Б квадрат минус 4 ас: X в квадрате минус 4х и минус 12как написать сокращённо

Формула корней квадратного уравнения — АЛГЕБРА — Все уроки для 8 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

Урок № 49

Тема. Формула корней квадратного уравнения

 

Цель: добиться усвоения учащимися содержания понятия «дискриминантов квадратного уравнения», формулы дискриминанта и схемы вывода формул для решения квадратного уравнения общего вида, а также формул корней квадратного уравнения; сформировать первичные умения находить по формулам дискриминантов квадратного уравнения, по его значению определять количество решений квадратного уравнения и вычислять корни квадратного уравнения.

Тип урока: усвоение знаний и умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Квадратные уравнения».

Ход урока

I. Организационный этап

 

II. Проверка домашнего задания

Самостоятельная работа 10

 

Вариант 1	Вариант 2
1. Решите уравнение:
a) 5х2 — 20 = 0; б) х2 + 7х = 0; в) х2 + 25 = 0	а) 3х2 — 27 = 0; б) х2 — х = 0; в) х2 + 36 = 0
2. Найдите корни уравнения:
а) (2х — 7)2 — 7(7 — 4х) = 0;	а) (х — 5)2 + 5(2х — 1) = 0;
б) (3х — 1)2 — (3х — 1) = 0	б) (2х — 3)2 — 2(2х — 3) = 0
3. При каком значении а корни уравнения
х2 + (а — 2)х + а — 6 = 0	х2 + (а + 1)х + а — 8 = 0
будут противоположными числами?

 

III.

Формулировка мсти и задач урока

С целью создания соответствующей мотивации предлагаем учащимся решить ряд уравнений: несколько из них — неполные квадратные уравнения, а другие — квадратные уравнения общего вида, причем два из них такие, что полный квадрат выделяется легко (например, возведенные квадратные уравнения с четным вторым коэффициентом), а два такие, что выделение полного квадрата затруднено (квадратные уравнения, не являются сводными). Анализ сложившейся ситуации приводит к формулировке проблемы: необходимо найти единственный достаточно простой алгоритм решения квадратных уравнений общего вида. Решение этой проблемы и является главной целью урока.

 

IV. Актуализация опорных знаний и умений

@ С целью успешного восприятия учащимися учебного материала перед его изучением следует активизировать знания и умения учащихся: приемы выделения квадрата двучлена из данного квадратного трехчлена; вычисление значений переменных по формулам; решение уравнений вида х2 = а.

Выполнение устных упражнений

1. Решите уравнения: а) х2 = 25; б) 4х2 = 1; в) 3х2 = 6; г) (х — 1)2 = 25; д) (х + 2)2 = 0.

2. Замените уравнения равносильными приведенными квадратными уравнениями:

а) 2х2 — 6х + 10 = 0; б) 3х2 — 12х2 + 3 = 0; в) 2х + 0,5х2 — 1 = 0; г) -х2 + х — 7 = 0.

3. Подайте трехчлен, если возможно, в виде квадрата двучлена:
а) х2 + 2х + 1; б) 2а + а2 — 1; в) х2 + 1 — 2х; г) х2 + 6х + 9; д) у2 — 8в + 64; e) 36 + 12а + а2; ж) .

 

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Вывод формулы корней квадратного уравнения. Схема решения квадратного уравнения общего вида по формуле.

2. Примеры применение выведенной формулы.

@ Вывод формулы корней квадратного уравнения общего вида традиционно осуществляется в форме решения квадратного уравнения общего вида выделением квадрата двучлена. И хотя перед этим уроком была решена упражнения на повторения (возобновления навыков выделения квадрата двучлена), вывод формулы может вызвать определенные трудности, потому что связано с преобразованиями выражений с буквенными коэффициентами. Поэтому, чтобы преодолеть такие трудности, перед выводом формулы можно еще раз показать все преобразования на примере уравнения с числовыми коэффициентами, а затем переходить к работе с буквенными выражениями (или же в случае невысокого уровня математических способностей учащихся подать их в виде готовых формул).

После вывода формулы важно дать учащимся схему действий с применение выведенных формул в виде алгоритма.

Рассматривая примеры на применение выведенных формул, желательно обратиться к всех возможных случаев (дискриминантов положительный, отрицательный и равен нулю). При решении квадратного уравнения, дискриминантов которого равна нулю, следует показать два способа нахождения корней (двух равных): по выведенной формуле (которую в 9 классе будем изучать как формула абсциссы вершины параболы — графика квадратичной функции у = ах2 + bх + с), а также разложением левой части уравнения на множители по формуле квадрата двучлена (этот способ пригодится для построения графика квадратичной функции путем геометрических преобразований графика функции у = х2).

 

VI. Формирование умений

Выполнение устных упражнений

1. Найдите значение выражения b2 — 4aс: а) а = 1; b = 2; с = 3; б) а = 2; b = 5; с = -3.

2. Найдите значение выражения : а) b = -1; D = 9; а = 2; б) b = -3; D = 25; a = -2.

3. Сколько корней имеет уравнение ах2 + bx + c = 0, если значение выражения b2 — 4ас для него равна: а) 25; б) 3; в) -1; г) 0?

 

Выполнение письменных упражнений

Для реализации дидактической цели урока следует решить задачи следующего содержания:

1. Нахождения дискриминанта квадратного уравнения и определение количества корней этого уравнения.

1) Для квадратного уравнения найдите дискриминантов и укажите число его корней:

а) 2х2 — 3х + 1 = 0;

б) 4х2 + 4х + 1 = 0;

в) -3х2 + 6x — 4 = 0.

2) Вычислите дискриминантов квадратного уравнения и укажите число его корней:

а) 2х2 + 3х + 1 = 0;

б) 2х2 + х + 2 = 0;

в) 9х2 + 6х + 1 = 0;

г) х2 + 5х — 6 = 0.

2. Решение квадратного уравнения по формуле.

1) Решите уравнение:

а) х2 — 6х + 5 = 0;

б) х2 + 4х — 12 = 0;

в) х2 + 7х + 10 = 0;

г) х2 — 3х + 4 = 0;

д) х2 — 10х + 25 = 0;

есть) х2 — 4х — 21 = 0.

2) Решите уравнение:

а) 2х2 — 5х + 3 = 0;

б) 2х2 + х — 1 = 0;

в) 3х2 + 5х — 2 = 0;

г) 4х2 — 4х + 1 = 0;

д) 2х2 — 3х + 2 = 0;

есть) 7х2 — 6х — 1 = 0.

3) Решите уравнение:

а) 3х2 — 7х + 4 = 0;

б) 5х2 — 8х + 3 = 0;

в) 3х2 — 13х + 14 = 0;

г) 2у2 — 9y + 10 = 0;

д) 5у2 — 6y + 1 = 0;

есть) 4х2 + х — 33 = 0;

ж) у2 — 10y — 24 = 0;

с) р2 + р — 90 = 0.

3. Не решая квадратного уравнения, указать те из них, которые имеют заданное количество корней.

1) Не решая уравнения, укажите те из них, которые имеют один корень:

а) 9х2 + 6х + 1 = 0;

б) 3х2 — х — 4 = 0;

в) 2х2 — 16х + 32 = 0.

2) Какое из уравнений не имеет корней:

а) х2 + 2х — 7 = 0;

б) 2х2 — 3х + 8 = 0;

в) 3х2 + 5х + 4 = 0?

4. Решение квадратного уравнения наиболее удобным способом (задание предполагает повторение понятие неполного квадратного уравнения и способы его решения в сочетании с изученным на уроке способом решения квадратных уравнений общего вида).

5. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) Найдите значения b, при которых один из корней уравнения равен -3:

a) 20×2 + bx — b2 = 0;

б) .

2) Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:

а) а2 + 4а + 11; б) в) m2 — 4m + 51; г) .

3) Вставьте пропущенный выражение:

 

 

@ Письменные упражнения имеют целью усвоение формул корней квадратного уравнения (формулы дискриминанта, корней) и формирование умения применять эти формулы (новые знания) в сочетании с изученными ранее способами решения квадратных уравнений (изученный ранее материал). Поскольку на этом уроке только начинается работа по закреплению знаний формул корней квадратного уравнения, с целью предупреждения ошибок и лучшего запоминания изученных формул, следует требовать от учащихся строгого соблюдения алгоритма и устного и письменного воспроизведения выведенных формул (целесообразно использовать такой мнемонический прием запоминания формул в виде предложения — «где равен бэ квадрат минус четыре а это», или использовать другие мнемонические приемы).

Если усвоение нового материала проходит успешно, то уже на этом уроке можно предложить учащимся задания, что предполагает сочетание новых знаний и умений (формул корней квадратного уравнения и первичных умений их применять) с приобретенными ранее знаниями и умениями (виды квадратных уравнений и умение определять вид квадратного уравнения — сводное или неполное определенного вида, и способов решения неполных квадратных уравнений).

 

VII. Итоги урока

В каком случае правильно найдено дискриминантов?

а) 5х2 + 3х + 2 =0, D = 49;

б) 2х2 — 3х — 5 = 0, D = 49;

в) (3х — 2)(3х + 2) = 6х+3, D = 49;

г) 2х2 — 3x + 5 = 0, D = 49.

 

VIII. Домашнее задание

1. Изучить формулы корней квадратного уравнения.

2. Решить примеры на применение этих формул.

3. На повторение: подобрать примеры заданий на преобразование выражений, содержащих квадратные корни, решение которых предусматривает вынесение множителя из-под знака корня, и задачи на сокращение дробей.

Конспект урока по теме: «Решение квадратных уравнений»

Эпиграф к уроку:

“Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным”.

Цели урока:

• умственное развитие учащихся;
• развитие познавательной и творческой деятельности;
• развитие культуры коллективного умственного труда.

Оборудование к уроку: тест “Квадратные уравнения”, кодоскоп, песочные часы, таблицы, черный ящик, корень растения, карточки.

План урока

1. Организационный момент “Настроимся на урок!”
2. Тест “Квадратные уравнения”.
3. Работа по группам: а) математика и биология; б) математика и русский язык.
4. Немного истории: а) квадратные уравнения в Индии; б) квадратные уравнения в Европе.
5. Викторина “Дальше, дальше…”.
6. Урок веселой математики.
7. Итог.

Ход урока

1. Организационный момент “Настроимся на урок!”

Ученикам сообщается тема, задачи и план урока. Обращается внимание на эпиграф.

Учитель: Математику не зря называют “царицей наук”, ей больше, чем какой-либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики – любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Вы уже умеете решать квадратные уравнения. Знание не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам в этом помогу.

2. Тест “Квадратные уравнения”.

Ученики получают карточки с пленкой. Заполняют пропущенные слова на пленке.

I ВАРИАНТ

Уравнение вида ах² + вх+ с = 0 где а, в, с – заданные числа, ; х – переменная, называется…

Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D =

Уравнение вида х² + рх + d =0 называется…

Квадратное уравнение имеет два корня, если b² – 4ас…

Дано уравнение 3х² – 7х + 4 = 0. Найти D. D=…

II ВАРИАНТ

Если ах² + вх + с = 0 квадратное уравнение, то а… коэффициент, с…

Уравнение х² = а, где а < 0, не имеет…

Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если b² – 4 ас…

Уравнение вида ах² + с = 0, где а 0, с 0, называют квадратным уравнением.

Дано уравнение х² – 6х + 8 = 0. Найти D. D =…

Проводится взаимопроверка. Ответы показываем через кодоскоп.

3. Работа по группам.

а) математика и биология (звучит музыка).

Учитель: Внести черный ящик! Угадайте, что в ящике. Даю три определения этому предмету:

Непроизвольная основа слова.

Число, которое после постановки его в уравнение обращает уравнение в тождество.

Один из основных органов растений. /Корень/

Учитель: Вы должны определить, какого растения этот корень, решив следующие уравнения по группам.

х² – 8х + 15 = 0

х² – 11х + 18 = 0

х² – 5х – 6 = 0

х² – 4х + 4 = 0

3х² + 4х + 20 = 0

5х² – 3х – 2 = 0

Учитель: Игра “Математическое лото”. Найти карточку со своим ответом и поместить ее в соответствующую ячейку. “Математическое лото” оформляется на магнитной доске.

Учитель: Что это за растение?

Ответ: Роза.

Учитель: Значит, в черном ящике лежал корень розы, о которой в народе говорят: “Цветы ангельские, а когти дьявольские”. О розе существует интересная легенда: по словам Анакреона, родилась роза из белоснежной пены, покрывающей тело Афродиты, когда богиня любви выходила из моря. Поначалу роза была белой, но от капельки крови богини, уколовшейся о шип, стала алой.

Цветы, как люди, на добро щедры.
И щедро нежность людям
Отдавая,
Они цветут, сердца отогревая,
Как маленькие теплые костры.

б) Математика и русский язык.

Учитель: Решите уравнения, корни которых замените буквами. Используя соответствие “число – буква”.

Решив данные номера, вы должны определить, из какого произведения эти строки:

Природа жаждущих степей
Его в день гнева породила,
И зелень мертвую ветвей,
И корни ядом напоила.

№534 /а/

3х² – 7х + 4 = 0

№540 /а/

8х² — 14х + 5 = 0

№541 /б/

3х² – 8х + 5 = 0

№510 /а/

3х² — 4х = 0

№545 /а/

(х + 4)² = 3х + 40

Решите данные уравнения разными способами.

Ребята: Корни этих уравнений соответствуют слову “анчар”.

Учитель: Кто автор этих стихотворных строк?

Ответ: Александр Сергеевич Пушкин.

Учитель: Видите, ребята, все в этом мире взаимосвязано: математика, русский язык и литература, биология. Мы увидели, что слово “корень” встречается на уроках биологии, русского языка и математики.

4. Немного истории.

а) квадратные уравнения в Индии.

Учитель: По словам математика Лейбница, “кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет”.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 449 году. В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Часто они были составлены в стихотворной форме.

Стук в дверь. Входит “ученый из Индии” со свитком. В роли ученого может выступать старшеклассник.

Учитель: Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары.

Ученый: Здравствуйте, милые ребята! Решите мою задачу про обезьян:

Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавляясь.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Ученики решают задачу у доски и в тетрадях.

б) квадратные уравнения в Европе.

Учитель: Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые написаны в 1202 году. Вывод формулы решения квадратного уравнения встречается у французского математика Ф. Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого,
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе С, в знаменателе А.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда?
В числителе В, в знаменателе А.

Учитель: Как читается теорема Виета?

Ответ: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней равно свободному члену.

Учитель: Напишите на доске формулы.

Пример 1 /устно/: Найти корни уравнения х² – 3х – 4 = 0

Ответ: х₁ = 4, х₂ = -1.

Учитель: Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Ответ: Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + px + q = 0.

Учитель: Пример 2. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: х₁ = 5, х₂ = 6.

Ответ: х² – 11х + 30 = 0

Учитель: Пример 3. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: х₁ = -5, х₂ = 6

Ответ:

х² – х – 30 = 0

х₁ = -6, х₂ = 5

Ответ:

х² + х – 30

х₁ = -5, х₂ = -6

Ответ: х² + 11 + 30 = 0

Пример 3. №664.

Один из корней уравнения 5х² – 12х + С = 0 в три раза больше другого. Найдите С.

5. Викторина “Дальше, дальше…”

В течение одной минуты отвечают на вопросы, приведенные ниже:

1. Уравнение второй степени.
2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?
3. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно…?
4. Когда начнется XXI век?
5. Равенство с переменной?
6. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
7. Очень плохая оценка знаний?
8. Чему равна сумма корней приведенного квадратного уравнения?
9. Цифровой знак, обозначающий отсутствие величины?
10. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент – 1?
11. Сколько раз в году встает солнце?
12. уравнения, имеющие один и тот же корень?
13. Сколько корней имеет квадратное уравнение?
14. Соперник нолика?
15. Что значит решить уравнения?
16. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

6. Урок веселой математики. (Ведут старшеклассники).

Первый ведущий: Ну, ребята, что у нас по расписанию?

Второй ведущий: Это в школе бывают по расписанию. А у нас веселый урок. Он бывает по желанию ребят?

Первый ведущий: Так что у нас по желанию ребят?

Учитель: Многие ребята просят разучить с ними правило нахождения корня квадратного уравнения.

Второй ведущий: Мы с удовольствием разучим это правило. Только объясните, пожалуйста, что такое квадратное уравнение. Чем оно отличается от круглого, прямоугольного?

Первый ведущий: Квадратным уравнением называется уравнение, где неизвестное берется в квадрате, т.е. во второй степени х² + px + q = 0

Второй ведущий: Ну и как же отыскать эти корни? Как они выглядят?

Первый ведущий: Очень просто. Одна девочка сочинила песню про эти корни:

Чтобы решить уравнение,
Корни его отыскать,
Нужно немного терпения,
Ручку, перо и тетрадь.
Минус напишем сначала,
Рядом с ними пополам,
Плюс – минус знак радикала,
С детства знакомого нам.

Второй ведущий: Друзья мои! Я, конечно, в детстве знакомился со знаком радикала. Но сейчас совершенно забыл, что это такое.

Первый ведущий: Это такой знак, который обозначает, что из числа будут извлекать корень квадратный. Но вернемся к песенке.

Ну а под корнем, приятель,
Сводится все к пустяку.
p пополам и квадрате
Минус несчастное q.

Второй ведущий: Почему несчастное q?

Первый ведущий: Потому, что из-за этого q вся путаница. Без него было бы гораздо проще.

Второй ведущий: Ну и что: если вам какая-то буква или предмет усложняет жизнь, значит, его несчастным называть? Например, если вы никак не можете запомнить теорему Пифагора, вы должны говорить: “квадрат несчастной гипотенузы равен сумме квадратов несчастных катетов”. Так что ли, Нет, нет, и не уговаривайте меня, я на это не пойду.

Первый ведущий: Согласен. Пусть будет “Минус прекрасное q”.

Второй ведущий: ну вот, это совсем другое дело. (Вместе поют всю песенку от начала до конца).

7. Итог урока.

Учитель:

1. Какое уравнение называется квадратным?
2. Приведите примеры неполного квадратного уравнения.
3. Чему равен дискриминант, если квадратное уравнение имеет 2 корня?
4. Квадратное уравнение имеет один корень, если…

Оценка работы учеников на уроке, домашнее задание.

Видео с вопросами: Использование знака дискриминанта для определения числа комплексных корней квадратного уравнения

Стенограмма видео

Какое условие является правильным для квадратного уравнения 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю с действительными коэффициентами, чтобы не иметь ненастоящие корни? (A) Дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 положителен. (B) Дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 неотрицательный. Является ли (C) дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 равен нулю? (D) Дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 отрицателен. Или (E) дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 является целым числом.

Чтобы установить, какое условие является правильным, давайте определим, откуда берется дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐. У нас есть квадратное уравнение вида 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю. Нам говорят, что коэффициенты настоящие. Другими словами, 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — действительные числа.

Один из методов решения уравнения этой формы — использование квадратичной формулы. Эта квадратичная формула говорит нам, что решение дается уравнением 𝑥 равно отрицательному 𝑏 плюс или минус квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 по всем двум 𝑎. Теперь, поскольку это квадратное уравнение, мы знаем, что 𝑎 никогда не может быть равно нулю. Если бы 𝑎 было равно нулю, у нас было бы линейное уравнение. И нам не понадобится квадратная формула, чтобы решить ее. Так что мы никогда не будем делить на 𝑎.

Но мы должны быть очень осторожны с этим выражением внутри квадратного корня. Если это выражение положительное, если 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 больше нуля, то мы можем вычислить квадратный корень из этого выражения. Это означает, что квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 сам по себе будет действительным числом. Итак, у нас будет два действительных корня; у нас будет два действительных значения для 𝑥.

Если, однако, 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐, дискриминант, равен нулю, то мы имеем квадратный корень из нуля, который равен нулю. Это означает, что когда мы подставляем все, что знаем о нашем квадратном уравнении, в квадратную формулу, мы просто получаем отрицательное 𝑏 на два 𝑎 как значение для 𝑥. Таким образом, мы получаем один действительный корень.

Если же дискриминант меньше нуля, если он отрицательный, то, найдя квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐, мы получим нереальный ответ. Другими словами, у нас будет мнимое число.