Дифференциальные уравнения с решением онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

Решение задач Дифференциальные уравнения с ответами

• Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала.
• Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
• Найти общее решение дифференциального уравнения.
• Найти общее решение уравнения.
• Найти общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений и решить для них задачу Коши.
• Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию.
• Решите дифференциальное уравнение.
• Решить дифференциальное уравнение.
• Решить задачу Коши.
• Решить неоднородное уравнение.
• Решить уравнение
• Найти решение уравнения и исследовать решение на устойчивость.
• Определить характер точки (0,0) покоя динамической системы.
• Найти первые отличные от нуля члены разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
• Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации постоянных.
• Решить краевую задачу.
• Найти собственные значения λ и собственные функции y.
• Решить систему уравнений.
• Общее решение дифференциального уравнения
• Определить тип и решить дифференциальное уравнения.
• Найдите общее решение этого уравнения и определите частное решение.
• Для каждой функции проверить равенство смешанных производных 2го порядка.
• Задачи на градиент. Функция, точка и вектор.
• Доказать равенство и проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна.
• Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
• Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
• Найти общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения.
• Решить задачу Коши с использованием преобразования Лапласа.
• Решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
• Методом последовательного дифференцирования найти первые n ненулевых членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения.
• Проверить, удовлетворяет ли данная функция z=f(x,y) указанному уравнению.
• Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
• Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Краткая теория

---

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка есть

Здесь   может не зависеть от некоторых из величин  Однако если (*) есть уравнение именно n-го порядка, то от  функция  обязательно зависит. Наиболее простым дифференциальное уравнение (*) оказывается тогда, когда оно имеет вид:

где  – заданная функция

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (*) называется функция

существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая уравнение (*) в тождество при любых значениях этих постоянных. Решения, получаемые из обзего при закреплении постоянных  называются частными.

Отдельные виды дифференциальных уравнений высших порядков удается проинтегрировать путем понижения порядка уравнения.

I.  Уравнение вида  решают путем n-кратного интегрирования.

II.  Если дифференциальное уравнение явно не содержит , например

то полагая , получим уравнение порядка на единицу ниже

III. Если дифференциальное уравнение явно не содержит , например

то, полагая

получим уравнение порядка на единицу ниже

Методы решения других видов дифференциальных уравнений:

• Дифференциальные уравнения — основные понятия
• Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
• Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
• Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
• Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
• Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
• Системы дифференциальных уравнений

Примеры решения задач

---

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения высшего порядка.

Решение

Данное уравнение явно не содержит .

Примем

Получаем:

Пусть

Примем:

 

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ:

---

Задача 2

Проинтегрировать уравнение.

При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.

Решение

Это дифуравнение явно не содержит .

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Воспользуемся начальными условиями:

Воспользуемся начальными условиями:

Искомое частное решение дифуравнения:

или

 

Ответ:

---

Задача 3

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка.

Решение

Дифуравнение явно не содержит :

Общее решение дифуравнения:

 

Ответ:

Дифференциальные уравнения.

Определения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Определения

Дифференциальное уравнение

Первым определением, которое мы должны рассмотреть, должно быть определение дифференциального уравнения . Дифференциальное уравнение — это любое уравнение, которое содержит производные, либо обычные производные, либо частные производные.

Существует одно дифференциальное уравнение, которое, вероятно, известно каждому, это второй закон движения Ньютона. Если объект массы \(m\) движется с ускорением \(a\) и на него действует сила \(F\), то второй закон Ньютона говорит нам об этом.

\[\begin{уравнение}F = ma \label{eq:eq1} \end{уравнение}\] 92}}} \метка{eq:eq2}\конец{уравнение}\]

Где \(v\) — скорость объекта, а \(u\) — функция положения объекта в любой момент времени \(t\). Мы также должны помнить в этот момент, что сила \(F\) также может быть функцией времени, скорости и/или положения.

Итак, учитывая все это, второй закон Ньютона теперь можно записать в виде дифференциального уравнения относительно скорости \(v\) или положения \(u\) объекта следующим образом. 92\partial t}} = 1 + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \label{eq:eq10}\end{equation}\]

Порядок

порядок дифференциального уравнения является наибольшей производной, присутствующей в дифференциальном уравнении. В перечисленных выше дифференциальных уравнениях \(\eqref{eq:eq3}\) является дифференциальным уравнением первого порядка, \(\eqref{eq:eq4}\), \(\eqref{eq:eq5}\), \( \eqref{eq:eq6}\), \(\eqref{eq:eq8}\) и \(\eqref{eq:eq9}\) — дифференциальные уравнения второго порядка, \(\eqref{eq:eq10}\ ) — дифференциальное уравнение третьего порядка, а \(\eqref{eq:eq7}\) — дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Обратите внимание, что порядок не зависит от того, есть ли в дифференциальном уравнении обычные или частные производные.

В этих заметках мы будем рассматривать почти исключительно дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Как вы увидите, большинство методов решения дифференциальных уравнений второго порядка можно легко (и естественно) распространить на дифференциальные уравнения более высокого порядка, и мы обсудим эту идею позже.

Обыкновенные уравнения и уравнения с частными производными

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением , сокращенно ода, , если оно содержит обыкновенные производные. Точно так же дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных , сокращенно pde, , если в нем есть частные производные. В приведенных выше дифференциальных уравнениях \(\eqref{eq:eq3}\) — \(\eqref{eq:eq7}\) являются одами, а \(\eqref{eq:eq8}\) — \(\eqref{eq: eq10}\) являются pde.

Подавляющее большинство этих заметок посвящено оде. Единственным исключением из этого правила будет последняя глава, в которой мы кратко рассмотрим распространенную и базовую технику решения задач pde. 9{\left( {n — 1} \right)}}\left( t \right) + \cdots + {a_1}\left( t \right)y’\left( t \right) + {a_0}\left ( t \right)y\left( t \right) = g\left( t \right) \label{eq:eq11}\end{equation}\]

В отношении линейных дифференциальных уравнений важно отметить, что нет произведений функции \(y\left( t \right)\) и ее производных, и ни функция, ни ее производные не входят ни в какую другую степень, кроме первая власть. Также обратите внимание, что ни функция, ни ее производные не находятся «внутри» другой функции, например, \(\sqrt {y’} \) или \({{\bf{e}}^y}\).

Коэффициенты \({a_0}\left( t \right),\,\, \ldots \,\,{a_n}\left( t \right)\) и \(g\left( t \right )\) могут быть нулевыми или ненулевыми функциями, постоянными или непостоянными функциями, линейными или нелинейными функциями. Только функция \(y\left( t \right)\) и ее производные используются для определения того, является ли дифференциальное уравнение линейным.

Если дифференциальное уравнение не может быть записано в виде \(\eqref{eq:eq11}\), то оно называется нелинейным дифференциальным уравнением.

В \(\eqref{eq:eq5}\) — \(\eqref{eq:eq7}\) выше только \(\eqref{eq:eq6}\) является нелинейным, два других являются линейными дифференциальными уравнения. Мы не можем классифицировать \(\eqref{eq:eq3}\) и \(\eqref{eq:eq4}\), так как не знаем, какой вид имеет функция \(F\). Они могут быть как линейными, так и нелинейными в зависимости от \(F\).

Решение

Решение дифференциального уравнения на отрезке \(\alpha < t < \beta \) есть любая функция \(y\left( t \right)\), которая удовлетворяет рассматриваемому дифференциальному уравнению на интервал \(\alpha Важно отметить, что решения часто сопровождаются интервалами, и эти интервалы могут сообщить некоторую важную информацию о решении. Рассмотрим следующий пример. 93}} }}\]

В этой форме ясно, что нам нужно как минимум избежать \(x = 0\), так как это дало бы деление на ноль.

Кроме того, есть общее практическое правило, с которым мы будем работать в этом классе. Это эмпирическое правило: начните с реальных чисел, закончите реальными числами. Другими словами, если наше дифференциальное уравнение содержит только действительные числа, нам не нужны решения, дающие комплексные числа. Итак, чтобы избежать комплексных чисел, нам также нужно будет избегать отрицательных значений \(x\).

Итак, в последнем примере мы видели, что даже если функция может символически удовлетворять дифференциальному уравнению, из-за определенных ограничений, налагаемых решением, мы не можем использовать все значения независимой переменной и, следовательно, должны наложить ограничение на независимую переменную. переменная. Так будет со многими решениями дифференциальных уравнений.

Обратите внимание, что в последнем примере существует гораздо больше возможных решений данного дифференциального уравнения. Например, все следующее также является решением 9{ — \frac{1}{2}}}\end{align*}\]

Мы предоставим вам подробности, чтобы убедиться, что это действительно решения. Учитывая эти примеры, можете ли вы найти какие-либо другие решения дифференциального уравнения? На самом деле существует бесконечное множество решений этого дифференциального уравнения.

Итак, учитывая, что существует бесконечное число решений дифференциального уравнения в последнем примере (при условии, что вы все равно верите нам, когда мы это говорим….), мы можем задать естественный вопрос. Какое решение мы хотим, или имеет значение, какое решение мы используем? Этот вопрос приводит нас к следующему определению в этом разделе. 9{\ влево ( k \ вправо)}} \ влево ( {{t_0}} \ вправо) = {y_k} \]

Другими словами, начальные условия — это значения решения и/или его производной (производных) в определенных точках. Как мы со временем увидим, решения «достаточно хороших» дифференциальных уравнений уникальны, и, следовательно, только одно решение удовлетворяет заданным начальным условиям.

Количество начальных условий, необходимых для данного дифференциального уравнения, будет зависеть от порядка дифференциального уравнения, как мы увидим. 92}y» + 12xy’ + 3y = 0\hspace{0.25in}y\left( 4 \right) = \frac{1}{8},\,\,\,\,y’\left( 4 \справа) = — \frac{3}{{64}}\]

Пример 4 Вот еще один IVP.

\[2t\,y’ + 4y = 3\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,y\left( 1 \right) = — 4\]

Как мы отмечали ранее, количество требуемых начальных условий будет зависеть от порядка дифференциального уравнения.

Интервал действия

Интервал действия для IVP с начальным условием(ями) 9{\ влево ( k \ вправо)}} \ влево ( {{t_0}} \ вправо) = {y_k} \]

— это максимально возможный интервал, на котором решение действительно и содержит \({t_0}\). Их легко определить, но бывает трудно найти, поэтому мы собираемся отложить что-либо еще об этом до тех пор, пока мы не приступим к решению дифференциальных уравнений и нам не понадобится интервал достоверности.

Общее решение

Общее решение дифференциального уравнения является наиболее общей формой, которую может принять решение, и не принимает во внимание никаких начальных условий. 92}}}\) является общим решением для \[2т\,у’ + 4у = 3\]

Мы предоставим вам проверить, действительно ли эта функция является решением данного дифференциального уравнения. На самом деле все решения этого дифференциального уравнения будут именно в таком виде. Это одно из первых дифференциальных уравнений, которое вы научитесь решать, и вскоре вы сможете сами в этом убедиться.

Фактическое решение

Фактическое решение дифференциального уравнения — это конкретное решение, которое не только удовлетворяет дифференциальному уравнению, но также удовлетворяет заданным начальным условиям.

