Формулы свойства степеней 7 класс – формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Степень и ее свойства. Определение степени

Основная цель

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:

  • Определение степени с натуральным показателем.
  • Умножение и деление степеней.
  • Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

  1. Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
  2. Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
  3. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
  4. Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
  5. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
  6. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
  7. Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab)n = anbn .
  8. Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество ( аm )n = аm n .

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Степень с основанием а и показателем n записывается так: аn . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.

По определению степени:

а1 = а

а2 = а•а

а3 = а•а•а

а4 = а• а•а•а

. . . . . . . . . . . .

аn =

Нахождение значения степени называют возведением в степень

.

1. Примеры возведения в степень:

33 = 3• 3• 3 = 27

04 = 0• 0• 0• 0 = 0

( -5 )3 = ( -5 ) • ( -5 ) • ( -5 ) = -125

71 = 7

2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ;

25 = 52 ; 0,09 = ( 0,3 )2 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 33 ; 0,001 = ( 0,1 )3 ; 8 = 23 .

4. Найти значения выражений:

а) 3• 103 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000

б) -24 + ( -3 )2 = 7
24 = 16
( -3 )2 = 9
-16 + 9 = 7

Вариант 1

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,3• 0,3• 0,3

б)

в) b• b• b• b• b• b• b

г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )

д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа:

    16 ; 0,25 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

    125 ; 0,027 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 72 + 43

б) 62 + 53

в) -14 + ( -2 )3

г) -43 + ( -3 )2

д) 100 - 5• 24

Умножение степеней.

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

aman = am + n .

Доказательство:

Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

amanak = am + nak = a( m + n ) + k = am + n + k

1. Представить в виде степени:

а) х5• х4 = х5 + 4 = х9

б) y• y6 = y1 • y6 = y1 + 6 = y7

в) b2 • b5 • b4 = b2 + 5 + 4 = b11

г) 34 • 9 = 3432 = 36

д) 0,01• 0,13 = 0,12 • 0,13 = 0,15

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 23 • 2 = 24 = 16

б) 32 • 35 = 37 = 2187

Вариант 1

1. Представить в виде степени:

а) х3 •х4 е) х2 •х3 •х4

б) а6 •а2 ж) 33•9

в) у4 •у з) 74•49

г) а• а8 и) 16• 27

д) 23•24 к) 0,33•0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 22•23 в) 8• 25

б) 34•32 г) 27• 243

Деление степеней.

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

am : an = am - n

Доказательство:

am - n an = a( m - n ) + n = am - n + n = am

по определению частного:

am : an = am - n .

Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:

а0 = 1

т.к. аn : an = 1 при а0 .

1. Представьте в виде степени частное:

а) х42 = х4 - 2 = х2

б) у83 = у8 - 3 = у5

в) а7:а = а71 = а7 - 1 = а6

г) с50 = с5:1 = с5

2. Найдите значения выражений:

а) 57:55 = 52 = 25

б) 1020:1017 = 103 = 1000

в)

г)

д)

Вариант 1

1. Представьте в виде степени частное:

а) х5 : х2

б) у9 : у4

в) b10 : b

г) с10 : с4

д) а7 : а0

2. Найдите значения выражений:

а) 36 : 32

б) 715 : 713

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

( ab )n = an•bn

Доказательство:

По определению степени

( ab )n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

=

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

Например:

( a• b• c )n = an •bn •cn ;

( a• b• c• d )n = an •bn •cn •dn .

Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )4 = a4 •b4

б) (2• х• у )3 =23•х3 •у3 = 8• х3 •у3

в) ( 3• а )4 = 34•а4 = 81• а4

г) ( -5• у )3 = (-5)3 •у3 = -125• у

3

д) (-0,2• х• у )2 = (-0,2)2 •х2 •у2 = 0,04• х2 •у2

е) (-3• a• b• c )4 = (-3)4 •a4 •b4 •c4 = 81• a4 •b4 •c4

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10)4 = 24•104 = 16• 1000 = 16000

б) (3• 5• 20)2= 32•1002= 9• 10000= 90000

в) 24•54 = (2• 5)4 = 104 = 10000

г) 0,2511•411 = (0,25• 4)11 = 111 = 1

д)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )9

б) ( 2• а• с )4

в) ( 5• а )3

г) ( -3• у )4

д) ( -0,1• х• у )3

е)

2. Найти значение выражения:

а) (3• 10)3

б) (5• 7• 20)2

в) 53•23

г)

д)

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

( аm )n = аm n

Доказательство:

По определению степени

( аm )n =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

1. Возвести в степень:

( а3 )2 = а6 ( х5 )4 = х20

( у5 )2 = у10 ( b3 )3 = b9

2. Упростите выражения:

а) а3 •( а2)5 = а3 •а10 = а13

б) ( b3 )2 •b7 = b6 •b7 = b13

в) ( х3 )2

•( х2 )4 = х6 •х8 = х14

г) ( у• у7 )3 = ( у8 )3 = у24

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) ( а4 )2      б) ( х4 )5

в) ( у3 )2      г) ( b4 )4

2. Упростите выражения:

а) а4 •( а3)2

б) ( b4 )3 •b5+

в) ( х2 )4 •( х4 )3

г) ( у• у9 )2

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

 

Приложение

Определение степени.

Вариант 2

1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4• 0,4• 0,4

б)

в) а• а• а• а• а• а• а• а

г) ( -у ) • ( -у ) • ( -у ) • ( -у )

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс )

2. Представьте в виде квадрата числа:

    25 ; 0,16 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

    64 ; 0,125 ; .

4. Найти значения выражений:

а) 52 + 33

б) 43 - 72

в) -13 + ( -2 )4

г) -62 + ( -3 )2

д) 4• 52 – 100

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5• 0,5• 0,5

б)

в) с• с• с• с• с• с• с• с• с

г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )

д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

    1000 ; 0,008 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 34 + 72

б) 63 - 92

в) -15 + ( -3 )2

г) -53 + ( -4 )2

д) 5• 42 - 100

Вариант 4

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7• 0,7• 0,7

б)

в) х• х• х• х• х• х

г) ( -а ) • ( -а ) • ( -а )

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )

2. Представьте в виде квадрата числа:

    81 ; 0,64 ;.

3. Представьте в виде куба числа:

    216 ; 0,064 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 62 + 43

б) 53 - 82

в) -14 + ( -3 )3

г) -34 + ( -5 )2

д) 100 - 3• 25

Умножение степеней.

Вариант 2

1. Представить в виде степени:

а) х4 •x5      е) х3 •х4 •х5

б) а7 •а3      ж) 23•4

в) у5 •у      з) 43•16

г) а• а7      и) 4• 25

д) 22•25      к) 0,23• 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 32•33    в) 16• 23

б) 24•25    г) 9• 81

Вариант 3

1. Представить в виде степени:

а) а3•а5    е) у2 •у4 •у6

б) х4•х7    ж) 35•9

в) b6•b    з) 53•25

г) у• у8    и) 49• 74

д) 23•26    к) 0,34•0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 33•34    в) 27• 34

б) 24•26    г) 16• 64

Вариант 4

1. Представить в виде степени:

а) а6•а2    е) х4 •х• х6

б) х7•х8    ж) 34•27

в) у6•у    з) 43•16

г) х• х10    и) 36• 63

д) 24•25    к) 0,22•0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 26•23    в) 64• 24

б) 35•32    г) 81• 27

Деление степеней.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени частное:

а) х6 : х3

б) у10 : у5

в) b9 : b

г) с12 : с7

д) а9 : а0

2. Найдите значения выражений:

а) 27 : 24

б) 610 : 68

в)

г)

д)

Вариант 3

1. Представьте в виде степени частное:

а) у7 : у4

б) а11 : а7

в) с10 : с

г) b17 : b15

д) х8 : х0

2. Найдите значения выражений:

а) 38 : 35

б) 410 : 47

в)

г)

д)

Вариант 4

1. Представьте в виде степени частное:

а) х8 : х3

б) b12 : b5

в) у9 : у

г) с19 : с14

д) а10 : а0

2. Найдите значения выражений:

а) 510 : 58

б) 617 : 612

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Вариант 2

1. Возвести в степень:

а) ( х• у )7

б) (3• а• b )4

в) (2• а )5

г) (-4• у )3

д) (-0,3• a• b )2

е) ( -2• x• y• z )3

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10)3

б) (7• 4• 25)2

в) 43•53

г) 49•0,259

д)

Вариант 3

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )8

б) (2• х• у )5

в) (3• х )4

г) (-4• с )4

д) (-0,2• х• у )2

е)

2. Найти значение выражения:

а) (5• 10)3

б) (9• 4• 25)2

в) 23•33

г)

д) 0,54•44

Вариант 4

1. Возвести в степень:

а) ( х• у )9

б) (3• а• b )5

в) (2• у )6

г) (-6• b )3

д) (-0,1• a• b )2

е) ( -5• x• y• z )4

2. Найти значение выражения:

а) (3• 10)4

б) (8• 5• 20)2

в) 52•42

г) 0,27•57

д)

Возведение в степень степени.

Вариант 2

1. Возвести в степень:

а) ( а5 )2

б) ( х3 )5

в) ( у4 )2

г) ( b6 )6

2. Упростите выражения:

а) а4 •( а3)5

б) ( b2 )3 •b8

в) ( х3 )4 •( х2 )5

г) ( у• у10 )3

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Вариант 3

1. Возвести в степень:

а) ( а7 )2

б) ( х6 )5

в) ( у10 )2

г) ( b7 )7

2. Упростите выражения:

а) а5 •( а2)3

б) ( b3 )4 •b7

в) ( х5 )2 •( х3 )4

г) ( у• у11 )2

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Вариант 4

1. Возвести в степень:

а) ( а6 )2

б) ( х7 )5

в) ( у8 )2

г) ( b5 )5

2. Упростите выражения:

а) а6 •( а4)2

б) ( b5 )2 •b6

в) ( х2 )5 •( х4 )3

г) ( у6 •у )3

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

urok.1sept.ru

7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства. - Степень с натуральным показателем.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы начнем изучение степени с натуральным показателем. Вначале обсудим, зачем математикам понадобилось вводить понятие степени, дадим определение степени с натуральным показателем, рассмотрим ряд примеров на степень. Далее дадим определение степени с единичным показателем и в конце решим несколько примеров на вычисление степени.

 

 

Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

Урок: Что такое сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем

От­ку­да по­яви­лась сте­пень.

Вы­ра­же­ние а+а+а в ма­те­ма­ти­ке можно за­ме­нить на а+а+а=3а.

Вы­ра­же­ние а+а+а+а+а можно пред­ста­вить в виде а+а+а+а+а=5а.

То есть, если в вы­ра­же­нии n оди­на­ко­вых сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых а, то его можно крат­ко за­пи­сать na 

А умно­же­ние , можно крат­ко за­пи­сать так: а3, чи­та­ет­ся: а в кубе или тре­тья сте­пень числа а.

 – а в пятой сте­пе­ни или пятая сте­пень числа а.

А если в вы­ра­же­ние n оди­на­ко­вых со­мно­жи­те­лей, каж­дый из ко­то­рых а, то мы будем пи­сать:

 = an – n-ная сте­пень числа а.

Опре­де­ле­ние. Сте­пе­нью an на­зы­ва­ет­ся про­из­ве­де­ние n оди­на­ко­вых со­мно­жи­те­лей,  , где n- на­ту­раль­ное числоn={2,3,…..}а – любое число.

Тер­ми­но­ло­гия: an

 а – ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

n – по­ка­за­тель сте­пе­ни,

an– сте­пень, или а в n-ой сте­пе­ни, или n-ая сте­пень числа а.

При­мер 1: За­пи­сать про­из­ве­де­ние в виде сте­пе­ни, на­звать ос­но­ва­ние и по­ка­за­тель сте­пе­ни, вы­чис­лить, если воз­мож­но.

1. – это по опре­де­ле­нию 4 в кубе или тре­тья сте­пень числа 44- ос­но­ва­ние сте­пе­ни, 3- по­ка­за­тель сте­пе­ни. Ре­зуль­тат:

 

Ответ: 64

2. – по опре­де­ле­нию, это x в чет­вер­той сте­пе­ни, x – ос­но­ва­ние сте­пе­ни, 4 – по­ка­за­тель сте­пе­ни. Даль­ше вы­чис­лять нель­зя, по­то­му что x нужно при­сво­ить кон­крет­ное зна­че­ние.

Ответ

3.  

Это в пятой сте­пе­ни,  – это ос­но­ва­ние сте­пе­ни, 5 – по­ка­за­тель сте­пе­ни, он по­ка­зы­ва­ет сколь­ко раз ос­но­ва­ние умно­жа­ет­ся на себя. За­ме­ча­ние: от пе­ре­мен­ных мест со­мно­жи­те­лей про­из­ве­де­ние не ме­ня­ет­ся, за­пи­шем это вы­ра­же­ние по-дру­го­му:

 

Зна­чит, вы­ра­же­ние .

Ответ: .

4. – это в кубе, 3 – это по­ка­за­тель сте­пе­ни, – ос­но­ва­ние сте­пе­ни.

Ответ

5.  

 – вто­рая сте­пень числа 13 ,  – вто­рая сте­пень числа 5.

Ответ: 4225

6. 

 – тре­тья сте­пень числа 2,  – вто­рая сте­пень числа 3.

Ответ: 72

В сте­пе­ни an может от­дель­но ме­нять­ся по­ка­за­тель сте­пе­ни или ос­но­ва­ние сте­пе­ни.

При­мер 2: Вы­чис­лить , если

a) n=2

b) n=3

c) n=4

Ре­ше­ние:

a так как стоит чет­ная сте­пень, минус про­па­да­ет.

b) 

c– так как стоит чет­ная сте­пень, минус про­па­да­ет.

Ответa) 25; b)-125; c)625;

В этом при­ме­ре ме­нял­ся по­ка­за­тель сте­пе­ни, а ос­но­ва­ние не ме­ня­лось. Рас­смот­рим при­мер, когда ме­ня­ет­ся ос­но­ва­ние.

При­мер 3: Вы­чис­литьb4, где

a) b=1

b) b=-3

c) b=

d) b=

Ответ:

a) 

b) 

c) 

www.kursoteka.ru

План-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему: свойства степени с натуральным показателем

Технологическая карта открытого урока математики в 7 классе

 

Тема урока:  свойства степени с натуральным показателем.

Тип урока:  урок применения знаний.

Цель урока:   продолжать совершенствовать навыки  применения свойств степени с

                     натуральным показателем к упрощению выражений, содержащих степени;

                     систематизировать знания учащихся по теме «Свойства степени с

                     натуральным показателем»;

                       дополнить математический запас знаний учащихся о степени с натуральным

                     показателем;

                       способствовать совершенствованию самостоятельного  мышления учащихся;

                       продолжить при помощи математического материала формировать любовь к

                    малой родине и гражданскую  позицию семиклассника.

                 

Прогнозируемый результат.

в результате урока учащиеся должны:

  • вспомнить определение  степени с натуральным показателем и основные свойства степени с натуральным показателем;
  • закрепить  применение основных  свойств  степени с натуральным показателем для упрощения выражений, содержащих степени;

Дидактические единицы урока:

        Понятия - степень;

                        основание;

                        показатель;

                        свойство.

        Определения – степень с натуральным показателем;

                                умножение степеней с одинаковыми основаниями;

                                деление степеней с одинаковыми основаниями;

                                возведение степени в степень;

                                степень  произведения;

                                степень частного.

        Формулы -   an = a ∙a ∙a ∙a ∙∙∙a ( n – множителей)

                            an ∙ am =  an+m

                            an : am = an-m, n>m;

                            (an)m = an ∙ m;

                            (x ∙ y)n = xn  ∙  yn;

                            (x : y)n = xn : yn

                             

                                          Структура урока.

этап урока

 

деятельность учителя

деятельность ученика

прогнозируе-

мый результат

1. Сообщение темы, целей и задач урока, мотивация учебной деятельности.

2.Применение изученного материала к решению упражнений.

.

3.Рефлексия

6.Индивидуальное домашнее задание.

проводит оргмомент, сообщает  тему урока, мотивирует учащихся на деятельность, предлагает ответить на вопросы:

- Что такое Родина?

-что для вас означают слова «моя малая родина»?

1.Предлагает карточки с заданиями на соотнесение ответов с буквами из таблицы.

2. Предлагает разбиться на группы.

 

3. Просит сообщить цифры, которые получились в ответе.

Предлагает составить числа, которые можно получить из этих цифр, затем выбрать число, которое   знакомо семиклассникам. Просит ответить на вопрос:

- что оно означает?

4.  Предлагает расформировать   группы.

Выдает новые карточки.  На которых  вместе с заданиями содержится  и  закрытое решение  заданий.

3. Предлагает вслух озвучить факт, который был закрыт на карточке последним.

Добавляет сведения дополнительными фактами. Показывает  фотографии, демонстрирует слайды на компьютере.

Просит  оценить свою работу на уроке по листу самооценки

Предлагает задание.

Составить задания на применение свойств.

(применение одного, или несколько)

включаются в деятельность, отвечают на вопросы.

 

Выполняют задания, находят ответы в таблице, выписывают соответствующую ответу букву.

Выбирают карточки любого цвета и формируют группы в зависимости от цвета.

Выполняют индивидуальные задания  на карточке. Обсуждают решение в группе. Получают ответ.

Из полученных цифр получают число

1781

Садятся на свои прежние места.

Выполняют задания. Сверяют свое решение с решением на карточке.

Читают сведения о деревне

Оценивает свою работу.

Отвечает на последние вопросы листа самооценки.

Записывают задание. Задают вопросы.

все мотивированы к деятельности.

Получилась следующая запись «деревня Быданово»

Сформировались четыре группы.

У каждого члена группы получается одна и та же цифра.

Получился год образования деревни Быданово.

Группы расформированы.

Ученики познакомлены  с некоторыми фактами из истории  возникновения д. Быданово, с ветеранами войн,  людьми, прославившими деревню в разные годы.

Оценили свою работу. Высказали свои пожелания.

Фамилия                                            Имя

Упрости выражения. Результаты работы заноси в таблицу.

Напротив ответа запиши из таблицы соответствующую букву. Прочитай, что получилось.

Задание

Мои   действия

Ответ

Буква

Я

Необходимо

1

х2 ∙ х4

2

х10 : х2

3

(х4)3

4

(х4)2

5

(х4)2 ∙ х

6

(x2 ∙ y)2

7

x8 : (x2)3

8

x4 ∙ y3 ∙ x ∙ y3

9

(x ∙ y)2∙ x∙ y3

10

(x ∙ x10) : x5

11

( x2)3 ∙ (x2)2

12

x ∙ y ∙  x3 ∙ y

13

(x5 ∙ y) : x2

14

x29 : x20

15

x ∙ ( y4 : y3) ∙ x2

x4 y2

x6

x3

x8

x12

x2

x5 y6

x4 y

x9

x11

Н

Д

П

Е

Р

Я

Б

И

В

К

x4

x4 y5

x10

X y

x3 y

x2 y6

x3 y5

x5

x6 y2

x7

Г

Ш

А

Ф

О

Ю

Ы

У

С

Т

Группа 1.

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

          1.  а5∙ а8∙ а  = a…………………=a14                         

          2.  n6 ∙n3∙ n∙ n7∙ n = n6+3+1+7+1 =                

          3.  k6∙k = k6+1=……………                                                    

          4.  d8∙ d11∙d  = …………………….                                              

5.  2c6∙3c9=( 2∙3) c ………...=6 c…………………….                                               

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n – 6 n5 + 6 n6, где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

  1. y5∙ y12∙ y = y………………..=y18
  2. a4 ∙a3∙ a6∙ a7∙ a= a4+3+6+7+1=……………..                                      
  3. x6∙x6 = x6+6 =…………………..
  4. m8∙ m19∙ m =……………………..
  5. 22x6∙3x9= (22∙3) x……………= 66 x………………

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n – 6 n5 + 6 n6, где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

     1.  а5∙ а8∙ а2 = a………………….=a15

  1. n6 ∙n5∙ n∙ n7∙ n3 = n6+5+1+7+3 = ………….

     3. k12∙k = k12+1 = ………………………..

  1. d 8∙ d11∙d = …………………………..
  2. 6y6∙3y9 = (6∙3) y…………….= 18y………………

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n – 6 n5 + 6 n6, где  n -  номер свойства.

Ответ:

Группа 2.

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

  1. (x5)8 = x…………..=x40
  2. (x5)…= x15
  3. (x…)6 = x30
  4. (x4)4 = x……….=x16
  5. (….5)4 = x……. = x20

                    свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                                       2.   (an)m = anm

                                       3.   an : am = an-m

                                       4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                                       5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n3 – 4 n2 +  n4, где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

  1. (x5)5 = x…………..=x25
  2. (x5)…= x35
  3. (x…)6 = x42
  4. (x4)8 = x……….=x32
  5. (….5)6 = x……. = x30

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

       2. Найди значение выражения:  n3 – 4 n2 +  n4, где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

  1. (a3)8 = a…………..= a24
  2. (a3)…= a15
  3. (a…)5 = a30
  4. (a4)9 = a……….= a36
  5. (….6)4 = a……. = a24

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n3 – 4 n2 +  n4, где  n -  номер свойства.

Ответ:

Группа 3.

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю

  1. (x ∙ y)4 = x … ∙.y……
  2. (x ∙ y)……= x5 ∙  y5
  3. (x ∙ ….)6 = ….6 ∙y6
  4. (x ∙ y)…. = x7 ∙ y7
  5. (x ∙ y)….. = x9 ∙……

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n2 + 3 - 3 n,  где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю

  1. (b ∙  c)6 = b … ∙ c ……
  2. (b ∙ c)……= b8 ∙  c8
  3. (b ∙ ….)2 = ….2 ∙c2
  4. (b ∙ c)…. = b4 ∙ c4
  5. (b ∙ c)….. = b11 ∙……

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n2 + 3 - 3 n , где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю

  1. (n ∙ m)6 = n … ∙ m……
  2. (n ∙ m)……= n3 ∙  m3
  3. (n ∙ ….)9 = ….9 ∙m9
  4. (n ∙ m)…. = n10 ∙ m10
  5. (n ∙ m)….. = n5 ∙……

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n2 + 3 - 3 n , где  n -  номер свойства.

Ответ:

Группа 4.

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за  помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю

  1. x12 : x6 = x…………=x6 
  2. x10 : x….. = x7
  3. x…… : x6 = x8
  4. ….. : x4 = x7
  5. x .......... : ….8 = x5

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n2  - 2 n +(-2) , где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за  помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

  1. x13 : x6 = x…………=x7 
  2. x12 : x….. = x7
  3. x…… : x5 = x8
  4. ….. : x3 = x7
  5. x .......... : ….8 = x2

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n2  - 2 n +(-2) , где  n -  номер свойства.

Ответ:

1.Заполнить пропуски в записи. Указать номер свойства, которое применялось при решении. В случае затруднения обратись за  помощью:   к шпаргалке, к однокласснику группы, к учебнику, к учителю.

  1. x12 : x4 = x…………=x8 
  2. x10 : x….. = x3
  3. x…… : x6 = x3
  4. ….. : x5 = x7
  5. x .......... : ….6 = x2

свойства :  1.   an ∙ am =an+m

                             2.   (an)m = anm

                             3.   an : am = an-m

                             4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                             5.  (a : b)n =  an  :  bn

2. Найди значение выражения:  n2  - 2 n +(-2) , где  n -  номер свойства.

Ответ:

Карточка с закрытым решением.

  1. Упрости выражение:  ( в случае затруднения обратись за помощью к любому однокласснику или учителю, не забывай об учебнике и шпаргалке)

а) (x3)5 : x8 =  

     b) y4 ∙ ( y6 : y2 ) =

     c) (a6)4 ∙ a3 ∙ (a7: a6) =

     d) c6 ∙ (c6)3  =

     e) x12 : ( x10 : x8 ∙ x2 )3 =

Проверь свое решение. Открепи листок, которым закрыто решение.

Решение: a) x3∙5  :  x8 = x15 : x8 = x 15 – 8 = x7;     b) y4 ∙ y6-2 = y4 ∙ y4 = y 8;

c) a24 ∙a3 ∙ a7-6 = a27 ∙ a = a28;    d) c6 ∙ c18 = c6+18 = c24;

e)  x12 : ( x10-8 ∙  x2)3 = x12 : (x2 ∙ x2)3 = x12 : (x2+2)3 = x12 :  ( x4)3 =x12 : x12 =1.  

  1. Какое (какие) свойство (свойства)  применяется   при  решении данного упражнения.   Соедини стрелками.

                                             свойства :

   a)

   b)                                                   1.   an ∙ am =an+m

             c)                                                    2.   (an)m = anm

             d)                                                    3.   an : am = an-m

             e)                                                    4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                                                                     5.  (a : b)n =  an  :  bn

Проверь решение. Открепи листок, которым закрыто решение

                   Решение:

   a)

   b)                                                   1.   an ∙ am =an+m

             c)                                                    2.   (an)m = anm

             d)                                                    3.   an : am = an-m

             e)                                                    4.  (a ∙ b)n =  an ∙ bn

                                                                     5.  (a : b)n =  an  :  bn

Лист самооценки (Чей?)

«+» -да      «-»- нет

 «+»

«-»

1.

(табл.

с буквами)

Ошибки в применении свойства:

  • умножение степеней с одинаковыми знаменателями
  • степень в степени
  • деление степеней с одинаковыми знаменателями
  • степень произведения
  • степень частного

Затрудняюсь в названии свойства

Вычислительные ошибки

2.

Ошибки в применении свойства:

  • умножение степеней с одинаковыми знаменателями
  • степень в степени
  • деление степеней с одинаковыми знаменателями
  • степень произведения

Затрудняюсь в названии свойства

Вычислительные ошибки

Затрудняюсь выполнять числовую подстановку

3.

(карточка с закрытыми решениями)

Ошибки в применении свойства:

  • умножение степеней с одинаковыми знаменателями
  • степень в степени
  • деление степеней с одинаковыми знаменателями
  • степень произведения
  • степень частного

Затрудняюсь в названии свойства

Вычислительные ошибки

Меня сегодня на уроке удивило………….

Сегодня на уроке Я понял(а), что ………

nsportal.ru

Формулы степеней

Определение степени

Существуют три вида действительных степеней, которые стоит рассматривать отдельно. Рассмотрим вначале понятия степеней с целым, рациональным и иррациональным показателями.

Определение 1

Степенью действительного числа $\alpha$ c целым показателем $z$, будем называть число, определяющееся формулой:

$\alpha^z=\cases{\alpha \cdot \alpha \cdot…\cdot \alpha(z \ раз), \ при z >0\\1, \ при \ z=0\\\frac{1}{\alpha \cdot \alpha\cdot …\cdot \alpha(z \ раз)}, \ при z

Определение 2

Степенью действительного числа $\alpha$ c рациональным показателем $q=\frac{r}{s}$ $(r∈Z,s∈N)$, будем называть число, определяющееся формулой:

$\alpha^q=\sqrt[s]{\alpha^r}$

Замечание 1

Нужно отметить, что когда $s$ – четное число, то $\alpha >0$.

Определение 3

Степенью положительного числа $\alpha$ c иррациональным показателем $j$, будем называть число $\alpha^j$, определяющееся следующим образом:

Когда $\alpha=1$, то $\alpha^j=1$;

Когда $\alpha >1$, то $\alpha^j$ будет удовлетворять следующему условию: $\alpha^{q_1}j$.

Когда $0j$.

Определение 4

Степенью положительного числа $\alpha$ c иррациональным показателем $j$, будем называть число $\alpha^j$, равное пределу последовательности $\alpha^{j_0}, \alpha^{j_1}, \alpha^{j_2}$,…, в которой $j_0,j_1,j_2...$ являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа $j$.

Замечание 2

Здесь стоит заметить, что при $j >0$ $0^j=0$, а при$ j

Рассмотрим далее свойства степеней.

Формулы степеней

Для начала рассмотрим и докажем свойства для степени с целыми показателями.

Формула 1: $\alpha^z \cdot \alpha^k=\alpha^{z+k}$

Доказательство.

По определению 1, будем иметь

$\alpha^z=\alpha \cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z \ раз)$, $\alpha^k= \alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(k \ раз)$

Тогда

$\alpha^z\cdot \alpha^k=\alpha\cdot \alpha\cdot …\cdot \alpha(z \ раз)\cdot \alpha\cdot \alpha\cdot …\cdot \alpha(k \ раз)=\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z+k \ раз)=\alpha^{z+k}$

Формула 2: $\frac{\alpha^z}{\alpha^k} =\alpha^{z-k}$

Доказательство.

$\frac{\alpha^z}{\alpha^k} =\alpha^z\cdot \alpha^{-k}$

По формуле 1, имеем

$\frac{\alpha^z}{\alpha^k} =\alpha^z\cdot \alpha^{-k}=\alpha^{z+(-k)}=\alpha^{z-k}$

Формула 3: $(\alpha \beta)^z=\alpha^z\cdot \beta^z$

Доказательство.

По определению 1, будем иметь

$(\alpha \beta)^z=\alpha\beta\cdot \alpha\beta\cdot…\cdot \alpha\beta(z \ раз)$

Тогда, по правилу перестановки множителей

$(\alpha\beta)^z=\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z \ раз)\cdot \beta\cdot\beta\cdot…\cdot \beta(z \ раз)=\alpha^z\cdot \beta^z$

Формула 4: $(\alpha^z)^k=\alpha^{zk}$

Доказательство.

По определению 1, будем иметь

$(\alpha^z)^k=\alpha^z\cdot \alpha^z\cdot…\cdot \alpha^z (k \ раз)$

В свою очередь

$\alpha^z=\alpha\cdot \alpha \cdot…\cdot \alpha(z \ раз)$

Тогда будем получать, что

$(\alpha^z)^k={\alpha \cdot \alpha \cdot…\cdot \alpha(z \ раз) }\cdot…\cdot {\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(z \ раз) }(k \ раз)=\alpha\cdot \alpha\cdot…\cdot \alpha(zk \ раз)=\alpha^{zk}$

Формула 5: $\frac{\alpha^z}{\beta^z} =(\frac{\alpha}{\beta})^z$

Доказательство.

$\frac{\alpha^z}{\beta^z} =\alpha^z\cdot \beta^{-z}$

По формуле 4, имеем

$\frac{\alpha^z}{\beta^z} =\alpha^z\cdot \beta^{-z}=\alpha^z\cdot (\beta^{-1})^z=\alpha^z\cdot (\frac{1}{\beta})^z$

По формуле 3, имеем

$\frac{\alpha^z}{\beta^z} =\alpha^z\cdot (\frac{1}{\beta})^z=(\frac{\alpha}{\beta})^z$

Все эти формулы справедливы также и для рациональных и для иррациональных показателей степеней и также являются их свойствами. Поэтому отдельно мы их рассматривать и доказывать не будем. Также в рамках этой темы будет полезно рассмотреть таблицы степеней, которые здесь мы приводить не будем.

Примеры задач

Пример 1

Найти:

а) $2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3}$

б) $(2^2)^2+\frac{8^4}{4^2}$

в) $8^{\frac{2}{3}}+0^π$

Решение.

а) По свойствам 1 и 2 степеней, получаем:

$2^2\cdot 2^3-\frac{3^5}{3^3} =2^5-3^2=32-9=23$

б) По свойствам 2, 4 и 5, получаем:

$(2^2)^2+\frac{8^4}{4^2}=4^2+\frac{2^{12}}{2^4}=16+2^8=16+256=272$

в) По определению 2, получаем:

$8^{\frac{2}{3}}+0^π=\sqrt[3]{8^2 }+0=2^2=4$

Пример 2

Упростить:

$\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}\cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1$

Решение.

Используя определение 2 степени, а также свойство 1 степеней, будем получать:

$\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{3}{4}}+\beta^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}+\beta^{\frac{1}{4}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}\cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}(\beta^{\frac{1}{4}}+1) }\cdot \frac{\beta^{\frac{1}{4}}(\beta^{\frac{1}{4}}+1)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}\cdot \beta^{\frac{1}{4}}+1=\frac{\beta-1}{\beta^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\beta^{\frac{1}{2}}}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\frac{(\beta^{\frac{1}{2}}-1)(\beta^{\frac{1}{2}}+1)}{\beta^{\frac{1}{2}}+1}+1=\beta^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{\beta}$

spravochnick.ru

Свойства степени с натуральным показателем. 7-й класс

Организация начала урока. Эмоциональный настрой обучающихся на учебное занятие.

Вступительное слово учителя.

Мы продолжаем изучение степени с натуральным показателем.

Эпиграф.

Ты видишь: время старит все, что нам казалось новым,
Но время так же молодит деяния былые.
(Рудаки)

Что означают эти слова? На этот вопрос, возможно, мы ответим в конце урока. А сейчас: как вы думаете, когда люди изобрели степень с натуральным показателем?

Фронтальная работа с классом.

  • Что такое степень с натуральным показателем?
  • Перечислите свойства степени.
  • Продолжите формулы:
    ах • ау =
    =
    ах: ау =
    х) у =
  • Перечислите порядок действия в примере, содержащем степень, умножение, сложение и вычитание.

Люди открыли, или лучше сказать – придумали степень с натуральным показателем очень давно. Поэтому мы с вами отправимся в путешествие по времени, вдоль временной прямой.

Коллективная работа.

Определим, в какую страну мы отправимся, к какому учёному, в какой век. (Учащиеся, сидящие за первой колонкой, выполняют первый пример, за второй колонкой – второй пример, за третьей колонкой – третий. Выполнив вычисления, школьники выбирают верный ответ из предложенных)


Древняя Греция 8,4
Древний Вавилон -12,3
Древняя Индия -3,2
Древний Египет
(-3)4*2*51 + 82
Гипатия -754
Пифагор 874
Аристотель 810
Архимед 184
(-2)4*3*71
I век нашей эры 168
IV век до нашей эры -336
V век до нашей эры 336
VI век до нашей эры -168

Первый пункт нашего назначения – Древняя Греция, V век до нашей эры. Древнегреческий ученый Пифагор. У него была своя школа, его учеников называли пифагорейцами. Они полагали, что каждое число можно представить в виде фигур. Например, числа 4,9,16 пифагорейцы представляли в виде квадратов <Рисунок № 1>

А вы можете продолжить мысль учеников Пифагора и нарисовать еще какое-нибудь число в виде квадрата?

Оказывается, древние греки умели возводить числа в квадрат и куб.

Для того чтобы перебраться на следующую станцию, выполните следующие упражнения.

Представить в виде степени:

Следующая остановка – Древний Вавилон. Вавилоняне пошли дальше: составили и пользовались таблицами квадратов чисел. Давайте и мы с вами вспомним, как пользоваться таблицей квадратов.

Вычислить: 152, 222, 462

Следующая остановка:

А теперь отправимся в Древнюю Индию. Индийские ученые независимо от всех остальных открыли и оперировали степенями с натуральными показателями до 9 включительно, называя их с помощью комбинации трех слов:

“ва”– 2 степень, от слова “варга” – квадрат
“гха”– 3 степень, от “гнаха”– куб
“гхата”– слово, указывающее на то, что показатели надо сложить

Например, 4 степень – “ва-ва”, 5 – “ва-гха-гхата”, 6 – “ва-гха”

Составьте сами древнеиндийские названия для 7, 8 и 9 степеней

Ученик. 7 “ва-ва-гха-гхата”, 8– “ва-ва-ва”, 9– “гха-гха”

Сразу переместимся в XVI век. Английский математик Симон ванн Стевин (1548–1620) придумал запись для обозначения степени: запись 3(3)+ 5(2) – 4 обозначала такую современную запись 33 + 52 – 4

Переведите на современный язык пример Стевина и упростите его:

Перемещаемся в XVI I век. Что произошло с понятием степени в этом веке мы с вами можем предсказать сами. Для этого попробуем ответить на вопрос: а можно ли число возвести в отрицательную или дробную степень? Но это предмет нашего будущего изучения. Тогда же были придуманы современные обозначения степени. А вот заслуга в их признании и распространении принадлежит Исааку Ньютону. Он стал использовать эти обозначения в своих работах, и таким образом, они прижились.

Проверочная работа.

Теперь напишем небольшую самостоятельную работу по тем свойствам, что мы повторили на уроке. Оценивать работу буду следующим образом: за 4–5 верных ответа – “3”, 6 верных ответов – “4”, 7 верных ответов – “5”

1 вариант.

Представьте выражение в виде степени:

2 вариант.

Представьте выражение в виде степени:

Коллективная работа.

Во время путешествия я не назвала фамилию ученого, придумавшего современное обозначение степени. (Учащимся предлагаются примеры, после правильного ответа открывается буква фамилии ученого. В результате должно получиться слово ВАЛЛЕНС.)

Буква Задание Ответ
В Найдите (22)2*22 26 = 64
А Найдите к + у, если 2к = 8, 3у = 27 3 + 3 = 6
Л 4)5•(х6)7 х62
Л 3)4: р10 р2
Е Вычислите 1+5х2, если х = -2 21
Н 78:76 + 53:52 54
С (22)3•215:(24)3 29 = 512

Подведение итогов.

Пришло время подведения итогов. Мы с вами на шкале времени находимся дальше всех тех, о ком мы сегодня говорили. Мы только недавно открыли для себя степень с натуральным показателем. Можем ли мы сейчас объяснить слова эпиграфа. Все, что мы только что для себя открыли известно давным-давно, но от этого радость открытия не уходит.

Домашнее задание.

Выполните действия:

а) х9•х16
А) х15 Б) х7 В) х25

б) х183
А) х-6 Б) х15 В) х9

в) (х4)3•х15
А) х3 Б) х27 В) х22

Из данных выражений найдите те, которые равны 81.

А) 34 Г) -92 Ж) -(-81)1

Б) (-9)2 Д) -(-9)2

В) -34 Е) -(-3)4

3. Найдите значение выражения:

А) 1 Б) 7 В) 711

urok.1sept.ru

План-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему: Урок алгебры в 7 классе "Свойства степени с натуральным показателем. 7-й класс"

                             

«Свойства степени с натуральным показателем»

  7 класс

                              Для учителей математики

Тема: «Свойства степени с натуральным показателем»

ЦЕЛЬ

Обобщить и систематизировать представление обучающихся о свойствах степени с натуральным показателем.

ЗАДАЧИ

  1. предметные:

повторить, обобщить  и систематизировать знания по теме; создать условия контроля (взаимоконтроля)  усвоения знаний и умений; продолжить формирование мотивации обучающихся к изучению предмета;

  1. метапредметные: 

развивать операционный стиль мышления[1]; способствовать приобретению учащимися навыков общения при совместной работе; активизировать их творческое мышление; продолжить формирование определенных компетенций обучающихся, которые будут способствовать их эффективной социализации;  навыков самообразования и самовоспитания.

