Что такое е в степени х: Интеграл от е в степени х

Содержание

свойства экспоненты и основные формулы

Многие числа обрели свою величину и суеверное значение еще в древности. В наши дни к ним добавляются новые мифы. Существует много легенд о числе пи, немногим уступают ему в известности знаменитые числа Фибоначчи. Но, пожалуй, самым удивительным является число е, без которого не может обойтись современная математика, физика и даже экономика.

Арифметическое значение числа е равно приблизительно 2,718. Почему не точно, а приблизительно? Потому что это число иррациональное и трансцендентное, его нельзя выразить дробью с натуральными целыми числами или многочленом с рациональными коэффициентами. Для большинства расчетов указанной точности значения в 2,718 достаточно, хотя современный уровень вычислительной техники позволяет определить его значение с точностью более триллиона знаков после запятой.

Главной особенностью числа е является то, что производная его показательной функции f (x) = e^x равно значению самой функции е^х. Такого необычного свойства нет больше ни у какой другой математической зависимости. Расскажем об этом чуть подробнее.

Содержание:

Что такое предел
Что такое производная функции
Производная экспоненты
Некоторые интересные факты о числе е
Видео

Что такое предел

Вначале разберемся с понятием предела. Рассмотрим какое-нибудь математическое выражение, например, i = 1/n. Можно увидеть, что при увеличении «n «, значение «i «будет уменьшаться, а при стремлении «n» к бесконечности (которая обозначается значком ∞), «i» будет стремиться к предельному значению (называемого чаще просто пределом), равному нулю. Выражение предела (обозначаемого как lim) для рассматриваемого случая можно записать в виде lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Существуют различные пределы для различных выражений. Одним из таких пределов, вошедших в советские и российские учебники как второй замечательный предел, является выражение lim n →∞ (1+1/ n) ⁿ. Уже в Средневековье было установлено, что пределом этого выражения является число е.

К первому же замечательному пределу относят выражение lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Как найти производную e^x — в этом видео.

Что такое производная функции

Для раскрытия понятия производной следует напомнить что такое функция в математике. Чтобы не загромождать текст сложными определениями, остановимся на интуитивном математическом понятии функции, заключающимся в том, что в ней одна или несколько величин полностью определяют значение другой величины, если они взаимосвязаны. Например, в формуле S = π ∙ r ² площади круга, значение радиуса r полностью и однозначно определяет площадь круга S.

В зависимости от вида, функции могут быть алгебраическими, тригонометрическими, логарифмическими и др. В них могут быть взаимосвязаны два, три и более аргументов. Например, пройденное расстояние S, которое объект преодолел с равноускоренной скоростью, описывается функцией S = 0,5 ∙ a ∙ t ² + V ∙ t, где «t» — время движения, аргумент «а» ускорение (может быть как положительной, так и отрицательной величиной) и «V» начальная скорость движения. Таким образом, величина пройденного расстояния зависит от значений трех аргументов, два из которых («а» и «V») постоянны.

Покажем на этом примере элементарное понятие производной функции. Оно характеризует скорость изменения функции в данной точке. В нашем примере это будет скорость движения объекта в конкретный момент времени. При постоянных «а» и «V» она зависит только от времени «t», то есть говоря научным языком нужно взять производную функции S по времени «t».

Этот процесс называется дифференцированием, выполняется путем вычисления предела отношения прироста функции к приросту ее аргумента на ничтожно малую величину. Решения подобных задач для отдельных функций часто является непростым делом и здесь не рассматриваются. Также стоит отметить, что некоторые функции в определенных точках вообще не имеют таких пределов.

В нашем же примере производная S по времени «t» примет вид S’ = ds/dt = а ∙ t + V, из которого видно, что скорость S’ изменяется по линейному закону в зависимости от «t».

Производная экспоненты

Экспонентой называется показательная функция, в качестве основания которой находится число е. Она обычно отображается в виде F (x) = e^x, где показатель степени x является переменной величиной. Данная функция обладает полной дифференцируемостью во всем диапазоне вещественных чисел. С ростом x она постоянно возрастает и всегда больше нуля. Обратная к ней функция — логарифм.

Известный математик Тейлор сумел разложить эту функцию в ряд, названный его именем e^x = 1 + x/1! + x ² /2! + x ³ /3! + … в диапазоне x от — ∞ до + ∞.

Закон, базирующийся на этой функции, называется экспоненциальным. Он описывает:

возрастание сложных банковских процентов;
увеличение популяции животных и населения планеты;
время окоченения трупа и многое другое.

Повторим еще раз замечательное свойство данной зависимости — значение ее производной в любой точке всегда равно значению функции в этой точке, то есть (e

x)’ = e^x .

Приведем производные для наиболее общих случаев экспоненты:

(e^ax)’ = a ∙ e^ax ;
(e^{f (x)})’ = f'(x) ∙ e^{f (x)}.

Используя данные зависимости, несложно найти производные для других частных видов этой функции.

Некоторые интересные факты о числе е

С этим числом связаны фамилии таких ученых, как Непер, Отред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, и другие. Последний собственно и ввел обозначение е для этого числа, а также нашел первые 18 знаков, используя для расчета открытый им ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …

Число e встречается в самых неожиданных местах. Например, оно входит в уравнение цепной линии, которое описывает провис каната под действием собственного веса, когда его концы закреплены на опорах.

Видео

Тема видеоурока — производная показательной функции.