Сумма высшая математика: Высшая математика. Теория рядов

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

(1.2)

называется геометрическим .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов . Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

:

.

Ряд (1.2) принимает вид:

,

, ряд расходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

,

не имеет предела, ряд расходится.

,

— конечное число, ряд сходится.

,

— ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Ряд вида

(1.3)

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

.

Сумма больше суммы, представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

(1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

1.3. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

;

;

.

Решение.

Полагая ,,,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

,,. Сложив его члены, получим ряд

.

Поступая так же, получим ряд

.

Придаваязначения 1,2,3,… и учитывая, что,,,…, получим ряд

.

Найти n-ый член ряда по его данным первым членам:

;

.

Решение.

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n-ый член ряда имеет вид .

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n-й член ряда имеет вид . или .

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

;

;

.

Решение.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

,

который сходится, так как.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

,

который сходится, поскольку, следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

;

.

Решение.

Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдем предел отношения -го члена к

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

Значит, данный ряд расходится.

, т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

,

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и у

Как найти сумму ряда: примеры решений, определение

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3} = \frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ \begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \\ n^1: &3A+B=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=\frac{1}{2} \\ B=-\frac{1}{2} \end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2} \frac{1}{2n+1} — \frac{1}{2} \frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) $$

$$ a_2 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) $$

$$ a_3 = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=\frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) $$

$$ a_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$

Итого, получаем:

$$ S_n = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\bigg ) + … $$

$$ … + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \bigg ) + \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = \frac{1}{2} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9} … + $$

$$ + … \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+1} — \frac{1}{2n+3} \bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = $$

$$ = \frac{1}{2} \lim_{n\to\infty} \bigg (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3} \bigg ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$

Сумма ряда — это… Что такое Сумма ряда?

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Определение

Пусть  — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

  (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

 (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд   может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Примеры

См. также

Обобщения числовых рядов

Признаки сходимости

Литература

Примечания

Формулы и уравнения рядов

Примеры решения рядов здесь.

Числовые ряды

Факториал и двойные факториалы:

— формула Стирлинга.

Геометрическая прогрессия:

|q|<1.

Основные определения и теоремы о рядах:

{u_n} — заданная бесконечная числовая последовательность,

— числовой ряд,
u_n — члены ряда,
– частичные суммы ряда.

Сумма ряда:

сходится, S — сумма ряда.

или ряд сходится и суммы нет.

Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (но влияет на сумму).

Свойства сходящихся рядов:

Теоремы сравнения рядов с положительными членами:
≥ 0, ≥ 0.
1. ≤
   Если сходится, то сходится;
   если расходится, то расходится.
2. v_n ≠ 0, 0 < k < ∞.
   Либо и , и сходятся,
   либо и , и расходятся.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами (u_n > 0)
• Признак Даламбера
  Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
• Признак Коши
  Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
• Интегральный признак сходимости
  1) u_n > 0; 2) u_n ≥ u_n+1; 3) f(x) — непрерывная невозрастающая функция, f(n) = u_n.
  Либо и , и сходятся,
  либо и , и расходятся.

Примеры числовых рядов
1. : сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
2. : сходится, если a < 1; расходится, если a ≥ 1.
3. : сходится.
4. : сходятся, |q| < 1; расходятся, |q| ≥ 1.
5. : сходится;
6. : сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
8. : сходится условно.
9. : сходится абсолютно.
10. : сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Функциональный ряд – сумма вида

При из функционального ряда получается числовой ряд

Если для числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда. Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области . Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда.

– частичные суммы ряда. Функциональный ряд сходится к функции f(x), если

Равномерная сходимость

Функциональный ряд, сходящийся для всех из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если ∀ε > 0 существует не зависящий от x номер N(ε), такой, что при n > N(ε) выполняется неравенство R_n(x) < ε для всех x из области сходимости, где — остаток ряда.

Геометрический смысл равномерной сходимости:

если окружить график функции y = f(x) «ε-полоской», определяемой соотношением f(x)−ε > y > f(x)+ε, то графики всех частичных сумм S_k(x), начиная с достаточно большого k, ∀x ∈ [a, b] целиком лежат в этой «ε-полоске», окружающей график предельной функции y = f(x).

— называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд u_n > 0, что для ∀x ∈ D f_n(x) ≤ u_n, n = 1, 2, …. Ряд называется мажорантой ряда

Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда): функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Степенные ряды:
— степенной ряд по степеням
При – степенной ряд по степеням x.

Область сходимости степенного ряда:
Радиус сходимости, интервал сходимости R, x ∈ (-R, R):
или
При |x| < R ряд сходится, при |x| > R – расходится;
в точках x = ±R – дополнительное исследование.

На интервале сходимости ряд сходится абсолютно;
на любом отрезке из интервала сходимости он сходится равномерно.

Свойства степенных рядов
1. Степенной ряд сходится равномерно на [−R′, R′]
   ∀R′ < R, его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.
3. Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости.

Разложение элементарных функций в степенные ряды

1. , x ∈ (−∞; ∞).
2. ,
   x ∈ (−∞; ∞).
3. , x ∈ (−∞; ∞).
4. , x ∈ (−∞; ∞).
5. , x ∈ (−∞; ∞).
6. 
   , x ∈ (−1; 1].
7. 
   , x ∈ [−1; 1).
8. ,
   x ∈ (−1; 1).
9. , x ∈ [−1; 1].
10. , x ∈ [−1; 1].
11. , x ∈ (−1; 1).
12. , x ∈ (−1; 1).
13. , x ∈ (−1; 1).
14. , x ∈ (−1; 1).
15. , x ∈ (−1; 1].

Тригонометрические ряды

Ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π
• Ряд Фурье функции f(x):
  
• Коэффициенты Фурье:
  

Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l, f(x+2l) = f(x):

где

Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на отрезке x ∈ [0; l] или на отрезке x ∈ [-l; l]
Произвольная функция f(x) задана на отрезке [0; l]; на отрезок [-l; 0] она может быть продолжена произвольным образом:
– некоторая кусочно-монотонная функция.
Наиболее часто встречающиеся продолжения:
• f₁( x)=f(-x), x ∈ [-l; 0] (четное продолжение)
  
  где x ∈ [0; l] n = 0, 1, 2,…
• f₁(x) = —f(−x), x ∈ [-l; 0]
  (нечетное продолжение)
  
  где x ∈ [0; l] n = 1, 2,…
• На всю действительную ось ϕ(x) продолжается периодически с периодом 2l, ϕ(x) = ϕ(x + 2l). Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье, причем в точках x = ±l выполняется условие: где то есть,
  – левый предел f(x) в точке x = l,
  – правый предел f(x) в точке x = l.

Примеры решения рядов

Формулы и уравнения рядов здесь.

Пример. Исследование на сходимость и сумма ряда.

Дано: ряд
Найти: сумму ряда в случае его сходимости.

Решение.

Представим члены ряда в виде суммы двух слагаемых:

Получается, что n-я частичная сумма ряда может быть записана в виде:

Отсюда следует, что .

Ряд сходится. Сумма ряда равна .

Пример. Необходимый признак сходимости рядов.

Дано: ряд
Найти:
Проверить выполнение необходимого признака сходимости рядов.

Решение.

Необходимый признак сходимости рядов заключается в том, что если числовой ряд сходится, то
Как следствие, если ≠ 0, то ряд расходится.

Для данного в задаче числового ряда:
≠ 0. Ряд расходится.

Примеры. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Дано: ряды
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Найти:
Исследовать ряды на сходимость.

Решение.

1) Исходя из того, что ≤ при всех n и обобщенный гармонический ряд сходится, следует то, что ряд с меньшими членами сходящийся.

2) Исходя из того, что если выполняются условия: ln n ≥ 0 при n ≥ 1, то ≥ при n ≥ 1.
Обобщенный гармонический ряд расходится, следовательно, ряд с большими членами также расходится.

3) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .
Заданный ряд и ряд ведут себя одинаково, так как .
Геометрический ряд сходится, значит, ряд также сходится.

4) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .
Порядок < 1, поэтому ряд расходится.

5) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда:
при n→∞ ∼ .
Порядок > 1, поэтому ряд сходится.

6) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда:
при n→∞ ∼
Порядок , поэтому ряд расходится.

Вычислить сумму ряда

Выберите переменную: x y z n k m

Выберите нижний предел Ввести самому + Бесконечность — Бесконечность 0 и верхний предел Ввести самому + Бесконечность — Бесконечность

Данный калькулятор по вычислению суммы ряда построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Нахождение суммы ряда онлайн

Сумма ряда

Matematikam.ru позволяет найти сумму ряда онлайн числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн найдет частичную сумму ряда. Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами, matematikam.ru обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн не только числового, но и функционального ряда, что позволит определить область сходимости исходного ряда, применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов, необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн. Если ряд не сходится, то matematikam.ru укажет на это, выдав соответствующее сообщение. Для определения сходимости рядов онлайн найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда. Наиболее известные и часто применяемые из них — это признаки Д’Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов, а также интегральный признак сходимости числового ряда. Особое место среди числовых рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда онлайн, а также разложения функций вряд в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.matematikam.ru такой проблемы не существует.

Похожие сервисы:

Высшая математика онлайн

Высшая математика — интегралы

Рассмотрим несколько примеров по решению интегралов из задачника по высшей математике:

Определенный интеграл

Неопределенный интеграл

Чтобы найти подробное решение, вам надо будет оставить ссылку на сайт Контрольная-работа, и в течение 1 минуты вы получите подробное решение по введенному неопределенному интегралу.

Если же надо решить определенный интеграл, например такой:

Для этого, по ссылке https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/opredelennyij/ вводим подинтегральную функции и данные пределы интегрирования, получим то, что находится по ссылке:

там видно, что сначала решается неопределенный интеграл, а потом в результат подставляются пределы интегрирования.
Но в задачах по высшей математике требуется не только ответ, но еще и решение.

Там вы можете получить подробное решение бесплатно, если разместите ссылку на этот сайт.

Несобственный интеграл

В высшей математике требуется иногда решать несобственные интегралы, дак этот сайт вам поможет решить их.

Для этого на странице https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/nesobstvennyij/ в форму вводим данные, и получим подробный ответ(!):

Двойной интеграл

В курсе высшей математики иногда требуется посчитать двойной интеграл, и вот — данный сайт решит указанный вами двойной интеграл.

Для этого на странице https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/dvoinoi/ вводим данные, и получим очень подробный ответ:

Тройной интеграл

Тройной интеграл вы с легкостью решите из курса высшей математики.

Видео пример для двойного интеграла

Математика для ИИ: все необходимые вам математические темы | Абхишек Парбхакар

Взаимосвязь между ИИ и математикой можно резюмировать следующим образом:

Человек, работающий в области ИИ, не знающий математики, похож на политика, не умеющего убеждать. У обоих есть неизбежная область для работы!

Я не буду больше тратить время на важность изучения математики для ИИ и сразу перейду к основной цели этой статьи.

Популярная рекомендация по изучению математики для ИИ звучит примерно так:

• Изучите линейную алгебру, вероятность, многомерное исчисление, оптимизацию и несколько других тем
• А еще есть список курсов и лекций, которым можно следовать, чтобы выполнить тот же

Хотя вышеупомянутый подход совершенно хорош, я лично считаю, что есть другой подход, который лучше, особенно для людей, 1) у которых нет солидного количественного фона и 2) не хватает времени на выполнение всех необходимых условий. курсы математики.То есть:

Вместо того, чтобы идти по темам, переходите по темам.

Например, изучая многомерное исчисление, вы встретите знаменитую теорему Стокса, но окажется, что велика вероятность того, что она не принесет вам немедленной пользы на практике и даже при чтении научных статей. . Таким образом, изучение предметов (курсов) может занять много времени, и вы можете потеряться в огромном море математики.

Я рекомендую вам:

• идти по темам , сначала изучить основные концепции, объединить их
• И только потом переходить к другим концепциям по мере их практического применения и чтения литературы

Вот список основных тем по каждому предмету:

Линейная алгебра

• Определение векторов
  , скаляры, сложение, скалярное умножение, внутреннее произведение (скалярное произведение), векторная проекция, косинусное подобие, ортогональные векторы, нормальные и ортонормированные векторы, векторная норма , векторное пространство, линейная комбинация, линейный диапазон, линейная независимость, базисные векторы
• Определение матриц
  , сложение, транспонирование, скалярное умножение, умножение матриц, свойства умножения матриц, произведение Хадамара, функции, линейное преобразование, определитель, единичная матрица, обратимая матрица и обратные, ранговые, следовые, популярные типы матриц — симметричные, диагональные, ортогональные или тонормальная, положительно определенная матрица
• Собственные значения и собственные векторы
  Концепция, интуиция, значимость, как найти
• Анализ основных компонентов
  Концепция, свойства, приложения
• Разложение по сингулярным значениям
  Концепция, свойства, приложения

Исчисление

• Функции
• Скалярная производная
  определение, интуиция, общие правила дифференцирования, цепное правило, частные производные
• Градиент
  концепция, интуиция, свойства, производная по направлению
• Векторное и матричное исчисление
  как найти производную от {скалярных, векторных- оцененная} функция относительно {скаляр, вектор} -> четыре комбинации — Якобиан
• Градиентные алгоритмы
  локальные / глобальные максимумы и минимумы, седловая точка, выпуклые функции, алгоритмы градиентного спуска — пакетный, мини-пакетный, стохастический, сравнение их производительности

Вероятность

• Основные правила и xioms
  событий, пространство выборки, частотный подход, зависимые и независимые события, условная вероятность
• Случайные переменные — непрерывные и дискретные, математическое ожидание, дисперсия, распределения — совместные и условные
• Теорема Байеса, MAP, MLE
• Популярные распределения — биномиальные , Бернулли, Пуассон, экспонента, гауссовский
• Сопряженные априорные значения

Разное

• Теория информации — энтропия, кросс-энтропия, расхождение KL, взаимная информация
• Цепь Маркова — определение, матрица перехода, стационарность

Какие источники следовать?
Любой источник, который вам подходит, будь то видео на YouTube или классический учебник.
Если вы не уверены, выполните простой поиск в Google по каждой теме [<название темы> + «машинное обучение»] и прочтите основные ссылки, чтобы получить более широкое представление.

Список может показаться длинным, но он может сэкономить вам много времени. Чтение приведенных выше тем придаст вам уверенности, чтобы погрузиться в глубокий мир ИИ и исследовать больше самостоятельно.

Высшая математика — определение высшей математики от The Free Dictionary