Mathway | Популярные задачи
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) |
|
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) |
|
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | ||
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) |
|
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) |
|
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) |
|
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) |
|
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) |
|
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) |
|
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | arcsin(-1/2) | ||
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) |
|
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | cos((7pi)/6) | ||
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) |
|
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Урок по теме «Формулы приведения». 9-й класс
Цели урока:
Учебная цель:
- научить применять формулы приведения для нахождения синусов, косинусов и тангенсов углов больших 900;
- повторить нахождение синусов, косинусов и тангенсов острых углов по таблице Брадиса, а также их значения для углов 00, 300, 450, 600, 900.
Развивающая цель:
- развитие внимания, мышления, памяти и воображения;
- работа над математической речью.
Воспитательная цель:
- развитие позитивной «Я-концепции» в каждом ученике;
- воспитание чувства ответственности, сопереживания, внимательного и терпеливого отношения к окружающим;
- умение сдерживать отрицательные эмоции и высказывать их тактично;
- формирование навыков умственного труда – поиск рационального пути выполнения задания.
Оборудование: учебник «Геометрия 7–9 » Л.С. Атанасяна, таблицы Брадиса, надписи с заданиями и ответами, таблица с единичными окружностями.
План урока:
- Рефлексия настроения
- Обсуждение темы и целей занятия
- Актуализация знаний, умений, навыков:
- обучающая самостоятельная работа с проверкой у доски
- формулировка правила
- чертеж – шпаргалка
- Закрепление формул приведения на примерах
- Психологическая разгрузка (стихотворение)
- Самостоятельная работа
- обучающая с проверкой у доски
- проверка знаний каждого ученика
- Итог урока
- Рефлексия результативности, настроения
Рефлексия настроенияЗдравствуйте, ученики! Я рада вас видеть!
Желаю вам успехов на сегодняшнем непростом занятии – в освоении синусов, косинусов и тангенсов углов.
II. Обсуждение темы и целей занятияНа прошлом уроке мы познакомились с формулами приведения. Сегодня наша цель – научиться их применять. Откроем тетради, запишем число и тему урока.
Задание: на доске
а) используя таблицу Брадиса (стр. 52), найти:
| sin 20°, | ответ (0,3420) | |
| cos 70°, | ответ (0,3420) | |
| sin 30°, | ответ (0,5000) | |
| cos 60°. | ответ (0,5000) |
б) как можно найти по-другому:
| sin 30°, | ответ (1/2) | |
cos 60°. |
ответ (1/2) |
Для нахождения синусов, косинусов, тангенсов углов 00, 300, 450, 600, 900 можно воспользоваться таблицей, неплохо было бы ее запомнить.
в) найти:
sin 120°,
cos 210°.
Вот для этого случая и нужны формулы приведения. Вспомним их.
III Актуализация знаний, умений, навыков:
Вспомним звучание формул.
Чтобы найти синус, косинус, тангенс углов больших 900, надо
1) заменить этот угол суммой
90° + α; 180° + α; 270° + α; 360° + α…
(или разностью 180° — α; 270° — α; 360° — α…).
2) определить какой знак «+» или «-» имеет искомое значение в зависимости от нахождения в четверти.
3) изменить sinα на cosα, если есть 90° или 270°
cosα на sinα
tgα на сtgα
не менять функцию, если есть 180° или 360°.
Лучше сориентироваться поможет рисунок-шпаргалка. Вспомним основные моменты его построения.
Рисунок – Единичная окружность и координаты точек
Вопросы к классу:
- Почему окружность называется единичной?
- Назвать координаты точек пересечения окружности с осями координат.
- Какие знаки имеют абсциссы и ординаты всех точек, лежащих в первой четверти, второй, третьей, четвертой?
- Какое местоположение точки считается начальным?
- Какой угол считаем положительным, а какой отрицательным?
- С какой координатой точки совпадает sinα, с какой – cosα?
Вернемся к заданию в).
I вариант решения: sin 120° = sin (90° + 30°) = +cos 30° = /2
II вариант решения: sin 120° = sin (180° 60°) = +sin 60° = /2
I вариант решения: cos 210° = cos (180° + 30°) = — cos 30° = — /2
II вариант решения: cos 210° = cos (270° — 60°) = — sin 60° = — /2
IV. Закрепление формул приведения на примерахВернемся к примеру в тетради и на доске.
(Ученик выполняет под руководством учителя задание).
а) sin 110° = sin (90°+ 20°) = cos 20° ≈ 0,9397
или sin 110° = sin (180° — 70°) = sin 70°≈ 0,9397
б) cos 200° = cos (180° + 20°) = — cos 20°≈ — 0,9397
или cos 200° = cos (270° — 70°) = — sin 70° ≈ — 0,9397
V. Психологическая разгрузка (стихотворение)Научись встречать беду не плача:
Горький миг – не зрелище для всех.
Знай: душа растет при неудачах
И слабеет, если скор успех.
Мудрость обретают в трудном споре,
Предначертан путь нелегкий твой
По спирали радости и горя,
А не вверх взмывающей кривой.
Вдумайтесь в слова этого стихотворения и возьмите себе на вооружение.
VI. Самостоятельная работа1) обучающая работа с проверкой у доски
Учебник стр. 241 № 1016.
- cos 120° = cos (90° + 30°) = — sin 30° = — 1/2
- sin 120° = sin (90° + 30°) = cos 30° = /2
- tg 120° = tg (90° + 30°) = — ctg 30° = —
или
- cos 120° = cos (180° — 60°) = — cos 60° = — 1/2
- sin 120° = sin (180° — 60°) = sin 60° = /2
- tg 120° = tg (180° — 60°) = — tg 60° = —
2) проверка знаний каждого ученика
- cos 135° = cos (90° + 45°) = — sin 45° = — /2
- sin 135° = sin (90° + 45°) = cos 45° = /2
- tg 135° = tg (90° + 45°) = — ctg 45° = — 1
или
VII.
Итог урокаВремя урока подходит к концу. Ребята, давайте вспомним, какова была цель нашего занятия. Как вы думаете, мы достигли этой цели? На следующих уроках нам потребуется умение находить синусы, косинусы, тангенсы углов больших 900, не только в геометрии, но и на уроках алгебры и физики.
VIII. Рефлексия результативности, настроенияЯ благодарю вас за урок. Вы подарили мне хорошее настроение, я надеюсь, что я вам тоже. До новой встречи.
Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.
В системе координат построим полуокружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.
Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В треугольнике \(AOX\):
sinα=AXAO;cosα=OXAO.
Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то sinα=AX;cosα=OX.
Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):
Acosα;sinα.
Следовательно, для углов 0°≤α≤180° видно, что −1≤cosα≤1;0≤sinα≤1.
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,
tgα=AXOX=sinαcosα.
Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0°;90°;180°.
sin0°=0;cos0°=1;tg0°=0;sin90°=1;cos90°=0;tg90° не существует;sin180°=0;cos180°=−1;tg180°=0.
Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90°, то оба выразим через α.
Если sinα=AXAO;cosα=OXAO, то sin90°−α=OXAO;cos90°−α=AXAO.
Видим, что справедливы равенства:
cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.
Рассмотрим тупой угол, который также выразим через α.
Справедливы следующие равенства:
sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.
Эти формулы называются формулами приведения:
cos90°−α=sinα;sin90°−α=cosα.
sin180°−α=sinα;cos180°−α=−cosα.
Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX2+OX2=1. Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем
Главное тригонометрическое тождество
sin2α+cos2α=1.
Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус
(как уже отмечено, синус для углов 0°≤α≤180° только 0 или положительный):
sin2α+cos2α=1;sin2α=1−cos2α;sinα=1−cos2α
— или величину косинуса угла, если дан синус:
sin2α+cos2α=1;cos2α=1−sin2α;cosα=±1−sin2α.
Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.
Значения тригонометрических функций разных углов
- Главная
- Алгебра
- Тригонометрия
- Значения тригонометрических функций разных углов
Рассмотрим значения тригонометрических функций углов от 0° до 360°.
Углы изобразим на единичной окружности с радиусом единица. Одна сторона угла всегда будет совпадать с положительным направлением оси абсцисс, а другая будет перемещаться при росте угла против часовой стрелки.
Синус
Синус угла — это высота, на которой оказалась точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью.
Для изображённого угла высота этой точки — 0,6. Значит синус этого угла равен 0,6.
При изменении угла от 0° до 360° синус изменяется. Когда угол равен нулю, его стороны схлопываются, как книжка, и совпадают с положительным направлением оси абсцисс, и вторая сторона пересекает единичную окружность на высоте 0, т.е. синус 0° равен 0. С увеличением угла синус возрастает, и синус 90° равен 1. Затем синус начинает уменьшаться, и синус 180° уже снова равен 0. Потом синус продолжает уменьшаться, и синус 270° уже равен –1. А после этого с дальнейшим увеличением угла синус обратно возрастает до нуля, и синус 360° уже равен 0.
Косинус
Косинус угла — это абсцисса точки пересечения второй стороны с единичной окружностью.
Косинус изображённого угла равен 0,7.
При изменении угла от 0° до 360° значение косинуса изменяется. Если угол равен нулю, то обе его стороны совпадают с положительным направлением оси абсцисс и пересекает единичную окружность в самой правой точке, у которой абсцисса равна единице. Т.е. косинус 0° равен 1. При росте угла косинус уменьшается, и косинус 90° уже равен 0. Потом косинус уменьшается ещё дальше при увеличении угла, и косинус 180° равен –1. Затем косинус снова увеличивается, и косинус 270° уже равен 0. Косинус продолжает увеличиваться, и косинус 360° уже снова равен 1.## ТангенсТангенс — это синус делённый на косинус. Чтобы найти значение тангенса, нужно построить дополнительную прямую, которая называется ось тангенсов. И масштаб на этой прямой выбирается такой же, как и на оси синусов и косинусов, т.е. отрезок, равный радиусу окружности, принимается за 1. Так вот тангенс угла — это высота, на которой продолжение 2й стороны угла пересекает ось тангенсов.
Для изображённого угла тангенс равен примерно 1,4.
В отличие от синуса и косинуса тангенс не ограничен плюс и минус единицей, и может принимать любые значения от минус до плюс бесконечности. Посмотрим, как изменяется тангенс при изменении угла от 0° до 360°. Если угол равен нулю, то вторая сторона его так же, как и первая, пересекает ось тангенсов на высоте 0, и тангенс 0° равен 0. При увеличении угла тангенс всегда возрастает. И в первой четверти до 90° он возрастает от 0 до +∞. И наконец, тангенс 90° не определён, потому что продолжение стороны не пересекает ось тангенсов. А когда угол увеличивается снова, то сторону нужно продолжать в другом направлении. Тангенс продолжает возрастать уже от –∞ до 0, и наконец тангенс 180° равен 0. Снова возрастает угол и снова возрастает тангенс уже от 0 до +∞ и тангенс 270° опять не определён. И при увеличении угла тангенс снова возрастает от –∞ до 0, и тангенс 360° равен нулю.## КотангенсКотангенс — это косинус деленный на синус. Чтобы определить значение котангенса, нужно построить дополнительную прямую.
Она называется ось котангенсов. И масштаб на этой прямой выбирается так же, как и на оси синусов и косинусов — отрезок, равный радиусу окружности, принимается за 1. Так вот котангенс угла это абсцисса, на которой продолжение 2й стороны пересекает ось котангенсов. И для изображённого угла котангенс равен примерно 1,3.
Посмотрим как меняется котангенс при изменении угла от 0° до 360°. И сразу возникает особенность — когда угол равен нулю, обе его стороны совпадают с положительным направлением оси абсцисс, и вторая сторона не пересекает ось котангенсов, и котангенс 0° не определён. При возрастании угла котангенс всё время убывает, и в первой четверти котангенс убывает от +∞ до 0. И котангенс 90° равен 0. При возрастании угла котангенс продолжает убывать уже от 0 до –∞, и котангенс 180° снова не определён. Опять возрастает угол и опять убывает котангенс уже от +∞ до 0. И котангенс 270° равен 0. И снова возрастает угол и снова убывает котангенс уже от 0 до –∞ и котангенс 360° градусов снова не определён.
Учебник. Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
Под косинусом тупого угла α (90° < α < 180°) будем понимать значение косинуса смежного с ним угла, взятого со знаком минус. Косинус прямого угла будем считать равным 0.
Под синусом тупого угла будем понимать синус смежного угла. Синус прямого угла будем считать равным 1.
Из этих определений следует, что для любых углов, таких, что 0 < α < 180° справедливы равенства
sin α = sin (180° – α) и cos α = –cos (180° – α).Действительно, если α = 90°, то имеем верные равенства.
sin 90° = sin (180° – 90°) и cos 90° = 0 = –cos (180° – 90°).Если α – острый угол, то 180° – α = β, 90° < α < 180° – тупой угол. Тогда по определению
sin β = sin (180° – β) или sin (180° – α) = sin (180° – (180° – α)) = sin α. cos β = –cos (180° – β) или cos (180° – α) = –cos (180° – (180° – α)) = –cos α.Отсюда получаем cos α = cos (180° – α).
Наконец, если α (90° < α < 180°) – тупой угол, то равенства видны по определению.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Пусть угол α – между двумя сторонами AB и AC треугольника ABC равен 90°. Тогда треугольник ABC прямоугольный и по теореме Пифагора имеем
BC2 = AB2 + AC2.Но с другой стороны, так как cos 90° = 0
AB2 + AC2 = AB2 + AC2 – 2AB ⋅ AC cos 90° = BC2.Теорема верна.
На рис. 5.2.1 показаны три возможных случая, связанных с величиной угла α между известными сторонами. В первых двух случаях угол α – острый, в третьем – тупой. Пусть ABC – данный треугольник.
Докажем, что
Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC). Рассмотрим два возможных случая.
-
Пусть угол α – острый. Тогда, либо точка D лежит между точками A и C, либо точка C – между точками A и D. Поэтому справедливы следующие равенства:
AB2 = AD2 + BD2;
BC2 = CD2 + BD2;
AD = AB cos α;
CD = |AC – AD|. Из первых двух равенств, исключая BD2, получим BC2 = AB2 + CD2 – AD2. Подставляя из последнего равенства выражение для CD, имеем: BC2 = AB2 + (|AC – AD|)2 – AD2 = AB2 + AC2 – 2AC ⋅ AD.
С учётом третьего равенства окончательно получаем требуемое равенство:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB ⋅ AC cos α.
-
Пусть угол α – тупой. Тогда точка A лежит между точками D и C. Поэтому справедливы равенства:
AB2 = AD2 + BD2;
BC2 = CD2 + BD2;
AD = AB cos (180° – α);
CD = AC + AD. Имеем: BC2 = AB2 + CD2 – AD2. С учётом последнего равенства BC2 = AB2 + (AC + AD)2 – AD2 = AB2 + AC2 + 2AC ⋅ AD = AB2 + AC2 + 2AB ⋅ AC ⋅ cos (180° – α).
С учётом третьего равенства окончательно получаем требуемое равенство:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB ⋅ AC cos α.
Так как угол α – тупой , то cos α = –cos (180° – α) и, с учётом этого, окончательно получаем
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB ⋅ AC cos α.Теорема доказана.
К доказательству теоремы косинусовК доказательству теоремы косинусовТеорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т. е.
asinα=bsinβ=csinγ.Пусть ABC – треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противолежащими им углами α, β, γ. Докажем, что asinα=bsinβ=csinγ.
Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC).
- Пусть все углы Δ ABC острые. Тогда BD = a sin γ из прямоугольного треугольника BCD. Аналогично из треугольника ABD BD = c sin α. Приравнивая правые части, получаем a sin γ = c sin α или asinα=csinγ.
Аналогично, если опустить высоту CE из вершины C на прямую (AB), получим CE = b sin α из Δ ACE, CE = a sin β из Δ BCE. И, сравнивая эти равенства, имеем asinα=bsinβ.
Окончательно из полученных равенств имеем asinα=bsinβ=csinγ. -
Пусть один из углов (например, γ) тупой. Тогда BD = a sin (180° – γ) = a sin γ из Δ BCD, BD = c sin α из Δ ABD. Отсюда a sin γ = c sin α или asinα=csinγ.
Далее, опуская высоту CE из вершины C на прямую (AB) и рассуждая аналогично пункту 1, получим asinα=bsinβ и, окончательно, asinα=bsinβ=csinγ.
Теорема доказана.
Пусть даны два Δ ABC и A1B1C1 и углы при вершинах A, B и C одного треугольника равны углам при вершинах A1, B1, C1 соответственно, другого треугольника.
Тогда отношения длин сторон этих треугольников, лежащих против равных углов равны, то есть
A1B1AB=B1C1BC=A1C1AC.
Действительно из Δ ABC по теореме синусов имеем
ABsin(∠ C)=BCsin(∠ A)=ACsin(∠ B).Аналогично из Δ A1B1C1 получим
A1B1sin(∠ C1)=B1C1sin(∠ A1)=A1C1sin(∠ B1).Деля входящие во второе равенство выражения на соответствующие выражения из первого равенства и учитывая, что синусы равных углов равны получим искомое равенство.
Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причём α < β. Тогда sin α < sin β
Отложим от луча AB в одну полуплоскость углы BAC и BAD так, что
∠ BAC=90∘-β, ∠ BAD=90∘-α. Точки B, C, D лежат на прямой a, которая перпендикулярна лучу AB. Так как (90∘-β)<(90∘-α), то луч AC лежит между сторонами угла BAD, следовательно, точка C лежит между точками B и D и BC < BD.
Отрезки BC и BD являются проекциями наклонных AC и AD на прямую a, соответственно, поэтому, по свойству наклонных (см. параграф 5.1) AD > AC. Треугольники ABC и ABD прямоугольные (∠ B равен 90° по условию), поэтому ∠ ACB = β, ∠ ADB = α.
По определению
sinβ=ABAC; sinα=ABAD,ноsinβsinα=ABAC⋅ADAB=ADAC>1.Отсюда
sin β > sin α, что и требовалось доказать.Заметим, что, если α – острый угол, то
sinα<1=sin90∘.К следствию 5.2В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности γ – тупой, то γ = 180° – (α + β), но sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) и по лемме 5.
2 sin (α + β) = sin γ > sin α и sin γ > sin β. Bторое утверждение следует из теоремы 5.4.
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей.
Пусть A, B, C – три данные точки. Если две точки из трёх или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B. Тогда AB + BC = AC. Отсюда AB < AC < AC + BC, BC < AC < AC + BC, AC = AB + BC и утверждение теоремы верно.
Пусть точки A, B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что AB < AC + BC.
Опустим перпендикуляр CD на прямую AB. Точки A, B, D лежат на данной прямой и по доказанному AB ≤ AD + BD.
Но AD < AC и BD < BC по построению и свойству наклонной. Отсюда AB < AC + BC. Теорема доказана.
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Таблица косинусов, полная таблица косинусов для студентов
Содержание:
Таблица косинусов — наровне с таблицей синусов изучается в самом начале тригонометрии (И вместе с таблицей синусов является основным материалом тригонометрии). Без понимания данного материала и без знания хотя бы части таблицы косинусов будет очень сложно изучать тригонометрию и применять тригонометричекие формулы. Даже в университетском курсе часто используется тригонометрия, при решении интегралов и производных. Пользуйте таблицей косинусов на здоровье.
Таблица косинусов 0° — 180°
|
|
|
9994
8988
6428
2924
1219
5
788
9659Таблица косинусов 180° — 360°
|
|
|
9962
8829
6293
2924
1045
4848
788
9659На нашем сайте в основном автоматические находятся программы для решения задач по математике, но также
мы собрали много теоретического материала по математике и в частности по тригонометрии. Здесь Вы можете найти
таблицы тригонометрических функций:
таблицу косинусов,
таблицу синусов,
таблицу котангенсов и
таблицу тангенсов.
Также для улучшения понимания материала по тригонометрии мы добавили
тригонометрические формулы, чтобы
вызывало меньше затруднений решение тригонометрических задач по математике. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей косинусов на здоровье.
Слишком сложно?
Таблица косинусов, таблица значений косинусов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Урок 22. формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности — Геометрия — 9 класс
Обозначим S площадь правильного n-угольника, an его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.
Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S = 1/2 P r
Выполним следующее построение
Проведем линии из центра многоугольника к его вершинам.
Многоугольник разбили на несколько треугольников. Применяя формулу площади треугольника запишем следующее равенство. Площадь каждого треугольника будет равна: S = 1/2 anr, где an – сторона многоугольника; r – радиус вписанной окружности, является высотой каждого рассматриваемого треугольника.
Так как все треугольники равны, то умножим количество треугольников на площадь треугольника:
S = n ∙ 1/2 anr, где n – количество треугольников.
После преобразований получим формулу: S = 1/2 (n ∙ an)r
Произведение в скобках отражает периметр рассматриваемого многоугольника. Таким образом, формула расчёта площади многоугольника выглядит следующим образом: S = 1/2 Pr
Выведем формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник А1Н1О.
Угол А1 рассматриваемого треугольника будет равен половине угла αn многоугольника (отмечен красным), т.к. сторона треугольника А1О является так же биссектрисой угла αn многоугольника.
По формуле вычисления угла α правильного многоугольника αn = (n — 2)/n ∙ 180° применяя простые преобразования получим равенство для угла А1 рассматриваемого треугольника: ∠A1 = αn/2 = (n — 2)/2n ∙ 180° = 90° — (180°)/n
Полагая, что сторона правильного многоугольника an будет равна an = 2A1H1 и, учитывая, что треугольник А1Н1О является прямоугольным, воспользуемся соотношениями между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Получим следующее равенство: an = 2A1H1 = 2 Rcos(90° — (180°)/n) = 2 R sin (180°)/n.
Итак, сторона правильного многоугольника an = 2 R sin (180°)/n
радиус вписанной окружности r = R cos (180°)/n
Формулы расчета сторон для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.
Треугольник: a3 = 2 R sin(180°)/3 = 2 R sin60° = 2 R ∙ √3/2 = R√3
Квадрат: a4 = 2 R sin(180°)/4 = 2 R sin45° = 2 R∙√2/2 = R√2
Шестиугольник: a6 = 2 R sin(180°)/6 = 2 R sin30° = 2 R ∙ 1/2 = R
тригонометрия — Два способа найти косинус угла 180 градусов
тригонометрия — Два способа найти косинус угла 180 градусов — Mathematics Stack ExchangeСеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
- 0
- +0
- Авторизоваться Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществуКто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил
Просмотрено 93k раз
$ \ begingroup $Я нашел вопрос, как найти значение cos 180, тогда мы все знаем, что его ответ равен cos 0, что дает нам 1 в качестве ответа.Я сам думаю, что идея cos 180 равна 1:
cos 180 = cos (180-0)
cos 180 = -cos 0 ", который равен cos (180-a) = - cos a"
cos 180 = - 1.
соз 180 = соз (270-90)
cos 180 = -sin 90 cos (270-a) = -sin a,
cos 180 = -1
Создан 04 сен.
Ягами17711 золотых знаков22 серебряных знака1414 бронзовых знаков
$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $Во второй строке вы используете $ \ cos (AB) = \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B $, но проблема в том, что вы подразумеваете $ \ cos180 = 1 $ ($ \ sin180 = 0 $, поэтому эта часть отменяется), чтобы получить результат $ \ cos180 = 1 $, что делает ваше доказательство «правильным», но, очевидно, неверным.
Есть много других примеров, когда неверное предположение при использовании правильной личности может заставить вас «доказать» это предположение.