  1. личностные: 

воспитывать культуру, способствовать формированию личностных качеств, направленных на доброжелательное, толерантное отношение друг к другу, людям, жизни; воспитывать инициативу и самостоятельность в деятельности; подвести к  пониманию необходимости изучаемой темы для успешной подготовки к государственной итоговой аттестации.

ТИП УРОКА

урок  обобщения и систематизации ЗУН.

Методы и формы[2]

Форма/Метод

Эвристический

Проблемный

Модельный

Игра

Методы и формы контроля[3]

Форма/Метод

Итоговый

Самоконтроль

Взаимоконтроль

Устный

Диктант

Самостоятельная работа

Тестирование

Проектный

Рефлексивный

Оборудование: компьютер, проектор, экран для проецирования, доска.

Программное обеспечение: ОС Windows 7: MS Office 2007 (обязательно приложение -   PowerPoint).

Подготовительный этап:

  1. презентация «Свойства степени с натуральным показателем»; http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/urok-algebry-v-7-klasse-svoistva-stepeni-s-naturalnym-pokazatelem-7-i-klass
  2. заранее подготовить памятки с алгоритмом применения свойств степени с натуральным показателем, которые в ходе презентации раздаются учащимся.
  3. подготовить карточки красного и зеленого цвета для игры «Молчанка»;
  4. листы взаимоконтроля  теоретической части для подведения итогов он-лайн- тестирования;
  5. карточка с дифференцированными заданиями «Пара чисел»;
  6. карточка с копировальной бумагой, зачетный  лист.
  7. интерактивный тест

Структура

  1. Организационный момент. Постановка целей и задач урока – 3 минуты.
  2. Актуализация, систематизация опорных знаний – 8 минут.
  3. Практическая часть –28 минут.
  4. Обобщение, вывод –3 минута.
  5. Домашнее задание – 1 минута.
  6. Рефлексия – 2 минуты.

Идея урока

Проверка в интересной и эффективной форме ЗУН обучающихся по данной теме.

Организация урока

Урок проводится в 7 классе. Ребята работают в парах, самостоятельно, учитель выступает в роли консультанта-наблюдателя.

Ход урока

  1. Организационный момент:

Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас необычный урок-игра. Каждому  из вас  предоставляется прекрасная возможность проявить себя, показать свои знания. Возможно, во время урока вы раскроете в себе скрытые способности, которые вам пригодятся в дальнейшем.

Итак, приглашаю вас на урок!

Ребята, посмотрите на экран и послушайте стихотворение. Слушайте внимательно, для того, чтобы узнать, о чем оно.

Презентация.  Слайд №1 

                                                   

Умножать и делить

Степень в степень возводить…

Свойства эти нам знакомы

И давно уже не новы.

Пять несложных правил этих

Каждый в классе уж ответил

Но если свойства позабыл,

Считай, пример ты не решил!

А чтобы в школе жить без бед

Дам дельный я тебе совет:

Не хочешь правило забыть?

Попробуй просто заучить!

Вопросы классу(Слайд2)

  1. Итак, о чем же это стихотворение?
  2.  Какие действия в нем  упоминаются?
  3. Как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить на уроке?

Таким образом, тема   нашего урока: (Слайд3).

 «Свойства степени с натуральным показателем»

Постановка целей и задач урока 

На уроке мы повторим, обобщим и приведем в систему изученный материал. Ваша задача показать свои знания свойств степени с натуральным показателем и умение применять их при выполнении различных заданий.

(Слайд 4). Подвести итоги урока  поможет зачетный  лист.

  1. Актуализация опорных знаний. Систематизация теоретического материала.

Проверка теоретической части одним из способов

а)(Проверяется он-лайн) http://webanketa.com/forms/68skcdsn5xjkedsh6rv3jc0/

б)(Учащиеся заполняют пропуски в листах взаимоконтроля.)

  1. Если показатель четное число, то значение степени всегда_______________ (Слайд 5)

Если показатель нечетное число, то значение степени совпадает со знаком ____. (Слайд 5)

  1. Произведение степеней   an·ak=an+k 
    При умножении степеней с одинаковыми основаниями , надо основание ____________,   а показатели степеней________. (Слайд 6)
  2. Частное степеней  an:ak=an-k 
    При делении степеней с одинаковыми основаниями, надо основание _____, а из показателя делимого ____________________________.(Слайд 7)
  3. Возведение степени в степень  (an)к=ank 
    При возведении степени в степень надо основание _______, а показатели степеней______.(Слайд 8)
  4. Возведение в степень произведения. an·bn   =(ab)n

 При умножении степеней с одинаковыми показателями, надо основания_________________, а показатель_________________.(Слайд 9)

  1. Возведение в степень частного.  

При делении степеней с одинаковыми показателями, надо основания_________________, а из показателя______________. (Слайд 10)

Оцените ответы товарища и поставьте оценку в зачетный лист. Проверка ответов.(Слайды 11-17)

Устная работа (Слайды 18-24).

Чему равно значение выражения:    

аm  ∙ аn;   аm: an;  (am)n;   (ab)n; о0;   а1;   а0 .

Сформулируем свойства степени с натуральным показателем.

Игра «Молчанка» (Слайд 25)

  1. Выполните действия:      х11∙х∙х2       х14 : х5            (а4)3              (-За)2.
  2. Сравнить значение выражения с нулем: ( - 5)7,           (-6)18,  

(- 4)11. (-4)8           (- 5)18∙ (- 5)6,           -(- 4)8.

  1. Вычислить значение выражения:

 -1∙ 32,       (-1 ∙ 3)2        1∙(-3)2,     - (2 ∙ 3)2,      12 ∙ (-3)2

Оцените свою работу и поставьте оценку в зачетный  лист.

  1. Основная часть

Игра «Пара чисел» (Слайд 26)

ЗАДАНИЕ

Для каждого нестандартного одночлена из первого столбца подберите соответствующий ему стандартный одночлен из второго столбца и составьте соответствующие пары чисел.        

Для тех, кто выполнил задание, обратитесь к дополнительной части.

Когда закончили работу, поменялись тетрадями, проверили пары чисел, представленные на слайде:

ОТВЕТЫ: (1,4), (2,7), (3,6), (4,3), (5,2) (Слайд 27)

Поставьте своим товарищам оценку в оценочный лист

                                                   Игра «Пара чисел»

1) 2ху∙ 3x2у5

1) - 5х4 у5

2) Зху3∙ х3у6

2) – х 5 у10 z3

3) -0,6ас3 ∙ (-8)а2с4

3) 6a3 с5

4) -5а2с ∙ 2ас  ∙  (-0,6с3)

4) 6х3у6

5) ху3z3 х ∙ (-3)х3у7

5) -9х4у6 z2

6) 4,8а3с7

7) 2х4 у9

А сейчас проведем зарядку для глаз, снимем напряжение, и будем работать дальше. Начинаем! (Слайд 28).

А теперь приступим к следующему виду нашей работы.

Запишите ответ в виде степени с основанием  С  и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, который первым ввел понятие степени числа. 

Угадай фамилию ученого математика. (Слайд 29).

1.

С5∙С3

6.

С7 : С5

2.

С8: С6

7.

(С4)3 ∙С

3,

(С4)3

8.

С4∙ С5∙ С0

4.

С5 ∙С3 : С6

9.

С16 : С8

5.

С14∙ с

10.

(С3)5

Ответ: РЕНЕ ДЕКАРТ

Р

Ш

М

Ю

К

Н

А

Т

Е

Д

С8 

С5 

С1 

С40

С13

С12 

С9 

С15 

С2 

С22 

Представление мини-проекта ученика «Рене Декарт»

В этих заданиях мы показали свое умение выполнять умножение одночленов, а сейчас проверим, как вы можете применять свойства степени при возведении одночлена в степень.

Работу выполним на карточке с копировальной бумагой по вариантам. (Слайд 30)

Лист под копиркой сдали учителю, а работу проверьте друг у друга и поставьте оценку своим товарищам в зачетный лист. А теперь приступаем к  работе над тестом.(Слайд31)

Вариант 1

Вариант 2.

  1. Выполни деление степеней 217 : 25 
  1. 212
  2. 25
  3. 245

2. Запиши в виде степени (х+у)(х+у)=

  1. х2+у2
  2. (х+у)2
  3. 2(х+у)

3. Замени * степенью, чтобы выполнялось равенство а5  · * =а15

  1. a5
  2. a10
  3. а3

4. Чему равно значение выражения (2ас)5?

  1. 10ас
  2. 32ас5
  3. 32а5с5

5. Из предложенных вариантов выбери тот, которым можно заменить * в     равенстве (*)3  = 815

  1. 88
  2. 85
  3. 812

6.  Найди значение дроби  

  1. Выполни деление степеней 99 : 97 
  1.      92
  2.      916
  3. 963

2. Запиши в виде степени (х-у)(х-у)=…

  1. х2-у2
  2. (х-у)2
  3. 2(х-у)

3. Замени * степенью, чтобы выполнялось равенство b9  · * = b18

  1. b17
  2. b11
  3. b9

4. Чему равно значение выражения (3bс)4?

  1. 12bс4
  2. 81bс5
  3. 81b4с4

5. Из предложенных вариантов выбери тот, которым можно заменить * в     равенстве (*)3  = 524

  1. 58
  2. 521
  3. 54

6.  Найди значение дроби  

Проверьте друг у друга работу  и поставьте оценку своим товарищам в зачетный лист.

Дополнительные задания для сильных обучающихся

Каждое задание оценивается  отдельно.

Найти значение выражения:

 

1)  0,25 6 ∙ 46;                     2)    ;                3)  

Резерв урока (Слайд 32)

АОВСТЛКРИЧГНМО

Выполняя задание вычеркните буквы, соответствующие ответам. Упростите выражение:

1.

С4∙С3

      5.

(С2)3  ∙ С5

2.

 (С5)3

6.

С6∙ С5:  С10

3.

С11: С6  

7.

(С4)3 ∙С2

4.

С5 ∙С5 : С

Шифр: А -  С7       В- С 15         Г -  С     И -  С 30        К -  С9      М – С14      Н - С13     О - С 12     Р - С11     С - С5        Т - С8    Ч - С3

ОТВЕТ:  ОТЛИЧНО! (Слайд 33)

  1. Подведение итогов, оценивание, выставление отметок (Слайд 34)

Ребята прошу вас оценить свою деятельность на уроке. Отметка в листе настроения.

Сначала подводят итог ученики, а потом, при необходимости, дополняет учитель.

  1. Домашнее задание (Слайд 35)

Зашифруйте математический термин, используя свойства степени, и оформите вашу работу на красочном плакате. На следующем уроке мы расшифруем самые интересные работы.

Критерии оценивания знаний на уроке

27-30 баллов – «5»

23-26 баллов – «4»

18-22 баллов – «3»

Ниже – зачет не сдан

Критерии оценки учебного  проекта

Отметка «5»:

  1. Аргументированность представляемых фактов о происхождении понятия степени и роли Рене Декарта.
  2. Самостоятельность, законченность.
  3. Уровень творчества, оригинальность представления проекта.
  4. Объём и глубина знаний по теме, эрудиция.
  5. Ответы на вопросы: полнота, аргументированность.

Список использованных источников

  1. Учебник «Алгебра 7 класс». Автор: А.Г. Мордкович.- М., 2010г.
  2. Стихотворение. http://yandex.ru/yandsearch
  3. Н.Е. Щуркова. Культура современного урока. М.: Российское педагогическое агентство, 1997.
  4. А.В. Петров. Методологические и методические основы личностно-развивающего компьютерного образования. Волгоград. «Перемена», 2001.
  5. А.С. Белкин. Ситуация успеха. Как ее создать. М.: «Просвещение»,1991.
  6. Информатика и образование №3. Операционный стиль мышления, 2003.
  7. В.В. Гузеев. Образовательная технология: от приема до философии. Матрица методов и форм обучения.
  8. Материалы к уроку, ЭОР. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/urok-algebry-v-7-klasse-svoistva-stepeni-s-naturalnym-pokazatelem-7-i-klass

[1] Информатика и образование №3. Операционный стиль мышления, 2003.

[2] В.В. Гузеев. Образовательная технология: от приема до философии.Матрица методов и форм обучения.

[3] В.В. Гузеев. Образовательная технология: от приема до философии.Матрица методов и форм обучения.

nsportal.ru

"Свойства степеней с натуральным показателем"

Цель: Знать правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, деление степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень, возведение произведения в степень, уметь применять эти правила при вычислении.

Структура урока:

  • ИВУ – 3 мин
  • ВМД – 3 мин
  • Тренаж – 8 мин, ППС
  • ВТ -60 мин, ПСС
  • Итог – 5 мин

Чтобы проводить уроки по технологии КСО, нужно соблюдать определенные правила:

I. Все должны работать под девизом:

  • Научился сам – научи другого.
  • Каждый отвечает не только за свои знания, но и за знания других.

II. Соблюдать правила общения в парах.

Правила общения в парах:

  1. Говорите в полголоса, но не шепотом.
  2. Умейте выслушать напарника, не перебивайте его.
  3. Разговор должен идти только о предмете задания.
  4. Будьте готовы помочь товарищу, радуйтесь его успеху.
  5. За совместную работу поблагодарите друг друга.
  6. Поощряйте друг друга хорошими словами.

III. Знать алгоритм работы с напарником:

  1. Запиши номер темы, имя в тетради напарника.
  2. Расскажи правило напарнику.
  3. Разъясни правило на примерах.
  4. Прочитай задание а) напарнику и проверь его.
  5. Прочитай задание б) напарнику и проверь его.
  6. Выполни задание напарника по его теме (п.1-5).
  7. Выполните задание получаемой темы одновременно.
  8. Проверьте друг у друга результаты.
  9. Расскажите друг другу изученные правила.

I. Степень – это пятое математическое действие и никто, пожалуй не пользуется так широко этим действием, как астрономы. Астрономам приходится на каждом шагу встречаться с огромными числами:

  1. Расстояние до туманности Андромеды 95000000000000000000 = 95·1018 км.
  2. Масса Солнца 1983000000000000000000000000000 = 1983·1027 км.

Запись числовых великанов короче – это не только сберегает место, но и облегчает расчеты:

950·1018 км · 1983·1027 км = 188385·1045 км

II. Проводится тренаж – возведение положительных, отрицательных, десятичных дробей, обыкновенных дробей, смешанных чисел в степень, действия со степенями.

I вариант

1 сторона тренажной карточки:

0,82 = (-2)4 = ()2 =
(-3)3 = -2·34 = (7-10)4 =
102-23 = 13-25 = (-)3 = .

III. Работа в ПСС по изучению свойств степеней с натуральным показателем:

Карточка включает одно правило и несколько примеров, разъясняющих его. Ученик, обучающий напарника, рассказывает ему правило и поясняет его смысл на примерах.

После этого следует задание I группы. Они состоят из пунктов а) и б). Второй напарник должен привести несколько своих примеров и под наблюдением обучающего решить их с комментированием в тетради, а затем решить с комментированием примеры. Примеры направлены не столько на понимание правила, сколько на его применение при решении примеров другого типа.

После того, как каждый напарник обучил другого первой части своей карточки, они меняются последними и выполняют пункты 1 и 2 задания под чертой. Это подытоживающая работа под данным правилом.

Выполнив три пункта задания, ребята проверяют друг у друга примеры и знание правила. Вновь приобретенная тема-правило передается новому напарнику. Далее готовятся к передаче по алгоритму работы с напарником.

Обратная сторона тренажной карточки:

0,82 = 0,64 (-2)4 = 16 ()2 =
(-3)3 = -27 -2·34 = -162 (7-10)4 = 81
102-23 = 92 13-25 = -19 (-)3 = -

II вариант

1 сторона тренажной карточки:

0,92 = (-2)3 = ()2 =
(-2)4 = -3·25 = (-)3 =
102-32 = 11-34 = (6-8)5 =

Обратная сторона тренажной карточки:

0,92 = 0,81 (-2)3 = -8 ()2 =
(-2)4 = 16 -3·25 = -96 (-)3 = -
102-32 = 91 11-34 = -70 (6-8)5 = -32

.Итог тренажа проводится в соответствии с критерием:

  • 9-ти правильных ответов оценка “5”;
  • 8-ми правильных ответов оценка “4”;
  • 7-ми правильных ответов оценка “3”;
  • менее 6-ти оценка “2”.

Оценка заносится в лист учета знаний.

Алгоритмы УС, ДС, ВСП, ВСС.

Алгоритм

работы с напарником по теме: Умножение степеней (п.17, стр.81)

УС – I

Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Например:

a5 · a7 = a5+7 = a12 y · y7 = y1+7 = y8 m2 · m10 · m · m21 = m2+10+1+21 = m34
22 · 2 = 22+1 = 23  49 · 74 = 72 · 74 = 76
  • Приведи четыре примера на правило, запиши их в тетрадь, объясни и реши с комментированием.
  • Представь в виде степени произведения и прокомментируй решение:
a6 · a3 = x9 · x = 26 · 24 = x5 · x2 · x4 =
m · m3 · m2 · m5 = 5 · 52 · 53 · 53 =
  • Повтори правило и постарайся его запомнить.
  • Представь в виде степени:
y · y12 = c7 · c12 = p4 · p3 · p · p = 58 · 25 = 615 · 36 =
  • Выбери из перечисленных ниже примеров на данное правило и представь в виде степени:
b4 + b8 = k · k2 · k3 = 312 : 34 = 52 · 5 = 82 · 80 =

Алгоритм

работы с напарником по теме: Деление степеней (п.17, стр.82)

ДС – II

Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Например:

a11 : a3 = a11-3 = a8 n8 : n = n8-1 = n7 26 : 24 = 26-4 = 22
8 : 22 = 23 : 22 = 2 56/ 54 = 56 : 54 = 52
  • Приведи свои примеры на правило, запиши их в тетрадь, объясни и реши с комментированием.
  • Представь в виде степени частное и прокомментируй решение:
x7 : x3 = a21 : a = c12 : с3 = 38 : 35 = 75/73 =
  1. Повтори правило и постарайся его запомнить.
  2. Представь в виде степени:
P20 : p10 = b9 : b = a15 : a14 = 510 : 58 = 86/84 =

Выбери из перечисленных ниже примеров на данное правило и представь в виде степени:

b8 – b2 = 0,510 : 0,57 = 0,612/0,611 = m6 · m7 = c7 : c0 =

Алгоритм

работы с напарником по теме: Возведение в степень произведения (п.18, стр.85)

ВСП – III

Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

Например:

(xyz)n = xnynzn (m · n)4 = m4 · n4 (2y)4 = 24y4 = 16y4
(-3a)2 = (-3)2 · a2 = 9a2 (-2ab)3 = -8a3b3
  • Приведи свои четыре примера на правило, запиши их в тетрадь, объясни и реши с комментированием.
  • Возведи в степень:
(xy)4 = (2x)3 = (-5x)3 = (-3y)4 = (2 · 10)3 = (5 · 7 · 20)2 =
  1. Повтори правило и постарайся его запомнить.
  2. Выполните возведение в степень:
(10xy)2 = (-am)3 = (-2abx)4 = (2 · 5)4 =

Выбери из перечисленных ниже примеров на данное правило и представь в виде степени:

a6 · b6 = (abcd)4 = c5 : c0 = (5abc)3 =

 Алгоритм

работы с напарником по теме: Возведение степени в степень (п.18, стр.86)

ВСС – IV

Правило: При возведении в степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Например:

(b4)5 = b4 · 5 = b20 , (a5)2 = a5 · 2 = a10 , (an)3 = a3n , (a5)5 = a25 ,
(2/3)5 = 25/35 , (m8 · n3)2 = m16 · n6 , (2 · y · z)4 = 24 · y4 · z4 = 16 · y4 · z4
  • Приведи свои четыре примера на правило, запиши их в тетрадь, объясни и реши с комментированием.
  • Возведи в степень:
(a5)2 = (b3)3 = (a7b9)2 = (5/7)10 = (53)3 =
  1. Повтори правило и постарайся его запомнить.
  2. Выполните возведение в степень:
(x6)4 = (a7)3 = (k7l4)2 = (1/4)3 = (mn8)3 =

Выбери из перечисленных ниже примеров на данное правило и представь в виде степени:

(2k + 1)2 = (y3)5 = (2a2)5 = m6y6 = (-a3m)3 =

Приложение

УС – I (решебник)

  • a6 · a3 = a6+3 = a9
    x9 · x = x9+1 = x10
    26 · 24 = 26+4 = 210
    x5 · x2 · x4 = x5+2+4 = x11
    m · m3 · m2 · m5 = m1+3+2+5 = m11
    5 · 52 · 53 · 53 = 51+2+3+3 = 59
  • y · y12 = y13
    c7 · c12 = c19
    p4 · p3 · p · p = p9
    58 · 25 = 510
    615 · 36 = 617
  • k · k2 · k3 = k6
    52 · 5 = 53 = 125
    82 · 80 = 82 = 64

ДС – II (решебник)

  • x7 : x3 = x7-3 = x4
    a21 : a = a21-1 = a20
    c12 : с3 = c12-3 = c9
    38 : 35 = 38-5 = 33 = 27
    75/73 = 75 : 73 = 72 = 49
  • P20 : p10 = р20-10 = p10
    b9 : b = b9-1 = b8
    a15 : a14 = a
    510 : 58 = 52 = 25
    86/84 =86 : 84 = 82 = 64
  • 0,510 : 0,57 = 0,53 = 0,125
    0,612/0,611 = 0,612-11 = 0,6
    c7 : c0 = с7-0 = с7

ВСП – III (решебник)

  • (xy)4 = x4y4
    (2x)3 = 23 · x3 = 8x3
    (-5x)3 = (-5)3 · x3 = -125x3
    (-3y)4 = (-3)4 · y4 = 81y4
    (2 · 10)3 = 23 · 103 = 8 · 1000 = 8000
    (5 · 7 · 20)2 = 52 · 72 · 202 = 25 · 49 · 400 = 490000
  • (10xy)2 = 102 · x2 · y2 = 100x2y2
    (-am)3 = -a3 · m3
    (-2abx)4 = (-2)4 · a4 · b4 · x4 = 16a4b4x4
    (2 · 5)4 = 24 · 54 = 16 · 625 = 10000 
  • a6 · b6 = (a · b)6
    (abcd)4 = a4 · b4 · c4 · d4
    (5abc)3 =53 · a3 · b3 · c3 = 125a3b3c3

ВСС – IV (решебник)

  • (a5)2 = a5·2 = a10
    (b3)3 = b3· 3 = b9
    (a7b9)2 = a14 · b18
    (5/7)10 = 510/ 710
    (53)3 = 59
  • (x6)4 = x6 · 4 = x24
    (a7)3 = a7 · 3 = a21
    (k7l4)2 = k7 · 2 · l4 · 2 = k14 · l8
    (1/4)3 = 13/ 43 = 1/64
    (mn8)3 = m3 · n24
  • (y3)5 = y15
    (2a2)5 = 25 · a10 = 32a10
    (-a3m)3 = -a9 · m3

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *