Число сочетаний с повторениями формула: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

14. Сочетания с повторениями

Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.

Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

(12.1)

Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.

Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:

В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись . Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).

В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.

Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А

. Поэтому.

Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,

, .

В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:

Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Упражнения

12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?

Ответ: .

12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

Ответ: .

12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >

Соединения с повторениями

Элементы комбинаторики. Комбинаторные методы обработки информации.

Комбинаторика является разделом дискретной математики, изучающим некоторые операции над конечными множествами, такие как упорядочение множества и разбиение множества, интересуется расположением элементов в множестве, выясняет, сколькими способами можно расположить элементы множества в том или ином порядке. Это приводит к понятиям перестановок, размещений и сочетаний. Основными задачами комбинаторики являются: 1) определение вида соединения; 2) подсчет числа соединений.

Правила суммы и произведения

При определении вида соединения удобно пользоваться следующей схемой:

Все расчетные формулы комбинаторики базируются на двух основных правилах:

1.Правило суммы:если объект А может быть выбран nспособами, а объект В – mспособами, то выбор «А или В» может быть осуществленn+mспособами.

2.Правило произведения:если объект А может быть выбран nспособами и после каждого из таких выборов объект В – mспособами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен n⋅mспособами.

Соединения без повторений

Пусть дано множество М, состоящее из n элементов.

Опр. 1 Перестановки – всевозможные упорядоченные множества, составленные из всех элементов данного множества. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Р_n и находят по формуле

Р_n= n! (1),

где n!= 1⋅2⋅3⋅ … ⋅n, 0!=1 по определению.

Пример 1.Сколько перестановок можно составить из трех букв а, в, с?

Решение: Р₃=1⋅2⋅3=6. Действительно: авс, вас, асв, сав, вса, сва.♦

Пример 2.Сколькими способами можно переставить буквы в слове «треугольник»?

Решение: Т.к. все буквы в данном слове разные, т.е. нет повторений, то можно воспользоваться формулой (1): Р₁₁=11!=39916800.♦

Опр. 2 Размещениями из nпо mназываются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов из данных n

. Обозначаются и вычисляются по формуле:

(2)

Пример 3. Сколько можно составить четырехзначных чисел, содержащих различные цифры из 5 цифр.

Решение: Четырехзначное число – это упорядоченная последовательность цифр, т.е. имеем дело с размещениями без повторений:

=5⋅4⋅3⋅2=120. ♦

Пример 4.В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание на 1 день?

Решение: ♦

Опр. 3 Сочетаниями из nпо mназываются всевозможные подмножества данных n элементов, состоящие из m элементов. Для подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:

(3).

Пример 5.

Сколькими способами можно из 7 различных открыток выбрать три?

Решение: Совокупность трех открыток является неупорядоченным подмножеством семи открыток, поэтому имеем дело с сочетаниями:

♦

Пример 6. Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для работы на субботнике.

Решение. Если выбирать их последовательно, сначала первого, потом второго, потом третьего, то получим 25* 24* 23 Но так как нас не интересует порядок выбора, а только количество выбранных человек:

25!/(3!*22!)

Соединения с повторениями

Опр: 4 Перестановками с повторениями называются перестановки из n элементов, в каждую из которых входит n₁ элементов а, n₂ элементов b, …, n_k элементов l, где n=n₁

+n₂+…+n_k. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 7.Сколькими способами можно переставить буквы в слове “математика”.

Решение: В слове “математика” есть повторяющиеся буквы: “м” – 2 раза, “а” – 3 раза, “т” – 2 раза, “е” – 1 раз, “и” – 1 раз, “к” – 1 раз. Порядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, так как если переставить местами 2 буквы, то получатся разные слова) и все элементы используются, следовательно, это перестановка с повторениями.

Таким образом, в слове “математика” можно переставить буквы 151200 способами.

Опр 5 Сочетания из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 8.На почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток.

Решение: Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.

Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из 12 штук 293930 способами.

Опр. 6 Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит k необязательно различных элементов из данного множества n элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 9.В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здание.

Решение: Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. А так как всего 8 гнезд, а флажков 2 вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т.е. это размещение с повторением.

Таким образом, существует 256 способов украсить здание с 8 гнездами флажками двух цветов.

Если имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. В этом случае число перемещений рассчитываться по формуле:

A = k₁* k₂*k₃ *. ..*k_{n (2)}

Пример 10.В эстафете 100, 200, 400, 800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую — одного из 5, на третью — одного из 6, на четвертую — единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?

Решение:В соответствии с формулой получаем, что число вариантов равно:

3 * 5 * 6 * 1 = 90.

Пример 11.Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?

Решение: На первое место в трехзначном числе можно выбрать любую цифру их трех (кроме нуля), после каждого такого выбора на второе место можно поставить любую цифру из оставшихся трех, на третье – из оставшихся двух. По правилу 2 получим: 3⋅3⋅2=18 чисел.♦

Примеры решения задач

Пример 1. Сколькими способами можно раскрасить диаграмму из 4 столбцов четырехцветной ручкой так, чтобы каждый столбец был окрашен в определенный цвет.

Решение: Порядок расположения элементов имеет значение и в диаграмме 4 столбца, а ручка тоже четырехцветная, т.е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение – перестановка. А так как окраска столбцов не повторяется (в условии сказано, что столбцы имеют разные цвета), то это перестановка без повторения. Итак, P_n = n! = 4! = 1⋅2⋅3⋅4 = 24

Ответ: столбцы можно закрасить 24 способами.

Пример 2. Имеется 5 кружков: 3 белых и 2 черных. Сколько различных узоров можно получить, располагая кружки в ряд.

Решение: Порядок расположения элементов имеет значение и в узоре 5 кружков, т.е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение – перестановка. А так как окраска кружков повторяется (в условии сказано, что 3 белых и 2 черных), то это перестановка с повторением. Итак,

Ответ: узор можно составить 10 способами.

Пример 3. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить перевод с любого из 5 языков на любой из 5 языков.

Решение: Порядок имеет значение (так как русско-английский и англо-русский словари различны) и не все элементы присутствуют в соединении (а только 2 из 5), значит, это размещение. Так как языки различны, то это размещение без повторения. Итак,

Ответ: надо составить 20 словарей.

Пример 4. На железнодорожной станции имеется 5 светофоров. Сколько может быть дано различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния.

Решение: Порядок имеет значение и не все элементы присутствуют в соединении, значит, это размещение. Так как цвета повторяются, то это размещение с повторением. Итак,

Ответ: может быть дано 243 различных комбинаций цветов.

Пример 5. 12 человек играли в городки. Сколькими способами они могут разбиться на команды по 4 человека в каждой.

Решение: Порядок расположения игроков в команде не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как игроки не повторяются (все члены команды различные люди), то это сочетание без повторения. Итак,

Ответ: игроки могут разбиться на команды по 4 человека в каждой 495 способами.

Пример 6. В цветочном магазине продаются цветы 6 видов. Сколько можно составить букетов из 10 цветов в каждом (букеты отличающиеся лишь расположением цветов считать одинаковыми).

Решение: Порядок расположения цветов в букете не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как цветы повторяются, то это сочетание с повторением. Итак, =3003

Ответ: букеты можно составить 3003 способами.

Пример 7. В группе 25 студентов, из которых 5 отличников, 11 хорошистов и остальные троечники. Сколькими способами можно выбрать группу для выполнения лабораторной работы, состоящей из 3 хорошистов, 1 отличника и 1 троечника.

Решение: Сначала узнаем сколькими способами можно выбрать 3 хорошистов из 11 человек. Порядок расположения студентов не важен, значит, это сочетание. А так как люди в группе не повторяются, то это соединение – сочетание без повторения. Итак, одного хорошиста можно выбрать способами. Аналогично рассуждая, приходим к тому, что 1 отличника можно выбрать способами и одного троечника можно выбрать способами. Так как команда для выполнения лабораторной работы выбирается одновременно, т.е. 5 хорошистов, затем 1 отличник, затем 1 троечник, то, применив правило произведения, получим: способами.

Ответ: группу для выполнения лабораторной работы можно составить 3300 способами.

Пример 8:Имеется 4 чашки, 5 блюдец, 6 ложек (все чашки, блюдца, ложки различны). Сколькими способами можно накрыть стол к чаю на 3 человека, если каждый получает 1 чашку, 1 блюдце и 1 ложку.

Решение: Выберем для 3 человек чашки из 4 имеющихся. Порядок расположения элементов имеет значение, и не все элементы входят в соединение, значит, это размещение. Но так чашки не повторяются, то это размещение без повторения. Итак, из 4 чашек 3 можно выбрать способами. Аналогично рассуждая, получим, что из 5 блюдец 3 можно выбрать способами, а из 6 ложек 3 можно выбрать способами. Так как блюдце, чашка и ложка входят в набор одновременно, то стол можно накрыть * =24*60*120=172800 способами.

Ответ: стол можно накрыть 172800 способами.

Сочетание из n по m. Перестановки, размещения и сочетания

Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка . Такой выбор называется комбинацией . Если вы играете в карты, например, вы знаете, что в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет значения.

Пример 1 Найдите все комбинации 3-х букв, взятых из набора в 5 букв {A, B, C, D, E}.

Решение Эти комбинации следующие:
{A, B, C}, {A, B, D},
{A, B, E}, {A, C, D},
{A, C, E}, {A, D, E},
{B, C, D}, {B, C, E},
{B, D, E}, {C, D, E}.
Существует 10 комбинаций из трех букв, выбранных из пяти букв.

Когда мы находим все комбинации из набора с 5 объектами, если мы берем 3 объекта за один раз, мы находим все 3-элементные подмножества. В таком случае порядок объектов не рассматривается. Тогда,
{A, C, B} называется одним и тем же набором как и {A, B, C}.

Подмножество
Множество A есть подмножеством B, и означает что A это подмножество и/или совпадает с B если каждый элемент A является элементом B.

Элементы подмножество не упорядочены. Когда рассматриваются комбинации, не рассматривается порядок!

Комбинация
Комбинация, содержащая k объектов является подмножеством, состоящим из k объектов.

Мы хотим записать формулу для вычисления число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно.

Обозначения комбинации
Число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно, обозначается n C k .

Мы называем n C k число сочетаний . Мы хотим записать общую формулу для n C k для любого k ≤ n. Во-первых, это верно, что n C n = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножестов с n элементами, есть само множество. Во-вторых, n C 1 = n, потому что множество с n элементами имеет только n подмножеств с 1 элементом в каждом. Наконец, n C 0 = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножество с 0 элементами, то есть пустое множество ∅. Чтобы рассмотреть другие сочетания, давайте вернемся к примеру 1 и сравним число комбинаций с числом перестановок.

Обратите внимание, что каждая комбинация из 3-х элементов имеет 6, или 3!, перестановок.
3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5 . 4 . 3,
so
.
В общем, число сочетаний из k элементов, выбранных из n объектов, n C k раз перестановок этих элементов k!, должно быть равно числу перестановок n элементов по k элементов:
k!. n C k = n P k
n C k = n P k /k!
n C k = (1/k!). n P k
n C k =

Комбинации k объектов из n объектов
Общее число комбинаций к элементов из n объектов обозначается n C k , определяется
(1) n C k = ,
или
(2) n C k =

Другой тип обозначения для n C k это биноминальный коэффициент . Причина для такой терминологии будет понятна ниже.

Биноминальный коэффициент

Пример 2 Вычислите , используя формулы (1) и (2).

Решение
a) Согласно (1),
.
b) Согласно (2),

Имейте в виду, что не означает n/k.

Пример 3 Вычислите и .

Решение Мы используем формулу (1) для первого выражения и формулу (2) для второго. Тогда
,
используя (1), и
,
испоьлзуя формулу (2).

Обратите внимание, что
,
и используя результат примера 2 дает нам
.
Отсюда вытекает, что число 5-ти элементного подмножества из множества 7 элементов то же самое, что и число 2-элементного подмножества множества из 7 элементов. Когда 5 элементов выбираются из набора, они не включают в себя 2 элемента. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество {A, B, C, D, E, F, G}:

В целом, мы имеем следующее. Этот результат дает альтернативный способ вычисления комбинации.

Подмножества размера k и размера
и n C k = n C n-k
Число подмножеств размера к множества с n объектами такое же, как и число подмножеств размера n — к. Число сочетаний k объектов из множества n объектов, такое же как и число сочетаний из n объектов, взятых одновременно.

Теперь мы будем решать задачи с комбинациями.

Пример 4 Мичиганская лотерея. Проводящаяся в штате Мичиган два раза в неделю лотерея WINFALL имеет джек-пот, который, по крайней мере, равен 2 млн. долларов США. За один доллар игрок может зачеркнуть любые 6 чисел от 1 до 49. Если эти числа совпадают с теми, которые выпадают при проведении лотереи, игрок выигрывает. (

На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется N и N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).

Источники:

количество сочетаний

Факториал натурального числа – это произведение всех предыдущих натуральных чисел, включая само число. Факториал нуля равен единице. Кажется, что посчитать факториал числа очень просто – достаточно перемножить все натуральные числа, не превышающие заданное. Однако, значение факториала настолько быстро возрастает, что некоторые калькуляторы не справляются с этой задачей.

Вам понадобится

калькулятор, компьютер

Инструкция

Чтобы посчитать факториал натурального числа перемножьте все , не превосходящие данное. Каждое число учитывается только один раз. В виде формулы это можно записать следующим образом:n! = 1*2*3*4*5*…*(n-2)*(n-1)*n, гдеn – натуральное число, факториал которого требуется посчитать.
0! принимается равным единице (0!=1).При возрастании аргумента значение факториала очень быстро увеличивается, поэтому обычный (бухгалтерский) уже для факториала 15-ти вместо результата может выдать об ошибке.

Чтобы посчитать факториал большого натурального числа, возьмите инженерный калькулятор. То есть, такой калькулятор на клавиатуре которого имеются обозначения математических функций (cos, sin, √). Наберите на калькуляторе исходное число, а затем нажмите кнопку вычисления факториала. Обычно такая кнопка как «n!» или аналогично (вместо «n» может стоять «N» или «х», но восклицательный знак «!» в обозначении факториала должен присутствовать в любом случае).
При больших значениях аргумента результаты вычислений начинают отображаться в «экспоненциальном» (показательном) виде. Так, например, факториал 50 будет представлен в форме: 3,0414093201713378043612608166065e+64 (или похожем). Чтобы получить результат вычислений в обычном виде, припишите к числу, показанному до символа «е», столько нулей, сколько указано после «е+» (если, конечно, хватит места).

Число сочетаний

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений .

Явные формулы

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном значении n производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n по k является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

Ссылки

Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990.
Вычисление числа сочетаний онлайн

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Число сочетаний» в других словарях:

70 семьдесят 67 · 68 · 69 · 70 · 71 · 72 · 73 40 · 50 · 60 · 70 · 80 · 90 · 100 Факторизация: 2×5×7 Римская запись: LXX Двоичное: 100 0110 … Википедия

Световое число, условное число, однозначно выражающее внеш. условия при фотосъёмке (обычно яркость объекта съёмки и светочувствительность применяемого фотоматериала). Любому значению Э. ч. можно подобрать неск. сочетаний диафрагменное число… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Форма числа, выделяющая два предмета как по отношению к единичному предмету, так и по отношению к множеству предметов. В современном русском языке эта форма не существует, но остатки ее влияния сохранились. Так, сочетания два стола (ср. мн. ч.… … Словарь лингвистических терминов

Комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия

В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия

Занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера

1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов… … Большая советская энциклопедия

— (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия

— (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом … Википедия

Математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Книги

Число судьбы. Гороскоп совместимости. Желания. Страсти. Фантазии (количество томов: 3) , Майер Максим. Число судьбы. Как составить индивидуальный нумерологический прогноз. Нумерология — одна из самых древних эзотерических систем. Невозможно точно установить времяее возникновения. Однако в…

Рассмотрим задачу подсчета числа выборок из данного множества в общем виде. Пусть имеется некоторое множество N , состоящее из n элементов. Любое подмножество, состоящее из m элементов можно рассматривать без учета их порядка, так и с его учетом, т.е. при изменении порядка переходим к другой m – выборке.

Сформулируем следующие определения:

Размещения без повторения

Размещением без повторения из n элементов по m N , содержащее m различных элементов .

Из определения следует, что два размещения отличаются друг от друга, как элементами, так и их порядком, даже если элементы одинаковы.

Теорема 3 . Число размещений без повторения равно произведению m сомножителей, наибольшим из которых является число n . Записывают:

Перестановки без повторений

Перестановками из n элементов называются различные упорядочения множества N .

Из этого определения следует, что две перестановки отличаются только порядком элементов и их можно рассматривать как частный случай размещений.

Теорема 4 . Число различных перестановок без повторений вычисляется по формуле

Сочетания без повторений

Сочетанием без повторения из n элементов по m называется любое неупорядоченное подмножество множества N , содержащее m различных элементов.

Из определения следует, что два сочетания различаются только элементами, порядок не важен.

Теорема 5 . Число сочетаний без повторений вычисляют по одной из следующих формул:

Пример 1 . В комнате 5 стульев. Сколькими способами можно разместить на них

а) 7 человек; б) 5 человек; в) 3 человека?

Решение: а) Прежде всего надо выбрать 5 человек из 7 для посадки на стулья. Это можно сделать
способом. С каждым выбором конкретной пятерки можно произвести
перестановок местами. Согласно теореме умножения искомое число способов посадки равно.

Замечание: Задачу можно решать, используя только теорему произведения, рассуждая следующим образом: для посадки на 1-й стул имеется 7 вариантов, на 2-й стул-6 вариантов, на 3-й -5, на 4-й -4 и на 5-й -3. Тогда число способов посадки 7 человек на 5 стульев равно . Решения обоими способами согласуются, так как

б) Решение очевидно —

в) — число выборов занимаемых стульев.

— число размещений трех человек на трех выбранных стульях.

Общее число выборов равно .

Не трудно проверить формулы
;

;

Число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов.

Размещения с повторением

Размещением с повторением из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество множества N , состоящее из m элементов так, что любой элемент ожжет входить в это подмножество от 1 до m раз, либо вообще в нем отсутствовать .

Число размещений с повторением обозначают и вычисляют по формуле, представляющей собой следствие из теоремы умножения:

Пример 2 . Пусть дано множество из трех букв N = {a, b, c}. Назовем словом любой набор из букв, входящих в это множество. Найдем количество слов длиной 2, которые можно составить из этих букв:
.

Замечание: Очевидно, размещения с повторением можно рассматривать и при
.

Пример 3 . Требуется из букв {a, b}, составить всевозможные слова длиной 3. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ :

с повторением и без с Примерами

Эта статья будет о Комбинация и когда она используется, типы комбинации, с формулами и примерами обоих типов комбинации.

Быстрый доступ

!Нажмите на кнопки ниже, чтобы перейти прямо к разделу статьи, которую вы ищете!

Определение комбинации

Комбинация — это метод, используемый в статистике, который состоит в поиске способов, которыми мы можем выбрать некоторые элементы из набора данных. Общая концепция комбинации и перестановки очень похожа, и из-за этого сначала мы не можем видеть разницу между ними, но разница между комбинацией и перестановкой заключается в том, что в комбинации порядок элементов не имеет значения, это означает, что до тех пор, пока комбинации выбранных элементов одинаковы, это будет считаться только одной комбинацией.

Чтобы лучше понять значение и использование комбинации, мы собираемся показать следующий пример: Если из 5 человек мы хотим случайным образом выбрать двух из них для участия в действии, в перестановке порядок, в котором мы выбираем люди будут иметь значение, например, если мы сначала выберем человека А, а затем человека Б, это будет одна перестановка, и если мы выберем человека Б, а затем человека А, это будет другая перестановка, , но в сочетании эти два сценария будут считаться только одной комбинацией, независимо от того, будет ли порядок выбора «A и B» или «B и A»

Комбинация записывается буквами nCr, где «n» количество элементов набора, а «r» — это количество элементов, которые мы собираемся выбрать, где «r» не может быть старше, чем «n», потому что это приведет к ошибке.

Еще одно свойство комбинации состоит в том, что существует два типа комбинаций: одна с повторением, а другая без повторения.

Комбинация с повторением

Это когда элементы набора могут повторяться, для пояснения этого типа вот пример: Человек идет в кондитерскую, где есть 10 разных вкусов конфет, но этот человек возьму только 4, по одному на каждого из его детей, это пример комбинации с повторением, потому что, хотя есть 10 разных вкусов, ничто не позволяет этому человеку выбрать один и тот же вкус дважды, трижды или даже четыре раза.

Формула с повторением

Комбинация без повторения

Это когда элементы набора не могут повторяться, например: в компании, где работает 20 человек, принимается решение о формировании директивы, состоящей из 3 человек, в этом случае у нас будет сочетание без повторения, потому что человека нельзя выбрать дважды.

Формула без повторения

nCr =
n!/(n-r)! * р!

В комбинации наиболее распространенным типом комбинации является комбинация без повторения, потому что легче найти ситуацию, когда элементы не могут повторяться.

Примеры комбинаций

Пример 1: Человек идет в кондитерскую, где есть 8 видов вкусов, если этот человек собирается купить только 3, определите все возможные комбинации

С повторением n = 8 r = 3 nCr = ?

nCr =
(n + r-1)!/r! * (н-1)!
8C3 =
(8 + 3-1)!/3! * (8-1)!
8C3 =
(10)!/3! * 7!
8С3 =
10 * 9* 8 * 7! /3! * 7!
8С3 =
10*9*8/3!
8C3 =
10 * 9 * 8/3*2*1
8C3 =
720/6
8C3 = 120

Иисус любит тебя

Иисус — сын Божий, который был послан на смерть, чтобы каждый, кто верит в него, имел вечную жизнь.

Узнать больше

Пример 2: 2 девушки пойдут на вечеринку, если у них есть 4 пары модной обуви, определите комбинацию обуви, которую могут носить эти две девушки

Без повторения n = 4 r = 2 nCr = ?

4C2 =
н!/(н-р)! * р!
4С2 =
4!/(4-2)! * 2!
4C2 =
4*3*2*1/2*1 * 2*1
4C2 =
24/4
4С2 = 6

Пример 3: Человек собирается в путешествие на 3 дня, поэтому он возьмет с собой 3 рубашки, если у него 7 рубашек, сколько комбинаций рубашек он может взять.

Без повторения n = 7 r = 3 nCr = ?

nCr =
n!/(n-r)! * р!
7C3=
7!/(7-3)! * 3!
7C3=
7!/4! * 3!
7C3=
7*6*5*4!/4! * 3!
7C3=
7*6*5* 4! / 4! *3!
7C3=
7*6*5/3!
7C3=
7*6*5/3*2*1
7C3=
210/6
7C3= 35

Пример 4: В ведерке 10 шаров, каждый шар пронумерован от 1 до 10, если кто-то случайно вытащит 3 из этих шаров, сколько комбинаций он сможет составить.

Без повторения n = 10 r = 3 nCr = ?

nCr =
n!/(n-r)! * р!
10C3 =
10!/(10-3)! * 3!
10C3 =
10!/7! * 3!
10C3 =
10*9*8*7!/7! * 3!
10C3 =
10*9*8* 7! / 7! *3!
10С3 =
10*9*8/3!
10С3 =
720/6
10С3 =
720/6
10С3 = 120

Пример 5: Спортсмен идет в магазин, чтобы купить 4 пары обуви, если в магазине много обуви 5 доступных цветов, сколько комбинаций цветов может купить этот человек.

С повторением n = 5 r = 4 nCr = ?

nCr =
(n + r-1)!/r! * (н-1)!
5C4 =
(5 + 4-1)!/4! * (5-1)!
5C4 =
8!/4! * 4!
5C4 =
8*7*6*5*4!/4! * 4!
5C4 =
8*7*6*5* 4! /4! * 4!
5C4 =
1680/4*3*2*1
5C4 =
1680/24
5С4 = 70

Статьи по теме

Перестановка

Перейти к статье

Классическая вероятность

Перейти к статье

Эмпирическая вероятность

Перейти к статье

Субъективная вероятность

Перейти к статье

Правило суммы

Перейти к статье

Правило умножения

Перейти к статье

Правило дополнения

Перейти к статье

теорема Байеса

Перейти к статье

Общая вероятность

Перейти к статье

Комбинация
Изучите эту статью
Статьи по теме:
Перестановка
Классическая вероятность
Эмпирическая вероятность
Субъективная вероятность
Правило сумм
Правило умножения
Дополнение к правилу
Теорема Байеса
Суммарная вероятность

Объединение с повторениями в excel для нескольких данных

разворот

Известный член

10 января 2016 г.

Итак, допустим, элементы A,B,C,D и значения 1,2,3. Комбинация может быть 11111, 22222, 33333, 12222, 11222 и т. д. Я хотел бы знать, какова максимальная сумма этой комбинации, которую можно ввести, и, если это возможно, способ отображения всей этой комбинации в списке.

95 = 243)
Но будут повторяющиеся числа и повторяющиеся группы (независимо от порядка)
ПЕРЕСТАВКА дает вам повторяющиеся числа, но неповторяющиеся группы (независимо от порядка)
КОМБИНАЦИЯ дает вам неповторяющиеся числа и неповторяющиеся группы (независимо от порядка)

Последнее редактирование: 10 января 2016 г.
Ник91
Новый член
10 января 2016 г.

Excel 2010

<br> Alt+click for values & formatting only.»/>	A	B

	A	B	C	D	E
1	1	1	1	1	1

Sheet2

Формулы
Cell Formula Cell
. 1,3)+1
B1 =MOD(ОКРУГЛВВЕРХ(СТРОКА(A1)/27,0)-1,3)+1 95 = 243)
Но будут повторяющиеся числа и повторяющиеся группы (независимо от порядка)
ПЕРЕСТАВКА дает вам повторяющиеся числа, но неповторяющиеся группы (не обращая внимания на порядок)
КОМБИНАЦИЯ дает вам неповторяющиеся числа и неповторяющиеся группы (независимо от порядка)
Нажмите, чтобы развернуть…
большое спасибо Sheetspread — обязательно попробую!

разворот
Известный член
10 января 2016 г.

9(СТОЛБЦ()-1)),0)-1,4)+1),5,10,15,20)
Пока

Применение комбинаций с повторением | Виджай Гадре | Компьютерная культура
Чтобы понять, как работают комбинации с повторением, вам нужно понять, в каких случаях они встречаются.
Мы используем комбинации с повторением, когда события, с которыми мы имеем дело, имеют достаточное количество каждого из различных значений в выборочном пространстве.
Одним из таких примеров является начинка для пиццы.
Мы можем заказать дополнительную порцию любой начинки, поэтому разрешено повторения. Однако нас не волнует порядок , в котором начинка кладется поверх пиццы, поэтому мы не можем использовать варианты.
Подобные примеры включают выбор вкусов мороженого для тающего мороженого или игроков для команды фэнтези-футбола.
Чтобы лучше понять количество комбинаций, которые у нас есть, давайте рассмотрим конкретный пример.
Вы заказываете пиццу с 3 начинками в местной пиццерии, но у них осталось только 6 начинок, потому что уже поздно.
Начинки следующие: —
Чеддер C курица, O лук, G зеленый перец, M грибы, P 9004 acon03 и 900.
У вашей пиццы может быть 3 разных начинки, или вы можете повторить начинку до 3 раз.
Вы можете заказать пиццу с 3 разными начинками, пиццу с 3 одинаковыми начинками или пиццу с 2 разными начинками, но с двойной дозой одной из них.
Методология, которую мы используем для таких комбинаций, довольно абстрактна. Нам нравится представлять каждый тип пиццы специальной последовательностью нулей и единиц. Для этого нам сначала нужно выбрать определенный порядок доступных ингредиентов.
Мы можем повторно использовать порядок, который мы записали ранее: —
Чеддер C сыр, O нионы, G зеленый перец, M грибы, P acon 0.003 и Bepperoni
Для удобства мы можем ссылаться на каждый ингредиент соответствующей буквой, которую мы выделили (например, « C » означает сыр, а « O » означает лук).
Чтобы построить последовательность для каждого уникального вида пиццы, мы следуем 2 правилам, когда мы проверяем ингредиенты в том порядке, который мы записали ранее.
Если нам больше ничего не нужно от определенного топпинга, мы пишем 0 и переходим к следующему топпингу .
Если мы хотим включить определенную начинку, мы пишем 1 и остаемся на той же начинке. [Отказ от перехода к следующей вершине позволяет нам указать, хотим ли мы чего-то большего, добавив еще 1, прежде чем двигаться вперед. Скажем, если мы хотим, чтобы в нашей пицце был дополнительный сыр, последовательность должна начинаться с «1, 1». Кроме того, мы всегда применяем правило 1 перед переходом к другому топингу, поэтому последовательность фактически начинается с «1, 1, 0»]
Если нам нужно писать «0» после каждой вершины, то каждая последовательность будет состоять из 6 нулей и 3 единиц.
Давайте посмотрим на некоторые пиццы и последовательности, с помощью которых они выражены.
Пиццы и их последовательности
Пицца с сыром и экстра пепперони (строка 1) представлена последовательностью 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0.
Веган разнообразная пицца с луком, зеленым перцем и грибами (ряд 2) будет представлен последовательностью 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0.
Какой пиццей будет последовательность 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0 представляют?
Мы можем поместить последовательность в таблицу и увидеть, что она представляет собой пиццу с зелеными перцами и дополнительным беконом (строка 3) .
Обратите внимание, что все рассмотренные нами последовательности заканчиваются на 0.
1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0
0, 1, 0, 1, 0, 1 , 0, 0, 0
0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0
Это не случайно, так как по правилу 1 нашего алгоритма нам нужно добавить «0» в конец последовательности, независимо от того, хотели мы бекона или нет.
Это означает, что только первые 8 элементов последовательности могут принимать разные значения.
Каждая пицца характеризуется позициями 3 единиц в последовательности. Так как только 8 позиций в последовательности могут принимать значение «1», то количество различных пицц будет представлять собой комбинацию любых 3 из 8 позиций.
Как было сказано ранее, у нас есть 3 «1» и 8 различных позиций. Следовательно, количество пиццы, которое мы можем получить, будет равно количеству комбинаций выбора 3 элементов из набора 8. Это означает, что мы можем преобразовать комбинации с повторениями в комбинации без повторений.
Давайте немного понаблюдаем за значениями 3 и 8 и попробуем обобщить формулу. «3» представляет количество начинки, которое нам нужно выбрать, поэтому оно по-прежнему эквивалентно «p».
«8» представляет количество доступных позиций для «1». Всего у нас было 3 + 6 = 9 позиций, но мы знали, что последняя не может содержать «1». Таким образом, у нас было «n + p-1» много позиций, которые могли содержать 1.
Теперь, когда мы знаем соотношение между количеством комбинаций с и без повторений, мы можем выполнить «n+p -1” в комбинации без формулы повторений, чтобы получить: —
Это точно такая же формула, которую мы видели в предыдущем блоге.
No related posts.
Навигация по записям
Предыдущая статьяСобственные векторы матрицы и собственные числа онлайн калькулятор: Собственные числа и собственные векторы
Следующая статьяТригонометрия единичный круг: Единичная окружность в тригонометрии
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта