Число слева над корнем: Степени и корни в математике с примерами решения и образцами выполнения

Содержание

Как решать уравнения с корнем (с иллюстрациями)

‘).insertAfter(«#intro»),$(‘

‘).insertBefore(«.youmightalsolike»),$(‘

‘).insertBefore(«#quiz_container»),$(‘

‘).insertBefore(«#newsletter_block_main»),fa(! 0),b=document.getElementsByClassName(«scrolltomarker»),a=0;a

В этой статье:

Понимание квадратов чисел и квадратных корней

Использование алгоритма деления столбиком

Быстрый подсчет неполных квадратов

Дополнительные статьи

Источники

Хотя пугающий вид символа квадратного корня и может заставить съежиться человека, не сильного в математике, задачи с квадратным корнем не такие уж и трудные, как это может вначале показаться. Простые задачи с квадратным корнем довольно часто можно решить так же легко, как обычные задачи с умножением или делением. С другой стороны, более сложные задачи могут потребовать некоторых усилий, но с правильным подходом даже они не составят вам труда.

Начните решать задачи с корнем уже сегодня, чтобы научиться этому радикально новому математическому умению!

Шаги

1
Возведите число в квадрат, умножив его само на себя. Для того чтобы понять квадратные корни, лучше начать с квадратов чисел. Квадраты чисел довольно просты: возведение числа в квадрат означает умножение его само на себя. Например, 3 в квадрате это то же самое, что и 3 × 3 = 9, а 9 в квадрате это то же самое, что и 9 × 9 = 81. Квадраты помечаются написанием небольшой цифры «2» справа над возводящим в квадрат числом. Пример: 3², 9², 100² и так далее.
- Попробуйте сами возвести в квадрат еще несколько чисел, чтобы опробовать эту концепцию. Помните, возведение числа в квадрат означает, что это число следует умножить само на себя. Это можно сделать даже для отрицательных чисел. В таком случае результат всегда будет положительным. Например: -8² = -8 × -8 = 64.
2
Когда речь идет о квадратных корнях, то здесь идет обратный процесс возведению в квадрат. Символ корня (√, его также называют радикалом) по существу означает противоположность символа ². Когда вы видите радикал, вы должны спросить себя: «Какое число может умножиться само на себя, чтобы получилось число под корнем?». Например, если вы видите √(9), тогда вы должны найти число, которое при возведении в квадрат давало бы число девять. В нашем случае этим числом будет три, потому что 3² = 9.
- Рассмотрим еще один пример и найдем корень из 25 (√(25)). Это означает, что нам необходимо найти число, которое бы в квадрате давало нам 25. Так как 5² = 5 × 5 = 25, можно сказать, что √(25) = 5.
- Вы также может думать об этом, как об «аннулировании» возведения в квадрат. Например, если нам необходимо найти √(64), квадратный корень 64, то давайте думать об этом числе, как о 8². Так как символ корня «отменяет» возведение в квадрат, то мы можем сказать, что √(64) = √(8²) = 8.
3
Знайте разницу между идеальным и не идеальным возведением в квадрат. До этих пор ответами на наши задачи с корнем были хорошие и круглые числа, но это не всегда так. Ответами задач с квадратным корнем могут быть очень длинные и неудобные числа с десятичной дробью. Числа, корень которых представляет собой целые числа (другими словами, числа которые не являются дробью) называются полными квадратами. Все вышеупомянутые примеры (9, 25 и 64) являются полными квадратами, потому что их корнем будет целое число (3,5 и 8).
- С другой стороны, числа, которые при возведении под корень не дают целого числа, называются неполными квадратами. Если поставить одно из этих чисел под корень, то вы получите число с десятичной дробью. Иногда такое число может оказаться весьма длинным. Например, √(13) = 3,605551275464. ..
4
Запомните первые 1-12 полных квадратов. Как вы, вероятно, уже заметили, найти корень полного квадрата довольно легко! Из-за того, что эти задачи такие простые, стоит запомнить корни первой дюжины полных квадратов. Вы не раз столкнетесь с этими числами, так что потратьте немного времени, чтобы запомнить их пораньше и сэкономить время в будущем.
- 1² = 1 × 1 = 1
- 2² = 2 × 2 = 4
- 3² = 3 × 3 = 9
- 4² = 4 × 4 = 16
- 5² = 5 × 5 = 25
- 6² = 6 × 6 = 36
- 7² = 7 × 7 = 49
- 8² = 8 × 8 = 64
- 9² = 9 × 9 = 81
- 10² = 10 × 10 = 100
- 11² = 11 × 11 = 121
- 12² = 12 × 12 = 144
5
Упростите корни, убрав из него полные квадраты, если это возможно. Найти корень неполного квадрата иногда может оказаться нелегко, особенно если вы не используете калькулятор (в разделе ниже вы найдете несколько трюков, как сделать этот процесс легче). Однако зачастую можно упростить число под корнем, чтобы с ним было легче работать. Чтобы сделать это, вам просто необходимо разделить число под корнем на множители, а затем найти корень множителя, который является полным квадратом, и записать его снаружи корня. Это проще, чем кажется. Читайте далее, чтобы получить больше информации.
[1] X Источник информации
- Давайте предположим, что нам необходимо найти квадратный корень 900. На первый взгляд это кажется довольно тяжелой задачей! Однако это не будет так тяжело, если мы разделим число 900 на множители. Множители – это числа, которые умножаются друг на друга для того, чтобы дать новое число. Например, число 6 можно получить, умножив 1 × 6 и 2 × 3, его множителями будут числа 1, 2, 3 и 6.
- Вместо того чтобы искать корень числа 900, что немного затруднительно, давайте запишем 900, как умножение 9 × 100. Теперь, когда число 9, которое является полным квадратом, отделено от 100, мы можем найти его корень. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Другими словами, √(900) = 3√(100).
- Мы даже можем пойти еще дальше, разделив 100 на два множителя, 25 и 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Поэтому мы можем сказать, что √(900) = 3(10) = 30
6
Используйте мнимые числа, чтобы найти корень отрицательного числа. Спросите себя, какое число при умножении само на себя даст -16? Это не 4 и не -4, так как возведение этих чисел в квадрат даст нам положительное число 16. Сдались? На самом деле не существует способа записать корень -16 или любого другого отрицательного числа обычными числами. В таком случае мы должны подставить мнимые числа (обычно в форме букв или символов), чтобы они оказались вместо корня отрицательного числа. Например, переменная «i» обычно используется для возведения под корень числа -1. Как правило, корнем отрицательного числа всегда будет мнимое число (или включенное в него).
- Знайте, что хотя мнимые числа и не могут быть представлены обычными цифрами, к ним все равно можно относиться, как к таковым. Например, квадратный корень отрицательного числа можно возвести в квадрат, чтобы придать этим отрицательным числам, как и любым другим, квадратный корень. Например, i² = -1
Реклама

1
Запишите задачу с корнем, как задачу деления столбиком. Хотя это может отнять довольно много времени, таким образом, вы сможете решить задачу с корнем неполных квадратов, не прибегая к помощи калькулятора. Для этого мы воспользуемся методом решения (или алгоритмом), который похож (но не точно такой же) на обычное деление столбиком. ^{[2]
X
Источник информации}
- Для начала запишите задачу с корнем в такую же форму, что и при делении столбиком. Предположим, что мы хотим найти квадратный корень числа 6,45, которое точно не является полным квадратом. Сперва мы напишем обычный символ квадрата, а затем под ним мы напишем число. Далее над числом мы нарисуем линию, чтобы оно оказалось в небольшой «коробочке», так же как и при делении столбиком. После этого у нас получится корень с длинным хвостом и числом 6,45 под ним.
- Над корнем мы будем писать числа, так что обязательно оставьте там место.
2
Сгруппируйте цифры по парам. Для того чтобы начать решать задачу, необходимо сгруппировать цифры числа под радикалом по парам, начав с точки в десятичной дроби. Если хотите, можете делать небольшие отметки (вроде точек, косой линии, запятых и прочего) между парами, чтобы не запутаться.
- В нашем примере, мы должны разделить на пары число 6,45 следующим образом: 6-,45-00. Обратите внимание, что слева присутствует «оставшаяся» цифра – это нормально.
3
Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен первой «группе». Начните с первого числа или пары слева. Выберите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен оставшейся «группе». Например, если бы группа была равна 37, вы бы выбрали число 6, потому что 6² = 36 < 37, а 7² = 49 > 37. Запишите это число над первой группой. Это будет первой цифрой вашего ответа.
- В нашем примере, первой группой в 6-,45-00 будет цифра 6. Наибольшее число, которое в квадрате будет меньше или равно 6 это 2² = 4. Напишите цифру 2 над цифрой 6, которая стоит под корнем.
4
Удвойте только что написанное число, затем опустите его под корень и отнимите.
Возьмите первую цифру вашего ответа (число, которое вы только что нашли) и удвойте ее. Запишите результат под первой своей группой и отнимите, чтобы найти разницу. Опустите следующую пару чисел рядом с ответом. И наконец, напишите слева последнюю цифру удвоения первой цифры своего ответа, а рядом оставьте пробел.
- В нашем примере, мы начнем с удвоения цифры 2, которая является первой цифрой нашего ответа. 2 × 2 = 4. Затем мы отнимем 4 от 6 (нашей первой «группы»), получив при этом 2. Далее мы опустим следующую группу (45), чтобы получить 245. И наконец, слева мы еще раз напишем цифру 4, оставив в конце небольшой пробел, вот так: 4_
5
Заполните пробел. Затем вы должны прибавить цифру к правой части записанного числа, которое находится слева. Выберите цифру, перемножив которую с вашим новым числом, вы получили бы максимально большой результат, но который бы был меньше или равен «опущенному «числу». Например, если ваше «опущенное» число равно 1700, а ваше число слева это 40_, в пробел необходимо написать цифру 4, так как 404 × 4 = 1616 < 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.
- В нашем примере, мы должны найти число и записать его в пробелы 4_ × _, что сделает ответ как можно большим, но все же меньшим или равным 245. В нашем случае это цифра 5. 45 × 5 = 225, в то время как 46 × 6 = 276
6
Продолжайте использовать «пустые» числа, чтобы найти ответ. Продолжайте решать это измененное деление столбиком, пока не начнете получать нули при вычитании «опущенного» числа или пока не получите желаемый уровень точности ответа. Когда вы закончите, числа, которые вы использовали, чтобы заполнить пробелы в каждом шаге (плюс самое первое число) будут составлять число вашего ответа.
- Продолжая наш пример, мы отнимем 225 от 245, чтобы получить 20. Затем, мы опустим следующую пару чисел, 00, чтобы получить 2000. Удвоим число над знаком корня. Мы получим 25 × 2 = 50. Решив пример с пробелами, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.
7
Передвиньте точку десятичной дроби вперед от изначального «делимого» числа. Чтобы завершить свой ответ, вы должны поставить точку десятичной дроби в правильное место. К счастью, сделать это довольно легко. Все, что вам необходимо сделать, это выровнять ее относительно точки изначального числа. Например, если под корнем будет стоять число 49,8, вы должны будете поставить точку между двумя цифрами над девяткой и восьмеркой.
- В нашем примере под радикалом стоит число 6,45, так что мы просто переместим точку и поставим ее между цифрами 2 и 5 в нашем ответе, получив при этом ответ равный 2,539.
Реклама

1
Найдите неполные квадраты, подсчитав их. Когда вы запомните полные квадраты, поиск корня неполных квадратов станет намного проще. Так как вы уже знаете дюжину полных квадратов, любое число, которое попадает в область между этими двумя полными квадратами можно найти, сведя все к приблизительному подсчету между этих значений. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится ваше число. Затем определите, к которому из этих чисел ваше число находится ближе.
- Например, предположим, что нам необходимо найти квадратный корень числа 40. Так как мы запомнили полные квадраты, мы можем сказать, что число 40 находится между 6² и 7²или числам 36 и 49. Так как 40 больше 6², его корень будет больше 6, а так как оно меньше 7², его корень также будет и меньше 7. 40 немного ближе к 36, чем к 49, так что ответ, скорее всего, будет немного ближе к 6. В следующих нескольких шагах мы сузим наш ответ.
2
Подсчитайте квадратный корень до первого знака после десятичной точки. После того как вы выберите два полных квадрата, между которых находится ваше число, все сводится к вашему подсчету, пока вы не получите желаемый ответ. Чем больше вы подсчитаете, тем более точным будет ваш ответ. Начните с того, что выберите, куда поставить точку десятичной дроби в свой ответ. Она не должна обязательно быть верной, но зато вы сэкономите время, если воспользуетесь логикой и поставите точку как можно ближе к правильному ответу.
- В нашем примере, разумной оценкой квадратного корня числа 40 может быть 6,4, так как, исходя из вышеупомянутой информации, мы знаем, что ответ ближе к 6, чем к 7.
3
Умножьте приблизительное число само на себя. Следующее, что вы должны сделать, это возвести приблизительное число в квадрат. Вам, скорее всего, не повезет и вы не получите изначальное число. Оно будет или немного большим, или немного меньшим. Если ваш результат слишком большой, тогда попробуйте снова, но с немного меньшим приблизительным числом (и наоборот, если результат слишком низкий).
- Умножьте 6,4 само на себя, и вы получите 6,4 × 6,4 = 40,96, что немного больше за изначальное число.
- Так как наш ответ оказался больше, мы должны умножит число на одну десятую меньше за приблизительное и получить следующее: 6,3 × 6,3 = 39,69. Это немного меньше за изначальное число. Это значит, что квадратный корень 40 находится между 6,3 и 6,4. И снова, так как 39,69 ближе к 40, чем 40,96, мы знаем, что квадратный корень будет ближе к 6,3, чем к 6,4.
4
Продолжайте расчет. На этом этапе, если вы довольны своим ответом, вы можете просто взять первое угаданное приблизительное значение. Однако если вы хотите получить более точный ответ, все что вам необходимо сделать, это выбрать приблизительное значение с двумя знаками десятичной дроби, которое ставит это приблизительное значение между первыми двумя числами. Продолжив этот подсчет, вы сможете получить для своего ответа три, четыре и больше знаков после запятой. Все зависит от того, насколько далеко вы захотите зайти.
- В нашем примере давайте выберем 6,33 в качестве приблизительного значения с двумя знаками после запятой. Умножьте 6,33 само на себя, чтобы получить 6,33 × 6,33 = 40,0689. так как это немного больше нашего числа, мы возьмем число поменьше, например, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Этот ответ немного меньше нашего числа, так что мы знаем, что точный квадратный корень находится между 6,32 и 6,33. Если бы мы захотели продолжить, мы бы продолжали использовать тот же подход, чтобы получить ответ, который становился бы все точнее и точнее.
Реклама

Советы

Для быстрого поиска решения, воспользуйтесь калькулятором. Большинство современных калькуляторов могут мгновенно найти квадратный корень числа. Все что вам необходимо сделать, это ввести свое число, а затем нажать на кнопку со знаком корня. Например, для того чтобы найти корень 841, вы должны будет нажать 8, 4, 1 и (√). В результате чего вы получите ответ 39.

Источники

Об этой статье

На других языках

Как решать уравнения с корнем — Wiki How Русский

Эту страницу просматривали 62 680 раз.

Методы извлечения квадратного корня | Статья в журнале «Юный ученый»

Автор: Прямостанов Савелий Михайлович

Научный руководитель: Лысогорова Людмила Васильевна

Рубрика: Спецвыпуск

Опубликовано в Юный учёный №2 (11) апрель 2017 г.

Дата публикации: 26.03.2017 2017-03-26

Статья просмотрена: 5151 раз

Скачать электронную версию

Библиографическое описание:

Прямостанов, С. М. Методы извлечения квадратного корня / С. М. Прямостанов, Л. В. Лысогорова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2017. — № 2.2 (11.2). — С. 76-77. — URL: https://moluch.ru/young/archive/11/823/ (дата обращения: 06.10.2022).

В статье описываются способы извлечения квадратного корня, и приведены примеры извлечения корней.

Ключевые слова: квадратный корень, извлечение квадратного корня.

На уроках математики я познакомился с понятием квадратного корня, и операцией извлечения квадратного корн. Мне стало интересно извлечение квадратного корня возможно только по таблице квадратов, с помощью калькулятора или есть способ извлечения вручную. Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод (, ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Рассмотрим следующие способы:

Извлечение корня путем разложения подкоренного числа на простые множители. Например.

Разложим на простые множители, используя признаки делимости 27225=5*5*3*3*11*11. Таким образом

Канадский метод. Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность — не более двух — трёх знаков после запятой.

где х-число, из которого надо извлечь корень, с-число ближайшего квадрата), например:

=5,92

Столбиком. Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком

Алгоритм извлечения квадратного корня

1.От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть — справа налево; дробную — слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной — нули.

2.Извлечение начинается слева направо, и подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

3.Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

4.К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым. Образовываем делитель. Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого. Подобранную цифру записываем в ответ.

5.К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму. Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую. (Рис. 1.)


Рис. 1	Рис. 2

Данным способом можно извлекать числа с разной точностью, например с точностью до тысячных. (Рис.2)

Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня, можно сделать вывод: в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором наиболее эффективного для того, чтобы меньше затратить времени для решения

Литература:

Киселев А. Элементы алгебры и анализа. Часть первая.-М.-1928 г

Основные термины (генерируются автоматически): квадратный корень, целая часть, грань, способ извлечения, получившаяся разность, число.

Ключевые слова

квадратный корень, извлечение квадратного корня

Сколько будет если вычесть одинаковые корни. Как складывать и вычитать квадратные корни

В наше время современных электронных вычислительных машин вычисление корня из числа не представляется сложной задачей. Например, √2704=52, это вам подсчитает любой калькулятор. К счастью, калькулятор есть не только в Windows, но и в обычном, даже самом простеньком, телефоне. Правда если вдруг (с малой долей вероятности, вычисление которой, между прочим, включает в себя сложение корней) вы окажитесь без доступных средств, то, увы, придется рассчитывать только на свои мозги.

Тренировка ума никогда не помещает. Особенно для тех, кто не так часто работает с цифрами, а уж тем более с корнями. Сложение и вычитание корней — хорошая разминка для скучающего ума. А еще я покажу поэтапно сложение корней. Примеры выражений могут быть следующие.

Уравнение, которое нужно упростить:

√2+3√48-4×√27+√128

Это иррациональное выражение. Для того чтобы его упростить нужно привести все подкоренные выражения к общему виду. Делаем поэтапно:

Первое число упростить уже нельзя. Переходим ко второму слагаемому.

3√48 раскладываем 48 на множители: 48=2×24 или 48=3×16. из 24 не является целочисленным, т. 2×2)

Переписываем выражение с упрощенными слагаемыми:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Теперь складываем числа одним и тем же подкоренным выражением. Нельзя складывать или вычитать выражения с разными подкоренными выражениями. Сложение корней требует соблюдение этого правила.

Ответ получаем следующий:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 — надеюсь, то, что в алгебре принято опускать подобные элементы, не станет для вас новостью.

Выражения могут быть представлены не только квадратным корнем, но так же и с кубическим или корнем n-ной степени.

Сложение и вычитание корней с разными показателями степени, но с равнозначным подкоренным выражением, происходит следующим образом:

Если мы имеем выражение вида √a+∛b+∜b, то мы можем упростить это выражение так:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Мы привели два подобных члена к общему показателю корня. Здесь использовалось свойство корней, которое гласит: если число степени подкоренного выражения и число показателя корня умножить на одно и то же число, то его вычисление останется неизменным.

На заметку: показатели степени складываются только при умножении.

Рассмотрим пример, когда в выражении присутствуют дроби.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Будем решать по этапам:

5√8=5*2√2 — мы выносим из-под корня извлекаемую часть.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= — 4 *1/2= — 2

Если в тело корня представлено дробью, то часто этой дроби не измениться, если извлечь квадратный корень из делимого и делителя. В итоге мы получили описанное выше равенство.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Вот и получился ответ.

Главное помнить, что из отрицательных чисел не извлекается корень с четным показателем степени. Если четной степени подкоренное выражение является отрицательным, то выражение является нерешаемым.

Сложение корней возможно только при совпадении подкоренных выражений, так как они являются подобными слагаемыми. То же самое относиться и к разности.

Сложение корней с разными числовыми показателями степени производиться посредством приведения к общей корневой степени обоих слагаемых. Это закон действует так же как приведение к общему знаменателю при сложении или вычитании дробей.

Если в подкоренном выражении имеется число, возведенное в степень, то это выражение можно упростить при условии, что между показателем корня и степени существует общий знаменатель.

Содержимое:

В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.

Шаги

Часть 1 Определение корней

1 Обозначение корней. Выражение под знаком корня (√) означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.
- Корень обозначают знаком √.
- Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: 3 √(27)
- Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
- Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5√(2)
- Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
- Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.
2 Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя. Также, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b ≠ 4ab, вы не можете складывать разные корни.
- Нельзя складывать корни с разными подкоренными выражениями, например, √(2) + √(3) ≠ √(5). Но вы можете сложить числа, стоящие под одним корнем, например, √(2 + 3) = √(5) (квадратный корень из 2 примерно равен 1,414, квадратный корень из 3 примерно равен 1,732, а квадратный корень из 5 примерно равен 2,236).
- Нельзя складывать корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями, например, √(64) + 3 √(64) (эта сумма не равна 5 √(64), так как квадратный корень из 64 равен 8, кубический корень из 64 равен 4, 8 + 4 = 12, что гораздо больше, чем корень пятой степени из 64, который примерно равен 2,297).

Часть 2 Упрощение и сложение корней

1 Определите и сгруппируйте подобные корни. Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение:
2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
- Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
  2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
- Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
  2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2 Упростите корни. Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.
- В приведенном выше примере разложите число 50 на 2*25, а число 32 – на 2*16. Из 25 и 16 можно извлечь квадратные корни (соответственно 5 и 4) и вынести 5 и 4 из-под корня, соответственно умножив их на множители 2 и 1. Таким образом, вы получите упрощенное выражение: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
- Число 81 можно разложить на множители 3*27, а из числа 27 можно извлечь кубический корень, равный 3. Это число 3 можно вынести из-под корня. Таким образом, вы получите еще более упрощенное выражение: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3 Сложите множители подобных корней. В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет.
- 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
- 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
- Окончательное упрощенное выражение: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.

Содержимое:

Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

1 (выражение под знаком корня). Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель). Например, 6√50 — 2√8 + 5√12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:
- 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
- 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
- 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.
2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 — 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2 ), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.
3 Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
4 У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа! ). Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.
- 30√2 — 4√2 + 10√3 =
- (30 — 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3

Часть 2 Практикуемся на примерах

1 Пример 1: √(45) + 4√5.
- Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
- Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
- Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
2 Пример 2: 6√(40) — 3√(10) + √5.
- Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
- Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
- Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
- Теперь выражение можно записать в виде 12√10 — 3√(10) + √5. Так как у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, вы можете вычесть второй член из первого, а первый оставить без изменений.
- Вы получите: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3 Пример 3. 9√5 -2√3 — 4√5. Здесь ни одно из подкоренных выражений нельзя разложить на множители, поэтому упростить это выражение не получится. Вы можете вычесть третий член из первого (так как у них одинаковые подкоренные числа), а второй член оставить без изменений. Вы получите: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 — 2√3.
4 Пример 4. √9 + √4 — 3√2.
- √9 = √(3 х 3) = 3.
- √4 = √(2 х 2) = 2.
- Теперь вы можете просто сложить 3 + 2, чтобы получить 5.
- Окончательный ответ: 5 — 3√2.
5 Пример 5. Решите выражение, содержащее корни и дроби. Вы можете складывать и вычислять только те дроби, у которых общий (одинаковый) знаменатель. Дано выражение (√2)/4 + (√2)/2.
- Найдите наименьший общий знаменатель этих дробей. Это число, которое делится нацело на каждый знаменатель. В нашем примере на 4 и на 2 делится число 4.
- Теперь вторую дробь умножьте на 2/2 (чтобы привести ее к общему знаменателю; первая дробь уже приведена к нему): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
- Сложите числители дробей, а знаменатель оставьте прежним: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

Перед суммированием или вычитанием корней обязательно упростите (если возможно) подкоренные выражения.

Предупреждения

Никогда не суммируйте и не вычитайте корни с разными подкоренными выражениями.
Никогда не суммируйте и не вычитайте целое число и корень, например, 3 + (2x) 1/2 .
- Примечание: «х» в одной второй степени и квадратный корень из «х» – это одно и то же (то есть x 1/2 = √х).

Корень из числа проще всего вычесть с помощью калькулятора. Но, если у вас нет калькулятора, тогда надо знать алгоритм вычисления квадратного корня. Дело в том, что под корнем сидит число в квадрате. Например, 4 в квадрате — это 16. То есть корень квадратный из 16 будет равен четырем. Так же 5 в квадрате — это 25. Поэтому корень из 25 будет 5. И так далее.

Если число небольшое, то его можно легко вычесть устно, к примеру, корень из 25 будет равен 5, а корень из 144-12. Также на калькуляторе можно посчитать, есть специальный значок корня, нужно вбить число и нажать на значок.

Поможет также таблица квадратных корней:

Есть еще способы, которые более сложные, однако очень эффективные:

Корень из какого либо числа можно вычесть с помощью калькулятора, тем более они есть в каждом телефоне на сегодняшний день.

Можно попробовать примерно прикинуть как может получится данное число, умножив одно число само на себя.

Вычислить корень квадратный из числа не сложно, особенно, если есть специальная таблица. Всем хорошо известная таблица еще с уроков алгебры. Такая операция называется извлечение квадратного корня из числа quot;aquot;, другими словами решение уравнения. Почти все калькуляторы, в смартфонах имеют функцию определения квадратного корня.

Результатом извлечения квадратного корня из известного числа будет другое число, которое, при возведении во вторую степень (квадрат), даст то самое число, которое нам известно. Рассмотрим одно из описаний расчтов, которое представляется кратким и понятным:

Вот видео по теме:

Вычеслить корень квадратный из числа можно несколькими способами.

Самым популярным способом — является использование специальной таблицы кореня (смотрите ниже).

Также на каждом калькуляторе есть функция при помощи которой можно узнать корень.

Или при помощи специальной формулы.

Извлечь квадратный корень из числа можно несколькими способами. Один из них — самый быстрый, с помощью калькулятора.

Но если нет калькулятора, то можно это сделать вручную.

Результат получится точным.

Принцип практически такой же как деление столбиком:

Попробуем без калькулятора найти значение квадратного корняот числа, к примеру, 190969.

Таким образом, вс предельно просто. В вычислениях главное придерживаться определнных простых правил и логически размышлять.

Для этого нужна таблица квадратов

Вот например, корень из 100 = 10, из 20 = 400 из 43 = 1849

Сейчас практически все калькуляторы, в том числе и на смартфонах умеют высчитывать квадратный корень из числа. НО если калькулятора у вас нет, то можно найти корень из числа несколькими простыми способами:

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, являющиеся квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратные множители это множители, являющиеся квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.
Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16, которое также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
Запишите это как: 400 = (25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть (а х b) = a x b . Воспользовавшись этим правилом, извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а это происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:

Теперь вы можете оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Таким образом, значение 3 расположено между 1 и 2. Та как значение 3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: 3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим 35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Таким образом, значение 35 расположено между 5 и 6. Та как значение 35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что 35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

Еще один способ разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, 45 = (3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: 45 = 35. Теперь можно оценить 5.
Рассмотрим другой пример: 88.
= (2 х 4 х 11)
= (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
2(2 х 11) = 22 х 11. Теперь можно оценить 2 и 11 и найти приблизительный ответ.

Может быть полезным будет еще это обучающее видео:

Чтобы извлечь корень из числа следует воспользоваться калькулятором, либо если нет подходящего, советую зайти вот на этот сайт и решить задачу с помощью онлайн калькулятора, который за секунды выдаст правильное значение.

В математике любое действие имеет свою пару-противоположность – в сущности, это представляет собою одно из проявлений гегелевского закона диалектики: «единство и борьба противоположностей». Одно из действий в такой «паре» направлено на увеличение числа, а другое, обратное ему – на уменьшение. Например, действие, противоположное сложению – это вычитание, умножению соответствует деление. Имеется и своя диалектическая пара-противоположность и у возведения в степень. Речь идет об извлечении корня.

Извлечь из числа корень такой-то степени – это значит вычислить, какое число необходимо возвести в соответствующую степень, чтобы в итоге получилось данное число. Две степени имеют свои отдельные названия: вторая степень называется «квадратом», а третья – «кубом». Соответствено, корни данных степеней приятно именовать квадратным корнем и кубическим. Действия с кубическими корнями – тема для отдельного разговора, а сейчас поговорим о сложении квадратных корней.

Начнем с того, что в ряде случаев квадратные корни проще сначала извлечь, а потом уже складывать результаты. Предположим, нам необходимо найти значение такого выражения:

Ведь совсем не сложно вычислить, что корень квадратный из 16 равен 4, а из 121 – 11. Следовательно,

√16+√121=4+11=15

Впрочем, это самый простой случай – здесь речь идет о полных квадратах, т.е. о таких числах, которые получаются при возведении в квадрат целых чисел. Но так бывает не всегда. Например, число 24 – это не полный квадрат (не найти такого целого числа, которое при возведении его во вторую степень дало бы в результате 24). То же самое относится к такому числу, как 54… Что делать, если нам необходимо сложить корни квадратные из этих чисел?

В таком случае мы получим в ответе не число, а другое выражение. Максимум, что мы можем тут сделать – это максимально упростить исходное выражение. Для этого придется вынести множители из-под корня квадратного. Посмотрим, как это делается, на примере упомянутым чисел:

Для начала разложим на множители 24 – таким образом, чтобы из одного из них легко можно было извлечь корень квадратный (т.е., чтобы он был полным квадратом). Такое числи есть – это 4:

Теперь проделаем то же самое с 54. В его составе таким числом будет 9:

Т.о., у нас получается следующее:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Теперь извлечем корни из того, из чего можем их извлечь: 2*√6+3*√6

Здесь есть общий множитель, который мы можем вынести за скобки:

(2+3)* √6=5*√6

Это и будет результатом сложения – больше ничего тут извлечь нельзя.

Правда, можно прибегнуть к помощи калькулятора – правда, результат будет приблизительным и с огромным количеством знаков после запятой:

√6=2,449489742783178

Постепенно округляя его, мы получим приблизительно 2,5. Если нам все-таки хотелось бы довести до логического завершения решение предыдущего примера, мы можем умножить этот результат на 5 – и получится у нас 12,5. Более точного результата при таких исходных данных получить нельзя.

Левый и правый пределы

В некоторых случаях вы позволяете x приближаться к числу a слева или справа. правильно, а не «обе стороны сразу», как обычно.

1. означает: вычислить предел по мере того, как x приближается к c от вправо — то есть через числа больше c.

2. означает: вычислить предел по мере того, как x приближается к c от до — то есть через числа меньше с.

Эти ситуации могут возникнуть, если определено только слева или справа от c. Например, функция определена только для (поскольку квадратный корень из отрицательного числа не действительное число).

Также можно рассмотреть левый и правый пределы, когда определено по обе стороны от c. В этом случае важный вопрос: равны ли левый и правый пределы?

Пример. На рисунках показаны графики некоторых функции. В каждом случае укажите, соответствуют ли левый и правый пределы в c определены. Если оба определены, скажите, равны ли они.

В (а) правый предел определен, потому что график приближается определенной высоте справа (высота точки). левый предел не определен, потому что график не приближается к определенная высота: имеется вертикальная асимптота. (Можно также сказать левый предел равен , как мы обсудим ниже.)

Аналогично, в (b) правый предел не определен, а определен левый предел. (Можно также сказать, что правый предел есть , как мы обсудим ниже.)

Наконец, в (c) определены как правый, так и левый пределы, но они не равны. (Это означает, что обычный («двусторонний») предел не определен.

Я не буду излагать много теорем о левых и правых пределах, потому что в целом результаты, справедливые для обычных («двусторонние») пределы сохраняются для односторонних пределов. Например (опуская обычные технические предположения), вот правило для сумм для правых пределов:

Вы можете видеть, что это то же самое, что правило для сумм для обычных пределы, с той лишь разницей, что теперь я пишу » » вместо » «.

Один важный момент, который мы уже отметили, — это отношение между левым и правым пределами и обычным («двусторонние») ограничения. Чтобы дать немного больше деталей, я сначала дайте формальные определения для левого и правого пределов.

Определение. (а) ( Правый пределы ) Предположим, определен на интервал для . Сказать это означает: для каждого числа существует число такое, что

(b) ( Левые пределы ) Предположим, определено на интервале для . Сказать это означает: для каждого число, существует число такое, что

Обратите внимание, что в каждом случае на самом деле может быть определяется по обеим сторонам c. Мы говорим, что для правой руки предел существования, его нужно только определить справа от в; чтобы существовал левый предел, достаточно, чтобы он был равен . определено слева от c. (Как обычно, может быть определено или не определено в c.)

Вот результат, который мы неофициально использовали до того, как это относится левый и правый пределы до обычных («двухсторонних») пределы. Доказательство — это доказательство, подобное те, которые я привел в разделах об определении лимитов и предельных теоремы; если вы учитесь на обычном курсе математического анализа для первого семестра, вы можете пропустить доказательство, если хотите.

Теорема. Предположим, определено на открытом интервале, содержащем c.

Затем определяется тогда и только тогда, когда и определены и равны.

В этом случае равно общему значению и .

Доказательство. Доказательство этой теоремы сводится к следующий факт об абсолютных значениях:

Причина в том, что означает, что x находится внутри c, но не равно с.

С другой стороны, означает, что x меньше с и находится в пределах с, и означает, что х больше с и в пределах с. Таким образом, если одно из этих двух утверждений верно, то верно и предыдущее утверждение, а если предыдущее утверждение истинно, то одно из них должно быть истинным.

Таким образом, предположим. я покажу это

Позволять . Так как существует число такой, что если , то .

Во-первых, если , то . Следовательно, .

Во-вторых, если , то . Следовательно, .

Далее я докажу обратное. Предположим, что

я покажу это

Позволять . Так как , есть число такое, что если , то .

Аналогично, поскольку существует такое число, что если тогда .

Теперь пусть . Помните, что это означает, что это меньшее из и , так что это в как минимум такой же маленький, как любой.

Предполагать . Это означает, что либо

В первом случае у меня

Следовательно, .

Во втором случае у меня

Следовательно, .

Это доказывает, что .

На словах этот результат говорит о том, что обычный («двусторонний») предел определен тогда и только тогда, когда левый и правый пределы определены и равны, и в этом случае их общим значением является значение обычного лимита.

Пример. Вычислить

Является определенный?

Посмотрите на первый предел более внимательно. x приближается к 0 из правильно . Числа рядом с 0, но справа от него маленькие положительные числа: 0,01, например. Маленькие положительные числа дают положительные: , Например. Если положительно, то , значит

(Обратите внимание, что вы не позволяете x равняться 0, поэтому , и отмена допустима.)

Следовательно,

Вот картинка:

Так как левый и правый пределы не совпадают, неопределенный.

Пример. Предположим

Вычислить , и .

Для вычисления я использую часть определения для f, которая применяется к:

Точно так же для вычисления я использую ту часть определения f, которая относится к :

Поскольку левый и правый пределы равны, двусторонний предел определяется, и .

Тот факт, что не входит в проблема.

Пример. Функция определяется

Для какого значения k определено?

Чтобы быть определенными, левый и правый пределы в 2 должны быть определены и равны. Вычислите их:

Установите левый и правый пределы равными и найдите k:

Пример. Рассмотрим функцию, график которой изображен ниже:

Вычислить .

затем

Поскольку левые и правые пределы не совпадают,

Пример. Рассмотрим функцию, график которой изображен ниже:

Вычислить

Зависят ли эти пределы от значения ?

затем

Следовательно,

Значение не влияет на существование Лимит. На самом деле, предположим, я изменил функцию следующим образом:

Сейчас не определено, но

Левый и правый пределы могут привести к бесконечные пределы , поэтому я кратко обсужу идеи, прежде чем дать Некоторые примеры. Как обычно с теорией в этом курсе, точные определения приведены здесь для полноты и для тех, кто заинтересованы. Для большинства людей достаточно иметь хороший хватка как это выглядит графически когда предел бесконечен, и как бесконечные пределы могут возникнуть в предельных вычислениях.

Определение. (a) означает: Для каждого число , есть такое число , что если , то .

Иногда я буду писать » » вместо » » для акцента, чтобы помочь отличить его от » » в следующей части определение.

Определения правого и левого пределов:

(i) (Правые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

(ii) (Левые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

(б) означает: для каждого числа существует число , такое что если , то .

Определения правого и левого пределов:

(i) (Правые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

(ii) (Левые пределы) означает: Для каждого числа существует число такое, что если , то .

Таким образом, чтобы сказать приближается, когда x приближается к c (слева, справа или от обе стороны) означает, что по мере увеличения и положительный, без какой-либо верхней границы, когда x приближается к c.

Точно так же, чтобы сказать приближается, когда x приближается к c (слева, справа или от обе стороны) означает, что по мере увеличения и отрицательно, без какой-либо верхней границы, когда x приближается к c.

Во всех этих случаях не будет ошибкой сказать, что предел undefined, в том смысле, что это не номер . Но если ты можно сказать это или , это лучше, так как вы даете больше информации о происходящем.

Пример. Каждое изображение ниже показывает график функция . В каждом случае найти:

В),

Поскольку левый и правый пределы не совпадают, не определено.

В (б),

Пример. Вычислить .

Подключение дает. Лимит не определено . Но я могу сказать больше.

Попробуйте подставить число близкое к 1: Когда ,

Похоже, что получается больших и отрицательных . Фактически,

Чтобы понять, почему это так, вспомним, что x приближается к 1 от правильно . Это означает, что он будет небольшим и положительный. С другой стороны, . Так как верх отрицателен, а низ положителен, результат должен быть отрицательный .

Что касается размера, то у меня

Так как результат должен быть большой и отрицательный , это разумно, что это .

Другой способ увидеть это — нарисовать график рядом с . По мере продвижения к 1 справа график становится вниз к .

Ранее я отметил следующий факт: предположим,

Тогда двусторонний предел равен не определено . Как пример выше показывает, что с односторонними пределами ситуация иная.

Если в этой ситуации имеет то же самое знак для всех значений x, достаточно близких к c и превышающих c, тогда правый предел будет или или . Конкретный знак зависит от знаков верха и низа дроби.

Точно так же, если имеет один и тот же знак для всех x достаточно близко к c и меньше c, то левый предел будет или или . Опять же, конкретный знак зависит от знаков верха и низа дробная часть.

Условие «одинакового знака» будет выполнено, например, если f и g полиномы — то есть, если является рациональной функцией. Так и будет также удовлетворяться такими функциями, как

Пример. Вычислить .

Подключение дает. Так как это рациональная функция, то правый предел либо или ; я должен определите, какой из двух. посмотрю верх и низ отдельно.

В качестве , .

Что касается дна, так как x приближается к -3 от справа , Я считаю, что x больше, чем -3. Таким образом, , поэтому — положительно.

Поскольку приближается к отрицательному числу и приближается к положительному числу, частное равно отрицательный. Следовательно,

Я также могу увидеть это, если возьму число близкое к -3, но вправо of -3 — , например — и подключите его:

у меня большой отрицательное число , что говорит о том, что предел должно быть .

Я мог также увидеть это, построив график функции, как в предыдущем пример.

В случае одностороннего ограничения и формы вы можете спросить: «Какой из этих методов лучший для определения значение?» Я чувствую, что для первого курса математического анализа все три являются приемлемыми .

Однако при подстановке чисел и построении графиков поддерживают для заключения, они на самом деле не дают доказательство . Графики могут быть обманчивы. И когда вы подключаете номер, откуда вы знаете, что номер, который вы выбрали, «типичный»? Первый способ — рассуждения о знаках с использованием неравенства — намного ближе к строгому доказательству результата.

Контактная информация

Домашняя страница Брюса Икенаги

Алгоритм извлечения квадратного корня. Посмотрите на красивую алгебру… | Уджвал Сингх

Символ квадратного корня ( Credits : By historicair 17:50, 4 июня 2007 (UTC) — Изображение: Nuvola apps edu Mathmatic-p.

svg, LGPL, https://commons.wikimedia.org/w/ index.php?curid=2201984)

Люди были очарованы квадратными корнями с незапамятных времен, ранняя мотивация подпитывалась утилитарными вопросами, такими как — «данная площадь, построить квадрат, равный площади». Для этого нам нужно знать длину стороны квадрата, которая, конечно, равна квадратному корню из площади.

Вскоре мы поняли, что не каждое натуральное число является полным квадратом. Со временем мы обнаружили, что квадратные корни таких чисел не только нецелые, но и нерациональные. На самом деле первоначальные открытия, касающиеся природы корня 2, были нашей первой встречей с иррациональной сферой. Конечно, погоня за квадратными корнями многому нас научила!

Содержание

Эта статья, однако, посвящена идеальным квадратам. Вот краткий обзор контента, описанного ниже —

Резюме: Процедуры вычисления квадратных корней.
Алгоритм извлечения квадратного корня.
Почему алгоритм работает? — Обоснование алгоритма.
Алгоритм извлечения квадратного корня в двоичной системе счисления.
Заключительные замечания.

Итак, имея полный квадрат, как мы можем определить его квадратный корень? Как вы, возможно, помните, для этой цели в средней школе повсеместно преподаются две элементарные процедуры —

Факторизация простых чисел: это наивный способ извлечения квадратных корней. Здесь мы выполняем простую факторизацию данного числа, а затем группируем факторы в пары по два. Затем мы умножаем числа из каждой группы, чтобы получить квадратный корень. Суть процедуры понятна. Например,

Вычисление квадратного корня из 900 с использованием простой факторизации.

Посимвольный расчет: обратите внимание, что описанный выше метод оказывается чрезвычайно утомительным при работе с большими числами. Кроме того, в случаях, когда наименьший простой множитель данного числа достаточно велик, мы можем даже не начать процедуру (например, 12643277 = 3089 * 4093). Вот где метод вычисления цифра за цифрой (далее именуемый алгоритмом квадратного корня или просто алгоритмом) оказывается очень кстати. И именно об этом эта статья — как работает алгоритм, его особенности и, самое главное, почему он работает (вероятно, самая упускаемая из виду часть)! Итак, давайте погрузимся прямо в это.

Краткое примечание по используемым символам

Прежде всего, ниже приводится краткое описание некоторых символов. Пусть a и b — два натуральных числа. Тогда —

. Через ab мы представляем обычное умножение, т. е. ab = a * b .
Через a|b мы представляем число, образованное размещением b справа от .
Например, если a = 789 и b = 23, то a|b = 78923.

Как обычно, алгоритм лучше всего понять на примере пошагового руководства. Итак, ниже вычисление корня 50 965 321 с последующими подробными шагами:

Квадратный корень из 50 965 321 с использованием алгоритма квадратного корня.

Шаги

Сопряжение : Начиная справа, сгруппируйте цифры заданного числа парами по два. В приведенном выше примере группы выделены подчеркиванием — (21), (53), (96) и (50). Примечание. Если номер содержит нечетное количество цифр, то в самой левой группе будет только одна цифра.
Начальная догадка : Начните с самой левой группы. Найдите максимальную цифру, квадрат которой меньше или равен крайней левой группе.
В нашем примере число, представленное группой, = 50.
Таким образом, максимальная цифра, квадрат которой ≤ 50, равна 7.
Запишите вверху число, полученное на предыдущем шаге. Это сформирует первую цифру квадратного корня. Давайте назовем текущее число, представленное вверху, как « текущий частичный квадратный корень », обозначаемый p .
В нашем случае текущий частичный квадратный корень, p = 7.
Вычтите квадрат этого числа из самой левой группы и запишите остаток.
В нашем случае остаток = 50–49 = 1.
Теперь опустим цифры следующей группы рядом с остатком.
Позвоните на новый номер r .
В нашем примере мы уменьшаем 96, чтобы получить 196. Это r = 196.
Удар и испытание :
Теперь найдите наибольшую цифру 9.0005 d такое, что ((2p) |d) * d ≤ r .
В нашем примере 2п = 2* 7= 14 (на рисунке показано красным цветом).
Начнем с d = 1, 141 * 1 = 141. Далее
С d = 2, 142 * 2 = 284 > 196.
Следовательно, для нашего случая d = 1.
d , полученное на предыдущем шаге, является следующей цифрой квадратного корня. Итак, поместите его вверху, справа от текущего частичного квадратного корня.
То есть p_new = p_old | д .
Далее узнать новый остаток как —
остаток = r— (((2p)|d) * d)
В нашем случае новое значение остаток = 196–141 = 55.
Повторить шаги от 4 до 6, пока не исчерпаем заданное число. Если бы число было полным квадратом, то у нас был бы 0 в качестве последнего остатка, а квадратный корень был бы равен числу, стоящему вверху!

Вот еще один пример, который поможет вам понять. Обратите внимание, что в приведенном ниже случае самая левая группа состоит только из одной цифры (поскольку общее количество цифр нечетное) —

Квадратный корень из 2 989 441 с использованием алгоритма извлечения квадратного корня.

Вот мы и подошли к сути этой статьи! Почему работает алгоритм квадратного корня, в чем причина этого?

В двух словах ответ заключается в том, что алгоритм использует базовую алгебру десятичной разрядной системы .

Представьте, что у вас есть натуральное число, и . Кроме того, у вас есть цифра b . То есть b является одним из 0–9.

Тогда имеем —

Алгоритм использует именно это. Основной принцип —

Если мы знаем все, кроме одной последней цифры квадратного корня числа, то мы можем получить оставшуюся цифру, вычитая в 100 раз квадрат числа, образованного другими цифрами, из квадрата заданного числа, а затем поиск цифры d такой, что ((2a)|d)d равно этой разнице.

Алгоритм начинается с начального предположения (этап 2 выше), а затем итеративно применяет описанный выше принцип для получения квадратного корня.

Дополнительное примечание : Этот принцип также объясняет, почему мы группируем цифры по две —

Во-первых, интуитивно понятно, что квадрат числа содержит примерно в два раза больше цифр, чем само число. Это потому, что если a является n-значным числом, то —

Таким образом, справедливо ожидать, что две цифры из квадрата будут соответствовать одной цифре квадратного корня.
Теперь обратите внимание, что мы вычитаем 100-кратное значение квадрата частичного квадратного корня из (текущий остаток | следующая группа). Вот почему следующая группа должна состоять из двух цифр (с одной цифрой мы можем столкнуться с отрицательными числами).
Почему мы начинаем группировку справа, а не слева?
Это потому, что если мы начнем группировать слева число, содержащее нечетное количество цифр, то справа у нас будет одна цифра. Таким образом, в последней итерации у нас будет только одна цифра, которую нужно записать рядом с остатком, чего не должно происходить. В таких случаях, хотя на первом шаге у нас будет одна цифра, это нормально, так как это начальный шаг предположения. Важно то, что каждая группа, поступающая в последующих итерациях, должна иметь две цифры .

Давайте рассмотрим другой пример —

Квадратный корень из 383 161 с использованием алгоритма квадратного корня.

шагов —

Первоначальное предположение: поскольку 6 — это самая большая цифра, квадрат которой ≤ 38 (крайняя левая группа), первая цифра нашего квадратного корня равна 6.
Затем мы используем описанный выше принцип, чтобы получить следующую цифру. квадратного корня. Наше число (чей квадратный корень нужно найти) на этой итерации равно 3831. Итак, из 3831 мы вычитаем 100-кратный квадрат текущего частичного квадратного корня. То есть 3831 — 100,6² = 231,9.0424
Теперь мы ищем самую большую цифру, d , такую, что (12|d)d ≤ 231 (поскольку 2 * текущий частичный квадратный корень = 2 * 6 = 12). Получаем d = 1.
Далее опускаем следующую группу справа от остатка, чтобы получить 11061. Обратите внимание, что 11061 = 383161 — 100,61² (61 — текущий частичный квадратный корень).
Теперь мы ищем самую большую цифру, d , такую, что (122|d)d ≤ 11061 (поскольку 2 * текущий частичный квадратный корень = 2 * 61 = 122). мы получаем d = 9.
Поскольку последний остаток равен 0, мы нашли точный квадратный корень для данного числа!

Примечание : На каждом шаге алгоритма мы получаем наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу, образованному цифрами, покрытыми до этого момента. Используя приведенный выше пример,

6 — наибольшее число, квадрат которого ≤ 38.
61 — наибольшее число, квадрат которого ≤ 3831.
619 — наибольшее число, квадрат которого ≤ 383161.

Теперь давайте проверим наше понимание алгоритма, попробовав его в двоичной системе счисления!

Суть алгоритма остается прежней. То есть мы находим квадратный корень цифра за цифрой, опираясь на полученное до сих пор значение. Обратите внимание, что двоичная система счисления имеет только две цифры (также известные как биты) — 0 и 1. Давайте посмотрим, какие настройки нужны нашему алгоритму в двоичном мире.

Допустим, у вас есть двоичное число, a . Кроме того, у вас есть немного, б . То есть b равно 0 или 1.

Тогда —

Итак, основной принцип здесь —

Если мы знаем все, кроме последнего бита квадратного корня числа, то мы можем получить к оставшемуся биту путем вычитания 4-кратного квадрата числа, образованного другими битами, из квадрата заданного числа, а затем поиска бита d, такого, что (a|0d)d равно этой разнице.

Давайте разберемся с этим на примере квадратного корня из 10101001 (169)—

Квадратный корень из 169 по основанию 2 с использованием алгоритма извлечения квадратного корня.

Шаги (поскольку большинство приведенных ниже шагов аналогичны шагам, описанным выше для вычислений с основанием 10, поэтому здесь мы использовали краткие формулировки, пожалуйста, обратитесь к примерам с основанием 10, если вы столкнулись с какими-либо пробелами в понимании) —

Сопряжение: как прежде мы соединяем числа в группы по два справа налево.
Первоначальное предположение: Крайняя левая группа равна 10 (т. е. 2). Итак, находим самый большой бит, d , так что d² ≤ 10. Получаем d = 1. Это первый бит нашего квадратного корня.
Вычитаем 1 из 10 и опускаем следующую группу справа от остатка. По сути, здесь мы делаем ((a|b)² — a²|00) .
Теперь попробуем найти наибольший бит d такой, что (1|0d)d ≤ 110 . Получаем d = 1. Это следующий бит квадратного корня.
Повторяем шаги 3 и 4, пока не будет исчерпано заданное число. Если бы число было полным квадратом, в конце мы получили бы нулевой остаток, а число наверху представляло бы квадратный корень. В нашем случае, поскольку мы начали с идеального квадрата (169= 13²), мы получили 1101 как окончательный ответ. 1101 — это двоичный эквивалент 13!

Pros
Обратите внимание, как упрощает выполнение алгоритма в двоичном мире!

Минусы
Однако за простоту приходится платить. Количество шагов для выполнения увеличивается, так как заданное число занимает больше цифр в двоичной системе по сравнению с десятичной системой. В приведенном выше примере нам потребовалось бы две итерации, чтобы получить квадратный корень из 169 по основанию 10. Однако в двоичной системе нам потребовалось бы четыре итерации, чтобы получить это.

Обратите также внимание на то, что алгоритм сохраняет свою существенную особенность итеративного получения наибольшего числа, квадрат которого меньше или равен пройденному числу. Из приведенного выше —

1 (1) — наибольшее число, квадрат которого меньше или равен 10 (2).
11 (3) — наибольшее число, квадрат которого меньше или равен 1010 (10).
110 (6) — наибольшее число, квадрат которого меньше или равен 101010 (42).
1101 (13) — наибольшее число, квадрат которого меньше или равен 10101001 (169).

Как отмечалось в начале, хотя алгоритм квадратного корня широко применяется, его обоснование редко подвергается должной осмотрительности. Эта статья была попыткой исправить ситуацию. Как и большинство людей, я лично изучил этот алгоритм в средней школе. И, как и большинство людей, я понятия не имел, почему этот алгоритм работает. Это осталось, пожалуй, единственным в школьной математике, что я не мог оправдать перед собой.

К счастью, недавно я пришел к доказательству алгоритма, просматривая что-то похожее в великом произведении Арьябхаты, Арьябхатия. Да, в итоге мне потребовалось 15 лет, чтобы окончательно убедить себя, почему алгоритм работает, но ожидание того стоило!

Однако более важным является понимание того, как алгоритм квадратного корня олицетворяет простоту и эффективность десятичной разрядной системы. В сегодняшнем мире, где мы воспринимаем эту замечательную систему как должное, крайне важно сделать шаг назад и осознать, насколько важным было это открытие.

Цитируя Лапласа (1749–1827),

Гениальный метод выражения всех возможных чисел с помощью набора из десяти символов (каждый символ имеет разрядное значение и абсолютное значение) появился в Индии. Идея кажется настолько простой в наши дни, что ее значение и глубокая важность уже не оценивается. Его простота заключается в том, что он облегчил вычисления и поставил арифметику на первое место среди полезных изобретений. Важность этого изобретения легче оценить, если учесть, что оно было выше двух величайших мужей древности, Архимеда и Аполлония.
— Лаплас

Чтобы почувствовать, насколько десятичная система разрядов облегчает наши вычисления — забудьте о квадратных корнях, попробуйте умножить 14 (XIV) на 42 (XLII) римскими цифрами и убедитесь сами!

Методы вычисления квадратных корней
Индийские цифры
Пьер-Симон Лаплас

Анатомия, грудная клетка, легкие — StatPearls

Raheel Chaudhry; Бруно Бордони.

Информация об авторе

Последнее обновление: 31 июля 2021 г.

Введение

Целью легких является снабжение крови кислородом. Дыхательная система делится на дыхательные пути и легочную паренхиму. Дыхательные пути состоят из бронха, который отходит от трахеи и делится на бронхиолы, а затем на альвеолы. Паренхима отвечает за газообмен и включает альвеолы, альвеолярные протоки и бронхиолы. Легкие имеют губчатую консистенцию и розовато-серый оттенок. Кроме того, они анатомически описываются как имеющие вершину, три границы и три поверхности. Далее они подразделяются на доли и сегменты. Паренхима легких также покрыта плеврой.[1][2][3]

Анатомия

Анатомически легкое имеет верхушку, три края и три поверхности. Вершина лежит над первым ребром.

Три границы включают переднюю, заднюю и нижнюю границы. Передняя граница легкого соответствует плевральному отражению и образует сердечную вырезку в левом легком. Сердечная вырезка представляет собой вогнутость в легком, которая формируется для размещения сердца. Нижняя граница тонкая и отделяет основание легкого от реберной поверхности. Задняя граница толстая и простирается от С7 до Т10 позвонка, а также от верхушки легкого до нижней границы.

Три поверхности легкого включают реберную, медиальную и диафрагмальную поверхности. Реберная поверхность покрыта реберной плеврой и проходит вдоль грудины и ребер. Он также соединяется с медиальной поверхностью у переднего и заднего краев и с диафрагмальной поверхностью у нижнего края. Медиальная поверхность делится спереди и сзади. Спереди она связана с грудиной, а сзади с позвонком. Диафрагмальная поверхность (основание) вогнута и опирается на купол диафрагмы; правый купол также выше левого купола из-за печени.

Анатомия правого и левого легкого сходна, но асимметрична. Правое легкое состоит из трех долей: правой верхней доли (ПЛУ), правой средней доли (РМЛ) и правой нижней доли (ПНЛ). Левое легкое состоит из двух долей: левой верхней доли (LUL) и левой нижней доли (LLL). Правая доля разделена косой и горизонтальной бороздами, где горизонтальная щель разделяет верхнюю и среднюю доли, а косая щель разделяет среднюю и нижнюю доли. В левой доле имеется только косая щель, разделяющая верхнюю и нижнюю доли.

Доли далее делятся на сегменты, которые связаны с определенными сегментарными бронхами. Сегментарные бронхи являются ответвлениями третьего порядка от ветвей второго порядка (долевых бронхов), отходящих от главного бронха.

Правое легкое состоит из десяти сегментов. В RUL есть три сегмента (апикальный, передний и задний), два в RML (медиальный и латеральный) и пять в RLL (верхний, медиальный, передний, латеральный и задний). Косая щель отделяет РПН от РМЛ, а горизонтальная щель отделяет ПЗЛ от РМЛ и РПН.

Слева от восьми до девяти сегментов, в зависимости от деления доли. В целом в левой верхней доле имеется четыре сегмента (передний, апикозадний, нижний и верхний язычки) и четыре или пять сегментов в левой нижней доле (латеральный, переднемедиальный, верхний и задний).

Ворота (корни) представляют собой вдавленную поверхность в центре медиальной поверхности легкого и лежат кпереди от пятого до седьмого грудных позвонков. Это точка, в которой различные структуры входят и выходят из легкого. Ворота окружены плеврой, которая простирается вниз и образует легочную связку. Ворота содержат в основном бронхи и легочную сосудистую сеть, а также диафрагмальный нерв, лимфатические сосуды, узлы и бронхиальные сосуды. И левые, и правые ворота содержат легочную артерию, легочные вены (верхнюю и нижнюю) и бронхиальные артерии. Кроме того, в левых воротах есть один бронх, главный бронх, а в правых воротах есть два бронха, эпартериальный и гипокинетический бронхи. Спереди назад порядок в воротах — вена, артерия и бронх.

Структура и функция

Функция легких заключается в доставке кислорода из воздуха в кровь, выполняемая альвеолами. Альвеолы представляют собой одноклеточную мембрану, обеспечивающую газообмен с легочными сосудами. Есть несколько мышц, которые помогают при вдохе и выдохе, например, диафрагма и межреберные мышцы. Грудино-ключично-сосцевидная и лестничная мышцы используются для вспомогательного дыхания, когда пациент находится в состоянии дыхательной недостаточности или недостаточности. Мышцы помогают создать отрицательное давление в грудной клетке, где давление в легких меньше атмосферного, что способствует вдоху и наполнению легких. Кроме того, мышцы помогают создавать положительное давление в грудной клетке, где давление в легких превышает атмосферное, что способствует выдоху и опорожнению легких.

Кровоснабжение и лимфатическая система

Основное различие между легочной артерией и бронхиальной артерией. Легочная артерия берет деоксигенированную кровь от сердца для насыщения кислородом паренхимой легких. Однако бронхиальные артерии обеспечивают паренхиму легких кислородом для выживания.

Основная легочная артерия выходит из правого желудочка и разветвляется на левую главную и правую главные легочные артерии. Ветви легочной артерии обычно тянутся и расширяются вдоль ветвей бронхиального дерева и в конечном итоге становятся капиллярами вокруг альвеол. Легочные вены получают насыщенную кислородом кровь из альвеолярных капилляров и деоксигенированную кровь из бронхиальных артерий и висцеральной плевры. Четыре легочные вены сходятся в правом предсердии.

Бронхиальное кровообращение является частью большого круга кровообращения. Левая бронхиальная артерия отходит в виде двух (верхней и нижней) от грудной аорты. Правая плечевая артерия обычно отходит от одного из следующих трех: правой задней межреберной артерии с левой верхней бронхиальной артерией вне аорты или непосредственно от аорты. Бронхиальные вены собирают дезоксигенированную кровь и опорожняют ее в непарную вену.

Поверхностное и глубокое лимфатические сплетения дренируют легкое. Отток лимфы из легочной паренхимы сначала оттекает во внутрипаренхиматозные узлы, а затем в перибронхиальные. Впоследствии лимфатические сосуды будут оттекать в трахеобронхиальные, паратрахеальные лимфатические узлы, бронхомедиастинальный ствол, а затем в грудной проток.

Нервы

Диафрагмальный нерв отходит от корешков C3,4,5 шейных нервов. Он иннервирует фиброзный перикард, участки висцеральной плевры и диафрагму.

Легкие получают иннервацию из двух основных источников: легочного сплетения (сочетание парасимпатической и симпатической иннервации) и диафрагмального нерва. Легочное сплетение находится в корне легкого и состоит из эфферентных и афферентных вегетативных нервных волокон. Состоит из ветвей блуждающего нерва (парасимпатических) и симпатических волокон — ветвей сплетения вокруг легочной сосудистой сети и бронхов. Парасимпатическая иннервация вызывает сужение бронхов, расширение легочных сосудов и усиление секреции желез. Симпатическая иннервация вызывает расширение бронхов и сужение легочных сосудов.

Физиологические варианты

Могут возникать дополнительные трещины; они могут быть поверхностными или глубокими в воротах. При определенных патологиях они могут вызывать странные рентгенограммы.

Другие возможные вариации включают агенезию (отсутствие легкого), аплазию или добавочные доли (могут вызвать вариации визуализации).

Хирургические соображения

Когда иссекается вся доля легкого, это называется лобэктомией, а удаление только сегмента — сегментэктомией. Лобэктомия может потребоваться, когда патология затрагивает только одну долю, и для предотвращения распространения заболевания, например, при туберкулезе, абсцессе легкого, эмфиземе, доброкачественной опухоли или раке легкого. Сегментэктомия выполняется при доброкачественных поражениях, чтобы сохранить легкое, или при бронхоэктазах, ранней стадии рака I, узлах в легких или туберкулезе.[4][5][6]

Седловидная эмболия легочной артерии представляет собой закупорку бифуркации легочного ствола. Это неотложная хирургическая операция, требующая эмболэктомии.

Клиническое значение

Перкуссия грудной клетки в норме резонансная. Если есть скопление жидкости, он может стать тусклым.[7]

Если при аускультации есть хрипы, то это связано с бронхоконстрикцией (астмой). Если появляются хрипы (хрипы), возможно, это связано с отеком легких (застойная сердечная недостаточность, интерстициальное заболевание легких, пневмония). Если есть хрипы, то это связано с выделениями в более крупные дыхательные пути, вызывающими обструкцию (хронический бронхит, муковисцидоз).

При чтении рентгеновских снимков легкие черные, потому что воздух прозрачен. Снимки лучше всего получаются, когда пациент вдыхает.

Торакоцентез — это процедура, при которой используется игла для забора жидкости из легкого. Это помогает определить причину плеврального выпота или абсцесса. Это может быть диагностическое или терапевтическое (для облегчения таких симптомов, как боль или одышка) [8].

Пневмония – это воспаление легких, которое может вызвать плевральный выпот. Пациенты могут жаловаться на лихорадку, кашель, боль в груди, тошноту и рвоту.

Контрольные вопросы

Получите бесплатный доступ к вопросам с несколькими вариантами ответов по этой теме.
Комментарий к этой статье.

Рисунок

Плевра, висцеральная плевра, левое легкое, париетальная плевра, левая плевральная полость, средостение, правая плевральная полость, правое легкое. Предоставлена иллюстрация Бекки Палмер

Рисунок

Структуры сердца и легких; Левое и правое легкое, трахея. Предоставлено Grey’s Anatomy Plates

Рисунок

Поперечный разрез грудины; Включая легкие и сердце, легочную плевру, реберную плевру, непарную вену, блуждающие нервы, грудной проток, симпатический ствол, левый диафрагмальный нерв, внутренний грудной сосуд, поперечную мышцу грудной клетки, сердце, левое и правое легкое, (подробнее. ..)

Рисунок

Задний вид сердца и легких, входа в непарную вену, ветви легочной артерии, левого желудочка, левого предсердия, большой коронарной вены. Поддержите Анатомические Пластины Грея

Рисунок

Плевра, боковой вид грудной клетки; показаны отношения плевры и легких к стенке грудной клетки, плевра выделена синим цветом; легкие фиолетового цвета. Предоставлено Gray’s Anatomy Plates

Ссылки

1.: Tucker WD, Weber C, Burns B. StatPearls [Интернет]. Издательство StatPearls; Остров сокровищ (Флорида): 26 июля 2021 г. Анатомия, грудная клетка, легочные артерии сердца. [PubMed: 30521233]
2.: Burlew JT, Weber C, Banks KP. StatPearls [Интернет]. Издательство StatPearls; Остров сокровищ (Флорида): 27 июля 2021 г. Анатомия, грудная клетка, лимфатические узлы средостения. [В паблике: 30422458]
3.: Донли Э.Р., Холм М.Р., Лойд Дж.В. StatPearls [Интернет]. Издательство StatPearls; Остров сокровищ (Флорида): 8 мая 2021 г. Анатомия, грудная клетка, движения стен. [PubMed: 30252279]
4.: Бейнс КНС, Кашьяп С., Лаппин С.Л. StatPearls [Интернет]. Издательство StatPearls; Остров сокровищ (Флорида): 26 июля 2021 г. Анатомия, грудная клетка, диафрагма. [PubMed: 30137842]
5.: Michael CW, Faquin W, Jing X, Kaszuba F, Kazakov J, Moon E, Toloza E, Wu RI, Moreira AL. Комитет II: Руководство по методам цитологического исследования легких и медиастинальных лимфатических узлов. Диагностика Цитопатол. 2018 Октябрь; 46 (10): 815-825. [ПубМед: 30195266]
6.: Махабади Н., Гойзуэта А.А., Бордони Б. StatPearls [Интернет]. Издательство StatPearls; Остров сокровищ (Флорида): 26 июля 2021 г. Анатомия, грудная клетка, легочная плевра и средостение. [PubMed: 30085590]
7.: Гарвин У.Х. Клиническое исследование легких. Компр Тер. 1979 окт; 5(10):7-11. [PubMed: 498746]
8.: Koegelenberg CF, Irusen EM, von Groote-Bidlingmaier F, Bruwer JW, Batubara EM, Diacon AH.
No related posts.

Как решать уравнения с корнем (с иллюстрациями)

Шаги

Советы

Источники

Об этой статье

Как решать уравнения с корнем — Wiki How Русский

Методы извлечения квадратного корня | Статья в журнале «Юный ученый»

Ключевые слова

Похожие статьи

Формирование устойчивого познавательного интереса…

Разработка

О необходимости обучения детей делению в столбик на уроках…

Исследование алгоритмов генерации простых

Основные

Интегрированный урок на тему «Положительные и отрицательные.

Расширение набора арифметических операций до множества…

Похожие статьи

Формирование устойчивого познавательного интереса…

Разработка

О необходимости обучения детей делению в столбик на уроках.

Исследование алгоритмов генерации простых

Основные

Интегрированный урок на тему «Положительные и отрицательные…

Расширение набора арифметических операций до множества…

Сколько будет если вычесть одинаковые корни. Как складывать и вычитать квадратные корни

Шаги

Часть 1 Определение корней

Часть 2 Упрощение и сложение корней

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

Часть 2 Практикуемся на примерах

Предупреждения

Левый и правый пределы

Алгоритм извлечения квадратного корня. Посмотрите на красивую алгебру… | Уджвал Сингх

Содержание

Краткое примечание по используемым символам

Шаги

Анатомия, грудная клетка, легкие — StatPearls

Введение

Структура и функция

Кровоснабжение и лимфатическая система

Нервы

Физиологические варианты

Хирургические соображения

Клиническое значение

Контрольные вопросы

Рисунок

Рисунок

Рисунок

Рисунок

Рисунок

Ссылки

Добавить комментарий Отменить ответ