Корни квадратного уравнения | Формулы с примерами
Нахождение корней квадратного уравнения 8 класс
Формула
Корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно найти по
формуле: , где — дискриминант
квадратного уравнения.
Возможны три правила:
Правило 1
1. D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня:
Пример
2x2 + 7x — 4 = 0;
a = 2, b = 7, c = -4.
D = 72 — 4 • 2 • (- 4) = 81 > 0,
x1 = -7 — ? 812 • 2 = — 4;
x2 = -7 + ? 812 • 2 = 12.
Правило 2
2.
D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень.
Пример
x2 — 4x + 4 = 0.
D = (-4)2 — 4 • 1 • 4 = 0, x = — -4 2 • 1 = 2.
Заметим, что x2 — 4x + 4 = 0 x = 2.
Правило 3
3. D
Пример
3x2 — x + 7 = 0.
D = (-1)2 — 4 • 3 • 7 = -83
С четным вторым коэффициентом
Правило, формулы
Если b = 2k, то корни уравнения ax2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле:
Где:
Пример 1
1. x2 + 18x + 32 = 0.
a = 1; b = 18 => k = b2 = 9; c = 32.
D1 = D4 = ( 182)2 — 1 • 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:
x1 = -9 -? 491 = -16, x2 = -9 + 7 = -2.
Пример 2
2. 3x2 + 2x + 1 = 0.
a = 3; b2 = 1; c = 1.
D1 = D4 = 12 — 1 • 3 = -2
Пример 3
3. 196x2 + 28x + 1 = 0.
a = 196; b2 = -14; c = 1.
D1 = D4 = (- 14)2 — 196 = 0, значит уравнение имеет один корень.
x = 14 196 = 1 14.
- Квадратные уравнения
- Корни квадратного уравнения
org/ListItem»>
АлгебраКак найти дискриминант квадратного уравнения?
Алгебру можно определить как раздел математики, который занимается изучением, изменением и анализом различных математических символов. Это изучение неизвестных величин, которые часто изображаются с помощью переменных в математике. В алгебре есть множество формул и тождеств для изучения ситуаций с переменными. Он также имеет различные подветви, такие как линейная алгебра, продвинутая алгебра, коммутативная алгебра и т. д.
Что такое квадратные уравнения?
Степень многочлена – это наибольшая степень входящей в него переменной.
Квадратное уравнение можно определить как полиномиальное уравнение степени 2.
ax 2 + bx + c = 0
, где a и b — коэффициенты, x — неизвестная переменная, а c — постоянная, и a ≠ 0.
Дискриминантная формула для решения квадратного уравнения
Так как квадратное уравнение имеет степень 2, то оно будет иметь два решения. Следовательно, будет два значения переменной x, для которых выполняется уравнение. Согласно дискриминантной формуле квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня, определяемых как:
x = ,
, где D = b 2 − 4ac
Знаки ± указывают на два различных решения уравнения. Если дискриминант окажется отрицательным, то данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку отрицательное число под квадратным корнем будет рассматриваться как мнимое, а не действительное число.
Примеры вопросов Вопрос 1.
Найдите дискриминант x 2 = −2x + 2.
Решение:
Дано: x 2 = −2x + 2 или, x 2 + 2x − 2 = 20 0 90 D = 20 0 90 D 2 − 4ac
Здесь a = 1, b = 2, c = −2.
⇒ D = 2 2 -4 (1) (-2)
⇒ D = 4 + 8
⇒ D = 12.
Вопрос 2. Найдите дискриминанту 2Y 2 − 8y − 10 = 0.
Решение:
Дано: 2y 2 − 8y − 10 = 0
Мы знаем, D = b 2 − 4ac
Здесь a = 2, b = −8, c = −10.
⇒ D = (−8) 2 — 4 (2) ( — 10)
⇒ D = 64 + 80
⇒ D = 144
Вопрос 3. Найдите дискриминанту из 2x . 2 − 7x + 3 = 0.
Решение:
Дано: 2x 2 − 7x + 3 = 0
Мы знаем, D = b 2 − 4ac
Здесь a = 2, b = −7, c = 3.
⇒ d = 25.
⇒ d = 25. Вопрос 4. Найдите дискриминанту x 2 — 2x + 3 = 0.
Решение:
Дано: x 2 — 2x + 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 =
. 0
Мы знаем, D = b 2 − 4ac
Здесь a = 1, b = −2, c = 3.
⇒ D = (−2) 2 − 4(1)(3 )
⇒ D = 4 − 12
⇒ D = −8.
Вопрос 5. Найдите дискриминанту x 2 + 5x + 4 = 0.
Решение:
Дано: x 2 + 5x + 4 = 0
Мы знаем, мы знаем, мы знаем, x 2 + 5x + 4 = 0
, мы знаем, x 2 + D = b 2 − 4ac
Здесь a = 1, b = 5, c = 4.
⇒ D = (5) 2 − 4(1)(4)
⇒ D = 25 − 16
⇒ D = 9.
Вопрос 6.
Решение:
Дано: 6x 2 — x — 15 = 0
Мы знаем, D = B 2 — 4AC
Здесь = 6, b = −1, c = −15.
⇒ D = (−1) 2 − 4(6)(−15)
⇒ D = 1 + 360
⇒ D = 361.
90 Вопрос о различении 90. 2 + 4x + 9 = 0.Решение:
Дано: x 2 + 4x + 9 = 0
Мы знаем, D = b 2 − 4ac
Здесь a = 1, b = 4, c = 9
⇒ D = (4) − 2 (1)(9)
⇒ D = 16 − 36
⇒ D = −20.
Дискриминант квадратного уравнения с примерами
Обычно дискриминант является функцией коэффициентов многочлена. Он определяет характер решений, которые может иметь уравнение, без их точного нахождения.
В квадратной формуле дискриминант — это только часть квадратной формулы внутри квадратного корня.
Дискриминант квадратного уравненияТаким образом, чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, выполните следующие шаги:
Шаг 1 : Сравните данное квадратное уравнение с его стандартной формой ax 2 + bx + c = 0 и найти значения a, b и c
Шаг 2 : Подставить значения в дискриминант b 2 – 4ac, чтобы получить результат
Найдем дискриминант квадратного уравнения x 2 + 10x + 16 = 0
Сравнивая данное квадратное уравнение с его стандартной формой ax 2 + bx + c = 0, получаем a = 1, b = 10, c = 16
Заменить значения в дискриминанте B 2 — 4AC, мы получаем
= (10) 2 — 4 × 1 × 16
= 100 — 64
= 36
Таким образом, дискриминант квадратного уравнения x 2 + 10x + 16 = 0 равен 36
Чему равен дискриминант квадратного уравнения 3 – 4x – 6x 2 = 0?
Решение:
Преобразуя уравнение в -6x 2 – 4x + 3 = 0
Сравнивая данное квадратное уравнение с его стандартной формой ax 2 + bx + c = 0 получаем, a = -6 , b = -4, c = 3
Подставляя значения в дискриминант b 2 – 4ac, получаем
= (-4) 2 – 4 × -6 × 3
= -56
Таким образом, дискриминант квадратного уравнения 3 – 4x – 6x 2 = 0 равен 36.
3 2:Сравнивая данное квадратное уравнение с его стандартной формой ax 2 + bx + c = 0 получаем, a = -3, b = 4, c = 1
Подставляя значения в дискриминант b 2 – 4ac, получаем
= (4) 2 – 4 × -3 × 1
= 28
Таким образом, дискриминант квадратного уравнения -3x 2 + 4x + 1 = 0 is 36Дискриминант также указывает количество решений квадратного уравнения и характер графика, который оно создает в координатной плоскости. Могут быть три различные ситуации:
Если дискриминант положительный
- Если b 2 – 4ac > 0, квадратное уравнение имеет 2 действительных решения
Это происходит потому, что квадрат положительного числа всегда дает действительное количество. Итак, когда дискриминант больше 0, это 2 действительных и различных корня. График такого уравнения пересекает ось x в двух точках.
Если дискриминант отрицателен
- Если b 2 – 4ac < 0, квадратное уравнение не имеет действительных решений, а имеет два различных комплексных или мнимых корня
Это происходит потому, что квадрат отрицательного числа дает мнимое количество. Например, ${\sqrt{-9}}$ = 3i. Итак, когда дискриминант меньше 0, он имеет два различных комплексных корня. График такого уравнения не пересекает ось x.
Если дискриминант равен нулю
- Если b 2 – 4ac = 0, квадратное уравнение имеет один действительный корень
Это происходит потому, что квадрат 0 равен 0. График такого уравнения касается оси x в одной точке.
Определите, имеет ли каждое из следующих квадратных уравнений два действительных корня, один действительный корень или не имеет действительных корней.
(a) 2x 2 + 4x − 6 = 0
(b) 3x 2 – 6x + 8 =0
(c) x 2 + 2x + 1 =0Решение:
(a) Сравнивая данное квадратное уравнение с его стандартной формой ax 2 + bx + c = 0, получаем a = 2, b = 4, c = -6
Подставляя значения в дискриминант b 2 – 4ac, получаем
= (4) 2 – 4 × 2 × -6
= 64
Так как значение дискриминанта положительное (> 0) , следовательно, уравнение 2x 2 + 4x − 6 = 0 имеет два действительных корня
(b) Сравнение данного квадратного уравнения с его стандартной формой ax 2 + bx + c = 0, получаем a = 3, b = -6, c = 8
Подставляя значения в дискриминант b 2 – 4ac, получаем
= (-6) 2 – 4 × 3 × 8
= -60
Поскольку значение дискриминанта отрицательно (< 0), уравнение 3x2 – 6x + 8 = 0 не имеет действительных решений, но имеет два различных комплексных корня.
Найдите дискриминант 6x 2 — x — 15 = 0. 
Для квадратного уравнения ось 2 + bx + c = 0, b 2 – 4ac — это дискриминант (D), как показано на диаграмме ниже.
Определим дискриминант квадратного уравнения -3x 2 + 4x + 1 = 0
