Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр
Пролог:
Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:
Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
Тогда:
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.
В свою очередь dx по прежнему Δx
Производные, определение производных, дифференциалов, правила для дифференциалов
Определение производной
Если y = f(x), производная функции y или f(x) по отношению к x определяется как
13.
1
где h = Δx. Производная также обозначается как y’, df/dx от f'(x). Процесс взятия производной называется дифференцированием.
В нижеследующем u, v, w есть функции x; a, b, c, n — константы [ограниченные, если указано]; e = 2.71828… есть натуральная основа логарифмов; ln u — натуральный логарифм u [т.е. логарифм по основанию е] где предполагается, что u > 0 и все углы — в радианах.
Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функцийПроизводные экспоненциальных и логарифмических функцийПроизводные гиперболических и обратных гиперболических функцийВторая, третья и более высокие производные определяется следующим образом.
13.43 Вторая производная = (d/dx).(dy/dx) = d2y/dx2 = f»(x) = y »
13.44 Третья производная = (d/dx).(d2y/dx2) = d3/dx3 = f»'(x) = y»’
45 n-ая производная = (d/dx).(dn — 1/dxn — 1) = dn/dxn = f(n)(x) = y(n)Правило Лейбница для высших производных произведенияПусть Dp с оператором dp/dxp так, что DP u = dpu/dxp = p-ый дериватив u. Тогда
13.46
где есть биномиальные коэффициенты.
Как особый случай, мы имеем
13.47
13.48
Пусть y = f(x) и Δy = f(x + Δx) — f(x). Тогда
13.49 Δy/Δx = [f(x + Δx) — f(x)]/Δx = f'(x) + ε = dy/dx + ε
где ε → 0 когда Δx → 0. Таким образом,
13.50 Δy = f'(x)Δx + εΔx
Если мы назовем Δx = dx дифференциалом x, тогда мы определяем дифференциал y как
13.51 dy = f'(x)dx
Правила для дифференциалов
Правила для дифференциалов аналогичны правилам для производных. В качестве примера отметим, что
Частные производные
Пусть f(x, y) будет функцией двух переменных x и y.
Тогда мы определяем частную производную f(x, y) по x, сохраняя у постоянным, как
13.58
Подобно, частная производная f(x, y) по y, сохраняя x постоянным, будет
13.59
Частные производные высших порядков могут быть определены следующим образом.
13.60
13.61
Результаты в 13.61 будут равны, если функция и ее частные производные являются непрерывными, т.е. в этом случае порядок дифференцирования не имеет значения.
Дифференциал f(x, y) определяется как
13.62
где dx = Δx и dy = Δy.
Применение к функциям, имеющим более чем две переменные, в точности аналогично.
В чем разница между производной и дифференциалом?
Последняя обновленная дата: 09 -е апрель 2023
•
Общее представление: 194,7K
•
Просмотры сегодня: 2,66K
Ответ
Проверено
194,7K+ просмот функций отличает исчисление от других разделов математики.
Дифференциальное — это подполе исчисления, относящееся к бесконечно малой разнице в некоторой переменной величине и являющееся одним из двух фундаментальных разделов исчисления. Другая ветвь называется интегральным исчислением.
Полный пошаговый ответ :
Дифференциальное : Дифференциальное является одним из основных разделов исчисления, наряду с интегральным исчислением. Это подполе исчисления, которое имеет дело с бесконечно малыми изменениями различных величин.
Дифференцирование — это метод вычисления производной, которая представляет собой скорость изменения выходного сигнала y функции по отношению к изменению переменной x.
Дифференциальные уравнения — это уравнения, содержащие неизвестные функции и некоторые их производные.
Производная: понятие производной функции является одним из самых мощных понятий в математике. Производная функции обычно представляет собой новую функцию, которая называется функцией производной или функцией скорости.
Производная функции представляет собой мгновенную скорость изменения значения зависимой переменной по отношению к изменению значения независимой переменной. Это фундаментальный инструмент исчисления, который также можно интерпретировать как наклон касательной. Он измеряет, насколько крутым является график функции в некоторой заданной точке графика.
Примечание : Скорость изменения одной переменной по отношению к другой переменной называется производной, а уравнения, выражающие связь между этими переменными и их производными, называются дифференциальными уравнениями.
Недавно обновленные страницы
Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main
Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main
Вычислить значение intlimits0 cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main
Что из следующего верно? JEE_Main
Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main
Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main
Оценить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main
Что из следующего верно? JEE_Main
Тенденции сомнения
интеграция — Дифференциал против Производной
Задавать вопрос
спросил
Изменено 3 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 830 раз
$\begingroup$
Я пытаюсь научиться $u$-подстановке в рамках подготовки к исчислению $2$, и я не думаю, что вполне понимаю разницу между производной и дифференциалом.
2$. 9{n — 1} f (t_i) (x_ {i + 1} — x_i),
$$
где предел берется по всем размеченным разделам $\mathscr P = (a = x_0 \le t_0 \le x_1 \le t_1 \le \dotsb \le t_{n — 1} \le x_n = b)$ как $\lVert \mathscr P\rVert = \sup \{x_{i + 1} — x_i : 0 \le i < n\}$ сжимается до $0$, если предел существует; и, если прищуриться, можно увидеть $\int$ как обобщенную $\sum$ (действительно, Лейбниц выбрал оператор, чтобы предложить $\int\text{um}$), и $\Delta x_i = x_{i + 1 } - x_i$ как макроскопическое приращение, которое в пределе становится бесконечно малым приращением $\mathrm dx$. 92=27, тогда вы можете провести касательную к этой точке функции.
С другой стороны, очень хорошо, что вы пытаетесь понять, что на самом деле означает dx. Когда мы интегрируем, с точки зрения графика, мы на самом деле берем площадь под кривой таким образом, что складываем бесконечно много прямоугольников, так что сумма приближается к площади под кривой. Вы можете думать о знаке интеграла как о сумме любых границ, которые вы выберете, и о f(x) как о длине, а dx как о ширине.