Арифметическая прогрессия бесконечная: Cумма бесконечной геометрической прогрессии — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел : Олимпиадные задачи (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное



 
Ktina 

 Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

29.07.2017, 18:49 

01/12/11

8634

Дана бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел.


Докажите, что среди её членов можно найти 2017 последовательных членов геометрической прогрессии.


   

                  

arseniiv 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

29.07.2017, 19:01 

Заслуженный участник

27/04/09
28128

Рассмотрим последовательность вида , . Это подпоследовательность арифметической прогрессии : например, по индукции и . Каждый член этой арифметической прогрессии является началом как минимум счётного числа вложений всяческих геометрических подпрогрессий (вложений — это потому что если , все подпоследовательности совпадают). Скууучно.


   

                  

iou 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

29.07.2017, 23:00 

04/10/15
291

arseniiv в сообщении #1236676 писал(а):

Каждый член этой арифметической прогрессии является началом как минимум счётного числа вложений всяческих геометрических подпрогрессий

И, казалось бы, как максимум счётного, поскольку выбор второго члена подпрогресии однозначно её задаст.


   

                  

Ktina 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

29.07.2017, 23:20 

01/12/11

8634

arseniiv в сообщении #1236676 писал(а):


Скууучно.

(Оффтоп)

А на «вееесело» у меня мозгов почему-то перестало хватать Мозги не продаются в супермаркете, какая досада!


   

                  

scwec 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

30. 07.2017, 00:01 

Заслуженный участник

17/09/10
2088

Ktina. уже заканчивали умерили бы свою деятельность здесь. Ну нет уже никаких сил читать ваши произведения.


   

                  

Aritaborian 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

30.

07.2017, 00:05 

11/06/12
10253
стихия.вздох.мюсли

Ну зачем так грубо. Понимаю, вы считаете эту деятельность профанацией искусства. А мне вот иногда помогает отвлечься, отдохнуть.


   

                  

scwec 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

30. 07.2017, 00:15 

Заслуженный участник

17/09/10
2088

Слишком их много, «задач», да я бы и не против, но противно. «Каждый сверчок знай свой шесток».


   

                  

Andrey A 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

30. 07.2017, 10:35 

Заслуженный участник

21/11/12
1567
Санкт-Петербург

Aritaborian в сообщении #1236731 писал(а):

… помогает отвлечься, отдохнуть.

Да. Особенно на фоне интеллектуальных бесед типа «Можно ли убить человека потоком частиц?» (надо побольше набрать частиц со смещенным центром тяжести!).

(Оффтоп)

scwec

, напомню одну нерешенную задачу чтобы Вас развлечь: простые, , — сумма всех вз. простых с , для которых разрешимо в натуральных числах уравнение , — то же, для которых ур-е неразрешимо. Требуется доказать: .

И еще вопрос. — факт известный. Не является ли вопрос задачи частным случаем более общего утверждения? Например, такого: . Мне казалось, хорошая задача — сложная задача, но два года назад энтузиазма не вызвало.


   

                  

svv 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

30.07.2017, 12:49 

Заслуженный участник

23/07/08
9670
Crna Gora

scwec в сообщении #1236732 писал(а):

да я бы и не против, но противно

Что поделаешь, сейчас время такое, что всем противно. Скажите себе «надо!», преодолейте отвращение и решайте.


   

                  

arseniiv 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

30.07.2017, 17:57 

Заслуженный участник

27/04/09
28128

Меня же, смею признать, слегка порадовала инвариантность относительно систем счисления. (А вообще я и теория чисел — две вещи несовместные, так что в такие темы вообще обычно не попадаю.)


   

                  

Sonic86 

 Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

30.07.2017, 18:37 

Заслуженный участник

08/04/08
8528

(о задачах)

Раз пошло такое обсуждение, то я вытащу исковерканную моей плохой памятью цитату Гаусса (нагуглить не могу ввиду исковерканности)
Он говорил примерно так, что можно легко напридумывать кучу очень сложных и изощренных задач, которые будет очень трудно решить, но если их решить, то это не будет иметь практически никакой пользы.
Я ничего в целом против не имею, но мне хотелось бы видеть меньше таких задач (не конкретно этой, а вообще). А всевозможные игрища с цифрами, страшные уравнения в простых числах и т.п. в подавляющем числе случаев — это похоже из той серии.
Я готов получить предупреждение за обсуждение участника, хотя я скорее хотел обсудить задачи, предлагаемые участником.


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

113.

Задания для самостоятельной работы № 19

33. Что такое числовая последовательность?

34. Какие числовые последовательности вы знаете?

35. Что такое арифметическая прогрессия?

36. Назовите свойства арифметической прогрессии.

37. Что такое геометрическая прогрессия?

38. Назовите свойства геометрической прогрессии.

39. Что такое бесконечная геометрическая прогрессия?

40. Назовите формулу суммы бесконечно убывающей прогрессии.

Самостоятельная работа № 19

XLVIII. Найдите пятый член арифметической прогрессии, если:

1) ; ; 2) ; .

XLIX. Найдите в арифметической прогрессии:

1) ; ; ; ; … 2) ; ; ; ; ….

L. Разность арифметической прогрессии равна 8, сумма первых пяти ее членов равна 115. Найдите , .

LI. В арифметической прогрессии : ; . Сколько членов нужно взять, чтобы получить сумму, равную 81?

LII. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма ее первых членов .

LIII. Найдите арифметическую прогрессию, у которой сумма первых трех членов равна 24, а сумма квадратов этих же членов равна 290.

LIV. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если:

1) ; ; 2) ; .

LV. В геометрической прогрессии : ; . Найдите .

LVI. Найдите четыре числа, которые составляют геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна 27, а произведение средних членов равно 72.

LVII. Разность второго и первого членов геометрической прогрессии равна 18, разность четвертого и третьего членов равна 162. Найдите прогрессию.

LVIII. Запишите периодические дроби в виде обыкновенных:

1) ; 2) ; 3) .

LIX. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии , если: ; .

LX. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 14, а сумма кубов всех ее членов равна 392. Найдите и .

LXI. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии , а сумма квадратов всех ее членов равна 72. Найдите пятый член прогрессии.

LXII. Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 21. Если к ним прибавить соответственно числа 1; 5; 25, то получатся три числа, которые составляют геометрическую прогрессию. Найдите числа, которые составляют арифметическую прогрессию.

LXIII. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 30, из второго 4, из третьего 2, а из четвертого 8, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

LXIV. Сумма трех чисел, которые составляют возрастающую геометрическую прогрессию, равна 65. Если от меньшего из этих чисел вычесть 1, а от большего 19, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

LXV. Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую. Сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12.

< Предыдущая   Следующая >

Формула бесконечного ряда — изучите формулу для вычисления бесконечного ряда

Формула бесконечного ряда используется для нахождения суммы последовательности, в которой количество членов бесконечно. Существуют различные типы бесконечных рядов. В этом разделе мы обсудим сумму бесконечных арифметических рядов и сумму бесконечных геометрических рядов. Арифметический ряд — это последовательность, в которой разница между каждым последующим членом постоянна на всем протяжении, а геометрический ряд — это ряд, в котором отношение последовательных членов к предыдущему везде одинаково. Формула бесконечного ряда — удобный инструмент для очень быстрого вычисления суммы. Давайте узнаем больше о формуле бесконечного ряда вместе с решенными примерами.

Что такое формула бесконечного ряда?

Формула суммы бесконечного геометрического ряда используется для нахождения суммы ряда, простирающегося до бесконечности. Это также известно как сумма бесконечных GP. Находя сумму GP, мы обнаруживаем, что сумма сходится к значению, хотя ряд имеет бесконечные члены. Формула бесконечного ряда, если −1

  • Сумма = a/(1-r)

Где,

  • а = первый член ряда
  • r = обыкновенное отношение между двумя последовательными терминами и −1 < r < 1

Примечание. Если r > 1, сумма не существует, так как сумма не сходится.

  • Сумма бесконечной арифметической последовательности равна ∞, если d > 0, или
  • Сумма бесконечной арифметической последовательности равна ∞, если d > 0- ∞, если d < 0.

Давайте теперь посмотрим на несколько решенных примеров с использованием формулы бесконечного ряда.

 

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Забронировать бесплатный пробный урок

 

Пример 1:   Используя формулу бесконечного ряда, найдите сумму бесконечного ряда: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +⋯

Решение:

Дано: a = ¼

r = (1/16) / (1/4) = (1/64) / (1/16) = ¼

Чтобы найти: Сумма заданного бесконечного ряда

Если r<1, то сумма определяется как Сумма = a/(1-r)

Применяя значения к формуле бесконечного ряда, мы получаем

Сумма=( 1/4)/(1-1/4)

Сумма=(1/4)/(3/4)

Сумма=4/(3*4)

Сумма=1/3

Ответ: Сумма 1/4+1/16+1/64+1/256+⋯ равна 1/3

Пример 2. Используя формулу бесконечного ряда, найдите сумму бесконечного ряда: 1/2 + 1/ 6 + 1/18 + 1/54 + ⋯

