6.01. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения
Определение 1. Уравнение, содержащее хотя бы одну из производных у’, у», у»’,… неизвестной функции у = у(х), называется дифференциальным уравнением для этой функции. Сама функция У и её аргумент Х Могут входить, а могут и не входить в дифференциальное уравнение. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется Порядком этого уравнения.
Таким образом,
F(х; у; у’) = 0 (1.1)
— общий вид дифференциального уравнения первого порядка;
F(х; у; у’; у») = 0 (1.2)
— общий вид дифференциального уравнения второго порядка, и т. д.
В соответствии со сказанным выше в уравнении первого порядка (1.1) обязательно наличие лишь У’, а наличие Х и У Не обязательно. В уравнении второго порядка (1.2) обязательно наличие лишь У», а наличие остальных его элементов Х, у и У’ не обязательно.
Определение 2
Например, функция У = х² является частным решением дифференциального уравнения первого порядка У’-2х = 0 для всех Х От — ∞ до + ∞. А интегральной кривой, соответствующей данному частному решению, является парабола с уравнением У = х².
Определение 3. Решить дифференциальное уравнение (любого порядка) – это значит найти все его частные решения, то есть найти все функции у = F(х), удовлетворяющие этому уравнению. Формула, содержащая все (или почти все) частные решения дифференциального уравнения, называется его общим решением.
Частные решения, не содержащиеся в общем решении, называются особыми решениями Дифференциального уравнения.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение У’-2х = 0.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению У’ = 2х. Следовательно, все функции У, удовлетворяющие этому уравнению, являются первообразными для функции 2х (см. §1, глава 5). Но множество всех первообразных для данной функции – это неопределенный интеграл от неё. Поэтому все частные решения дифференциального уравнения У’-2х = 0 найдутся по формуле:
Формула У = х² + С представляет собой общее решение дифференциального уравнения У’-2х = 0. Эта формула содержит в себе множество функций (ибо С – неопределенная константа), и все эти функции — частные решения дифференциального уравнения
Все частные решения, входящие в общее решение У = х² + С, являются ими для всех Х От — ∞ до + ∞.А теперь сделаем следующее важное замечание. Функция У = F(х), являющаяся частным решением данного дифференциального уравнения, может быть им лишь для тех Х, для которых определена и она, и все её производные, входящие в дифференциальное уравнение. Вносит свои ограничения и сама структура дифференциального уравнения (что-то в нем может находиться под корнем, что-то под логарифмом и т. д.). А так как у разных функций, вообще говоря, разные области определения (особенно с учетом областей определения их производных), то разные частные решения У = F(х) дифференциального уравнения удовлетворяют этому уравнению, вообще говоря, на разных числовых множествах оси Ох.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка Уу’ = х.
Решение. Проведем следующие тождественные преобразования:
Множество функций содержит в себе все частные решения дифференциального уравнения Уу’ = х.
Таким образом, формула является общим решением этого уравнения. Особых решений у него нет.
А теперь проанализируем полученное общее решение уравнения У у’ = х.
А) Если С>0, то и функции , и их производные
Определены для любых Следовательно, при С>0 эти функции являются решениями дифференциального уравнения при любых Х.
Б) Если С=0, то получаем две функции , которые определены для любых Но вот производные у них существует для любых
6.1(а) и 6.1 (б)).
Действительно, согласно геометрического смысла производной (глава 4, формула 1.11) производная функции связана касательной к графику функции. А такой касательной к графикам функций при Х=0, очевидно, не существует. Поэтому функции является решениями дифференциального уравнения для всех Х, кроме Х=0.
В) Если С<0, то –С=>0, и тогда получаем функции , которые определены лишь при Х и при Х, причем их производные определены строго при Х>А и при Х<-А.
Поэтому функции являются решениями дифференциального уравнения лишь на интервалах Х>А и Х<-А. При изменении величины А меняются и эти интервалы.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнения первого порядка .
Решение. Очевидно, что функция У=0 является решениям (частным решением) данного дифференциального уравнения. Поищем возможные другие решения этого уравнения, когда . Для этого проведем следующие тождественные преобразования данного уравнения:
|разделим переменные Х и У||проинтегрируем обе части| |
Функции (их бесчисленное множество), как и функция У=0, представляют собой частные решения дифференциального уравнения У’= ху² (убедитесь в этом, найдя У‘ и подставив У и У’ в это уравнение). У каждой из этих функций своя область определения, зависящая от величины константы С. В формуле содержатся все частные решения дифференциального уравнения У’= ху², кроме решения У = 0 (оно не получается по этой формуле ни при каком значении С).
В примерах (1) – (3) мы решили три различных дифференциальных уравнения первого порядка, и у каждого из них оказалось бесчисленное множество частных решений. Произошло это потому, что в процессе решения каждого из них мы применяли операцию интегрирования (операцию вычисления неопределенных интегралов). Интегрирование привело к появлению неопределенной константы интегрирования С, которая затем вошла в выражение для искомой функции У: у = у(х;С). Таким образом, мы получили множество частных решений дифференциального уравнения. Это множество включало в себя или все частные решения дифференциального уравнения (в примерах 1 и 2), или почти все (в примере 3). Поэтому это множество У = у(х;С) частных решений дифференциального уравнения представляло собой общее решение этого уравнения.
По такой схеме (интегрированием) находят общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0. Действительно, чтобы решить такое уравнение, то есть чтобы найти те функции У = F(х), Которые ему удовлетворяют, нужно «вытащить» функцию У из-под знака её производной. А это как раз и делается с помощью процедуры интегрирования – процедуры, обратной дифференцированию.
Итак, Схема получения общего решения любого дифференциального уравнения первого порядка такова:
|интегрируем уравнение| (1.3)
Отметим, что далеко не всегда удается получить общее решение дифференциального уравнения в явном виде, то есть в виде , когда
Общее решение дифференцированного уравнения, в каком бы виде (явном, неявном) оно ни было получено, называют ещё Общим интегралом дифференцированного уравнения.
Не факт, что в найденное общее решение (в общий интеграл) дифференцированного уравнения войдут все его частные решения (подтверждением этого служит пример 3). Те частные решения , ,… дифференциального уравнения, которые не войдут в его общее решение, будут его особыми решениями. Их тоже нужно найти (не потерять). В противном случае дифференциальное уравнение окажется решенным неполноценно.
В заключении данного параграфа укажем, в таких задачах естествознания следует ожидать появления дифференциальных уравнений.
Так как решениями дифференциальных уравнений являются функции, а каждая функция в принципе описывает процесс изменения одной переменной при изменении другой переменной , То дифференциальные уравнения, по идее, должны широко встречаться в задачах по исследованию различного рода процессов ( физических, химических, биологических, технологических, экономических, общественных, и т. д.). В следующих параграфах мы приведём примеры, подтверждающее это предположение.
Упражнения
1. Решить дифференциальное уравнение .
Ответ: — общее решение.
2. Решить дифференциальное уравнение .
Ответ: — общее решение.
3. Решить дифференциальное уравнение .
Ответ: — общее решение; У=1 – особое решение.
| Следующая > |
|---|
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y‘
- Понижение порядка уравнения, не содержащего y
- Понижение порядка уравнения, не содержащего x
Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с
возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью
замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более
низкого порядка.
В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго
порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого
порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка
с искомой функцией .
Решая его, находим . Так как , то .
Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию
и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка .
Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Заменяя z произведением функций u и v, получим
Тогда получим выражения с функцией v:
Выражения с функцией u:
Дважды интегрируем и получаем:
.
Для интегрирования по частям обозначаем:
.
Интегрируем по частям и получаем:
.
Итак, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Интегрируем полученную функцию:
Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:
.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
или
Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :
Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:
Интегрируем:
Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда
.
Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:
.
Решая его, найдём . Так как , то .
Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
или
.
При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).
Пример 7.
Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Используя вновь подстановку
,
получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1, y‘(0) = −1.
Решение.
Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:
.
Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
Чтобы определить C1, используем данные условия y(0) = 1, y‘(0) = −1 или p(0) = −1. В полученное выражение подставим y = 1, p = −1:
.
Получаем
и
.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
.
Из начального условия y(0) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1, y‘(1) = −1.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Таким образом, получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p, получим
Интегрируем обе части уравнения
Получим
или
Используем начальные условия и определим C1. Если x = 1, то y = 1 и p = y‘ = −1, поэтому
.
Тогда
Из начального условия y(1) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями
дифференциальное уравнение | Britannica
- Ключевые люди:
- Поль Пенлеве Софус Ли Джозеф Бертран Джон Винсент Атанасов
- Похожие темы:
- точное уравнение обыкновенное дифференциальное уравнение граничное значение уравнение в частных производных Уравнение Клеро
Просмотреть весь связанный контент →
дифференциальное уравнение , математическое выражение, содержащее одну или несколько производных, то есть условия, представляющие скорость изменения непрерывно меняющихся величин.
Дифференциальные уравнения очень распространены в науке и технике, а также во многих других областях количественных исследований, потому что то, что можно непосредственно наблюдать и измерять для систем, претерпевающих изменения, — это скорость их изменения. Решение дифференциального уравнения — это, вообще говоря, уравнение, выражающее функциональную зависимость одной переменной от одной или нескольких других; оно обычно содержит постоянные члены, которых нет в исходном дифференциальном уравнении. Другими словами, решение дифференциального уравнения дает функцию, которую можно использовать для предсказания поведения исходной системы, по крайней мере, при определенных ограничениях.
Дифференциальные уравнения подразделяются на несколько широких категорий, которые, в свою очередь, подразделяются на множество подкатегорий. Наиболее важными категориями являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Когда функция, участвующая в уравнении, зависит только от одной переменной, ее производные являются обычными производными, и дифференциальное уравнение классифицируется как обыкновенное дифференциальное уравнение.
С другой стороны, если функция зависит от нескольких независимых переменных, так что ее производные являются частными производными, дифференциальное уравнение классифицируется как уравнение в частных производных. Ниже приведены примеры обыкновенных дифференциальных уравнений:
Подробнее по этой теме
анализ: Ньютон и дифференциальные уравнения
…приложением анализа являются дифференциальные уравнения с, которые связывают скорости изменения различных величин с их…
В них y обозначает функцию, а t или x является независимой переменной. Символы k и m используются здесь для обозначения конкретных констант.
Какого бы типа ни было дифференциальное уравнение, говорят, что оно имеет n -го порядка, если он включает производную n -го порядка, но не производную более высокого порядка. Уравнение является примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.
Теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными заметно различаются, и по этой причине эти две категории рассматриваются отдельно.
Вместо одного дифференциального уравнения объектом исследования может быть совместная система таких уравнений. Формулировка законов динамики часто приводит к таким системам. Во многих случаях одно дифференциальное уравнение n -го порядка целесообразно заменить системой n одновременных уравнений, каждое из которых имеет первый порядок, так что можно применять методы линейной алгебры.
Обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором, например, функция и независимая переменная обозначены как y и x , фактически является неявной суммой основных характеристик y как функции x . Эти характеристики, по-видимому, были бы более доступны для анализа, если бы явная формула для и могут быть изготовлены. Такая формула или, по крайней мере, уравнение в x и y (без производных), выводимое из дифференциального уравнения, называется решением дифференциального уравнения.
Процесс вывода решения из уравнения с помощью приложений алгебры и исчисления называется решением или интегрированием уравнения. Однако следует отметить, что дифференциальные уравнения, которые могут быть решены в явном виде, составляют лишь незначительное меньшинство. Таким образом, большинство функций приходится изучать косвенными методами. Даже его существование должно быть доказано, когда нет возможности предъявить его для проверки. На практике методы численного анализа с использованием компьютеров используются для получения полезных приближенных решений.
Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Эта статья была недавно пересмотрена и обновлена Уильямом Л. Хошем.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производные переменной, например уравнение Здесь x — переменная, а производные по второй переменной t. | Индекс | ||
| Назад |
Буквы a, b, c и d здесь считаются константами. Это уравнение можно было бы описать как линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Это второй порядок из-за наличия производной высшего порядка, линейный, потому что ни одна из производных не возведена в степень, а множители производных постоянны. Если бы x было положением объекта, а t — временем, то первая производная — это скорость, вторая — ускорение, и это было бы уравнением, описывающим движение объекта. Как показано, это тоже называется неоднородным уравнением, и при решении физических задач необходимо рассматривать также однородное уравнение. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка включает только первую производную функции и саму функцию, а константы используются только как множители. и решается заменой Решение, соответствующее конкретной физической ситуации, получается путем подстановки решения в уравнение и оценки различных констант, заставляя решение соответствовать физическим граничным условиям рассматриваемой задачи. Замена дает Приложения
| Индекс | ||
| Назад |
Уравнение имеет вид Общее решение дифференциального уравнения должно удовлетворять как однородному, так и неоднородному уравнениям. Природа однородного решения заключается в том, что уравнение дает нулевое значение. Если вы найдете конкретное решение неоднородного уравнения, вы можете добавить однородное решение к этому решению, и оно все равно будет решением, поскольку его конечным результатом будет добавление нуля. Это не означает, что однородный раствор не добавляет смысла картине; однородная часть решения физической ситуации помогает понять физическую систему. Решение может быть образовано как сумма однородного и неоднородного решений, и оно будет иметь ряд произвольных (неопределенных) констант. Такое решение называется общим решением дифференциального уравнения. Для применения к физической задаче константы должны быть определены путем приведения решения в соответствие с физическими граничными условиями. Как только общее решение сформировано, а затем вынуждено соответствовать физическим граничным условиям, можно быть уверенным, что это единственное решение задачи, что гарантируется теоремой единственности. | Индекс | ||
| Назад |
Граничные условия для дифференциального уравнения — это ограничивающие значения функции при некотором конкретном значении независимой переменной. Например, если уравнение включает скорость, граничным условием может быть начальная скорость, скорость в момент времени t=0. Чтобы иметь полное решение, должно быть граничное условие для каждого порядка уравнения — два граничных условия для уравнения второго порядка и только одно необходимое для дифференциального уравнения первого порядка. Если найдено решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее всем граничным условиям, то это единственное решение этого уравнения — это называется теоремой единственности. Поэтому разумный подход к поиску решений дифференциальных уравнений в физических задачах состоит в том, чтобы использовать пробное решение и попытаться заставить его соответствовать граничным условиям. В случае успеха этот подход находит единственное решение. | Индекс | ||
| Назад |
Для дифференциальных уравнений, применимых к физическим задачам, часто можно начать с общей формы и заставить эту форму соответствовать физическим граничным условиям задачи. Сформулировано в терминах дифференциального уравнения первого порядка, если задача удовлетворяет такому условию, что f(x,y) и производная от y непрерывны в заданном прямоугольнике значений (x,y), то существует одно и только одно решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям. | Индекс | ||
| Назад |
Такой подход возможен благодаря тому, что существует одно и только одно решение дифференциального уравнения, т. е. решение единственно.Некоторые общие термины, используемые при обсуждении дифференциальных уравнений: Приказ : Порядок дифференциального уравнения — это наивысшая степень производной, которая встречается в уравнении, например, второй закон Ньютона дает дифференциальное уравнение 2-го порядка, потому что ускорение является второй производной положения. |
