| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | sin(30 град. ) | ||
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град.2=\frac32 > 0$%, причём $%A < 0$%, что говорит о точке локального максимума. Можно также заметить, что значения функции у нас всюду неотрицательны, и наименьшее значение достигается, когда все синусы равны нулю, то есть при $%x=y=0$%. отвечен 5 Июл ’16 23:21 тригонометрия — Почему $ \ cos (x) + \ cos (y) — \ cos (x + y) = 0 $ выглядит как эллипс?Благодаря симметрии по x, y мы можем повернуть на 45 градусов, чтобы привести оси «эллипса» вдоль $ x $ и $ y $. Позвольте использовать вращательное преобразование $ x_1 = x-y, y_1 = x + y $ и игнорировать масштабирование осей. Контур представляет собой рельеф холмов и долин. Рядом с точками «Col» (более плоское место для отдыха во время альпинизма) между центрами «эллипсов», кривые уровня более гиперболические с седловыми точками. На больших высотах они более эллиптические, и овалы пересечения кажутся эллипсами, но на самом деле это не так. Эллипсы непериодические , то есть они имеют одноразовое появление во всем интервале $ x, y $ $ — \ infty Но данные кривые представляют собой полиномиальную тригонометрическую матрицу бесконечной степени, размерность которой не может равняться двум , как для конического сечения. Уже один этот факт оправдывает его немедленное признание того, что он не является коническим сечением. Из точного уравнения, которое вы дали второй степени приближения вокруг его центра, может привести вас к эллипсу в соответствии со следующей второй степенью приближения. РЕДАКТИРОВАТЬ1: $ \ cos x + \ cos y = \ pm \ cos (x + y) $, включая отрицательный знак при сдвиге внимание и к гиперболоидной стороне контура. $ \ cos x \ прибл.2 + x \, y = 1 $ и $ x \, y + 1 = 0 $. Взяв 3,4,5 числа членов, можно аппроксимировать «эллипс» или «гиперболу». Итак, теперь вы видите эллипсов более высокого порядка / гиперболы. По центру овала выглядит как эллипс. Что касается центральной точки овалов в качестве центра, вы заметите, что .. профиль, похожий на гиперболу, игнорируется, поскольку, возможно, люди смотрят только на более круглый профиль. На последнем рисунке показаны различные центры точек обзора для уровней $ \ cos x + \ cos y $.3 | |
| 6 | Решить для? | cos (x) = 1/2 | |
| 7 | Решить относительно x | sin (x) = — 1/2 | |
| 8 | Преобразование из градусов в радианы | 225 | |
| 9 | Решить для? | cos (x) = (квадратный корень из 2) / 2 | |
| 10 | Решить относительно x | cos (x) = (квадратный корень из 3) / 2 | |
| 11 | Решить относительно x | sin (x) = (квадратный корень из 3) / 2 | |
| 12 | График | г (x) = 3/4 * корень пятой степени x | |
| 13 | Найдите центр и радиус | х ^ 2 + у ^ 2 = 9 | |
| 14 | Преобразование из градусов в радианы | 120 градусов | |
| 15 | Преобразование из градусов в радианы | 180 | |
| 16 | Найдите точное значение | желто-коричневый (195) | |
| 17 | Найдите степень | е (х) = 2х ^ 2 (х-1) (х + 2) ^ 3 (х ^ 2 + 1) ^ 2 | |
| 18 | Решить для? | tan (x) = квадратный корень из 3 | |
| 19 | Решить для? | sin (x) = (квадратный корень из 2) / 2 | |
| 20 | Найдите центр и радиус | х ^ 2 + у ^ 2 = 25 | |
| 21 | Найдите центр и радиус | х ^ 2 + у ^ 2 = 4 | |
| 22 | Решить относительно x | 2cos (x) -1 = 0 | |
| 23 | Решить относительно x | 6x ^ 2 + 12x + 7 = 0 | |
| 24 | Найдите домен | х ^ 2 | |
| 25 | Найдите домен | е (х) = х ^ 2 | |
| 26 | Преобразование из градусов в радианы | 330 градусов | |
| 27 | Разверните логарифмическое выражение | натуральный логарифм от (x ^ 4 (x-4) ^ 2) / (квадратный корень из x ^ 2 + 1) | |
| 28 | Упростить | ((3x ^ 2) ^ 2y ^ 4) / (3y ^ 2) | |
| 29 | Упростить | (csc (x) детская кроватка (x)) / (sec (x)) | |
| 30 | Решить для? | tan (x) = 0 | |
| 31 | Решить относительно x | х ^ 4-3x ^ 3-х ^ 2 + 3x = 0 | |
| 32 | Решить относительно x | cos (x) = sin (x) | |
| 33 | Найдите точки пересечения по осям x и y | х ^ 2 + у ^ 2 + 6х-6у-46 = 0 | |
| 34 | Решить относительно x | квадратный корень из x + 30 = x | |
| 35 | Упростить | детская кроватка (x) коричневый (x) | |
| 36 | Найдите домен | г = х ^ 2 | |
| 37 | Найдите домен | квадратный корень из x ^ 2-4 | |
| 38 | Найдите точное значение | грех (255) | |
| 39 | Оценить | бревно, база 27 из 36 | |
| 40 | Преобразовать из радианов в градусы | 2п | |
| 41 | Упростить | (F (x + h) -Fx) / час | |
| 42 | Решить для? | 2sin (x) ^ 2-3sin (x) + 1 = 0 | |
| 43 | Решить относительно x | tan (x) + квадратный корень из 3 = 0 | |
| 44 | Решить относительно x | sin (2x) + cos (x) = 0 | |
| 45 | Упростить | (1-cos (x)) (1 + cos (x)) | |
| 46 | Найдите домен | х ^ 4 | |
| 47 | Решить для? | 2sin (x) + 1 = 0 | |
| 48 | Решить относительно x | х ^ 4-4x ^ 3-х ^ 2 + 4x = 0 | |
| 49 | Упростить | 9 / (х ^ 2) + 9 / (х ^ 3) | |
| 50 | Упростить | (детская кроватка (x)) / (csc (x)) | |
| 51 | Упростить | 1 / (с ^ (3/5)) | |
| 52 | Упростить | квадратный корень из 9a ^ 3 + квадратный корень из | |
| 53 | Найдите точное значение | желто-коричневый (285) | |
| 54 | Найдите точное значение | cos (255) | |
| 55 | Преобразовать в логарифмическую форму | 12 ^ (х / 6) = 18 | |
| 56 | Разверните логарифмическое выражение | (основание 27 из 36) (основание 36 из 49) (основание 49 из 81) | |
| 57 | Найти недвижимость | x ^ 2 = 12 лет | |
| 58 | Найти недвижимость | х ^ 2 + у ^ 2 = 25 | |
| 59 | График | f (x) = — натуральный логарифм x-1 + 3 | |
| 60 | Найдите значение, используя единичную окружность | арксин (-1/2) | |
| 61 | Найдите домен | квадратный корень из 36-4x ^ 2 | |
| 62 | Упростить | (корень квадратный из x-5) ^ 2 + 3 | |
| 63 | Решить относительно x | х ^ 4-2x ^ 3-х ^ 2 + 2x = 0 | |
| 64 | Решить относительно x | у = (5-х) / (7х + 11) | |
| 65 | Решить относительно x | х ^ 5-5x ^ 2 = 0 | |
| 66 | Решить относительно x | cos (2x) = (квадратный корень из 2) / 2 | |
| 67 | График | г = 3 | |
| 68 | График | f (x) = — логарифм по основанию 3 из x-1 + 3 | |
| 69 | Найдите корни (нули) | f (x) = 3x ^ 3-12x ^ 2-15x | |
| 70 | Найдите степень | 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 | |
| 71 | Решить относительно x | квадратный корень из x + 4 + квадратный корень из x-1 = 5 | |
| 72 | Решить для? | cos (2x) = — 1/2 | |
| 73 | Решить относительно x | база журнала x 16 = 4 | |
| 74 | Упростить | e ^ x | |
| 75 | Упростить | (cos (x)) / (1-sin (x)) + (1-sin (x)) / (cos (x)) | |
| 76 | Упростить | сек (x) sin (x) | |
| 77 | Упростить | кубический корень из 24 кубический корень из 18 | |
| 78 | Найдите домен | квадратный корень из 16-x ^ 2 | |
| 79 | Найдите домен | квадратный корень из 1-x | |
| 80 | Найдите домен | у = грех (х) | |
| 81 | Упростить | квадратный корень из 25x ^ 2 + 25 | |
| 82 | Определить, нечетно ли, четно или нет | е (х) = х ^ 3 | |
| 83 | Найдите домен и диапазон | f (x) = квадратный корень из x + 3 | |
