Числа с разными степенями и разными основаниями: Свойства степеней, действия со степенями

Как делить числа с разными степенями и основаниями?

Как делить числа с разными степенями и основаниями?

Как перемножить степени с разными основаниями в виде чисел?

1. Если надо умножить два числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями степеней, то общее основание возводится в сумму степеней. …
2. Если основания разные, а показатели одинаковые, то нужно возводить в степень произведение оснований.

Когда умножаются степени?

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

Как складывать числа с одинаковыми основаниями?

Как складывать числа с одинаковыми степенями Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение. В уравнениях это будет происходить немного иначе. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2, например) — их коэффициенты можно складывать.

Как умножить число на дробь в квадрате?

Чтобы возвести в квадрат дробь, нужно умножить ее на себя, то есть нужно умножить числитель на себя, а затем умножить знаменатель на себя. Например: (5/2)2 = 5/2 × 5/2 = (52/22).

Как возводить отрицательные дроби в степень?

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

1. «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
2. заменить отрицательную степень на положительную;
3. возвести число в положительную степень.

Как возвести в степень Алгебраическую?

Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

Как умножить число на дробь в степени?

Умножение дробей. Возведение дробей в степень

1. Чтобы умножить дробь на дробь, надо просто перемножить их числители и знаменатели. …
2. Чтобы умножить дробь на целое число, надо целое число умножить на числитель. …
3. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.

Как сократить число в степени?

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем. a² и a⁷ сокращаем на a².

В каком случае нельзя сократить дробь?

Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя! Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число.

Как сократить дробь со степенями и буквами?

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель….Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

1. Определите общий множитель.
2. Сократите коэффициенты.
3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Как упрощать дроби с буквами?

Сокращение дробей состоит в том, что числителя и знаменателя дроби делят на одно и то же число. и т. п. Итак, если в числителе и знаменателе имеются множителями различные степени одной и той же буквы, то можно сократить эту дробь на меньшую степень этой буквы.

Свойства степеней и корней. Чудо-конспект



Быстренько вспоминаем, что такое степень – это свёрнутая запись произведения:
 , при этом  называется основанием степени, а  – показателем степени или тоже степенью. Особый случай: , если .

Повторим важные свойства степеней. Некоторыми из них мы уже вовсю пользовались, в частности:

Для того чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель: . Правило работает для любого количества множителей.

Например:  и т.п.
Следующее очевидное свойство следует из определения степени:

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить таким же, а показатели сложить: .

! Не путать с «похожими» действиями! Для разных оснований  –  правило

не работает! Для суммы  – тоже нет!

Например:, при этом степень может быть и «навороченной»:   – важно только, чтобы у них были одинаковые основания.

Чтобы возвести степень в степень нужно перемножить показатели:

Примеры: ,  и более замысловатые, но такие же естественные: .

При переносе степени из знаменателя в числитель (или наоборот) у показателя следует сменить знак:

Да, показатель степени может быть и отрицательным! Например: . Числа  и  называют взаимно обратными, их произведение равно: .
Другие примеры: , ну и можно ещё немножко поизвращаться: , такое тоже встречается J.

Следующее свойство вытекает из предыдущих:

Деление степеней с одинаковыми основаниями:

Например: , и если присмотреться, то это обычное сокращение дроби: .

Разумеется, все правила работают и в обратном направлении, только что вот я «расщепил» степень на множители: . Довольно часто приходится выделять степень в степени: , а также «сбрасывать» степень в знаменатель:  и тому подобное.

Но и это ещё не все секреты! На самом деле корень – это тоже степень:

Радикал (корень) можно записать в виде , где  – положительная рациональная дробь . При  получается квадратный корень: . Если же дробь отрицательна, то речь идёт о корне, который находится в знаменателе:

, таким образом: .

Обращаю ваше внимание, что здесь не проводится никаких алгебраических действий:  и  – это две разные ЗАПИСИ одного и того же корня.

Например:  
и давайте что-нибудь страшненькое:  .

Корень  часто записывают в виде  для того, чтобы с комфортом взять от него производную или интеграл. И, кроме того, это мощнейший инструмент для перемножения «разношёрстных» степеней и корней, поскольку рассмотренные выше свойства работают и для дробных показателей:
, после чего результат обычно снова представляют в виде корня:  (с помощью той же формулы ).

Главное, уметь приводить дроби к общему знаменателю:
     так же легко выполняется почленное деление числителя на знаменатель:

и приведение к общему знаменателю:
 – полученный результат как раз можно проверить с помощью почленного деления.

Теперь повторим факты, которые касаются именно корней:

Если  – чётное число, бОльшее нуля, то корень  определён только для неотрицательных значений ; если  – нечётное число, бОльшее единицы, то корень определён для всех .

Корни вида  определены только для неотрицательных значений «икс» (вне зависимости от того, чётное  или нечётное). При этом по возможности их можно (и нужно) сокращать: .

Например: . 

Вы спрОсите, а что не так с корнем ?  Вроде всё хорошо: .
А дело вот в чём: показатель  можно записать в виде

несократимой дроби , и тогда . Но дроби  и  задают одно и то же число! Во избежание этого парадокса и принято считать, что такие корни определены лишь для . Далее:

Если  делится на , то корень   определён для всех значений , при этом , если  чётное и  нечётное, и  – в других случаях.
В частности, при :   , если  – чётное и, если  – нечётное.

Самый популярный случай: , например:  — как мы помним, модуль уничтожает возможный знак «минус».  А вот здесь модуль не нужен:  – поскольку «икс квадрат» и так неотрицателен. К слову, при частичном вынесении модуль тоже не нужен: , ибо отрицательным здесь «икс» быть не может.
Другие примеры:  и т.п.
Следует добавить, что все перечисленные факты справедливы и в том случае, если корень расположен в знаменателе.

Среди «вычислительных» свойств наиболее важнЫ следующие, и ими мы тоже пользовались:

Если, то  , и если , то 

Если множители отрицательны, то возможны варианты. Так, корень   «расщеплять» категорически нельзя. Но вот с корнем  это вполне себе «прокатывает».

Другие практически значимые свойства:

Для натуральных  и  справедливо следующее:
Эти факты элементарно выводятся из свойства степеней: .

Например: , впрочем, в высшей математике такие действия приходится выполнять редко.

Кроме того, есть и другие свойства, но они тоже не особо актуальны, порешаем лучше примеры:

Задание 4

а) Упростить:

б) Выполнить действия и записать результат в виде корня:
.

в) Разделить почленно:

г) Привести к общему знаменателю:

д) Преобразовать: 

Решения и ответы в конце книги.

И местечко тут даже на странице ещё осталось, наверное, какого-то свойства не хватает… или просто умной мысли – подумаю и обязательно добавлю, если надумаю – в следующем переиздании книги 🙂

1.8.1. Арифметическая прогрессия

1.6.4. Как представить сумму в виде произведения?

| Оглавление |



Правила экспоненты

Существует множество свойств и правил экспоненты, которые можно использовать для упрощения алгебраических уравнений. Ниже приведены некоторые из наиболее часто используемых. Обратите внимание, что термины «показатель степени» и «степень» часто используются взаимозаменяемо для обозначения верхних индексов в выражении. Например, в термине Qb ⁿ Q — это коэффициент, b — основание, а n — показатель степени или степень, как показано на рисунке ниже.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание степеней подчиняются тем же правилам.

Сложение показателей степени с одинаковым основанием

Чтобы складывать или вычитать термины, содержащие показатели степени, они должны иметь одинаковое основание и одинаковую степень. В противном случае термины не могут быть добавлены. Если основание и мощность одинаковы, то коэффициенты при основаниях можно складывать или вычитать, сохраняя при этом основание и мощность одинаковыми. Учитывая, что P и Q являются постоянными коэффициентами, это можно выразить как:

Примеры

1. 3(3 ² ) + 3 ² :

3 (3 ² ) + 3 ² = (3 + 1)(3 ² ) = 4 (3 ² ) = 36

2 . 3x ⁵ — 6x ⁵ :

3x ⁵ — 6x ⁵ = (3 — 6)x ⁵ = -3x ⁵

Сложение показателей степени с разными степенями

Напомним, что при работе с термами, содержащими показатели степени, термы могут добавляться только в том случае, если основание и показатель степени каждого термина совпадают. В тех случаях, когда либо основание, либо показатель степени различаются между терминами, термины не могут быть объединены и должны вычисляться отдельно:

Примеры

1. 3 ² + 3 ³ :

В этом примере, несмотря на то, что основание в каждом члене одинаковое, показатели степени разные. Таким образом, члены не могут быть объединены и должны быть вычислены отдельно:

3 ² + 3 ³ = 9 + 27 = 36

2. 2 ² + 3 ² : 9 0005

2 ² + 3 ² = 4 + 9 = 13

В этом случае основания одинаковы, но показатели степени разные, поэтому члены не могут быть объединены напрямую и должны вычисляться отдельно перед сложением.

Умножение

Чтобы умножить термины, содержащие экспоненты, они должны иметь одинаковое основание и/или одинаковую степень. Если у показателей степени есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, перемножьте коэффициенты вместе. Коэффициенты можно перемножать, даже если показатели степени имеют разные основания.

Умножение показателей степени с одним и тем же основанием

Чтобы умножить члены с одним и тем же основанием, сохраните одно и то же основание и сложите степени вместе:

Умножение показателей степени с разными основаниями

Чтобы умножить члены с разными основаниями, но с одинаковой степенью, возведите произведение оснований в степень. Это может быть выражено как:

Ниже приведены некоторые примеры умножения показателей степени с одинаковым основанием, другим основанием и одинаковой степенью и основанием.

Примеры

1. 3 ² × 3 ³ :

3 ² × 3 ³ = 3 ²⁺³ = 3 ⁵

2. 4 ² × 6 ² :

4 ² × 6 ² = (4 × 6) ² = 24 ² = 576

Если показатели степени имеют одинаковую степень и одно и то же основание, выражение можно упростить, используя любое из приведенных выше правил:

3,5 ² × 5 ² :

5 ² × 5 ² = 5 ^{2+2 90 004 = 5 4 = 625}

ИЛИ

5 ² × 5 ² = (5 * 5) ² = 25 ² = 625

Деление

Чтобы разделить слагаемые в выражении с показателями степени, они должны иметь одинаковое основание и/или одинаковую степень. Чтобы разделить показатели степени с одинаковым основанием, сохраните одно и то же основание и вычтите степень знаменателя из степени числителя. Если члены выражения имеют одинаковую степень, но разные основания, разделите основания, а затем возведите результат в степень. Если у показателей степени есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, разделите коэффициенты. Коэффициенты можно делить, даже если показатели степени имеют разные основания.

Примеры

1. :

2. :

Если показатель степени имеет отрицательную степень, вам все равно нужно сохранить тот же знак и вычесть степень.

3. :

Отрицательные показатели степени

Отрицательная степень означает просто взять обратное основание, а затем возвести его в положительную степень. Это можно записать как:

Пример

Полномочия

При возведении степени в другую степень важно обращать внимание на порядок операций. По соглашению:

Это отличается от (b ⁿ ) ^m , где:

Примеры

1. (4 ³ ) ² :

(4 ³ ) ² = 4 ^3×2 = 4

6 = 4096

ИЛИ

(4 ³ ) ² = 64 ² = 4096

2.