НОУ ИНТУИТ | Лекция | Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn
Аннотация: В данной лекции рассматриваются основные положения и определения алгебры матриц. Рассматривается способ умножения матриц, приведены примеры, доказаны основные теоремы. Также представлены задачи для самостоятельного решения
Ключевые слова: решение системы линейных уравнений, моноид, Законы дистрибутивности, алгебра квадратных матриц
Алгебра матриц
Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных матриц размера mxn
Через Mm,n(K) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем K фиксированного размера (для краткости обозначения, Mn(K)=Mn,n(K) — совокупность всех квадратных -матриц). Как для пространства строк Kn=M1,n(K) и для пространства столбцов , так и для Mm,n(K) определены операции сложения матриц C=A+B ( cij=aij+bij для каждого места (i,j) )
и умножения матрицы на число D=cA ( dij=caij для каждого места (i,j) ).
Как и для совокупности строк Kn=M1,n(K), так и для Mm,n(K) непосредственно проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства (в частности, нейтральным элементом в Mm,n(K) будет нулевая матрица 0 с нулями на всех местах, -A=(-1)A ).
Произведение матриц
то мы определили их произведение
полагая
(т. е. элемент матрицы AB, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца получается «умножением» i -й строки (длины m ) матрицы A на j -й столбец (длины m ) матрицы B ). Таким образом, условие возможности перемножить две прямоугольные матрицы A и B заключается в том, что длина строк левого множителя A совпадает с длиной столбцов правого множителя B .
Примеры вычисления произведения AB
intuit.ru/2010/edi»>Пример 8.2.1.Пример 8.2.2.
Пример 8.2.3.
Пример 8.2.4. Пусть(единичная матрица размера ), , тогда ErA=A, AEm=A. В частности, если E=En, , то EA=A=AE.
Матричные единицы Eij
Обозначим через Eij матрицу, в которой на пересечении i -й строки и j -го столбца стоит 1, а на всех остальных местах стоит 0. Тогда в Mn(K) имеем
(или , где
символ Кронекера).
Важные следствия умножения матричных единиц
Следствие 8.3.1. Так как в Mn(K) при
то:
ru/2010/edi»>а) умножение матриц некоммутативно;б) имеются делители нуля (ненулевые элементы, произведение которых равно нулю).
- AX=0 для некоторой матрицы ;
- YA=0 для некоторой матрицы ;
- |A|=0.
Матрицы элементарных преобразований
Следствие 8.3.3. Пусть , , и
(в этой матрице в отличие от единичной матрицы на месте (i,j) вне диагонали стоит c ). Ясно, что .
а) Если , и , то матрица получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 1-го типа: A’i=Ai+cAj.
б) Если , и , то матрица получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 1-го типа: .
Следствие 8.3.4. Пусть и tij — матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой i -й и j -й строк (или, что то же самое, перестановкой i -го и j -го столбцов). Ясно, что |tij|=-1.
а) Если и , то матрица A’=tijA получается из матрицы A элементарным преобразованием строк 2-го типа: A’i=Aj, A’j=Ai.
б) Если и , то матрица A’=Atij получается из матрицы A элементарным преобразованием столбцов 2-го типа: , .
Следствие 8.3.5. Пусть ,
диагональная матрица с элементами на диагонали. Ясно, что .
а) Если и , то
матрица, получаемая из матрицы A умножением строк A1,…,Am соответственно на «числа» .
б) Если и , то
матрица, получаемая из матрицы A умножением столбцов соответственно на «числа» .
В частности, умножение слева матрицы A на матрицу , , равносильно применению к строкам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа A’i=cAi (умножение справа на матрицу такого типа дает применение к столбцам матрицы A элементарного преобразования 3-го типа ).
Замечание 8.3.6. Ясно, что и для E=En, , т. е. \eemph{скалярная} матрица перестановочна с любой другой матрицей из Mn(K).
Задача 8.
3.7. Пусть K — поле, , ,Тогда в том и только в том случае, когда , .
Следствие 8.3.8 (матричная запись системы линейных уравнений). Для системы линейных уравнений
возможна матричная запись AX=B, где A=(aij) — (m,n) -матрица коэффициентов,
столбец неизвестных,
столбец свободных членов.
Таким образом, строка (k1,…,kn) является решением системы линейных уравнений, если столбец
является решением матричного уравнения
Замечание 8.3.9 (Штрассен, 1969). Умножение двух -матриц можно осуществить с использованием 7 умножений и 18 сложений (вместо 8 умножений и 4 сложений в обычном определении произведения матриц
Это соображение развивает идею алгоритма А.
А. Карацубы (1962 г.) быстрого умножения многочленов. Дальнейший прогресс в теории быстрого умножения чисел, многочленов, матриц связан, в частности, с использованием быстрого преобразования Фурье.
18. Элементарные матрицы
Определение 8. Элементарными матрицам называются такие матрицы, которые получаются с помощью одного элементарного преобразования из единичной матрицы.
Таким образом элементарные матрицы получаются из единичной матрицы с помощью следующих элементарных преобразований: 1) перестановка двух строк (I-й и j-й) местами; 2) умножение какой-нибудь строки (I-й) на число С≠0; 3) прибавление к какой-нибудь строке ( I-й) другой строки (J-й), умноженной на число С. Они имеют соответственно следующий вид (первой указана единичная матрица, из которой получены следующие за ней элементарные матрицы, в каждой матрице выделены I-я и j-я строки и I-й и j-й столбцы):
,,,.
Элементарные матрицы обладют следующими свойствами.
1. Определители элементарных матриц не равны нулю и
.
2. Элементарные матрицы обратимы и обратные матрицы для элементарных матриц являются элементарными матрицами:
.
3. Если матрицу А порядка n умножить слева на элементарную матрицу порядка n, то с матрицей А произойдет элементарное преобразование с помощью которого элементарная матрица получена из единичной матрицы.
Свойство 1 следует из свойств определителя, свойство 2 доказывается с помощью непосредственного вычисления обратных матриц по алгоритму из теоремы 5, свойство 3 проверяется с помощью умножения матрицы
Теорема 8. Для любой невырожденной матрицы А существует такая последовательность элементарных матриц Е1, Е2,…, Еk , Что
. (12)
Доказательство. По теореме 2 парарафа 1 существует такая последовательность элементарных преобразований строк, которые переводят матрицу А порядка N в матрицу С ступенчатого вида.
Так как элементарные преобразования не обращают определитель матрицы в нуль, то никогда не получится матрица с нулевой строкой, и строки матрицы не будут выбрасываться. Поэтому матрица С квадратная матрица ступенчатого вида порядка N. Элементарным преобразованиям соответствуют элементарные матрицы Е1, Е2,…, Еu . Пусть J1 переводит матрицу А в А1, J2 переводит А1 в А2 , и т. д. JU переводит Аu-1 в Аu=B. Тогда
,(13),
Где В ступенчатая (треугольная) матрица вида:
Умножим строки этой матрицы соответственно на числа
И матрица В преобразуется к виду:
Приведем матрицу С к единичной матрице. Для этого умножим прибавим к 1-й, к 2-й, и т. д. к (N-1)-й строкам матрицы N-ю строку, умноженную соответственно на числа получим все нули в последнем столбце матрицы С кроме элемента N-й стоки (все остальные элементы матрицы С не меняются).
Аналогично продолжая элементарные преобразования получим из матрицы С единичную матрицу.
Следовательно, существует такая последовательность элементарных преобразований строк, которые переводят матрицу
.
Подставляя в это равенство формулу (13) находим, что
.
Теорема доказана.
Умножая обе части равенства (12) последовательно на находим, что и получаем следующее следствие.
Следствие 1. Любую невырожденную квадратную матрицу А порядка n можно представить в виде произведения элементарных матриц порядка n.
Из равенства (12) в силу теоремы 6 находим, что
.
Отсюда видно, что если мы к матрице Е применим ту же самую цепочку элементарных преобразований строк, с помощью которой из матрицы А мы получили единичную матрицу, то из матрицы Е мы получим обратную матрицу А-1.
Отметим, что эти преобразования можно выполнять одновременно, а для этого достаточно справа к матрице А приписать единичную матрицу того же порядка.
Исходя из этого мы приходим к следующему способу вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Приписываем к матрице А срава единичную матрицу Е того же порядка, разделив их вертикальной чертой. Затем матрицу А с помощью элементарных преобразований строк приводится к единичной матрице Е (если в преобразованной матрице появится нулевая строка, то detA=0 и обратная матрица А-1 не существует). Тогда на месте приписанной матрицы Е получается матрица А-1.
Пример 4. Вычислить обратную матрицу для матрицы
.
Припишем справа к матрице А единичную матрицу и приведем матрицу А элементарными преобразованиями к единичной матрице.
.
Таким образом
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Нуль-пространство матрицы
Наборы решений однородных линейных систем являются важным источником векторных пространств.
Пусть A будет m на n матрицей, и рассмотрим однородную систему
Поскольку A равно m на n , набор всех векторов x , удовлетворяющих этому уравнению, образует подмножество R n . (Это подмножество непусто, так как явно содержит нулевой вектор: x = 0 Всегда удовлетворяет A x = 0 .) Этот подгрупп фактически образует подпространство R N , названный Nullspace из Matrix A и Denotedded из Matrix A и Denotedded из Matrix A и Denoteddpace из Matrix A и Denotedpace из Matrix A . Н(А) . Чтобы доказать, что N(A) является подпространством R n , необходимо установить замыкание как при сложении, так и при скалярном умножении.
Если х 1 и x 2 находятся в N (A) , затем, по определению, A x 1 = 0 и A x 2 = 0 20202019. Сложение этих уравнений дает
, который проверяет закрытие при добавлении. Далее, если x находится в N(A) , то A x = 0 , поэтому, если k является любым скаляром,
проверка закрытия при скалярном умножении. Таким образом, множество решений однородной линейной системы образует векторное пространство. Обратите внимание, что если система не однородно, то множество решений не является векторным пространством, так как множество не будет содержать нулевой вектор.
Пример 1 : Плоскость P в Примере 7, заданная как 2 x + y − 3 z = 0, была показана как подпространство R 3 .
Другое доказательство того, что это определяет подпространство R 3 , следует из наблюдения, что 2 x + y − 3 z = 0 эквивалентно однородной системе
, где A — матрица 1 x 3 [2 1 −3]. P является пустым пространством A .
Пример 2 : Набор решений однородной системы
образует подпространство R n для некоторых n . Укажите значение n и явно определите это подпространство.
Так как матрица коэффициентов 2 на 4, x должен быть 4-векторным. Таким образом, n = 4: нулевое пространство этой матрицы является подпространством R 4 . Чтобы определить это подпространство, уравнение решается путем сокращения первой строки данной матрицы:
Следовательно, система эквивалентна
то есть
Если вы сделаете x 3 и x 4 свободными переменными, второе уравнение, приведенное непосредственно выше, дает
Подстановка этого результата в другое уравнение дает x 1 :
Следовательно, множество решений данной однородной системы можно записать в виде
, которое является подпространством R 4 .
Это нулевое пространство матрицы
Пример 3 : Найти нулевое пространство матрицы
По определению, нулевое пространство A состоит из всех векторов x таких, что A x = 0 . Выполните следующие элементарные операции над строками A ,
, чтобы сделать вывод, что A x = 0 эквивалентно более простой системе
Вторая строка подразумевает, что x 2 = 0, а обратная подстановка этого числа в первую строку означает, что x 1 = 0 также. Поскольку единственное решение A x = 0 равно x = 0 , нулевое пространство A состоит только из нулевого вектора. Это подпространство { 0 } называется тривиальным подпространством (из R 2 ).
Пример 4 : Найти нулевое пространство матрицы
Чтобы решить B x = 0 , начните с сокращения строк B :
Таким образом, система B x = 0 эквивалентна более простой системе
.
Поскольку нижняя строка этой матрицы коэффициентов содержит только нули, x 2 можно взять в качестве свободной переменной. Затем первая строка дает любой вектор формы
удовлетворяет B x = 0 . Совокупность всех таких векторов представляет собой нулевое пространство B , подпространство Р 2 :
Матрицы
Матрицы Слово «матрица» относится к прямоугольному массиву элементов. Матрицы полезны в процедурах преобразования таких наборов элементов. Общая запись для матриц использует полужирную букву для обозначения матрицы и идентифицирует ее элементы с точки зрения строк и столбцов массива. Элементы обычно указываются нижними индексами a rc с первым индексом строки. Сокращенное обозначение матриц .Матрицы одинакового размера можно складывать, вычитать или умножать на константу так же, как и обычные числа, применяя операцию к каждому элементу. Эти операции следуют правилам комбинации, аналогичным обычным числам. Учитывая, что матрица представляет собой прямоугольный массив, мы можем говорить о матрице m x n (читай m x n матрице) как о матрице, которая имеет m строк и n столбцов. Используя сокращенную запись для матриц, введенную выше, мы можем описать некоторые свойства матриц. Умножение матриц требует определенной процедуры и определено для двух матриц, только если количество строк второй матрицы равно количеству столбцов первой, как будет показано ниже.
| Индекс Артикул Kreysig | ||
| Вернуться |
Например, один тип процедуры будет представлять преобразование из одного набора координатных осей в другой. Другой — решение линейных систем уравнений.
Транспонирование A T матрицы m x n A [a jk ] представляет собой матрицу n x m, которая имеет первую строку матрицы A в качестве первого столбца , вторую строку матрицы A. второй столбец и так далее. Симметричные матрицы и кососимметричные матрицы — это квадратные матрицы, транспонирование которых равно матрице или минус матрица соответственно: Применение матриц часто связано с умножением двух матриц, что требует правил комбинирования элементов матриц. Используя стандартную практику использования строчных букв для элементов матриц с двумя нижними индексами в порядке строки и столбца , этот процесс умножения матриц для матриц 3×3 может быть изображен как: Умножение матриц включает в себя нахождение элементов c ij матрицы произведения путем применения специального правила, которое включает умножение элементов i -й строки матрицы A на элементы j -й -й столбец матрицы B. Это достаточно запутанно, чтобы помочь визуально изобразить процесс следующим образом: Операции, выполняемые при вычислении произведения двух матриц, аналогичны операциям, выполняемым при формировании скалярного произведения двух векторов. Было бы полезно думать о процессе как о формировании элемента c jk путем скалярного произведения строки j матрицы A и столбца k матрицы B. Учитывая природу матричного произведения, оно определяется только в том случае, если число строк в матрице B совпадает с числом столбцов матрицы A. При формировании матричного произведения AB матрица произведения будет иметь то же число строк, как A, и такое же количество столбцов, как B, как показано ниже. Заштрихованные области напоминают, что j-я строка матрицы A и k-й столбец матрицы B объединяются для получения значения коэффициента c jk в матрице произведения C. | Index Kreysig | |
| Вернуться |
Используя одиночные жирные заглавные буквы для обозначения матриц, умножение можно записать:
Для сложения и умножения на константу матрицы следуют правилам комбинирования, аналогичным правилам алгебры. Заметные различия проявляются в умножении матриц. |