Решение:

Дано: a = 1/2

r = (1/6) / (1/2) = (1/18) / (1/6) = 1/3

Найти : Сумма данного бесконечного ряда

Если r<1, то сумма задается как Сумма = a/(1-r)
Применяя значения к формуле бесконечного ряда, мы получаем

Сумма=(1/2)/(1-1/3)

Сумма=(1/2)/(2/3)

Сумма=3/( 2*2)

Сумма=3/4

Ответ: Сумма 1/2 + 1/6 + 1/18 + 1/54 + ⋯ равна 3/4

Пример 3: Оценка 3 + 7 + 11 + …….
Решение:

a = 3, d = 4 и n = ∞

Здесь разница > 0,
Итак, сумма = + ∞

Ответ: 3 + 7 + 11 + …….   = + ∞

Часто задаваемые вопросы о формуле бесконечного ряда

Что такое сумма бесконечных членов?

Бесконечный ряд состоит из бесконечного числа членов. Сумма первых n слагаемых S n называется частичной суммой. Если S n  стремится к пределу, когда n стремится к бесконечности, предел называется суммой ряда до бесконечности. Сумма бесконечных арифметических рядов равна либо +∞, либо -∞. Сумма бесконечного геометрического ряда, когда обыкновенное отношение <1, тогда сумма сходится к a/(1-r), что является формулой бесконечного ряда бесконечного GP. Здесь a — первое слагаемое, r — обыкновенное отношение.

Что такое формула бесконечного ряда?

Сумма бесконечных арифметических рядов равна либо +∞, либо -∞. Сумма формулы бесконечного геометрического ряда также известна как сумма бесконечного GP. Формула бесконечного ряда, если значение r таково, что −1

Сумма = a/(1-r)

Где,

  • a = первый член ряда
  • r = обыкновенное отношение между двумя последовательными терминами и −1

Что такое a и r в формуле бесконечного ряда?

При нахождении суммы данного бесконечного геометрического ряда Если r<1, то сумма определяется как Sum = a/(1-r). В этой формуле бесконечного ряда a = первый член ряда, r = обыкновенное отношение между двумя последовательными членами и −1

Найдите сумму бесконечной ЗП 0.3+ 0.33+ 0.333+….

Эту бесконечную ЗП можно записать как 3/10 + 3/100 + 3/1000+………

Здесь мы находим, что первый член a = 3/10, а r = 3/100 ÷ 3/10 = 1/10

Поскольку r < 1, сумма должна сходиться к a/ (1-r) как по формуле бесконечного ряда для бесконечного GP.

Таким образом, сумма до бесконечности = (3/10) ÷ (1 — 1/10)

Сумма = 3/10 ÷ 9/10 = 1/3

Таким образом, сумма сходится к 1/3. 0,3+ 0,33+ 0,333+…. = 1/3

Бесконечная последовательность, серия: определение, примеры

Последовательность и серия >

Содержание (Нажмите, чтобы перейти к этому разделу):

  • Что такое бесконечная последовательность?
    1. Формула бесконечной последовательности
    2. Примеры
    3. Предел бесконечной последовательности
    4. Бесконечная геометрическая последовательность
  • Что такое бесконечная серия?
    1. Чем полезны бесконечные серии?
  • Бесконечный арифметический ряд
  • Бесконечная геометрическая серия

См. также : Сумма сходящегося геометрического ряда.

Что такое бесконечная последовательность?

Бесконечная последовательность (иногда называемая просто последовательностью ) — это функция с областью определения всех положительных целых чисел. В начале исчисления диапазон бесконечной последовательности обычно представляет собой набор действительных чисел, хотя диапазон также может включать комплексные числа.

Общая форма бесконечной последовательности:

f (1), f (2), f (3),… f (n),…

  • 10 Где:
    • … = «Длится до бесконечности»,
    • n = положительное целое число (ввод),
    • f(n) = действительное число (выход).

    В альтернативной записи используются индексы:

    a 1 , a 2 , a 3 ,…a n ,…

    Значение то же: например, 1 эквивалентно f (1).

    Простой пример бесконечной последовательности: 1, 4, 9, 16, 25, …. Элементы здесь (также известные как диапазон) называются членами последовательности .

    Обратите внимание, что вы не можете просто записать список чисел и назвать его «последовательностью». Это должна быть функция . То есть должно быть какое-то соединение между входными данными (положительными целыми числами в домене) и выходными данными (действительными числами в диапазоне). В приведенном выше простом примере спаривание равно «х в квадрате»:

    • 1 2 = 1,
    • 2 2 = 4,
    • 3 2 = 9,
    • 4 2 = 16,
    • 5 2 = 25.

    и так далее.

    Порядок имеет значение в бесконечной последовательности. Например, вы можете переупорядочить список:
    2, 4, 8, 16, 32,…
    как
    2, 8, 4, 16, 32,…
    , что дает две разные бесконечные последовательности.

    Бесконечная последовательность имеет предел, если n -й член (a n ) сходится к константе L, когда n становится очень большим. В виде формулы это:

    Если члены не приближаются к пределу, последовательность расходится.

    Бесконечная последовательность с одним повторяющимся элементом имеет этот член в качестве предела. Это звучит очевидно, но это одно из свойств бесконечных пределов, которое становится важным в математической теории (например, в топологии).

    Бесконечная геометрическая последовательность

    Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой обыкновенное отношение постоянно; бесконечная геометрическая последовательность — геометрическая последовательность с бесконечным числом членов. Например:

    • 4, 12, 36 — геометрическая последовательность (каждый член умножается на 12, поэтому r = 12),
    • 4, 12, 36,… — бесконечная геометрическая прогрессия; три точки называются многоточием и означают «и так далее» или «и т. д.». и т. д. и т. д.»

    Что такое бесконечная серия?

    Бесконечная серия.

    Бесконечная серия (также называемая бесконечной суммой ) — это серия, которая продолжается до бесконечности. Например, 1+1+… или 1+2+3+…. В нотации это записывается так:

    a 1 + a 2 + a 3 + ….

    Точки (или многоточие ) означают, что количество терминов бесконечно.

    Очевидно, что если у вас есть бесконечное количество терминов, выписать эти термины на самом деле будет невозможно (это займет у вас бесконечное количество времени!), поэтому обычно предпочтительнее использовать суммирование:

    Бесконечные ряды полезны для поиска приближенных решений когда проблема не может быть выражена в терминах известной функции или когда нет закрытой формы или точного решения. Например, многие дифференциальные уравнения не имеют решений известных функций или элементарных функций; Эти решения могут быть выражены в виде бесконечных рядов (Bach, 2018).

    Сходящиеся и расходящиеся бесконечные ряды

    Хотя некоторые бесконечные ряды имеют сумму (т. е. сходятся к определенному числовому значению), многие расходятся и не сходятся к конечному числовому значению. В этих случаях значения находятся с пределом частичных сумм.

    • Если существует предел для определенной последовательности частичных сумм, то ряд сходится.
    • Если предел частичных сумм не существует, то ряд расходится.

    В представлении суммирования это можно записать как (Беркли):

    Например, вы можете сложить первые 3 члена или первые 10. Для простого ряда 1 + 2 + 3 +… это даст :


    • 1 + 2 + 3 = 6
    • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+ 10 = 55.

    Существуют и другие способы проверки сходимости. Например, критерий Абеля позволяет определить сходимость или расхождение по типам функций, содержащихся в ряде.

    Бесконечный арифметический ряд

    Бесконечный арифметический ряд представляет собой сумму бесконечной (никогда не заканчивающейся) последовательности чисел с общей разностью.

    Арифметический ряд также имеет ряд общих отличий, например 1 + 2 + 3. Где бесконечный арифметический ряд отличается тем, что ряд никогда не заканчивается: 1 + 2 + 3 …. Три точки (многоточие) означают, что ряд продолжается и продолжается до бесконечности.

    Пара примеров бесконечной последовательности :
    2, 4, 6, 8, … или 1, 5, 10, 15, … (обратите внимание на запятые)

    Бесконечная последовательность имеет либо сложение, либо вычитание символы с общим отличием:
    2 + 4 + 6 + 8, … или 1 – 5 – 10 – 15, …

    Также возможно (и довольно часто) иметь вычитание и сложение в одном ряду.

    Обозначение суммирования для бесконечных арифметических рядов

    Вы можете использовать представление суммирования для бесконечных арифметических рядов. Вместо того, чтобы записывать серию сложений или вычитаний, вы используете символ сигмы для обозначения суммирования. Например, следующий бесконечный ряд кратен 4, начиная со второго кратного.

    Вы можете сказать, что это бесконечный ряд, из-за символа бесконечности для одной из границ (числа сверху или снизу от символа суммирования).

    Расходимость бесконечного арифметического ряда

    Каждый бесконечный арифметический ряд расходится. Эти ряды никогда не сойдутся, стремясь либо к положительной бесконечности, либо к отрицательной бесконечности, либо к осциллирующему числу. Например:

    • Сумма всех натуральных чисел 1 + 2 + 3 +… расходится к ∞.
    • Ряд -1 -1 -1 -… расходится к -∞.
    • Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 + … колеблется (и, следовательно, расходится).

    Есть одно исключение: бесконечный арифметический ряд 0 + 0 + 0 + … сходится к нулю.

    Поскольку любой бесконечный арифметический ряд всегда расходится, невозможно вычислить их суммы, потому что вы будете бесконечно прибавлять (или вычитать) одну и ту же сумму.

    Бесконечный геометрический ряд

    «Серия» — это просто сумма последовательности; Сумма членов бесконечной геометрической последовательности называется бесконечной геометрической последовательностью .

    Общий вид бесконечного геометрического ряда равен

    a 1 + a 1 r + a 1 r 2 + a 1 r 3 + …,

    Где:

    • a 1 = первый член,
    • р = обыкновенный коэффициент.

    Сумма бесконечного геометрического ряда

    Бесконечный геометрический ряд будет иметь сумму, только если знаменатель (r) находится между -1 и 1. Это потому, что если r больше 1, сумма просто увеличится и больше, никогда не достигая заданной цифры. Таким образом, вы, , могли бы сказать, что все бесконечные геометрические ряды в сумме дают бесконечность, за исключением тех, которые имеют общее отношение от -1 до 1. Это помогает в расчетах: каждый раз, когда у вас есть один из этих рядов, имеющий большое r, то вы знаете, что сумма будет равна бесконечности. В противном случае вам нужно будет работать по относительно простой формуле.

    Формула :


    Где:

    • a 1 = первый член ряда,
    • r = обыкновенное отношение ряда, которое представляет собой сумму между каждым числом.

    Формула действительна, только если |r| < 1, что эквивалентно записи -1 < r < 1. Другими словами, если r находится между -1 и 1, то ряд имеет сумму.

    Примеры

    Пример Вопрос: Есть ли сумма у бесконечной геометрической последовательности 2, 4, 8,…?

    Решение :
    Шаг 1: Найдите «r», обыкновенное отношение. Каждое число в этой последовательности умножается на 2 (8 / 4 = 2), поэтому r = 2.

    Дальше идти не нужно: 2 не находится между -1 и 1, поэтому эта последовательность не имеет суммы .

    Пример вопроса 2: Есть ли сумма в последовательности 4, 1, ¼?

    Шаг 1: Найдите «r», знаменатель. Каждое число в последовательности умножается на ¼ (¼ / 1 = ¼), поэтому эта последовательность имеет сумму .

    Шаг 2: Вставьте свои значения в формулу. Для этой последовательности r = ¼, а первый член равен 4, поэтому:
    S = 4/(1 – ¼) = 16/3 = 5,3333.

    Бесконечная последовательность

    Причина некоторой путаницы в том, что существует также Бесконечная последовательность . Хотя это звучит похоже, на самом деле это совершенно другая концепция. Пока вы добавляете термины серии, последовательность представляет собой список терминов. Например:

    • Бесконечная серия: 1 + 2 + 3 + …
    • Бесконечная последовательность: 1, 2, 3, …

    Обратите внимание, что вы не можете просто записать любой список чисел и назвать его «бесконечной последовательностью». Это должна быть функция; Другими словами, термины должны быть связаны каким-то образом, чтобы входы и выходы были связаны.

    Ссылки

    Aufmann, R. et al. (2007). Алгебра колледжа. Cengage Learning.
    Бах, Б. (2018). Руководство для студентов по бесконечным сериям и последовательностям. Издательство Кембриджского университета.
    Беркли. Бесконечная серия. Получено 1 июля 2020 г. с: https://math.berkeley.edu/~scanlon/m16bs04/ln/16b2lec25.pdf
    Чуг, О. и Паркаш, К. (2005). Комплексное расширенное исчисление: статья 1. Публикации Лакшми.
    Григорьева Е. (2016). Методы решения задач последовательности и серии. Биркхойзер.
    Хиткот. С. (2012). Вероятность: элементы математической теории. Курьерская корпорация.
    Карр Р. и др. (2014). Алгебра среднего уровня: управляемый подход. Cengage Learning.
    Своковски, Э. (1979). Исчисление с аналитической геометрией. Тейлор и Фрэнсис.
    Тусси, А. и Густафсон, Р. (2012). Средняя алгебра. Cengage Learning.

    УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
    Стефани Глен . «Бесконечная последовательность, серия: определение, примеры» из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/sequence-and-series/infinite-sequence-series/

    Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *