Чему равна площадь фигуры: Как найти площадь фигуры, формула

Содержание

Как найти площадь фигуры? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определения

Площадь является одним из основных математических понятий. Она характеризует как плоские, так и поверхностные геометрические объекты.

Определение

Площадью плоской замкнутой фигуры называется величина части плоскости, которая находится внутри указанной фигуры.

Единицей измерения площади плоской фигуры является квадрат со стороной, равной единице. Число, соответствующее площади некоторой фигуры, состоящей из частей, равно сумме чисел, соответствующих площадям этих частей. Измерение площадей треугольников и многоугольников основано на возможности построения равновеликих им прямоугольников.

Площадь произвольной ограниченной плоской фигуры определяется как общий предел площадей описанных и вписанных в нее многоугольников, наибольшие стороны которых по длине стремятся к нулю.

Если фигура имеет площадь, то она называется квадрируемой.

{2}$$

Читать дальше: формула площади круга и примеры решений →

Площадь квадрата

Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть

Читать дальше: формула площади квадрата и примеры решений →

Площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, то есть

Читать дальше: формула площади прямоугольника и примеры решений →

Площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти произведение стороны $a$ параллелограмма на высоту , проведенную к этой стороне, то есть

Читать дальше: формулы площади параллелограмма и примеры решений →

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно длину средней линии умножить на длину высоты , опущенной к основанию:

Читать дальше: формулы площади трапеции и примеры решений →

Площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, надо длину стороны умножить на длину высоты, проведенной к этой стороне:

Читать дальше: формулы площади ромба и примеры решений →

Площадь эллипса

Чтобы найти площадь эллипса, нужно найти произведение длин большой и малой полуосей этого эллипса на число $\pi$, то есть

Читать дальше: формула площади эллипса и примеры решений →

Урок 22.

площадь прямоугольника — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №22. Площадь прямоугольника

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  1. Как вычислить площадь прямоугольника?
  2. В каких единицах измеряется площадь?
  3. Какими способами можно сравнить геометрические фигуры?

Глоссарий по теме:

Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник –

это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 60-61.

2. Рудницкая В. Н. Тесты по математике:3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2016 с. 38-43.

3. Волкова Е. В. ВПР. Математика 3 класс Практикум по выполнению типовых заданий. ФГОС .М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 36-53.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Упоминание о первых геометрических фигурах встречается еще у древних египтян и древних шумеров. Учёными-археологами (они ищут разные исторические древности) был найден папирусный свиток (бумага древних египтян, изготавливаемая из растения папирус) с геометрическими задачами, в которых упоминались геометрические фигуры. И каждая из них называлась каким-то определенным словом. Одним определенным словом называлась фигура прямоугольник независимо от того какие стороны были у этого прямоугольника. А если у прямоугольника все стороны были одинаковые, то такой прямоугольник имел специальное название – квадрат.  Таким образом, значит, что уже в те далекие времена люди имели представление о геометрии и знали изучаемые этой наукой фигуры. Название «геометрическая фигура» придумали древние греки.

И названия всем геометрическим фигурам дали тоже древнегреческие учёные.

Найдём площадь геометрической фигуры.

Чтобы найти площадь фигуры, надо узнать сколько раз в фигуре поместится квадрат со стороной 1 см. Площадь этой геометрической фигуры составляет 18 квадратов. Для удобства подсчёта количество квадратов можно воспользоваться знаниями таблицы умножения. По 6 взять 3 раза получится 18 квадратов.

Найдём площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 3 см.

Для этого достаточно умножить длину на ширину. 6 ∙ 3 = 18 см2

Таким образом, формулируем вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину.

S = a ∙ b

S – площадь

a – длина

b – ширина

Задания тренировочного модуля:

1. Заполните пропуски в таблице.

Правильный ответ:

2. Длина прямоугольника 8см, ширина 4 см. Чему равна площадь прямоугольника? Выделите правильный ответ.

12 см; 32 см; 24 см2; 32 см2; 24; 12 см2.

Правильный ответ:32см2.

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

  1. (положительность) площадь неотрицательна;
  2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник — длина стороны треугольника.
Треугольник Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника.
Треугольник и — две стороны треугольника, а — угол между ними.
Треугольник и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат — длина стороны квадрата.
Прямоугольник и — длины сторон прямоугольника.
Ромб и — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм — длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник — длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника.
— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника.
Круг или — радиус окружности, а — её диаметр.
Сектор круга и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс
и — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы и — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида   См. статью.
  • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
  • Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
    ,
где  — угол между диагоналями.
  • Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См.

также

Ссылки

  • В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
  • Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
  • В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

Площади геометрических фигур / math5school.ru

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.  

 

 

Треугольник

 

 

 

 

Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения полупериметра этого треугольника и разностей полупериметра и всех его сторон. 

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу противолежащего угла. 

 
 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к удвоенному произведению синусов двух других углов.

 
 

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна произведению квадрата его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника. 

 

 

Прямоугольный треугольник

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 

 

 

Равнобедренный треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на корень квадратный из разности квадратов боковой стороны и половины основания.  

 

 

Равносторонний треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата стороны этого треугольника и квадратного корня из трёх. 

 

 

Равносторонний треугольник  

 

 

 

 

Площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата его высоты к квадратному корню из трёх. 

 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам, описанной около него окружности.  

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна удвоенному произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех его углов.

 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника (многоугольника) равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот треугольник (многоугольник). 

  

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна произведению квадрата радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника.

 

 

Прямоугольник

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон. 

 

 

Квадрат

 

 

 

 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 

 

 

Квадрат

 

 

 

 

 

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. 

 

 

Параллелограмм

 

 

 

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.  

 

 

Параллелограмм

 

 

 

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними.  


 

Ромб

 

 

 

 

 

 

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус одного из его углов.  

 

 

 

Ромб (дельтоид)

 

 

 

 

 

Площадь ромба (как и дельтоида) равна половине произведения его диагоналей.  

 

 

Трапеция

 

 

 

 

 

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. 

 

 

Трапеция

 

 

 

 

 

 

Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту. 

 

 

 

Выпуклый четырёхугольник

 

 

 

 

 

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.   

 

 

Вписанный четырёхугольник

 

 

 

 

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и всех его сторон. 

 

 

Круг

 

 

 

 

 

Площадь круга равна произведению числа «пи» на квадрат радиуса. 

 

 

Круг 

 

 

 

  

Площадь круга равна четверти произведения числа «пи» на квадрат диаметра. 

 

 

Круговой сектор

формулы для случаев градусной и радианной мер центральных углов

Площадь кругового сектора равна произведению площади единичного сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

 

 

Круговое кольцо

 

 

 

  

  

Площадь кругового кольца равна произведению числа «пи» на разность квадратов внешнего и внутреннего радиусов. 

 

 

Круговое кольцо

 

 

  

  

Площадь кругового кольца равна четверти произведения числа «пи» на разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров. 

 

 

Круговое кольцо

 

 

 

  

Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа «пи», среднего радиуса кольца и его ширины.  

Онлайн урок: Площадь. Площадь прямоугольника по предмету Математика 5 класс

Во всех выше рассмотренных примерах мы имели дело с плоскими геометрическими фигурами (прямоугольником и квадратом).

Вспомним, что называют прямоугольником, а что квадратом.

Прямоугольник- это плоская геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией, состоящей из четырех звеньев, и плоскостью, которая располагается внутри этой линии.

У прямоугольника противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковые.

Обычно прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами, записывая их по порядку следования.

Пример: прямоугольник АВDС

 

Отрезки АВ, ВD, DC, СА называются сторонами прямоугольника АВDС.

Причем АВ = СD и АС = ВD.

Точки А, В, С, D называют вершинами прямоугольника АВDС.

Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами прямоугольника АВDС.

Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, — это диагонали прямоугольника АВDС.

В любом прямоугольнике можно провести две диагонали, и они будут равны СВ = АD.

Диагонали пересекаются в точке пересечения диагоналей (точка О— точка пересечения диагоналей СВ и АD).

Она делит диагонали на равные отрезки:

Точка O делит диагональ СВ на равные отрезки СО и ОB.

Точка O делит диагональ АD на равные отрезки и ОD.

Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

Диагональ СВ делит прямоугольник АВDС на равные треугольники САВ и СDВ.

Диагональ АD делит прямоугольник АВDС на равные треугольники АСD и АВD.

Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Пример:

Квадрат АВDС.

Отрезки АВ, ВD, DC, СА— называются сторонами квадрата АВDС.

Причем АВ = СD = АС = ВD.

Точки А, В, С, D называют вершинами квадрата АВDС.

Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами квадрата АВDС.

Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, — это диагонали квадрата АВDС.

Все свойства прямоугольника характерны и для квадрата.

Чтобы найти площадь прямоугольника, можно разделить его на одинаковые единичные квадраты и сосчитать их количество. Такой способ нахождения площади фигуры мы рассмотрели ранее.

Пример:

Найдем площадь прямоугольника ABCD.

Прямоугольник ABCD разобьем на квадраты со стороной 1 см, значит в нашем случае единицей измерения площади будет квадратный сантиметр (см2).

Посчитаем сколько раз помещается квадратный сантиметр в фигуру ABCD.

В прямоугольнике ABCD содержится 15 квадратов, следовательно, его площадь равна 15 квадратных сантиметров (15 см2).

Если внимательно посмотреть на прямоугольник ABCD, то можно заметить, что он разбит на 3 строчки и каждая строчка содержит 5 квадратов со сторонами 1 см каждый.

Тогда количество таких квадратов в прямоугольнике ABCD можно определить выражением (3 5).

Найдем значение данного выражения:

3 5 = 15

Значит площадь прямоугольника ABCD равна 15 см2.

Пересчитав по порядку каждый квадратный сантиметр прямоугольника ABCD, мы получили такой же результат.

Этот же прямоугольник можно разбить на 5 полос по 3 квадрата со сторонами 1 см каждый.

Найдем площадь прямоугольника ABCD.

В этом случае площадь прямоугольника ABCD будет определяться выражением (5 3).

Как нам уже известно, от перестановки множителей произведение не изменяется:

∙ 3 = 15.

Площадь прямоугольника получается равной 15 см2 Результат, как мы видим, не изменился.

Важно заметить, что сторона АВ прямоугольника ABCD-  это ширина данного прямоугольника (равная 3 см), а сторона ВС — это его длина (равная 5 см).

Таким образом, для того, чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, не обязательно разбивать его на квадратные единицы, необходимо просто знать длину и ширину этого прямоугольника.

Правило: чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умножить на ширину (в одинаковых единицах).

Единицы измерения длины и ширины должны совпадать.

Если меры не совпадают, их необходимо перевести, т.е. свести к единой единице измерения.

Запишем правило в виде формулы.

Площадь прямоугольника обозначим латинской буквой S, ширину прямоугольника обозначим буквой а, длину буквой b.

Формула площади прямоугольника выглядит так:

Рассмотрим некоторые свойства площади.

1. Площади равных фигур равны.

Периметры таких фигур также равны.

Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть