Считайте это знатоком математики
Остин, Техас
28.06.2012
В декабре 2009 года я взял книгу Стивена Строгаца под названием Исчисление дружбы . 0 Читая книгу, я была тронута рассказом о длившихся всю жизнь отношениях автора со своим школьным учителем математического анализа, которого ласково звали Джофф. Они годами переписывались по интересным математическим задачам, пока Строгац учился в колледже, аспирантуре, а затем стал профессором математики. В более позднем возрасте их послания, телефонные звонки и визиты расширились и стали включать больше, чем математику, касаясь отношений в их жизни. Я был вдохновлен математикой и тронут дружбой. Слезы наворачиваются даже сейчас, спустя более двух лет после прочтения книги.
Жан Батист Жозеф Фурье В книге Строгац есть раздел о рядах Фурье. Ряды Фурье являются частью анализа (области математики, в которой живут расчеты), полезной для инженерных задач, связанных с теплом, звуком и электричеством.
Ряды Фурье названы в честь Жозефа Фурье, французского математика, жившего и работавшего на рубеже 19-го века (конец 17, начало 1800-х годов). Фурье помог вырастить область анализа на богатой почве вычислений. Фурье применил свой ряд, чтобы выяснить, как тепло проходит через твердые тела, в виде уравнения теплопроводности. Работа Фурье стояла на плечах великих математиков 18 века, включая Эйлера, Лагранжа и Лапласа.
Фурье также был членом Революционного комитета во время Французской революции. Как и многие другие, Фурье был арестован и заключен в тюрьму, вероятно, вынужденный смириться с возможностью буквально потерять свой блестящий ум в эпоху террора. К счастью для Фурье, Робеспьер проиграл свой первый. К счастью, Фурье пережил эпоху террора и наполеоновских войн и смог найти новаторское решение уравнения теплопроводности. 1
Хотя я и готов углубиться в прошлое Фурье, в этой статье я не собираюсь углубляться в работу его серии. Однако я собираюсь исследовать одну идею, использованную при решении одной из классических задач на ряды Фурье.
Идея из исчисления.
Эта идея реализована при решении задачи разложения прямоугольной волны на сумму синусоид. «Разложение» — это своего рода переписывание. С помощью Фурье прямоугольную волну можно выразить в красивом, чистом пакете, включающем Σ (для суммы) и sin (для синуса). Вот прямоугольная волна: 2
Синусоиду мы видели в одном из моих первых постов. Вот синусоидальная волна, наложенная на прямоугольную:
Уже два графика имеют бесконечно много общих точек, пересечения в 9 точках.0006 x — перехваты происходят каждые 3 или около того единиц. (Да, да. Эти пересечения происходят через каждые π единиц.) Конечно, бесконечность общих точек предполагает, что шаблоны продолжаются так же, как мы видим их в маленьком окне изображения. Они делают. Это простое окно в большой мир двух графиков.
Теперь у нас есть классическая задача построения квадратного графика из сексуальных кривых синусоиды. 3 Секрет в том, чтобы использовать более одной синусоиды.
Чем больше синусоид вы используете, тем лучше приближение.
При попытке смоделировать конкретную кривую (в нашем случае прямоугольную волну) анализ Фурье предлагает процесс поиска используемых синусоид. Я хочу поиграть только с одной из идей, использованных в процессе. Аналитические методы записи меандра в виде суммы синусоид включают в себя шаг, на котором сумма синусов умножается на другой синус. В начале процесса человек сталкивается с грехом 2 x .
Само по себе это уравнение, без контекста рядов Фурье, весьма примечательно (отсюда и все эти замечания). На математическом жаргоне это уравнение звучит так: «Интеграл от отрицательного пи до пи синуса х (пауза) в квадрате по отношению к х равняется пи». S-образная кривая является интегральным символом. Это растянутая буква «с», и она представляет собой сумму. Интегралы и связанный с ними процесс, называемый «интеграцией», предоставляют средства для нахождения накопления изменений.
Я имею в виду, что если у вас есть функция для скорости объекта (скорость объекта и направление его движения), интеграл можно использовать, чтобы узнать, какое расстояние объект проходит за заданный промежуток времени. это очень похоже на понятие d = rt . 4
Интеграл не только дает нам возможность найти накапливающееся изменение, он также может быть использован для нахождения площади. Это одна из удивительных связей исчисления. Значение интеграла sin 2 x по отношению к x от −π до π также представляет собой площадь между кривой и осью x , серая часть на следующем изображении.
Технология, если хотите, интеграла отвечает на один из двух фундаментальных вопросов исчисления. 5 Существуют аналитические методы, использующие алгебру, тригонометрию и вычисления для нахождения площади «под кривой» sin 2 x между −π и π. 6 В своей книге Строгац рассказывает о простом геометрическом методе нахождения значения интеграла из письма, которое прислал ему школьный учитель математики.
Этот метод характерен для мела.
График sin 2 x между −π и π прекрасно помещается в прямоугольник высотой 1 единица и шириной 2π единиц. Коробка имеет площадь 2π единиц 2 . (Помните: площадь прямоугольника — это произведение его длины и ширины.) График sin 2 x не просто идеально подходит, на самом деле он занимает ровно половину площади прямоугольника. Откуда нам знать? В игре присутствует тригонометрическое тождество.
Это фундаментальное пифагорейское тригонометрическое тождество. Учитывая, что коробка имеет высоту 1 единицу, свет может начать сиять из темноты, если вы решите добавить область между графиком sin 2 x и 1 в область «под» sin 2 x . Вы обнаружите, что вы добавляете область, заключенную в cos 2 x , к области, заключенной в sin 2 x . Вы получите площадь, ограниченную горизонтальной линией y = 1, что дает наши старые добрые 2π единицы 2 .
Если вам нужно более строгое объяснение, ознакомьтесь с примечанием ниже.
0. Строгац, Стивен Х. и Дон Джоффрей. Исчисление дружбы: что учитель и ученик узнали о жизни во время переписки о математике . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, 2009. Печать.
1. Мне любопытно, повлиял ли и каким образом опыт Фурье в качестве француза двадцати с небольшим лет во время Французской революции на его математические интересы. (Ему было 26, когда он был заключен в тюрьму.) Фурье опубликовал Mémoire sur la ppagation de la chaleur dans les corps solides через тринадцать лет после правления террора. Как на мышление Фурье в течение этого десятилетия повлиял его опыт во время стремительного прихода Наполеона к власти? Была ли его работа над уравнением теплопроводности подпитываться военными приложениями? Я наивен, чтобы даже спросить?
Чтобы узнать больше о Фурье, человеке или серии, см.:
MacTutor Math Archive
Wikipedia
Mathworld
2.
Компьютерные изображения в этом посте были сделаны с помощью Apple Grapher©. Анимация использует несколько изображений, загруженных с помощью GIFMAKE.
3. Какое-то время поп-культура, вероятно, хотела, чтобы мы пошли другим путем. Я думаю о трансформации Рональда Миллера в Любовь не купишь . Персонаж Патрика Демпси, Рональд, влюбляется в «горячую» девушку и, будучи ботаником, думает, что у него есть только один выбор — стать крутым. Рональд и не подозревал, что он мог просто ждать 3 года 19Наступят 90-е, когда ботаники начнут становиться миллионерами поп-иконы. Как вам трансформация квадратного в сексуальное?
4.↑ Что создатели и разработчики исчисления дали нам с интегрированием, так это средство нахождения пройденного расстояния, когда скорость, то есть скорость, не постоянна. И хорошо, потому что я бы не хотел, чтобы у моей машины было только две скорости, 0 и 30. Я почти уверен, что меня бы мгновенно убили, если бы я попытался путешествовать в этой машине.
Наша жизнь движется с постоянно меняющейся скоростью. Моя машина, к счастью, может разгоняться от 0 до 30 и обратно до 0. Конечно, возникает вопрос: «Как далеко проедет Эрик, если он движется со скоростью 30 миль в час в течение 2 часов?» серьезное упрощение. Лучше задать вопрос: «Как далеко пройдёт Эрик, если его скорость как функция времени равна 30sin 2 ( t ), от времени 0 до времени 2?» Я знаю, что этот вопрос сложнее. Так и реальная жизнь.
Подробнее о расстоянии, скорости и времени см. в uber-сноске Немного терпения и немного алгебры в посте Time(s Square) Dilation.
5. Другой вопрос касается нахождения мгновенной скорости объекта при заданной функции его смещения, т. е. пройденного пути. Для интересного, доступного и информативного введения в два фундаментальных вопроса исчисления посмотрите видео Эдварда Бергера «Два вопроса исчисления», любезно предоставленное thinkwell. Эдвард Бергер — профессор математики Уильямс-колледжа.
Его глубокая проницательность, четкие объяснения, остроумие и яркие рубашки и галстуки вдохновляют меня.
6. Пристегнитесь. Мы собираемся сделать некоторые вычисления. В последующем я предполагаю, что вы изучали математику как минимум год в средней школе или семестр в колледже. Кроме того, в этом решении вы увидите метод, называемый интегрированием по частям. Это не единственный способ решения этой проблемы. Вместо этого можно реализовать тригонометрическое тождество для sin 2 x . Однако для связанных частей более крупной задачи прямоугольной волны ряда Фурье интегрирование по частям является удобным инструментом. Итак, давайте использовать его здесь.
Для начала распакуйте квадрат.
Отсюда мы можем следовать общему формату интегрирования по частям.
Для нашего интеграла пусть u = sin x и dv = sin x dx . Тогда du = cos x dx , v = — cos x.
Поскольку sin(π) = sin(−π) = 0, первый член в правой части равен нулю.
Это означает, что интегралы равны.
Это большое маленькое тождество тригонометрического исчисления. Это говорит о геометрической интерпретации интеграла, обсуждаемого в основном тексте этого поста. Теперь, используя причудливую тригонометрическую работу
, мы можем сказать
Итак,
Давайте вычислим первый интеграл справа, интеграл от −π до π от dx . Это dx на самом деле 1 dx , так что функция, которую мы интегрируем, равна f ( x ) = 1. Таким образом, этот интеграл эквивалентен площади «под» линией y = 1 между −π и π. Эта область представляет собой прямоугольник шириной 1 и длиной 2π. Следовательно, симпатичный маленький интеграл dx справа равен 2π, что означает
. Сейчас мы находимся в волшебном моменте для многих студентов, изучающих математический анализ.
Многие из нас приучили себя видеть операцию, когда мы смотрим на интеграл, даже с определенными интегралами. Правда, определенный интеграл есть число . Мы ищем значение интеграла sin 2 x между −π и π, интеграл слева и справа. Если вы хотите перевести это в алгебраические термины, мы пытаемся решить следующее уравнение для x .
Спросите большинство студентов, изучающих алгебру, как решить это, и они скажут что-то о том, как получить x «само по себе», имея в виду решение для x . Для этого вы можете ________. Просто дайте себе минутку подумать.
Чтобы применить эту алгебраическую идею к нашей интегральной задаче, давайте добавим этот интеграл от квадрата греха к обеим частям уравнения.
Я думаю, мы все знаем, если 2 из это равняется 2 из что , то это равно что . Поэтому
как и ожидалось.
Нравится:
Нравится Загрузка.
..
| Модуль 4. Параметрические уравнения, тригонометрические и обратные тригонометрические функции | ||||||||||||||||||||
| Введение | Урок 1 | Урок 2 | Урок 3 | Урок 4 | Самооценочный тест | ||||||||||||||||||||
| Урок 4.2. Тригонометрические функции | ||||||||||||||||||||
В этом уроке вы будете использовать параметрические уравнения, чтобы проиллюстрировать связь между графиками y = sin(x) и единичной окружностью. Вы также увидите, как преобразовать график y = sin(x), чтобы получить график y = sin[B(x + C)] + D. Изучение x = cos t , y = sin t Прежде чем исследовать взаимосвязь между синусоидальной функцией и единичным кругом, изучите параметрические уравнения, показанные ниже. Для , предсказать форму кривой, полученной параметрическими уравнениями у = грех т 4.2.1 Убедитесь, что ваш калькулятор находится в радианном режиме, проверив меню MODE. Нарисуйте параметрические уравнения, чтобы проверить свой прогноз. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
Синусоидальная функция Функция синуса может быть определена несколькими способами. Напомним, что синусоида имеет следующую форму: Соотношение между графиком y = sin x и значениями единичного круга y можно проиллюстрировать, изобразив оба графика одновременно. Последовательный и одновременный графические режимы В шестой строке меню РЕЖИМ доступны следующие варианты: Последовательный или Одновременный ( Одновременный ). (См. экран ниже.) В последовательном режиме графики рисуются по одному в порядке, указанном в редакторе Y=. В одновременном режиме все графики в редакторе Y= рисуются одновременно, а не последовательно. Выберите следующие настройки в меню MODE, чтобы параметрические уравнения отображались одновременно. Разворачивание синусоиды
4. Периодическая функция и ее период Периодическая функция имеет y -значения, которые повторяются через определенные интервалы x -значения. Период периодической функции — это длина интервала x , в течение которого значения y составляют один полный цикл. Функция синуса имеет период 2 , то есть количество радиан за один полный оборот. Преобразованная синусоида График y = A sin[ B ( x + C )] + D представляет собой преобразованную версию графика y = sin( x ). Эффекты каждого из значений A , B , C и D перечислены ниже. Преобразования обсуждались в Модуле 3. A производит вертикальное растяжение или усадку с коэффициентом A ; и размышление о x — ось, если A отрицательный. А также называют амплитудой синусоиды, которая составляет половину расстояния между самым высоким и самым низким y -значениями графика. B производит горизонтальное растяжение или сжатие, которое изменяет период кривой. Период преобразованной синусоиды равен . Если B отрицательный, то есть отражение о и -ось. C производит сдвиг по горизонтали. D производит сдвиг по вертикали. График y = 5sin[ ( x — 1)] + 2 представляет собой преобразованный граф y = sin x , который имеет следующие характеристики: Амплитуда 5 (растянута по вертикали в 5 раз) Время (сжато по горизонтали в ) Сдвинут по горизонтали вправо на 1 единицу Сдвинут по вертикали вверх на 2 единицы
| ||||||||||||||||||||
_5.png)
Один из способов состоит в том, чтобы позволить sin t быть y -координатой точки на единичной окружности, длина дуги которой составляет t единиц, что является другим способом сказать, что соответствующий центральный угол равен t радианам.
2.2 Опишите взаимосвязь, которую вы видите между кругом и синусоидой. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
