Бином ньютона примеры решения: 11. Бином Ньютона

Содержание

Математический анализ. (Виленкин)

Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. M., Просвещение, 1969 г.

Учебное пособие для школ с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая ранее (1968 г.) книга «Алгебра» того же авторского коллектива, может быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной школы.

8. Вычитание множеств.
9. Отображение множеств.
10. Краткие исторические сведения.
Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
2. Целые рациональные выражения и функции.
3. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
4. Многочлены.
5. Умножение многочленов.
6. Числовые кольца и поля.
7. Кольцо многочленов над данным числовым полем.
8. Бином Ньютона.
§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов
2. Теорема Безу. Схема Горнера.
3. Корни многочлена.
4. Интерполяционные формулы.
5. Кратные корни.
6. Многочлены второй степени.
7. Многочлены с целыми коэффициентами.
8. Краткие исторические сведения.
Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общая теория уравнений
2. Область допустимых значений.
3. Уравнения.
4. Совокупности уравнений.
5. Преобразования уравнений.
6. Теоремы о равносильности уравнений.
§ 2. Уравнения с одним неизвестным

Метод разложения на множители.
3. Метод введения нового неизвестного.
4. Биквадратные уравнения.
5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней.
§ 3. Функциональные неравенства
2. Равносильные неравенства.
3. Доказательство неравенств.
4. Линейные неравенства.
5. Решение неравенств второй степени.
6. Решение алгебраических неравенств высших степеней.
7. Краткие исторические сведения.
Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Степени с целым показателем
2. Степень с нулевым показателем.
3. Степень с целым отрицательным показателем.
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями
2. Степени с рациональными показателями.
3. Свойства степеней с рациональными показателями.
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения
2. Одночленные иррациональные выражения.
3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.
4. Извлечение корня из произведения и степени.
5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.

6. Возведение корня в степень.
7. Извлечение корня из корня.
8. Подобные корни.
9. Сложение и вычитание корней.
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.
11. Преобразование выражений вида …
12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений.
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства
2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.
3. Уединение радикала.
4. Введение нового неизвестного.
5. Особые случаи решения иррациональных уравнений.
6. Иррациональные неравенства.
7. Краткие историчесие сведения.
Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

§ 1. Системы алгебраических уравнений
2. Системы уравнений.
3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.
4. Совокупность уравнений.
5. Равносильные системы уравнений.
6. Метод подстановки.
7. Метод алгебраического сложения уравнений.

8. Метод введения новых неизвестных.
9. Системы однородных уравнений.
10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.
§ 2. Системы линейных уравнений
2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений.
3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).
5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.
6. Системы однородных линейных уравнений.
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений
2. Выражение степенных сумм
3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
4. Системы симметрических алгебраических уравнений.
5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений.
§ 4. Неравенства с многими переменными
2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.
3. Неравенство Коши (двумерный вариант).
4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.

§ 5. Решение неравенств
2. Неравенства с двумя переменными.
3. Задание областей неравенствами и системами неравенств.
4. Понятие о линейном программировании.
5. Краткие исторические сведения.
Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
2. Комплексные числа.
3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.
4. Умножение комплексных чисел.
5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами.

6. Деление комплексных чисел.
7. Сопряженные комплексные числа.
8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2. Полярная система координат.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.
6. Извлечение корня из комплексного числа.
7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.

§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений
2. Двучленные уравнения.
3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников.
4. Трехчленные уравнения.
§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия
2. Многочлены с действительными коэффициентами.
3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами.

4. Краткие исторические сведения.
Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Конечные цепные дроби
2. Пример цепной дроби.
3. Определение цепной дроби.
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби.
5. Подходящие дроби.
6. Свойства подходящих дробей.
8. Подходящие дроби и календарь.
9. Приближение цепной дроби подходящими дробями.
§ 2. Бесконечные цепные дроби
2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными.
3. Цепные дроби как вычислительный инструмент.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VII. КОМБИНАТОРИКА
§ 1. Комбинаторные задачи
§ 2.

Комбинаторные задачи. Продолжение
§ 3. Определения и формулы
§ 4. Соединения с повторениями
§ 5. Комбинаторные задачи. Окончание
§ 6. Бином Ньютона и его обобщения
§ 7. Краткие исторические сведения

Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности
§ 3. Примеры вычисления вероятностей
§ 4. Полная вероятность. Формула Байеса
§ 5. Повторение испытаний
§ 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание
§ 7. Краткие исторические сведения

Урок в 10 классе из раздела комбинаторика «Бином Ньютона»

Алгебра. 10 класс

Дата:_____________

Урок № 87

Учитель: Горбенко Алена Сергеевна

Тема: Бином Ньютона

Тип урока: комбинированный

Цель урока: обсудить формулу бинома Ньютона и ее применение

Задачи:

Образовательные: научить учащихся возводить двучлен в натуральную степень; находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля; научить представлять степени двучлена в виде многочлена по формуле бинома Ньютона;

Развивающие: развивать логическое мышление, такие мыслительные операции, как синтез и анализ, обобщение и сравнение; развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимать необходимость их проверки; развивать интерес к предмету;

Воспитательные: формировать активность личности учащегося, умение работать самостоятельно.

Оборудование: Школьные принадлежности, доска, мел, учебник, раздаточный материал

Ход урока

I. Организационный момент

ü Взаимное приветствие;

ü Фиксация отсутствующих;

ü Объявление темы урока;

ü Постановка целей и задач урока учащимися.

II.

Самостоятельная работа

Найти значение выражения (С+ С) : С

Решение:

(С+ С) : С= = +=

(напомним, что =n; = .) = = 1.

III. Актуализация знаний

Прочитайте выражения: (х +2у)², (а- b)³, (c — d)², (а+1)³, (с+3а)⁴, (х -2)⁵.

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; и т.д.)

Что общего в заданных выражениях? (каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена. )

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?

Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых четырёх примеров, для 5 и 6 придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.

1. (х +2у)² = х² +4ху + 4у²

2. (а — 2)³ = а³— 3а² 2 +3а 2² — 2³= а³— 6а²+12а -8.

3. (c — 0,1d)²= с² — 0,2cd + 0,01d².

4. (а+2у)³ = а³+ 3а² 2у +3а (2у)² +(2у)³= а³+ 6а²у +12ау² +8у³.

5. (с+а)⁴ = (с+а)² (с+а)² = (с² +2са + а²) (с² +2са +а²) == с⁴ + 2ас³ +а²с² + 2ас³ +4а²с² +2а³с +а²с² +2а³с +а⁴ == с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴.

6. (х -2)⁵ = (х -2)³ (х -2)²= (х³— 6х² +12х — 8) (х² — 4х+ 4) = = х⁵ — 4х⁴ +4х³ — 6х⁴ +24х³— 24х² +12х³— 48х² + 48х — 8х²+32х -32 == х⁵ -10х⁴ + 40х³ — 80х² +80х -32.

Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?

(Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.)

В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, отчего зависело количество подобных слагаемых?

Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней.

И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.

IV. Изучение нового материала

Прежде чем рассмотреть саму формулу, вспомним определения сочетания и числа сочетаний, используемые в формуле бином Ньютона.

Определение: Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по m элементов называется любое подмножество, которое содержит m различных элементов данного множества.

Определение: Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается

С, читается С из n по m, вычисляется по формуле:

С= , где n! = 1* 2 *3 * ::. *(n-2)*(n-1)*n (читается n-факториал).

Вернёмся к примеру №5: (с+а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴,

· Что означают коэффициенты перед слагаемыми?

· Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С, где n — степень двучлена, m — степень второго выражения.

Степень одного из множителей в одночленах с³а или са³ равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = ==4, что подтверждается вашими вычислениями.

Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с²а² : С = ==6, что также верно.

Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С= С= 1.

Можно проверить на известных формулах квадратов и кубов, что коэффициенты перед слагаемыми подчиняются той же закономерности.

Теперь обратим внимание на степени первого и второго выражений в одночленах, запишем ещё раз примеры №№1-6, опуская само решение:

1. (х +2у)² = х² +4ху + 4у²

2. (а — 2)³ = а³— 6а²+12а -8.

3. (c — 0,1d)²= с² — 0,2cd + 0,01d².

4. (а+2у)³ = а³+ 6а²у +12ау² +8у³.

5. (с+а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴.

6. (х -2)⁵ = х⁵ — 5 * 2 * х⁴ + 10 * 2² * х³ — 10 * 2³ *х² + 5 * 2⁴ х -32 = х⁵ -10х⁴ + 40х³ — 80х² +80х -32.

Что вы заметили?

Объединим ваши замечания в следующие правила:

1. Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

2. Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

3. Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

4. Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

5. Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С, где n — степень двучлена , m — переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

А теперь запишем формулу бинома Ньютона — формулу представления степени двучлена в многочлен.

Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство

(a+b)ⁿ = Сaⁿ+ Сa^n-1 b + Сa^n-2 b² +:.+ Сa^n-r b^r +:.+ Сbⁿ.

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С- биномиальными коэффициентами.

Запишем пример № 6, используя бином Ньютона:

(х -2)⁵= Сх⁵+ Сх⁴(-2)¹ + Сх³ (-2)² + Сх² (-2)³ +Сх¹ (-2)⁴ +С(-2)⁵=

Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:

С= С=1; С= С==5; С= С===10. )

=х⁵ -5 х⁴2+ 10х³ 2² — 10х² 2³ +5х 2⁴-2⁵= х⁵ -10х⁴ + 40х³ — 80х² +80х -32.

Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.

Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.

6. Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Подведём итоги, что мы знаем о способе разложения степени двучлена в многочлен по формуле бином Ньютона.

1. Формула бинома Ньютона: (a+b)ⁿ = Сaⁿ+ Сaⁿ^-1 b + Сaⁿ^-2 b² +:. + Сa^n-r b^r +:.+ Сbⁿ.

2. Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

3. Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

4. Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

5. Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

6. Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С, где n — степень двучлена, m — переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

7. Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

8. Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты — это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?

Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662)

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей.

V. Практическая часть урока. Закрепление изученного материала

Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).

№ 1. ( х +у)⁵= х⁵+ 5х⁴у + 10х³у²+ 10х²у³+ 5ху⁴+ у⁵

№ 2. (1 + 2а)⁴= 1⁴+ 4·1³·2а + 6·1²·(2а)²+ 4· 1¹·(2а)³+ (2а)⁴ = 1 + 8а + 24а²+ 32а³+ 16а⁴

№ 3. (х – у)⁶= (х + (-у))⁶= х⁶+ 6х⁵(-у) + 15х⁴(-у)²+ 20х³(-у)³+ 15х²(-у)⁴+ 6х(-у)⁵+ у⁶= х⁶– 6х⁵у +15х⁴у²– 20х³у³ + 15х²у⁴– 6ху⁵+ у⁶.

№ 4. (х+у)⁶= х⁶ +6х⁵у +15х⁴ у² +20х³у³ +15х²у⁴ +6ху⁵ +у⁶.

№ 5. (1- 2а)⁴ = 1 * 1⁴ (2а)⁰ – 4* 1³ 2а + 6*1² (2а)² — 4 * 1¹* (2а)³ + 1 * 1⁰(2а)⁴ == 1 — 8а + 24а² — 32а³ + 16а⁴.

VI. Информация о домашнем задании

VII. Подведение итогов урока. Рефлексия

1. Какова тема урока?

2. Что нового вы узнали сегодня на уроке?

3. С какими трудностями вы столкнулись при использовании формулы бинома Ньютона?

Формулы биномиального разложения — вывод, примеры

Прежде чем изучать формулы биномиального разложения, давайте вспомним, что такое «биномиал». Биномиал — это алгебраическое выражение с двумя членами. Например, a + b, x — y и т. д. являются биномами. У нас есть набор алгебраических тождеств, чтобы найти разложение, когда двучлен возведен в степени 2 и 3. Например, (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² . Но что, если показатели степени больше? Утомительно искать расширение вручную. 9Формула биномиального расширения 0009 упрощает этот процесс. Давайте изучим формулу биномиального расширения вместе с несколькими решенными примерами.

Что такое формулы биномиального разложения?

Как мы обсуждали в предыдущем разделе, формулы биномиального разложения используются для нахождения степеней биномов, которые нельзя разложить с помощью алгебраических тождеств. Формула биномиального расширения включает биномиальные коэффициенты, которые имеют вид \(\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)\) (или) \(n_{C_{k} }\) и рассчитывается по формуле \(\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)\) =n! / [(н — к)! к!]. Формула биномиального разложения также известна как биномиальная теорема. Вот формулы биномиального разложения.

Формула биномиального расширения природных сил

Эта формула биномиального расширения дает расширение (x + y) ⁿ где n – натуральное число. Расширение (x + y) ⁿ имеет (n + 1) членов. В этой формуле говорится:

(x+ y) ⁿ = ^N C \ (_ 0 \) x ^N Y ⁰+ ^N C \ (_ 1 \) x ^{n —} C \ (_ 1 \) x ^{n — 1} y ¹ + ⁿ C\(_2\) x ^n-2 y ² + ⁿ C\(_3\) x ^{n — 3} y ³ + . .. + ⁿ C\(3 0 0 0 9 0 3 ) 1 n — 1 + ⁿ C\(_n\) x ⁰ y ⁿ

Здесь мы используем формулу nC\(_k\) для расчета биномиальных коэффициентов, которая говорит ⁿ C\(_k\) = п! / [(н — к)! к!]. Применяя эту формулу, приведенную выше формулу биномиального расширения также можно записать как

(x + y) ⁿ = x ⁿ + n x ^{n — 1} y ¹ + [n(n — 1)/2!] x ^n-2 y ² + 1 [n(n — 1) 2)/3!] x ^{n — 3} y ³ +… + n x y ^{n — 1} + y ⁿ

о среднем сроке. т. е. первый коэффициент равен последнему, второй коэффициент равен второму от последнего и т. д.

Формула биномиального разложения рациональных степеней

Эта формула биномиального разложения дает разложение (1 + x) ⁿ где n – рациональное число. Это разложение имеет бесконечное число членов.

(1 + x) ⁿ = 1 + n x + [n(n — 1)/2!] x ² + [n(n — 1)(n — 2)/3 !] x ³ +…

Примечание: Чтобы применить эту формулу, значение |x| должно быть меньше 1.

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.

Закажите бесплатный пробный урок

Примеры использования формул биномиального расширения

Пример 1: Найдите расширение (a + b) ³ .

Решение:

Чтобы найти: (a + b) ³

Используя формулу биномиального разложения,

(x+ y) ^N = ^N C \ (_ 0 \) x ^N Y ⁰+ ^N C \ (_ 1 \) x ^{N — 1} Y ¹+^N C \ (_ 2 \) x ^{N -2} Y ²+^N C \ (_ 3 \) X ^{N — 3} Y ³+. .. + ⁿ C\(_{n-1}\) x y ^{n — 1} + ⁿ C\(_n\) x ⁰ y ⁿ

(003 b

)

= ³ C \ (_ 0 \) A ³ +³ C \ (_ 1 \) A ^{(3 — 1)} B +³ C \ (_ 2 \) A ^{(3 — 2)} b ² + ³ C\(_3\) a ^{(3 — 3)} b ³
= ( 3! / [(3-0)! ] ) a ³ + ( 3! / [(3-1)!1!] ) a ^{(3 — 1)} b + ( 3! / [(3-2)!2!] ) a ^{(3 — 2)} b ² + ( 3! / [(3-3)!3!] ) а ^{(3 — 3)} б ³
= (1) а ³ + (3) а ² б + (3) а ^{1 90} 0 3б ⁰ B ³
= A ³ + 3A ² B + 3AB ² + B ³
Ответ: (A + B) ³ = ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ .
Пример 2: Найти разложение (x + y) ⁶ .
Решение:
Использование формулы биномиального расширения,
(x+ y) ^N = ^N C \ (_ 0 \) x ^N Y ⁰+ ^{N 9004 C \ (_1 \) x ^{N — 1} Y ¹ +^N C \ (_ 2 \) x ^{N -2} y ² +^N C \ (_ 3 \) x ^{n — 3} y ³ + … + ⁿ C\(_{n-1}\) x y ^{n — 1} + ⁿ C\(_n\) x ⁰ y ⁿ}
(x + y) ⁶ = ⁶ C\(_0\) x ^{6 0 1 \ 4 C 0 _ + 9 0 0 0 0 0 ) x ⁵ Y+⁶ C \ (_ 2 \) x ⁴ Y ²+⁶ C \ (_ 3 \) x ³ Y ³+⁶ C \ (_ 4000 \) x ² y ⁴ + ⁶ C\(_5\) xy ⁵ + ⁶ C\(_6\) y ⁶}
! )!0!] ) x ⁶ + ( 6! / [(6-1)!1!] ) x ⁵ y + ( 6! / [(6-2)!2!] ) x ⁴ y ² + ( 6! / [(6-3)!3!] ) x ³ y ³ + ( 6! / [(6-4)!4!] ) x ² y ⁴ + ( 6! / [(6-5)!5!] ) xy ⁵ + ( 6! / [(6-6)! 6!]) Y ⁶
= x ⁶+ 6x ⁵ Y+ 15x ⁴ y ²+ 20x ³ y ³+ 15x ² y ⁴ + 6x y ⁵ + y ⁶
Ответ: (x + y) ⁶ = x ⁶+ 6x ⁵ Y+ 15x ⁴ Y ²+ 20x ³ Y ³+ 15x ² Y ⁴+ 6x Y ⁵+ Y ⁶ .
Пример 3: Найдите разложение (3x + y) ^1/2 до первых трех членов, используя формулу биномиального разложения рациональных показателей, где \(\left|\dfrac y {3x}\right|\ ) < 1.
Решение:
(3x + y) ^1/2 = 3x (1 + y/(3x)) ^1/2
Сравнивая (1 + y/(3x)) ^1/2 с (1 + x) ⁿ , мы имеем x = y/(3x) и n = 1/2.
Расширение (1 + y/(3x)) ^1/2 до первых трех членов с использованием формулы биномиального разложения:
1 + n x + [n(n — 1)/2! ] x ² = 1 + (1/2) (y / (3x)) + [(1/2) ((1/2) — 1)/2!] (y / (3x) ) ²
= 1 + у / (6х) — у ² / (72х ² )
Таким образом, разложение 3x (1 + y/(3x)) ^1/2 до первых трех членов: ) ] = 3x + y / 2 — y ² / (24x)
Ответ: (3x + y) ^1/2 = 3x + y / 2 — y ² / (24x).
Часто задаваемые вопросы о формулах биномиального расширения
Что такое биномиальное расширение в математике?
Биномиальное расширение заключается в расширении и записи членов, которые равны натуральному показателю степени суммы или разности двух членов. Для двух терминов x и y Биномиальное расширение к мощности n IS (x+ y) ^N = ^N C \ (_ 0 \) x ^N Y ⁰+ ^N C \ (_ 1 \) X ^{N — 1} Y ¹ +^N C \ (_ 2 \) x ^{N -2} Y ² +^N C \ (_ 3 \) x ^{N — 3} y ³ + … + ⁿ C\(_{n-1}\) x y ^{n — 1} + ⁿ C\(_n\) x ⁰ 3 n 90 . Здесь в этом разложении количество слагаемых на единицу больше, чем значение n.
Что такое формулы биномиального разложения?
Формулы биномиального расширения используются для нахождения расширения, когда бином возводится в число. Формулы биномиального расширения:
Как вывести формулу биномиального расширения?
Формула биномиального разложения:0004 C \ (_ 1 \) x ^{N — 1} Y ¹ +^N C \ (_ 2 \) x ^{N -2} Y ² +^N C \ (_ 3 \ ) x ^{n — 3} y ³ + … + ⁿ C\(_{n-1}\) x y ^{n — 1} + n x ⁰ y ⁿ и его можно вывести с помощью математической индукции. Вот шаги, чтобы сделать это.
Шаг 1: Докажите формулу для n = 1.
Шаг 2: Предположим, что формула верна для n = k.
Шаг 3: Докажите формулу для n = k.
Каковы применения формулы биномиального разложения?
Формула биномиального разложения в основном используется для нахождения степени бинома без многократного умножения бинома на самого себя. Эта формула используется во многих понятиях математики, таких как алгебра, исчисление, комбинаторика и т. д.
Как использовать формулу биномиального разложения?
Формула расширения биномиального расширения гласит расширение (x+ y) ⁿ — ⁿ c \ (_ 0 \) x ⁿ y ⁰+ ^N C \ (_ 1 \) X ^{N — 1} Y ¹ +^N C \ (_ 2 \) x ^{N -2} Y ² +^N C \ (_ 3 \) x ^{N — 3} y ³ + … + ⁿ C\(_{n-1}\) x y ^{n — 1} + ⁿ C\(_n\) x ⁰ y ⁿ где ⁿ C\(_k\) = n! / [(н — к)! к!]. Если нам нужно найти расширение (3a — 2b) ⁷ , мы просто подставляем x = 3a, y = -2b и n = 7 в приведенную выше формулу и упрощаем.
Формула биномиальной теоремы — объяснение, примеры решений и ответы на часто задаваемые вопросы
Конечно, вам нужно немного математики, чтобы описать биномиальный ряд. Вот где вступает в действие биномиальная теорема. С увеличением мощности фактора увеличивается расширение, и, таким образом, вычисление становится длительным и сложным. Биномиальное выражение, возведенное в любую бесконечную степень, можно легко вычислить с помощью формулы биномиальной теоремы. Формулы биномиального разложения используются для определения вероятностей биномиальных событий (у которых есть два варианта, например, орел или решка). Биномиальное распределение — это вероятность того, что что-то произойдет в событии. Биномиальная теорема, широко используемая в статистике, представляет собой просто следующую формулу: 9n_k)\] = читается как «n выбирает k»
Что такое биномиальная теорема?
Биномиальная теорема (иногда называемая биномиальным разложением) — это математическое утверждение, которое выражает для любого положительного целого числа n степень n суммы двух чисел a и b, которая может быть продемонстрирована как сумма n + 1 члена формы. Таким образом, биномиальная теорема сообщает, что, где n — натуральное число:
(p + q) n = pn + (nC1) pn-1q + (nC2) pn-2q2 + … + (nCn-1) pqn-1 + qn
Пример биномиальной теоремы
Если вы бросите кости 15 раз, вероятность того, что выпадет 5, равна 1 из 6 1/6. Это заканчивается биномиальным распределением (n = 15, p = 1/5).
Примеры биномиального распределения из реальной жизни
Знание шансов эксперимента помогает понять его вероятность. Например, вы либо собираетесь победить в спортивном соревновании, либо нет.
Другие примеры:
Вы получаете подарок на день рождения от брата или сестры или нет.
Лекарство лечит или нет.
Либо ты выиграешь лотерейный билет, либо нет.
Введение в биномиальное расширение x и y всегда n.
nC0, nC1, nC2, nC3, nC4, nC5 … .., nCn называются биномиальными коэффициентами и обозначаются как C0, C1, C2, C3, C4, C5, ….., Cn
Биномиальные коэффициенты, находящиеся на одинаковом расстоянии от начала до конца, равны, т. е. nC0 = nCn, nC1 = nCn-1, nC2 = nCn-2 , nC3 = nCn-3 ….и т.д.
Для определения биномиальных коэффициентов мы также можем использовать треугольник Паскаля
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
Биномиальный ряд
Используется в особых случаях, если α является неотрицательным целым числом n, то (n + 2)-й член и все последующие члены в ряду равны 0, потому что каждый состоит из множителя (n — n). В этом разделе также учитываются биномиальная теорема и треугольник Паскаля.
Решенные примеры
Пример 1
Как разложить (3 + 2x) 6 по возрастанию степеней x до члена в x3?
Solution1
Вопрос указывает на то, что нам нужно применить общие формулы биномиального разложения, чтобы расширить члены в скобках, но только до x3.
Чтобы найти ответ, подставим 4 вместо a в биномиальной теореме и 2x вместо b:
36 + (6C1)(35)(2y) + (6C2)(34)(2x)2 + (6C3) (43)(2x)3 + …
= 729 + (6 × 243 × 2x) + (15 × 81 × 3×2) + (20 × 27 × 8×3) + …
= 729 + 2916x + 3645×2 + 4320×3 + …
Биномиальная теорема для (1 + x)n
Эта версия теоремы также работает, когда n представляет собой любую дробь, биномиальная теорема принимает вид: +
(1 + x) n = 1 + nx/1! + п(п-1)2/2! + n (n-1) (n-2)x 3/3!+ ….
No related posts.