Что такое сложение векторов: Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число — урок. Геометрия, 11 класс.

Содержание

Векторы для чайников. Часть 1. Сложение, разность, умножение на число. — Блог

Векторы для чайников. Часть 1. Сложение, разность, умножение на число.

18 июня 2021 0 Marina Pashnina

Есть на баше одна уже старая шутка про черного кота, которая звучит как-то так:

— Если чёрный кот перешел дорогу туда и обратно, это значит, что он удвоил наказание или отменил своё решение?
— Кот скалярный или векторный? Если скалярный — то удвоил, если векторный — то отменил.

В общем, с этой ноты и начинается статья про то, что было бы, если бы уже знакомый нам кот по имени Котаненс был векторным или скалярным, или статья о векторах.

Вектор — это направленный отрезок и главное, что нужно знать о векторе — у него есть величина и направление. Тут пока все сходится с котом, переходящим дорогу: кот идет в определенном направлении и проходит при этом определенное расстояние.

В школьном курсе геометрии рассматриваются некоторые действия над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число, разность векторов. В основном, эти действия интуитивно понятные, достаточно только представить или нарисовать вектор или пару векторов. Давайте коротко рассмотрим эти действия.

Отдельно оговорюсь о существовании нулевых векторов — таких векторов, у которых начало и конец находятся в одной точке. Для упрощения материала этот нулевой вектор будет местами игнорироваться ввиду малой практической значимости.

Что ж, начнем.

Сложение векторов

Есть несколько методов сложения векторов, которые руководствуются похожими принципами.

Для сложения двух векторов нам понадобятся вектора ā и b̅ (кто бы мог подумать?) .

Отложим вектор b̅ от вектора ā и проведем от конца вектора ā до начала вектора b̅ результирующий вектор. Этот прием называется правило треугольника.

Результатом сложения будет вектор ā + b̅. Всё также, как с котом: сначала кот прошел по вектору ā (определенное расстояние в определенном направлении), затем по вектору b̅. То, что он прошел в итоге — это и есть результирующий вектор ā + b̅.

Это же работает и для сложения нескольких векторов: кот может пробежать по зиг-загу, или же статно пройти по результирующему вектору.

Если же вектор b̅ отложить не от конца, а от начала вектора ā, то получится правило параллелограмма.

Тут можно вспомнить векторного кота из шутки — если векторный кот пройдет туда-обратно, результирующий вектор, по которому он пройдет — будет равняться 0, а значит — кот отменит свое проклятье.

Скалярный же кот при проходе туда-обратно сложит длины векторов и получит число в 2 раза больше изначального, а значит и проклятье удвоится.

Разность векторов

Разность векторов ā и b̅ также можно рассчитать несколькими способами.

ā — b̅, как частный случай сложения — это сложение вектора ā с вектором, обратному b̅, т.е. ā + (-b̅).

Вектор -b̅, обратный к вектору b̅ сделать просто: кот просто должен пойти в обратную сторону.

А дальше просто складываем этот вектор с вектором ā.

Второй способ получить разность векторов чуть сложнее для осознания: разностью векторов ā и b̅ называется такой вектор, сумма которого с вектором b̅ дает вектор ā. Для понимания достаточно просто нарисовать на листочке и все станет ясно.

Умножение вектора на число

Умножение вектора a на число n создает такой вектор, длина которого равна |ā| * | n |, где |ā| — это длина вектора a, а направление сохраняется при n >= 0 и меняется при n < 0.

Эта статья оказалась достаточно объемной, поэтому я рещила разделить ее на 2 части: во второй части статьи будет рассказано про векторное и скалярное произведение векторов и об этом можно почитать в статье «Векторы для чайников. Часть 2.».

Операции с векторами, сложение векторов, умножение вектора на действительное число.

Рассмотрим вектор v с начальной точкой в начале координат в любой координатной системе x-y и с конечной точкой в (a,b). Мы говорим, что вектор находится в стандартном положении и ссылаемся на него как на радиус-вектор. Обратите внимание, что пара точек определяет этот вектор. Таким образом, мы можем использовать это для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы имеем в виду вектор, и, чтобы избежать путаницы, как правило, пишут:
v = .

Координата a есть скаляром горизонтальной компоненты вектора, и координата b есть скаляром вертикальной компоненты вектора.

Под скаляром мы подразумеваем численное количество, а не векторную величину. Таким образом, это рассматривается как компонентная форма v. Обратите внимание, что a и b НЕ вектора и их не надо путать с определением компонента вектора.

Теперь рассмотрим с A = (x₁, y₁) и C = (x₂, y₂). Давайте рассмотрим, как найти радиус вектор, эквивалентный . Как Вы видите на рисунке внизу, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся вычитанием координат A из координат C. Таким образом, P = (x₂ — x₁, y₂ — y₁) и радиус вектор есть .

Можно показать, что и имеют одну и ту же величину и направление, и поэтому эквивалентны. Таким образом, = = 2 — x₁, y₂ — y₁ >.

Компонентная форма с A = (x₁, y₁) и C = (x₂, y₂) есть
= 2 — x₁

, y₂ — y₁ >.

Пример 1 Найдите компонентную форму если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).

Решение Мы имеем
= = .

Обратите внимание, что вектор есть равным радиус-вектору , как показано на рисунке вверху.

Теперь, когда мы знаем, как записать вектор в компонентной форме, давайте изложим некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = 1, v₂ >, мы имеем
|v|² = v²₁ + v²₂ Используя теорему Пифагора
|v| = √v²₁ + v²₂.

Длина, или величина ветктора v = 1, v₂ > находится как |v| = √v²₁ + v²₂.

Два вектора

равны или эквивалентны, если они имеют одну и ту же величину и одно и то же направление.

Пусть u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >. Tогда
1, u₂ > = 1, v₂ > только если u₁ = v₁ and u₂ = v₂.

Операции с векторами

Чтобы умножить вектор V на положительное число, мы умножаем его длину на это число. Его направление остается прежним. Когда вектор V умножается на 2, например, его длина увеличивается в два раза, но его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а направление остается прежним. Чтобы умножить вектор V на отрицательное действительное число, умножаем его длину на это число и изменяем направление на противоположное. Например, Когда вектор умножается на (-2), его длина увеличивается в два раза и его направление изменяется на противоположное. Так как действительные числа работают как скалярные множители в умножении векторов, мы называем их

скаляры и произведение kv называется скалярные кратные v.

Для действительного числа k и вектора v = 1, v₂ >, скалярное произведение k и v есть
kv = k.1, v₂ > = 1, kv₂ >.
Вектор kv есть скалярным кратным вектора v.

Пример 2 Пусть u = и w = . Найдите — 7w, 3u и — 1w.

Решение
— 7w = — 7. = ,
3u = 3. = ,
— 1w = — 1. = .

Теперь мы можем сложить два вектора, используя компоненты. Чтобы сложить два вектора в компонентной форме, мы складываем соответствующие компоненты. Пусть u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >. Тогда
u + v = 1 + v₁

, u₂ + v₂ >

Например, если v = и w = , тогда
v + w = =

Если u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >, тогда
u + v = 1 + v₁, u₂ + v₂ >.

Перед тем, как мы определим вычитание векторов нам нужно дать определение — v. Противоположный вектору v = 1, v₂ >, изображенному внизу, есть
— v = (- 1).v = (- 1)1, v₂ > = 1, — v₂ >

Вычитание векторов, такое как u — v вовлекает вычитание соответствующих компонент. Мы покажем это представлением u — v как u + (- v). Если u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >, тогда
u — v = u + (- v) = 1, u₂ > + 1, — v₂ > = 1 + (- v₁), u₂ + (- v₂) > = 1 — v₁, u₂ — v₂ >

Мы можем проиллюстрировать вычитание векторов с помощью параллелограмма , как мы это делали для сложения векторов.

Вычитание векторов

Если u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >, тогда
u — v = 1 — v₁, u₂ — v₂ >.

Интересно сравнить суммы двух векторов с разницей тех же двух векторов в одном параллелограмме. Векторы u + v и u — v есть диагоналями параллелограмма.

Пример 3 Сделайте следующие вычисления, где u = и v = .
a) u + v
b) u — 6v
c)3u + 4v
d)|5v — 2u|

Решение
a) u + v = + = = ;
b)u — 6v = — 6. = — = ;
c) 3u + 4v = 3. + 4. = + = ;
d) |5v — 2u| = |5. — 2.| = | — | = || = √(- 29)² + 21² = √1282 ≈ 35,8

Прежде чем сформулировать свойства векторного сложения и умножения, мы должны дать определение еще одному специальному вектору — нулевому вектору.

Вектор, чья начальная точка совпадает с конечной точкой, называется нулевым вектором, обозначается O, или . Его величина равна 0. В сложении векторов:
v + O = v. 1, v₂ > + = 1, v₂ >
Операции над векторами обладают те же самыми свойствами, что и операции над вещественными числами.

Свойства векторного сложения и умножения

Для всех векторов u, v, и w, и для всех скаляров b и c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b(cv) = (bc)v.
7. (b + c)v = bv + cv.
8. b(u + v) = bu + bv.

Орты

Вектор величиной, или длиной 1 называется орт. Вектор v = есть орт, потому что
|v| = || = √(- 3/5)² + (4/5)² = √9/25 + 16/25 = √25/25 = √1 = 1.

Пример 4 Найдите орт, который имеет то же самое направление, что и вектор w = .

Решение Найдем сначала длину w:
|w| = √(- 3)²

+ 5² = √34.

Таким образом, мы ищем вектор, с длиной 1/√34 от w и с таким же самым направлением, что и вектор w. Этот вектор есть
u = w/√34 = /√34 = .
Вектор u есть орт, потому что
|u| = |w/√34| = = √9/34 + 25/34 = √34/34 = √1 = 1.

Если v есть вектор и v ≠ O, тогда
(1/|v|)• v, or v/|v|,
есть орт в направлении v.

Хотя орты могут иметь любое направление, орты, параллельные осям x и y особенно полезны. Они определяются как
i = and j = .

Любой вектор может быть выражен как линейная комбинация орта i и j. Например, пусть v = 1, v₂ >. Tогда
v = 1, v₂ > = 1, 0 > + 2 > = v₁ + v₂ = v₁i + v₂j.

Пример 5 Выразите вектор r = как линейную комбинацию i и j.

Решение

r = = 2i + (- 6)j = 2i — 6j.

Пример 6 Запишите вектор q = — i + 7j в компонентной форме.

Решениеq = — i + 7j = -1i + 7j =

Векторные операции могут быть также выполнены, когда векторы записаны как линейные i и j.

Пример 7 Если a = 5i — 2j и b = -i + 8j, найдите 3a — b.

Решение
3a — b = 3(5i — 2j) — (- i + 8j) = 15i — 6j + i — 8j = 16i — 14j.

Углы обзора

Конечная точка P орты в стандартной позиции есть точкой на единичной окружности, определенной (cosθ, sinθ). Таким образом, орт может быть выражен в компонентной форме,
u = ,
или как линейная комбинация орт i и j,
u = (cosθ)i + (sinθ)j,
где компоненты u есть функциями угла обзора θ измеряемого против часовой стрелки от оси x к этому вектору. Так как θ изменяется от 0 до 2π, точка P отслеживает круг x² + y² = 1. Это охватывает все возможные направления ортов и тогда уравнение u = (cosθ)i + (sinθ)j описывает каждый возможный орт на плоскости.

Пример 8 Вычислите и сделайте эскиз орта u = (cosθ)i + (sinθ)j для θ = 2π/3. Изобразите единичную окружность на эскизе.

Решение
u = (cos(2π/3))i + (sin(2π/3))j = (- 1/2)i + (√3/2)j

Пусть v = 1, v₂ > с углом обзора θ. Используя определение функции тангенса, мы можем определить угол обзора их компонент v:

Пример 9 Определите угол обзора θ вектора w = — 4i — 3j.

Решение Мы знаем, что
w = — 4i — 3j = .
Таким образом, имеем
tanθ = (- 3)/(- 4) = 3/4 и θ = tan^{— 1}(3/4).
Так как w находится в третьем квадранте, мы знаем, что θ есть углом третьего квадранта. Соответствующий угол есть
tan^{— 1}(3/4) ≈ 37°, и θ ≈ 180° + 37°, или 217°.

Это удобно для работы с прикладными задачами, а в последующих курсах, чтобы иметь способ выразить вектор так, чтобы его величина и направление могли быть легко определены или прочитаны. Пусть v это вектор. Тогда v/|v| есть орт в том же самом направлении, что и v. Таким образом, мы имеем
v/|v| = (cosθ)i + (sinθ)j
v = |v|[(cosθ)i + (sinθ)j] Умножая на |v|
v = |v|(cosθ)i + |v|(sinθ)j.

Углы между векторами

Когда вектор умножается на скаляр, результатом есть вектор. Когда складываются два вектора, результатом также есть вектор. Таким образом, мы могли бы ожидать, что произведение двух векторов есть вектор, но это не так. Скалярное произведение двух векторов есть действительное число или скаляр. Этот результат полезен в нахождении угла между двумя векторами и в определении, являются ли два вектора перпендикулярными.

Скалярное произведение двух векторов u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ > is
u • v = u₁.v₁ + u₂.v₂
(Обратите внимание, что u₁v₁ + u₂v₂ есть скаляром, а не вектором.)

Пример 10Найдите скалярное произведение, когда
u = , v = и w = .
a)u • w
b)w • v

Решение
a) u • w = 2(- 3) + (- 5)1 = — 6 — 5 = — 11;
b) w • v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.

Скалярное произведение может быть использовано для нахождения угла между двумя векторами. Угол между двумя векторами это самый маленький положительный угол, образованный двумя направленными отрезками. Таким образом, θ между u и v это тот же самый угол, что и между v и u, и 0 ≤ θ ≤ π.

Если θ есть углом между двумя ненулевыми векторами u и v, тогда
cosθ = (u • v)/|u||v|.

Пример 11Найдите угол между u = и v = .

Решение Начнем с нахождения u • v, |u|, и |v|:
u • v = 3(- 4) + 7(2) = 2,
|u| = √3² + 7² = √58, and
|v| = √(- 4)² + 2² = √20.
Tогда
cosα = (u • v)/|u||v| = 2/√58.√20
α = cos^{— 1}(2/√58.√20)
α ≈ 86,6°.

Равновесие сил

Когда несколько сил действуют на одну и ту же точку на объекте, их векторная сумма должна быть равна нуля, для того, чтобы был баланс. Когда есть баланс сил, то объект является стационарным или движется по прямой линии, без ускорения. Тот факт, что векторная сумма должна быть равна нулю вывода для получения баланса, и наоборот, позволяет решать нам многие прикладные задачи с участием сил.

Пример 12 Подвесной блок 350- фунтовый блок подвешен с помощью двух кабелей. осталось. В точке А есть три силы, действующие так: W блок тянет вниз, а R и S (два кабеля) тянут вверх и наружу. Найдите нагрузку каждого кабеля.

Решение Нарисуем диаграмму с начальными точками каждого вектора в начале кооординат. Для баланса, сумма векторов должна быть равна О:

R + S + W = О.
Мы можем выразить каждый вектор через его величину и угол обзора :
R = |R|[(cos125°)i + (sin125°)j],
S = |S|[(cos37°)i + (sin37°)j], и
W = |W|[(cos270°)i + (sin270°)j]
= 350(cos270°)i + 350(sin270°)j
= -350j cos270° = 0; sin270° = — 1.
Заменяя R, S, и W in R + S + W + O, мы имеем
[|R|(cos125°) + |S|(cos37°)]i + [|R|(sin125°) + |S|(sin37°) — 350]j = 0i + 0j.
Это дает нам систему уравнений:
|R|(cos125°) + |S|(cos37°) = 0,
|R|(sin125°) + |S|(sin37°) — 350 = 0.
Решая эту систему, мы получаем
|R| ≈ 280 и |S| ≈ 201.
Таким образом, нагрузка на кабели 280 фунтов и 201 фунт.

Что такое результат?

Результирующее число представляет собой векторную сумму двух или более векторов. Это результат сложения двух или более векторов вместе. Если сложить векторы смещения A, B и C, результатом будет вектор R. Как показано на диаграмме, вектор R можно определить с помощью точно нарисованной масштабированной диаграммы сложения векторов.

Сказать, что вектор R есть результирующее перемещение векторов смещения A, B и C означает, что человек, который шел со смещением A, затем B, а затем C, сместится на ту же величину, что и человек, который шел со смещением R. Вектор смещения R дает то же самое результат в виде векторов смещения A + B + C. Поэтому можно сказать, что

A + B + C = R

Вышеприведенное обсуждение относится к результату сложения векторов смещения. При добавлении векторов смещения результатом будет результирующее смещение . Но любые два вектора могут быть добавлены, если они являются одной и той же векторной величиной. Если добавить два или более векторов скорости, результатом будет результирующая скорость . Если добавить два или более векторов силы, то результатом будет равнодействующая сила . Если сложить два или более векторов импульса, то результатом будет …

Во всех таких случаях результирующий вектор (будь то вектор смещения, вектор силы, вектор скорости и т. д.) является результатом сложения отдельных векторов. Это то же самое, что добавить А + В + С + … . «Делать A + B + C — это то же самое, что делать R». В качестве примера рассмотрим футболиста, которого одновременно бьют три игрока противоположной команды (игроки A, B и C). Футболист испытывает на себе воздействие трех различных сил. Каждая приложенная сила вносит свой вклад в общую или результирующую силу. Если сложить три силы вместе с помощью методов сложения векторов (обсуждавшихся ранее), то можно определить результирующий вектор R. В этом случае испытать три силы A, B и C — это то же самое, что испытать силу R. Если вас ударят игроки A, B и C, это приведет к той же силе, что и удар, нанесенный одним игроком, применяющим силу R». Сделать A + B + C — это то же самое, что сделать R». Вектор R — это тот же результат, что и векторы A + B + C!!

Таким образом, результат представляет собой векторную сумму всех отдельных векторов. Результат является результатом объединения отдельных векторов вместе. Результирующую можно определить путем сложения отдельных сил с использованием методов сложения векторов.

Мы хотели бы предложить …

Иногда недостаточно просто прочитать об этом. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашей интерактивной игры Name That Vector, нашей интерактивной игры с добавлением вектора или нашей интерактивной игры с угадыванием вектора. Все три интерактива можно найти в разделе Physics Interactive на нашем веб-сайте, и они обеспечивают интерактивный опыт с возможностью добавления векторов.

Посетите: Назовите этот вектор | Добавление вектора | Игра «Угадай вектор»

Следующий раздел:

Перейти к следующему уроку:

Добавление вектора

Математика и наука были изобретены людьми для описания и понимать окружающий мир. Заметим, что существуют некоторые величины и процессы в наш мир, который зависит от направление в котором они происходят, и есть некоторые величины, которые не зависят по направлению. Математики и ученые называют количество который зависит от направления векторной величины . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной . А векторное количество имеет две характеристики: величина и направление . Когда сравнение две векторные величины одного и того же типа, вы должны сравнить обе величина и направление.

На этом слайде мы описываем метод сложения двух векторов. Сложение векторов — это один из аспектов большой векторной алгебры, которую мы изучаем. , а не будут представлены на этом сайте. Добавление вектора представлено здесь, потому что это встречается довольно часто при изучении движения и потому что он демонстрирует некоторые фундаментальные различия между векторы и скаляры.

Векторы обычно обозначаются на рисунках стрелкой. Длина стрелки указывает величину и кончик стрелки указывает направление. Вектор помечены буквой в алфавитном порядке буква с линией сверху, чтобы отличить ее от скаляра. Величину вектора будем обозначать символом |а| . Направление будет измеряться углом фи относительно координаты ось х . Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе векторы! Они имеют величину и направление. Сначала ты столкнуться с осями координат, когда вы учитесь строить графики. Так что у тебя есть использовал векторы в течение некоторого времени, даже не подозревая об этом!

Если мы построим пунктирную линию от кончика вектор а идущий параллельно оси х, он пересекает ось у в том месте, где мы этикетка или . Точно так же линия от кончика вектора параллельно оси y пересекает ось x в точке по оси . Величины x и ay называются компоненты вектора, и оба являются скалярными квантитами.

Чтобы добавить два вектора, a и b , мы сначала разбиваем каждый вектор на его компоненты, x и a , и бх и по , как показано на рисунке. Из правил, регулирующих равенство векторов, синий вектор b равен черному вектору b потому что он имеет одинаковую равную длину и одинаковое направление. Теперь, поскольку компоненты вектора и вектор b являются скалярами, мы можем добавить x-компоненты для генерации x-компонент нового вектора c :

сх = топор + Ьх

Точно так же мы можем добавить y-компонентов :

су = ау + по

Новые компоненты cx и cy полностью определяют новый вектор c , указав как величину, так и направление. Внимательно взглянув на диаграмму, мы видим, что сложение двух векторов дает новый вектор, который равен , а не в направлении любого из исходные векторы, величина которых равна , а не и равна сумме величин исходных векторов. Векторная алгебра сильно отличается от скалярной алгебры, потому что она должна учитывать как величину, так и направление.

Примечание: На этом слайде для простоты мы разработали компоненты только в двух измерениях; имеются две оси координат. В действительности существуют три пространственных измерения и три компонента мира.