Часть 2. Подбрасывание монеты, броски кубика. Теория вероятностей. – МАТЕМАТИКА
В задачах по теории вероятностей, которые представлены в ЕГЭ номером №4, кроме задач о выборе объектов из набора, встречаются задачи на подбрасывание монеты и о бросках кубика. Их сегодня мы и разберем.
Задачи о подбрасывании монеты
Задача 1. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Решение.
В таких задачах удобно выписать все возможные исходы, записывая их при помощи букв Р (решка) и О (орел). Так, исход ОР означает, что при первом броске выпал орел, а при втором – решка. В рассматриваемой задаче возможны 4 исхода: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию «решка выпадет ровно один раз» 2 исхода: РО и ОР. Искомая вероятность равна .
Ответ: 0,5.
Задача 2. Симметричную монету бросают трижды, Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Решение.
Ответ: 0,375.
Задача 3. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз.
Решение.
Эта задача аналогична предыдущей. Пусть каждый раз выпадение решки означает выигрыш жребия «Изумрудом» (такое предположение не влияет на вычисление вероятностей). Тогда возможны 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоприятствуют событию «решка выпадет ровно один раз» 3 исхода: РОО,ОРО,ООР. Искомая вероятность равна .
Ответ: 0,375.
Задача 4. Симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что наступит исход РОО (в первый раз выпадает решка, во второй и третий — орёл).
Решение.
Как и в предыдущих задачах, здесь имеется 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Вероятность наступления исхода РОО равна .
Ответ: 0,125.
Задачи о бросках кубикаЗадача 5. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 8»?
Решение.
Исходом будем считать пару чисел: очки при первом и втором броске. Тогда указанному событию благоприятствуют следующие исходы: 2 – 6, 3 – 5, 4 – 4, 5 – 3, 6 – 2. Их количество равно 5. Ответ: 5.
Задача 6. Одновременно бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
Исходом будем считать пару чисел: очки, выпавшие на первой и второй игральной кости.
Всего имеется 36 равновозможных исходов (на первой кости число от 1 до 6, на второй – также число от 1 до 6).
Вообще, если бросают игральных костей (кубиков), то имеется равновозможных исходов. Столько же исходов получается, если один и тот же кубик бросают раз подряд.
Событию «в сумме выпало 4» благоприятствуют следующие исходы: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Их количество равно 3. Искомая вероятность равна .
Для подсчёта приближённого значения дроби удобно воспользоваться делением уголком. Таким образом, приблизительно равна 0,083…, округлив до сотых имеем 0,08.
Ответ: 0,08
Задача 7. Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
Решение.
Исходом будем считать тройку чисел: очки, выпавшие на первой, второй и третьей игральной кости. Всего имеется равновозможных исходов. Событию «в сумме выпало 5» благоприятствуют следующие исходы: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1.
Их количество равно 6. Искомая вероятность равна . Для подсчёта приближённого значения дроби удобно воспользоваться делением уголком. Приблизительно получаем 0,027…, округлив до сотых, имеем 0,03.
Ответ: 0,03.
Подведем итогПосле изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram. Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.
Также рекомендую изучить «Задачи на вычисление»
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.
Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Решение задания №10 ОГЭ 2020 по математике (теория вероятности, статистика)
Готовимся к ОГЭ
КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
БРОСАНИЕ МОНЕТЫ
1. Монета брошена два раза. Какова вероятность выпадения одного «орла» и одной «решки»?
Решение:
При бросании одной монеты возможны два исхода –
«орёл» или «решка»
При бросании двух монет – 4 исхода (2*2=4):
«орёл» — «решка»
«решка» — «решка»
«решка» — «орёл»
«орёл» — «орёл»
Один «орёл» и одна «решка» выпадут в двух случаях из четырёх. Р(А)=2:4=0,5
Ответ: 0,5
2. Монета брошена три раза. Какова вероятность выпадения двух «орлов» и одной «решки»?
Решение:
При бросании трёх монет возможны 8 исходов (2*2*2=8):
«орёл» — «решка» — «решка»
«решка» — «решка» — «решка»
«решка» — «орёл» — «решка»
«орёл» — «орёл» — «решка»
«решка» — «решка» -«орёл»
«решка» — «орёл» — «орёл»
«орёл» — «решка» — «орёл»
«орёл» — «орёл» — «орёл»
Два «орла» и одна «решка» выпадут в трёх случаях из восьми.
Р(А)=3:8=0,375
Ответ: 0,375
3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды.
Решение:
При бросании четырёх монет возможны 16 исходов: (2*2*2*2=16):
Благоприятных исходов – 1 (выпадут четыре решки)
Р(А)=1:16=0,0625
Ответ: 0,0625
ИГРА В КОСТИ
4. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало больше трёх очков
Решение:
Всего возможных исходов – 6
Числа большие 3 — 4, 5, 6
Р(А)= 3:6=0,5
Ответ: 0,5
5. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число очков
Решение:
Всего возможных исходов – 6
1, 3, 5 — нечётные числа; 2, 4, 6 —чётные числа
Вероятность выпадения чётного числа очков равна 3:6=0,5
Ответ: 0,5
6.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков Результат округлите до сотых
Решение:
У данного действия — бросания двух игральных костей
всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.
Благоприятные исходы:
2 6 3 5 4 4 5 3 6 2
Вероятность выпадения восьми очков равна 5:36 ≈ 0,14.
Ответ: 0,14
7. Дважды бросают игральный кубик. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков
Решение:
Всего исходов выпадения 6 очков — 5:
2 и 4; 4 и 2; 3 и 3; 1 и 5; 5 и 1
Благоприятных исходов — 2
Р(А)=2:5=0,4
Ответ: 0,4
ЛОТЕРЕЯ
8. На экзамене 50 билетов, Тимофей не выучил 5 из них.
Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет
Решение:
Тимофей выучил 45 билетов
Р(А)=45:50=0,9
Ответ: 0,9
СОРЕВНОВАНИЯ
9. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменов: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая
Решение:
Всего исходов 20
Благоприятных исходов 20-(8+7)=5
Р(А)=5:20=0,25
Ответ: 0,25
10. На соревнования по метанию ядра приехали 4 спортсмена из Франции, 5 из Англии и 3 из Италии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий пятым, будет из Италии
Решение:
Число всех возможных исходов – 12
(4 + 5 + 3 = 12)
Число благоприятных исходов – 3
Р(А)=3:12=0,25
Ответ: 0,25
11.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 12 участников из России, в том числе Владимир Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Решение:
Всего исходов – 25
(Владимир Орлов с 25 бадминтонистами)
Благоприятных исходов – (12-1)=11
Р(А)=11:25 = 0,44
Ответ: 0,44
12. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Решение:
Всего исходов – 75
Исполнители из России выступают
на третий день
Благоприятных исходов – (75-27):4=12
Р(А)=12 : 75 = 0,16
Ответ: 0,16
ЧИСЛА
13.
Коля выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5
Решение:
Двузначные числа: 10;11;12;…;99
Всего исходов – 90
Числа, делящиеся на 5:
10; 15; 20; 25; …; 90; 95
Благоприятных исходов – 18
Р(А)=18:90=0,2
Ответ: 0,2
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
14. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых
Решение:
Всего исходов – 176
Благоприятных исходов – 170
Р(А)=170:176 ≈ 0,97
Ответ: 0,97
15. В среднем из каждых 100 поступивших в продажу аккумуляторов 94 аккумулятора заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен
Решение:
Всего исходов – 100
Благоприятных исходов – 100-94=6
Р(А)=6:100=0,06
Ответ: 0,06
Введение в теорию вероятностей | EquiSeq
Введение в теорию вероятности
Вы можете понять вероятность, думая о подбрасывании монеты.
Вероятность — это область математики, занимающаяся вычислением вероятности наступления определенного события.
Вероятность события выражается числом от нуля (событие никогда не произойдет) до единицы (событие обязательно). Например, вероятность выпадения орла при подбрасывании правильной монеты равна ½ или 0,5. Вероятность события также может быть выражена в процентах (например, вероятность выпадения орла при подбрасывании правильной монеты составляет 50 %) или в виде шансов (например, вероятность выпадения орла при подбрасывании правильной монеты равна 1). :1).
Однократный подбрасывание монеты — это событие (также называемое испытанием), которое не связано с другими событиями и не находится под их влиянием. Когда монету подбрасывают дважды, монета не помнит, выпала ли она орлом или решкой в первый раз, поэтому второй бросок монеты независим. Вероятность выпадения орла при первом подбрасывании равна 50%, как и при всех последующих подбрасываниях монеты.
Два исхода подбрасывания монеты: орёл или решка.
При любом отдельном подбрасывании монеты выпадет либо орел, либо решка. Таким образом, два исхода (орел или решка) исключают друг друга; если монета выпадает орлом при одном подбрасывании, она не может выпасть решкой при том же подбрасывании.
Есть два полезных правила для расчета вероятности событий более сложных, чем однократное подбрасывание монеты.
Первое правило продукта. Это утверждает, что вероятность возникновения двух независимых событий является произведением их индивидуальных вероятностей. Вероятность выпадения двух орлов при двух подбрасываниях монеты равна 0,5 х 0,5 или 0,25.
Наглядное изображение подбрасывания двух монет.
Правило произведения очевидно из визуального представления всех возможных результатов подбрасывания двух монет, показанных выше. Вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна 0,5. Если мы рассмотрим все возможные исходы подбрасывания двух монет, как показано, то только в одном случае из четырех обе монеты выпадут орлом, поэтому вероятность выпадения орла на обеих монетах равна 0,25.
Второе полезное правило — правило суммы. Это означает, что вероятность возникновения двух взаимоисключающих событий равна сумме их индивидуальных вероятностей. Как видно из рисунка, вероятность выпадения одного орла и одной решки при подбрасывании двух монет равна 0,5. Это может произойти двумя разными способами. Первая монета может выпасть орлом, а вторая монета может выпасть решкой, или первая монета может выпасть решкой, а вторая монета может выпасть орлом. В любом отдельном испытании невозможно, чтобы оба исхода произошли, поэтому они являются взаимоисключающими.
Существует четыре возможных взаимоисключающих исхода при подбрасывании двух монет, как показано, каждый с вероятностью 0,25. Сумма вероятности двух таких исходов (орел, решка или решка, орел) равна 0,25 + 0,25 или 0,5.
Вероятность применяется к разведению лошадей, а также к подбрасыванию монет.
Основные правила вероятности применимы и к коневодству. Лошади имеют две копии каждого из своих генов.
Лошадь, гетерозиготная по мутации, вызывающей HYPP, имеет генотип n/H. Когда эта лошадь производит гаметы (сперматозоид или яйцеклетку), в гамете имеется только одна копия каждого гена. Существует 50% вероятность того, что гамета имеет аллель n, и 50% вероятность того, что гамета имеет аллель H.
Процесс оплодотворения подобен подбрасыванию двух монет. Если жеребца, который является n/H, скрещивают с кобылой, которая является n/H, шанс того, что жеребенок будет n/n, равен 0,25, а шанс того, что жеребенок будет n/H, равен 0,5. Правило суммы и правило произведения применяются к коневодству точно так же, как и к подбрасыванию монеты.
вероятность выпадения не менее 2 решек
спросил
Изменено 7 лет, 2 месяца назад
Просмотрено 43к раз
$\begingroup$
Допустим, я трижды перебрасывал честную монету, и хочу получить как минимум два орла.
{3-1}= \frac 38 $$ 9{3-2}= \frac 38 $$
Суммарная вероятность выпадения хотя бы двух решек равна: $\frac 38 +\frac 38 =\frac 68 = \frac 34$
Но проблема в том, что, в учебнике сделали по другому и получили результат $\left(\frac 12\right)$
- вероятность
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Опция #$1$:
Добавьте следующее: 93}=\dfrac18$
Следовательно, вероятность выпадения хотя бы $2$ орла равна $\dfrac38+\dfrac18=\dfrac12$.
Вариант #$2$:
Сначала разобьем его на непересекающихся событий из равных вероятностью:
C 1 | С 2 | С 3 | не менее 2 голов -----|-----|-----|---- Н | Н | Н | Да Н | Н | Т | Да Н | Т | Н | Да Н | Т | Т | Нет Т | Н | Н | Да Т | Н | Т | Нет Т | Т | Н | Нет Т | Т | Т | Нет
Затем подсчитайте количество комбинаций с минимум $2$ орлом, что составляет $4$.
Наконец, разделите это число на общее количество комбинаций, которое равно $8$.
Следовательно, вероятность выпадения хотя бы $2$ орла равна $\dfrac48=\dfrac12$.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Минимум две головы означает «две или три головы». Пусть $X$ обозначает количество орлов при трех бросках. В частности, $X\sim Binom(3, 1/2)$, поэтому 93} = \frac{1}{2} . \end{выравнивание}
$\endgroup$
$\begingroup$
Вы неправильно поняли вопрос. Вопрос заключается в том, сколькими способами вы можете получить две или три монеты с решкой, а не сколькими способами у вас может быть до 2 решек .
Вот как я бы подошел к проблеме:
Сначала нам нужно выяснить, сколько существует возможностей.