Что называется синусом косинусом тангенсом острого угла: Что называется синусом косинус им тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Содержание

«синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника».

МОБУ Городская Классическая Гимназия

Открытый урок по математике (геометрия) 8 класс

по теме: «синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

Цель урока:

Ввести понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, ознакомить учащихся с основным тригонометрическим тождеством и показать его применение в процессе решения задач.

Этапы урока:

Организационный момент (2 минута).
Проверка домашнего задания (5 минуты)
Актуализация опорных знаний (5 минут).
Сообщение темы урока, постановка его целей (2 минуты).
Изучение нового материала (15 минут).
Решение упражнений (12 минут).
Подведение итогов урока (5 минут).
Домашнее задание (1 минута).

Ход урока:

1. Организационный момент.

(готовность к уроку, отсутствующие, учитель проверяет наличие домашнего задания, спрашивает не было ли трудностей при выполнении домашнего задания, запись числа, классной работы)

2. Проверка домашнего задания.

Учащимся задано на дом следующее задание: № 606, 607, 628, 629. Повторить свойства прямоугольного треугольника.

Учащиеся обмениваются своими тетрадями с соседями по парте и проверяют с моей помощью домашнее задание, оценивают работу соседа, ставят оценку за работу.

3. Актуализация опорных знаний

Провести общий анализ самостоятельной работы, решить задачи, с которыми не справилось большинство учащихся. Провести работу над ошибками: на интерактивной доске записаны готовые ответы и указания к задачам самостоятельной работы. Ученики находят и исправляют свои ошибки. Учитель по мере необходимости оказывает индивидуальную помощь.

4. Сообщение темы и целей урока.

Учитель сообщает тему урока, ученики записывают ее в тетрадь. Учитель сообщает цели урока.

5. Изучение нового материала.

Учитель вводит понятие катетов, прилежащих и противолежащих углу.

Вводится понятие синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника, их обозначения.

Определения:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

На доске и в тетрадях рисунок и запись:

– катет, прилежащий ,

– катет, противолежащий .

Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса с помощью микрокалькулятора.

Вывод формулы

а) ,

б) .

Показать, что последнее равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

6. Решение упражнений.

Задача: доказать, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого треугольника, то синусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Наводящие вопросы:

— если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого треугольника, то что можно сказать про эти треугольники?

— что можно сказать про об отношениях их сходственных сторон?

— что называют основным свойством пропорции?

— что можно сказать об отношении противолежащего катета к гипотенузе?

7. Итоги урока.

Самостоятельная работа

1 ВАРИАНТ

1. В треугольнике угол прямой, , . Найдите .

2. Катеты прямоугольного треугольника равны и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике катет , а высота , опущенная на гипотенузу, равна . Найдите синус .

2 ВАРИАНТ

1. В треугольнике угол прямой, , . Найдите .

2. Катеты прямоугольного треугольника равны и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике катет , а высота , опущенная на гипотенузу, равна . Найдите синус .

8. Домашнее задание:

1. П. 68, вопросы 15–17 (учебник, стр. 159).

2. Решить задачу № 73 (рабочая тетрадь).

3. Решить задачи № 591 (в, г), 592 (б, г, е), 593 (в, г).

Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

КАК ПРОХОДЯТ
ОНЛАЙН-ЗАНЯТИЯ?

Ученик и учитель видят и слышат
друг друга, совместно пишут на
виртуальной доске, не выходя из
дома!

КАК ВЫБРАТЬ репетитора

Выбрать репетитора самостоятельно

ИЛИ

Позвонить и Вам поможет специалист

8 (800) 333 58 91

* Звонок является бесплатным на территории РФ
** Время приема звонков с 10 до 22 по МСК

ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Россия +7Украина +380Австралия +61Белоруссия +375Великобритания +44Израиль +972Канада, США +1Китай +86Швейцария +41

Выбранные репетиторы

Заполните форму, и мы быстро и бесплатно подберем Вам дистанционного репетитора по Вашим пожеланиям.
Менеджер свяжется с Вами в течение 15 минут и порекомендует специалиста.

Отправляя форму, Вы принимаете Условия использования и даёте Согласие на обработку персональных данных

Вы также можете воспользоваться
расширенной формой подачи заявки

Как оплачивать и СКОЛЬКО ЭТО СТОИТ

от
800 до 5000 ₽

за 60 мин.

и зависит

ОТ ОПЫТА и
квалификации
репетитора

ОТ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ
(например, подготовка к олимпиадам, ДВИ стоит дороже, чем подготовка к ЕГЭ)

ОТ ПРЕДМЕТА (например, услуги репетиторовиностранных языков дороже)

Оплата непосредственно репетитору, удобным для Вас способом

Почему я выбираю DisTTutor

БЫСТРЫЙ ПОДБОР
РЕПЕТИТОРА И
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД

ОПТИМАЛЬНОЕ
СООТНОШЕНИЕ ЦЕНЫ И
КАЧЕСТВА

ПРОВЕРЕНЫ ДОКУМЕНТЫ ОБ ОБРАЗОВАНИИ У ВСЕХ РЕПЕТИТОРОВ

НАДЕЖНОСТЬ И ОПЫТ.
DisTTutor на рынке с 2008 года.

ПРОВЕДЕНИЕ БЕСПЛАТНОГО, ПРОБНОГО УРОКА

ЗАМЕНА РЕПЕТИТОРА, ЕСЛИ ЭТО НЕОБХОДИМО

376487 УЧЕНИКОВ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
уже сделали свой выбор

И вот, что УЧЕНИКИ ГОВОРЯТ
о наших репетиторах

Чулпан Равилевна Насырова

Я очень довольна репетитором по химии. Очень хороший подход к ученику,внятно объясняет. У меня появились сдвиги, стала получать хорошие оценки по химии. Очень хороший преподаватель. Всем , кто хочет изучать химию, советую только её !!!

Алина Крякина

Надежда Васильевна Токарева

Мы занимались с Надеждой Васильевной по математике 5 класса. Занятия проходили в удобное для обоих сторон время. Если необходимо было дополнительно позаниматься во внеурочное время, Надежда Васильевна всегда шла навстречу. Ей можно было позванить, чтобы просто задать вопрос по непонятной задачке из домашнего задания. Моя дочь существенно подняла свой уровень знаний по математике и начала демонстрировать хорошие оценки. Мы очень благодарны Надежде Васильевне за помощь в этом учебном году, надеемся на продолжение отношений осенью.

Эльмира Есеноманова

Ольга Александровна Мухаметзянова

Подготовку к ЕГЭ по русскому языку мой сын начал с 10 класса. Ольга Александровна грамотный педагог, пунктуальный, ответственный человек. Она всегда старается построить занятие так, чтобы оно прошло максимально плодотворно и интересно. Нас абсолютно все устраивает в работе педагога. Сотрудничество приносит отличные результаты, и мы его продолжаем. Спасибо.

Оксана Александровна

Наталья Борисовна Карасева

Мы восторге от репетитора. Наталья Борисовна грамотный педагог, она любит свою профессию, любит учеников. Занятия с сыном (2 класс), он находится на домашнем обучении, проходят по скайпу в комфортной обстановке. Репетитор умеет заинтересовать ребенка и выстраивает занятие с учетом его способностей, доступно объясняя предметы русский язык и математику. По результатам занятий можно сразу заметить повышение уровня успеваемости ученика. Наталья Борисовна хороший педагог, умеет быстро найти общий язык с ребенком, внимательная, легко передающая знания ученику. С большим удовольствием будем продолжать наши занятия, т.к. мы всем довольны.

Елена Васильевна

Клиентам

Репетиторы по математике
Репетиторы по русскому языку
Репетиторы по химии
Репетиторы по биологии
Репетиторы английского языка
Репетиторы немецкого языка

Репетиторам

Регистрация
Публичная оферта
Библиотека
Бан-лист репетиторов

Партнеры

ChemSchool
PREPY. RU
Class

Определения тригонометрических функций острого угла.

Темы | Дом

Две теоремы

ПЕРЕД ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ мы должны увидеть, как соотносятся углы и стороны прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник состоит из прямого угла, угла С и двух острых углов, которые меньше прямого угла. Острые углы принято обозначать греческими буквами. Мы обозначим угол при B буквой θ («THAY-ta»). А угол при А обозначим буквой φ («фи»).

Что касается сторон, то сторона АВ, противоположная прямому углу, называется гипотенузой («ги-ПОТ’н-юос»). Каждый острый угол образован гипотенузой и катетом, прилежащим к углу. Таким образом, угол θ образован гипотенузой и стороной BC. Угол φ образован гипотенузой и стороной АС.

Однако по отношению к углу θ сторона AC является его противоположной стороной. А сторона BC — это сторона, противоположная φ.

Соотношения сторон

Любые две стороны треугольника будут иметь отношение друг к другу. Таких соотношений можно составить шесть: противолежащая сторона к гипотенузе; примыкающая сторона к противоположной; и так далее. Эти шесть соотношений имеют исторические названия и сокращения, с которыми ученику придется смириться. Они следующие.

синус θ	=	sin θ	=	напротив гипотенуза	косеканс θ	=	csc θ	=	гипотенуза противоположная

косинус θ	=	потому что θ	=	соседний гипотенуза	секанс θ	=	сек θ	=	гипотенуза примыкающая

тангенс θ	=	загар θ	=	напротив рядом	котангенс θ	=	детская кроватка θ	=	рядом напротив

Обратите внимание, что каждое отношение в правом столбце является обратной величиной отношения в левом столбце.

Обратная величина sin θ равна csc θ ; и наоборот.

Обратная величина cos θ равна sec θ.

И обратное значение tan θ равно cot θ.

В следующей теме мы увидим, что значение каждого отношения зависит только от значения острого угла. Поэтому мы говорим, что каждое отношение является функцией острого угла. Поэтому мы называем шесть отношений тригонометрическими функциями острого угла. Вся тригонометрия основана на определениях этих функций.

Задача 1. Дополните следующие слова словами «противоположный», «примыкающий к» или «гипотенуза».

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).

а) В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется

а) гипотенуза.

б) СА называется боковой противоположный угол θ.

в) БК называется стороной смежный с углом θ.

г) АС называется стороной смежный с углом φ.

д) БК называется стороной противоположный угол φ.

Задача 2. Стороны прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4 : 5, как показано на рисунке. Назовите и оцените шесть тригонометрических функций угла θ.

sin θ

4
5

csc θ

5
4

потому что θ

3
5

сек θ

5
3

желтовато-коричневый θ

4
3

детская кроватка θ

3
4

Задача 3. Стороны прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15 : 17, как показано на рисунке. Назовите и оцените шесть тригонометрических функций угла φ.

sin φ

15
17

csc φ

17
15

cos φ

8
17

сек φ

17
8

загар φ

15
8

детская кроватка φ

8
15

Обратите внимание, что стороны этого треугольника удовлетворяют, как и должно быть, теореме Пифагора:

8 ² + 15 ²	=	17 ²

64 + 225	=	289

Задача 4. Прямая образует угол θ с осью x . Значение

какой функции от θ равен его наклону?

Две теоремы.

Теорема 1. Площадь треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения синуса любого угла на произведение двух сторон, составляющих угол .

В частности:

Площадь треугольника ABC = ½ sin A до н.э. = ½ кб sin A.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. В треугольнике ABC основание равно 90 331 c 90 332, а высота 90 331 h 90 332. Затем

Площадь = ½ ch .

Сейчас,

sin А = ч/б ,

так что

ч = б грех А.

Поэтому в выражении для площади замените h на b sin A:

Площадь = ½ c b sin A.

Что мы и хотели доказать.

Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников.

Подобные треугольники относятся друг к другу как квадраты, нарисованные
на соответствующих сторонах.

Если треугольники подобны, то в какой бы множитель ни изменилась сторона и , стороны b и c изменятся во столько же раз. Пропорционально,

Следовательно, согласно теореме 1, площадь треугольника слева имеет следующее отношение к площади треугольника справа:

Но площади квадратов на соответствующих сторонах имеют такое же отношение.

Таким образом, подобные треугольники относятся друг к другу как квадраты, нарисованные на соответствующих сторонах.

Что мы и хотели доказать.

Следующая тема: Тригонометрия прямоугольных треугольников

Темы | Дом

Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: teacher@themathpage. com

Синус, косинус и тангенс острых углов в прямоугольных треугольниках

5.1

Синус, косинус и тангенс острых углов в прямоугольных треугольниках

9\circ}\) угол.

b) Смежная сторона и противоположная сторона меняются в зависимости от положения упомянутого острого угла.

Острые углы в прямоугольных треугольниках

Дан фиксированный острый угол в прямоугольных треугольниках разных размеров:

а) Отношение длины противолежащего катета к гипотенузе есть константа.

б) Отношение длины прилежащего катета к гипотенузе есть константа.

в) Отношение длины противоположной стороны к длине прилежащей стороны является константой.

Синус, косинус и тангенс

\(\text{Синус}=\dfrac{\text{Противоположная сторона}}{\text{Гипотенуза}}\)

\(\text{Косинус}=\dfrac{\text{Смежная сторона}}{\text{Гипотенуза}}\)

\(\text{Касательная}=\dfrac{\text{Противоположная сторона}}{\text{Смежная сторона}}\)

Изменение размера углов

Чем больше размер острого угла:

а) тем больше значение синуса и его значение приближается к \(1\).

b) тем меньше значение косинуса и его значение приближается к \(0\).

c) чем больше значение тангенса.

Пример 92} \\\\&=\sqrt{289} \\\\&= 17 \text{см}. \конец{выровнено}\)

б) \(\text{sin}\угол PRQ\)

\(\begin{align} \text{sin}&=\dfrac{\text{напротив}}{\text{гипотенуза}} \\\\&=\dfrac{PQ}{PR} \\\\& =\dfrac{15}{17}.\end{выровнено}\)

c) \(\text{cos}\угол PRQ\)

\(\begin{align} \text{cos}&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{гипотенуза}} \\\\&=\dfrac{QR}{PR} \\\\& =\dfrac{8}{17}.\end{aligned}\)

d) \(\text{tan }\угол QPR\)

\(\begin{align} \text{tan}&=\dfrac{\text{напротив}}{\text{смежный}} \\\\&=\dfrac{QR}{PQ} \\\\& =\dfrac{8}{15}. \end{выровнено}\)

Связь между синусом, косинусом и тангенсом:

Пример

Учитывая, что \(\text{sin}\theta=0,6\) и \(\text{cos}\theta=0,8\).

Каково значение \(\text{tan }\theta\)?

\(\begin{align} \text{tan} \theta&=\dfrac{\text{sin}\theta}{\text{cos}\theta} \\\\&=\dfrac{0.6}{ 0,8} \\\\&=\dfrac{3}{4} \\\\&=0,75. \end{выровнено}\)

Пример

На приведенном ниже рисунке показан прямоугольный треугольник \(PQR\).

Учитывая, что \(PR= 20 \text{ см}\) и \(\text{sin } \angle QPR= \dfrac{3}{5}\).

«синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника».

Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

Определения тригонометрических функций острого угла.

Синус, косинус и тангенс острых углов в прямоугольных треугольниках

Добавить комментарий Отменить ответ