Бином ньютона для разности: Бином Ньютона

Оглавление

Обе формулы могут быть получены просто по индукции; Бином Ньютона также имеет комбинаторное доказательство (вот соответствующая страница в Википедии). Поразительно, насколько похожи эти формулы; возможна ли между ними связь? Я думал, что может быть общее правило Лейбница можно получить и с помощью комбинаторного рассуждения (отсюда и биномиальные коэффициенты)…0025 биномиальные коэффициенты

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вот один комбинаторный способ взглянуть на обе формулы.

Пусть в первом случае $M$ будет оператором, который съедает полином $f(x,y)$ и возвращает полином $(x+y)f(x,y)$. Обратите внимание, что $M$ линейно, так как умножение является дистрибутивным. Мы хотим начать с $1$, применить $M$ $n$ раз и посмотреть, что получится. Дело в том, что $M$ переводит любой моном $x^r y^s$ в сумму двух родственных: $$M : x^r y^s \to x^{r+1}y^s + x^r y^{s+1}. $$ 9{(n-i)}(x)$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Основная особенность закона Лейбница $f(x)g(x)’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ состоит в том, что он превращает произведение в сумму. Другой способ написать это, чтобы показать, что это более явно:

$$ \ frac {d} {dx} \ left (f (x) g (x) \ right) = \ left (\ left. \ frac {\ partial {\ partial s} \ right \ rvert_ {s, t = x }+\left.\frac{\partial}{\partial t}\right\rvert_{s,t=x}\right)\left(f(s)g(t)\right)=\frac{df} {dx}g(x)+f(x)\frac{dg}{dx} $$

или, если вам не нравится введение отдельных фиктивных переменных только для того, чтобы затем снова заменить их на $x$, вы можете написать с тензорным произведением, например

$$ \frac{d}{dx}\left(f(x)\otimes g(x)\right) = \left(1\otimes \frac{d}{dx} + \frac{d}{dx}\otimes 1\вправо)\влево(f(x)\otimes g(x)\вправо). $$

Как бы мы ни думали об этом, суть в том, что производная произведения на самом деле является суммой двух дифференциальных операторов, примененных к этому произведению.

А как вычислить $n$-ю степень суммы двух коммутирующих переменных? Почему с биномиальной теоремой, конечно. Формула 9{н-и}} $$ что при применении к произведению $f(s)g(t)$ и вычислении при $s=t=x$ дает вам желаемую обобщенную формулу Лейбница. Итак, мы рассматриваем эту формулу как частный случай биномиальной теоремы. Ведь биномиальная теорема — это всего лишь бухгалтерия комбинаторики применения дистрибутивного закона $n$ раз. А дифференциальные операторы распределяют по сложению точно так же, как это делает умножение. Вот почему $n$-е правило производного произведения — это всего лишь $n$ приложений закона распределения. Комбинаторика этого хорошо объяснена в ответе Тэда.

Таким образом, вопрос здесь не в том, почему $n$-кратная производная, которая на самом деле является суммой, имеет ту же форму, что и $n$-я степень суммы. Теперь это очевидно: первое — всего лишь частный случай второго. Вместо этого возникает вопрос: почему производная произведения вообще является суммой? Какова интуиция, стоящая за необобщенным законом Лейбница для первой производной? Графика в Википедии полезна. В этой теме есть несколько хороших ответов. Я предложу следующее: производная — это линейный отклик функции на небольшое изменение входных данных. Имеет смысл, что когда вы вычисляете линейный отклик произведения двух функций, вы получаете произведение сумм, которые вы распределяете. Но в основном это, наверное, тема для отдельного вопроса.

Добавлю, что в физике и обработке сигналов и в других местах, где вы проводите свои дни в преобразованиях Фурье, очень естественно думать о дифференцировании и умножении на нашу независимую переменную как о двух сторонах одной медали. Каждая функция допускает двойственное представление в конфигурационном пространстве и в импульсном пространстве. Умножение в конфигурационном пространстве — это то же самое, что и дифференцирование представления в импульсном пространстве, и наоборот. Так что, конечно, $n$ приложений одного равно $n$ приложений другого. Бьюсь об заклад, эта точка зрения может быть конкретизирована в полный ответ на вопрос.

$\endgroup$

2

Биномиальная формула расширения – важные термины, свойства, практическое применение и пример задачи

Биномиальная теорема – это быстрый способ умножить или расширить биномиальное выражение. Интенсивность выразительности была значительно усилена. Как мы все знаем, умножение таких высказываний на большие степени и фразы всегда затруднено. Однако биномиальные разложения и формулы чрезвычайно полезны в этой области. Биномиальная теорема и формула биномиальной теоремы будут обсуждаться в этой статье. Давайте начнем с нескольких примеров, чтобы понять концепцию.

Что такое биномиальное расширение и как оно работает?

Биномиальная теорема — это математическое выражение, описывающее расширение степеней бинома. Согласно этой теореме многочлен (x + y)n можно разложить в ряд сумм, содержащих слагаемые типа an xbyc.

Показатели степени b и c — целые неотрицательные числа, а b + c = n — условие. Кроме того, в зависимости от n и b коэффициент каждого члена представляет собой отдельное положительное целое число.

Для n = 4 рассмотрим следующее: 9k\]

Также помните, что n! является факториальной записью. В данном случае он отражает произведение всех целых чисел от 1 до n.

Ниже приведены некоторые расширения:

(x+y)1=x+y

(x+y)2=x²+2xy+y²

(x+y)3=x³+3x²y+3xy²+y³

(x+y)n  

Свойства биномиального разложения

• Всего имеется n+1 членов.

• xn — начальный термин, а isyn — последний.

• Показатель степени x уменьшается на 1 от члена к члену по мере продвижения от первого к последнему. В то время как показатель степени y растет на единицу, показатель степени x увеличивается на единицу. Кроме того, сумма обоих показателей в каждом члене равна n.

• Мы можем просто определить коэффициент следующей фразы, умножив коэффициент каждого слагаемого на показатель степени x в этом слагаемом и разделив произведение на число этого слагаемого.

Биномиальная теорема Общий термин

Биномиальное расширение — это один из методов, используемых для расширения биномов со степенями в алгебраических выражениях. В алгебре бином — это алгебраическое выражение, состоящее ровно из двух членов (приставка «би» относится к числу 2). Если биномиальное выражение (x + y)n должно быть расширено, можно использовать формулу биномиального расширения, чтобы выразить это через более простые выражения формы ax + by + c, в которых «b» и «c» не равны. -отрицательные целые числа. Значение «а» полностью зависит от значения «n» и «b». Этот раздел дает более глубокое понимание того, что такое общий термин биномиального расширения и как биномиальное расширение связано с треугольником Паскаля.

Математическая форма общего члена биномиального разложения

Любой бином вида (a + x) можно разложить в любую степень, скажем, «n», используя приведенную ниже формулу биномиального разложения.

( a + x )n = an + nan-1x + \[\frac{n(n-1)}{2}\] an-2 x2 + …. + xn

Приведенная выше формула более благоприятна, когда значение «x» намного меньше, чем значение «a». Это связано с тем, что в таких случаях первые несколько членов разложения дают лучшее приближение к значению выражения. Расширение всегда имеет (n + 1) членов. Общий член биномиального разложения можно также записать как: 9k\]

Обратите внимание, что факториал равен

N! = 1 . 2 . 3 … п

0! = 1

Важные термины, связанные с биномиальным расширением

Расширение бинома, возведенного в некоторую степень, дается биномиальной теоремой. Это наиболее широко известно как биномиальное расширение. Различные термины, используемые в биномиальном расширении, включают:

• Общий термин

• Средний термин

• Независимый термин

• Чтобы определить конкретный термин

• Наибольший численный термин

• Отношение последовательных членов, также известное как коэффициенты

Биномиальная теорема и треугольник Паскаля: .

При таком представлении необходимо сделать следующие наблюдения.

• Каждое расширение имеет на один член больше, чем выбранное значение «n».

• В каждом члене разложения сумма степеней равна начальному выбранному значению n.

• Степени «а» начинаются с выбранного значения «n» и уменьшаются до нуля по мере расширения, тогда как степени «b» начинаются с нуля и достигают значения «n», которое является максимальным.

• Коэффициенты начинаются с 1, увеличиваются до половины и уменьшаются на столько же до единицы.

Свойства биномиальной теоремы

Биномиальные теоремы обладают многочисленными свойствами, полезными в математических вычислениях. Вот несколько важных свойств биномиальных коэффициентов:

• Каждое биномиальное расширение имеет на один член больше, чем число, указанное как степень бинома.

• Показатель степени каждого члена в разложении, если сложить, дает сумму, равную степени бинома.

• Степени первого члена бинома уменьшаются на 1 с каждым последующим членом разложения, а степени второго члена увеличиваются на 1. 

• Важно отметить, что коэффициенты образуют симметричную структуру.

Формула биномиального расширения Практическое применение

Биномиальное расширение используется в различных математических и научных расчетах, которые в основном связаны с различными темами, включая 

• Кинематическая и гравитационная дилатация времени

• Кинетическая энергия

• Электрический квадрупольный полюс

• Определение алкогольного коэффициента гамма

.

Ответ на этот вопрос — большое ДА!! Некоторые алгебраические тождества могут быть получены или доказаны с помощью биномиального расширения. Следующие тождества можно доказать с помощью биномиальной теоремы.

• (х + у)2 = х2 + 2ху + у2

• (х — у)2 = х2 — 2ху + у2

• (х + у)3 = х3 + 3ху2у + 3ху2у + 3ху2у

• (x — y)3 = x3 — 3x2y + 3xy2 — y3

Примеры задач на биномиальное разложение

1. Вычислить (3 + 7)3 с помощью биномиальной теоремы.

Решение:

Формула биномиального разложения имеет вид:

(x+y)n = xn + nxn-1y + n(n-1)2! xn-2y2 +…….+ yn

В данной задаче

х = 3 ; у = 7; п = 3

(3 + 7)3 = 33 + 3 х 32 х 7 + (3 х 2)/2! x 31 x 72 + 73

= 27 + 189 + 441 + 343

(3 + 7)3 = 1000

Интересные факты

• на единицу больше, чем степень биномиального разложения.

  No related posts.

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт