Что такое e в алгебре: Число е | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Число е | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

С замечательным числом e мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную функцию, логарифмы и производные. Поэтому для лучшего понимания мы рекомендуем вам прочитать наши статьи «Показательная функция» и «Геометрический смысл производной».

В статье «Показательная функция» мы говорили о важнейшем свойстве функции — при эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» — чем больше x, тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать, что с увеличением x растут и значения показательной функции, и ее производная. А если аргументом показательной функции является время, то при такая функция является математическим выражением стремительно развивающегося процесса.

Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонента, ее формула . Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой функции равна значению самой функции в этой точке. Другими словами, , то есть производная функции равна ей самой.

Нарисуем несколько графиков функции при , а также при . Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в точке , идет ровно под углом к положительному направлению оси OX.

Это и есть график функции . Само число e — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно 2,718.

Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается . Если в уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними так же, как и с любыми другими, у которых основание больше 1.

Функция также обладает интересным свойством:

Это значит, что с ростом x график логарифмической функции идет более и более полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим.

Формулы для производных функций и содержат в себе выражение :

Число e, как и число , является одной из мировых констант.

Так называют числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.

Число известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины окружности к ее диаметру.  А вот с числом e (названным так в честь великого математика Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.

В заданиях вариантов ЕГЭ вам встречались задачи, где вклад величиной x помещен в банк под p % годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад через два года. Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:

• если величину x увеличить на p процентов, получится
• если величину x дважды увеличить на p процентов, получим Именно таким станет вклад через два года;
• если вклад пролежит в банке n лет, его величина станет равной

Итак, если вклад поместить банк под 10% годовых, он вырастет за год в 1,1 раз, за два года — в 1,21 раза, за десять — примерно в 2,6 раза. Значит, рост вклада зависит от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты. А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка миллион?

Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной сотой процента. Во сколько раз вырастет вклад через 10000 дней (это двадцать семь с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина ? И к чему будет стремиться величина , если

n стремится к бесконечности?
Вот такую задачу и решал Бернулли. Если n будет очень большим, или, как говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина    будет, наоборот, очень малой. Можно сказать, что будет стремиться к нулю.

Оказывается, что в этом случае величина  будет стремиться к числу e. Если банк каждый год начисляет по 1%, через 100 лет вклад увеличится примерно в e раз (напомним, что e ≈ 2,718). Еще большая точность будет достигнута, если каждый день банк начисляет по 0,01 процента. Через 10000 дней вклад увеличится примерно в e

раз. Итак, если n стремится к бесконечности, то величина стремится к числу e.

Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом. Вы встретитесь с ним в курсе математического анализа.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Число е» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Число е | это… Что такое Число е?

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число

e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…^[1]

Содержание 1 Способы определения 2 Свойства 3 История 4 Способы запоминания 5 Доказательство иррациональности 6 Интересные факты 7 Примечания 8 См. также 9 Ссылки

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

• Через предел:

  (второй замечательный предел).
• Как сумма ряда:

  или .

• Как единственное число a, для которого выполняется

• Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

• 
  Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.
• Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
• , см. формула Эйлера, в частности
• Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т.
   н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

• Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

• Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

  , то есть

• Представление Каталана:

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы

a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler).

Способы запоминания

• Для получения приблизительного значения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли».
• Стишок:

Два и семь, восемнадцать,

Двадцать восемь, восемнадцать,

Двадцать восемь, сорок пять,

Девяносто, сорок пять.

• Легко запомнить как 2, далее запоминаем 71, потом повторяющиеся 82, 81, 82
• Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника ( 45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
• Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
• В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

Доказательство иррациональности

Пускай рационально. Тогда , где и целые положительные, откуда

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

— целое

Но с другой стороны

Получаем противоречие.

Интересные факты

• В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
• В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN^[2]:

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e, которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число , а не .

Примечания

1. ↑ 2 миллиона цифр после запятой
2. ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

• История числа e (англ.)
• e for 2.71828… (история и правило Джексона, англ.)
• последовательность A001113 в OEIS

Объяснение числа Эйлера (e) и его использование в финансах

Что такое число Эйлера (e)?

Термин число Эйлера (e) относится к математическому выражению основания натурального логарифма. Это представлено неповторяющимся числом, которое никогда не заканчивается. Первые несколько цифр числа Эйлера — 2,71828. Число обычно обозначается буквой e и обычно используется в задачах, связанных с экспоненциальным ростом или затуханием. Вы также можете интерпретировать число Эйлера как основу экспоненциальной функции, значение которой всегда равно ее производной. Другими словами, e — единственное возможное число, такое что e ^x увеличивается со скоростью e ^x для каждого возможного x.

Ключевые выводы

• Число Эйлера — важная константа, которая встречается во многих контекстах и ​​является основой для натуральных логарифмов.
• Иррациональное число, представленное буквой e, число Эйлера равно 2,71828…, где цифры продолжаются бесконечно в ряду, который никогда не заканчивается и не повторяется (аналогично числу пи).
• Число Эйлера используется везде, от объяснения экспоненциального роста до радиоактивного распада.
• В финансах число Эйлера используется для расчета того, как богатство может расти за счет сложных процентов.
• Не путайте число Эйлера с константой Эйлера, которая является еще одним иррациональным и неограниченным числом, начинающимся с 0,57721.

Понимание числа Эйлера (e)

Как отмечалось выше, число Эйлера используется для выражения основания натурального логарифма. E — это ряд чисел, начинающихся с 2,71828. Как и число Пи, оно не имеет конца, что означает, что оно продолжается и продолжается. Это также иррациональное число, что означает, что его нельзя представить в виде дроби. Вы можете использовать его для расчета снижения или роста определенного фактора с течением времени, например сложных процентов.

Представьте, что вы даете деньги взаймы под 100% процентную ставку, начисляемую каждый год. Через год ваши деньги удвоятся. Но что, если бы процентная ставка была снижена вдвое и начислялась бы в два раза чаще? При 50% каждые шесть месяцев ваши деньги вырастут на 225% за год.

По мере того, как интервал становится меньше, общая доходность становится немного выше. Если проценты рассчитываются n раз в год по ставке 100%/n, общее накопленное богатство в конце первого года будет чуть больше, чем в 2,7 раза больше первоначальных инвестиций, если n достаточно большой.

История числа Эйлера (e)

Хотя обычно он ассоциируется со швейцарским математиком Леонардом Эйлером и назван в его честь, он был впервые обнаружен в 1683 году математиком Якобом Бернулли. Он пытался определить, как будет расти богатство, если проценты будут начисляться чаще, а не ежегодно.

Самая важная работа, связанная с числом, была выполнена Леонардом Эйлером лишь несколько десятилетий спустя. В своей книге Introductio in Analysin Infinitorum (1748 г.) Эйлер доказал, что это иррациональное число, цифры которого никогда не повторяются. Он также доказал, что число можно представить в виде бесконечной суммы обратных факториалов:

е «=» 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 × 2 × 3 + 1 1 × 2 × 3 × 4 + . . . + 1 н ! e = 1 + \ frac { 1 }{ 1 } + \ frac { 1 }{ 2 } + \ frac { 1 }{ 1 \ times 2 \ times 3 } + \ frac {1 }{ 1 \ times 2 \ times 3 \times 4 } + … + \frac { 1 }{ n! } e=1+11​+21​+1×2×31​+1×2×3×41​+…+n!1​

Эйлер использовал букву e для показателей степени, но теперь эта буква широко ассоциируется с его именем. Он обычно используется в широком спектре приложений, включая рост популяции живых организмов и радиоактивный распад тяжелых элементов, таких как уран, учеными-ядерщиками. Его также можно использовать в тригонометрии, вероятности и других областях прикладной математики.

Число Эйлера (e) не следует путать с постоянной Эйлера, которая обозначается строчной гаммой (γ). Также известная как постоянная Эйлера-Маскерони, последняя связана с гармоническим рядом и имеет значение приблизительно 0,57721…9.0017

Число Эйлера (e) в финансах: сложные проценты

Сложные проценты были провозглашены чудом финансов, когда проценты начисляются не только на первоначальные суммы инвестиций или депозитов, но и на ранее полученные проценты. Непрерывное начисление процентов достигается, когда проценты реинвестируются в течение бесконечно малой единицы времени. Хотя в реальном мире это практически невозможно, эта концепция имеет решающее значение для понимания поведения многих различных типов финансовых инструментов, от облигаций до контрактов на деривативы. 9{rt}\\&\textbf{где:}\\&\text{FV} = \text{Будущая стоимость}\\&\text{PV} =\text{Текущая стоимость баланса или суммы}\\&e = \text{Формула Эйлера}\\&r = \text{Процентная ставка начисляется}\\&t = \text{Время в годах}\end{выровнено} ​FV=PVertwhere:FV=Будущее значениеPV=Текущая стоимость баланса или = Формула Эйлера=Процентная ставка начисляется t=Время в годах есть: 9{ 12 \ умножить на 3 } = \ $ 1061,78 $1000(1+12,02​)12×3=$1061,78

Здесь разница составляет всего несколько центов, но по мере того, как наши суммы становятся больше, процентные ставки становятся выше, а количество времени увеличивается, непрерывное начисление сложных процентов с использованием Постоянная Эйлера становится все более и более ценной по сравнению с дискретным начислением процентов.

Почему число Эйлера важно?

Число Эйлера часто появляется в задачах, связанных с ростом или уменьшением, где скорость изменения определяется текущим значением измеряемого числа. Одним из примеров является биология, где ожидается удвоение популяции бактерий через определенные промежутки времени. Другим случаем является радиометрическое датирование, когда ожидается, что количество радиоактивных атомов уменьшится в течение фиксированного периода полураспада измеряемого элемента.

Как число Эйлера используется в финансах?

Число Эйлера появляется в задачах, связанных со сложными процентами. Всякий раз, когда инвестиция предлагает фиксированную процентную ставку в течение определенного периода времени, будущая стоимость этой инвестиции может быть легко рассчитана с точки зрения e.

Что такое число Эйлера?

Проще говоря, число Эйлера является основанием экспоненциальной функции, скорость роста которой всегда пропорциональна ее текущему значению. Показательная функция e ^x всегда растет со скоростью e ^x , что не относится к другим системам счисления и значительно упрощает алгебру, связанную с показателями степени и логарифмами. Это число иррациональное, его значение приблизительно равно 2,71828….

Итог

Число Эйлера — одна из важнейших констант в математике. Он часто появляется в задачах, связанных с экспоненциальным ростом или спадом, где скорость роста пропорциональна существующему населению. В финансах, e также используется в расчетах сложных процентов, когда богатство растет с заданной скоростью с течением времени.

Исправление – дек. 5, 2021: В более ранней версии этой статьи число Эйлера было неправильно объединено с константой Эйлера.

Что означает E в математике?

Обновлено 20 декабря 2020 г.

Автор Chris Deziel

Буква E может иметь два разных значения в математике, в зависимости от того, является ли она заглавной E или строчной e. Обычно вы видите заглавную Е на калькуляторе, где она означает возведение числа, следующего за ней, в степень 10. Например, 1E6 будет означать 1 × 10 ⁶ или 1 миллион. Обычно буква E используется для чисел, которые были бы слишком длинными для отображения на экране калькулятора, если бы они были написаны от руки.

Математики используют строчную букву e для гораздо более интересной цели — для обозначения числа Эйлера. Это число, как и π, является иррациональным числом, потому что оно имеет неповторяющуюся десятичную дробь, простирающуюся до бесконечности. Подобно иррациональному человеку, иррациональное число кажется бессмысленным, но число, которое обозначает e, не обязательно должно иметь смысл, чтобы быть полезным. На самом деле, это одно из самых полезных чисел в математике.

E в научной записи и значение 1E6

Вам не нужен калькулятор, чтобы использовать E для выражения числа в научной записи. Вы можете просто позволить E обозначать основной корень экспоненты, но только тогда, когда основание равно 10. Вы не будете использовать E для обозначения основания 8, 4 или любого другого основания, особенно если основание является числом Эйлера, e.

Когда вы используете E таким образом, вы записываете число x E y , где x  – первый набор целых чисел в числе, а y — показатель степени. Например, число 1 миллион можно записать как 1E6. В обычной научной записи это 1 × 10 ⁶ , или 1 с 6 нулями. Точно так же 5 миллионов будут 5E6, а 42 732 будут 4,27E4. При написании числа в экспоненциальном представлении, независимо от того, используете ли вы E или нет, вы обычно округляете число до двух знаков после запятой.

Откуда взялось число Эйлера e?

Число, представленное буквой e, было открыто математиком Леонардом Эйлером как решение проблемы, поставленной другим математиком, Якобом Бернулли, 50 лет назад. Проблема Бернулли была финансовой. 9n

где ​ r ​ равно 1 и n период платежа.

Оказывается, по мере того, как n приближается к бесконечности, результат становится все ближе и ближе к e, который равен 2,7182818284 с точностью до 10 знаков после запятой. Вот как это открыл Эйлер. Максимальный доход, который вы можете получить от инвестиций в размере 1000 долларов в год, составит 2718 долларов.