Математика: Справ. материалы
Математика: Справ. материалы
ОглавлениеСЛОВО К УЧАЩИМСЯГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.  8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами.  30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 46. Алгебраическая форма комплексного числа. ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 49.  3.112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени.  130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения.  149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными.  169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188.  Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.§ 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21.  Производная и ее применения210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226.  Правила вычисления первообразных.227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. § 3. Геометрические построения на плоскости 22.  Простейшие задачи на построение.23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники.  49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76.  Понятие движения.§ 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ |
Методическая разработка урока по теме «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ
КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«КРАСНОЯРСКИЙ КОЛЛЕДЖ ОТРАСЛЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА»
Методическая разработка урока по теме
«Действия над комплексными числами в алгебраической форме»
Автор: Боенко Е.Н., преподаватель математики первой квалификационной категории
Красноярск, 2022
Пояснительная записка
Фундаментальные знания по математике можно приобрести лишь усвоив теоретический материал и научившись применять полученные знания при решении конкретных заданий.
В математике, также как и в физике, механике, электротехнике, помимо действительных чисел используются числа более общей природы, которые называются комплексными числами.
Тема «Действия над комплексными числами в алгебраической форме» заслуживает особого внимания, так как понятие комплексного числа является важным элементом в курсе математического анализа.
Основная цель данного занятия – формирование у студентов аналитического. Творческого мышления путем освоения метологических основ и приобретение навыков действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме: правила сложения, вычитания. Умножение. Деление; понятие сопряженного числа.
Изучение правил сложения и вычитания комплексных чисел преполагает аналитическую работу обучающихся, направленную на практическое применение данных правил при нахождении суммы и разности комплексных чисел.
Урок по теме «Действия над комплексными числами в алгебраической форме» включен в тематическое планирование обучающихся 1 курса по специальности 43.
02.15 «Поварское кондитерское дело».
Занятие проводится в форме комбинированного урока. Данная форма приемлема при изучении данной темы. Поскольку позволяет обобщить и проанализировать пройденный материал, сформулировать новые понятия. Сделать выводы.
В ходе занятия каждый обучающийся самостоятельно выполняет индивидуальные задания, с целью обобщить приобретенные теоретические навыки и углубить практические навыки нахождения суммы, разности, произведения, деления комплексных чисел.
Тема занятия: Действия над комплексными числами
Цель: Ввести понятия суммы. разности, произведение. частное комплексных чисел, заданные в алгебраической форме.
Задачи:
образовательные: изучить правило выполнения действий над комплексными числами, научиться выполнять арифметические действия применяя правила; изучить понятия сопряженного и противоположного комплексных чисел.
развивающие: развивать математическое мышление, культуру математической речи и любознательность обучающихся, развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности;
воспитательные: побуждение обучающихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Формируемые компетенции:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.
ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.
ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.
Тип занятия: комбинированный урок
Структура занятия:
Организационный момент – 2 мин
Актуализация знаний – 2 мин
Знакомство с новым материалом – 13 мин
Письменная работа – 14 мин
Самостоятельная работа – 10 мин
Домашнее задание – 1 мин
Подведение итогов – 3 мин
Приборы и материалы: доска, мел.
Время проведения: 45 мин.
Ожидаемый результат: каждый обучающийся должен знать правила выполнения арифметических действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Уметь применять правила при выполнении практических заданий.
Ход занятия
Организационный момент
Проверка готовности кабинета и обучающихся к уроку. Объявление темы и цели урока.
Актуализация знаний
Преподаватель проводит фронтальный опрос по теме прошлого урока и отмечает наиболее активных обучающихся.
Какие числа называют комплексными? Приведите примеры.
Алгебраическая форма комплексного числа? Назовите составные части комплексного числа на приведенном примере.
Как обозначается мнимая единица? Свойство мнимой единицы?
Какие комплексные числа называются равными? Приведите примеры.
Знакомство с новым материалом
Преподаватель объясняет новый материал, обучающиеся записывают правила в тетрадях.
Правило 1: Суммой комплексных чисел
▷ Операции с комплексными числами
Далее мы объясним основные операции с комплексными числами, такие как сложение, вычитание, умножение, деление, потенцирование и корни, это будет максимально подробно, и мы даже включим примеры операций с комплексными числами .
Прежде чем мы начнем, запомните, что значение i = \sqrt {-1}
Сумма комплексных чисел
Чтобы сложить комплексные числа, складываются все действительные части и отдельно все мнимые части.
Пример суммы комплексных чисел
(2 + 3i)+(4 — 7i)
Раскроем скобки
2 + 3i + 4 — 7i
А теперь сложим действительные и мнимые числа
2 + 4 + 3i — 7i = 6 — 4i
Вычитание комплексных чисел
Для вычитания комплексных чисел вычитаются все действительные части и все мнимые части вычитаются отдельно.
Пример вычитания комплексных чисел
(2 + 3i)-(4 — 7i)
Раскроем скобки
2 + 3i — 4 + 7i
А теперь сложим действительные и мнимые числа
2 — 4 + 3i + 7i = -2 + 10i
Умножение комплексных чисел
7 Произведение комплексных чисел получается умножением как обычных двучленов, последующие действия после приведения членов будут зависеть от степени, до которой находится i.
Пример произведения комплексных чисел
(2 + 3i)(4 — 7i) 9{2}=-1, поэтому давайте заменим этот термин:
8 — 2i — 21(-1) = 8 — 2i + 21
Наконец, мы получим, что произведение комплексного числа равно:
29 — 2i
Деление комплексных чисел
Чтобы выполнить деление комплексных чисел, вы должны использовать рационализацию, потому что вы хотите исключить мнимые числа, которые находятся в знаменателе, потому что это непрактично или неправильно, что в знаменателе есть комплексные числа. знаменатель.
Пример деления комплексных чисел
\cfrac{2 + 3i}{4 — 7i}
Чтобы рационализировать, мы собираемся умножить дробь на другую дробь, сопряженную со знаменателем, обратите внимание на следующее:
\cfrac{2 + 3i}{4 — 7i } \cdot \cfrac{4 + 7i}{4 + 7i}
Замечено, что в знаменателе у нас есть сопряженные двучлены, поэтому пошагово выполняем операции как в знаменателе, так и в числителе:
\cfrac{2 + 3i}{4 — 7i} \cdot \cfrac{4 + 7i}{4 + 7i} = \cfrac{2(4) + 2(7i) + 4(3i) + (3i)( 7i)}{(4)^{2} — (7i)^{2}} 9{2} дробь, которую мы решаем, и уменьшаем члены:
\cfrac{8 + 26i + 21(-1)}{16 — 49(-1)}= \cfrac{8 + 26i — 21}{16 + 49}
\cfrac{8 — 21 + 26i}{65} = \cfrac{-13 + 26i}{65}
В качестве последнего шага мы можем разделить дробь:
\cfrac{-13}{65 } + \cfrac{26}{65}i
= \cfrac{-1}{5} + \cfrac{2}{5} i
Степени комплексных чисел
Существует очень мощная теорема о мнимых числах это сэкономит нам много работы, мы должны принять это во внимание, потому что это очень полезно, говорится: 9{10}\left[ \cos 10(315°) + i \sin 10 (315°) \right]
Продолжаем возводить до десяти до 2\sqrt{2} и умножать 10(315°):
32768\влево[ \cos 3150° + i \sin 3150°\вправо]
Теперь, как мы решим тригонометрические функции с этим углом 3150°? Отсюда есть понятие, которое я люблю использовать, которое представляет собой количество оборотов, составляющих простое правило 3.
Для этих очень больших углов значение, которое мы получаем в правиле 3, удалит всю деталь, и мы оставим только десятичные дроби, чтобы найти угол. Посмотрите, если 1\\text{поворот} равен 360°, сколько поворотов v равно 3150°?
\begin{массив}{с с с}
1 \\text{поворот} & \\Стрелка вправо\& 360° \\
v & \ \Стрелка вправо \ & 3150°
\end{array} Теперь, применяя наше простое правило 3, мы получим следующее:
v = \cfrac{3150(1)}{360} = \cfrac{35}{4} = 8,75
Итак 3150° равняется 8,75 оборота, теперь мы должны удалить целую часть и повторить правило 3. Если поворот равен 360°, сколько градусов g_{1} равняется 0,75 оборота?
\begin{массив}{c c c}
1 \\text{поворот} & \\Стрелка вправо\& 360° \\
0,75 & \ \Стрелка вправо \ & g_{1}
\конец{массив} Применяя наше правило 3, мы получим следующее:
g_{1} = \cfrac{0,75(360°)}{1} = 270°
Отлично, с этим новым найденным значением угла мы можем перейти к замените его, мы изменим 3150° на 270°, что точно так же при применении синуса и косинуса:
32768\left[ \cos 270° + i \sin 270° \right]
См.
рисунок 2:Рисунок 2.
Обратите внимание, что угол 270 ° находится в одной из осей, значение этих «гипотенуз» равно 1, потому что предполагается, что «3 стороны» «треугольника» имеют одинаковые размеры, потому что эти 3 стороны «находятся» на одной оси в 270°). Теперь становится ясно, что \sin=\frac{y}{h} и что \cos \frac{x}{h} и что мы видим на Рисунке 2 под углом 270°, что его координата равно (0,-1), что означает, что значение x равно нулю, а значение y равно -1, поэтому:
\sin 270° = \cfrac{y}{h} \qquad \cos 270° = \cfrac{x}{h}
\sin 270° = \cfrac{-1}{1} = -1 \ qquad \cos 270° = \cfrac{0}{1}
\sin 270° = -1 \qquad \cos 270° = 0
Как только мы найдем эти значения, мы можем продолжить:
32768\ left[ \cos 270 + i \sin 270 \right] = 32768 \left[0 + i (-1) \right]
32768 \left[ -i\right]
Теперь мы выполняем только одно последнее умножение на получаем, что:
-32768i
Итак, наше комплексное число \left(2-2i\right)^{10} равно -32768i!
Корни комплексных чисел
Чтобы иметь полный контроль над корнями комплексных чисел, я настоятельно рекомендую обратиться к книге по алгебре автора Чарльза Х.
Леманна в разделе «Полномочия и корни».
Но я оставлю вам резюме ниже, вам понадобится следующая теорема, которая находится в том же разделе, она говорит что-то вроде этого:
Каждое число (кроме нуля), действительное или комплексное, имеет ровно n различных n-е корни.
Если модуль и аргумент любого числа представлены соответственно r и \theta, то n корней задаются выражением: 9{\ frac {1} {n}} \ left [ \ cos \ cfrac {\ theta + k \ cdot 360 °} {n} + i \ sin \ cfrac {\ theta + k \ cdot 360 °} {n} \ right]
И если вы попросите вычислить корни четвертой степени, четыре корня или корни n=4, k должно измениться от значения 0 до 3, это означает, что значение k изменится от нуля до n-1 .
Пример корней комплексных чисел
Найдите n=5 корней \left(-\sqrt{24}-\sqrt{8} i\right)
x = -\sqrt{24} \qquad y = -\sqrt{8}Рис. 3.
Примечание: В этих примерах корней мнимых чисел целесообразно использовать калькулятор для оптимизации времени вычислений.
9{\frac{1}{5}} \left[ \cos \cfrac{210° + k \cdot 360°}{5} + i \sin \cfrac{210° + k \cdot 360°}{5} \ right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + k \cdot 360°}{5} + i \sin \cfrac{210° + k \cdot 360 °}{5} \right]
Просто нужно заменить k на 0,1,2,3 и 4, я рекомендую вам использовать калькулятор и не забудьте поместить его в ГРАДУСЫ, вы должны увидеть букву D выше, заключенную в квадрат \fbox{D} в вашем калькуляторе, поэтому наши 5 корней следующие:
k=0
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 0 \cdot 360 °}{5} + i \sin \cfrac{210° + 0 \cdot 360°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210°}{5} + i \sin \cfrac{210°}{5} \right]=
\left( \ sqrt{2} \right) \left[ \cos 42° + i \sin 42° \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ 0,74 + i 0,67 \right]
0,74 \sqrt{2} + 0,67\sqrt{2}i
k=1
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 1 \cdot 360°}{5 } + i \sin \cfrac{210° + 1 \cdot 360°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 360° {5} + i \sin \cfrac{210° + 360°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{570°}{5} + i \sin \cfrac{570°}{5} \right]=
\left( \ sqrt{2} \right) \left[ \cos 114° + i \sin 114° \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ -0.
40 + 0.91i \right]=
-0,40\sqrt{2} + 0,91\sqrt{2}i
k=2
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 2 \cdot 360° {5} + i \sin \cfrac{210° + 2 \cdot 360°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 720°}{5} + i \sin \cfrac{210° + 720°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{930°}{5} + i \sin \cfrac{930°}{5} \right]=
\left( \ sqrt{2} \right) \left[ \cos 186° + i \sin 186° \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ -0.99 — 0.10i \right]=
-0,99\sqrt{2} — 0,10\sqrt{2}i
k=3
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 3 \cdot 360° {5} + i \sin \cfrac{210° + 3 \cdot 360°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 1080°}{5} + i \sin \cfrac{210° + 1080°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{1290°}{5} + i \sin \cfrac{1290°}{5} \right]=
\left( \ sqrt{2} \right) \left[ \cos 258° + i \sin 258° \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ -0.
20 — 0.97i \right]=
-0,20\sqrt{2} — 0,97\sqrt{2}i
k=4
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 4 \cdot 360° {5} + i \sin \cfrac{210° + 4 \cdot 360°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{210° + 1440°}{5} + i \sin \cfrac{210° + 1440°}{5} \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cos \cfrac{1650°}{5} + i \sin \cfrac{1650°}{5} \right]=
\left( \ sqrt{2} \right) \left[ \cos 330° + i \sin 330° \right]=
\left( \sqrt{2} \right) \left[ \cfrac{\sqrt{3}}{ 2} — \cfrac{1}{2}i \right]=
\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2} — \cfrac{1}{2}\sqrt{2}i
\cfrac{\sqrt{6}}{2} — \cfrac{\sqrt{2}}{2}i
Спасибо, что в этот момент с нами 🙂
свойства и операции комплексных чисел объяснил
Комплексные числа состоят из действительного числа и мнимого числа. Комплексные числа обозначаются как a + bi, где a — точное число, а b — мнимое число.
Действительное число предшествует мнимому. Комплексные числа отличаются от простых чисел просто тем, что состоят из двух частей и образуют комплекс.
Продолжайте читать это, чтобы понять значение комплексных чисел, узнать о делении комплексных чисел на различных примерах, а также основные часто задаваемые вопросы, чтобы развеять ваши сомнения относительно комплексных чисел.
Комплексное число представляет собой сумму фактического числа и мнимого числа.
Комплексное число = a + bi
Вещественное число (a) в комплексном числе — это любое материальное значение, квадрат которого всегда положителен. Действительные числа включают положительные и отрицательные целые числа, дроби, десятичные дроби, иррациональные и рациональные числа.
Все действительные числа являются комплексными числами, мнимая часть которых равна нулю.
Мнимое число (би) в комплексном числе — это число, квадрат которого всегда отрицателен. Все мнимые числа (bi) состоят из двух частей.
В мнимом числе bi b — ненулевое действительное число, а i называется мнимой единицей, известной как йота. Квадратное значение бита равно -1.
√ (-1), √ (-40) √ (-4), √ (-81) — все это примеры мнимых единиц (i), поскольку их квадраты отрицательны. Обратите внимание, что квадрат мифической команды всегда будет отрицательным.
5 + 6i, 27 + 3i и 8 + 9i — все это примеры комплексных чисел.
Свойства операций с комплексными числами
Мы можем выполнять множество арифметических операций с комплексными числами. Но поскольку комплексные числа отличаются от действительных чисел, свойства операций с комплексными числами отличаются от свойств действительных чисел.
Свойства сложения комплексных чисел
Сложение комплексных чисел происходит покомпонентно. Сначала складываются действительные числа, а мнимые единицы складываются.
Даны два комплексных числа (a + bi) и (c + di)
Тогда их сложение будет:
(a + c) + (b + d)i
Например,
Определить сложение двух комплексных чисел 5 + 8i и 13 + 6i
Ответ : 18 + 14i
Свойства комплексных и действительных чисел очень похожи.
Пусть a, b и c — три комплексных числа, тогда свойство сложения этих комплексных чисел следующее:
1) Свойство замыкания — Сложение комплексных чисел является комплексным числом.
2) Свойство ассоциативности – ( a + b )+ c = a +( b + c )
3) Свойство коммутативности – a + b = b + a
4) Свойство аддитивности личность — Комплексное число 0 (0 + 0i), которое дает то же значение при добавлении к комплексному числу.
0 + a = a
5) Аддитивное обратное – Для любого комплексного числа a всегда существует уникальное комплексное число -a, такое что a + (-a) = 0
Свойства вычитания комплексных чисел
Как и сложение, вычитание комплексных чисел также выполняется покомпонентно.
Действительные числа вычитаются, а мнимые числа вычитаются отдельно друг от друга.
Даны два комплексных числа (a + bi) и (c + di)
Тогда их вычитание будет:
(a – c) + (b – d)i
Например,
Определить вычитание двух комплексных чисел 15 + 8i и 13 + 6i
Ответ : 2 + 2i
Пусть a и b — два комплексных числа.
Тогда свойство вычитания этих чисел выглядит следующим образом:
1) Свойство закрытия- Вычитание комплексных чисел приведет к комплексному числу.
2) Вычитание комплексных чисел не обладает коммутативными и ассоциативными свойствами.
Свойства умножения комплексных чисел
Умножение двух комплексных чисел аналогично умножению двучленов. Соответствующие действительные и мнимые числа перемножаются.
Даны два комплексных числа a и b, тогда следующие свойства умножения этих чисел:
1) Коммутативное свойство – a*b = b*a
2) Ассоциативное свойство – (a*b)*c = a*(b*c)
3) Мультипликативное тождество – Мультипликативное тождество комплексного числа ( а) — другое комплексное число, такое, что их умножение дает одно и то же число (а). a*1 = a
Мультипликативная идентичность комплексного числа равна 1.
4) Мультипликативная инверсия – Мультипликативная инверсия комплексного числа a представляет собой другое комплексное число z, такое что a*z = 1
Мультипликативная инверсия комплексного числа является обратной величиной этого комплексного числа.
Свойства деления комплексных чисел
Даны два комплексных числа a + bi и c + di, тогда свойства деления этих комплексных чисел следующие:
1) Свойство замыкания – При делении двух комплексных чисел получится комплексное число.
2) Комплексно-сопряженное число – Чтобы разделить два комплексных числа, необходимо исключить мнимую часть в знаменателе. Это делается путем умножения и деления знаменателя на его комплексное сопряжение.
Комплексное сопряжение комплексного числа образуется путем изменения знака его мнимой части.
Итак, чтобы разделить (a + bi) на (c + di) так, чтобы значение c и d не было равно нулю, нам нужно умножить и разделить его на комплексно-сопряженное число знаменателя (c +di), что is (c – di)
Деление комплексных чисел не следует коммутативным и ассоциативным свойствам.
Свойства комплексных чисел примеры
1) Если 3 + 5i и 7 + 9i — два комплексных числа, то вычислить значение
- а) (3 + 5и) + (7 + 9и)
- б) (7 + 9и) + (3 + 5и).
