Найти максимум функции онлайн на отрезке: Интервалы возрастания и убывания функции онлайн

alexxlab / / Разное

Точки перегиба онлайн

С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе.
  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

Правила ввода функций:

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции

y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

  1. Найти вторую производную f’’(x).
  2. Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x)
    обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
  4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x2–x3.
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.

f(2) = 6*22 – 23 = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при
x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).

Пример 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x3-6x2+2x-1

Пример 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x3-6x2+12x+4

Максимум и минимум функции

Одним из этапов исследования функции является нахождение экстремумов заданной функции, другими словами, максимума и минимума функции. {2} +bx+c$ (парабола) имеет на области определения:

  • минимум, если $a>0$;
  • максимум, если $a

Экстремум параболы, рассматриваемой на всей области определения, совпадает с ее вершиной (рис.).

Рисунок 2.

Значения заданной функции в точках минимума и максимума называются соответственно минимумом и максимумом

заданной функции.

Экстремумы функции делятся на:

  • локальный экстремум;
  • глобальный экстремум.

Определения 1 и 2 относятся к локальным экстремумам: локальный минимум и локальный максимум.

Наименьшее и наибольшее значения заданной функции на некотором промежутке являются глобальными экстремумами.

Примечание 1

Глобальные экстремумы могут достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума определяется следующей теоремой.

Теорема 1

Если заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум в некоторой точке $x_{0} $, то ее производная $f'(x)$ в данной точке либо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия экстремума определяются следующими теоремами.

Теорема 2

Первое условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

  1. данная функция $y=f(x)$непрерывна в окрестности точки $x_{0} $;
  2. $f'(x)$ при $x=x_{0} $ равна нулю или $f'(x)$ не существует;
  3. производная $f'(x)$ при переходе через данную точку $x_{0} $ меняет знак.

Тогда в точке $x=x_{0} $ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем он является минимумом, если при переходе через точку $x_{0} $ производная меняет знак с «-» на «+»; является минимумом, если при переходе через точку $x_{0} $ производная меняет знак с «+» на «-».

Теорема 3

Второе условие.

Пусть для заданной функции $y=f(x)$ выполнены условия:

  1. данная функция $y=f(x)$непрерывна в окрестности точки $x_{0} $;
  2. $f'(x)$ при $x=x_{0} $ равна нулю;
  3. $f»(x)$ при $x=x_{0} $ не равна нулю.

Тогда в точке $x=x_{0} $ заданная функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем, если $f»(x)>0$ при $x=x_{0} $, то в данной точке заданная функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f»(x)

Примечание 2

Если $f'(x)$ при переходе через точку $x_{0} $ не меняет свой знак, то в данной точке экстремума нет. {2} +12\cdot (-3)=2\cdot 9-36=18-36=-18$

График заданной функции приведен на рис.

Рисунок 6.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17.02.2022

примеров исчисления | Применение дифференцирования

Шаг 1

Найдите критические точки.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Найдите первую производную.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Найдите первую производную.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

По правилу сумм производная по отношению к равна .

Оценка .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Так как постоянна относительно , ​​производная по отношению к .

Дифференцируйте, используя Правило мощности, которое гласит, что где .

Умножить на .

Дифференцируйте, используя постоянное правило.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Так как постоянна относительно , ​​производная по отношению к .

Добавить и .

Первая производная по отношению к .

Приравняйте первую производную и решите уравнение.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Установите первую производную равной .

Разделите каждый термин на и упростите.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Разделите каждое слагаемое на .

Упростить левую сторону.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Отменить общий множитель .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Отменить общий множитель.

Разделить на .

Упростить правую сторону.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов. ..

Разделить на .

Найдите значения, для которых производная не определена.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Областью определения выражения являются все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В этом случае нет действительного числа, которое делает выражение неопределенным.

Вычислить каждое значение, где производная равна или не определена.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Оценить в .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Замените .

Упрощение.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Упростите каждый термин.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Возведение в любую положительную степень дает .

Умножить на .

Вычесть из .

Список всех точек.

Шаг 2

Исключить точки, не входящие в интервал.

Шаг 3

Оценка на включенных конечных точках.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Оценить в .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Замените .

Упрощение.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Упростите каждый термин.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Один в любой степени равен единице.

Умножить на .

Вычесть из .

Оценка в .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Замените .

Упрощение.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Упростите каждый термин.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Умножьте на, добавив показатели степени.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Умножить на .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…

Возведение в степень .

Используйте правило степени для объединения показателей степени.

Добавить и .

Возведение в степень .

Вычесть из .

Список всех точек.

Шаг 4

Сравните значения, найденные для каждого значения, чтобы определить абсолютный максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет иметь место при самом высоком значении, а минимум будет при наименьшем значении.

Абсолютный максимум:

Абсолютный минимум:

Шаг 5

Введите СВОЮ проблему

Максимум функции

Максимум функции Лори Пирман
EMT 725
Задача: найти максимум f(x) = (1-x)(1+x)(1+x).

Одним из способов решения этой проблемы является построение графика функции на графическом калькуляторе. или компьютерный графический инструмент, чтобы получить оценку максимума. Я использовал Algebra Xpresser для построения графика f(x).

Это часть графика, который у меня получился (на нем показан интервал от 0 до 1):

По этому графику я могу оценить, что максимальное значение составляет около 1,18. Этот максимум происходит, когда x составляет около 0,33. Можно продолжать увеличивать «верхнюю холма» на картинке, чтобы получить более точные оценки.

Для более точного нахождения максимума f'(x) можно использовать исчисление.

Теперь нам нужно установить f ‘(x) = 0, чтобы получить критические значения.

f ‘(х) = (3х-1)(х+1) = 0

Возможны относительные максимумы (или минимумы), когда x = 1/3 или x = -1.

Теперь мы можем использовать тест первой или второй производной, чтобы определить, где мы имеют относительный максимум.
Примечание: -1 не входит в наш интервал от 0 до 1, но я все равно проверю.


f »(x)=-6x-2
Я буду использовать тест второй производной.
f »(-1) является положительным значением. Это означает, что при x=-1 график функции f (x) вогнута вверх.
Таким образом, f (-1) является относительным минимумом.
f »(1/3) является отрицательным значением. Это означает, что когда x=1/3, график вогнутой вниз.
f (1/3) — относительный максимум.

В интервале от 0 до 1 существует максимум, который равен f (1/3)=1,185185

Теперь давайте воспользуемся электронной таблицей для оценки максимума f(x) в интервал от 0 до 1.
По моему графику Algebra Xpresser я мог сказать, что в интервале [0,1] максимум произошел где-то между x=0,2 и x=0,5. Ниже представлен разворот лист таблицы со значениями x с шагом 0,01, которые находятся в этом интервале.

Если мне нужно еще лучшее приближение, я могу посмотреть на меньший интервал, например [0.32,0.34] .

(Из предыдущей электронной таблицы я могу сказать, что этот интервал содержит максимум.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *