Числа с отрицательными степенями как решать: § Отрицательная степень

Содержание

Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a · a · a · a… · a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то она решается довольно просто:

2³ = 2 · 2 · 2, где
2 — основание степени
3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн.

Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Степень с показателем 0

Любое целое a ≠ 0 в степени 0 равно 1.

Выражение 0 в степени 0 многие математики считают лишенным смысла, так график функции f (x, у) = xy прерывается в точке (0;0).

Степень с отрицательным показателем

Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:

К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/42, 2 в минус 3 степени — это 1/23, 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 (0,1).

Примеры

Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10-9). В школьной программе такие величины редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.

Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a³ a⁶=a^{3 — 6} = a^-3

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Примеры

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Примеры

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:

У нас есть отличная статья на тему — формулы сокращенного умножения, тебе стоит повторить ее!

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься с удовольствием уже завтра.

Отрицательная степень числа | Алгебра

Степень с отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d^-c =	1	; 7^-5 =	1	; a^-5 =	1	.
	d^c		7⁵		a⁵

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a⁵ : a⁸ = a^{5 — 8} = a^-3.

Значит:

Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

Решение:

Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:

Решение:

1	= (m + n)^-2.
(m + n)²

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Степень с отрицательным показателем, 8 класс, примеры

Дата публикации: 09 апреля 2017.

m} $.

Архитектура. Бытовая техника. Канализация. Лестницы. Мебель. Окна. Отопление. Ремонт. Строительство

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc … ) n = a n · b n · c n …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(a m ) n = a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

Случай 3.

0 0 — любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

В этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Возведение в отрицательную степень — один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень — теория

Когда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени.

Как возводить в отрицательную степень — примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как возводить в отрицательную степень — числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Пример 3: Вычислить 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Ответ: 0,5 -2 = 4

Разбор (последовательность действий):

Переводим десятичную дробь 0,5 в дробную 1/2. Так легче.
Возводим 1/2 в отрицательную степень. 1/(2) -2 . Делим 1 на 1/(2) 2 , получаем 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень — степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a — обычное число, m — числитель степени, n — знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Ответ: 8 -1/3 = 2

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 — это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило — возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.

Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel.

Решение задач в Excel

Для разрешения задач с возведением в степень Excel позволяет пользоваться одним из двух вариантов. -C2.

Второй вариант — использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента — число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.

			Формула	Результат
			СТЕПЕНЬ(B2;C2)
			СТЕПЕНЬ(B3;C3)

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel . Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. C$3».

Число / Степень

Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность — это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.

Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя.

Степень числа с отрицательным значением (a — n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (a n) . Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как:

a — n = (1 / a n)

Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение a m / a n = a m-n может быть справедливым как

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса ».

А. Д. Александров

при n больше m , так и при m больше n . Рассмотрим на примере: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n) . В этом примере -n является показателем степени, b — искомое числовое значение, a — основание степени в виде натурального числового значения. Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.

Рис. 1

Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m — натуральные числа. Согласно определению a , которое возведено в степень — равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1). Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями.

Стоит помнить , что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль).

Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции, как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных. В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков. Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу a n .

			Формула	Результат
			СТЕПЕНЬ(B2;C2)
			СТЕПЕНЬ(B3;C3)

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel. Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Число / Степень

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

a n * a m = (a) (n+m) ;
a n: a m = (a) (n-m) ;
(a b) m =(a) (b*m) .

Проверим на примерах:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

при наличии скобок – начинать нужно с них;
затем возведение в степень;
потом выполнять действия умножения, деления;
после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

А если дробь?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r 1 – в этом случае равно 3;

r 2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Как из отрицательной степени сделать положительную

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a −n =

,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

6 −2 =
=
(−3) −3 =
=
= −
0,2 −2 =
=

Любое число в нулевой степени — единица.

Примеры возведения в нулевую степень.

Как найти

10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».

Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «

» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».

10 −1 =

Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10 −1 =

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10 −1 =

= 0,1

По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.

Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».

Проверим правило выше для « 10 −2 ».

Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».

Рассмотрим « 10 −1 ».

Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».

То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.

Как возвести в отрицательную степень дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

«перевернуть» дробь;
заменить отрицательную степень на положительную ;
возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(

) −3 =
Перевернем дробь «

» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(

) −3 = (

) 3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.

(

) −3 = (

) 3 =

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(

) −3 = (

) 3 =

= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−

) » в « −3 » степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».

(−

) −3 = (−

) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.

Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

= − 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .

(−

) −2 = (−

) 2 =

= 1

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните!

a m · a n = a m + n
= a m − n
(a n ) m = a n · m
(a · b) n = a n · b n

Примеры решений заданий с отрицательной

степенью

Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a 6 · b 6 = (ab) 6

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

13 комментариев

Спасибо! врубился) жаль, что в школе не учился(

Что ж, учиться никогда не поздно). Но всё же лучше вовремя.

Забавно, что за время работы встречал множество коллег, кому приходилось на внутренних курсах разжёвывать какие вещи начального уровня и все сокрушались: «Что же я в школе-то (институте) не учил это? Это же так просто, понятно, полезно и ИНТЕРЕСНО. »

А вся проблема в том, что ни в школе, ни в институте перед тем, как что-то начать рассказывать не проводят красочные, завлекательные, познавательные, весёлые и игровые презентации будущего курса, чтобы было понятно, а где же то, что будем скоро изучать, применяется в жизни? Каким профессиям и в каких житейских ситуациях это может быть полезно?

Учат каким-то абстрактным формулам вместо того, чтобы рассказать, что это пригодится на кухне, при разделе земли, при строительстве сарая на даче, при стрельбе из пушки, при запуске спутника и т. д.

При разбавлении спирта водой, в конце концов! :))

Ведь часто женщины встают в ступор от элементарной задачи:

В рецепте указано «1 ст. ложка 3 %-го уксуса», а у неё на кухне только 9 % или («О, БОЖЕ! Крах! Провал!») вообще уксусная эссенция! А по сути та же кислота, но в концентрации 70 %…

Возведение в отрицательную степень – один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень – теория

Как возводить в отрицательную степень – примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Как возводить в отрицательную степень – числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень – степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a – обычное число, m – числитель степени, n – знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Ответ: 8 -1/3 = 2

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите – 2 в степень 4 .

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 3 в степень – 2 .

Используя определение выше, запишем: 2 – 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 – 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень – 2 .

Переформулируем: 1 , 43 – 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) – 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) – 2 = 10000 20449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a – 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 – 1 = 13 9 6 4 – 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 – 2 3 .

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 – 2 3 = 8 – 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 – 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 – 2 3 = 8 – 2 3 = 8 3 – 2

После этого извлечем корень 8 3 – 2 = 2 3 3 – 2 = 2 – 2 и результат возведем в квадрат: 2 – 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь – 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .s=frac$.

Упрощение выражений с отрицательными степенями. Степень числа: определения, обозначение, примеры. Как возводить в отрицательную степень

Степень с отрицательным показателем определение

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m — отрицательное целое число.

Степень с отрицательным показателем определение:

Действительное, отличное от нуля число a, возведенное в отрицательную целую степень -m, равно дроби, в числителе которой 1 и в знаменателе a, возведенное в положительную целую степень m.

Отрицательная степень формула

Для вычислений отрицательных степеней используем формулу:

Эта формула применяется, если имеется отрицательное значение степени.

Положительная и отрицательная степень

Чтоб лучше понять сравним положительные и отрицательные степени.

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m — любое целое число.

Тогда a в положительной степени m равно:

A m = a * a * a * … (m раз)

Теперь a в отрицательной степени -m:

Степень с целым отрицательным показателем

Обратите внимание, что в этой статье речь идет именно о целом отрицательном показателе. Здесь существенным является то, что показатель целый.

Пример степени с целым отрицательным показателем:

Отрицательное основание степени

Отрицательная степень числа и отрицательное основание степени — это разные вещи.

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

Определение понятия.
Возведение в отрицательную ст.
Целый показатель.
Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
в -3 — три нуля перед единицей;
в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
равно 529 сорок девятых;
сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

для целых чисел;
для нулевого показателя;
для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

4 — основание степени ;
6 — показатель степени .

В общем виде степень с основанием «a » и показателем «n » записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a » с натуральным показателем «n », бóльшим 1 , называется произведение «n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a ».

Запись «a n » читается так: «а в степени n » или «n -ая степень числа a ».

Исключение составляют записи:

a 2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
a 3 — её можно произносить как «а в кубе».

a 2 — «а во второй степени»;
a 3 — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .

Запомните!

Степенью числа «а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени ) считают лишённым смыслом.

(−32) 0 = 1
0 253 = 0
1 4 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
( · = =

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0 при любом a .

2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
−5 4 = −625

Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

6 2 = 6 · 6 = 36
−6 2 = −36
(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
−(−1) 4 = −1
−36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень , затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней , которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc … ) n = a n · b n · c n …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(a m ) n = a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.

Случай 3.

0 0 — любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

В этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Как возводить в отрицательную степень – теория

Как возводить в отрицательную степень – примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как возводить в отрицательную степень – числа от 0 до 1

Пример 3: Вычислить 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Ответ: 0,5 -2 = 4

Разбор (последовательность действий):

Переводим десятичную дробь 0,5 в дробную 1/2. Так легче.
Возводим 1/2 в отрицательную степень. 1/(2) -2 . Делим 1 на 1/(2) 2 , получаем 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень – степень в виде дробного числа

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Ответ: 8 -1/3 = 2

определения, обозначение, примеры, степень с отрицательным показателем

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

Определение 1

Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: an, а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

Например, если показатель степени равен 1, а основание – a, то первая степень числа a записывается как a1. Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a1=a.

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8·8·8·8 можно сократить до 84. Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8+8+8+8=8·4); мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.

Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – «a в степени n». Или можно сказать «n-ная степень a» либо «an-ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 812, мы можем прочесть «8 в 12-й степени», «8 в степени 12» или «12-я степень 8-ми».

Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7(72), то мы можем сказать «7 в квадрате» или «квадрат числа 7». Аналогично третья степень читается так: 53 – это «куб числа 5» или «5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой. (156). Но мы будем использовать обозначение anкак более употребительное.

О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n-ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

Что такое степени с целым показателем

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Определение 2

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Определение 3

Равенство am:an=am−n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m <n, a≠0.

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: an:an=an−n=a0

Но при этом an:an=1 — частное равных чисел an и a. Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: am·an=am+n .

Если n у нас равен 0, то am·a0=am (такое равенство также доказывает нам, что a0=1). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0m·00=0m, Оно будет верным при любом натуральном значении n, и неважно при этом, чему именно равно значение степени 00, то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 00 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

При желании легко проверить, что a0=1 сходится со свойством степени (am)n=am·n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Пример 2

Разберем пример с конкретными числами: Так, 50 — единица, (33,3)0=1, -4590=1, а значение 00не определено.

После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: am·an=am+n.

Введем условие: m=−n, тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a−n·an=a−n+n=a0=1. Выходит, что an и a−n у нас являются взаимно обратными числами.

В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1an.

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Пример 3

Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1an. Таким образом, a-n=1an при условии a≠0 и n – любое натуральное число.

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

Пример 4

3-2=132, (-4.2)-5=1(-4.2)5, 1137-1=111371

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Определение 4

Степень числа a с натуральным показателем z – это: az=az, eсли z-целое положительное число1, z=0 и a≠0, (при z=0 и a=0 получается 00, значения выражения 00 не определяется) 1az, если z — целое отрицательное число и a≠0 (если z — целое отрицательное число и a=0 получается 0z, его значение не определяется)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m/n, где n – натуральное число, а m – целое.

У нас есть некоторая степень с дробным показателем amn. Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство amnn=amn·n=am должно быть верным.

Учитывая определение корня n-ной степени и что amnn=am, мы можем принять условие amn=amn, если amn имеет смысл при данных значениях m, n и a.

Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии amn=amn.

Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m/n – это корень n-ой степени из числа a в степени m. Это справедливо в том случае, если при данных значениях m, n и a выражение amn сохраняет смысл.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a, которое при положительных значениях m будет больше или равно 0, а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m≤0 мы получаем 0m, а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

Степень с дробным показателем m/n для некоторого положительного числа a есть корень n-ной степени из a, возведенного в степень m. В виде формулы это можно изобразить так:

amn=amn

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m/n можно выразить как

0mn=0mn=0 при условии целого положительного m и натурального n.

При отрицательном отношении mn<0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Выражение amn иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m. Так, верны записи (-5)23, (-1,2)57, -12-84, в которых основание отрицательно.

2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень amn с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a, в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a, в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись am·kn·k, то мы можем свести ее к amn и упростить расчеты.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то amn имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение 5

Для любой обыкновенной сократимой дроби m·kn·k степень можно заменить на amn.

Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n – можно выразить в виде amn в следующих случаях: — для любых действительных a, целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n. Пример: 253=253, (-5,1)27=(-5,1)-27, 0519=0519.

— для любых отличных от нуля действительных a, целых отрицательных значений m и нечетных значений n, например, 2-53=2-53, (-5,1)-27=(-5,1)-27

— для любых неотрицательных a, целых положительных значений m и четных n, например, 214=214, (5,1)32=(5,1)3, 0718=0718.

— для любых положительных a, целых отрицательных m и четных n, например, 2-14=2-14, (5,1)-32=(5,1)-3, .

В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: -2116, -21232, 0-25.

Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6/10=3/5. Тогда должно быть верным (-1)610=-135, но -1610=(-1)610=110=11010=1, а (-1)35=(-1)35=-15=-155=-1.

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

Определение 6

Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m/n определяется как 0mn=0mn=0. В случае отрицательных a запись amn не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m/n определяется как 0mn=0mn=0, для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 51,7, 325-237.

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

51,7=51710=5710325-237=325-177=325-177

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

Пример 5

Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a0, a1, a2, …. Например, возьмем значение a=1,67175331…,тогда

a0=1,6, a1=1,67, a2=1,671, …,a0=1,67, a1=1,6717, a2=1,671753, …

и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней aa0, aa1, aa2, …. Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

Возьмем для примера a=3, тогда aa0=31,67, aa1=31,6717, aa2=31,671753, … и т.д.

Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a. В итоге : степень с иррациональным показателем вида 31,67175331.. можно свести к числу 6,27.

Определение 7

Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как aa. Его значение – это предел последовательности aa0, aa1, aa2, …, где a0, a1, a2, … являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a. Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0a=0 Так, 06=0,02133=0. А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0-5, 0-2π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 12, 15в2 и 1-5 будут равны 1.

Отрицательные экспоненты

Экспоненты также называются Степень или Индексы

Давайте сначала посмотрим, что такое «экспонента»:

Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении
числа.

В этом примере: 8 ² = 8 × 8 = 64

Словами: 8 ² можно назвать «8 в степени 2», «8 в степени 2»
или просто «8 в квадрате»

Пример:

5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125

Прописью: 5 ³ можно назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто «5 кубов»

В целом :

a ⁿ говорит вам использовать a в умножении n раза:

А это положительных показателей , как насчет чего-то вроде:

8 ^-2

Показатель отрицательный … что это значит?

Отрицательные экспоненты

Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

Деление является обратным (противоположным) Умножению .

Отрицательная экспонента означает, сколько раз до разделите на число.

Пример: 8 ^-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125

Или много делений:

Пример: 5 ^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

Но это можно сделать и проще:

5 ^-3 также можно рассчитать как:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5 ³ = 1/125 = 0,008

Последний пример показал более простой способ справиться с отрицательными показателями:

Вычислить положительный показатель степени (a ⁿ)
Затем возьмите Reciprocal (т.е. 1 / а ^н)

Чтобы изменить знак (плюс на минус или минус на плюс) экспоненты ,
используйте Reciprocal (т.е. 1 / a ⁿ)

Итак, что насчет 8 ^-2 ?

Пример: 8 ^-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/8 ² = 1/64 = 0,015625

Другие примеры:

Отрицательная экспонента		Взаимная величина положительной экспоненты		Ответ
4 ^-2	=	1/4 ²	=	1/16 = 0.0625
10 ^-3	=	1/10 ³	=	1/1000 = 0,001

Все имеет смысл

Мой любимый метод — начать с «1», а затем умножить или разделить столько раз, сколько указано в экспоненте, тогда вы получите правильный ответ, например:

Пример: Полномочия 5
	.. пр.
5 ²	1 × 5 × 5	25
5 ¹	1 × 5	5
5 ⁰	1	1
5 ^-1	1 ÷ 5	0.2
5 ^-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	.. и т.д ..

Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле являются частью одного (довольно простого) паттерна.

Отрицательные экспоненты — объяснение и примеры

Показатели — это степени или индексы.Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n. Общая форма экспоненциального выражения: b ⁿ. Например, 3 x 3 x 3 x 3 можно записать в экспоненциальной форме как 3 ⁴, где 3 — основание, а 4 — показатель степени. Они широко используются в алгебраических задачах, и по этой причине важно изучить их, чтобы облегчить изучение алгебры.

Многим учащимся будет трудно понимать отрицательные числа и дроби.Когда к уравнениям добавляются отрицательные показатели, это обычно полная катастрофа. Ну не совсем. Изучение отрицательных показателей — важный фундамент для решения сложных математических выражений. Это потому, что он дает учащимся необходимые навыки и знания для решения сложных проблем в классе и за его пределами.

Если вам интересно, с чего начать, не волнуйтесь, эта статья поможет вам превратить ваш курс по отрицательным показателям в положительный опыт.

Чтобы помочь вам лучше понять правило отрицательной экспоненты, в этой статье подробно обсуждаются следующие темы правила отрицательной экспоненты:

Правило отрицательных показателей
Примеры отрицательных показателей
Отрицательные дробные показатели
Как решать дроби с отрицательные показатели
Как умножить отрицательные показатели
Деление отрицательных показателей

Прежде чем мы займемся каждой из этих тем, давайте сделаем краткий обзор правил экспонент.

Умножение степеней с одинаковым основанием: при умножении одинаковых оснований сложите степени вместе.
Правило соотношения степеней: при делении одинаковых оснований степени вычитаются
Правило силы степеней: умножение степеней вместе при увеличении степени на другой показатель степени
Степень правила произведения: Распределение степени на каждую основу при возведении нескольких переменных на степень
Правило степени частного: Распределите степень по каждой базе при возведении нескольких переменных в степень
Правило нулевой степени: Это правило подразумевает, что любая основа, возведенная в степень нуля, равна одному
Отрицательная экспонента Правило: чтобы преобразовать отрицательную экспоненту в положительную, запишите число в обратную.

Как найти отрицательные экспоненты?

Закон отрицательной степени гласит, что когда число возводится в отрицательную степень, мы делим 1 на основание, возведенное в положительную экспоненту. Общая формула этого правила: a ^-m = 1 / a ^m и (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ.

Пример 1

Ниже приведены примеры того, как работает правило отрицательной экспоненты:

2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2 x 2 x 2) = 1/8 = 0.125
2 ^-2 = 1/2 ² = 1/4
(2/3) ^-2 = (3/2) ²

Дробные отрицательные показатели

Основание b в отрицательной степени n / m эквивалентно 1, деленному на основание b, возведенное в положительную степень n / m:

b ^{-n / m} = 1 / b ^{n / m} = 1 / ( ^m √b) ⁿ

Это означает, что если основание 2 возводится в отрицательную степень 1/2, это эквивалентно 1, деленному на основание 2, возведенному в положительный показатель степени 1/2:

2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1/ √ 2 = 0.7071

Вы должны заметить, что дробная отрицательная экспонента — это то же самое, что найти корень из основания.

Дроби с отрицательными показателями

Правило подразумевает, что если дробь a / b возводится в отрицательный показатель степени n, она равна 1, деленной на основание a / b, возведенное в положительную экспоненту n:

(a / b) ^-n = 1 / (a / b) ⁿ = 1 / (a ⁿ / b ⁿ) = b ⁿ / a ⁿ

Основание 2 / 3, возведенное в отрицательную степень 2, равно 1, деленному на основание 2/3, возведенное в положительную степень 2.Другими словами, 1 делится на обратную величину основания, возведенного в положительный показатель степени 2

(2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ² / 3 ²) = (3/2) ² = 9/4 = 2,25

Умножение отрицательных показателей

При умножении показателей с одинаковым основанием мы можем сложить показатели:

a ^-n xa ^-m = a ^{— (n + m} ^{) =} 1 / a ^{n + m}

Пример 2

2 ^-3 x 2 ^-4 = 2 ^{— (3 + 4)} = 2 ^-7 = 1/2 ⁷ = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1/128 = 0.0078125

В случае различных оснований и общих показателей a и b, мы можем умножить a и b:

a ^-n ⋅ b ^-n = (a ⋅ b) ^-n

Пример 3

3 ^-2 x 4 ^-2 = (3 x 4) ^-2 = 12 ^-2 = 1/12 ² = 1 / (12 x 12) = 1/144 = 0,0069444

В случае, если основания и показатели различаются, мы вычисляем каждый показатель отдельно, а затем умножаем:

a ^-n ⋅ b ^-m

Пример 4

3 ^-2 x 4 ^-3 = (1/9) x (1/64) = 1/576 = 0.0017361

Как разделить отрицательные показатели

В случае показателей с одинаковым основанием мы вычитаем показатели:

a ^-n / a ^{— m} = a ^{-n + m}

Пример 5

2 ^-6/2 ^-3 = 2 ^{-6 + 3}

= 2 ^-3

= 1/2 ³

= 1/8

Практические задачи

Масса электрона составляет около 9 × 10 ^-31 Если полная масса атома составляет 18 × 10 ^-26 кг, каково отношение массы электрона к массе электрона? полная масса атома?
Муравей весит 6 × 10 ^-3 граммов, и каждый день он съедает около одной трети своего веса.Сколько еды может съесть конкретный муравей за неделю?
Средняя масса белого носорога составляет 2,3 × 10 ³ Взрослая комнатная муха весит около 12 × 10 ^-6 кг. Сколько взрослых комнатных мух нужно, чтобы равняться массе одного белого носорога? Дайте свой ответ с точностью до ближайших ста миллионов.

Ответы

1: 2 × 10 ⁵ или 1: 200000
4 × 10 ^-2 граммов или 0,014 грамма.

200 млн.-3. Однако на самом деле вы можете преобразовать любое выражение в дробь, поставив 1 над числом. Это основная причина, по которой мы можем перемещать экспоненты и решать следующие вопросы.

Изучение этого урока также поможет вам на один шаг приблизиться к пониманию того, почему любое число с 0 в экспоненте равно 1. В конце этого урока будет ссылка на диаграмму, которая покажет вам, как возникают эти отношения. о. Скоро вы поймете все основные свойства экспонент!

Как найти отрицательные показатели

Давайте попробуем поработать с некоторыми вопросами об отрицательной степени, чтобы увидеть, как мы будем перемещать числа в верхнюю или нижнюю часть дробной черты, чтобы сделать отрицательные показатели положительными.-3)

Решение:

Если вы когда-нибудь увидите отрицательный показатель в верхней части дроби, вы знаете, что если вы перевернете его вниз, он станет положительным. То же самое действительно работает с отрицательными показателями внизу. Если вы переместите его в числитель, его показатель степени также станет положительным. Имея это в виду, давайте проработаем вопрос. Наш первый шаг — просто перевернуть числитель и знаменатель, чтобы избавиться от всех отрицаний в показателях степени. Затем решите, как обычно, с помощью правила мощности.2)

= 64/9

Определенно не так запутанно, как казалось, правда?

Вот хорошее место, чтобы взглянуть на сравнение отрицательных и положительных показателей и посмотреть, как они ведут себя на графике.

Обзор правил для экспонентов

Обзор правил для экспонентов Ниже приведен список правил для экспонентов и пример или два использования каждого правила:

Правило нулевой экспоненты: a ⁰ = 1, это говорит, что все, что возведено в нулевую степень, равно 1.
Правило мощности (от степеней к степеням): (a ^m) ⁿ = ^mn, это говорит о том, что для возведения степени в степень вам необходимо умножить степень. Есть несколько других правил, которые соответствуют правилу мощности, например, правило произведения к степеням и правило отношения к степеням.
Правило отрицательной экспоненты :, это говорит о том, что отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями.Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели.
Правило произведения : a ^m ∙ a ⁿ = a ^{m + n}, это говорит о том, что для умножения двух степеней с одинаковым основанием вы сохраняете основание и складываете степени.
Правило частных : здесь говорится, что для деления двух показателей с одинаковым основанием вы сохраняете основание и вычитаете степени.Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень. Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени.

Теперь, когда мы рассмотрели правила для экспонент, вот шаги, необходимые для упрощения экспоненциальных выражений (обратите внимание, что мы применяем правила в том же порядке, что и правила были написаны выше):

Шаг 1 :	Примените правило нулевой экспоненты.Измените все, что поднят до нулевой степени, на 1.
Шаг 2 :	Примените правило мощности. Умножьте (или распределите) показатель степени за пределами круглых скобок с каждым показателем внутри скобок, помните, что если показатель степени не показан, то показатель степени равен 1.
Шаг 3 :	Примените правило отрицательной экспоненты. Отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями.Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели. Обратите внимание, что порядок, в котором перемещаются объекты, не имеет значения.
Шаг 4 :	Примените правило продукта. Чтобы умножить два показателя степени с одинаковым основанием, вы сохраняете основание и складываете степени.
Шаг 5 :	Примените правило частного. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень.Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени и повторения шага 3.
Шаг 6 :	Возвести каждый коэффициент (или число) в соответствующую степень, а затем упростить или уменьшить оставшиеся дроби.

Пример 1 — Упростить:

Пример 2 –Simplify:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 3 –Simplify:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 4 –Simplify:

Щелкните здесь для практических задач

Пример 5 –Simplify:

Щелкните здесь для практических задач

Отрицательные экспоненты: правила умножения и деления

Обновлено 14 ноября 2020 г.

Крис Дезил

Если вы какое-то время занимались математикой, вы, вероятно, встречали экспоненты.Показатель степени — это число, которое называется основанием, за которым следует другое число, обычно записываемое надстрочным индексом. Второе число — это показатель степени или степень. Он сообщает вам, на сколько раз нужно умножить базу на себя. Например, 8 ² означает умножить 8 на себя дважды, чтобы получить 16, а 10 ³ означает 10 × 10 × 10 = 1000. Когда у вас есть отрицательные показатели степени, правило отрицательной экспоненты требует, чтобы вместо умножения основания указанное количество раз вы делите основание на 1 такое количество раз.8

Чтобы понять, почему это так, обратите внимание, что x ⁵ означает ( x × x × x × x × x ) И x ³ означает ( x x x x x ). Когда вы умножаете эти члены, вы получаете ( x × x × x × x × x × x × x × x ) = x ⁸.4 = 16 $$ $$ x = \ pm2 $$

Отрицательных показателей нечего бояться. Помните, что когда вы видите отрицательную экспоненту, вы можете поместить ее с другой стороны дробной шкалы и сделать ее положительной. Если вам нужна дополнительная помощь по математике по этой теме, вы можете посетить нашу доску справочных сообщений по математике и задать свой вопрос бесплатно.

Отрицательные экспоненты — определение, правила, примеры отрицательных показателей

Мы знаем, что показатель степени относится к тому, сколько раз число умножается само на себя.Например, 3 ² = 3 × 3. В случае положительных показателей мы легко умножаем число (основание) на себя, но что произойдет, если у нас есть отрицательные числа в качестве показателей? Отрицательная экспонента определяется как мультипликативная инверсия основания, возведенная в степень, противоположную данной степени. Проще говоря, мы записываем обратную величину числа, а затем решаем его как положительные показатели. Например, 3 ^-2 можно записать как 1/3 ². Давайте узнаем больше об отрицательных показателях в этом уроке.

Что такое отрицательные экспоненты?

Мы знаем, что показатель степени числа говорит нам, сколько раз мы должны умножить основание. Например, рассмотрим 8 ², 8 — основание, а 2 — показатель степени. Мы знаем, что 8 ² = 8 × 8. Отрицательная экспонента говорит нам, сколько раз нам нужно умножить обратную величину от основания. Рассмотрим 8 ^-2, здесь база равна 8, а показатель степени отрицательный (-2). 8 ^-2 выражается как 1/8 ² = 1/8 × 1/8.

Числа и выражения с отрицательными показателями

Вот несколько примеров, выражающих отрицательные показатели с помощью переменных и чисел. Обратите внимание на таблицу, чтобы увидеть, как число записывается в его обратной форме и как меняются знаки степеней.

Отрицательная экспонента	Результат
2 ^-1	1/2
3 ^-2	1/3 ² = 1/9
x ^-3	1 / х ³
(2 + 4x) ^-2	1 / (2 + 4x) ²
(x ² + y ²) ^-3	1 / (x ² + y ²) ³

Правила отрицательной экспоненты

У нас есть набор правил или законов для отрицательных показателей степени, которые упрощают процесс упрощения.Ниже приведены основные правила решения отрицательных показателей.

Правило 1: Правило отрицательной экспоненты гласит, что для каждого числа ‘a’ с отрицательной экспонентой -n берется обратная величина от основания и умножается на значение показателя: a ^(-n) = 1 / a ⁿ = 1 / a × 1 / a × …. n раз
Правило 2: Правило для отрицательной степени в знаменателе предполагает, что для каждого числа ‘a’ в знаменателе и его отрицательной степени -n результат может быть записан как: 1 / a ^(-n) = а ⁿ = а × а ×…. n раз

Давайте применим эти правила и посмотрим, как они работают с числами.

Пример 1: Решить: 2 ^-2 + 3 ^-2

Решение:

Используйте правило отрицательной степени a ^-n = 1 / a ⁿ
2 ^-2 + 3 ^-2 = 1/2 ² + 1/3 ² = 1/4 + 1/9
Возьмите наименьшее общее кратное (НОК): (4 + 9) / 36 = 13/36

Пример 2 : Решить: 1/4 ^-2 + 1/2 ^-3

Решение:

Используйте второе правило с отрицательной экспонентой в знаменателе: 1 / a ^-n = a ⁿ
1/4 ^-2 + 1/2 ^-3 = 4 ² + 2 ³ = 16 + 8 = 24

Почему дроби отрицательные?

Отрицательная экспонента возвращает нас к числу, обратному числу.Другими словами, ^-n = 1 / a ⁿ и 5 ^-3 становится 1/5 ³ = 1/125. Вот так отрицательные показатели превращают числа в дроби. Давайте рассмотрим другой пример, чтобы увидеть, как отрицательные показатели превращаются в дроби.

Пример: Решить 2 ^-1 + 4 ^-2

Решение:

2 ^-1 можно записать как: 1/2, а 4 ^-2 записать как 1/4 ². Следовательно, отрицательные показатели степени меняются на дроби при изменении знака их показателя степени.

Умножение отрицательной степени

Умножение отрицательного показателя степени такое же, как умножение любого другого числа. Как мы уже обсуждали, отрицательные показатели могут быть выражены в виде дробей, поэтому их можно легко решить после преобразования в дроби. После этого преобразования мы умножаем отрицательные показатели, используя те же правила, что и для умножения положительных показателей. {3} \ times 4} \)

45/4 ⁴ = 45/256

Как найти отрицательные экспоненты?

Решение любого уравнения или выражения — это работа с этими уравнениями или выражениями.{-2}} {1} \)

7 ⁵/3 ² = 16807/9

Важные моменты

Обратите внимание на следующие моменты, которые следует помнить при работе с отрицательными показателями.

Показатель степени или степень означает, сколько раз нужно умножить основание на само себя.
a ^м = a × a × a… .. m умножить на
a ^-m = 1 / a × 1 / a × 1 / a… .. m умножить на
a ^-n также известен как мультипликативное обратное значение ⁿ.
Если ^-m = ^-n, то m = n.
Соотношение между показателем степени (положительные степени) и отрицательным показателем (отрицательная степень) выражается следующим образом: a ^x = 1 / a ^-x

Отрицательные экспоненты Статьи по теме:

Пример 1: Найдите решение данной проблемы: (3 ² + 4 ²) ^-2
Решение:
(3 ² + 4 ²) ^-2 = (9 + 16) ^-2 = (25) ^-2 = 1/25 ² = 1/625.Следовательно, (3 ² + 4 ²) ^-2 = 1/625
Пример 2: Найдите значение x в 27/3 ^-x = 3 ⁶
Решение:
Здесь отрицательные показатели с переменными.
27/3 ^-x = 3 ⁶, 3 ³/3 ^-x = 3 ⁶, 3 ³ × 3 ^-x = 3 ⁶, 3 ^{(3 + х)} = 3 ⁶
Если основания одинаковы, то показатели должны быть равны x + 3 = 6, x = 3.Следовательно, значение x = 3.
перейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом в решении проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Часто задаваемые вопросы об отрицательных показателях

Что такое отрицательные числа с экспонентами?

Отрицательные числа с показателями степени подчиняются тем же законам, что и положительные числа с показателями степени, с той лишь разницей, что отрицательные числа дают отрицательный результат, когда их показатель степени нечетный, и они дают положительный результат, когда показатель степени четный.Например, (-5) ³ = -125, (-5) ⁴ = 625.

Как упростить отрицательные экспоненты?

Отрицательные показатели степени упрощаются с использованием тех же законов экспонент, которые используются для решения положительных показателей. Например, чтобы решить: 3 ^-3 + 1/2 ^-4, сначала мы изменим их на обратную форму: 1/3 ³ + 2 ⁴, затем упростим 1/27 + 16. Взятие НОК [1+ (16 × 27)] / 27 = 433/27.

Как разделить отрицательные экспоненты?

Деление показателей с одинаковым основанием аналогично умножению показателей, но сначала нам нужно преобразовать их в положительные показатели.Мы знаем, что при умножении показателей с одинаковым основанием степени складываются, и мы используем то же правило при делении показателей. Например, чтобы решить y ⁵ ÷ y ^-3, или, y ⁵ / y ^-3, сначала мы меняем отрицательную экспоненту (y ^-3) на положительную, записывая обратную величину . Это дает: y ⁵ × y ³ = y ^{(5 + 3)} = y ⁸.

Как умножить отрицательные экспоненты?

При умножении отрицательных показателей степени, сначала нам нужно преобразовать их в положительные показатели, записав соответствующие числа в их обратной форме.Как только они преобразуются в положительные, мы умножаем их, используя те же правила, что и для умножения положительных показателей. Например, y ^-5 × y ^-2 = 1 / y ⁵ × 1 / y ² = 1 / y ^{(5 + 2)} = 1 / y ⁷.

Почему отрицательные экспоненты являются обратными?

Когда нам нужно изменить отрицательный показатель степени на положительный, мы должны написать обратную величину данного числа. Таким образом, отрицательный знак в показателе степени косвенно означает обратное значение данного числа, так же как положительный знак означает повторное умножение основания.

Сколько 10 в отрицательной степени двойки?

10 в отрицательной степени 2 представляется как 10 ^-2, что равно (1/10 ²) = 1/100.