Бином ньютон: Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Продолжаем рассказывать о разных формулах и подходах из математики, которые часто применяются в ИТ и в привычных алгоритмах. Сегодня будет про бином Ньютона — про него много кто слышал, но не все представляют, что это и зачем это нужно. Сейчас разложим по полочкам. 

Чтобы понять бином Ньютона, нам понадобится треугольник Паскаля.

Что такое треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — это одно из названий треугольной таблицы чисел. Его назвали в честь математика Блеза Паскаля, но про такой треугольник математики знали тысячу лет назад. 

Работает треугольник так: берём единицу (это будет вершина треугольника), а все остальные числа в каждом ряду получаем сложением левых и правых чисел, которые стоят выше. Если нарисовать, то получится так:

Такой треугольник можно продолжать бесконечно. В математике этот треугольник обладает разными полезными свойствами, но нам он нужен для биномиальных коэффициентов в биноме Ньютона. Вот теперь поговорим про бином.

Что такое бином Ньютона (просто)

Бином Ньютона — это формула, которая помогает посчитать сумму двух чисел, возведенную в какую-то степень.

Разбираем по полочкам: 

• У нас есть некие числа a и b. Мы не знаем какие, потому что алгебра.
• Не зная, что это за числа, мы их складываем.
• Эту сумму почему-то очень хочется возвести в какую-то степень — в квадрат, в куб, в четвертую, хоть в девятьсот девяносто девятую — алгебре плевать на ваши чувства.
• Нам нужна формула, как это сделать. Вот эта формула и есть бином Ньютона. 

Из школьной программы мы помним такую формулу: (a + b)² = a² + 2ab + b² — это частный случай бинома Ньютона для квадрата суммы. 

Может быть, вы помните сумму в кубе: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ — это тоже бином Ньютона. 

А что если нам нужно возвести сумму не в квадрат, не в куб, а в сто сорок шестую степень? Какая тогда будет формула? Вот для этого нам нужна более обобщенная формула, которая опишет вообще все варианты биномов для любой степени.

Вот как эта формула выглядит в общем виде:

Про знак Σ мы уже говорили — это обозначение суммы, а цифры в больших скобках — это биномиальные коэффициенты. В общем виде они считаются так:

Исходя из этой адской формулы для расчета бинома на компьютере нам нужно будет много раз посчитать факториал — это произведение всех целых чисел от единицы до заданного числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. А факториалы в силу своей цикличности жрут довольно много оперативной памяти. Может так получиться, что мы не сможем посчитать коэффициенты бинома, потому что закончилась оперативка.

Но, оказывается, необязательно считать факториалы — есть способ проще.

Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля (простая теория в картинках)

Тут нам приходит на помощь треугольник Паскаля. Оказывается, числа в каждом ряду — это биномиальные коэффициенты для каждой степени n:

На практике это работает так: допустим, что по ходу работы алгоритма нам нужно раскрыть скобки и вычислить (x + y)⁴. Применим сюда бином Ньютона и треугольник Паскаля:

Получается, что с помощью этого треугольника можно не считать все эти формулы с факториалами, а быстро находить нужные коэффициенты, подставлять их в формулу бинома и сразу получать ответ. Так можно разложить любой бином и получить ответ гораздо быстрее, чем вычисляя все факториалы подряд.

Где используется бином Ньютона

Кроме математики, где бином нужен для комбинаторики и разных полезных формул, он часто применяется в программировании. Например, с его помощью можно обойти ограничение на размер оперативной памяти при возведении большого числа в степень: его можно разложить на сумму двух чисел поменьше и посчитать слагаемые через бином. 

Также биномиальные коэффициенты часто применяются в матрицах и операциях с векторами — а именно на матрицах построены почти все нейросети. Поэтому если мы сможем быстро находить нужный коэффициент и применять его к матрице, то сможем быстрее создавать дипфейки и генерировать реалистичные пейзажи. Строго говоря, для этого сейчас нужно просто знать команду import, потому что готовых библиотек на эту тему — вагон, без всяких биномов. 

Запускаем нейросеть на домашнем компьютере

А ещё на биномиальных коэффициентах работает отдельная непозиционная система счисления — её применяют в проектах, где надо быстро перебирать много различных вариантов и их возможных сочетаний.

Что такое непозиционная система счисления

Что дальше

Дальше мы попробуем применить эти знания и алгоритмы на практике: напишем код, который использует бином Ньютона для решения разных хитрых бытовых задач. 

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Алексей Сухов

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Виталий Вебер

Бином Ньютона | это… Что такое Бином Ньютона?

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Содержание 1 Доказательство 2 Обобщения 2.1 Мультиномиальная теорема 2.2 Биномиальные многочлены [источник не указан 799 дней] 2.3 Биномиальная группа [источник не указан 799 дней] 3 История 4 В художественной литературе 5 Примечания 6 См. также

Доказательство

Докажем это равенство индукцией по n:

База индукции:

Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:

Тогда надо доказать утверждение для :

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при

Извлечём из второй суммы слагаемое при

Теперь сложим преобразованные суммы:

Что и требовалось доказать

Комментарий:

 — одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Основная статья: Мультиномиальный коэффициент

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n. При использовании полинома Ньютона, считается, что выражения , даже в случае .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая через , получаем бином Ньютона.

Биномиальные многочлены

^{[источник не указан 799 дней]}

Семейство многочленов G называется биномиальным, если оно представляется в виде суммы произведений набора множителей g:

где

≠0.

Биномиальные многочлены обладают биномиальным разложением:

Биномиальная группа

^{[источник не указан 799 дней]}

Группа из одномерных матриц с нулевым элементом заданной на нём операцией ,

где

Единицей группы является , нулём — Обратный элемент

где

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.^[1]

• В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность.

Оригинальный текст  (англ.)  

The Final Problem

At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.

• Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Позже это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
• Бином Ньютона упоминается:
  • в фильме «Расписание на послезавтра»;
  • в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым;
  • в романе Е.И.Замятина «Мы».

Примечания

1. ↑ В. А. Успенский Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение. — 1997. — № 24.

См. также

• Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона
• Биномиальное распределение

Бином Ньютона. Вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Перестановки без повторений

Перестановкой из n элементов называется n-элементное упорядоченное множество, составленное из элементов n-элементного множества. 6}=\frac{2100}{5005}\approx0,42\).

Консеп Биномиальный Ньютон (Экспанси Ньютон) ~ Консеп Математика (КоМа)

Блог Koma — Sebelumnya kita telah belajar materi «Kombinasi pada Peluang dan Contohnya» yang merupakan bagian дари кайда пенкакахан . Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Биномиальный . Пада артикель кали ини кита акан membahas lebih spesipik tenang Консеп Биномиальный Ньютон (Экспанси Ньютон) . Бином Ньютона mempelajari tenang cara penjabaran(expansi) bentuk пангкат альджабар ян тердири дари дуа суку ( 92 + \ldots $$

для всех значений $\ r\in\mathbb{R}.$

Биномиальный коэффициент Python

7 лет, 11 месяцев назад

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 174k раз

68

Новинка! Сохраняйте вопросы или ответы и организуйте свой любимый контент.
Узнать больше.

 импорт математики
x = int(input("Введите значение x: "))
y = int(input("Введите значение для y: "))
если у == 1 или у == х:
    печать(1)
если у > х:
    печать(0)
еще:
    а = математика. факториал (х)
    б = математика. факториал (у)
    div = а // (b*(x-y))
    печать (дел)
 

Эта программа биномиальных коэффициентов работает, но когда я ввожу два одинаковых числа, которые должны быть равны 1 или когда y больше x, предполагается, что они равны 0.

• python
• python-3.x

9

Этот вопрос старый, но поскольку он поднимается выше в результатах поиска, я укажу, что scipy имеет две функции для вычисления биномиальных коэффициентов:

1. scipy.special.binom()

2. scipy.special.comb()

    импорт scipy.special
   # два дают одинаковые результаты
   scipy.special.binom (10, 5)
   # 252.0
   scipy.special. comb (10, 5)
   # 252.0
   scipy.special.binom(300, 150)
   # 9.375970277281882e+88
   scipy.special.comb(300, 150)
   # 9.375970277281882e+88
   # ...но с `exact == True`
   scipy.special.comb(10, 5, точно=Истина)
   № 252
   scipy.special.comb(300, 150, точно=Истина)
   # 393759702772827452793193754439064084879232655700081358920472352712975170021839591675861424
    

Обратите внимание, что scipy.special.comb(exact=True) использует целые числа Python, и поэтому он может обрабатывать произвольно большие результаты!

С точки зрения скорости, три версии дают несколько разные результаты:

 num = 300
%timeit [[scipy.special.binom(n, k) для k в диапазоне (n + 1)] для n в диапазоне (число)]
# 52,9 мс ± 107 мкс на цикл (среднее значение ± стандартное отклонение для 7 запусков, по 10 циклов в каждом)
%timeit [[scipy.special.comb(n, k) для k в диапазоне (n + 1)] для n в диапазоне (число)]
# 183 мс ± 814 мкс на цикл (среднее значение ± стандартное отклонение для 7 запусков по 10 циклов в каждом)
%timeit [[scipy. special.comb(n, k, точное=True) для k в диапазоне (n + 1)] для n в диапазоне (число)]
# 180 мс ± 649мкс на цикл (среднее значение ± стандартное отклонение для 7 запусков, по 10 циклов в каждом)
 

(а для n = 300 биномиальные коэффициенты слишком велики, чтобы их можно было правильно представить с помощью чисел float64 , как показано выше).

2

Обратите внимание, что начиная с Python 3.8 стандартная библиотека предоставляет функцию math.comb для вычисления биномиального коэффициента:

math.comb(n, k)

количество способов выбрать k элементов из n элементов без повторения
н! / (k! (n - k)!) :

 импортировать математику
math.comb(10, 5) # 252
math.comb(10, 10) # 1
 

Вот версия, в которой действительно используется правильная формула. 🙂

#! /usr/bin/окружение Python
''' Рассчитать биномиальный коэффициент xCy = x! / (у! (х-у)!)
'''
из математики импортировать факториал как факториал
биномиальное определение (x, y):
    пытаться:
        вернуть fac(x) // fac(y) // fac(x - y)
    кроме ValueError:
        вернуть 0
#Выведите треугольник Паскаля для проверки бинома()
деф паскаль(м):
    для x в диапазоне (m + 1):
        print([биномиальный (x, y) для y в диапазоне (x + 1)])
деф основной():
    #ввод = необработанный_ввод
    x = int(input("Введите значение x: "))
    y = int(input("Введите значение для y: "))
    печать (биномиальный (х, у))
если __name__ == '__main__':
    #паскаль(8)
    главный()
 

. ..

Вот альтернативная версия binomial() Я писал несколько лет назад, что не использует math.factorial() , которого не было в старых версиях Python. Однако он возвращает 1, если r не находится в диапазоне (0, n+1).

 по определению биномиальный (n, r):
    ''' Биномиальный коэффициент, nCr, он же функция "выбрать"
        н! /(р!*(н - р)!)
    '''
    р = 1
    для i в диапазоне (1, мин (r, n - r) + 1):
        р *= п
        р //= я
        п -= 1
    вернуть р
 

7

Итак, этот вопрос возникает первым, если вы ищете «Реализовать биномиальные коэффициенты в Python». Только этот ответ во второй части содержит эффективную реализацию, основанную на мультипликативной формуле. Эта формула выполняет минимальное количество умножений. Приведенная ниже функция не зависит ни от встроенных функций, ни от импорта:

 def fcomb0(n, k):
    '''
    Вычислите количество способов выбрать $k$ элементов из стопки $n. {n - k},$, поэтому произведение может
    вычисляться с точностью до $\min(k, n - k).$
    :param n: размер кучи элементов
    :param k: количество элементов, которые нужно взять из стопки
    :return: количество способов выбрать k элементов из кучи n
    '''
    # Когда k выходит за пределы разумного диапазона, возможно, следует выдать исключение.
    # Для совместимости с scipy.special.{comb, binom} вместо этого возвращает 0.
    если k < 0 или k > n:
        вернуть 0
    если k == 0 или k == n:
        вернуть 1
    всего_путей = 1
    для i в диапазоне (мин (k, n - k)):
        total_ways = total_ways * (n - i) // (i + 1)
    вернуть total_ways
 

Наконец, если вам нужны еще большие значения и вы не возражаете против потери некоторой точности, возможно, подойдет приближение Стирлинга.

Вот функция, которая рекурсивно вычисляет биномиальные коэффициенты, используя условные выражения

 def binomial(n,k):
    вернуть 1, если k == 0, иначе (0, если n == 0, иначе биномиальный (n-1, k) + биномиальный (n-1, k-1))
 

Ваша программа продолжит работу со вторым оператором if в случае y == x , что приведет к ошибке ZeroDivisionError . Вы должны сделать утверждения взаимоисключающими; способ сделать это — использовать elif («else if») вместо if :

 import math
x = int(input("Введите значение x: "))
y = int(input("Введите значение для y: "))
если у == х:
    печать(1)
elif y == 1: # см. комментарий георга
    печать (х)
elif y > x: # будет выполнено, только если y != 1 и y != x
    печать(0)
else: # будет выполнено, только если y != 1 и y != x и x <= y
    а = математика. факториал (х)
    б = математика. факториал (у)
    c = math.factorial(x-y) # кажется полезным для получения правильного результата
    div = а // (б * с)
    печать (дел)
 

0

А этот? 🙂 Он использует правильную формулу, избегает math.factorial и требует меньше операций умножения:

 import math
оператор импорта
продукт = лямбда m, n: уменьшить (operator.mul, xrange (m, n + 1), 1)
x = max(0, int(input("Введите значение x: ")))
y = max(0, int(input("Введите значение для y: ")))
печатать продукт (y + 1, x) / продукт (1, x-y)
 

Кроме того, чтобы избежать арифметики с большими целыми числами, вы можете использовать числа с плавающей запятой, преобразовать product(a[i])/product(b[i]) to product(a[i]/b[i]) и перепишите вышеуказанную программу как:

 import math
оператор импорта
product = lambda iterable: reduce(operator. mul, iterable, 1)
x = max(0, int(input("Введите значение x: ")))
y = max(0, int(input("Введите значение для y: ")))
печатать продукт (карта (operator.truediv, xrange (y + 1, x + 1), xrange (1, x-y + 1)))
 

4

Для Python 3 в scipy есть функция scipy.special.comb, которая может выдавать результаты с плавающей запятой, а также точные целые числа

 импорт scipy.special
res = scipy.special.comb (х, у, точное = Истина)
 

См. документацию для scipy.special.comb.

Для Python 2 функция находится в scipy.misc и работает так же:

 import scipy.misc
res = scipy.misc.comb (х, у, точное = Истина)
 

Я рекомендую использовать динамическое программирование (DP) для вычисления биномиальных коэффициентов. В отличие от прямого вычисления, он позволяет избежать умножения и деления больших чисел. В дополнение к рекурсивному решению он сохраняет ранее решенные перекрывающиеся подзадачи в таблице для быстрого поиска. В приведенном ниже коде показаны восходящие (табличные) реализации DP и нисходящие (запоминаемые) реализации DP для вычисления биномиальных коэффициентов.

 по определению binomial_coeffs1(n, k):
    #сверху вниз ДП
    если (k == 0 или k == n):
        вернуть 1
    если (memo[n][k] != -1):
        вернуть памятку[n][k]
    memo[n][k] = binomial_coeffs1(n-1,k-1) + binomial_coeffs1(n-1,k)
    вернуть памятку[n][k]
def binomial_coeffs2(n, k):
    #дп снизу вверх
    для я в диапазоне (n + 1):
        для j в диапазоне (мин (i, k) + 1):
            если (j == 0 или j == i):
                мемо [я] [j] = 1
            еще:
                памятка[i][j] = памятка[i-1][j-1] + памятка[i-1][j]
            #конец, если
        #конец для
    #конец для
    вернуть памятку[n][k]
защита print_array (памятка):
    для i в диапазоне (длина (памятка)):
        print('\t'.join([str(x) для x в памятке[i]]))
#главный
п = 5
к = 2
print("DP сверху вниз")
memo = [[-1 для i в диапазоне (6)] для j в диапазоне (6)]
nCk = биномиальный_коэффициент1 (n, k)
print_array (памятка)
print("C(n={}, k={}) = {}". format(n,k,nCk))
print("DP снизу вверх")
memo = [[-1 для i в диапазоне (6)] для j в диапазоне (6)]
nCk = биномиальный_коэффициент2(n, k)
print_array (памятка)
print("C(n={}, k={}) = {}".format(n,k,nCk))
 

Примечание: размер памятной таблицы установлен на небольшое значение (6) для целей отображения, его следует увеличить, если вы вычисляете биномиальные коэффициенты для больших n и k.

Самый простой способ — использовать мультипликативную формулу. Он работает для (n,n) и (n,0), как и ожидалось.

 Коэффициент защиты (n,k):
    с = 1,0
    для i в диапазоне (1, k+1):
        c *= число с плавающей запятой ((n+1-i))/число с плавающей запятой (i)
    вернуться с
 

Мультипликативная формула

Рекомендуется применить рекурсивное определение, как в ответе Вадима Смолякова, в сочетании с DP (динамическим программированием), но для последнего вы можете применить декоратор lru_cache из модуля functools:

 импорт функциональных инструментов
@functools. lru_cache (максимальный размер = нет)
по определению бином(n,k):
    если k == 0: вернуть 1
    если n == k: вернуть 1
    вернуть бином (n-1, k-1) + бином (n-1, k)
 

Немного укороченный мультипликативный вариант, предоставленный PM 2Ring и alisianoi. Работает с Python 3 и не требует никаких пакетов.

 по умолч. гребенка(n, k):
  # Удалите следующие две строки, если проверка выхода за пределы диапазона не требуется
  если k < 0 или k > n:
    возврат Нет
  х = 1
  для i в диапазоне (мин (k, n - k)):
    х = х*(п - я)//(я + 1)
  вернуть х
 

или

 из functools import reduce
защитная гребенка (n, k):
  return (Нет, если k < 0 или k > n, иначе
    уменьшить (лямбда x, i: x * (n - i)// (i + 1), диапазон (мин (k, n - k)), 1))
 

Деление выполняется сразу после умножения, чтобы не накапливать большие числа.

Для всех, кто ищет журнал биномиального коэффициента (Theano называет это binomln ), этот ответ содержит:

 из журнала импорта numpy
из scipy. special импортировать betaln
def binomln(n, k):
    «Журнал scipy.special.binom полностью рассчитан в домене журнала»
    return -betaln(1 + n - k, 1 + k) - log(n + 1)
 

(И если в вашем языке/библиотеке не хватает betaln , но есть gammaln , как в Go, не бойтесь, так как betaln(a, b) это всего лишь gammaln(a) + gammaln(b) - gammaln( a + b) , согласно MathWorld.)

 импортировать математику
определение биномиальных_коэффициентов (n, k):
      продукт = 1
      для i в диапазоне (k):
           продукт = math.floor(((продукт * (n - i))/(i + 1))
 возврат товара
 

при вычислении биномиальных коэффициентов не следует вычислять конечное произведение n(n-1) ... (n - k +1) для (n, k) и k!. Это может вызвать ошибку переполнения. Поэтому, используя немного теории чисел, мы можем предположить, что входные данные всегда будут в целочисленной форме (поскольку комбинация (n, k) принимает только целые числа)) мы можем видеть, что для целого числа «i» в произведении последовательных целые числа, любой член u в произведении всегда будет делиться на i.