Что получается при умножении: Как называются при умножении и делении данные числа и число, которое получается в результате выполнения действия?

Умножение | Математика

Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.

Определение умножения

Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.

Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.

Умножение есть сложение равных слагаемых.

Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.

В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.

Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.

Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.

Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.

Множимое и множитель вместе называются производителями.

При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать

7 + 7 + 7

пишут при помощи знака умножения короче:

7 × 3 или 7 · 3

Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.

Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).

Связь между данными и искомым числом выражается в умножении

письменно:

7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21

словесно:

семь, умноженное на три, составляет 21.

Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза

21 = 7 + 7 + 7

Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза

3 = 1 + 1 + 1

Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.

Основное свойство произведения

Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.

Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:

Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.

Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.

Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора

Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.

Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).

Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.

Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде

Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.

Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:

Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Умножение многозначного числа на однозначное

Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.

Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых

следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.

При этом ход вычислений выражают словесно:

1. Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).

2. Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.

3. Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.

4. Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.

Это действие выразится письменно:

Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:

1. Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.

2. Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.

3. Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.

4. Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.

5. Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.

Умножение чисел на 10, 100, 1000 …

Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.

Этого достигают, приписывая к числу два нуля.

Отсюда заключаем:

Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.

Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:

Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.

Умножение на число с нулями в конце

Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.

Ход вычисления выразится письменно:

Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.

Умножение многозначного числа на многозначное

Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.

Три произведения

называются частными произведениями.

Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Найдем величины этих трех частных произведений.

1. Умножая 3029 на 9, находим:

    3029
   ×   9 
   27261 первое частное произведение

2. Умножая 3029 на 20, находим:

    3029
   ×   20 
    60580 второе частное произведение

3. Умножая 3026 на 400, находим:

    3029
   ×   400 
   1211600 третье частно произведение

Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:

Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.

Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:

В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры.

Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.

Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:

Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.

Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.

Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,

1. нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.

2. Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.

3. Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.

4. Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.

Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.

Пример. Найти произведение 342 на 2700.

Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.

Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35

Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:

2700 × 35000 = 94500000.

Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).

Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы

.

В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.

Степени

Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:

2 × 2 = 4,    3 × 3 = 9.

Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.

В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.

Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.

Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.

Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.

Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.

Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.

Умножение и деление натуральных чисел — правила и примеры для 5 класса » Kupuk.net

Одними из самых простых операций в математике являются умножение и деление натуральных чисел. В 5 классе после изучения арифметических действий школьников учат приёмам нахождения произведения и частного. Это знания, на которых базируется не только алгебра, геометрия, физика, химия, информатика, но даже и гуманитарные науки. Пожалуй, эти умения используются на практике больше любых других, полученных при обучении в средней школе.

Общие сведения

Математические вычисления сопровождают человека на всём протяжении его жизни. Когда произносится слово «число», имеется в виду определённый символ, определяющий количество чего-либо. Существуют различного вида выражения, например, целые, дробные, логарифмические. Но самыми простыми являются натуральные. Своё название они получили из-за применения в повседневной жизни. Их используют для счёта и определения порядка.

Таким образом, под натуральными числами понимают выражения, применяемые для определения количества любого физического объекта или присваивания порядкового номера. Например, 3, 1789, 9876, 100009. Если такие числа расположить в порядке увеличения, этот ряд называют натуральным. Последовательность 2, 3, 4, 5 будет именно такой. Нужно отметить, что натуральный ряд бесконечен, наибольшего значения в нём не существует.

Есть несколько систем счисления. В зависимости от неё, для обозначения используется различный набор символов. В России, США, европейских странах применяют арабскую систему. При этом в повседневности используется десятичная разрядность, то есть для записи чисел берут знаки от 0 до 9.

С числами можно выполнять любые действия. Их складывают, вычитают, перемножают и делят. Кроме этого, возводят в степень, извлекают из-под корня, логарифмируют и дифференцируют.

К основным свойствам натуральных чисел относят:

• коммутативность при прибавлении;
• бинарность операции умножения;
• ассоциативность при сложении и умножении;
• дистрибутивность произведения относительно сложения.

Эти свойства важны. На них часто опираются при решении примеров на умножение и деление в 5 классе средней школы. Каждая запись числа состоит из определённого количества разрядов. По сути, она составляет совокупность разрядных слагаемых. В качестве единиц принимают десятки. Любое натуральное выражение можно представить в виде суммы таких чисел. Например, 89 состоит из 8 десятков и 9 единиц. Значит, равенство 89 = 80 + 9 будет справедливым.

Неизвестную натуральную цифру принято обозначать маленькой латинской буквой эн (n). Интересно то, что пересчитать все числа невозможно.

Их количество бесконечно. Самое большое, которое удалось определить называется гугол. Оно содержит 100 нулей и является мерой атомов в физике.

Принцип умножения

Операция умножения подразумевает действие, заменяющее собой многократное сложение. Один из аргументов называют множимым, а другой множителем. Результатом умножения является произведение. Найти его довольно просто, если знать свойства операции.

К достаточным правилам, зная которые можно найти произведение любых чисел, относят:

Сочетательное — если при умножении произведения на любое число изменить порядок аргументов, результат не изменится. В буквенном виде закон имеет вид: a * b * c = a * c * b. Это правило можно доказать на опыте. Если взять квадраты размером 1 на 1 и построить из них блок 6 на 6, то фактически это будет перемножение 1 * 6 = 6. Полученный прямоугольник можно объединить с аналогичными 3. То есть 3 * 1 = 3. Общее число квадратов получится 1 * 6 * 3 = 18. Если же последовательность сборки изменить, сначала собрать предмет из трёх блоков, а потом к ним добавить 6, результат не изменится.

Распределительное — при выполнении действия над суммой и числом, можно отдельно каждый член выражения помножить на множитель, а затем результаты сложить. В математической записи правило выглядит так: a * (b + c) = a * b + a * c. По-другому операция называется раскрытием скобок. Это правило аналогично и для вычитания. Но при этом есть нюанс, что умножение выполняют сначала на уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого вычитают второе.

Умножения на 0. Любое натуральное число при умножении на 0 даст в ответе 0. Справедливо и обратное утверждение.

Для умножения до 100 существует специальная таблица, которую необходимо знать наизусть.

Следует также понимать, что при увеличении числа в десятки раз ответ увеличится на число нулей, стоящих в умножаемой цифре. Например, 34 * 10 = 340; 980 * 1000 = 980000. Так, выполняется сколь угодно сложное перемножение и для чисел большего десятка.

Произведение часто находят методом «столбик». Суть способа состоит в том, что аргументы записывают один под одним. При этом самая правая цифра верхнего числа должна стоять над самой правой нижнего. Далее выполняют поразрядное умножение начиная с младших членов. Если при этом образуется высший разряд, он прибавляется к перемножаемому.

Результат умножения следующего десятка сдвигается на единицу влево. Далее, складывают полученные результаты и получают искомое произведение.

Выполнение деления

Между нахождением частного и произведения существует тесная взаимосвязь. Особенно она просматривается при решении примеров на деление в 5 классе. По сути, эти 2 действия являются обратными друг другу. Математическим языком это можно описать как b * a = c → b = c / a. Эта зависимость в дальнейшем довольно сильно помогает решать сложные многозначные уравнения.

Существует несколько способов поиска частного:

Последовательное вычитание. Нужно число разделить на другое. Чтобы найти ответ, понадобится из делимого вычитать делитель до тех пор, пока в ответе не получится 0. Затем следует подсчитать количество вычитаний. Это число и будет искомым ответом. На самом деле этот способ используется редко из-за своей громоздкости.

Представление в виде произведения. При решении примеров иногда удобно делимое разложить на множители, причём так, чтобы один из них легко можно было разделить на делитель. Например, 560 / 56 = (56 * 10) / 56 = 10.

Использование метода «уголок». Это наиболее часто применяемый способ. Делимое с делителем записывают в строчку, разделяя горизонтальной чертой. Вначале, сравнивая цифры, определяют неполное частное. Если в числе, что стоит справа, количество единиц меньше, добавляют следующий разряд. Затем подбирают такой множитель, чтобы при его умножении на делитель ответ не превышал выбранную часть делимого. Полученный результат записывают под низом делителя. Это будет первая цифра частного. Далее, от делимого вычитают результат умножения. Такие действия повторяют до тех пор, пока не получится 0.

Существуют методы, позволяющие проверить, насколько правильно найдено частное. Для этого нужно полученный ответ перемножить с делителем. Например, 12 / 4 = 3. Отсюда 3 * 4 = 12. Все три члена идентичные, значит, ответ найден верно.

Следует знать, что есть приёмы, позволяющие облегчить выполнение действия. При нахождении результата деления, когда нужно найти частное двух одинаковых чисел, в ответе будет единица: 345/ 345 = 78 / 78 = 89976 / 89976 = 1.

При этом 0, разделённый на любое число, даст в ответе 0. Делить же на него нельзя: выражение не будет иметь смысла.

Решение примеров

В 5 классе на математике всегда ученикам преподаватель предлагает решить определённые задания. Это нужно, чтобы школьник закрепил полученные теоретические знания и научился их применять на практике. Существуют сборники примеров по математике за 5 класс на умножение и деление для самостоятельной проработки. Прорешав успешно оттуда задачи, любой учащийся сможет утверждать, что он разобрался в теме.

Вот некоторые из примеров, содержащиеся в таких задачниках:

Найти произведение выражения: 5 * 2 * (3 + 6) — 17. Вначале нужно выполнить операцию умножения, затем раскрыть скобки и от полученного результата отнять 17. Произведение пятёрки на двойку — это стандартное действие. Ответ операции нужно знать наизусть или сложить 2 раза цифру 5. Раскрыть скобки поможет распределительный закон. В итоге решение будет иметь следующий вид: 5 * 2 * (3 + 6) — 17 = 10 * (3 + 6) — 17 = 10 * 3 + 10 * 6 — 17 = 30 + 60 — 17 = 90 — 17 = 73.

Вычислить ответ: 450 :10 — 12 * 3 + 45: 45. Согласно правилам, сначала выполняют деление, а уже после вычитание и сложение. Определяя частное для первого члена, можно увидеть, что 450 = 45 * 10. В последнем же выражении число делится само на себя, значит, частное будет равно 1. Чтобы 12 умножить на 3, нужно сначала тройку перемножить с двойкой, а потом с единицей. Если это сделать, в ответе получится 36. Таким образом, решить пример можно так: 450: 10 — 12 * 3 + 45: 45 = 45 * 10: 10 — 12 * 3 + 1 = 45 — 12 * 3 + 1 = 45 — 36 + 1 = 45 — 37 = 8.

Решить уравнение 4 * n = 144. Исходя из смысла деления, можно записать n = 144: 4. Действие в столбик будет выглядеть так: 4 * 3 = 12, 3 пишется в частное, 14 — 12 = 2, сносится четвёрка и получается 24. Подбирается вторая цифра 4 * 6 = 24. Значит, в ответе получится n = 26.

С автобазы выехали 8 машин. В каждой из них было по 3 тонны груза. Каждая тонна размещалась в 42 ящиках. Сколько всего тары было отправлено со склада? Решение будет состоять из двух этапов. На первом нужно подсчитать, сколько ящиков было в каждом грузовике: 42 * 3 = 126. На втором определить число тары: 126 * 8 = 1008. Ответ нужно будет написать так: всего со склада было отправлено 1008 ящиков.

В начальных классах учителя при решении задач не разрешают пользоваться калькуляторами. Это необходимая мера.

Ведь чтобы научиться, важно не только понимать суть действий, но и набраться необходимого опыта. При этом обязательно нужно наизусть выучить таблицу умножения.

Открытая Математика. Алгебра. Понятие натуральных чисел

Понятия «число» и «операция» не так просты, как это может показаться с первого взгляда. Почему, пользуясь одними и теми же числами, мы можем считать камушки и звезды? Это позволяет нам думать, что, сколько бы ни было объектов, мы всегда сможем их пересчитать, и операции сложения, умножения будут также применимы к ним. Подобные вопросы ставились и древними греками, и в наше время.

В этом курсе мы будем исходить из того, что умение считать и различать разные количества предметов – врожденные способности человека. Возьмем в руки камушки, как это делали пифагорейцы, будем прибавлять их по одному, называть последовательно каждое количество своим именем и таким «наглядным» способом определим сразу два основных для алгебры понятия – число и операцию увеличения на единицу. Повторяя эту процедуру и предполагая, что ничто не мешает нам делать это бесконечно, мы сможем определить сложение и умножение на бесконечном множестве натуральных чисел.

Натуральными называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …

 

При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.

Пусть p и q – натуральные числа. Тогда:

• s = p + q – натуральное число, s – сумма, p и q – слагаемые;
• t = pq – натуральное число, t – произведение, p и q – сомножители.

 

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее.

Сложение и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами:

1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).
2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
3. ab = ba (переместительный закон умножения).
4. (ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
5. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

 

К сложению и умножению можно добавить обратные операции – вычитание и деление.

Если p, q и k – натуральные числа, то при натуральном k = p – q говорят, что

Если же натуральное k = p : q, то говорят, что

При этом число p называется кратным числа q, а число q – делителем числа p.

Другими словами, если число p кратно числу q, то существует такое число k, что k = p : q.

Вычитание и деление натуральных чисел, вообще говоря, не всегда приводит опять к натуральному числу: 15 – 3 = 12 – натуральное число, но 4 – 9 = –5 – не натуральное число. 25 : 5 = 5 – натуральное число, 22 : 7 – не натуральное число.

Увы, нам придется вводить ограничения на применимость новых операций, так как в некоторых случаях они выводят нас за рамки натуральных чисел, а другие числа мы еще не определили. Так что будем пока считать, что нельзя вычитать большее из меньшего, и делить на число, которое не укладывается нацело в делимом. Но с этими ограничениями мы можем уже записывать числовые выражения.

 

Числовым называется выражение, составленное из чисел с помощью знаков арифметических действий. Если в числовом выражении выполнить все указанные действия, то получится число, которое называется значением данного выражения.

Для того, чтобы определить порядок действий в выражении, введем еще один, парный, знак – скобки.

Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении (4ċ(1267-23ċ12)+7ċ18):156+144:12-5?

Порядок действий указан цифрами над знаками арифметических действий: (4ċ3(1267-223ċ121)+57ċ418):6156+8144:712-95.

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении 5ċ12:(2-4:(34+487ċ(95-23)-367)+376ċ24)-596?

Порядок действий указан цифрами над знаками арифметических действий: 5ċ912:10(2-74:5(34+3487ċ2(95-123)-4367)+8376ċ624)-11596.

 

Еще один простой вопрос – можем ли мы наше множество упорядочить? Существует ли последовательность действий, выполнив которую, мы можем перечислить все элементы множества? Это было бы равнозначно введению какого-то однозначного отношения между элементами. Самым простым упорядочивающим отношением служит понятие «больше», и, чтобы ввести его, расположим натуральные числа на числовой прямой.

Координатная прямая

Нарисуем горизонтальную прямую x, выберем на ней точку O и назовём её началом отсчёта, выберем на этой прямой направление (обычно слева направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению равна 1) (см. рисунок). Говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку. Именно, если, например, задано число 5, отложим от точки O вправо выбранный единичный отрезок 5 раз. Точно так же можно поступить с любым натуральным числом. Если некоторая точка A соответствует некоторому числу a, то говорят, что число a является координатой точки A. В этом случае пишут A (a).

• Говорят, что натуральное число a меньше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: a < b, если точка на числовой оси, отвечающая числу a, лежит левее точки, отвечающей числу b.

• Говорят, что натуральное число a больше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: a > b, если точка на числовой оси, отвечающая числу a, лежит правее точки, отвечающей числу b.

Ясно, что число 0 (нуль) – координата точки O – меньше любого натурального числа.

Для любых двух натуральных различных чисел a и b справедливо одно и только одно утверждение: a < b, a > b или a = b. Знаки < и > называются знаками строгих неравенств, знаки ≤ и ≥ – знаками нестрогих неравенств. Запись a ≤ b означает, что верно одно из двух утверждений: либо a < b, либо a = b. Неравенства a < b и c < d называют неравенствами одного знака; неравенства a < b и c > d называют неравенствами разных знаков.

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Алгебраическое умножение.

Комплексное умножение — более сложная операция для понимания как с алгебраической, так и с геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически и возьмем определенные комплексные числа для умножения, скажем, 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом из них по два слагаемых, поэтому, умножив их, мы получим четыре слагаемых: (3 + 2 i )(1 + 4 i ) = 3 + 12 и + 2 и + 8 и ² .

Теперь 12 i + 2 i упрощаются до 14 i, , конечно. А как насчет 8 i ² ? Помните, мы ввели i как сокращение от √1, квадратного корня из 1. Другими словами, i — это число, квадрат которого равен 1. Таким образом, 8 i ² равняется 8. Следовательно, произведение (3 + 2 i )(1 + 4 i ) равно 5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu    yv ), действительная часть произведения, есть произведение действительных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv  +  yu ), мнимая часть произведения произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте рассмотрим некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле для умножения, если v равно нулю, вы получаете формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x  +  yi )  u = сюй  +  юй и .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число. Например, 2 умножить на 3 +  i — это всего лишь 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваивайте расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C в 2 раза от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы рассмотрели только один случай умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (т. е. расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ж. Это было, когда w было реальным числом u чуть выше. На самом деле, это верно в целом:

Проверка этого тождества является упражнением в алгебре. Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не нужно иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | ЗВ | ²  = | г | ² | с | ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда по формуле умножения zw равно ( xu    yv ) + ( xv  +  yu ) i. Напомним из раздела об абсолютных значениях, что

| г | ² = х ² + у ²

Точно так же у нас есть

| с | ² = u ² + v ²

и, поскольку zw = ( xu    yv ) + ( xv  +  yu ) i,

| wz | ² = ( xu    yv ) ² + ( xv  +  ю ) ²

Итак, чтобы показать | ZW | ²  = | г | ² | с | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( Xu YV ) ² + ( XV + YU ) ² = ( x ² + Y ² ) ( U ² + ^{. v 2 )}

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. Для нашего следующего частного случая умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ²  = 1. Как насчет i ³ ? Это просто i ² умножить на i , и это 1 умножить на i. Следовательно, i ³  =  i. Вот интересно: куб и есть собственное отрицание. Далее рассмотрим i ⁴ . Это квадрат i ² , то есть квадрат 1. Таким образом, i ⁴  = 1. Другими словами, i является корнем четвертой степени из 1. Вы можете показать, что i является еще одним корнем четвертой степени из 1. А так как 1 и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, 1 и i. Это наблюдение связано с Фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴  = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие полномочия I легко найти сейчас, когда мы знаем I ⁴ = 1. Например, I ⁵ IS I Times I ⁴ , и только I . Вы можете уменьшить силу i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i ¹¹  = i ⁷  = i ³  =  i.

Как насчет отрицательных сил и ? Чему равно число i, ? то есть i ¹ ? По той же причине, по которой вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ¹  = i ³  =  i. Таким образом, обратное число i равно i. Представьте себе число, обратное значение которого является его собственным отрицанием! Конечно, легко проверить, что i раз i равно 1, так что, конечно, i и i обратны.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по основной теореме алгебры число n -й корней из единицы равен n, так как имеется n корней уравнения n -й степени z ^u   1 = 0. Квадратные корни из единицы равны 1 и 1. Корни четвертой степени равны ±1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе об абсолютном значении. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ±√2/2 ±  i √2/2 были квадратными корнями из i и i, , а теперь с помощью формулы умножения это легко проверить. Следовательно, восемь восьмикореней из единицы равны ±1, ± i, и ±√2/2 ±  i √2/2. Обратите внимание, как эти восемь корней единства равномерно распределены по единичному кругу.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте немного подождем их.

Умножение комплексного числа на

i. В нашей цели найти геометрическую интерпретацию комплексного умножения, давайте рассмотрим следующее умножение произвольного комплексного числа z  =  x  +  yi на i. z   i = ( x  +  yi )  i = y  +  xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на х единиц правее мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z   и расположены на и единиц левее и на x единиц выше. Произошло то, что умножение на i привело к повороту к точке z  90° против часовой стрелки вокруг начала координат к точке z   i. Говоря короче, умножение на дает поворот на 90° против часовой стрелки около 0.

Таким же образом можно проанализировать, что делает умножение на i . Вы найдете это умножение на i дает поворот на 90° по часовой стрелке относительно 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, что предполагается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на i дает поворот на 90° относительно 0 или, если хотите, поворот на 270° относительно 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока мы увидим результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения, один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на 9.0004 i , что приводит к вращению. Общий случай представляет собой комбинацию масштабирования и поворота.

Пусть z и w — точки комплексной плоскости C . Нарисуйте линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих линий являются абсолютными значениями | г | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | ZW | что равно | г | | с |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Что мы не делаем знать направление линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z по определенному углу, называемому аргументом от z , иногда обозначаемым arg( з ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — линия от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg( w ). Тогда произведение zw будет иметь угол, являющийся суммой углов arg( z ) + arg( w ). (На диаграмме arg( z ) составляет около 20°, а arg( w ) составляет около 45°, поэтому arg( zw ) должно быть около 65°. )

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где zw находится в C :

NumberNut.com: Арифметика: Умножение: Перенос

Числа и подсчет| Арифметика |Дроби и десятичные дроби|Предварительная алгебра|Карта сайта

Значения при умножении очень быстро становятся очень большими. Возможно, вы помните из дополнения, что вам понадобится несут число всякий раз, когда сумма слагаемых больше девяти. То же правило применимо и к умножению, но почти каждый набор значений, которые вы умножаете, будет больше девяти. Когда это произойдет, вам нужно перенести дополнительное значение в следующий столбец слева . Перенос/перегруппировка будет происходить почти в каждой задаче с двумя цифрами.

Перенос и перегруппировка — это одни и те же идеи. Вы перемещаете числа для создания новых значений. Когда вы получите значение больше девяти, вам нужно добавить немного лишнего в столбец слева. Честно говоря, нам нравится термин «нести», но вам нужно говорить то слово, которое хочет услышать ваш учитель.

Примеры:
2 x 3 = 6 (без переноски/перегруппировки)
11 x 5 = 55 (без переноски/перегруппировки)

12 x 5 = 60 (требуется переноска/перегруппировка)
— или —

12 x 5 60

Как мы получили этот ответ? Зачем нужно было нести? Разве ответ не должен быть 50 с чем-то? Когда вы умножили числа в первом столбце (2 х 5), ответ был десять. У вас получилось двузначное произведение, но в итоговом ответе вы можете записать только одно число. Мы записываем значение из столбца единиц и переносим «1» в столбец десятков. Перегруппируем десятки в задаче. На следующем шаге вы умножаете 5×1, а затем добавляете переносимую «1» к произведению. 5 х 1 = 5… 5 + 1 = 6.

Вот шаги…
(1) Умножьте значения в столбце единиц. В нашем примере вы умножаете 2×5. Ответ «10».
(2) Запишите «0». Это будет ценность вашего продукта.
(3) Возьмите лишнюю «1» и напишите ее чуть выше 1 в колонке десятков. Перемещение этой «1» называется переносом или перегруппировкой.
(4) Умножьте число десятков на 1×5. Произведение десятков будет равно 5.
(5) Добавьте единицу, которую вы несли (5+1). Ваше новое значение будет 6.
(6) Запишите шесть в колонке десятков вашего произведения. Ваш конечный продукт равен 60.

12 x 5 ?

1   12 x 5 2×5=> 0

1   12 x 5 (1×5)+1=> 6 0

Итак. .. умножьте единицы, перенесите, умножьте десятки и прибавьте переносимое количество.

Просто небольшое напоминание, прежде чем мы продолжим. Когда вы получаете продукты, которые больше 9, вы добавляете значения слева . Когда вы умножаете несколько столбцов, вы всегда начинаете с наименьших значений. Если у вас есть пятизначное число, такое как 12 345, вы начнете умножать значения в столбце единиц в первую очередь. Затем вы перейдете к столбцам десятков, сотен, тысяч и десятков тысяч. Если речь идет о переносе, вы возьмете переносимое значение и поместите его в столбец слева. Итак, если вы умножали числа в столбце десятков и вам нужно было передать «4», вы поместили бы это «4» в столбец сотен.

Проблема:

999 х 5 ????

Ответ:
(1) Начните со столбца единиц: 9×5=45
(2) Поскольку это произведение больше девяти, вам нужно перенести четыре (4) в следующий столбец слева.
(3) Умножьте значение из столбца десятков: 9×5=45. Затем добавьте сумму, которую вы только что перенесли: 45+4=49.
(4) Вы снова получили значение больше девяти. Напишите 9 в колонке десятков своего ответа, а четыре перенесите в колонку сотен.
(5) Умножьте значение из столбца сотен: 9×5=45. Затем добавьте сумму, которую вы только что перенесли: 45+4=49.
(6) Так как это конец задачи, напишите свое значение в ответе.

Окончательный ответ: 4,995
Мы создали наш конечный продукт следующим образом… —5, затем -95, затем 4995.

999 x 5 ?

4   999 x 5 9×5=> 5

4 4   999 x 5 (9×5)+4=> 9 5

44   999 x 5 (9×5)+4=> 49 95

Пример:
58 x 4 = ?
Шаг 1. Умножьте столбец единиц. 8 x 4 = 32
Шаг 2: Запишите «2» и перенесите «3» в столбец десятков.
Шаг 3. Умножьте столбец десятков. 4 x 5 = 20
Шаг 4: Добавьте номер, который вы несли. 20 + 3 = 23
Шаг 5: Запишите 23.
Ответ: 58 x 4 = 232

После нескольких примеров вы можете увидеть закономерность: умножение единиц — перенос — умножение десятков — добавление переносимого значения. Этот шаблон работает, если вы работаете с двузначным или десятизначным числом. Это просто намного больше шагов, когда у вас больше цифр.

Пример:
296 x 8 = ?
УМНОЖЕНИЕ ЕДИНИЦ: 6 x 8 = 48
НАПИСАТЬ И НОСИТЬ: Напишите «8» и перенесите «4». 72 + 4 = 76
НАПИСАТЬ И НОСИТЬ: Напишите «6» и перенесите «7»
УМНОЖЕНИЕ СОТНИ: 8 x 2 = 16
ДОБАВИТЬ: Добавить перевозимое количество. 16 + 7 = 23
ЗАПИСАТЬ: Запишите «23»
Ответ: 296 x 8 = 2368

296 x 8 ?

4   296 x 8 6×8=> 8

7 4   296 x 8 (8×9)+4=> 6 8

74   296 x 8 (8×2)+7=> 23 68

Мы просто хотели кое-что отметить. Кроме того, вы обычно переносите «1» в следующий столбец. При умножении вы будете получать числа от 1 до 9. В одном столбце вы можете добавить переносимую цифру «3», а в следующем вы получите цифру «9». Когда вы начнете носить с собой более высокие числа, есть большая вероятность, что вам снова придется носить с собой. Так что держите ухо востро, когда начнете нести работу. Все эти маленькие цифры можно перепутать.

► СЛЕДУЮЩАЯ СТРАНИЦА ПО АРИФМЕТИКЕ
► ВЕРНУТЬСЯ НА НАЧАЛО СТРАНИЦЫ

► Или выполнить поиск на сайтах…

---

• Обзор
• Операции
• Дополнение
• Вычитание
• Умножение
• от 1 до 10
• Переноска
• 2-значные номера
• Трехзначные номера
• Несколько значений
• Целые числа
• Подразделение
• Виды деятельности

---

---

Wikipedia:
https://en. wikipedia.org/wiki/Arithmetic
Encyclopædia Britannica:
http://www.britannica.com/topic/arithmetic
Encyclopedia. com:
http://www.encyclopedia.com/topic/arithmetic.aspx

TOP 9 Что происходит, когда вы умножаете отрицательное значение на положительное ЛУЧШЕЕ и НОВОЕ

Вы задаетесь вопросом , что происходит, когда вы умножаете отрицательное значение на положительное , но в настоящее время нет ответа, поэтому давайте kienthuctudonghoa.com подведем итоги и перечислим лучшие статьи с вопросом. ответьте на вопрос, что получится, если умножить отрицательное на положительное, что поможет вам получить наиболее точный ответ. Следующая статья призвана помочь вам сделать более правильный выбор и получить больше полезной информации.

Краткое содержание

• 1 1. Умножение положительных и отрицательных чисел: 3 простых правила
• 2 2. Умножение положительных и отрицательных чисел (видео) – Khan Academy
• 3 3. Умножение отрицательных чисел обзор (статья) – Khan Academy
• 4 4 .Умножение отрицательных чисел дает положительное — математика — это весело
• 5 5.ACT Математика: как умножать отрицательные числа — университетские репетиторы
• 6 6. Умножение отрицательных чисел — правила и примеры — Expii
• 7 7. Умножение отрицательных чисел — YouTube
• 8 8. Как умножать отрицательные числа – YouTube
• 9 9. Основные правила для положительных и отрицательных чисел

1. Умножение положительных и отрицательных чисел: 3 простых правила

• Автор: 905comm
• Дата поста: 11 вчера
• Рейтинг: 3 (851 обзоры)
• Низкий рейтинг: 3
• положительное число, ваш ответ — отрицательное число. Неважно, в каком порядке стоят положительные и отрицательные числа …

See Details

2.Multiplying positive & negative numbers (video) – Khan Academy

• Author: www. khanacademy.org
• Post date: 18 yesterday
• Rating: 5(803 отзывы)
• Высший рейтинг: 3
• Низкий рейтинг: 2
• Резюме:

Подробнее0877

• Author: www.khanacademy.org
• Post date: 7 yesterday
• Rating: 1(740 reviews)
• Highest rating: 5
• Low rated: 2
• Резюме: Хотите узнать больше об умножении отрицательных чисел? Посмотрите это видео. Хотите знать, почему умножение двух отрицательных чисел дает положительное число?

См. подробности

4. Умножение отрицательных значений дает положительное значение — математика — это весело

• Author: www.mathsisfun.com
• Post date: 17 yesterday
• Rating: 3(1950 reviews)
• Highest rating: 5
• Low rated: 3
• Резюме: Когда мы умножаем: ; минус × минус, два минуса дают плюс: плюс ; минус × плюс, минус и плюс дают минус: минус …

См. подробности

5.ACT Math: Как умножать отрицательные числа — Репетиторы Университета

• Author: www.varsitytutors.com
• Post date: 23 yesterday
• Rating: 1(679 reviews)
• Highest rating: 3
• Low rated: 1
• Summary: При умножении отрицательных чисел мы получаем отрицательный ответ, если умножается нечетное количество отрицательных чисел. Мы получаем положительный ответ, если …

Подробнее

6. Умножение отрицательных чисел — правила и примеры — Expii

• Author: www.expii.com
• Post date: 9 yesterday
• Rating: 4(1188 reviews)
• Highest rating: 4
• Low rated: 2
• Summary: Когда вы умножаете два отрицательных числа, первое из них меняет знак с положительного на отрицательное, а второе — обратно. В других …

Подробнее

7. Умножение отрицательных чисел – YouTube

• Author: www.youtube.com
• Post date: 2 yesterday
• Rating: 5(1584 reviews)
• Highest rating: 4
• Low rated: 2
• Резюме:

Подробнее

8. Как умножать отрицательные числа – YouTube

• Автор: www.youtube.com
• 
  0565 Rating: 3(1531 reviews)
• Highest rating: 4
• Low rated: 1
• Summary:

See Details

9.Basic Rules for Positive and Negative Numbers

• Автор: examples.yourdictionary.com
• Дата публикации: 13 вчера
• Рейтинг: 1(1563 отзыва)
• Высший рейтинг: Низкий 9:0792 4
0566 1
• Итог: Если вы складываете положительные и отрицательные числа вместе, вычтите меньшее число из большего и используйте знак большего числа.

  No related posts.