Пример 6 Каково фактическое решение следующей IVP? \[2t\,y’ + 4y = 3\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,y\left( 1 \right) = — 4\]

Показать решение

На самом деле это сделать проще, чем может показаться на первый взгляд. Из предыдущего примера мы уже знаем (ну это при условии, что вы верите в наше решение этого примера…), что все решения дифференциального уравнения имеют форму. 92}}}\]

Из этого последнего примера видно, что если у нас есть общее решение дифференциального уравнения, то поиск фактического решения представляет собой не что иное, как применение начальных условий и поиск констант, которые входят в общее решение.

Неявное/явное решение

В этом случае проще определить явное решение, затем рассказать, чем неявное решение не является, а затем привести пример, показывающий разницу. Итак, это то, что мы будем делать. 2} — 3} \]

В этом случае мы смогли найти явное решение дифференциального уравнения. Следует, однако, отметить, что не всегда удается найти явное решение.

Также обратите внимание, что в этом случае мы смогли получить только явное фактическое решение, потому что у нас было начальное условие, которое помогло нам определить, какая из двух функций будет правильным решением.

Теперь мы разобрались с большинством основных определений и можем перейти к другим темам.

Курс дифференциальных уравнений онлайн

Популярный онлайн-курс «Дифференциальные уравнения» использует современный подход дифференциальных уравнений — мы забываем большую часть классической техники бумаги и карандаша — и вместо этого используйте современную учебную программу по исчислению и математике — глядя на дифференциальные уравнения для того, что они означают — не как решить (довольно тривиальные) случаи, которые вы можете сделать вручную. Mathematica — очень мощный инструмент для получить решение любого дифференциального уравнения (если оно есть!), и так… что значит решение? Как вы интерпретируете решение? Что означает график решения? Что делать, если есть небольшие изменения в дифференциальном уравнении? Что такое водитель? Осциллятор? Этот современный подход к дифференциальным уравнениям является превосходным подходом к науке о данных, физике, экономике, и все отрасли науки, использующие математику (т.е. все науки!).

Вот несколько видео из онлайн-курса «Дифференциальные уравнения»:

Курс дифференциальных уравнений

Наука о данных и вычисление расстояний

---

Исчисление расстояний — Отзывы студентов

Дата публикации: 19 января 2020 г.
Отзыв: Дэн П.
Пройденные курсы: Исчисление I, Исчисление II
Отзыв: Я нашел курсы информативными, интересными и, что наиболее важно, эффективными в изучении концепций исчисления. Мои математические способности всегда были очень слабыми, и мне было очень трудно сдать математические курсы бакалавриата. Темп традиционной классной комнаты был слишком быстрым, чтобы концепции могли действительно усвоиться. С исчислением расстояний у меня были курсы, которые преподавались с полной строгостью класса в кампусе, но где я мог не торопиться и действительно учиться материал … и все это при наличии доступа к первоклассной учебной помощи для настоящих профессоров и ассистентов математики. DC дал мне инструменты и уверенность, в которых я нуждался, поэтому после успешного прохождения курсов DC я продолжил и получил степень магистра в области компьютерных наук.

---

Дата публикации: 20 декабря 2019 г.
Отзыв: Билл К.
Пройденные курсы: исчисление I, исчисление II, многомерное исчисление, линейная алгебра
Обзор: я прошел всю серию исчислений с помощью и линейной алгебры Расчет расстояний. Доктор Кертис потратил бессчетное количество часов, переписываясь со мной, отвечая на все вопросы, какими бы тривиальными они ни казались. Доктор Кертис чрезвычайно отзывчив, особенно если студент любопытен и готов много работать. Я не думаю, что когда-либо ждал больше дня, пока доктор Кертис вернет мне блокнот. Доктор Кертис также снимал бы видео о концепциях, если бы я действительно терялся. Материалы курса великолепны. Если вы студент, сидящий на заборе и пытающийся выбрать между обычным классом в классе или классами по исчислению расстояний с Livemath и Mathematica, я бы каждый раз выбирал классы по исчислению расстояний. Занятия по исчислению расстояний более увлекательны.