Cos2X 1 cos ΠΏ 2 x: 1)cos2x=1-cos(П/2-x)-Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.2) НайдитС всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΡƒ: квадратная скобка -5П/2;-П)круглая скобка

36Risolvere per ?cos(x)=1/27Risolvere per xsin(x)=-1/28ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹2259Risolvere per ?cos(x)=( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2)/210Risolvere per xcos(x)=( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)/211Risolvere per xsin(x)=( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)/212Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊg(x)=3/4* ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ пятой стСпСни ΠΈΠ· x
13Найти Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΈ радиусx^2+y^2=914ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹120 Π³Ρ€Π°Π΄. 2+n-72)=1/(n+9)

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ЛогарифмичСскиС уравнСния 13 Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅.

Π’ 13 Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уровня слоТности, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ с 13 задания Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ задания Π±Ρ‹Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎ уровня Π‘, ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π‘1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.

Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ β„–13 Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ задания (дСмонстрационный Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚2018)

Π°) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos2x = 1-cos(ΠΏ/2-x)

Π±) НайдитС всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΡƒ [-5ΠΏ/2;-ΠΏ].

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:
  1. t
  2. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС уравнСния.
  1. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ось.
  2. Наносим Π½Π° Π½Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
  3. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
  4. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°.
  5. ЗаписываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.
РСшСниС:

1. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ привСдСния cos(Ο€/ 2βˆ’x )=sinx . ИмССм:

сos2x = 1 – sin x .

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ косинуса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, с использованиСм синуса:

cos(2Ρ…)=1βˆ’2sin 2 Ρ…

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 1βˆ’sin 2 x =1βˆ’ sinx

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ присутствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° тригономСтричСская функция sinx .

2. Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ: t = sinx . РСшаСм ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1βˆ’2t 2 =1βˆ’t,

βˆ’2t 2 +t =0,

t (βˆ’2t +1)=0,

t = 0 ΠΈΠ»ΠΈ -2t + 1 = 0 ,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ:

sin x = 0 ΠΈΠ»ΠΈ sin x = Β½

РСшаСм эти уравнСния:

sin x =0↔x =Ο€n, nΠ„Z

sin(x )=1/2↔x = (-1) n βˆ™(Ο€/6) + Ο€n, nΠ„Z .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° сСмСйства Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

1. Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π΄Π²Π° сСмСйства, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. НСобходимо Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, находятся Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅. Для этого строим Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ.

2. Наносим Π½Π° Π½Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… сСмСйств, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ² ΠΈΡ… Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ) ΠΈ синим (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ).


3. ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°.

4. Π’ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ располоТСны Ρ‚Ρ€ΠΈ корня Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня: βˆ’2Ο€ ;βˆ’11Ο€/ 6 ΠΈ βˆ’7Ο€/ 6.

Π°) Ο€n, nΠ„Z; (-1) n βˆ™(Ο€/6) + Ο€n, nΠ„Z

Π±) βˆ’2Ο€ ;βˆ’11Ο€ 6;βˆ’7Ο€ 6

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ задания (ΠΈΠ· Π―Ρ‰Π΅Π½ΠΊΠΎ, β„–1)
Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:
  1. ЗамСняСм эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
    t
    ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
  2. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ тригономСтричСскиС уравнСния.
  1. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π° Π½Π΅ΠΉ.
  2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
  3. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
  4. ЗаписываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.
РСшСниС:

1. Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ t = 4 cos Ρ…. Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

РСшаСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» дискриминанта ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

D=b 2 – c = 81 – 4βˆ™4βˆ™2 =49,

t 1 = (9 – 7)/8= ΒΌ, t 2 = (9+7)/8=2.

3. ВозвращаСмся ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ…:

1. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π° Π½Π΅ΠΉ.

2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

3. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°..

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ . Π˜Ρ… Π΄Π²Π°.

Π°)

Π±)

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ задания (ΠΈΠ· Π―Ρ‰Π΅Π½ΠΊΠΎ, β„– 6)
Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:
  1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, содСрТащСму Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.
  2. ЗамСняСм эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ t ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
  3. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ тригономСтричСскиС уравнСния.
  1. РСшаСм нСравСнства для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ случая.
  2. ЗаписываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.
РСшСниС:

1. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ привСдСния .

2. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

3. Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

РСшаСм ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» дискриминанта ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

Главная

Π£ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС уравнСния ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠΉ сдачи Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ государствСнного экзамСна ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ

ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ :

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… , Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 13 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° КИМ Π•Π“Π­ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ нСчасто, Π½ΠΎ всС ΠΆΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° прСдставляСт собой ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ просто Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ ΠΈ (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ заданию ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ) Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ.

Π’Π°ΠΊ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² 2017 Π³ΠΎΠ΄Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π» ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅:

Π°) Π Π΅Β­ΡˆΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

Π±) Π£ΠΊΠ°Β­ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΒ­Π½Π°Π΄Β­Π»Π΅Β­ΠΆΠ°Β­Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Β­Ρ€Π΅Π·Β­ΠΊΡƒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°) 2; log 2 7 ΠΈ Π±) log 2 7.

Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅:

Π°) Π Π΅Β­ΡˆΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ 6log 8 2 x – 5log 8 x + 1 = 0

Π±) Най­ди­тС всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΒ­Π½Π°Π΄Β­Π»Π΅Β­ΠΆΠ°Β­Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Β­Ρ€Π΅Π·Β­ΠΊΡƒ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°) 2 ΠΈ 2√2 ; Π±) 2.

Π’ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅:

Π°) Π Π΅Β­ΡˆΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Β­Π½Π΅Β­Π½ΠΈΠ΅ 2log 3 2 (2cos x ) – 5log 3 (2cos x ) + 2 = 0.

Π±) Най­ди­тС всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΒ­Π½Π°Π΄Β­Π»Π΅Β­ΠΆΠ°Β­Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Β­Ρ€Π΅Π·Β­ΠΊΡƒ [Ο€; 5Ο€/2].

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°) {Ο€/6 + 2Ο€k; -Ο€/6 + 2Ο€k, k∊Z} ΠΈ Π±) 11Ο€/6; 13Ο€/6.

Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… , ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ являСтся Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΉ , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² основных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈ нСравСнств фактичСски ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ матСматичСскиС ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ нСслоТно Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡ… всСго ΠΏΡΡ‚ΡŒ: свСдСниС ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ, использованиС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠ², Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… нСизвСстных, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ стоит ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ использования свойств ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, логарифмичСской ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡: ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΎΠΌ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ уравнСния являСтся ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ входящих Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ β„– 13 Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ уравнСния, Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ примСнСния пСрСчислСнных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ пяти основных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ². ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· этих ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свои особСнности, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΡ… Π½Π΅Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ошибкам ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

КакиС Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ошибки ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ экзамСнуСмыС?

НСрСдко ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, школьники Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· случаСв выполнСния равСнства. Как извСстно, уравнСния Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ совокупности Π΄Π²ΡƒΡ… систСм условий (см. Π½ΠΈΠΆΠ΅), Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° a(x ) = 1


Данная ошибка связана с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ экзамСнуСмый Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (y = ax , a>0, a β‰  1): ΠΏΡ€ΠΈ Π° ≀ 0 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°,

А Π²ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Π° = 1 ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π½ΠΎ Π½Π΅ являСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π² любой Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни тоТдСствСнно Ρ€Π°Π²Π½Π° самой сСбС.

А Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Ссли Π² рассматриваСмом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π° (x ) = 1 Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ числовоС равСнство, Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ корнями уравнСния.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ошибка – ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π±Π΅Π· ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π° области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. НапримСр, Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌ свойство Β«Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ произвСдСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²Β», оказываСтся, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅:
log a (f (x )g (x )) = log a β”‚f (x )β”‚ + log a β”‚g(x )β”‚, ΠΏΡ€ΠΈ f (x )g (x ) > 0, a > 0, a β‰  1

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части этого равСнства, достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f ΠΈ g Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ сами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ большС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ мСньшС нуля, поэтому ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ понятиС модуля.

И Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ привСсти Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для эффСктивного освоСния ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ услугами , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сумССт Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Β«ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… камнях» Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… экзамСнационных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

РСгулярно Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°Π»Π΅ Β«1Π‘:Π Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Β», достаточно .
Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅:

ВсС курсы состоят ΠΈΠ· мСтодичСски ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ для ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ тСкстов, слайдов ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΈ тСсты.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы? ΠŸΠΎΠ·Π²ΠΎΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ 8 800 551-50-78 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ‡Π°Ρ‚.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Ρ„Ρ€Π°Π·Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ поисковыС Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ наши совСты:

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 13 Π² экзамСнС Π•Π“Π­, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹, ΠΊΠΈΠΌ Π•Π“Π­ 2017, ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния Π•Π“Π­, вычислСниС свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-стСпСнная функция, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π•Π“Π­ 2017 ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ уравнСниям, ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ Сгэ выпускникам 11 класса Π² 2018 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π² тСхничСский Π²ΡƒΠ·.


Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„–13 Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня ⋆ Π‘ΠŸΠΠ”Π˜Π›Πž



Π’ 13 Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уровня слоТности, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ с 13 задания Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ задания Π±Ρ‹Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎ уровня Π‘, ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π‘1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ.


Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ β„–13 Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уровня


ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ задания (дСмонстрационный Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚2018)

[su_note note_color=”#defae6β€³] Π°) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos2x = 1-cos(ΠΏ/2-x) Π±) НайдитС всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΡƒ [-5ΠΏ/2;-ΠΏ]. [/su_note]

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π°)

  1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, содСрТащСму Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.
  2. ЗамСняСм эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉΒ tΒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
  3. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС уравнСния.

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π±)

  1. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ось.
  2. Наносим Π½Π° Π½Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
  3. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
  4. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°.
  5. ЗаписываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.
РСшСниС:

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π°) 1. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ привСдСния cos(Ο€/2βˆ’x)=sinx. ИмССм:

сos2x = 1 – sin x.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ косинуса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, с использованиСм синуса:

cos(2Ρ…)=1βˆ’2sin2 Ρ…

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 1βˆ’sin 2x=1βˆ’ sinx Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ присутствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° тригономСтричСская функция sinx. 2. Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ: t = sinx. РСшаСм ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

1βˆ’2t2=1βˆ’t,

βˆ’2t2+t=0,

t (βˆ’2t+1)=0,

Β t = 0Β ΠΈΠ»ΠΈΒ -2t + 1 = 0,

t1Β = 0Β  t2 =Β 1/2.

3. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ:

sin x = 0 ΠΈΠ»ΠΈ sin x = Β½

РСшаСм эти уравнСния:

sin x =0↔x=Ο€n, nΠ„Z

sin(x)=1/2↔x= (-1)nβˆ™(Ο€/6)+ Ο€n, nΠ„Z.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° сСмСйства Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π±):

1. Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π΄Π²Π° сСмСйства, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. НСобходимо Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, находятся Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅. Для этого строим Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ.

2. Наносим Π½Π° Π½Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… сСмСйств, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ² ΠΈΡ… Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ) ΠΈ синим (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ).

3. ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°. 4. Π’ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ располоТСны Ρ‚Ρ€ΠΈ корня Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня: βˆ’2Ο€;βˆ’11Ο€/6 ΠΈ βˆ’7Ο€/6. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°) Ο€n, nΠ„Z; (-1)nβˆ™(Ο€/6)+ Ο€n, nΠ„Z Π±) βˆ’2Ο€;βˆ’11Ο€6;βˆ’7Ο€6


Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ задания (ΠΈΠ· Π―Ρ‰Π΅Π½ΠΊΠΎ, β„–1)

[su_note note_color=”#defae6β€³] Π°) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Π±) НайдитС всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ . [/su_note]

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π°)

  1. ЗамСняСм эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉΒ tΒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
  2. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ тригономСтричСскиС уравнСния.

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π±)

  1. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π° Π½Π΅ΠΉ.
  2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
  3. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
  4. ЗаписываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.
РСшСниС:

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π°) 1. Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ t = 4cos Ρ…. Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: РСшаСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» дискриминанта ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

D=b2 – c = 81 – 4βˆ™4βˆ™2 =49,

t1= (9 – 7)/8= ΒΌ, t2 = (9+7)/8=2.

3. ВозвращаСмся ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ…: ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π±) 1. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π° Π½Π΅ΠΉ. 2. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. 3. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ . Π˜Ρ… Π΄Π²Π°. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°) Π±)


Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ задания (ΠΈΠ· Π―Ρ‰Π΅Π½ΠΊΠΎ, β„– 6)

[su_note note_color=”#defae6β€³] Π°) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Π±) НайдитС всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ . [/su_note]

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π°)

  1. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, содСрТащСму Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.
  2. ЗамСняСм эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉΒ tΒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
  3. Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ тригономСтричСскиС уравнСния.

ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π±)

  1. РСшаСм нСравСнства для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ случая.
  2. ЗаписываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.
РСшСниС:

Π°) 1. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ привСдСния . 2. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: 3. Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: РСшаСм ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» дискриминанта ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ: Оба корня ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. 2=1

567 8 9 > >>

ВригономСтричСскиС уравнСния β€” Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

РСшСниС тригономСтричСского уравнСния состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… этапов: ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ уравнСния для получСния Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (см. Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ) ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ тригономСтричСского уравнСния. БущСствуСт сСмь основных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

1. АлгСбраичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄.

(ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ подстановки).

2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ 1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: sin x + cos x = 1 .

Π  Π΅ ш Π΅ Π½ ΠΈ Π΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π½Π΅ΡΡ‘ΠΌ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ уравнСния Π²Π»Π΅Π²ΠΎ:

Sin x + cos x – 1 = 0 ,

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²

Π›Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния:

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ 2. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos 2 x + sin x Β· cos x = 1.

Π  Π΅ ш Π΅ Π½ ΠΈ Π΅. cos 2 x + sin x Β· cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

Sin x Β· cos x – sin 2 x = 0 ,

Sin x Β· (cos x – sin x ) = 0 ,

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ 3. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р С ш С н и С. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos Β² 4x ,

Cos 4x Β· (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

Cos 4x Β· 2 sin 3x Β· sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ sin ΠΈ cos , Ссли всС Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ стСпСни ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ sin ΠΈ cos ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° . Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π΄ΠΎ:

Π° ) пСрСнСсти всС Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ;

Π± ) вынСсти всС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π·Π° скобки;

Π² ) ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ всС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ скобки Π½ΡƒΠ»ΡŽ;

Π³ ) скобки, ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ мСньшСй стСпСни, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слСдуСт Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°

cos (ΠΈΠ»ΠΈ sin ) Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни;

Π΄ ) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ tan .

sin 2 x + 4 sin x Β· cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р С ш С н и С. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

Sin 2 x + 4 sin x Β· cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

Tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° y 2 + 4y +3 = 0 ,

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния: y 1 = — 1, y 2 = — 3, ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ.

Рассмотрим этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅:

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Π  Π΅ ш Π΅ Π½ ΠΈ Π΅. 6 sin (x / 2) Β· cos (x / 2) – 5 cos Β² (x / 2) + 5 sin Β² (x / 2) =

7 sin Β² (x / 2) + 7 cos Β² (x / 2) ,

2 sin Β² (x / 2) – 6 sin (x / 2) Β· cos (x / 2) + 12 cos Β² (x / 2) = 0 ,

tan Β² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

Рассмотрим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° :

a sin x + b cos x = c ,

Π“Π΄Π΅ a , b , c – коэффициСнты; x – нСизвСстноС.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ коэффициСнты уравнСния ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ свойствами синуса ΠΈ косинуса , Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ : ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ( Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ большС 1, Π° сумма ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… соотвСтствСнно ΠΊΠ°ΠΊ cos ΠΈ sin (здСсь — Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ), ΠΈ нашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈ

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вашСй Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ !!!

РавСнство, содСрТащСС Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (`sin x, cos x, tg x` ΠΈΠ»ΠΈ `ctg x`), называСтся тригономСтричСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΈ рассмотрим дальшС. n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ `cos x=a`

ΠŸΡ€ΠΈ `|a|>1` β€” ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² случаС с синусом, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ срСди Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈ `|a| \leq 1` ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчноС мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ЧастныС случаи для синуса ΠΈ косинуса Π² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ….

3. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ `tg x=a`

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчноС мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях `a`.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ `ctg x=a`

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчноС мноТСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях `a`.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангСнса ΠΈ котангСнса:
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

РСшСниС любого тригономСтричСского уравнСния состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… этапов:

  • с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ;
  • Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ написанныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹. 2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° `sin x=0` ΠΈΠ»ΠΈ `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ `x=2\pi n, n \in Z` ΠΈ `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    ВригономСтрия, ΠΈ тригономСтричСскиС уравнСния Π² частности, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π²ΠΎ всСх сфСрах Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΠΈ. НачинаСтся ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 10 классС, ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ задания Π½Π° Π•Π“Π­, поэтому ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ пригодятся!

    Π’ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΠΌ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΡΡƒΡ‚ΡŒ, ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ вывСсти. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ слоТно, ΠΊΠ°ΠΊ каТСтся. Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ сами, просмотрСв Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ.

    ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ: свСдСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ (с использованиСм тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»), Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Рассмотрим ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

    НСобходимым условиСм ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ являСтся Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (Ρ‚Π΅ΠΌΠ° 13 Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ 6).

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    1. УравнСния, сводящиСся ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ.

    1) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

    РСшСниС:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    2) Найти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния

    (sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ .

    РСшСниС:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    2. УравнСния, сводящиСся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ.

    1) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

    РСшСниС: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ sin 2 x = 1 – cos 2 x, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos 2x = 1 + 4 cosx.

    РСшСниС: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ cos 2x = 2 cos 2 x – 1, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    3) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ tgx – 2ctgx + 1 = 0

    РСшСниС:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    3. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

    1) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2sinx – 3cosx = 0

    РСшСниС: ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ cosx = 0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° 2sinx = 0 ΠΈ sinx = 0 – ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅ с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin 2 x + cos 2 x = 1. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ cosx β‰  0 ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° cosx. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

    РСшСниС:

    Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ 1 = sin 2 x + cos 2 x ΠΈ sin 2x = 2 sinxcosx, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

    sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
    sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ cosx = 0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° sin 2 x = 0 ΠΈ sinx = 0 – ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅ с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin 2 x + cos 2 x = 1.
    Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ cosx β‰  0 ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° cos 2 x. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

    tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
    ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ tgx = y
    y 2 – 6 y + 8 = 0
    y 1 = 4; y 2 = 2
    Π°) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
    Π±) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

    4. УравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° a sinx + b cosx = с, с β‰  0.

    1) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

    РСшСниС:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    5. УравнСния, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

    1) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin2x – sinx = 0.

    ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния f ( Ρ… ) = Ο† ( Ρ… ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ число 0. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ это:

    cos 0 = 0 + 1 – равСнство Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

    Число 0 СдинствСнный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0.

    Π’Π΅ΠΌΠ°: Β«ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΒ».

    Π¦Π΅Π»ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°:

    ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅:

    Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ;

    Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ понимания ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ;

    Π²ΠΎΡΠΏΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅:

    ВоспитаниС ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ интСрСса ΠΊ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌΡƒ процСссу;

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ умСния Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ;

    Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ситуации с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅.

    ΠžΠ±ΠΎΡ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠ»Π°ΠΊΠ°Ρ‚ с основными тригономСтричСскими Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, экран.

    НачнСм ΡƒΡ€ΠΎΠΊ с повторСния основного ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ любого уравнСния: свСдСниС Π΅Π³ΠΎ ΠΊ стандартному Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. ΠŸΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния сводят ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Π°Ρ… = Π², ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ – ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ax 2 + bx + c =0. Π’ случаС тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ свСсти ΠΈΡ… ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ, Π²ΠΈΠ΄Π°: sinx = a , cosx = a , tgx = a , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

    Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ основныС тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ прСдставлСны Π½Π° ΠΏΠ»Π°ΠΊΠ°Ρ‚Π΅: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, пониТСния кратности уравнСния. ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ уравнСния. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…:

    ВмСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ уравнСния, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ².

    Π’Π΅ΠΌΠΎΠΉ нашСго ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° являСтся рассмотрСниС этих ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² ΠΈ систСматизация ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

    ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

    1. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

    Рассмотрим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· пСрСчислСнных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…, Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ остановимся Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… послСдних, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ использовали ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

    1. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    2. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

    3. РСшСниС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

    ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°:

    соотвСтствСнно (Π° β‰  0, b β‰  0, с β‰  0).

    ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ дСлят ΠΎΠ±Π΅ части уравнСния Π½Π° cosx для (1) уравнСния ΠΈ Π½Π° cos 2 x для (2). Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ sinx ΠΈ cosx Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ – ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.

    Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡ€ΠΈ рассмотрСнии ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° – Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ способом.


    4. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

    Рассмотрим ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

    Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, получаСтся Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

    Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    Π’ рассмотрСнных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Π±Ρ‹Π»ΠΎ, Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, понятно, Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ трСбуСтся Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ввСсти Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚. Но ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ. Для этого сущСствуСт ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ сСйчас ΠΈ рассмотрим Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

    РСшСниС ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

    РСшСниС ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

    Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠšΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€Ρ Β«ΠŸΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΊΒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒΒ»


    ΠŸΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ

    Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ (158Β ΠΊΠ‘)


    β€œΠšΡ‚ΠΎ смолоду Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚ сам,
    Ρ‚ΠΎΡ‚ становится ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ
    Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½Π΅Π΅, ΠΊΡ€Π΅ΠΏΡ‡Π΅ ΠΈ умнСС”
    Π’. Π¨ΡƒΠΊΡˆΠΈΠ½

    Π¦Π΅Π»ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°:

    • Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ;
    • ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСскиС выраТСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ;

    I. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ЗУН:

    1. Найди ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅:

    sin t = Π° t = arc…. a + Ο€n, n – Z
    cos t = Π° t = arc… a + Ο€n, n – Z
    tg t = a t = Β± arc… a + 2Ο€n, n – Z
    ctg t = Π° t = (-1)ⁿarc… a + Ο€n, n – Z

    2. Вспомни Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

    • sinΒ²t
    = aΒ 
  • cosΒ²t = a
  • tgΒ²t = a
  • ctgΒ²t = a
  • t =
    t =
    t =
    t =
    Β 

    3. Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ:

    cosΒ²Ξ± + sinΒ²Ξ± = Β 
    cosΒ²Ξ± – sinΒ²Ξ± = Β 
    2sinΞ± cosΞ± = Β 
    sinΞ± cosΞ² + cosΞ± sin Ξ² = Β 
    sinΞ± cosΞ² – cosΞ± sin Ξ² = Β 
    cos Ξ± cosΞ² + sinΞ± sin Ξ² = Β 
    cos Ξ± cosΞ² – sinΞ± sinΞ² = Β 

    II. Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°ΠΌ:

    Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 1-ΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅:
    Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: sin4xβ€’cos4x = 1/4

    (2sin4xΒ·cos 4x = 1/2
    sin 8x = 1/2
    8x = (-1)ⁿ п/6 + пn \·1/8
    x = (-1)ⁿ ΠΏ/48+ ΠΏn/8, ΠΏ – Z)

    Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 2 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅:
    Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 2cosΒ²2x – cos2x = 0

    (cos2x (2 cos2x – 1) = 0

    1. cos2x = 0
    2x = ΠΏ/2 + ΠΏn
    x = ΠΏ/4 + ΠΏn/2, n – Z

    2. 2 cos2x – 1 = 0
    cos2x = 1/2
    2x = Β± ΠΏ/3 + 2ΠΏn
    x = Β± ΠΏ/6 + ΠΏn, n – Z)

    Π—Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ.

    III. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ:

    Задания 1 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°:

    Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

    Задания 2 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°:

    Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

    Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ°.

    IV. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

    Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ уравнСния:

    V. Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

    ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΡƒ даСтся лист Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ½ сам сСбС ставит ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ.

    Лист Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ Π€. И.————————————————

    β„–

    Π­Ρ‚Π°ΠΏ

    ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ: β„– Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Ρ‹ ошибки ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ успСли Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ
    1 Найди ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β  Β 
    2 Вспомни Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Β  Β 
    3 Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Β  Β 
    4 Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°ΠΌ Β  Β 
    5 Π‘/Ρ€ с Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ Β  Β 
    6 ВСст с Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Β  Β 

    Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ Π±Π°Π»Π» ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ: __________________

    ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    ΠœΡΡ‚ΡƒΡΠΉ | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

    92
    1 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(30)
    2 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(45)
    3 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(30 градусов)
    4 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(60 градусов)
    5 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (30 градусов)
    6 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ синус(-1)
    7 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(ΠΏΠΈ/6)
    8 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(pi/4)
    9 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(45 градусов)
    10 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(ΠΏΠΈ/3)
    11 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½(-1)
    12 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(45 градусов)
    13 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(30 градусов)
    14 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ(60)
    15 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(45 градусов)
    16 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (60 градусов)
    17 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСк(30 градусов)
    18 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(60 градусов)
    19 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(150)
    20 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(60)
    21 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(pi/2)
    22 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (45 градусов)
    23 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan(- ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)
    24 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(60 градусов)
    25 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСк(45 градусов)
    26 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ csc(30 градусов)
    27 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(0)
    28 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(120)
    29 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соз(90)
    30 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы ΠΏΠΈ/3
    31 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ(30)
    32
    35 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы ΠΏΠΈ/6
    36 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°(30 градусов)
    37 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ арккос(-1)
    38 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½(0)
    39 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°(60 градусов)
    40 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 30
    41 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (2 ΡˆΡ‚. )/3
    42 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((5pi)/3)
    43 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((3pi)/4)
    44 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°Π½(ΠΏΠΈ/2)
    45 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(300)
    46 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соз(30)
    47 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соз(60)
    48 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соз(0)
    49 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соз(135)
    50 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((5pi)/3)
    51 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(210)
    52 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСк(60 градусов)
    53 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(300 градусов)
    54 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 135
    55 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 150
    56 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (5 дюймов)/6
    57 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (5 дюймов)/3
    58 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 89 градусов
    59 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 60
    60 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(135 градусов)
    61 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(150)
    62 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(240 градусов)
    63 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°(45 градусов)
    64 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (5 дюймов)/4
    65 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(225)
    66 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(240)
    67 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(150 градусов)
    68 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ(45)
    69 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π΅Ρ…(30 градусов)
    70 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСк(0)
    71 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((5pi)/6)
    72 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ КБК(30)
    73 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin(( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2)/2)
    74 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€((5pi)/3)
    75 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ(0)
    76 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π΅Ρ…(60 градусов)
    77 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arctan(-( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)/3)
    78 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы (3Β ΠΏΠΈ)/4Β 
    79 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((7pi)/4)
    80 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ синус(-1/2)
    81 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((4pi)/3)
    82 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ КБК(45)
    83 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π°Ρ€ΠΊΡ‚Π°Π½(ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3)
    84 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(135)
    85 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(105)
    86 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(150 градусов)
    87 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((2pi)/3)
    88 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€((2pi)/3)
    89 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² градусы ΠΏΠΈ/4
    90 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(ΠΏΠΈ/2)
    91 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сСк(45)
    92 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((5pi)/4)
    93 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos((7pi)/6)
    94 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ синус(0)
    95 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅Ρ…(120 градусов)
    96 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ((7pi)/6)
    97 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соз(270)
    98 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin((7pi)/6)
    99 Найти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ arcsin(-( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2)/2)
    100 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 88 градусов

    Cos2x — Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

    Cos2x β€” ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских тоТдСств, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для нахоТдСния значСния тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса для Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². 2x (cos ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ x) ΠΈ Π΅Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

    92x Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°
    1. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Cos2x?
    2. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Cos2x Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ?
    3. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Cos2x с использованиСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²
    4. Cos2x Π’ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… sin x
    5. Cos2x Π’ пСрСсчСтС Π½Π° cos x
    6.
    9. Как ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Cos2x?
    10. Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΏΠΎ Cos2x

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Cos2x?

    Cos2x β€” ваТная тригономСтричСская функция, которая ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для нахоТдСния значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса для составного ΡƒΠ³Π»Π° 2x. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ cos2x Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈ каТдая ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для упрощСния слоТных тригономСтричСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ интСгрирования. Cos2x β€” это тригономСтричСская функция Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, которая опрСдСляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° x.

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Cos2x Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ?

    Cos2x β€” Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ тоТдСство Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ синус, косинус ΠΈ тангСнс. Cos2x являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· тригономСтричСских тоТдСств Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ рассматриваСмый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π΅Π½ 2, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ x. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ тоТдСство cos2x Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ…:

    • cos2x = cos 2 Ρ… — sin 2 Ρ…
    • cos2x = 2cos 2 Ρ… — 1
    • cos2x = 1 — 2sin 2 x
    • cos2x = (1 — тангСнс 2 Ρ…)/(1 + тангСнс 2 Ρ…)

    Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Cos2x с использованиСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

    ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° cos2x ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ…. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ слоТСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ тоТдСство cos2x. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 2x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ 2x = x + x. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для cos2x. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ слоТСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ a = b = x Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для cos (a + b).

    cos2x = cos (x + x)

    = cos x cos x — sin x sin x

    = cos 2 x — sin 2 x

    ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ cos2x = cos

  • 2 — 9 Π³Ρ€Π΅Ρ… 2 x

    Cos2x Π’ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… sin x

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ cos2x = cos 2 x — sin 2 x, ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для cos2x Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тоТдСство Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ cos 2 x + sin 2 x = 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos2x = 1 — 2sin 2 x. ИмССм

    cos2x = cos 2 x — sin 2 x

    = (1 — sin 2 x) — sin 2 x [ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos 2 9 x9 sin 1 x09 + 1 β‡’ cos 2 x = 1 — sin 2 x]

    = 1 — sin 2 x — sin 2 x

    = 1 — 2Sin 2 x

    906 = 1 — 2Sin 2

    x

    906 = 1 — 2Sin 2 9091 x

    906 = 1 — 2Sin 2 9091 x

    = 1 — 2sin 2 x Π² пСрСсчСтС Π½Π° sin x.

    Cos2x Π’ пСрСсчСтС Π½Π° cos x

    Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ cos2x = 1 — 2sin 2 x, ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ cos2x Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· cos x, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ cos2x = 2cos 2 x — 1. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСскиС тоТдСства cos2x = cos 2 x — sin 2 x ΠΈ cos 2 x + sin 2 x = 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos2x = 2cos 2 x — 1. ИмССм 2 x

    = cos 2 x — (1 — cos 2 x) [ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos 2 x + sin 2 x = 1 β‡’ sin 2 x = 1 — cos 2 x]

    = cos 2 cos x

    = 2cos 2 x — 1

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ cos2x = 2cos 2 x — 1 Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· cosx

    Cos2x Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° x

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ cos2x = cos 2 x — sin 2 x, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ cos2x Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· tan x. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько тригономСтричСских тоТдСств ΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ cos2x = cos 2 x — sin 2 x, cos 2 x + sin 2 x = 1, ΠΈ tan x = sin x/cos x. We have,

    cos2x = cos 2 x — sin 2 x

    = (cos 2 x — sin 2 x)/1

    = (cos 2 x — sin 2 x)/( cos 2 x + sin 2 x) [ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos 2 x + sin 2 x = 1]

    Ρ…)/( cos 2 Ρ… + sin 2 Ρ…) Π½Π° cos 2 Ρ….

    (cos 2 x — sin 2 x)/(cos 2 x + sin 2 x) = (cos 2 x/cos 2 x — sin 2 90 2 x)/( cos 2 x/cos 2 x + sin 2 x/cos 2 x)

    = (1 — tan 2 x)/(19 tan 2)/(19 tan 2)/(19 tan 2)/(19 x)/(19 x) x) [ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ тангСнс x = sin x / cos x]

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ cos2x = (1 — тангСнс 2 x)/(1 + тангСнс 92x = (cos2x + 1)/2 β‡’ cos 2 x = (cos2x + 1)/2

Как ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Cos2x?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Cos2x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. 2x = (cos2x + 1)/2.

  • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ cos2x Ρ€Π°Π²Π½Π° -2 sin 2x, Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ cos2x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (1/2) sin 2x + C.
  • β˜› Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅:

    • ВригономСтричСскиС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
    • ВригономСтричСская Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°
    • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Sin2x
    • ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

    Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΏΠΎ Cos2x

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Cos2x Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ?

    Cos2x являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· тригономСтричСских тоТдСств Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ рассматриваСмый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π΅Π½ 2, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ x. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ синус, косинус ΠΈ тангСнс.

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Cos2x?

    Cos2x ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ синус, косинус ΠΈ тангСнс. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

    • cos2x = cos 2 x — sin 2 x
    • cos2x = 2cos 2 Ρ… — 1
    • cos2x = 1 — 2sin 2 x

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная ΠΎΡ‚ cos2x?

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ cos2x Ρ€Π°Π²Π½Π° -2 sin 2x. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ cos2x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ d[cos(ax + b)]/dx = -asin(ax + b)

    Какой ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ cos2x?

    Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ cos2x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ∫cos(ax + b) dx = (1/a) sin(ax + b) + C. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ cos2x опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ∫cos 2x dx = (1/2) sin 2x + C.

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Cos2x с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния sin x?

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ cos2x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· sinx. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ cos2x = 1 — 2sin 2 x Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· sin x.

    Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Cos2x с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния tan x?

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ cos2x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· tanx. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ cos2x = (1 — tan 92x — 1, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ cos2x = 2cos 2 x — 1.

    РСшСния NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса (ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° 2022-2023 Π³Π³.)

    РСшСния NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса (ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° 2022-2023 Π³Π³.)

    ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ обновлСния NCERT Solutions для класса 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС Medium для сСссии CBSE 2022–2023.
    Π“Π»Π°Π²Π° 1: ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°
    Π“Π»Π°Π²Π° 2: ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    Π“Π»Π°Π²Π° 3: ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    Π“Π»Π°Π²Π° 4: ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    Π“Π»Π°Π²Π° 5: ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния
    Π“Π»Π°Π²Π° 6. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства
    Π“Π»Π°Π²Π° 7. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ
    Π“Π»Π°Π²Π° 8. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°
    Π“Π»Π°Π²Π° 9. ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ ряды
    Π“Π»Π°Π²Π° 10. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ
    Π“Π»Π°Π²Π° 11. ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ сСчСния
    Π“Π»Π°Π²Π° 12. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ
    Π“Π»Π°Π²Π° 13 : ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅
    Π“Π»Π°Π²Π° 14: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ обоснованиС
    Π“Π»Π°Π²Π° 15: Бтатистика
    Π“Π»Π°Π²Π° 16: Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

    РСшСния NCERT для 11 класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ учащимся ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅, прСдписанном Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ CBSE 2022-23 ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΊ экзамСнам.
    РСшСния ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ шаг Π·Π° шагом ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ учащимся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π² АкадСмии Π’ΠΈΠ²Π°Ρ€ΠΈ. РСшСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ практичСскиС упраТнСния с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ учащиСся ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ своС ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅.

    РСшСния NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° английском языкС ΠΈ языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ сСмСстра 2022–2023 Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² прСдставлСны Π² качСствС послСдних ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² CBSE. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ CBSE прСдписаны NCERT (ΠΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ совСт ΠΏΠΎ исслСдованиям ΠΈ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² области образования). Π’ 11-ΠΌ классС NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΎ 16 Π³Π»Π°Π² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса.

    ВсС Π³Π»Π°Π²Ρ‹ с упраТнСниями ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° класса 11 РСшСния NCERT Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ для учащихся, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡ‰ΡƒΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса Π½Π° 2022-2023 ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Π³ΠΎΠ΄. УчащиСся UP Board Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ UP Board для 11 класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ здСсь. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF.

    НайдитС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ссылки для всСх Π³Π»Π°Π², ΠΌΡƒΠ΄Ρ€Ρ‹Ρ… упраТнСниями NCERT Solutions для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·Π²Π΅ΡŽΡ‚ всС ваши сомнСния ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ суммС. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Π½Π° выпускном экзамСнС. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚Π΅ PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ» NCERT Solutions for Class 11 Maths для всСх ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž.

    РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для класса 11, всС Π³Π»Π°Π²Ρ‹

    Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатноС ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ NCERT Solutions для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для класса 11, всС Π³Π»Π°Π²Ρ‹ с упраТнСниями, просто Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΠ² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ссылки с упраТнСниями здСсь. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡƒΠ·Π»Π΅, Π° для Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ обучСния Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT Class 11 для всСх Π³Π»Π°Π², PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ с упраТнСниями бСсплатно Π½ΠΈΠΆΠ΅. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Chapter Wise NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11 доступны Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языках здСсь. И Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ этими Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса Π² PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°Ρ… со своими одноклассниками. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ UP Board ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT Exemplar Class 11 Maths Solutions, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ прСдставлСниС ΠΎ шаблонС экзамСнационных вопросов. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса.

    NCERT Class 11 Math Chapters

    Π’ NCERT Class 11 Math Chapters 16 Π³Π»Π°Π², основанных Π½Π° послСднСй ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ правлСния CBSE. НСкоторого ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° 11-Π³ΠΎ класса бСспокоит ΠΎΠ±ΡˆΠΈΡ€Π½Π°Ρ учСбная ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΈΡ… Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΌ 10-ΠΌ классом. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² 11-ΠΌ классС прСдставлСно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΌ. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°, тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства, пСрСстановки ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, статистику ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚. Π΄.

    РСшСния NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 1 β€” ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°

    Π’ этом Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 1, ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π°, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ свСдСния ΠΎ мноТСствах ΠΈ ΠΈΡ… прСдставлСнии. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ Β«Π½Π°Π±ΠΎΡ€Β» с Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 1 Π½Π° английском языкС Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.3 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.4 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.5 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.6 Π½Π° Π°Π½Π³Π». Π₯ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    РСшСния UP Board ΠΈ NCERT для класса 11. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, Π³Π»Π°Π²Π° 1. Наборы Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ пустоС мноТСство, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ мноТСства, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ бСсконСчныС мноТСства, подмноТСства, стСпСнноС мноТСство, ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ мноТСство ΠΈ Ρ‚. Π΄. УчащиСся знакомятся с понятиями объСдинСния ΠΈ ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ учащимся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π’Π΅Π½Π½Π°. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΎΠ±Π»ΠΎΠΆΠ΅ΠΊ Π³Π»Π°Π² Π² КнигС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса – 6. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² любом мСстС ΠΈ Π² любоС врСмя. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ Π³Π»Π°Π² для 11-Π³ΠΎ класса матСматичСских Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС здСсь.

    РСшСния NCERT для класса 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 2 β€” ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    Π­Ρ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для класса 11, Π³Π»Π°Π²Π° 2 β€” ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ всС суммы Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°ΠΊ прСдписано Π² послСднСм ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ CBSE.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 2 Π½Π° английском языкС Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.3 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 2 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. 1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    ΠŸΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для всСх Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с суммами Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ учащимися 11 класса. Π’ этой ГлавС 2Β ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ NCERT для класса 11Β Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, концСпциях упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€, количСствС элСмСнтов Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… мноТСств, Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ мноТСств, графичСских Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°Ρ…, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅, ΠΊΠΎ-области ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ здСсь ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, логарифмичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ…, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ функциях наибольшСго Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа с графичСским прСдставлСниСм ΠΈ Ρ‚. Π”. ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для класса 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 2, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, основаны Π½Π° 12th Class Maths Book Solution. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатно РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для 11 класса Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF Π±Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ рСгистрации. НайдитС Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ Π³Π»Π°Π² для 12-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС здСсь ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… соотвСтствуСт вашим потрСбностям.

    РСшСния NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для класса 11 Π“Π»Π°Π²Π° 2. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ содСрТит три упраТнСния, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠ«Π• PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ здСсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса Π“Π»Π°Π²Π° 2 Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.1 РСшСниС

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса Π“Π»Π°Π²Π° 2 Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.2 РСшСниС обсуТдСниС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ измСрСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 3 Π½Π° английском языкС Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3. 2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.3 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.4 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.5 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 3 Π½Π° английском языкС Класс 37 Π“Π»Π°Π²Π° 109 Hindi Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.4 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.5 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    ВригономСтричСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для класса 11 ΠΈ матСматичСскиС прСобразования ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅. УчащиСся UP Board срСднСго уровня ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ UP Board для 11 класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Medium. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ всС ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСского ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ тригономСтричСским функциям, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ…, Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² графичСском прСдставлСнии. Π’ этом классС 11 Math NCERT Chapter 3 β€” Trigonometric Functions Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ упраТнСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… учащиСся Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ ΠΎ sin 2x, cos 2x, tan 2x, sin 3x, cos 3x, tan 3x ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11. ΠŸΠ”Π€ здСсь. РСшСниС для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ для вашСго выпускного экзамСна. НайдитС ΠΎΠ±Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ «ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ» класса 12 Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ Π½Π° английском языкС.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса, Π³Π»Π°Π²Π° 3. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.1. РСшСниС

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса, Π³Π»Π°Π²Π° 3. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.2. РСшСниС 12 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, Π³Π»Π°Π²Π° 4, с упраТнСниями, основанными Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса, Π³Π»Π°Π²Π° 4 Π½Π° английском языкС Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4.1 Π½Π° английском языкС
    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса, Π³Π»Π°Π²Π° 4 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    Π’ этой Π³Π»Π°Π²Π΅ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ прилоТСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. И ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ подмноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’ этой Π³Π»Π°Π²Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, связанныС с ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠΌ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с Π΅Π³ΠΎ прилоТСниями. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄, извСстный своими Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ число простых чисСл бСсконСчно. Π­Ρ‚Π° Π³Π»Π°Π²Π° 4 NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Π° ΠΈ для учащихся. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ здСсь ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ. РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF доступны бСсплатно. РСшСния NCERT для класса 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 4 ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΠΎΠΉ, которая Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΉ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ. НайдитС здСсь Π“Π»Π°Π²Π° ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС.

    РСшСния NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 5. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

    NCERT РСшСния для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 5. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния со всСми упраТнСниями Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 5 Π½Π° английском языкС Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5.3 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 5 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 5 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 5 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    ВсС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ составлСны Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ простым способом, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ учащиСся ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ всСх сомнСний ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ. Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ, Π²Ρ‹ смоТСтС Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎ всСм упраТнСниям. Π’ этой Π³Π»Π°Π²Π΅ 5 прСдставлСны ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ свСдСния ΠΎΠ± алгСбраичСских свойствах комплСксных чисСл, ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ основной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, прСдставлСнии комплСксных чисСл Π² плоскости Аргана ΠΈ полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π’ этом Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ NCERT всСго Ρ‚Ρ€ΠΈ упраТнСния для Π“Π»Π°Π²Π° 5 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса, основанная Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ для 12-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство бСсплатных Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ NCERT для ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF. Учащийся ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для Π³Π»Π°Π² 11 Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа» ΠΈ Β«ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния» Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языках.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ со всСми упраТнСниями. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств, ΠΊΠ°ΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· названия.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 6 Π½Π° английском языкС Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.2 Π½Π° английском языкС
    УпраТнСния 6.3 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 6 Π½Π° английском языкС
    класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 6 Π“Π»Π°Π²Π° 6 Π² срСдС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.1 Π² Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.2 Π² Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    НСизвСстно 6 in in hindi 9090660660660660660660660660660660660660660660660660660660660660660660660906 Π³ΠΎΠ΄. ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ понятия алгСбраичСских Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡ… прСдставлСния Π½Π° числовой прямой. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ с графичСским прСдставлСниСм. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для 11-Π³ΠΎ класса. Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ 6 Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ упраТнСния, основанныС Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF. НайдитС ΠΎΠ±Π΅ Π³Π»Π°Π²Ρ‹ Β«Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства, класс 11, матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΒ» Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ Π½Π° английском языкС.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса Π“Π»Π°Π²Π° 6. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.1. РСшСниС

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса. Π“Π»Π°Π²Π° 6. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.2. РСшСниС

    РСшСния NCERT для 11 класса. Π“Π»Π°Π²Π° 7 ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ со всСми упраТнСниями здСсь. Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ сомнСния Π² NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 7,Β Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° эти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ с ΠΌΡƒΠ΄Ρ€Ρ‹ΠΌΠΈ суммами ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ — Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ инструмСнт, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π²Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС ваши сомнСния ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 7 Π½Π° английском языкС Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.3 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.4 Π½Π° английском языкС Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.4 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 7 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ упраТнСния, основанныС Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 12th Class Maths Book Solution, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя всС вопросы, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ всС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² Π“Π»Π°Π²Π΅ 7 РСшСния NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ссылку ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ бСсплатныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Class11 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ для пСрСстановок, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ для ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ, матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ класса 11 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языках.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса Π“Π»Π°Π²Π° 7 Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7. 1 РСшСниС

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11 класса Π“Π»Π°Π²Π° 7 Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7.2 РСшСниС всС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ этому ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρƒ.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 8 Π½Π° английском языкС Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8.2 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 8 Π½Π° английском языкС
    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для класса 11 Π“Π»Π°Π²Π° 8 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 8.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 8 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ спСциалистами ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 8, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ основано Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 11-Π³ΠΎ класса, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ биномиальной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… индСксов. Π’ этой Π³Π»Π°Π²Π΅ Π²Ρ‹ познакомились с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Паскаля, Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ простыми прилоТСниями. Π’ этой Π³Π»Π°Π²Π΅ Π΄Π²Π° упраТнСния. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ ссылкам Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠ«Π• матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ класса 11 ΠΏΠΎ биномиальной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС.

    РСшСния NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 9. ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ сСрии

    Π­Ρ‚ΠΈ бСсплатныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 9, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ сСрии для всСх ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для учащихся 11-Π³ΠΎ класса.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для 11-Π³ΠΎ класса, Π³Π»Π°Π²Π° 9 Английский Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9.3 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9.4 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 9 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 9 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 9. 4 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 9 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ А.М. ΠΈ GM, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для сумм ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… рядов ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. ВсСго Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ 9 прСдставлСно Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ упраТнСния, основанных Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ учащимся ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ всС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΡƒ, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π³Π»Π°Π²Π΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ всС суммы Π² Π½Π΅ΠΉ. Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚Π΅ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠ«Π• Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 9просто Π½Π°ΠΆΠ°Π² Π½Π° эти ссылки Π½ΠΈΠΆΠ΅. Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚Π΅ PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ» NCERT Solutions for Class 11 Maths ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΠΌ со своим Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ здСсь ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π³Π»Π°Π² ΠΈ сСрий РСшСния ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для класса 11 Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС.

    NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 10 β€” Straight Lines

    NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 10 Straight Lines ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ учащимся Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Ρƒ ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ класса.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 10 Π½Π° английском Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 10.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 10.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 10. 3 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 10 Π½Π° английском языкС
    класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 10 Π² срСдС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 10.1. Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    Π‘ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, многочислСнныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя линиями, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ-Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° пСрСсСчСния Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ здСсь ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, расстоянии Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π’Β Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 10, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ упраТнСния. Волько ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈ Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ повторяйтС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса. Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚Π΅ PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ» «РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11Β» ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ основаны Π½Π° ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 11-Π³ΠΎ класса. Π“Π»Π°Π²Π° ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Класс 11 РСшСния ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ.

    РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11, Π³Π»Π°Π²Π° 11 β€” коничСскиС сСчСния

    Π­Ρ‚ΠΎ бСсплатноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11, Π³Π»Π°Π²Π° 11, коничСскиС сСчСния, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ описываСт ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ коничСских сСчСний. ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ сСчСниС – это кривая, получСнная пСрСсСчСниСм повСрхности конуса с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 11 Π½Π° английском языкС Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11.3 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11.4 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 11 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 11 Π’ Π₯ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π°
    Π£ΠŸΠ ΠΠ–ΠΠ•ΠΠ˜Π• 11.1 Π’ Π₯ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11,2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 11,3 Π² Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    УпраТнСния 11,4 На Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    . эллипс, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, прямая ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ с коничСским сСчСниСм. ВсС стандартныС уравнСния ΠΈ простыС свойства окруТности, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, эллипса ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдставлСны Π² Π³Π»Π°Π²Π΅ 11. ВсСго Π² этой Π³Π»Π°Π²Π΅ прСдставлСны Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ упраТнСния, основанныС Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11.Β  ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ бСсплатныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для Class X Maths Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF Π±Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ рСгистрации. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для Π³Π»Π°Π² 11 класса «ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ сСчСния» Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ Π½Π° английском языкС.

    РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ 11-Π³ΠΎ класса Π“Π»Π°Π²Π° 12. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ

    РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ 11-Π³ΠΎ класса Π“Π»Π°Π²Π° 12 Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ β€” ваТная Π³Π»Π°Π²Π°. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ бСсплатныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ, прСдставлСнныС Π² NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 12.Β 

    Class 11 Math Chapter 12 in English Medium
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12.3 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 12 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 12 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях, расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° сСчСния, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ всС суммы Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ большС Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² Π½Π° выпускном экзамСнС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса, Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ с этими Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.

    РСшСния NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для класса 11, Π³Π»Π°Π²Π° 13. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ, Π² этой ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для класса 11, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT, Π³Π»Π°Π²Π° 13. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ± исчислСнии, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ прСдставляСт собой ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡ‰Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ измСнСния значСния. Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² области измСнСния.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 13 Π½Π° английском языкС Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13.2 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 13 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 13 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 13 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ простоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ². А Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ Π³Π»Π°Π²Ρ‹ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ описаниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. ВсСго Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° упраТнСния ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ всС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Π² Π“Π»Π°Π²Π΅ 13 РСшСния NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 классов. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ссылки ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠ«Π• Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для класса 11 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ учитСля ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ класса 11 Β«ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅Β» Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языках.

    NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 15-Statistics

    Бтатистика ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, собранными для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π’ этом NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 Statistics прСдставлСны Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ диспСрсии.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 15 Π½Π° английском языкС Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15.1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15.3 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 15 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 15 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15. 1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 15 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ знания ΠΎΠ± ΠΈΡ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… расчСта для Ρ€Π°Π·Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ сгруппированных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. УчащиСся ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½, срСднСС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· диспСрсии распрСдСлСния частот ΠΈ стандартноС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ сгруппированных Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ‚.Β Π΄. Π’Β Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 15, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ упраТнСния. НаТмитС Π½Π° ссылки Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠ«Π• Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для 11-Π³ΠΎ класса. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° PDF Π±Π΅Π· ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ здСсь. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Ρƒ Бтатистика Класс 11 РСшСния ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС.

    РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для 11-Π³ΠΎ класса, Π³Π»Π°Π²Π° 16 β€” Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

    РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для 11-Π³ΠΎ класса, Π³Π»Π°Π²Π° 16 Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° с ΠΏΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ учащиСся ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ.

    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 16 Π½Π° английском языкС Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16. 1 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16.2 Π½Π° английском языкС
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16.3 Π½Π° английском языкС
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 16 Π½Π° английском языкС
    Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 16 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ9 Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16.1 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16.2 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16.3 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ
    Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ 16 Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ

    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ понятиС вСроятности. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ упраТнСния Π² этой Π³Π»Π°Π²Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основаны Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11-Π³ΠΎ класса. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ NCERT для класса 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 16, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ случайныС экспСримСнты, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² событий, Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ пространства, прСдставлСниС мноТСства, события ΠΈ Ρ‚. Π”. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ здСсь ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для класса 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΡƒΠ΄Ρ€ΠΎ, Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ платя. УчащиСся ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для вСроятностного класса 11 Π³Π»Π°Π²Ρ‹ Π½Π° языкС Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС здСсь.

    ΠœΡ‹ Π² Tiwari Academy ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅ΠΌ всСм учащимся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свои логичСскиС Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΡ‚ΠΈΡ…Β Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ NCERT для всСх Π³Π»Π°Π² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса упраТнСния могут ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΌ шагом Π² ΠΌΠΈΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ большСго успСха Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° выпускном экзамСнС, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, учащиСся смогут ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΎ вопросС Performa ΠΈΠ· этих ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²Π°ΠΌ прСдлагаСтся ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС упраТнСния ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ссылок.

    Как ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса ВсС Π³Π»Π°Π²Ρ‹
    Π“Π»Π°Π²Π° 1: Наборы

    Набор являСтся основой ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡˆΠ½ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для 11 класса Π“Π»Π°Π²Π° 1, Наборы, ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… прСдставлСниС. Он Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ свойства Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² мноТСств. Набор, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ содСрТит Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта, называСтся пустым Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ пустым Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ мноТСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ пусто ΠΈΠ»ΠΈ состоит ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа элСмСнтов, называСтся ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС мноТСство называСтся бСсконСчным. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± опСрациях мноТСства, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ объСдинСниС, пСрСсСчСниС, сопряТСнныС ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ мноТСства, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ эквивалСнтноС мноТСство. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡ подмноТСств, ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… мноТСств ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π’Π΅Π½Π½Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 11 класса. Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π“Π»Π°Π²Ρ‹ 1 Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° описываСт прилоТСния Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ.

    Π“Π»Π°Π²Π° 2: ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 11 класса ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π½Π° основС 12 класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π“Π»Π°Π²Π° 1 ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ классС 11 ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ пСрСкрСстном ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 2.2 ΠΈ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅Β» ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса. Π—Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ учащиСся ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с трудностями ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 2, Relations and Functions? ЕдинствСнная ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π³Π»Π°Π²Ρ‹ 2 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π“Π»Π°Π²Π° 2 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 11 класса являСтся основой Π³Π»Π°Π²Ρ‹ 1 12 класса Β«ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ».

    Π“Π»Π°Π²Π° 3: ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ NCERT Solutions for Class 11 Math Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ 3 «ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ» ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π² градусы ΠΈΠ»ΠΈ градусы Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹. Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ градусной ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ. Π’ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ‡Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Π° Π½Π΅ Π² градусах. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.2 ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π° ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ. ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π² ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 3.3 Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ Π³Π»Π°Π² 12-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Если ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Π² состоянии ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΎΠ½ столкнСтся с ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π² 12 классС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅.

    Π“Π»Π°Π²Π° 4: ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ истинно для Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ истинным для всСх. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ это, ΠΌΡ‹ возьмСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа k, ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ для k + 1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ попытаСмся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ это для Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. PMI ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 4, Principle of Mathematical Induction, Π½ΠΎ ΠΈ Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… завСдСниях. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π±Π»ΠΎΠΊΠ° вопросов с 1 ΠΏΠΎ 18 ΠΈ с 19Π΄ΠΎ 24. На экзамСнах ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ состоят ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ вопроса ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°.

    Π“Π»Π°Π²Π° 5: ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

    Π’ классС 10 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 4 ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния, Ссли дискриминант ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ смогли Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠœΡ‹ рассмотрим здСсь Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли D ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ стало Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ благодаря комплСксным числам. Π’ NCERT Solutions for Class 11 Maths Π“Π»Π°Π²Π° 5, ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ любого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ комплСксного числа Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 5 Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ знания комплСксных чисСл.

    Π“Π»Π°Π²Π° 6: Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства

    Π’ Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… NCERT для класса 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 6, Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° числовой прямой, поиск Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, основанных Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… со словами, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ этой Π³Π»Π°Π²Ρ‹. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 6.3 являСтся основным ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния экзамСна. Π•Π³ΠΎ вСс максималСн ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ упраТнСниям. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π² классС 12 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 12, LPP. Π­Ρ‚Ρƒ Π³Π»Π°Π²Ρƒ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Π½Π°Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ достаточно Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π½Π° экзамСнах CBSE.

    Π“Π»Π°Π²Π° 7: ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

    Π’ Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… NCERT для класса 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 7, ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ подсчСта. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° мноТСство вопросов, фактичСски Π½Π΅ пСрСчисляя ΠΈ Π½Π΅ упорядочивая элСмСнты. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ количСство Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… способов. Π’ качСствС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ шага ΠΌΡ‹ познакомимся с ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ пСрСстановок. Класс 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π“Π»Π°Π²Π° 7 Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ Вопросы УпраТнСния Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ примСнСния ΠΊΠ°ΠΊ пСрСстановки, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ². Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для расчСта вСроятности Π² 11 классС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π»Π°Π²Π° 16.

    Π“Π»Π°Π²Π° 8: Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

    NCERT РСшСния для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π“Π»Π°Π²Π° 8, Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° содСрТит Π΄Π²Π° упраТнСния. Π’ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 8.1 прСдставлСны простыС суммы Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с двумя Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ² описано Π² ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 8.2. Как ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π³Π»Π°Π²Π°Ρ…, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π² этой Π³Π»Π°Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ экзамСны ΠΈΠ»ΠΈ тСсты. Π’ 11th Math ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разлоТСния Π² 3 ΠΈΠ»ΠΈ 4 стСпСни, Π½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ биномиальной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ количСством стСпСнСй. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 11 класса Π² качСствС индСксов ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π» Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ допускаСт ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стСпСни, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ CBSE для класса 11 Π½Π° 2022–2023 Π³ΠΎΠ΄Ρ‹.

    Π“Π»Π°Π²Π° 9: ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ сСрии

    РСшСния NCERT для 11 класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π“Π»Π°Π²Π° 9, ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ ряды содСрТит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ шаг 10 класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π“Π»Π°Π²Π° 5Β A P. ΠœΡ‹ сдСлали A P Π² 10 классС, поэтому ΠΎΠ± A.P. суммы Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² 11 классС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ срСднСС арифмСтичСскоС, срСднСС гСомСтричСскоС, связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ А.М. ΠΈ Π“.М. ΠΈ основанныС вопросы. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… рядах Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ… суммы n Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, суммы n Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ суммы n Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. 11 класс ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π³Π»Π°Π²Π° 9Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ большС ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ.

    Π“Π»Π°Π²Π° 10: ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ

    РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для класса 11 Π“Π»Π°Π²Π° 10, ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ содСрТит ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ 2-D ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… классов. Π’ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ смСщСнии Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя линиями. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 10.1 Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ простыС вопросы, Π² основном основанныС Π½Π° понятиях ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для 10 класса. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… упраТнСниях ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ линиях, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… оси, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ-Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°-пСрСсСчСния, Π΄Π²ΡƒΡ…Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ пСрСсСчСния ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ являСтся Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π½Π° экзамСнах. Π­Ρ‚Π° Π³Π»Π°Π²Π° Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слоТнСС ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ большС внимания ΡƒΠ΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Π½Π° тСстах ΠΈΠ»ΠΈ экзамСнах.

    Π“Π»Π°Π²Π° 11: ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ сСчСния

    Π’ NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 11, Conic Sections ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ окруТности, эллипсы, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΡ‚ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π» эти ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅? ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² Ρ€ΡƒΠ±Ρ€ΠΈΠΊΡƒ «Коники»? Π’ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ 11.1 ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ уравнСния, относящиСся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 11.2 для ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. УпраТнСния 11.3 ΠΈ 11.4 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ эллипс ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ соотвСтствСнно. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ фокусах, Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ…, Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ большой ΠΈ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ оси, эксцСнтриситСтС ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ прямой кишки эллипса, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π’ нашС врСмя эти ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… областях, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ тСлСскопов ΠΈ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях.

    Π“Π»Π°Π²Π° 12: Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ

    Π’ 10 классС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ расстоянии ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ, Π² 12-ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ 11-Π³ΠΎ класса, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ расстояниС Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π’ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Π³Π»Π°Π²Ρ‹ описаны основы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΡ‚Π°Π½Ρ‚Π°. Π§Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π½ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π² 10-ΠΌ классС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 7.2, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Волько ΠΎΠ΄Π½ΠΎ отличаСтся, это Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°. Π’ классС 10 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ раздСляСм линию ΠΈΠ»ΠΈ сСгмСнт Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ, Π½ΠΎ Π² классС NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 12, Introduction to Three Dimension Geometry Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ ΠΈ внСшнС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π°.

    Π“Π»Π°Π²Π° 13: ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

    ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ NCERT Solutions for Class 11 Math Chapter 13, Introduction to Limits and Derivatives являСтся Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ для учащихся. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°ΡŽΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ограничСния. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ с использованиСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΌ для экзамСнов. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ. ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ LHL ΠΈ RHL ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚. ПослС выполнСния Π³Π»Π°Π²Ρ‹ 13 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ матСматичСскиС упраТнСния 5.2, 5.3 ΠΈ 5.4 для 12 класса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

    Π“Π»Π°Π²Π° 14: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅

    Π’ матСматичСском языкС Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° рассуТдСний β€” ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π΄Π΅Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ. NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 14, Mathematical Reasoning слСдуСт Π΄Π΅Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°ΡΡΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ ΠŸΠ Π•Π”Π›ΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π˜, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ называСтся матСматичСски ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ссли ΠΎΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ истинно, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. ИмСя Π΄Π΅Π»ΠΎ с высказываниями, ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… строчными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ p, q, r ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌ. Π’ этой Π³Π»Π°Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ рассматриваСтся ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ высказывания; БоставныС утвСрТдСния со ΡΠ²ΡΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ словом ΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ утвСрТдСния ΠΎ принятии Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

    Π“Π»Π°Π²Π° 15: Бтатистика

    Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 15.1 класса 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ содСрТит вопросы ΠΎΠ± отклонСниях срСднСго значСния, ΠΌΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ со всСми показатСлями Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ срСднСС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½. РасчСт Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ сгруппированныС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ряды Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. РСшСния NCERT для класса 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ 15 «Бтатистика» Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ вопросы осквСрнСния ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния частот. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ с использованиСм вопросов, основанных Π½Π° диспСрсии ΠΈ стандартном ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ, часто встрСчаСтся Π½Π° экзамСнах. УскорСнный ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ поиска диспСрсии ΠΈ стандартного отклонСния ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ для экзамСнов.

    Π“Π»Π°Π²Π° 16: Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

    Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСгда упоминаСтся ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΌΠ° для подсчСта ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠ² Π²ΠΎ всСх классах. Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π±Π°Π»Π»Ρ‹ Π½Π° экзамСнах Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Π° CBSE. РСшСния NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11, Π³Π»Π°Π²Π° 16, Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся основой для матСматики класса 12, Π³Π»Π°Π²Π° 13, Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ вСроятности Π² 12-ΠΌ классС, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС понятия Π² 11-ΠΌ классС. Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 16.1 основано Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ пространства ΠΈ простых идСях вСроятности. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ упраТнСния Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π² сСбя события, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΈΡΡ‡Π΅Ρ€ΠΏΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ концСпциями Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, содСрТащСС Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ вопросы для ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅Π½Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для классного тСста ΠΈΠ»ΠΈ выпускных экзамСнов.

    Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ NCERT для изучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² классС 11 ΠΎΡ‚ Tiwari Academy

    РСшСния NCERT для изучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² классС 11 ΠΎΡ‚ Tiwari Academy ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мноТСство прСимущСств. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ всСх ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π³Π»Π°Π² Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ… NCERT (ΠΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ совСт ΠΏΠΎ исслСдованиям ΠΈ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² области образования). ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ прСимущСства Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Learn Class 11 Maths NCERT ΠΎΡ‚ Tiwari Academy:

    1. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ
    2. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ быстрый процСсс обучСния
    3. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠΉ способ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ
    4. РСшСния Π² PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ»Π΅
    5. ΠŸΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ бСсплатно
    6. На основС послСднСй вСрсии ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π° CBSE
    1.
    Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ

    РСшСния NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ВсС Π³Π»Π°Π²Ρ‹ АкадСмии Π’ΠΈΠ²Π°Ρ€ΠΈ содСрТат простыС, Π½ΠΎ ΠΈΡΡ‡Π΅Ρ€ΠΏΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ объяснСния. ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ.

    2. УскорСнный процСсс обучСния

    ΠœΡ‹ Π² Tiwari Academy прСдоставляСм всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ°Ρ… Π½Π° Ρ…ΠΈΠ½Π΄ΠΈ ΠΈ английском языкС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ основныС понятия Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΈ быстрСС. Π’Ρ‹ усваиваСтС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ быстрСС, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ быстро ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ.

    3. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ для понимания

    ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ простого пошагового ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ учащийся ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ всС суммы ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‡ΠΈΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ всС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ суммы.

    4. РСшСния Π² Ρ„Π°ΠΉΠ»Π΅ PDF

    ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для 11 класса. ВсС Π³Π»Π°Π²Ρ‹, упраТнСния Π² Tiwari Academy доступны Π² ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ PDF, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ этими PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°ΠΌΠΈ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ².

    5. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ бСсплатно

    ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π²Π°ΠΌ доступны здСсь Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž. Π’Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ здСсь, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΈ рСгистрации.

    6. На основС послСднСй вСрсии ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ CBSE

    ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ основаны Π½Π° ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ CBSE ΠΈ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ всС вопросы, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… NCERT. ВсС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π²Π°ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ послСдним ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°ΠΌ NCERT ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ шаблоном Π² соотвСтствии с рСкомСндациями, Π²Ρ‹ΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ NCERT.

    Π§Π΅ΠΌ матСматичСскиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ CBSE 11 ΠΎΡ‚ NCERT ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для выпускных экзамСнов?

    CBSE Class 11 ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° являСтся Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ для учащихся. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ учСбная ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° CBSE 11 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ являСтся эталоном для любого учащСгося, это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ… ΠΎΠ± успСваСмости. CBSE строго слСдуСт ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°ΠΌ NCERT ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ экзамСнам. CBSE Class 11 Math Solutions of NCERT — Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ инструмСнт для студСнтов ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ выпускным ΠΈ конкурсным Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ экзамСнам. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡ, прСдставлСнныС Π² этих Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… простым способом, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ для Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ понимания. ΠŸΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ учитСля ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простого ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ слоТныС ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ эффСктивным способом. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ высокиС ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Π½Π° выпускном экзамСнС.

    Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

    Как Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ Tiwari Academy ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π² достиТСнии высоких Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² тСстов?

    ΠŸΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ-экспСрты АкадСмии Π’ΠΈΠ²Π°Ρ€ΠΈ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT Π² соотвСтствии с ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ совСта CBSE. Они ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ CBSE NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11 с ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌ спСктром Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для достиТСния высоких Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² тСстов. Вопросы Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ учитСля ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ большой ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ прСподавания ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT доступны для бСсплатной Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ Π½Π° Π²Π΅Π±-сайтС АкадСмии Π’ΠΈΠ²Π°Ρ€ΠΈ.

    Бколько Π³Π»Π°Π² Π² экзамСнС Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ сСмСстр 11 класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅?

    ВсСго Π² 11 классС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ 16 Π³Π»Π°Π², Π½ΠΎ Π½Π° экзамСнах ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ сСмСстра Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ вопросы Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· сСми Π³Π»Π°Π², упомянутых Π½ΠΈΠΆΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Π³Π»Π°Π²Π° β€” ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° , Π³Π»Π°Π²Π° -2 β€” ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π“Π»Π°Π²Π° 5: ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния, Π“Π»Π°Π²Π° 9: ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π“Π»Π°Π²Π° 16: Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π“Π»Π°Π²Π° 10: ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π“Π»Π°Π²Π° 13: ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π“Π»Π°Π²Π° 15: Бтатистика.

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² 11 классС слоТная?

    НСкоторым учащимся ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π² 11-ΠΌ классС даСтся слоТно, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² 11-ΠΌ классС ΠΈΠΌ вводятся Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, учСбная ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° 11-Π³ΠΎ класса ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡˆΠΈΡ€Π½Π° ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ 10-ΠΌ классом. Но Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ класса 11 для всСх Π³Π»Π°Π² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΎΡ‡ΠΈΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ всС понятия, ΠΈ Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Π½Π° экзамСнС.

    Достаточно Π»ΠΈ NCERT для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² 11 классС?

    NCERT β€” это Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ рСсурсы для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ экзамСнам CBSE Board для 11-Π³ΠΎ класса.

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *