CG, GMRES или блочного GMRES с перезапуском, псевдоблочного GMRES для выполнения одновекторного GMRES одновременно на нескольких правых частях и одновекторного переработанного метода Крылова.
(ГЦРО-ДР).Базовый класс линейных задач предоставляется пользователю для определения линейной системы без предварительных или предварительных условий (левая, правая, двусторонняя) для решения Белоса.
Белос совместим с Эпетрой и Тпетрой.
Anasazi : параллельные собственные решатели Контактное лицо: Хайди Торнквист ([email protected])
https://trilinos.github.io/anasazi.html
Anasazi — это расширяемая и совместимая платформа для крупномасштабных алгоритмов собственных значений. Мотивация для этой структуры состоит в том, чтобы предоставить общий интерфейс для набора алгоритмов для решения крупномасштабных задач на собственные значения. Анасази совместим, потому что и матрица, и векторы (определяющие собственное пространство) считаются непрозрачными объектами — необходимо только знание матрицы и векторов с помощью элементарных операций. Реализация Anasazi осуществляется с помощью интерфейсов. Текущие доступные интерфейсы включают Epetra, поэтому любые библиотеки, понимающие матрицы и векторы Epetra (например, AztecOO), также могут использоваться вместе с Anasazi.
Одной из целей Anasazi является предоставление пользователю гибкости в выборе представления данных для матрицы и векторов и, таким образом, максимально эффективного использования существующих вложений в программное обеспечение. Алгоритмы, которые в настоящее время доступны через Anasazi, представляют собой блочный метод Крылова-Шура, блочный метод Дэвидсона и метод локально-оптимального блочного предварительно обусловленного сопряженного градиента (LOBPCG).
Анасази совместим с Эпетрой и Тпетрой.
Комплекс : комплексный системный решатель Контактные лица: Майк Эру ([email protected]) и Дэвид Дэй ([email protected])
https://trilinos.github.io/komplex.html
KOMPLEX — это дополнительный модуль к AZTEC, который позволяет пользователям решать комплекснозначные линейные системы. КОМПЛЕКС решает комплекснозначную линейную систему Ax=b, решая эквивалентную вещественнозначную систему удвоенной размерности.
Прямые линейные решатели
Amesos : интерфейс прямого разреженного линейного решателя Контактное лицо: Шива Раджаманикам ([email protected])
https://trilinos.github.io/amesos.html
Amesos — это набор интерфейсов C++ для последовательных и параллельных разреженных прямых решателей. Amesos содержит два хороших разреженных решателя: KLU и Paraklete. KLU является последовательным, а Paraklete (распространяемый с Trilinos 7.0 или выше) является параллельным решателем. Amesos также предлагает интерфейс для LAPACK и нескольких других известных решателей, доступных в Интернете.
Основная идея Amesos состоит в том, чтобы дать высокоуровневое представление о прямых решателях, состоящих из четырех основных этапов:
1) спецификация параметров
2) инициализация решателя с использованием только матричной разреженности
3) вычисление коэффициентов
4) решение линейной системы
Amesos изолирует пользователя от всех низкоуровневых деталей, типичных для прямых решателей, таких как матричный формат, распределение данных для матрицы, решения и правой части, настройки параметров и т. д. Amesos не основан на каком-либо матричном формате; вместо этого используется матричный интерфейс (заданный с помощью класса Epetra_RowMatrix). Это облегчает использование классов Amesos в любых проектах, матрица которых может быть обернута как Epetra_RowMatrix.
Контактное лицо: Джо Котульски ([email protected])
https://trilinos.github.io/pliris.html
Pliris — объектно-ориентированный интерфейс к решателю LU для плотных матриц на параллельных платформах. Эти матрицы представляют собой действительные матрицы двойной точности, распределенные на параллельной машине.
Матрица представляет собой перенос тора на процессоры (прозрачно для пользователя) и использует частичный поворот во время факторизации матрицы. Каждый процессор содержит часть матрицы и правые части, определяемые функцией распределения для оптимальной балансировки нагрузки вычислений и связи во время факторизации матрицы. Общее предписание состоит в том, что ни один процессор не может иметь больше (или меньше) одной строки или столбца матрицы, чем любой другой процессор. Поскольку входная матрица не обернута в тор, перестановка результатов выполняется для «развертки результатов», что прозрачно для пользователя.
Предобуславливатели
ShyLU : Гибридный итеративный/прямой решатель дополнений Шура ShyLU разработан как набор решателей для декомпозиции предметной области, в которых используются решатели с распределенной памятью, а также решатели на уровне узлов и ядра, поддерживающие решатели с распределенной памятью. Подходы в ShyLU являются алгебраическими, поэтому их можно использовать в качестве решателей черного ящика.
Методы декомпозиции предметной области в ShyLU представляют собой одноуровневый гибридный прямой/итеративный подход, основанный на дополнениях Шура, двухуровневом балансирующем методе декомпозиции предметной области (bddc) и перекрывающихся методах Шварца (FROSch). Решатели уровня узла включают разреженную факторизацию LU (basker), разреженную факторизацию Холецкого (Tacho), многопоточный треугольный решатель (HTS) и быстрый итеративный алгоритм ILU (FastILU).
Teko : структура предварительной подготовки блоков Контактное лицо: Эрик Сир ([email protected])
https://trilinos.github.io/teko.html
Teko — пакет для разработки и реализации блочных предобуславливателей. Сюда входит поддержка манипулирования и настройки блочных операторов. Кроме того, существуют инструменты для поддержки декомпозиции полностью связанного оператора. Кроме того, в Teko доступны средства, позволяющие создавать приближенные обратные операторы с использованием полного набора доступных предобуславливателей и решателей. Наконец, в Teko реализовано небольшое количество универсальных предобуславливателей блоков, включая блок Якоби и блок Гаусса-Зейделя. Для уравнения Навье-Стокса у Teko есть реализации SIMPLE, PCD и LSC.
Ifpack предоставляет набор объектно-ориентированных алгебраических предварительных условий. Конструкторы Ifpack ожидают объект Epetra_RowMatrix для построения. Объекты Ifpack хорошо взаимодействуют с другими классами Trilinos. В частности, Ifpack можно использовать как прекондиционер для AztecOO и сглаживатель в ML.
Ifpack содержит предобуславливатели одноуровневой декомпозиции домена перекрывающегося типа. Каждый «поддомен» определяется набором строк, назначенных данным процессорам. Для локального решения доступно несколько вариантов, от простых схем релаксации до неполных факторизаций и прямых решателей (через пакет Amesos).
Ifpack совместим только с Epetra.
Ifpack2 : предварительная обработка точек, неполная факторизацияКонтактные лица: Крис Зиферт ([email protected]), Джонатан Ху ([email protected])
https://trilinos.github.io/ifpack2.html
Ifpack2 можно считать шаблонной версией Ifpack. Он предоставляет методы релаксации типа SOR, неполные факторизации и аддитивные методы Шварца.
Ifpack2 совместим только с Tpetra.
ML : алгебраическая многосеточная сглаженная агрегация Контактные лица: Рэй Туминаро ([email protected]), Джонатан Ху ([email protected]) и Крис Зиферт ([email protected])
https ://trilinos.github.io/ml.html
ML содержит множество параллельных многосеточных схем для предварительной обработки или решения больших разреженных линейных систем уравнений, возникающих в основном из эллиптических дискретизаций в частных производных. Основные методы в ML:
- сглаженная агрегация алгебраическая многосеточная
- FAS нелинейная алгебраическая многосеточная
- два различных алгебраических многосеточных метода для вихретоковой аппроксимации уравнений Максвелла
- метод сглаженного агрегирования для систем с преобладанием конвекции
- безматричная алгебраическая многосеточная.
В рамках каждого из этих методов существует несколько различных алгоритмов для управления типом укрупнения и межсетевыми переносами (включая возможность отбрасывать слабую связь внутри оператора во время построения межсетевого переноса). Кроме того, ML может использовать Zoltan для перебалансировки операторов грубой сетки для повышения производительности параллельных вычислений.
ML предоставляет различные сглаживатели: SOR, полиномиальное, декомпозицию предметной области Ifpack и неполную факторизацию, а также методы Aztec. Решатели с грубой сеткой включают вышеупомянутые сглаживатели, а также любой прямой метод, доступный через Amesos.
Машинное обучение также можно использовать в качестве основы для создания новых многосеточных методов. Используя внутренние процедуры агрегирования ML и продукты Galerkin, можно сосредоточиться на новых типах операторов межсетевого переноса, не обращаясь к громоздким аспектам создания совершенно нового параллельного алгебраического многосеточного кода. Мы использовали эту гибкость для создания специальных многоуровневых методов, использующих функции конечных элементов с грубой сеткой для передачи данных между сетками.
ML совместим только с Epetra.
MueLu : мультисетевая структура Контактные лица: Рэй Туминаро ([email protected]), Джонатан Ху ([email protected]) и Крис Зиферт ([email protected])
https:/ /trilinos.github.io/muelu.html
MueLu предоставляет основу для параллельных многосеточных методов предварительной подготовки для больших разреженных линейных систем. MueLu предоставляет алгебраические многосеточные методы для симметричных и несимметричных систем, основанные на сглаженном агрегировании. Он предназначен для расширения и, в принципе, может поддерживать другие алгебраические многосеточные методы (например, Руге-Стюбена) и геометрические многосеточные методы. Сам MueLu не предоставляет каких-либо сглаживателей, а вместо этого полагается на другие пакеты Trilinos для этих возможностей. MueLu основан на порядковом и скалярном типах, а также может использовать гибридные коммуникационные преимущества Tpetra и Kokkos.
MueLu совместим с Epetra и Tpetra.
алгоритм обратной матрицы — Google Такой
AlleBilderVideosNewsMapsShoppingBücher
Такой вариант
Подсказка: Begrenze diesuche auf deutschsprachige Ergebnisse. Du kannst deinesuchsprache in den Einstellungen ändern.
Инверсия матрицы — линейная алгебра для глубокого обучения (часть 3)
www.quantstart.com › статьи › инверсия матрицы-лин…
Алгоритмы инверсии матриц. Распространенным методом нахождения обратной матрицы (если она существует) является использование метода, известного как исключение Гаусса-Жордана (или …
Обратимая матрица — Википедия
en.wikipedia.org › wiki › Invertible_matrix
В линейной алгебре квадратная матрица A размера n на n называется обратимой (также неособой или невырожденной), если существует n- на-n квадратная матрица B такая, что.
Сопоставить матрицу · Обратный элемент · Эквивалентность строк
Каков наилучший алгоритм для нахождения обратной матрицы $A
math.stackexchange.com › вопросы › what-is-the-b…
Это действительно зависит от типа матрицы, из которой вы собираетесь вычислять обратную. Некоторые методы лучше подходят для некоторых классов матриц, чем …
Численный алгоритм для обращения матрицы n×n — Math Stack Exchange
Алгоритм поиска обратной матрицы — матрицы — Math Stack Exchange
Законно ли менять местами строки во время найти обратную матрицу?
Почему метод исключения Гаусса-Джордана работает при нахождении …
Вернуться к началу math.stackexchange.com
Алгоритм обращения матриц — YouTube
www.youtube.com › смотреть
17.07.2020 · MatrixAlgebra #LinearAlgebra #UniversityMathsАлгоритм обращения матриц является эффективным и …
Dauer: 8:14 Gepost
Ähnliche Fragen
Что такое алгоритм обращения матрицы?
Как шаг за шагом сделать обратную матрицу?
Как быстрее всего инвертировать матрицу 3×3?
Матрица обратная — Алгоритм — YouTube
www. youtube.com › смотреть
18.08.2017 · Веб-страница курса: https://sites.google.com/view/slcmathpc/home.
Dauer: 16:21
Прислано: 18.08.2017
2.7: Нахождение обратной матрицы — Math LibreTexts
math.libretexts.org › … › 2: Матрицы
·70 Algor2.7026 .1: Обратный алгоритм матрицы … Когда это сделано, B=A−1. В этом случае говорят, что A обратим. Если невозможно …
Обратный алгоритм матрицы — ProofWiki
proofwiki.org › wiki › Matrix_Inverse_Algorithm
29.06.2020 · Обратный алгоритм матрицы — это алгоритм, который либо: (1): преобразует матрицу в обратную, если …
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана | Set 2
www.geeksforgeeks.org › нахождение-обратной-матрицы…
12.09.2022 · которая называется обратной матрицей A. … Обратная матрица возможна только тогда, когда такая имеют место следующие свойства: … В общем случае, обратное n X n …
Эффективный и простой алгоритм обращения матриц — ResearchGate
www.