Вычислить производную: Дифференцирование функции, заданной неявно

Вычислить производную. — примеры, решения

Пример 1:

 Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

y = ln(1-x²)

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найдите производную функции и вычислите

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти первую производную заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

 Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти производную y’_x  функции:
y =sin³ (2x-1) ln(x ³-3x) +7

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

 Найти производную функции (y^/_x) и вычислить ее значение при x = 0,5:

(1 – 2x)y³+y= 1

Решение от преподавателя:

F =

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле: 

Для нашей функции: 


Тогда: 

или 

Пример 10:

Найдите производную функции и вычислите

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Найти производную y’_x  функции:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = = 


Производную этого выражения находим по формуле: (xⁿ)’ = n*x^n-1 
(2x²)’ = 2*2x^2-1(x)’ = 4x 
(x)’ = 1 
Ответ: 

Пример 14:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Найти производную y’_x параметрически заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = 


Ответ: 

Пример 18:

Найти производные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти  производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить производную , параметрически заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Найти  производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 26:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Найти производную  функции:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти производную  параметрически заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Вычислить производную и вторую производную:

Решение от преподавателя:

 =  =  = 

y’’=12/x³

Пример 34:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 35:

Вычислить f'(2), если .

Решение от преподавателя:

Пример 36:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 37:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = 

Пример 38:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

 =  +  +  = 2*x +  +  = 

Пример 39:

Вычислить y'(x), если

Решение от преподавателя:

Пример 40:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 41:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 =  = =

Пример 42:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле: 

Для нашей функции: 


Тогда: 

или 

Пример 43:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 44:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 45:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 46:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле: 

Для нашей функции: 


Тогда: 

или 

Пример 47:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 48:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 49:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 50:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 51:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 52:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 53:

Найти производную y'(x) функции:

Решение от преподавателя:

Пример 54:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 55:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 56:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 57:

Найти производную y'(x) функции:

m = 1, n = 5

Решение от преподавателя:

Пример 58:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 59:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 60:

Найти производную сложной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 61:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 62:

Найти производную первого порядка заданной функции

Решение от преподавателя:

Пример 63:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

 

Пример 64:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 65:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 66:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 67:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 68:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 69:

Для заданных функции найти  первую производную y′

Решение от преподавателя:

Пример 70:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 71:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 72:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 73:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 74:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 75:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Функция задана в параметрическом виде. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.

Отдельно находим производные x_t‘ и y_t‘


Следовательно:

или
 

Пример 76:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 77:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 78:

Найти производные первого порядка заданных функций:

Решение от преподавателя:

Пример 79:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Прологарифмируем обе части:

Тогда:

Находя производную, получаем:

Поскольку:


(x*sin(x))’ = (x)’sin(x)+x(sin(x))’ = sin(x)+x*cos(x)
(sin(x))’ = cos(x)
Ответ:

Пример 80:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 81:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 82:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 83:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 84:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 85:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 86:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 87:

Найти производную:

Решение от преподавателя:

Пример 88:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 89:

Вычислить производную:

Решение от преподавателя:

Пример 90:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 91:

Найти производную функции.

Решение от преподавателя:

Пример 92:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 93:

Найти производную указанной функций, используя правила дифференцирования:

Решение от преподавателя:

Пример 94:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 95:

Найти производные вплоть до четвертого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 96:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 97:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 98:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 99:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 100:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 101:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 102:

Вычислить производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 103:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 104:

Найти производную указанной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 105:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 106:

Найти производную неявно заданной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 107:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 108:

Найти производную функции, используя логарифмическую производную:

Решение от преподавателя:

Пример 109:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 110:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 111:

Продифференцировать данные функции:

Решение от преподавателя:

Пример 112:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 113:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 114:

Найти значение производной функции в точке .

Решение от преподавателя:

Пример 115:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 116:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 117:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 118:

Найти производную функции:

Решение от преподавателя:

Пример 119:

Продифференцировать данную функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 120:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 121:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 122:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 123:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

Пример 124:

Найти производную первого порядка данной функции:

Решение от преподавателя:

1 Вычислить производные данных функций.

Лабораторная работа №13

Вычисление производных

Необходимые понятия и теоремы: формулы для производных основных функций; правила дифференцирования, связанные с арифметическими действиями над функциями; производная сложной функции; дифферен­циал; производная обратной функции; производная функции, заданной па­раметрически; производная функции, заданной неявно.

Литература: [1] с. 232 – 243, [2] с. 146 – 157.

№
1	2	3	4
1.1	;	1. 11
1.2		1.12
1.3		1.13
1.4		1.14
1	2	3	4
1.5		1.15
1. 6		1.16	; ;
1.7		1.17
1.8		1.18
1.9		1.19

1	2	3	4
1. 10		1.20

2 Пользуясь правилами дифференцирования, вычислить производные данных функций.

№		№
2.1		2.11
2.2		2.12
2.3		2.13
2. 4		2.14
2.5		2.15
2.6		2.16
2.7		2.17
2.8		2.18
2.9		2. 19
2.10		2.20

3 Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычис­лить производную функции .

№		№
3.1		3.11
3.2		3.12
3.3		3. 13
3.4		3.14
3.5		3.15
3.6		3.16
3.7		3.17
3.8		3.18
3.9		3. 19
3.10		3.20

4 Найти производную функции .

№		№
1	2	3	4
4.1		4.11
4.2		4. 12
4.3		4.13
4.4		4.14

1	2	3	4
4.5		4.15
4.6		4. 16
4.7		4.17
4.8		4.18
4.9		4.19
4.10		4.20

2$. Найдите $Df(1,2)$ и уравнение касательной плоскость в точке $(x,y)=(1,2)$. Найдите линейное приближение к $f(x,y)$ при $(х,у)=(1,2)$.

Решение : \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(x,y) &= 2x\\ \pdiff{f}{x}(1,2) &= 2\\ \pdiff{f}{y}(x,y) &= 2y\\ \pdiff{f}{y}(1,2) &= 4 \конец{выравнивание*} Итак, $Df(1,2)=\left[\ 2 \ \ 4\ \right]$.

Поскольку обе частные производные $\pdiff{f}{x}(x,y)$ и $\pdiff{f}{y}(x,y)$ являются непрерывными функциями, мы знаем, что $f(x,y)$ дифференцируема. Следовательно, $Df(1,2)$ — производная от $f$, и функция имеет там касательную плоскость. 92=5$. Уравнение касательной плоскости: \начать{выравнивать*} z &= f(1,2)+\pdiff{f}{x}(1,2)(x-1) + \pdiff{f}{y}(1,2)(y-2) \\ &= 5 + 2(х-1) + 4(у-2) \конец{выравнивание*}

Для скалярной функции двух переменных, такой как $f(x,y)$, касательная плоскость — это линейное приближение. Мы можем написать линейное приближение как \начать{выравнивать*} L (х, у) = 5 + 2 (х-1) + 4 (у-2). \конец{выравнивание*}

Пример 1′

Если посмотреть на точку $(2,3)$, что изменится?

Решение : Частные производные меняются, поэтому производная становится \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(2,3) &= 4\\ \pdiff{f}{y}(2,3) &= 6\\ Df(2,3) &= \left[\ 4 \ \ 6\ \right]. 2) 0, 2+\sin 0)\\ &= (0,2) \конец{выравнивание*} Тогда линейное приближение к $\vc{f}$ в (1,2,0) есть Линейное приближение к $\vc{f}$ есть \начать{выравнивать*} L(x,y,z) & = \vc{f}(1,2,0) + D\vc{f}(1,2,0) (x-1, y-2, z) \\ «=» \левый[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \верно] + \левый[ \begin{массив}{ccc} 0 и 0 и 4\\ 0 и 1 и 1 \конец{массив} \верно] \левый[ \начать{массив}{с} х-1\у-2\\г \конец{массив} \верно] \\ «=» \левый[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \верно] + \левый[ \начать{массив}{с} 4з\у-2+з \конец{массив} \верно] \\ &=(4г, у+г) \конец{выравнивание*}

Пример 4

Используйте линейную аппроксимацию $\vc{f}(x,y,z)$ из примера 3 для аппроксимировать значение $\vc{f}$ в точке $(1.1,1.9,0.1)$.

Решение : Приведенное выше линейное приближение при $(x,y,z) = (1.1,1.9,0.1)$ равно \начать{выравнивать*} L(1.1,1.9,0.1) &= (4(0.1), 1. 9+0.1)\\ & = (0,4, 2,0) \конец{выравнивание*}

Обратите внимание, что $(1.1,1.9,0.1)$ очень близко к $(1,2,0)$, т.е. точка, вокруг которой мы вычислили линейную аппроксимацию. Итак, мы ожидать, что это линейное приближение будет близко к истинному значению $\vc{f}$ в $(1.1,1.92(0,1), 1,9+\sin(0,1))\\ &\ приблизительно (0,4368,1,9998). \конец{выравнивание*} В этом случае приближение достаточно близкое.

Калькулятор производной — Калькулятор дифференцирования

Введите функцию и переменную, чтобы найти производную с помощью калькулятора производной.

Калькулятор производных

Калькулятор производных используется для нахождения производной заданной функции по независимой переменной. Этот калькулятор может выполнять явное дифференцирование одним щелчком мыши. Этот калькулятор дифференциации покажет решение с шагами за пару секунд.

Производная – Определение

Пусть f(x)  будет функцией, область определения которой содержит открытый интервал в некоторой точке x ₀ .  Функция f(x)  называется дифференцируемой при х)  в x ₀  дано by:

Другими словами, производная измеряет чувствительность к изменению значения функции по отношению к изменению ее аргумента. Обратная функция производной известна как первообразная.

Как рассчитать производную?

Чтобы дифференцировать функцию, вы можете использовать приведенный выше калькулятор d/dx. Давайте вычислим производную от 1/x , чтобы понять основную идею вывода.

Как 1/x = x ^-1

Мы будем использовать правило произведения (см. приведенные ниже правила).

d/dx ( x ^-1 ) = -1(x ^-2 ) = — 1/x ²

Пример:

Найдите производную от (x+7) ² .

Решение:

Шаг 1: Примените символ производного.

d/dx [(x + 7) ² ]

Шаг 2: Примените степенное правило.

= 2(x + 7) d/dx [x + 7]

= 2(x + 7) [d/dx (x) + d/dx (7)]

= 2(x + 7) [1 + 0]

= 2(x + 7) 

Некоторым функциям для завершения процесса дифференцирования требуется вторая производная. В этом случае вы можете использовать наш калькулятор второй производной. 9{a-1}$$ Правило сумм $$\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\ frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]+\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]$$ Правило разности $$\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\frac{d}{dx}\left[f \left(x\right)\right]-\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]$$ Правило произведения $$\frac{d} {dx}\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left (x\right)\right]+f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]$$ 9xln\left(a\right),a>0$$
$$\frac{d}{dx}\left[ln\left(x\right)\right]=\frac{1}{x},x >0$$
$$\frac{d}{dx}\left[\log _x\left(x\right)\right]=\frac{1}{xln\left(a\right)},x> 0$$

Как найти производные по правилам?

Используйте наш производный калькулятор с шагами, чтобы дифференцировать функции в соответствии с приведенными выше правилами дифференцирования.