| 84 | Найти недвижимость | x ^ 2 = 4 года | |
| 85 | Найти недвижимость | (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 9 = 1 | |
| 86 | Найдите точное значение | cos (-210) | |
| 87 | Упростить | кубический корень 54x ^ 17 | |
| 88 | Упростить | квадратный корень из квадратного корня 256x ^ 4 | |
| 89 | Найдите домен | е (х) = 3 / (х ^ 2-2x-15) | |
| 90 | Найдите домен | квадратный корень из 4-x ^ 2 | |
| 91 | Найдите домен | квадратный корень из x ^ 2-9 | |
| 92 | Найдите домен | е (х) = х ^ 3 | |
| 93 | Решить относительно x | е ^ х-6е ^ (- х) -1 = 0 | |
| 94 | Решить относительно x | 6 ^ (5x) = 3000 | |
| 95 | Решить относительно x | 4cos (x-1) ^ 2 = 0 | |
| 96 | Решить относительно x | 3x + 2 = (5x-11) / (8лет) | |
| 97 | Решить для? | sin (2x) = — 1/2 | |
| 98 | Решить относительно x | (2x-1) / (x + 2) = 4/5 | |
| 99 | Решить относительно x | сек (4x) = 2 | |
| 100 | Решить относительно n | (4n + 8) / (n ^ 2 + n-72) + 8 / (n ^ 2 + n-72) = 1 / (n + 9) |
Тригонометрические тождества и формулы
Ниже приведены некоторые из наиболее важных определений, тождеств и формул в тригонометрии.
Тригонометрические функции острых углов
грех X = opp / hyp = a / c, csc X = hyp / opp = c / a
загар X = opp / adj = a / b, детская кроватка X = adj / opp = b / a
cos X = adj / hyp = b / c, sec X = hyp / adj = c / b,Тригонометрические функции произвольных углов
грех X = b / r, csc X = r / b
загар X = b / a, детская кроватка X = a / b
cos X = a / r, сек X = r / aОсобые треугольники
С помощью специальных треугольников можно найти тригонометрические функции специальных углов: 30, 45 и 60 градусов.Законы синуса и косинуса в треугольниках
В любом треугольнике мы имеем:
1 — Синус-закон
грех A / a = грех B / b = грех C / c
2 — Законы косинусов
a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c cos A
b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c cos B
c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b cos CСвязь между тригонометрическими функциями
cscX = 1 / sinX
sinX = 1 / cscX
сек X = 1 / cos X
cosX = 1 / секX
tanX = 1 / cotX
cotX = 1 / tanX
tanX = sinX / cosX
cotX = cosX / sinXПифагорейские тождества
sin 2 X + cos 2 X = 1
1 + загар 2 X = сек 2 X
1 + детская кроватка 2 X = csc 2 XИдентификаторы с отрицательным углом
sin (-X) = — sinX, нечетная функция
csc (-X) = — cscX, нечетная функция
cos (-X) = cosX, четная функция
сек (-X) = секX, четная функция
tan (-X) = — tanX, нечетная функция
cot (-X) = — cotX, нечетная функцияCofunctions Identity
sin (π / 2 — X) = cosX
cos (π / 2 — X) = sinX
загар (π / 2 — X) = cotX
детская кроватка (π / 2 — X) = tanX
сек (π / 2 — X) = cscX
csc (π / 2 — X) = secXФормулы сложения
cos (X + Y) = cosX cosy — sinX sinY
cos (X — Y) = cosX cosy + sinX sinY
sin (X + Y) = sinX cosy + cosX sinY
sin (X — Y) = sinX cosy — cosX sinY
tan (X + Y) = [tanX + tanY] / [1 — tanX tanY]
tan (X — Y) = [tanX — tanY] / [1 + tanX tanY]
детская кроватка (X + Y) = [cotX cotY — 1] / [cotX + cotY]
детская кроватка (X — Y) = [cotX cotY + 1] / [cotY — cotX]Сумма к формулам произведения
cosX + cosy = 2cos [(X + Y) / 2] cos [(X — Y) / 2]
sinX + sinY = 2sin [(X + Y) / 2] cos [(X — Y) / 2]Отличия от формул продукта
cosX — cosy = — 2sin [(X + Y) / 2] sin [(X — Y) / 2]
sinX — sinY = 2cos [(X + Y) / 2] sin [(X — Y) / 2]Формулы произведения суммы / разности
cosX cosy = (1/2) [cos (X — Y) + cos (X + Y)]
sinX cosy = (1/2) [sin (X + Y) + sin (X — Y)]
cosX sinY = (1/2) [sin (X + Y) — sin [(X — Y)]
sinX sinY = (1/2) [cos (X — Y) — cos (X + Y)]Формула разности квадратов
sin 2 X — грех 2 Y = sin (X + Y) sin (X — Y)
cos 2 X — cos 2 Y = — sin (X + Y) sin (X — Y)
cos 2 X — sin 2 Y = cos (X + Y) cos (X — Y)Формулы двойных углов
sin (2X) = 2 sinX cosX
cos (2X) = 1-2sin 2 X = 2cos 2 X — 1
tan (2X) = 2tanX / [1 — tan 2 X]Формулы множественных углов
sin (3X) = 3sinX — 4sin 3 X
cos (3X) = 4cos 3 X — 3cosX
sin (4X) = 4sinXcosX — 8sin 3 XcosX
cos (4X) = 8cos 4 X — 8cos 2 X + 1Формулы половинных углов
sin (X / 2) = + или — √ ((1 — cosX) / 2)
cos (X / 2) = + или — √ ((1 + cosX) / 2)
tan (X / 2) = + или — √ ((1 — cosX) / (1 + cosX))
= sinX / (1 + cosX) = (1 — cosX) / sinXФормулы для снижения мощности
sin 2 X = 1/2 — (1/2) cos (2X))
cos 2 X = 1/2 + (1/2) cos (2X))
грех 3 X = (3/4) sinX — (1/4) sin (3X)
cos 3 X = (3/4) cosX + (1/4) cos (3X)
sin 4 X = (3/8) — (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X)
cos 4 X = (3/8) + (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X)
sin 5 X = (5/8) sinX — (5/16) sin (3X) + (1/16) sin (5X)
cos 5 X = (5/8) cosX + (5/16) cos (3X) + (1/16) cos (5X)
sin 6 X = 5/16 — (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) — (1/32) cos (6X)
cos 6 X = 5/16 + (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) + (1/32) cos (6X)Периодичность тригонометрических функций
sin (X + 2π) = sin X, период 2π
cos (X + 2π) = cos X, период 2π
сек (X + 2π) = сек X, период 2π
csc (X + 2π) = csc X, период 2π
tan (X + π) = tan X, период π
детская кроватка (X + π) = детская кроватка X, период π- Тригонометрические таблицы.
- Свойства шести тригонометрических функций. График, область, диапазон, асимптоты (если есть), симметрия, пересечения по осям x и y, а также точки максимума и минимума каждой из 6 тригонометрических функций.
Дополнительная литература и ссылки по тригонометрии
Тригонометрия.Решите задачи тригонометрии.
Бесплатные вопросы по тригонометрии с ответами. пожаловаться на это объявление
Функция обратного косинуса
Функция обратного косинусаФункция y = cos
-1 x = arccos x и ее график:Поскольку y = cos -1 x является обратной функцией y = cos x, функция y = cos -1 x тогда и только тогда, когда cos y = x .Но, поскольку y = cos x не является взаимно однозначным, его область определения должна быть ограничена, чтобы y = cos -1 x был функцией. Чтобы получить график y = cos -1 x, начните с графика y = cos x. | |
Ограничить область действия функции однозначной областью — обычно используется (выделено красным справа) для cos -1 x. Это оставляет диапазон ограниченной функции неизменным как [-1, 1]. | |
Отразите график поперек линии y = x, чтобы получить график. of y = cos -1 x (y = arccos x), черная кривая справа. Обратите внимание, что y = cos -1 x имеет домен [-1, 1] и диапазон. Он строго убывает на всей своей территории. . | |
| Итак, когда вы попросите калькулятор построить график y = cos -1 x, вы получите график, показанный справа.(Окно просмотра составляет [-2, 2] x [-0,5, 3,5].) |
Вычисление y = cos
-1 x:Вычисление cos -1 x выражений следует той же процедуре, что и вычисление sin -1 x выражений — вы должны знать домен и диапазон функции! Вот пример:
Пример 1: Вычислить cos
-1 (-1/2)Если y = cos -1 (-1/2), то cos y = -1/2.Это уравнение имеет бесконечное количество решений, но только одно из них () находится в диапазоне cos -1 x. Таким образом:
.
Это показано на рисунке справа. Вертикальные красные линии обозначают некоторые места, где y = -1/2, но только одно (сплошная красная линия) находится в пределах области y = cos -1 x (то есть).
Производная y = cos
-1 x:Производная cos -1 x: (Производная по существу такая же, как и для sin -1 x.)
График y = cos -1 x и его производная показан справа. Обратите внимание: поскольку cos -1 x является строго убывающей функцией, ее производная всегда отрицательна.
Интегралы, включающие функцию обратного косинуса:
Ну нет! Поскольку производные sin-1x и cos-1x очень похожи (а производная sin-1x проще), стандартной практикой является утверждение:
последнее обновление 6 февраля 2009 г., автор: JL Stanbrough
Неявная дифференциация — стр. 2
Пример 9.{- \ large \ frac {1} {3} \ normalsize}} y ‘= 0, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {1} {{\ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {x}} } + \ frac {{y ‘}} {{\ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {y}}} = 0, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{y’}} {{\ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {y}}} = — \ frac {1} {{\ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {x}}}, \; \;} \ Rightarrow
{y ‘= — \ sqrt [\ large 3 \ normalsize] {{\ frac {y} {x}}}, \; \; \;} \ kern-0. \ prime}, \; \;} \ Rightarrow
{y ‘= \ cos \ left ({x — y } \ right) \ cdot \ left ({1 — y ‘} \ right), \; \;} \ Rightarrow
{y’ = \ cos \ left ({x — y} \ right)} — {\ cos \ left ({x — y} \ right) \ cdot y ‘, \; \;} \ Rightarrow
{y’ \ left [{1 + \ cos \ left ({x — y} \ right)} \ right]} = {\ cos \ left ({x — y} \ right) \; \;} \ Rightarrow
{y ‘= \ frac {{\ cos \ left ({x — y} \ right)}} {{1 + \ cos \ left ({x — y} \ right)}},}
\]
, где производная \ (y ’\) определена при условии, что
\ [
{1 + \ cos \ left ({x — y} \ right) \ ne 0, \; \;} \ Rightarrow
{\ cos \ left ({x — y} \ right) \ ne — 1 , \; \;} \ Rightarrow
{х — у \ ne \ pi + 2 \ pi n, \; \;} \ kern-0.\ prime}, \; \;} \ Rightarrow
{y ‘= \ cos \ left ({x + y} \ right) \ cdot \ left ({1 + y’} \ right), \; \;} \ Rightarrow
{y ‘= \ cos \ left ({x + y} \ right)} + {\ cos \ left ({x + y} \ right) \ cdot y’, \; \;} \ Rightarrow
{y ‘\ left [{1 — \ cos \ left ({x + y} \ right)} \ right]} = {\ cos \ left ({x + y} \ right) \; \;} \ Rightarrow
{y ‘= \ frac {{\ cos \ left ({x + y} \ right)}} {{1 — \ cos \ left ({x + y} \ right)}}. 2} + y + \ ln \ left ({x + y} \ right) = 0, \; \; \;} \ kern-0.\ prime} = 0, \; \;} \ Rightarrow
{{2x + 2yy ‘+ 2} — {\ left ({x’y + xy’} \ right) + 5y ‘= 0, \; \;} } \ Rightarrow
{{2x + 2yy ‘+ 2} — {y — xy’ + 5y ‘= 0, \; \;}} \ Rightarrow
{{2yy’ — xy ‘+ 5y’} = {y — 2x — 2, \; \;}} \ Rightarrow
{{y ‘\ left ({2y — x + 5} \ right)} = {y — 2x — 2, \; \;}} \ Rightarrow
{{y ‘} = {\ frac {{y — 2x — 2}} {{2y — x + 5}}.}}
\]
Подставляя координаты точки \ (\ left ({x = 2, y = — 3} \ right), \) находим значение производной:
\ [
{y ‘\ left ({2, — 3} \ right) = \ frac {{- 3 — 2 \ cdot 2 — 2}} {{2 \ cdot \ left ({- 3} \ right) — 2 + 5}}}
= {\ frac {{- 9}} {{- 3}} = 3.2}}} = \ frac {{x’y + xy ‘}} {{xy}}, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{y’x — y}} {x} = \ frac { {y + xy ‘}} {y}.}
\]
Решите это уравнение для \ (y ’: \)
\ [
{y ‘- \ frac {y} {x} = 1 + \ frac {x} {y} y’, \; \;} \ Rightarrow
{y ‘- \ frac {x} {y} y ‘= 1 + \ frac {y} {x}, \; \;} \ Rightarrow
{y’ \ left ({1 — \ frac {x} {y}} \ right) = 1 + \ frac {y } {x}, \; \;} \ Rightarrow
{y ‘\ cdot \ frac {{y — x}} {y} = \ frac {{y + x}} {x}, \; \;} \ Rightarrow
{y ‘= \ frac {{y + x}} {x} \ cdot \ frac {y} {{y — x}}, \; \;} \ Rightarrow
{y’ = \ frac {{y \ left ({y + x} \ right)}} {{x \ left ({y — x} \ right)}}.\основной},\;\; } \ Rightarrow {y ‘\ cdot \ ln x + y \ cdot \ frac {1} {x}} = {1 \ cdot \ ln y + x \ cdot \ frac {1} {y} \ cdot y’, \ ; \;} \ Rightarrow {y ‘\ left ({\ ln x — \ frac {x} {y}} \ right) = \ ln y — \ frac {y} {x}, \; \;} \ Rightarrow {y ‘= \ frac {{\ ln y — \ frac {y} {x}}} {{\ ln x — \ frac {x} {y}}}, \; \;} \ Rightarrow {y’ = \ frac {{y \ left ({x \ ln y — y} \ right)}} {{x \ left ({y \ ln x — x} \ right)}}.} \]
Обратите внимание, что в дополнение к ограничениям на допустимые значения \ (x \), указанным выше, производная имеет разрыв при условии
\ [
{у \ ln х — х = 0 \; \; \;} \ kern-0.3pt
{\ text {или} \; \; y = \ frac {x} {{\ ln x}}.}
\]
[ Дом ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]
Пример. Пусть u = e -x (x sin y — y cos y)
(a) Докажите, что u = e -x (x sin y — y cos y) является аналитическим
(b) Найдите сопряженную гармоническую функцию u, т.е. найдите функцию v такую, что f (z) = u + iv аналитический
(c) Найдите f (z)
(a) Докажите, что u = e -x (x sin y — y cos y) является аналитическим
∂u / ∂x = (e -x ) (sin y) + (-e -x ) (x sin y — y cos y) = e -x sin y — xe -x sin y + ye -x cos y
1) ∂ 2 u / ∂x 2 = ∂ (e -x sin y — xe -x sin y + ye -x cos y) / ∂x = -2e -x sin y + xe -x sin y — ye -x cos y
∂u / ∂y = e -x (x cos y + y sin y — cos y) = xe -x cos y + ye -x sin y — e -x cos y
2) ∂ 2 u / ∂y 2 = ∂ (xe -x cos y + ye -x sin y — e -x cos y) / ∂y = -xe -x sin y + 2e -x sin y + ye -x cos y
Сложение 1) и 2) дает ∂ 2 u / ∂x 2 + ∂ 2 u / ∂y 2 = 0.Таким образом, u гармонично.
(б) Найдите сопряженную гармоническую функцию u
Из уравнений Коши-Римана получаем
3) ∂v / ∂y = ∂u / ∂x = e -x sin y — xe -x sin y + ye -x cos y
4) ∂v / ∂x = — ∂u / ∂y = e -x cos y — xe -x cos y — ye -x sin y
Теперь интегрируем 3) по y, сохраняя x постоянным:
5) v = — e -x cos y + xe -x cos y + e -x (y sin y + cos y) + F (x)
= ye -x sin y + xe -x cos y + F (x)
где F (x) — произвольная действительная функция от x.
Теперь подставим 5) в 4), взяв ∂v / ∂x из 5)
-ye -x sin y — xe -x cos y + e -x cos y + F ‘(x) = e -x cos y — xe -x cos y — ye -x sin y
или
F ‘(х) = 0.
Таким образом, F (x) = c, постоянная.
Подставляя F (x) = c в 5), получаем
v = e -x (y sin y + x cos y) + c
(c) Найдите f (z)
Чтобы найти f (z), воспользуемся следующей теоремой:
Теорема 1.f (z) = u (z, 0) + i v (z, 0)
Вывод.
f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + i v (x, y)
Положив y = 0, получаем f (x) = u (x, 0) + i v (x, 0)
Заменяя x на z, получаем f (z) = u (z, 0) + i v (z, 0)
Решение. Применяя теорему 1, получаем
u (z, 0) = 0
v (z, 0) = ze -z
f (z) = u (z, 0) + i v (z, 0) = ze -z ,
, за исключением произвольной аддитивной константы.
Если известен только u (или v), можно использовать другую процедуру, в которой используется следующая теорема:
Теорема 2. Если f (z) = u (x, y) + i v (x, y)
f (z) = 2u (z / 2, -iz / 2) + константа
и
f (z) = 2i v (z / 2, -iz / 2) + константа
Альтернативный метод нахождения f (z) и сопряженной гармонической функции. An Альтернативный метод нахождения сопряженной гармонической функции использует следующую теорему:
Теорема 3.Пусть u 1 = ∂u / ∂x и u 2 = ∂u / ∂y. Тогда
f ‘(z) = u 1 (z, 0) — i u 2 (z, 0)
Вывод. Мы уже показали, что
Полагая y = 0, получаем f ‘(x) = u 1 (x, 0) — i u 2 (x, 0)
Затем, заменяя x на z, получаем f ‘(z) = u 1 (z, 0) — i u 2 (z, 0)
Решение. Поскольку u = e -x (x sin y — y cos y), имеем
u 1 (x, y) = ∂u / ∂x = e -x sin y — xe -x sin y + ye -x cos y
u 2 (x, y) = ∂u / ∂y = xe -x cos y + ye -x sin y — e -x cos y
Применяя теорему 3, получаем
f ‘(z) = u 1 (z, 0) — iu 2 (z, 0) = 0 — i (ze -z — e -z ) = — i (ze — z — e — z )
Интегрируя по z, получаем, за исключением константы,
f (z) = i ze -z
Если затем расширить правую часть по x и y, получится
f (z) = e -x (x sin y — y cos y) + i e -x (y sin y + x cos y)
дает
v = e -x (y sin y + x cos y)
Источник: Spiegel. 2 + 3)`.2 + 3) `
ВАЖНО:cos x 2 + 3
не равно
cos ( x 2 + 3).
Кронштейны имеют большое значение. У многих студентов с этим возникают проблемы.
Вот графики y = cos x 2 + 3 (зеленый) и y = cos ( x 2 + 3) (показаны синим).
Первый, y = cos x 2 + 3 или y = (cos x 2 ) + 3, означает взять кривую y = cos x 2 и переместите его вверх на «3» единицы.2sin x`
6. Найдите производную неявной функции
x cos 2 y + sin x cos y = 1.
Ответ
Неявная функция:
`x \ cos 2y + sin x \ cos y = 1`
Мы дифференцируем каждый термин слева направо:
`x (-2 \ sin 2y) ((dy) / (dx))` `+ (cos 2y) (1)` `+ sin x (-sin y (dy) / (dx))` `+ cos у \ соз х`
`= 0`
Так
`(-2x \ sin 2y-sin x \ sin y) ((dy) / (dx))` = -cos 2y-cos y \ cos x`
Решение для dy / dx дает:
`(dy) / (dx) = (- cos 2y-cos y \ cos x) / (- 2x \ sin 2y-sin x \ sin y)`
`= (cos 2y + cos x \ cos y) / (2x \ sin 2y + sin x \ sin y)`
7.2`
Когда x = 0,15 (конечно, в радианах), это выражение (которое дает нам наклон) равен «-2,65».
Вот график нашей ситуации. Показана касательная к кривой в точке, где x = 0,15. Его наклон равен «-2,65».
8. Ток (в амперах) в цепи усилителя как функция времени t (в секундах) определяется как
`i = 0.10 cos (120πt + π / 6)`.
Найдите выражение для напряжения на 2.2x + загар x`
См. Также: Производная квадратного корня из синуса x по первым принципам.
.