Вычислить производную. — примеры, решения
Пример 1:
Найти производную функции (y/x) и вычислить ее значение при x = 0,5:
y = ln(1-x2)
Решение от преподавателя:
Пример 2:
Найдите производную функции и вычислите
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Найти первую производную заданной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 4:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Найти производную функции (y/x) и вычислить ее значение при x = 0,5:
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 7:
Найти производную y’x функции:
y =sin3 (2x-1) ln(x 3-3x) +7
Решение от преподавателя:
Пример 8:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 9:
Найти производную функции (y/x) и вычислить ее значение при x = 0,5:
(1 – 2x)y3+y= 1
Решение от преподавателя:
F =
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
или
Пример 10:
Найдите производную функции и вычислите
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Найти производную y’x функции:
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
= = =
Производную этого выражения находим по формуле: (xn)’ = n*xn-1
(2x2)’ = 2*2x2-1(x)’ = 4x
(x)’ = 1
Ответ:
Пример 14:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 15:
Найти производную y’x параметрически заданной функции
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 17:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
= =
Ответ:
Пример 18:
Найти производные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 19:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 20:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 21:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 22:
Вычислить производную , параметрически заданной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 23:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 24:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 25:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 26:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 27:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 28:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 29:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 30:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 31:
Найти производную параметрически заданной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 32:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 33:
Вычислить производную и вторую производную:
Решение от преподавателя:
= = =
y’’=12/x3
Пример 34:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 35:
Вычислить f'(2), если .
Решение от преподавателя:
Пример 36:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 37:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
= =
Пример 38:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
= + + = 2*x + + =
Пример 39:
Вычислить y'(x), если
Решение от преподавателя:
Пример 40:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 41:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
= = =
Пример 42:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
или
Пример 43:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 44:
Найти производные вплоть до четвертого порядка:
Решение от преподавателя:
Пример 45:
Найти производную y'(x) функции:
m = 1, n = 5
Решение от преподавателя:
Пример 46:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
или
Пример 47:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 48:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 49:
Найти производную y'(x) функции:
m = 1, n = 5
Решение от преподавателя:
Пример 50:
Найти производную первого порядка заданной функции
Решение от преподавателя:
Пример 51:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 52:
Найти производные вплоть до четвертого порядка:
Решение от преподавателя:
Пример 53:
Найти производную y'(x) функции:
Решение от преподавателя:
Пример 54:
Найти производную первого порядка заданной функции
Решение от преподавателя:
Пример 55:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 56:
Найти производную:
Решение от преподавателя:
Пример 57:
Найти производную y'(x) функции:
m = 1, n = 5
Решение от преподавателя:
Пример 58:
Найти производную первого порядка заданной функции
Решение от преподавателя:
Пример 59:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 60:
Найти производную сложной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 61:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 62:
Найти производную первого порядка заданной функции
Решение от преподавателя:
Пример 63:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 64:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 65:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 66:
Найти производные первого порядка заданных функций:
Решение от преподавателя:
Пример 67:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 68:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 69:
Для заданных функции найти первую производную y′
Решение от преподавателя:
Пример 70:
Найти производные первого порядка заданных функций:
Решение от преподавателя:
Пример 71:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 72:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 73:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 74:
Найти производные первого порядка заданных функций:
Решение от преподавателя:
Пример 75:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Функция задана в параметрическом виде.
Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.
Отдельно находим производные xt‘ и yt‘
Следовательно:
или
Пример 76:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 77:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 78:
Найти производные первого порядка заданных функций:
Решение от преподавателя:
Пример 79:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Прологарифмируем обе части:
Тогда:
Находя производную, получаем:
Поскольку:
(x*sin(x))’ = (x)’sin(x)+x(sin(x))’ = sin(x)+x*cos(x)
(sin(x))’ = cos(x)
Ответ:
Пример 80:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 81:
Найти производную:
Решение от преподавателя:
Пример 82:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 83:
Найти производную:
Решение от преподавателя:
Пример 84:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 85:
Найти производную:
Решение от преподавателя:
Пример 86:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 87:
Найти производную:
Решение от преподавателя:
Пример 88:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 89:
Вычислить производную:
Решение от преподавателя:
Пример 90:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 91:
Найти производную функции.
Решение от преподавателя:
Пример 92:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 93:
Найти производную указанной функций, используя правила дифференцирования:
Решение от преподавателя:
Пример 94:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 95:
Найти производные вплоть до четвертого порядка:
Решение от преподавателя:
Пример 96:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 97:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 98:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 99:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 100:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 101:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 102:
Вычислить производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 103:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 104:
Найти производную указанной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 105:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 106:
Найти производную неявно заданной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 107:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 108:
Найти производную функции, используя логарифмическую производную:
Решение от преподавателя:
Пример 109:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 110:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 111:
Продифференцировать данные функции:
Решение от преподавателя:
Пример 112:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 113:
Продифференцировать данную функцию:
Решение от преподавателя:
Пример 114:
Найти значение производной функции в точке .
Решение от преподавателя:
Пример 115:
Продифференцировать данную функцию:
Решение от преподавателя:
Пример 116:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 117:
Продифференцировать данную функцию:
Решение от преподавателя:
Пример 118:
Найти производную функции:
Решение от преподавателя:
Пример 119:
Продифференцировать данную функцию:
Решение от преподавателя:
Пример 120:
Найти производную первого порядка данной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 121:
Найти производную первого порядка данной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 122:
Найти производную первого порядка данной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 123:
Найти производную первого порядка данной функции:
Решение от преподавателя:
Пример 124:
Найти производную первого порядка данной функции:
Решение от преподавателя:
1 Вычислить производные данных функций.
Лабораторная работа №13
Вычисление производных
Необходимые понятия и теоремы: формулы для производных основных функций; правила дифференцирования, связанные с арифметическими действиями над функциями; производная сложной функции; дифференциал; производная обратной функции; производная функции, заданной параметрически; производная функции, заданной неявно.
Литература: [1] с. 232 – 243, [2] с. 146 – 157.
№ | |||
1 | 2 | 3 | 4 |
1.1 | ; | 1. | |
1.2 | 1.12 | ||
1.3 | 1.13 | ||
1.4 | 1.14 | ||
1 | 2 | 3 | 4 |
1.5 | 1.15 | ||
1. | 1.16 | ; ; | |
1.7 | 1.17 | ||
1.8 | 1.18 | ||
1.9 | 1.19 |
11
61 | 2 | 3 | 4 |
1. | 1.20 |
102 Пользуясь правилами дифференцирования, вычислить производные данных функций.
№ | № | ||
2.1 | 2.11 | ||
2.2 | 2.12 | ||
2.3 | 2.13 | ||
2. | 2.14 | ||
2.5 | 2.15 | ||
2.6 | 2.16 | ||
2.7 | 2.17 | ||
2.8 | 2.18 | ||
2.9 | 2. | ||
2.10 | 2.20 |
4
193 Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислить производную функции .
№ | № | ||
3.1 | 3.11 | ||
3.2 | 3.12 | ||
3.3 | 3. | ||
3.14 | |||
3.5 | 3.15 | ||
3.6 | 3.16 | ||
3.7 | 3.17 | ||
3.8 | 3.18 | ||
3.9 | 3. | ||
3.10 | 3.20 |
13
4 Найти производную функции .
№ | № | ||
1 | 2 | 3 | 4 |
4.1 | 4.11 | ||
4.2 | 4. | ||
4.3 | 4.13 | ||
4.4 | 4.14 |
121 | 2 | 3 | 4 |
4.5 | 4.15 | ||
4.6 | 4. | ||
4.7 | 4.17 | ||
4.8 | 4.18 | ||
4.9 | 4.19 | ||
4.10 | 4.20 |
16
Решение : \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(x,y) &= 2x\\ \pdiff{f}{x}(1,2) &= 2\\ \pdiff{f}{y}(x,y) &= 2y\\ \pdiff{f}{y}(1,2) &= 4 \конец{выравнивание*} Итак, $Df(1,2)=\left[\ 2 \ \ 4\ \right]$.
Поскольку обе частные производные $\pdiff{f}{x}(x,y)$ и $\pdiff{f}{y}(x,y)$ являются непрерывными функциями, мы знаем, что $f(x,y)$ дифференцируема. Следовательно, $Df(1,2)$ — производная от $f$, и функция имеет там касательную плоскость. 92=5$. Уравнение касательной плоскости: \начать{выравнивать*} z &= f(1,2)+\pdiff{f}{x}(1,2)(x-1) + \pdiff{f}{y}(1,2)(y-2) \\ &= 5 + 2(х-1) + 4(у-2) \конец{выравнивание*}
Для скалярной функции двух переменных, такой как $f(x,y)$, касательная плоскость — это линейное приближение. Мы можем написать линейное приближение как \начать{выравнивать*} L (х, у) = 5 + 2 (х-1) + 4 (у-2). \конец{выравнивание*}
Пример 1′
Если посмотреть на точку $(2,3)$, что изменится?
Решение : Частные производные меняются, поэтому производная становится
\начать{выравнивать*}
\pdiff{f}{x}(2,3) &= 4\\
\pdiff{f}{y}(2,3) &= 6\\
Df(2,3) &= \left[\ 4 \ \ 6\ \right].
2) 0, 2+\sin 0)\\
&= (0,2)
\конец{выравнивание*}
Тогда линейное приближение к $\vc{f}$ в (1,2,0) есть
Линейное приближение к $\vc{f}$ есть
\начать{выравнивать*}
L(x,y,z) & = \vc{f}(1,2,0) + D\vc{f}(1,2,0) (x-1, y-2, z)
\\
«=»
\левый[
\начать{массив}{с}
0\2
\конец{массив}
\верно]
+
\левый[
\begin{массив}{ccc}
0 и 0 и 4\\
0 и 1 и 1
\конец{массив}
\верно]
\левый[
\начать{массив}{с}
х-1\у-2\\г
\конец{массив}
\верно]
\\
«=»
\левый[
\начать{массив}{с}
0\2
\конец{массив}
\верно]
+
\левый[
\начать{массив}{с}
4з\у-2+з
\конец{массив}
\верно]
\\
&=(4г, у+г)
\конец{выравнивание*}
Пример 4
Используйте линейную аппроксимацию $\vc{f}(x,y,z)$ из примера 3 для аппроксимировать значение $\vc{f}$ в точке $(1.1,1.9,0.1)$.
Решение :
Приведенное выше линейное приближение при $(x,y,z) = (1.1,1.9,0.1)$ равно
\начать{выравнивать*}
L(1.1,1.9,0.1) &= (4(0.1), 1.
9+0.1)\\
& = (0,4, 2,0)
\конец{выравнивание*}
Обратите внимание, что $(1.1,1.9,0.1)$ очень близко к $(1,2,0)$, т.е. точка, вокруг которой мы вычислили линейную аппроксимацию. Итак, мы ожидать, что это линейное приближение будет близко к истинному значению $\vc{f}$ в $(1.1,1.92(0,1), 1,9+\sin(0,1))\\ &\ приблизительно (0,4368,1,9998). \конец{выравнивание*} В этом случае приближение достаточно близкое.
Калькулятор производной — Калькулятор дифференцирования
Введите функцию и переменную, чтобы найти производную с помощью калькулятора производной.
Калькулятор производных
Калькулятор производных используется для нахождения производной заданной функции по независимой переменной. Этот калькулятор может выполнять явное дифференцирование одним щелчком мыши. Этот калькулятор дифференциации покажет решение с шагами за пару секунд.
Производная – Определение
Пусть f(x) будет функцией, область определения которой содержит открытый интервал в некоторой точке x 0 .
Функция f(x) называется дифференцируемой при х) в x 0 дано by:
Другими словами, производная измеряет чувствительность к изменению значения функции по отношению к изменению ее аргумента. Обратная функция производной известна как первообразная.
Как рассчитать производную?
Чтобы дифференцировать функцию, вы можете использовать приведенный выше калькулятор d/dx. Давайте вычислим производную от 1/x , чтобы понять основную идею вывода.
Как 1/x = x -1
Мы будем использовать правило произведения (см. приведенные ниже правила).
d/dx ( x -1 ) = -1(x -2 ) = — 1/x 2
Пример:
Найдите производную от (x+7) 2 .
Решение:
Шаг 1: Примените символ производного.
d/dx [(x + 7) 2 ]
Шаг 2: Примените степенное правило.
= 2(x + 7) d/dx [x + 7]
= 2(x + 7) [d/dx (x) + d/dx (7)]
= 2(x + 7) [1 + 0]
= 2(x + 7)
Некоторым функциям для завершения процесса дифференцирования требуется вторая производная. В этом случае вы можете использовать наш калькулятор второй производной. 9{a-1}$$
$$\frac{d}{dx}\left[ln\left(x\right)\right]=\frac{1}{x},x >0$$
$$\frac{d}{dx}\left[\log _x\left(x\right)\right]=\frac{1}{xln\left(a\right)},x> 0$$
Как найти производные по правилам?
Используйте наш производный калькулятор с шагами, чтобы дифференцировать функции в соответствии с приведенными выше правилами дифференцирования.