Числовые ряды как решать: Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

9. Ряды. Высшая математика

9.1. Числовые ряды

9.2. Степенные ряды

9.1. Числовые ряды

Сходимость ряда. Сумма ряда

Пусть даны , тогда – ряд, где – член ряда.

Примеры различных рядов:

• 1+2+4+…+ – ряд сходится.
• 1–1+1–1+…+– расходится.

• – расходится (гармонический ряд).

• — сходится.

, при .

– частичная сумма

Если , то – сумма ряда. Ряд сходится, если этот предел существует, и расходится, если не существует.

Пример:

Теорема. О сходимости ряда

Сходимость ряда не измениться, если отбросить конечное число его членов.

Признаки сходимости ряда

1. Необходимый признак сходимости:
2. Достаточный признак расходимости:

Доказательство:

Если , то ряд сходится.

3. 3. Достаточный признак сходимости (для знакопостоянных рядов):
   4. Признак сравнения:

Имеем и , то

и – сходится, тогда – сходится.

или .

Если

Пример:

, а значит – сходится.

3. 3. Признак Даламбера:

Пусть , тогда при

– ряд сходится, – ряд расходится, – требуются дальнейшие исследования.

Доказательство:

Пусть , тогда , начиная с некоторого .

или

Получаем

Пример:

Ряд –

и

– ряд расходится.

• Радикальный признак Коши:

, при , .

Тогда если , то ряд сходится, если – ряд расходится.

Доказательство:

1. 1. Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), а значит –сходится по принципу сравнения.

• Пусть и

Тогда, начиная с некоторого , , выполняется неравенство или .

Получаем, что –расходится.

Пример:

Ряд – .

Получаем – ряд сходится.

7. Интегральный признак Коши:

, при .

Доказательство:

и

Значит, если – сходится – сходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряды вида: , где .

Теорема Лейбница

Если и , то ряд – сходится.

Доказательство:

Пусть , тогда

. При

. ограниченна сверху .

Так как – возрастает и ограниченна сверху

Пример: – сходится.

Пусть дан ряд , тогда

1. 1. – сходится, тогда ряд – абсолютно сходится.

• – расходится и – сходится, тогда ряд сходится условно.

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов не меняет сумму.

Если ряд сходится условно, то подходящей перестановкой можно сделать его сумму равной любому числу и даже сделать его расходящимся.

Действия над рядами

, – абсолютно сходящиеся.

Тогда – абсолютно сходится.

Функциональные ряды

, где – функция.

Область сходимости

Пусть фиксировано.

Тогда сходится, если –точка сходимости, и расходится, если – точка расходимости.

– область сходимости.

Пример:

, то ряд сходится.

, где – остаток ряда.

Если ряд сходится, то

Мажорируемые ряды

, где – мажорируемы.

Тогда – мажоранжа (если ряд сходится), при .

Теорема. О непрерывности суммы ряда

Пусть .

– сходится и , – непрерывна на .

Тогда – непрерывна на .

Доказательство:

(из определения непрерывности)

,

где .

При и .

Отсюда

Пример:

на

, разрыв при

Теорема.

О почленном интегрировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – интегрируемы на ( – существует). Тогда

Теорема. О почленном дифференцировании ряда

Пусть на – мажорируемый, – дифференцируемы на (– существует). Тогда

9.2. Степенные ряды

, где – коэффициент, – произвольная точка, .

Частный случай:

Теорема Абеля: У каждого степенного ряда существует радиус сходимости.

, при

– сходится

– расходится.

– точка сходимости.

Если , то , т.е. – мажорируемый.

Область сходимости:

– сходится при

Пример:

– сходится при .

Теорема. Радиус сходимости определяется как

.

Доказательство:

Возьмем , тогда

По признаку Даламбера:

Отсюда или

Внутри радиуса сходимости степенной ряд мажорируем, его сумма непрерывна, его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Пример:

или при ряд сходится.

, значит ряд сходится при любых

, значит при ряд сходится.

Разложение функций в степенной ряд

– ряд Тейлора.

, тогда

При

– ряд Маклорена.

Разложение некоторых функций в степенной ряд

или – любое.

или – любое.

или – любое.

1. 1. или при ряд сходится

или при ряд сходится

Сумма знакочередующегося ряда имеет погрешность не превосходящую первого отброшенного члена.

Пример:

Имеем

Получаем

Считая, что

Пример:

Контрольные примеры:

1. 1. Разложим в ряд и посчитаем

1. Разложим в ряд и посчитаем

Пример разложения функции в ряд Маклорена:

Получаем

Формулы и уравнения рядов

Примеры решения рядов здесь.

Числовые ряды

Факториал и двойные факториалы:

— формула Стирлинга.

Геометрическая прогрессия:

|q|<1.

Основные определения и теоремы о рядах:

{u_n} — заданная бесконечная числовая последовательность,

— числовой ряд,
u_n — члены ряда,
– частичные суммы ряда.

Сумма ряда:

сходится, S — сумма ряда.

или ряд сходится и суммы нет.

Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (но влияет на сумму).

Свойства сходящихся рядов:

Теоремы сравнения рядов с положительными членами:
≥ 0, ≥ 0.
1. ≤
   Если сходится, то сходится;
   если расходится, то расходится.
2. v_n ≠ 0, 0 < k < ∞.
   Либо и , и сходятся,
   либо и , и расходятся.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами (u_n > 0)
• Признак Даламбера
  Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
• Признак Коши
  Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
• Интегральный признак сходимости
  1) u_n > 0; 2) u_n ≥ u_n+1; 3) f(x) — непрерывная невозрастающая функция, f(n) = u_n.
  Либо и , и сходятся,
  либо и , и расходятся.

Знакопеременные ряды
• Абсолютная сходимость
  Ряд сходится, откуда следует, что ряд сходится.
• Условная сходимость
  Ряд расходится, но ряд сходится.
• Знакочередующиеся ряды
  Ряды вида или где u_n > 0.
• Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда)
  Если 1) u₁ > u₂ > u₃ > …, 2) то 1) ряд сходится; 2) его сумма S > 0, и 3) S < u₁.

Примеры числовых рядов
1. : сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
2. : сходится, если a < 1; расходится, если a ≥ 1.
3. : сходится.
4. : сходятся, |q| < 1; расходятся, |q| ≥ 1.
5. : сходится;
6. : сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
8. : сходится условно.
9. : сходится абсолютно.
10. : сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Функциональный ряд – сумма вида

При из функционального ряда получается числовой ряд

Если для числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда. Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области . Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда.

– частичные суммы ряда. Функциональный ряд сходится к функции f(x), если

Равномерная сходимость

Функциональный ряд, сходящийся для всех из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если ∀ε > 0 существует не зависящий от x номер N(ε), такой, что при n > N(ε) выполняется неравенство R_n(x) < ε для всех x из области сходимости, где — остаток ряда.

Геометрический смысл равномерной сходимости:

если окружить график функции y = f(x) «ε-полоской», определяемой соотношением f(x)−ε > y > f(x)+ε, то графики всех частичных сумм S_k(x), начиная с достаточно большого k, ∀x ∈ [a, b] целиком лежат в этой «ε-полоске», окружающей график предельной функции y = f(x).

— называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд u_n > 0, что для ∀x ∈ D f_n(x) ≤ u_n, n = 1, 2, …. Ряд называется мажорантой ряда

Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда): функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Степенные ряды:
— степенной ряд по степеням
При – степенной ряд по степеням x.

Область сходимости степенного ряда:
Радиус сходимости, интервал сходимости R, x ∈ (-R, R):
или
При |x| < R ряд сходится, при |x| > R – расходится;
в точках x = ±R – дополнительное исследование.

На интервале сходимости ряд сходится абсолютно;
на любом отрезке из интервала сходимости он сходится равномерно.

Свойства степенных рядов
1. Степенной ряд сходится равномерно на [−R′, R′]
   ∀R′ < R, его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.
3. Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости.

Разложение элементарных функций в степенные ряды

1. , x ∈ (−∞; ∞).
2. ,
   x ∈ (−∞; ∞).
3. , x ∈ (−∞; ∞).
4. , x ∈ (−∞; ∞).
5. , x ∈ (−∞; ∞).
6. 
   , x ∈ (−1; 1].
7. 
   , x ∈ [−1; 1).
8. ,
   x ∈ (−1; 1).
9. , x ∈ [−1; 1].
10. , x ∈ [−1; 1].
11. , x ∈ (−1; 1).
12. , x ∈ (−1; 1).
13. , x ∈ (−1; 1).
14. , x ∈ (−1; 1).
15. , x ∈ (−1; 1].

Тригонометрические ряды

Ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π
• Ряд Фурье функции f(x):
  
• Коэффициенты Фурье:
  

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций с периодом 2π
• f(-x) = f(x)
  ряд Фурье содержит только косинусы кратных дуг:
  
• f(-x) = -f(x)
  ряд Фурье содержит только синусы кратных дуг:
  

Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l, f(x+2l) = f(x):

где

Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на отрезке x ∈ [0; l] или на отрезке x ∈ [-l; l]
Произвольная функция f(x) задана на отрезке [0; l]; на отрезок [-l; 0] она может быть продолжена произвольным образом:
– некоторая кусочно-монотонная функция.
Наиболее часто встречающиеся продолжения:
• f₁(x)=f(-x), x ∈ [-l; 0] (четное продолжение)
  
  где x ∈ [0; l] n = 0, 1, 2,…
• f₁(x) = —f(−x), x ∈ [-l; 0]
  (нечетное продолжение)
  
  где x ∈ [0; l] n = 1, 2,…
• На всю действительную ось ϕ(x) продолжается периодически с периодом 2l, ϕ(x) = ϕ(x + 2l). Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье, причем в точках x = ±l выполняется условие: где то есть,
  – левый предел f(x) в точке x = l,
  – правый предел f(x) в точке x = l.

Исследование числовых рядов на сходимость. Ряды для чайников

Приложение

Онлайн сервис сайт поможет найти сумму ряда онлайн как числовой последовательности, так и функционального ряда. 2 представлена в краткой записи.. Наряду с определением суммы ряда онлайн последовательности числовой, сайт в онлайн режиме может найти так называемую частичную сумму ряда. Однозначно это поможет для аналитических представлений, когда сумму ряда онлайн нужно выразить и найти как решение лимита числовой последовательности частичных сумм ряда. По свое сути сумма ряда есть не что иное, как обратная операция разложения функции в ряд. Операции практически взаимные по природе. Так уж сложилось, что сходимость ряда изучается после прохождения курса лекции в математическом анализе после пределов. Найденное решение рядов означает результат исследования его на сходимость или расходимость. Этот результат определяется однозначно. В сравнении с аналогами, сайт имеет свои неоспоримые преимущества, потому что умеет найти сумму ряда онлайн как числового, так и функционального ряда, что позволяет однозначно определять область сходимости начального исходного ряда, применяя практически все известные науке методологии. Опираясь на теорию рядов, необходимым во все времена условием сходимости последовательности числовой будет равенство нулю лимита общего члена числового ряда на бесконечности. Но это условие является не достаточным при установлении сходимости числового ряда онлайн. Немного отвлечемся от насущной проблемы и порассуждаем с другой философской позиции по поводу рядов в математике. Для вас это решение рядов онлайн позволит стать наилучшим калькулятором и помощником на каждый день. Совсем не охота просиживать прекрасные зимние деньки за уроками, когда сумма ряда находится в два счета прямо на ваших глазах. Если понадобится кому-то определить ту самую ходимость ряда, то потребуется несколько секунд после предварительного ввода правильных данных. В то время, как аналогичные сайты требуют вознаграждения за свои услуги, мы стараемся быть полезными каждому желающему попробовать научиться самому решать примеры, используя наш простой сервис. На ваше усмотрение мы можем представить решение рядов в онлайн режиме на любом современном устройстве, то есть в любом браузере. 2 сходится и имеет в математике огромное смысловое значение. А вот сумма конечного ряда обычно определяется после использования, например, интегрального признака или признака Раабе, о котором мало кто знает в рядовых вузах. По определению сходимости рядов онлайн учеными выведены разные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда. Более известны и часто применяемы из этим методов — это признаки Д»Аламбера, признак сходимости Коши, признак сходимости Раабе, признак сравнения числовых рядов, а также интегральный признак сходимости числового ряда. Заслуживают особого внимания такие числовые ряды, у которых знаки слагаемых обязательно строго чередуются друг за другом с минуса на плюс и обратно, а абсолютные величины этих числовых рядов убывают монотонно, то есть равномерно. На практике изучения рядов оказалось, что для таких числовых рядов необходимый признак сходимости знакопеременного ряда онлайн является достаточным, то есть равенство нулю лимита общего члена числового ряда на бесконечности. Найденная сумма ряда таким способом оказывается равносильно другим применяемым методам. Сходимость ряда занимает колоссальную трату времени, так как сам процесс предполагает полное исследование функции.. Есть много разных сайтов, которые представляют сервисы вычисления суммы ряда онлайн, а также разложения функций в ряд в режиме онлайн в любой точке из области определения исследуемой функции. Разложить функцию в ряд онлайн в этих сервисах можно без труда, так как используется функционал вычисления производной, а вот обратная операция — найти сумму функционального онлайн ряда, членами которого являются не числа, а функции, не редко бывает невозможным на практике в силу трудностей, возникающих на почве отсутствия необходимых вычислительных ресурсов.. Используйте наш ресурс для вычислений суммы рядов онлайн, проверки и закрепления своих знаний. Если же сумма ряда расходится, то мы не получим ожидаемого результата для дальнейших действий в какой-то общей задачей. Этого можно заранее избежать, применяя свои знания как специалиста. 2, потому что прозрачно для учеников такое представление и не путаются студенты. Поскольку имеем выражение для сложного общего члена ряда, то сумма конечного ряда была бы полезна, если будет доказано для мажорирующего ряда (относительно исходного) его сходимость. С другой стороны сходимость ряда будет происходить независимо от начальных условий задачи. Лучшее решение рядов может предложить только наш сервис сайт, потому что только мы гарантируем экономию вашего времени, соотнеся траты на вычисление с полезность и точностью результата. Поскольку искомая сумма ряда представима в большинстве случаев мажорирующим рядом, то как раз целесообразнее исследовать именно его. Отсюда сходимость ряда от мажорирующего общего члена однозначно укажет на сходимость основного выражения, и задача решится сама собой сразу же.. Преподаватели высших учебных заведений также могут использовать наше решение рядов онлайн и проверять работы своих подопечных курсантов. Для некоторого случая сумма ряда может быть вычислена в задаче для физики, химии или прикладной дисциплины, не застревая в рутинных вычислениях, чтобы не сбиться с основного направления при исследовании некоторого природного процесса. 2 можно сказать является классическим пример сходимости гармонического ряда на бесконечности. Что же все-таки означает выражение «сумма конечного ряда»? А это означает как раз, что он сходится и предел его частичных сумм имеет конкретное числовое значение. Если же подтвердится сходимость ряда и это повлияет на конечную устойчивость системы, то тогда возможно изменить входные параметры задачи и попробовать сделать заново. Напоследок хотим вам дать неявный на первый взгляд, но очень полезный на практике совет. Даже если вы имеет достаточный опыт в решении рядов и не нуждаетесь в подобных сервисах по решению рядов онлайн, приступить к нахождению суммы ряда мы предлагаем вам с определения сходимости ряда. Потратьте всего минуту на это действие, используя сайт, чтобы на протяжении всего вычисления суммы ряда просто держать этот факт в голове. Лишним не будет! О сумме ряда онлайн много написано на сайтах по математике, приложено много иллюстраций как в прошлом веке ученые обозначали символами выражения суммы ряда. 2 будет наоборот сходиться и примет конечное числовое выражение. Интересно изучать случаи, когда сумма конечного ряда представляется постепенно в виде промежуточных частичных сумм ряда при пошаговом увеличении переменной на единицу, а может и несколько единиц сразу. Проверку на сходимость ряда в онлайне рекомендуем делать после собственных решений заданий. Это позволит вам детально разобраться в теме и повысить свой уровень знаний. Не забывайте про это никогда, мы стараемся только для вас. Как-то на уроке учитель показал решение рядов онлайн с помощью вычислительной техники. Нужно сказать, что это всем понравилось изрядно. После этого случая калькулятор был востребован на всем курсе изучения математики. Лишним не будет проверить, как сумма ряда вычисляется калькулятором онлайн за несколько секунд после того, как вы запросите показать результат. Сразу станет понятно, в каком направлении стоит держать ход решения задачи. Поскольку о сходимости ряда в некоторых дорогих учебниках написано не много, то лучше скачать из Интернета несколько хороших докладов выдающихся ученых и пройти курс обучения по их методике. 2 будет представлена как знакопеременный ряд, то ничего страшного не случится — ведь абсолютный ряд то сходится! Ну и конечно сумма конечного ряда для вас может представлять особый интерес, когда вы изучаете эту дисциплину самостоятельно. Львиную долю примеров решают с помощью метода Даламбера и решение рядов при этом сводится к вычислению пределов, как отношение его соседних членов, а именно последующего на предыдущий. Поэтому желаем вам удачи в решении математики и пусть вы никогда не будете ошибаться! Возьмем за базовую основу так называемое решение рядов онлайн по направлению исследовательского разногласия причастности основополагающих принципов и научных межотраслевых направлений. Позвольте нам для вас найти ответ и рассказать утвердительно, что сумма ряда решается несколькими принципиально разными методами, но в конце концов результат один и тот же. Подсказка про сходимость ряда не всегда очевидна для студентов, даже если им заранее сказать ответ, хотя конечно это безусловно подталкивает их к правильному ходу решения. {\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac{1}{\sqrt{n}}> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}} >0$, то и $\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.

Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа , то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Заменим в выражении $\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ арктангенс на дробь $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. \infty \frac{n}{6n+1} $Решение

Ряд положительный, записываем общий член:

$$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$

Вычисляем предел при $ n \to \infty $:

$$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$

Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение:

$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$

Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

ОтветРяд расходится

Как решать числовые ряды: Примеры Вопросы и советы

Вопросы о числовых последовательностях проверяют вашу способность распознавать закономерности и манипулировать числами с помощью различных математических функций. Придется ли вам заполнять пропущенные числа или переставлять термины в соответствии с правилом, эти тесты номеров серий будут держать вас в напряжении.

Вопросы числового ряда обычно появляются в самых разных тестах на числовое мышление. Ниже вы найдете краткое описание различных типов числовых рядов, с которыми вы можете столкнуться, а также несколько примеров каждого числового ряда. Попробуйте свои силы в ответах на приведенные ниже вопросы и посмотрите наше полезное обучающее видео, чтобы немедленно приступить к подготовке к экзамену по психометрии.

 

Что такое числовой ряд?

Номерной ряд — это список номеров, размещение которых определяется по определенному правилу. Это правило может быть таким же простым, как сложение или умножение на один коэффициент, или может включать в себя сложную серию шагов. Некоторые серии даже требуют двух отдельных правил, которые используются попеременно.

 

Как решать вопросы серии?

Ваша задача — определить правило ряда, анализируя данные вам числа. Иногда ответ будет очевиден, но в большинстве случаев это не так. Если ваш единственный метод решения проблем — метод проб и ошибок, вы потратите много времени на догадки.

К счастью, серийные вопросы следуют предсказуемым шаблонам. Если вы знакомы с пятью наиболее распространенными моделями числовых рядов, то сможете быстро отсеивать возможные варианты, пока не придете к правильному ответу.

 

Простой арифметический числовой ряд

В арифметическом числовом ряду каждое число каждый раз либо увеличивается, либо уменьшается на одну и ту же величину. Эти серии относительно легко обнаружить. Вы всегда должны проверять, увеличивается или уменьшается ряд на постоянный коэффициент, прежде чем переходить к другим возможностям.

Вот два примера арифметических числовых рядов.

7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39…

21, 15, 9, 3, -3, -9, -15, -21…

 

Динамический арифметический ряд

В динамическом арифметическом ряду вы по-прежнему будете либо складывать, либо вычитать, но множитель каждый раз будет меняться. Например, вы можете добавить единицу к первому числу, чтобы получить второе число, а затем два ко второму числу, чтобы получить третье число. В качестве альтернативы вы можете добавить одно число к нечетным числам в ряду и другое число к четным числам в ряду. Обратитесь к приведенным ниже примерам, чтобы увидеть, как динамические арифметические ряды работают на практике.

1,2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56…

3, 9, 8, 7, 13, 5, 18, 3, 23, 1, 28, -1 …

 

Геометрический ряд

Геометрический ряд, в отличие от арифметического, имеет дело с умножением и делением.

2, 6, 18, 54, 162…

100, 50, 25, 12,5, 6,25…

 

Сложный ряд

Сложный ряд использует правило двух шагов. Например, сложный ряд может использовать как арифметические, так и геометрические принципы. Если кажется, что числа разделены случайным интервалом, но непрерывно увеличиваются, то у вас может быть сложный ряд.

1, 5, 13, 29, 61…

Здесь правило 2x+3. Вы должны удвоить каждое число, а затем добавить три, чтобы найти следующее число.

 

Расширенная серия

Расширенная серия креативна и несколько непредсказуема. Они могут использовать показатели степени или другие математические функции. Они также могут быть динамическими. Возьмем, к примеру, последовательность Фибоначчи. В последовательности Фибоначчи каждое число является суммой двух предыдущих.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

К сожалению, в продвинутых сериях нет правил. Если вы сдаете психометрический экзамен, вы можете обнаружить, что продвинутые серии сбивают вас с толку. Если вы знаете, что этот ряд не является ни арифметическим, ни геометрическим рядом, вам, возможно, придется начать мыслить нестандартно.
 

Как подготовиться к тесту числовых рядов?

Если вы выпускник или ищете работу и готовитесь к оценке способностей перед приемом на работу, вам нужно убедиться, что вы можете распознать все стандартные серии. Вам не придется тратить много времени на определение арифметических или геометрических рядов, независимо от того, простые они или динамические. Таким образом, у вас есть время, чтобы составить комплексный ряд чисел.

Когда вы переходите к продвинутому номерному ряду, нет установленных правил. (Совет: если вы исключили все другие возможности, проверьте, как каждый термин соотносится с двумя предыдущими.) , а затем посмотрите полезный видеоурок. Когда вы закончите, перейдите на вкладку онлайн-вопросов и ознакомьтесь с примерами числовых серий, которые мы создали специально для вас.

 

Полезное видео:

 

Бесплатные примеры вопросов:

1. Найдите пропущенное число в следующем ряду.
   3, 4, 0, 8, Х, 16, -6, 32
2. Закончите серию ниже. 4, 2, -4, -22, -76…

 
 

Ответы:

1. -3
2. -238: (3X-10)

 

Практика тестирования числовых рядов

Обоснование числовых рядов, основные понятия и примеры решений Здесь!

В рассуждениях о рядах чисел ряд — это последовательный порядок букв, чисел или того и другого, расположенных таким образом, что каждый член ряда получается в соответствии с определенными правилами. Эти правила могут быть основаны на математических операциях, расположении букв в алфавитном порядке и так далее.

В вопросах, связанных с разделом логических рассуждений о рядах чисел, будет дана определенная последовательность или порядок букв, чисел или их комбинации, в которых будет отсутствовать один из терминов, таких как буква/число/буква и номер ряда либо в конце серии, либо между сериями. Кандидатам необходимо определить закономерность, связанную с формированием ряда, и, соответственно, найти недостающий член, чтобы завершить ряд.

На различных государственных экзаменах регулярно задаются вопросы, основанные на рядах чисел, поэтому кандидаты должны обладать необходимыми знаниями, чтобы пройти этот раздел логических рассуждений.

Содержание

• Что такое рассуждение числового ряда?
• Типы числовых серий 
• Как решить вопрос, основанный на числовых сериях – знание всех советов и приемов 
• Примеры вопросов по числовым сериям
• Экзамены, где числовые серии являются частью учебного плана
• Часто задаваемые вопросы о рассуждении числовых рядов

Что такое рассуждения числовых рядов?

Серия чисел — это последовательность чисел, следующих некоторому шаблону. Кандидатам необходимо найти пропущенное или неправильное число в предложенном ряду. Могут возникнуть вопросы, в которых один из терминов в данном ряду будет неправильным, и кандидатам необходимо выяснить этот член ряда, определив закономерность, участвующую в формировании ряда.

Нет установленного шаблона, и каждый вопрос может соответствовать другому типу шаблона или последовательному расположению букв или цифр, которые кандидаты должны определить, используя свой здравый смысл и способность рассуждать. На основе различных типов вопросов, которые задают на различных конкурсных экзаменах, мы классифицировали раздел рассуждений о числовых рядах на несколько типов, которые приведены ниже.

Типы числовых рядов 

Давайте рассмотрим различные типы вопросов, которые могут поступать один за другим снизу.

1. Ряд сложений

В этом типе рассуждений о рядах чисел для получения следующего числа добавляются определенные числа на основе некоторого шаблона.

2. Ряд вычитания 

В этом типе рассуждений о числовых рядах для получения следующего числа вычитаются определенные числа, основанные на некоторой закономерности.

3. Ряд умножения 

В этом типе рассуждений о числовых рядах определенный тип числового шаблона умножается, чтобы получить следующее число.

4. Серии делений 

В этом типе рассуждений о числовых рядах определенный тип числового шаблона делится для получения следующего числа.

5. Квадратный ряд 

В этом типе рассуждений о числовых рядах каждое число является полным квадратом определенного числового шаблона.

6. Серия кубов 

В этом типе рассуждений о числовых рядах каждое число является совершенным кубом определенного числового шаблона.

7. Ряд Фибоначчи 

В этом типе рассуждений о числовых рядах следующее число является сложением двух предыдущих чисел.

8. Чередующиеся ряды 

В этом типе рассуждений о числовых рядах для формирования ряда попеременно используются несколько шаблонов чисел.

9. Смешанный ряд операторов 

В этом типе рассуждений о рядах чисел применяется несколько операторов для получения следующего числа в ряду.

10. Расстановка чисел 

В этом типе рассуждений о числовых рядах кандидаты должны переставить числа, как указано, а затем ответить на заданные вопросы.

Ознакомьтесь с более подробной информацией о решении проблем и их обосновании

Как решить вопрос на основе числового ряда – все советы и рекомендации 

Кандидаты могут найти различные советы и рекомендации по решению вопросов, связанных с разделом рассуждений о числовых рядах.

Совет № 1:  Кандидатам необходимо найти процесс, связанный с данной последовательностью, такой как сложение, вычитание, умножение, деление и т. д., чтобы найти правильный ответ.

Совет № 2: Для упорядочивания рядов типовых номеров кандидаты должны изменить заданный ряд, используя различные процессы, чтобы найти правильный ответ.

Узнайте больше о головоломках

Примеры вопросов для числового ряда

Вопрос 1: 3, 6, 11, 18, 27, ?, 51 (на основе последовательностей сложения)

Решение:

Решение: серии заключается в следующем.

3 + 3 = 6

6 + 5 = 11

11 + 7 = 18

18 + 9 = 27 

27 + 11 = 38

38 + 13 = 51

Следовательно, правильный ответ 38.  

Вопрос 2: 50, 45, 40, 35, 30, ? (на основе ряда вычитания)

Решение: Решение ряда выглядит следующим образом.

50 — 5 = 45

45 — 5 = 40

40 — 5 = 35

35 — 5 = 30

30 — 5 9000

595

5 9000 9000 9000 3 9000

5

5 9000 9000 3 9000

5 9000 9000 3 9000 9000 9000 3 9000 9000 9000 9000 3 9000 9000

. ответ 25.

Вопрос 3: 5, 11, 24,2, 53,24, ?, 257,6816 (на основе ряда умножения)

Решение: Решение ряда выглядит следующим образом.

5 x 2.2 = 11

11 x 2.2 = 24.2

24.2 x 2.2 = 53.24

53.24 x 2.2 = 117.128

117.128 x 2.2 = 257.6816

Hence, the правильный ответ 117.128.

Получить подробную информацию об обосновании принятия решений

Вопрос 4: 4096, 1024, 256, ?, 16, 4 (на основе серий деления)

Решение: Решение ряда выглядит следующим образом. 2 = 493 = 1000

Следовательно, правильный ответ 512.

Вопрос 7: 12, 13, 25, 38, ?, 101, 164 (на основе ряда Фибоначчи)

Решение: Решение ряда составляет.

12

13

25 = 12 + 13

38 = 13 + 25

63 = 25 + 38

101 = 38 + 63

164 = 101 + 63

Следовательно, правильный ответ — 63.

Вопрос 8: 2, 29, 4, 25, 6, ?, 8, 17 (на основе чередующихся рядов) 92 – 2) = 215

Следовательно, правильный ответ 117.

Вопрос 10: Сколько цифр в числе 381576 останется прежним, если расположить число в порядке возрастания?

Решение:

Исходная числовая форма: 3 8 1 5 7 6

Восходящая форма: 1 3 5 6 7 8 тогда мы увидим, что позиция только числа остается прежней или неизменной, то есть числа 7. 

Следовательно, правильный ответ — Один.

Ознакомьтесь с более подробной информацией в разделе «Утверждение и аргументация»

Экзамены, на которых числовой ряд является частью учебной программы

Вопросы, основанные на разделе рассуждений числового ряда, часто возникают на различных престижных государственных экзаменах, некоторые из них приведены ниже.

• Экзамены для банков (PO и клерков)
• SSC (CGL, 10+2, Steno, FCI, CPO, Multitasking)
• LIC (AAO и ADO)
• RRB
• UPSC 
• Государственные экзамены PSC 

Ознакомьтесь с более подробной информацией о других темах по рассуждениям:

Мы надеемся, что вы нашли эту статью, касающуюся раздела рассуждений о числовых рядах, информативной и полезной, и, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас есть какие-либо сомнения или запросы относительно того же. Вы также можете скачать абсолютно бесплатное приложение Testbook и начать подготовку к любому государственному конкурсному экзамену, пройдя пробные тесты перед экзаменом, чтобы улучшить свою подготовку.

Часто задаваемые вопросы об обосновании числового ряда

В.1 Что такое обоснование числового ряда?

Ответ 1

Число Рядом называется последовательность чисел, следующих некоторому образцу. Кандидатам необходимо найти пропущенное или неправильное число в предложенном ряду.

Q.2 Сколько существует типов логических вопросов числового ряда?

Ответ 2

Типы вопросов, основанных на рассуждении числовых рядов, которые возникают на различных государственных экзаменах, приведены выше в статье. Пожалуйста, прочитайте статью для того же.

В.3 Где я могу получить советы и рекомендации по разделу рассуждений о числовых рядах?

Ответ 3

Некоторые советы и рекомендации, касающиеся раздела рассуждений о числовых рядах, приведены выше в статье.

В.4 Где я могу найти примеры вопросов, связанных с рассуждениями о числовых рядах?

Ответ 4

Различные примеры вопросов вместе с их решениями приведены выше в статье. Пожалуйста, прочитайте статью для того же.

В.5 На каких экзаменационных вопросах возникают вопросы по рассуждениям о числовых рядах?

Ответ 5

Некоторые из престижных экзаменов, на которых вопросы, основанные на рассуждениях числового ряда, включены в программу логического рассуждения, приведены выше в статье.

Решите сотни вопросов в Testbook БЕСПЛАТНО!

Решайте вопросы для произвольной практики в тестовой тетради

Скачать публикацию в формате PDF

Еще на testbook.com

Аналогия: ключевые понятия, примеры решений и советы по подготовке
Заявление и курс действий: ключевые понятия, примеры решений и советы по подготовке
Заявление и заключение: ключевые понятия, примеры решений и подготовка Советы
Заявление и предположение: ключевые понятия, примеры решений и советы по подготовке
Расположение сидячих мест: основные понятия, примеры решений и советы по подготовке

Числовой ряд: основная концепция, типы, советы и приемы для определения модели последовательности

Практический тест по этой теме или алфавиты. Последовательность чисел, которые следуют определенному шаблону, называется числовым рядом. В вопросах числового ряда некоторые определенные заранее определенные правила скрыты, и кандидат должен найти это скрытое правило, чтобы получить правильный ответ.

Например, рассмотрим 1, 4, 7, 10, 13….. Здесь разница между последовательными числами равна трем. Важно отметить, что в числовых рядах каждое число, кроме первого, связано с предыдущим числом по определенному правилу.

Типы числовых серий

Существует множество типов числовых серий. Некоторые из них объясняются ниже:

Арифметический ряд: В этом типе ряд развивается путем сложения или вычитания определенных чисел. Здесь РАЗНИЦА между любыми последовательными членами не очень велика, специфически возрастает и постоянна на протяжении всего ряда.

Пример: 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65

Геометрический ряд: В этом типе ряд развивается путем сложения или вычитания определенных чисел. Здесь ОТНОШЕНИЕ между любыми последовательными членами велико, возрастает специфическим образом и остается постоянным на протяжении всего ряда.

Пример: 4, 12, 36, 108, 324, 972

Арифметико-геометрическая серия: Как следует из названия, эта серия представляет собой комбинацию арифметической и геометрической серий. Важным свойством таких рядов является то, что РАЗНИЦА последовательных членов находится в геометрическом ряду.

Пример: 1, 8, 22, 50, 106, 218

Серия продуктов: В этом типе серий каждый член умножается на фиксированное число или определенную числовую последовательность, чтобы получить следующее последовательное число . Это может быть следующих типов:

• Умножение предыдущего числа на фиксированное число

Пример: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

• Умножение предыдущего числа на следующее уменьшающееся число

Пример: 30, 180, 900, 3600, 10800, 21600

• Умножение предыдущего числа на следующее возрастающее число

Пример: 21, 105, 630, 4410, 35280

Разностный ряд: Разностный ряд может быть дополнительно классифицирован как

• Числовой ряд с постоянной разницей, между которой всегда есть постоянная разница. два последовательных числа.

Пример: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

• В числовом ряду с возрастающей или убывающей разницей разница между двумя последовательными числами увеличивается или уменьшается

Пример: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22

Здесь разница увеличивается слева направо

• последовательные числа уменьшаются

Пример: 7, 16, 24, 31, 37, 42

Здесь разница уменьшается слева направо номер или определенный шаблон номера, чтобы получить следующий последовательный номер.

Пример: 128, 64, 32, 16, 8

Квадратный или кубический ряд: Этот тип числового ряда развивается путем возведения чисел в квадрат или куба.

Пример: 4, 16, 36, 64, 100 (квадрат)

Пример: 1, 8, 64, 125, 216, 343 (Кубинг)

Смешанная серия: в. В этом типе задействовано более одного шаблона серии. Обычно такие вопросы немного сложны.

Пример: 61, 72, 60, 73, 59, 74, 58, 75

Практический тест по этой теме0521

Вопросы серии номеров часто встречаются на любом конкурсном экзамене. Кандидаты могут получить хорошие оценки, имея только базовые знания по математике. Эти вопросы относительно просты, если кандидат может найти скрытое правило. Здесь Studyandscore предоставляет вам основные советы и рекомендации по решению вопросов, связанных с числовыми сериями. После прочтения этой статьи нажмите ниже, чтобы просмотреть и попрактиковаться в наших тестах.

Давайте рассмотрим типы вопросов о числовых рядах и приемы их решения

Уловка 1: поиск недостающего члена в ряду

В этих вопросах кандидат должен найти пропущенный член в данном числовом ряду.

Например: Найдите число, которое должно стоять вместо знака вопроса в приведенном ниже ряду

17, 19, 25, 37, ?, 87 Итак, 57 приходит вместо (?)

Практический тест по этой теме

Уловка 2: определение нечетного числа в заданном ряду

В этих вопросах один из номеров не соответствует определенному правилу, которому следуют все остальные номера серии. Кандидаты должны определить это нечетное число.

Например: Найдите нечетный член в следующем заданном ряду

13, 16, 21, 27, 39, 52, 69

Данный числовой ряд соответствует следующему шаблону:

Итак, 27 — нечетный член в данном ряду

Уловка 4: поиск значения неизвестного члена в заданном выражении

В этих вопросах сначала нужно найти значение пропущенного члена. Затем по этому значению найти значение неизвестной переменной в данном выражении. Такого рода вопросы относительно немного сложны.

Например: Найдите значение ‘n’ в данном ряду и, используя это значение ‘n’, найдите значение x в данном выражении..

68, 68.5, 69.5, 71, н, 75.5, 78.5. Замените значение ‘n’ в выражении n×121+x=10000

Данный числовой ряд соответствует следующему шаблону:

68+0,5= 68,5

68,5+1= 69,5

69,5+1,5= 71

71+2= 73

73+2,5= 75,5

75,5+3= 78,5

Итак, n= 73

⇒ 73×121+x=10000

⇒ 8833+x=10000

⇒ x=10000-8833=1167

Практический тест по этой теме  

Уловка 5: Поиск недостающих членов в ряду по отношению к другому заданному ряду

В этих вопросах даны две модели серий. Узор второй серии такой же, как и первой серии. Основываясь на первой серии, кандидат должен найти неизвестный термин во второй серии.

Например: В серии-1 неправильно только одно число. Если неправильное число исправлено, серия устанавливается по определенной логике. Завершите серию-2 с той же логикой и найдите, что придет вместо (с)?

Серия 1	5	9	25	91	414	2282,5
Серия 2	3	и	б	с	д	и

Данная числовая серия 1 следует логике

⇒ 5×1,5+1,5= 7,5+1,5= 9

⇒ 9 × 2,5+2,5 = 22,5+2,5 = 25

⇒ 25 × 3,5+3,5 = 87,5+3,5 = 91

⇒ 91 × 4,5+4,5 = 409,5+4,5 = 414

⇒ 414 × 5,5+5,5,5+4,5 = 414

⇒ 414 × = 2277+5,5= 2282,5

Аналогично ряду 2

(а)⇒ 3×1,5+1,5= 4,5+1,5= 6

(б)⇒ 6×2,5+2,5= 15+2,5= 17,5

00002 c)⇒ 17,5×3,5+3,5= 6125+3,5= 64,75

Практический тест по этой теме

 

Техника распознавания скрытых чисел

0585 НА ОСНОВЕ РАЗНИЦЫ МЕЖДУ ДВУМЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ СЕРИИ

Разница между двумя последовательными сроками одинакова

Например:

2→+57→+512→+51735→-827→-819→-811

Разница между двумя последовательными терминами в арифметической прогрессии (AP)

Например:

15→+1126→+1642→+216334→-925→-718→-513

*Здесь 11, 16, 21 находятся в AP в примере 1, тогда как -9, -7, -5 в AP примере 2.

Разница между двумя последовательными терминами является полным квадратом

Например:

7→+3216→+5241→+729070→-4254→-3245→-2241

Разница между двумя последовательными терминами кратна числу

Например:

11→+1223→+2447→+4895204→-44106→-33127→-22105

* Здесь 12, 24, 48 кратны 12 в примере 1, а -44, -33, -22 кратны 11 в примере 2.

Разница между двумя последовательными членами является совершенным кубом

Например:

7→+2315→+3342→+43106121→-4357→-3330→-2322

Разница между двумя последовательными терминами выражена в геометрической прогрессии (ГП)

Например:

1→+12→+35→+914→+274133→-1617→-89→-45→-23

*Здесь 1, 3, 9, 27 находятся в GP в примере 1, тогда как -16, -8, -4, -2 в GP примере 2.

Практический тест по этой теме

НА ОСНОВЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ СЕРИИ

Соотношение между двумя последовательными терминами одинаковое Например: 3→×515→×575→×537532→÷216→÷28→÷24

Отношение между двумя последовательными терминами является простым числом Например: 5→×115→×230→×390→×5450770→÷1170→÷710→÷52 *Здесь 2, 3, 5 — простые числа в примере 1, а 11, 7, 5 — простые числа в примере 2.

Отношение между двумя последовательными сроками в арифметической прогрессии (AP) Например: 2→×24→×416→×696420→÷584→÷421→÷37 *Здесь 2, 4, 6 находятся в AP в примере 1, тогда как 5, 4, 3 в AP примере 2.

Отношение двух последовательных членов равно полному квадрату Например: 3→×2212→×42192→×62691244100→÷72900→÷5236→÷324

Отношение между двумя последовательными терминами кратно числу Например: 5→×210→×440→×8320972→÷9108→÷618→÷36 * Здесь 2, 4, 8 кратны 2 в примере 1, тогда как 9, 6, 3 кратны 3 в примере 2.

Соотношение между двумя последовательными членами является совершенным кубом Например: 2→×132→×3354→×53675013824→÷43216→÷338→÷231

Отношение между двумя последовательными терминами в геометрической прогрессии (ГП) Например: 1→×11→×22→×48→×864729→÷2727→÷93→÷31 *Здесь 1, 3, 9, 27 в GP в примере 1, где -16, -8, -4, -2 в GP в примере 2. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт