Дифференцирование онлайн с подробным решением: Производная онлайн. Калькулятор с примерами

Содержание

Вычисление производной функции онлайн | umath.ru

Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.


Вычислено WolframAlpha.

Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени t, если известен путь в зависимоти от времени S(t), задача о нахождении касательной к функции в точке.

Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

Определение. Пусть функция y=f(x)

определена в некоторой окрестности точки x_0. Тогда производной функции y=f(x) в точке x_0 называется предел, если он существует

    \[f

Как вычислить производную функции?

Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных.

Правила дифференцирования

Пусть f

и g — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, c — некоторая вещественная постоянная. Тогда

c

\left({cf}\right)

\left({f + g}\right)

\left({fg}\right) — правило дифференцирования произведения функций

\left({f \over g}\right)

— правило дифференцирования частного функций

(f^g) — дифференцирование функции с переменным показателем степени

(f (g(x))) — правило дифференцирования сложной функции

(f^c) — правило дифференцирования степенной функции

Производная функции онлайн

Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

Производная онлайн

Производная онлайн для решения математики. Быстро решить задачу по нахождению производной в режиме онлайн. Сайт www.matcabi.net позволяет найти производную почти от любой математической функции онлайн. Правильно взять производную функции, продифференцировать сложную функцию по заданной переменной — это быстро и легко с нашим сайтом, позволяющим находить производные онлайн от математических функций. Определить производную онлайн высших порядков, при этом получить точный ответ. На сайте www.matcabi.net нахождение производной онлайн осуществляется мгновенно. Достаточно ввести заданную функцию, указать порядок производной, и ответ получите сразу в режиме онлайн. Ввести функцию, определить порядок производной, получить мгновенный ответ и найти производную онлайн от заданной функции. В математике понятие производной широко применимо, поэтому задачи нахождения производной онлайн встречаются часто. Не все математические сайты способны находить производные функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти производную от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт www.matcabi.net поможет найти производную онлайн и решить поставленную задачу. Используя онлайн решение производных на сайте www.matcabi.net, вы получите точный ответ. Вы можете находить производные от сложных математических функций в режиме онлайн, при этом порядок производной может варьироваться от одного до десяти. Для практических задач по нахождению производной функции онлайн этого вполне достаточно. Решая задачи по нахождению производных функций, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение производных на сайте www.matcabi.net. Необходимо ввести заданную функцию, выбрать порядок производной, получить онлайн решение производной и сравнить ответ с вашим решением. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить онлайн призводную и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибки в решении и вовремя скорректировать ответ при взятии производной от функции онлайн.

Частная производная онлайн

Понятие частной производной применимо только к функциям многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y). Частные производные по переменным x и y записываются в виде ∂z∂x и ∂z∂y соответственно. Сами частные производные ∂z∂x и ∂z∂y также являются функциями двух переменных: ∂z∂xpx,y и ∂z∂yqx,y , поэтому от них тоже можно взять производные:

∂p∂x∂∂x∂z∂x∂2z∂x2

∂q∂y∂∂y∂z∂y∂2z∂y2

∂p∂y∂∂y∂z∂x∂2z∂x∂y

∂q∂x∂∂x∂z∂y∂2z∂y∂x

Производные ∂2z∂x2 и ∂2z∂y2 – являются вторыми частными производными функции z по переменным x и y соответственно. Производные ∂2z∂x∂y и ∂2z∂y∂x – называются смешанными производными функции z по переменным x, y и y, x соответственно. При условии, что функция z и её смешанные производные ∂2z∂x∂y и ∂2z∂y∂x определены в некоторой окрестности точки M(x0,y0) и непрерывны в этой точке, выполняется равенство:

∂2z∂x∂y∂2z∂y∂x

По аналогии, можно ввести производные более высоких порядков, например, запись ∂5z∂x2∂y3 означает, что мы должны продифференцировать функцию z по переменной x два раза, а затем по переменной y три раза, т.е. фактически:

∂5z∂x2∂y3∂3∂y3∂2z∂x2∂∂y∂∂y∂∂y∂∂x∂z∂x

Иногда, для обозначения частных производных некоторой функции z=f(x,y) используют запись вида: fx‘(x,y) и fy‘(x,y), указывая переменную по которой происходит дифференцирование. Таким образом можно обозначать и смешанные производные: fxy»(x,y) и fyx»(x,y) а также вторые производные и производные более высокого порядка: fxx»(x,y) и fxxy»'(x,y) соответственно. Следующие обозначения эквиваленты:

эквивалентные обозначения частных производных

В нашем онлайн калькуляторе для обозначения частных производных используются символы: ∂z∂x ; ∂z∂y ; ∂5z∂x2∂y3 . Пример подробного решения, выдаваемого нашим онлайн сервисом, можно посмотреть здесь.

Производная неявной функции онлайн

Неявная функция — это функция, например y(x), заданная в виде уравнения:

F(x,y(x))=0

Как правило, вместо уравнения F(x,y(x))=0 пишут просто F(x,y)=0 подразумевая, что y есть функция от x.

В качестве примера неявного задания функции, можно привести уравнение окружности:

x2+y2=a2,

уравнение декартового листа:

x3+y3=3∙a∙x∙y (a=const≠0),

и т.д. Все эти примеры можно записать в виде уравнения F(x,y)=0: уравнение окружности: F(x,y)=x2+y2−a2=0, уравнение декартового листа: F(x,y)= x3+y3−3∙a∙x∙y =0.

В связи с тем, что для исследования любой функции (в том числе и заданной неявно) необходимо вычислять производную, задача нахождения производной функции заданной неявно возникает довольно часто. Так, как же найти производную неявной функции? Исчерпывающий ответ на этот вопрос вы получите, воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.
Для того, чтобы решить вашу задачу, для начала перепишите свою функцию в виде уравнения F(x,y)=0. Как это сделать, подробно описано выше (нужно просто перенести все слагаемые в левую часть уравнения, оставив справа 0). Далее вам необходимо определиться, как у вас обозначается переменная и как обозначается функция, которая зависит от этой переменной. В приведенных выше примерах, x — переменная, y — функция, зависящая от x.
Затем, вам необходимо ввести свое уравнение F(x,y) в наш онлайн калькулятор и получить решение вашей задачи.

Открывая новые точки дифференциации

Самые прибыльные стратегии основаны на дифференциации: предлагать клиентам то, чего они ценят, чего нет у конкурентов. Но большинство компаний, стремясь выделиться, сосредотачивают свою энергию только на своих продуктах или услугах. Фактически, у компании есть возможность выделиться на каждом этапе контакта со своими клиентами — с момента, когда клиенты осознают, что им нужен продукт или услуга, до того момента, когда они больше не хотят их и решают избавиться от них. ,Мы считаем, что если компании откроют свое творческое мышление всему опыту своих клиентов с продуктом или услугой — то, что мы называем цепочкой потребления — они смогут открыть возможности для позиционирования своих предложений таким образом, который они и их конкуренты никогда не смогли бы думал возможно.

Возьмем, к примеру, компанию Blyth Industries, производителя свечей. Благодаря дифференциации и перераспределению своей продукции Blyth смогла вырасти из американского производителя свечей, используемых для религиозных целей, с оборотом 2 миллиона долларов, в глобальный бизнес по производству свечей и аксессуаров с объемом продаж почти 500 миллионов долларов и рыночной стоимостью 1 доллар.2000000000. Неплохо для компании, которая, по словам генерального директора Роберта Б. Гергена, «находится в упадке на протяжении 300 лет». История Блайта — это просто проявление силы стратегической дифференциации.

История бизнеса полна историй о предпринимателях, которые наткнулись на прекрасную идею, которая затем стала краеугольным камнем успешной компании. Но поиск способов выделить свою компанию не обязательно должен быть проявлением гения или интуиции. Это навык, который можно развивать и развивать.Мы разработали двухэтапный подход, который может помочь компаниям постоянно выявлять новые точки дифференциации и развивать способность генерировать успешные стратегии дифференциации. Первая часть, «Отображение цепочки потребления», отражает общее впечатление клиента от продукта или услуги. Второй, «Анализ впечатлений клиентов», показывает менеджерам, как направленный мозговой штурм по каждому этапу цепочки потребления может выявить множество способов дифференцировать даже самый простой продукт или услугу.

Отображение цепочки потребления

Как мы уже говорили, первым шагом к стратегической дифференциации является отображение всего опыта взаимодействия вашего клиента с вашим продуктом или услугой. Мы рекомендуем компаниям выполнить это упражнение для каждого важного сегмента клиентов.

Первый шаг — составить карту всего опыта взаимодействия вашего клиента с продуктом.

Для начала соберите группы из всех сфер деятельности вашей компании — в частности, из тех сотрудников, которые используют маркетинговые данные, и тех, кто общается с клиентами лично или по телефону.Поручите группам определить для каждого основного сегмента рынка все этапы, через которые проходят клиенты с момента, когда они впервые узнают о вашем продукте, до момента, когда им, наконец, придется избавиться от него или прекратить его использование.

Естественно, у каждого продукта или услуги будет своя цепочка потребления. Однако некоторые виды деятельности являются общими для большинства сетей. Обдумайте следующие вопросы, каждый из которых иллюстрирует одно из этих действий. Затем, когда группа начинает понимать особые отношения между вашими клиентами и вашими продуктами, задавайте вопросы о более сложных действиях, имеющих отношение к вашему бизнесу.

Как люди узнают о своей потребности в вашем продукте или услуге?

Знают ли потребители, что вы можете удовлетворить их потребности? Знают ли они, что у них есть потребность, которую можно удовлетворить? Ваша компания может создать мощный источник дифференциации, если сможет дать потребителям уникальную и тонкую информацию о потребности.

Рассмотрим проблему дифференциации повседневного потребительского товара, такого как зубная щетка. Для многих людей чистка зубов — это ритуал, которому они уделяют относительно мало внимания.Как следствие, многие щетки используются намного дольше того момента, когда их щетина изнашивается и перестает быть эффективной. Производитель зубных щеток Oral-B нашел способ извлечь выгоду из этой широко распространенной привычки. Компания, внедрив запатентованный синий краситель в центральную щетину своих зубных щеток, нашла способ заставить щетку общаться с покупателем. По мере использования кисти краска постепенно тускнеет. Когда краситель исчез, щетка перестает действовать и ее следует заменить. Таким образом, клиенты узнают о потребности, которая раньше оставалась незамеченной.Пока что идея звучит как что-то из Marketing 101. Особую ценность ей придает то, что потребность может быть удовлетворена

только с помощью запатентованного процесса Oral-B. Компания превратила дифференциацию в конкурентное преимущество.

Как потребители находят ваше предложение?

Возможности дифференциации на основе процесса поиска включают предоставление вашего продукта в то время, когда другие недоступны (круглосуточные телефонные линии для заказа), предложение вашего продукта там, где конкуренты не предлагают свой (магазины mini McDonald’s в Wal-Mart магазины) и сделать ваш продукт повсеместным (Coca-Cola).Сделать процесс поиска менее сложным, более удобным, менее дорогим и более привычным — все это способы, которыми компании могут выделиться. И когда конкуренты не могут или не хотят делать то же самое — по крайней мере, не сразу, — у вас есть потенциал для стратегического преимущества.

Одним из примеров является быстрый рост продаж по каталогам в каналах, где раньше доминировали розничные сети. Теперь потребители могут получать подробную и самую последнюю информацию о захватывающем дух ассортименте товаров по телефону или через Интернет, не испытывая неудобств, связанных с посещением выставочного зала, и часто неадекватными знаниями персонала торгового зала.PC Connection & Mac Connection, компания, которая продает компьютеры через свой каталог, управляет бесплатным круглосуточным телефонным номером семь дней в неделю для людей, которым нужна информация о компьютерах, программном обеспечении и сопутствующих продуктах. , Когда звонящий выражает заинтересованность в покупке компьютерной системы, представитель компании задает ряд вопросов, чтобы сузить круг возможных вариантов до нескольких хороших кандидатов. Затем представитель и покупатель могут подробно обсудить каждый вариант. Что примечательно в этом подходе, так это то, что он, по сути, позволяет потребителям адаптировать поиск в соответствии со своими потребностями.

Как потребители делают окончательный выбор?

После того, как потребитель сузил круг возможностей, он должен сделать выбор. Можете ли вы сделать процесс выбора более комфортным, менее раздражающим или более удобным? Ищите идеальную ситуацию, в которой процедуры конкурентов фактически отговаривают людей от выбора их продуктов, в то время как ваши процедуры побуждают людей приходить к вам. Citibank в течение многих лет захватил значительную долю студенческого рынка кредитных карт, просто облегчая студентам получение карты, в то время как конкуренты затрудняли это.

Можете ли вы сделать процесс покупки более удобным и менее раздражающим?

Еще один пример такой динамики наблюдается сейчас в бизнесе подержанных автомобилей. Для многих потенциальных клиентов выбор подержанного автомобиля становится тяжелым испытанием — до такой степени, что один генеральный директор крупного автопроизводителя заметил, что некоторые люди предпочли бы иметь корневой канал. Но новый метод выбора автомобилей трансформирует отрасль. Такие компании, как CarMax Auto Superstore и AutoNation USA, сделали выбор в пользу своей конкурентоспособности.В автосалоне Car-Max клиенты сидят перед компьютером и указывают, какие функции им нужны в автомобиле. Затем они могут в частном порядке просмотреть подробные описания автомобилей, которые могут удовлетворить их потребности. Указана окончательная (и единственная) цена для каждого автомобиля. Затем продавец позволяет покупателям осматривать интересующие их автомобили и оформляет все документы, если они решат их купить. «Продажа» осуществляется не продавцами, а процессом отбора, который покупатели создают для себя.

CarMax и AutoNation «продают» автомобили, позволяя клиентам создавать свои собственные процедуры выбора.

Как клиенты заказывают и покупают ваш продукт или услугу?

Этот вопрос особенно важен для относительно недорогих товаров в больших объемах. Может ли компания выделиться, сделав процесс заказа и покупки более удобным?

American Hospital Supply произвела революцию в своей отрасли, радикально упростив процесс заказа и пополнения запасов для таких продуктов, как бинты, средства для отжимания языка, шприцы и дезинфицирующие средства.Компания установила компьютерные терминалы в каждой больнице и в магазине медицинских товаров, с которыми она работала. Терминалы подключали этих клиентов напрямую к системе компании, позволяя осуществлять прямые поставки и автоматическое пополнение запасов, когда запасы упали ниже определенного уровня. Компания Hallmark использует аналогичный подход для своих поздравительных открыток.

Многие компании, включая производителей мороженого и производителей кормов для домашних животных, также используют этот метод для наполнения полок супермаркетов, пользуясь преимуществами предпочтительного доступа к этим важным торговым точкам, а также превосходных дисплеев.Еще одно, более тонкое преимущество этой формы дифференциации состоит в том, что она накладывает затраты на переключение для клиентов, которые могут испытать соблазн попробовать другого поставщика. После того, как клиенты вошли в систему, переход на них обходится дорого; этот сдерживающий фактор создает барьер для конкуренции и, опять же, является потенциальным стратегическим преимуществом для поставщика.

Как доставляется ваш продукт или услуга?

Поставка предоставляет множество возможностей для дифференциации, особенно если продукт является импульсной покупкой или если он нужен покупателю немедленно.Вернемся к нашему каталогу компьютерного дилера, PC Connection. Клиенты могут позвонить по бесплатному номеру телефона уже в 3 часа ночи, чтобы получить посылку товаров, имеющихся на складе, «на следующий день». Как компания это делает? Возможны удивительные сроки выполнения работ, поскольку складские и распределительные объекты удобно расположены рядом с узлом Airborne Express. Пакеты можно забрать на складе, передать в Airborne и отправить заказчику в считанные часы. Эта стратегия доставки не только приносит реальную выгоду для клиентов, но, поскольку существует ограниченное количество возможностей для такого соединения склада и концентратора, конкурентам будет трудно принять ту же стратегию.

Что происходит при доставке вашего продукта или услуги?

Часто упускаемая из виду возможность дифференциации заключается в рассмотрении того, что должно произойти с момента поставки компанией продукта до момента его фактического использования клиентом. Открытие, осмотр, транспортировка и сборка продуктов часто являются серьезными проблемами для клиентов.

Это касается даже предоставления услуг. Подумайте, насколько сложно может быть, чтобы страховая компания обработала и выплатила претензию об автокатастрофе.Теперь рассмотрим, как компания Progressive Insurance of Cleveland, штат Огайо, решила эту проблему. У компании есть парк специалистов по урегулированию убытков, которые ежедневно выезжают на дороги, готовые немедленно выехать на место любой автомобильной аварии на своей территории. Там они могут записывать всю необходимую информацию и часто урегулировать претензии страхователей на месте. Этот процесс значительно повысил удовлетворенность клиентов за счет устранения хлопот и задержек, которые так часто сопровождают традиционные методы отчетности, проверки и оценки. Дополнительным преимуществом для компании является то, что ее подход также снизил количество случаев мошенничества, уменьшив возможность подачи ложных претензий и увеличения счетов за ремонт.

Как устанавливается ваш продукт?

Этот этап в цепочке потребления особенно актуален для компаний со сложной продукцией. Например, установка представляет собой огромный барьер для производителей компьютеров, пытающихся прорваться на рынок начинающих пользователей ПК. Известно, что новички в компьютерах нетерпимы к таким сообщениям на экране, как «Disk Error 23.»

Компания Compaq нашла ценный способ отличиться: она предоставляет клиентам удобное для пользователя видео по установке.

Compaq Computer с его линией Presario был одним из первых, кто нацелился на установку в качестве источника дифференциации. Вместо того, чтобы предоставить руководство, заполненное технической терминологией, Compaq предлагает своим клиентам плакат, наглядно иллюстрирующий десять этапов установки. Компания использует шнуры, кабели и розетки с цветовой кодировкой, чтобы еще больше упростить установку, а также оснастила свои компьютеры таким образом, чтобы веселая видео- и аудиопрезентация проводила новых пользователей через процесс настройки и регистрации, когда они впервые включают машину.

Как оплачивается ваш продукт или услуга?

Многие компании невольно доставляют своим клиентам серьезные трудности с их платежной политикой. Вот тест, чтобы увидеть, может ли оплата быть такой проблемой для ваших клиентов: подойдите к отделу дебиторской задолженности и попросите показать копию последнего счета. Если ваша компания составляет примерно 80% из тех, с которыми мы работали, счет будет практически непонятным. Зачем? Потому что счета-фактуры обычно разрабатываются системными людьми для систем, а не клиентами.Учитывая распространенность этой ситуации, ваша компания может найти возможности выделиться, сделав весь процесс оплаты более понятным для клиентов.

Вы можете открыть для себя еще больше возможностей, если переосмыслите, почему ваша компания в первую очередь использует текущую платежную политику. Однажды мы работали с компанией, занимающейся регулированием энергопотребления, которой было нелегко продавать свои услуги владельцам жилых кооперативов. При каждом кооперативе компания сталкивалась с противодействием твердого ядра собственников, сопротивлявшихся капитальным затратам, связанным с установкой системы управления энергопотреблением.В итоге компания завоевала огромную долю рынка кооперативов, изменив свою политику. Клиенты больше не платят предоплату за установку; вместо этого они платят со временем за счет экономии энергии.

Как хранится ваш товар?

Когда покупателям дорого, неудобно или совершенно опасно держать продукт без дела, возможностей для дифференциации предостаточно. Компания Air Products and Chemicals, производитель промышленных газов, стала доминировать в своих рыночных сегментах, решив проблему хранения.Понимая, что большинство ее клиентов — химических компаний — предпочли бы избежать бремени хранения огромного количества опасных газов под высоким давлением, Air Products построила небольшие заводы по производству промышленного газа рядом с объектами клиентов. Переезд порадовал клиентов; это также привело к расходам на переключение. Лучше всего то, что после открытия завода Air Products у конкурентов не было возможности переехать сюда.

Как перемещается ваш продукт?

С какими трудностями сталкиваются клиенты, когда им приходится перевозить товар из одного места в другое? Независимо от того, идет ли путь через комнату или через штат, этот шаг в цепочке потребления — еще одна часто упускаемая из виду возможность дифференциации.Задайте себе следующие вопросы: считает ли покупатель продукт хрупким? Трудно упаковать? Неудобно двигаться?

Рассмотрим, как маркетинговая команда Джона Скалли в Pepsi-Cola использовала упаковку как способ отличить Pepsi от Coke. Команда Скалли создала явное, хотя и временное, преимущество для Pepsi в начале 1970-х годов, разработав пластиковые бутылки, которые были легче и, следовательно, их легче было носить с собой, чем тяжелые стеклянные бутылки того времени. Прелесть этого шага заключалась в том, что он не только облегчил переноску газировки, но и уменьшил преимущество хорошо известной стеклянной бутылки Coke.В то время было трудно производить пластиковые бутылки такой формы.

Для чего на самом деле покупатель использует ваш продукт?

Поиск лучших способов для клиентов использовать продукт или услугу — сильное отличие. И таких возможностей предостаточно, особенно для компаний, продукция которых дорогая и используется относительно редко. Подразделение транспортных систем General Electric, которое производит дизель-электрические локомотивы, использовало этот этап в цепочке потребления в качестве основы для переосмысления своего бизнеса.

За некоторыми исключениями, не все железные дороги, являющиеся заказчиками локомотивов GE, привязаны к конкретному подразделению. Что они действительно хотят знать, так это то, что если у них есть груз для отправки, будет ли локомотив, чтобы его перевезти? GE работает над соглашением, согласно которому компания будет гарантировать, что локомотив будет доступен по запросу. По этой договоренности GE возьмет на себя управление всеми двигателями в системе заказчика. Это избавит заказчика от проблем, связанных с ремонтом и техническим обслуживанием, а также получит экономию от масштаба за счет управления всей сетью.Более того, входной барьер, создаваемый такой системой, может быть огромным.

В чем нуждаются клиенты при использовании вашего продукта?

Компания, получившая наиболее полезный ответ, имеет здесь значительное преимущество. У GE, например, есть чрезвычайно популярный номер 800, который доступен 24 часа в сутки, чтобы помочь людям, испытывающим трудности с использованием каких-либо потребительских товаров компании. Точно так же круглосуточная горячая линия Butterball Turkey отвечает на вопросы сотен клиентов каждый День Благодарения.Компания Butterball недавно дополнила свою горячую линию домашней страницей в Интернете и руководством по приготовлению индейки, которое клиенты могут скачать.

А как насчет возврата или обмена?

Слишком много компаний вкладывают все свои усилия в сбытовую сторону жизненного цикла продукта, забывая, что долгосрочная лояльность требует внимания к потребностям клиентов на протяжении всего их опыта работы с продуктом. Правильное решение проблем, когда продукт не работает, может быть столь же действенным, как удовлетворение потребности, которая мотивировала первоначальную покупку.

Nordstrom серьезно относится к своей политике возврата без вопросов, и в результате покупатели полностью удовлетворены.

Nordstrom — отличный пример компании, которая серьезно отнеслась к этому вопросу. Розничный торговец одеждой получил широкую огласку в 1970-х годах, когда один из менеджеров его магазина «забрал» комплект шин у покупателя, несмотря на то, что Nordstrom не продавал шины. Сосредоточив внимание и активно продвигая свою политику возврата без вопросов, Nordstrom укрепил свои позиции в качестве компании, предоставляющей уникальное обслуживание клиентов.Покупатели могут быть недовольны брендами, которые они возвращают, но они не недовольны магазином.

Как ремонтируют или обслуживают ваш продукт?

Как подтвердят многие пользователи высокотехнологичной продукции, ремонт — как хороший, так и плохой — может повлиять на срок службы последующих покупок.

Идеальное решение, используемое Tandem Computers — компанией, которая производит компьютеры с параллельными центральными процессорами для приложений, в которых время простоя является серьезной проблемой, — это попытаться отремонтировать продукт еще до того, как заказчик узнает о необходимости такого обслуживания.Сотрудники Tandem могут обнаружить неисправный компонент с помощью удаленной диагностики, отправить заказчику соответствующую деталь и инструкции экспресс-почтой и провести его через процесс ремонта по телефону. Такой подход почти полностью устранил дорогостоящие и неудобные простои для клиентов компании; это также устранило их потребность в дорогостоящих сервисных силах на месте.

Otis Elevator использует удаленную диагностику другим способом. В офисных зданиях с высокой проходимостью, где обслуживание лифтов является серьезным неудобством как для пассажиров, так и для посетителей, Отис использует свои возможности удаленной диагностики для прогнозирования возможных перебоев в обслуживании.Отправляет сотрудников на профилактические работы в вечернее время, когда движение транспорта мало.

Что происходит, когда ваш продукт утилизируется или больше не используется?

В мире, в котором становится все более экономичным просто заменять многие продукты по мере их старения, а не тратить деньги на их ремонт, что покупатели делают с устаревшими товарами?

Canon предлагает интересный пример того, как компания может выделиться на этом этапе цепочки. Компания разработала систему, которая позволяет клиентам возвращать использованные картриджи для принтеров за счет Canon.Затем картриджи восстанавливаются и перепродаются как таковые. Этот процесс упрощает для клиентов возврат использованных картриджей: все, что им нужно сделать, — это сдать предоплаченную посылку на станцию ​​сбора United Parcel Service. В то же время это улучшает имидж Canon как экологически чистой организации.

Анализ впечатлений клиентов

Хотя составление схемы цепочки потребления само по себе является полезным инструментом, стратегическая ценность нашего подхода заключается в следующем шаге: анализе впечатлений ваших клиентов.Цель состоит в том, чтобы лучше понять клиента, оценив контекст, в котором разворачивается каждый шаг цепочки потребления. Очень важно помнить, что клиент всегда взаимодействует с людьми, местами, событиями или действиями. Эти взаимодействия определяют чувства клиента к вашему продукту или услуге на каждом звене цепочки. Когда они рассматриваются со стратегической точки зрения, они могут определять динамику конкуренции за бизнес этого клиента.

По сути, этот шаг включает рассмотрение того, как серия простых вопросов — что, где, кто, когда, и , как — применима к каждому звену в цепочке потребления.Мы обнаружили, что самый полезный способ подойти к этому упражнению — это попросить группу людей из компании начать свой путь с любого из своих вопросов и проводить мозговой штурм, пока их идеи не иссякнут. Иногда заданный вопрос не приводит к какому-либо конкретному пониманию. Это не проблема; цель состоит в том, чтобы собрать перечень возможных точек дифференциации. Когда идеи будут на столе, вы можете оценить каждую из них и выбрать наиболее перспективные для вашей ситуации.

Чтобы проанализировать опыт клиентов, подумайте, как пять простых вопросов применимы к каждому звену цепочки.

Компания

Blyth Industries, производитель свечей, о которой мы упоминали ранее, представляет собой хороший пример того, как анализ опыта ваших клиентов работает на практике. Изучив варианты, выявленные в результате их анализа, сотрудники Blyth смогли взять прозаичный продукт, который легко имитировать, и создать выгодное конкурентное преимущество. Здесь важно понимать, что Блит не претендует на то, чтобы создать легендарное «устойчивое конкурентное преимущество» — столь любимое из стратегических текстов — в любом отдельном сегменте рынка свечей.Скорее, компания стремится первой создать и затем доминировать во многих небольших нишах в быстрой последовательности с течением времени, получая экономию от распространения и масштабирования за счет огромного количества продуктов, имеющихся на рынке.

Рассмотрим некоторые возможности, которые открыли сотрудники Blyth, когда применили вопросы к своему бизнесу:

Что?

Что делают клиенты на каждом этапе цепочки потребления? Чем еще они хотели бы заниматься? Какие проблемы они могут испытывать? (Эти проблемы могут не иметь прямого отношения к вашему продукту или услуге.) Что вы можете сделать, чтобы улучшить их опыт, пока они находятся на этом этапе цепочки?

Производители свечей могли бы изучить возможность предложения полного «опыта при свечах».

Свечи, если задуматься, могут играть роль в повседневной жизни по-разному. Среди прочего, они используются для празднования дней рождения, создания праздничной атмосферы для званых обедов, горячих блюд шведского стола, справляются с отключениями электроэнергии и задают настроение для романтических вечеров.Свечи можно купить в специализированных магазинах, на ярмарках ремесел, в супермаркетах и ​​карточных магазинах. Кроме того, их использование может сопровождаться огромным разнообразием контейнеров, дисплеев, акцентов и товаров, создающих настроение. Все это говорит о том, что производители свечей могли бы преуспеть, изучив возможность предложить полный «опыт при свечах», производя или продавая дополнительные продукты.

Где?

Где находятся ваши клиенты на данном этапе цепочки потребления? Где еще они могли быть? Где бы они хотели быть? Можете ли вы организовать их присутствие? Есть ли у них какие-либо опасения по поводу своего местонахождения?

Поскольку свечи могут иметь очень много применений, неудивительно, что существует так много потенциальных мест для их использования.Свечи можно найти на пляже, на пикниках, на выпускных вечерах, на свадьбах, дома, в ресторанах, на детских днях рождения и в местах поклонения. Для Blyth быстро стало очевидно, что озабоченности и модели поведения его клиентов, вероятно, будут разными в каждом месте. Это понимание предполагает возможность дифференциации на основе местоположения.

Например, рассмотрим, как свечи используются в доме. Практически каждая комната в доме имеет потенциал: столовая, гостиная, кухня, спальня, ванная комната и подвал, возможно, могут служить местом для свечей, каждая по разным причинам.

Кто?

Кто еще находится с клиентом в любом данном звене цепи? Есть ли у этих людей какое-то влияние на клиента? Важны ли их мысли или проблемы? Если бы вы могли это организовать, кто еще мог бы быть с покупателем? Если бы вы могли это организовать, как эти люди могли бы повлиять на решение клиента купить ваш продукт?

Отточив образ мыслей Блайта о домашних свечах, подумайте об использовании свечей в столовой.Кто еще там будет? Другими людьми могут быть ближайшие родственники или родственники, партнеры по бизнесу, близкие друзья или жених. Каждый тип человека означает возможную точку дифференциации; каждый тип означает разный опыт, разное настроение и разное время.

Когда?

Когда — в какое время дня или ночи, в какой день недели, в какое время года — ваши клиенты находятся на каком-либо звене в цепочке? Это время вызывает какие-то проблемы? Если бы вы могли это организовать, когда бы они были по этой ссылке?

Возьмите сценарий столовой с семьей.Блит обнаружил, что вопрос против открывает множество возможностей для дифференциации. Свечи используются в обеденном зале с семьей в дни рождения, юбилеи, праздники и выпускные дни, а также во время трапезы в других особых случаях. Каждый случай дает уникальный опыт. Для свечника важно то, что каждая из них также вызывает определенные эмоции. Сотрудники Blyth смогли определить, что стало несколькими успешными новыми областями дифференциации, изучив, как их свечи могут иметь особую форму, цвет или аромат.Они также придумали множество способов упаковать свечи и комбинировать их с такими аксессуарами, как салфетки, в зависимости от ситуации. Свечи, предназначенные для использования с членами семьи на День Благодарения, например, могут быть ароматизированы корицей, окрашены в тона, связанные с праздником, и продаваться со специальными держателями.

Поскольку бывает много праздников и других случаев, когда семьи собираются вместе в столовой, вы можете начать понимать возможности, доступные для дифференциации.Более того, этот процесс можно повторить для любого количества разных спутников и настроек, которое может вообразить воображение ваших сотрудников. Blyth, например, также нашел потрясающую возможность дифференцировать свои продукты для романтических обедов. Генеральный директор Goergen работал трудно разработать ароматизированные свечи в различных формах, с тем чтобы повлиять на атмосферу в таких случаях, так что, как он говорит, «еда становится столовыми и столовая становится романом.»

Как?

Как удовлетворяются потребности ваших клиентов? Есть ли у них какие-либо опасения по поводу того, как ваша компания удовлетворяет их потребности? Как еще вы могли бы уделить внимание их потребностям и заботам?

Подумайте о том, как свечи используются на открытом воздухе, например, на корпоративном барбекю.На ум приходят свечи с цитронеллой. Они не только создают праздничную атмосферу, но и служат прекрасным средством защиты людей от укусов насекомых.

Как мы видели, существует значительный потенциал для дифференциации даже в продуктах, настолько простых, что на первый взгляд они кажутся товарами. Свечи всего лишь одно. Бензин — другое. (См. Выставку «Есть ли способ дифференцировать продажу газа?»). Понимание опыта потребителя на любом звене цепочки в отношении любого продукта дает компаниям возможность определить и изучить множество нетрадиционных способов создания ценности.Тогда задача превращается в выбор из этого богатства возможностей; рассмотрение того, как каждая идея сочетается с конкретными навыками, активами и системами компании; и сосредоточение внимания только на тех, которые могут создать конкурентное преимущество. Каждая идея также может открыть возможность развить новую компетенцию.

Можно различить даже такой простой продукт, как бензин.

Слишком много компаний преследуют новые идеи, которые кажутся отличными, без тщательной оценки того, подходят ли их организации для этого и насколько быстро могут отреагировать конкуренты.Роберт Герген знает, что у Blyth Industries есть определенные сильные стороны, которых нет у его конкурентов, включая несколько уникальных производственных технологий и, что более важно, глубокое знание ароматов. Эти особые сильные стороны в сочетании с твердым пониманием клиентов, основанным на исследованиях рынка, дают Blyth преимущество. Таким образом, Герген оценивает возможности дифференциации на основе этих соображений и продвигается вперед только с идеями, которые обещают максимальную отдачу.

Сосредоточенное творчество

Практически в каждой компании, с которой мы когда-либо работали, есть множество людей, обладающих значительным творческим потенциалом и воображением.К сожалению, слишком часто компания никогда не получает выгоды, потому что этот талант не сфокусирован должным образом. Его даже можно подавить гомогенизирующим давлением, которое стремится оказать любая крупная организация.

Важным преимуществом процесса, который мы описали выше, является то, что он раскрывает творческий потенциал в организации, так что понимание конкретных людей может способствовать общему пониманию клиента — так что компания, по сути, знает своих клиентов почти лучше, чем они знают себя.Компании, которые делают это успешно, обнаруживают, что глубоко настроены на свои рынки. И, как предприниматели, они тратят имеющееся у них воображение вместо денег, которых им может не хватать, чтобы превзойти конкурентов там, где это важно.

Версия этой статьи появилась в выпуске Harvard Business Review за июль – август 1997 года. ,

9 лучших стратегий дифференцированного обучения для CTE

Переключить навигацию

Служба поддержки Войти в систему

  • Учебная программа
    • Здравоохранение
    • Бизнес-образование
    • Готовность к карьере
    • Компьютерные приложения
  • Историй успеха
    • Центр здоровья 21
    • Бизнес и ИТ-центр21
  • Стоимость
    • Центр здоровья 21
    • Бизнес и ИТ-центр21
  • Учебный центр
  • Блог
  • О компании
    • О AES
    • Познакомьтесь с командой
    • Карьера в AES
  • Категории
  • Подписывайтесь на нас
  • Подписывайся
  • Последние
  • Здравоохранение
  • Бизнес-образование
  • Компьютерные приложения
  • Готовность к карьере
  • Обучающие стратегии
  • Обновления AES
.

Дифференциация — Учебный материал для IIT JEE

 


Деривативы

Производная — это скорость изменения наклона кривой функции .

Производная можно найти по формуле

Derivatives

В некоторых местах производные также представлены fꞌ (x).

Дифференциация

Процесс поиска производной называется Дифференциация . Обычно зависимая переменная выражается через независимые переменные с помощью уравнения. Теперь, когда мы находим дифференциальный коэффициент зависимой переменной Differentiation по отношению к независимой переменной, мы пытаемся найти другое уравнение, по которому изменение зависимой переменной (для любого бесконечно малого изменения независимой переменной) связано с независимая переменная, каким бы ни было значение независимой переменной.

Следовательно, производная — это мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных. Неформально, производная — это отношение бесконечно малого изменения выхода к бесконечно малому изменению входа, вызывающему это изменение выхода. Геометрически для действительной функции от одной действительной переменной производная в точке равна наклону касательной к графику функции в этой точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Фактически, дифференцирование и интегрирование — две фундаментальные операции в исчислении одной переменной.На приведенном ниже рисунке показана точная разница между интегрированием и дифференцированием:

Differentiation vs. Integration

Обозначение

Есть несколько способов записать производную функции. Хотя все они одинаковы, но их необходимо знать, чтобы избежать путаницы:

Предположим, мы находим производную от x 2 , тогда ее производная может быть записана как:

  • Если y = x 2 , dy / dx = 2x

  • d / dx (x 2 ) = 2x

Это говорит о том, что производная x 2 по x равна 2x.

Это означает, что f (x) = x 2 , производная f (x) равна 2x.

Геометрическая интерпретация дифференциации

Пусть y = f (x) — функция, и пусть P (a, f (a)) и Q (a + h, f (a + h)) — две точки на графике функции, близкие к друг друга. Этот график показан ниже:

Geometrical Interpretation of Differentiation

Соединение точек P и Q прямой линией дает нам секанс на графике функции. А в? PQR градиент линии равен

.

m = {f (a + h) — f (a)} / (a ​​+ h-a) = {f (a + h) — f (a)} / h

В процессе ограничения, т.е.е. когда Q приближается к P, h становится действительно малым, почти близким к нулю.

Следовательно, m = (изменение y) / (изменение x)

= {f (a + h) — f (a)} / ч

lim ч → 0 (? Y /? X) = {f (a + h) — f (a)} / ч

При Q → P хорда / секущая PQ стремится быть касательной в точке P кривой y = f (x). Таким образом, ограничение становится наклоном касательной в точке P для y = f (x).

Обозначим lim h → 0 (? Y /? X) = dy / dx, а

lim h → 0 [f (a + h) — f (a)] / h = f ’(a)

Следовательно, dy / dx = f ’(a) = m

Итак, мы уже видели, что «m» — это наклон или градиент касательной в точке P для f (x).

f ’(a) = tan θ = наклон f (x) при x = a.

Правила дифференциации

Разграничение функций осуществляется по некоторым правилам. Эти правила дифференциации перечислены с помощью следующей таблицы:

Rules of Differentiation

Все эти правила будут подробно рассмотрены в следующих разделах. Здесь мы дадим краткое описание этих правил:

(1) Постоянное правило:

Если функция f постоянная, то ее производная равна нулю.Более того, если функция умножается на константу, то ее производная равна

.

{cf (x)} ‘= cf’ (X)

(2) Правило суммы:

{f (x) ± g (x)} ‘= f’ (x) ± g ‘(x)

(αf + βg) ‘= αf’ + βg ‘для всех функций f и g и действительных чисел α и β.

(3) Правило продукта:

(fg) ‘= f’g + g’f для всех функций f и g.

(4) Правило частного:

(f / g) ‘= (f’g — fg’) / g 2 , для всех функций f и g таких, что g ≠ 0.

(5) Правило цепочки:

Если f (x) = h (g (x)), то f ‘(x) = h’ (g (x)). г ‘(х)

Rules of Differentiation Итак, при использовании цепного правила помните следующие моменты:

(i) Выразите исходную функцию как более простую функцию от u, где u — функция от x.

(ii) Разграничьте две функции, которые у вас есть. Умножьте производные вместе, оставив свой ответ в терминах исходной функции (т.е. в x, а не в u).


Логарифмическое дифференцирование

Чтобы различать некоторые специальные функции с помощью логарифма, называется Дифференциация логарифмов . Когда дифференцировать функцию сложно, мы используем дифференцирование с использованием логарифмов.
Логарифм Дифференциация начинается с натурального логарифма, то есть логарифма по основанию e с обеих сторон.

Для вычисления производной от:

y = g 1 (x) g 2 (x) g 3 (x)… .. или [(g 1 (x) g 2 (x) g 3 (x) )….) / (Ч 1 (x) ч 2 (x) ч 3 (x)….)

  • Функция вида [f (x)] g (x) где f и g выводимы, лучше сначала логарифм функции, а затем дифференцировать.

  • Или мы можем записать это как y = (f (x)) g (x) = e g (x).ln f (x) ?

Пример

Дифференцировать y = xx

Решение:

у = хх

Возьмем логарифм в обе стороны

In y = In xx

= x дюйм x

Теперь мы будем различать обе стороны, используя правило цепочки в левой части, поскольку y представляет собой функцию от x, и воспользуемся правилом произведения в правой части.

Rules of Differentiation

Умножаем обе стороны на y

yꞌ = y (1 + In x)

= x x (1 + In x)


? Перечислим некоторые формулы дифференцирования для нахождения производной функций:

Differentiation Formulae

Ниже приведены еще несколько формул некоторых логарифмических и тригонометрических функций:

d / dx (x x ) = x x (1 + ln x)

d / dx (log a x) = 1 / x ln a

d / dx (log a f (x)) = 1 / f (x) ln a.д / дх ф (х)

d / dx (грех х) = (грех х) ‘= соз х

(cos x) ‘= -sin x

(tan x) ‘= сек 2 x

(сек x) ‘= сек x загар x

(cosec x) ‘= -cosec x детская кроватка x

(детская кроватка x) ‘= -cosec 2 x


шагов дифференцирования логарифмов

Логарифм Дифференциация — это ярлык, который помогает дифференцировать без использования правила продукта.

Differentiation Formulae

Если нам нужно дифференцировать указанную выше функцию, то нам вообще не нужно ее умножать

Шаг 1 : Мы можем взять натуральный логарифм обеих частей.

Differentiation Formulae

Шаг 2 : используйте правило продукта журнала.

лог a (м × n) = лог a м + лог a n

Так будет так

Differentiation Formulae

Шаг 3 : Различите обе стороны, используя цепное правило дифференцирования.

Differentiation Formulae

Шаг 4 : Умножьте обе стороны на f (x).

Differentiation Formulae

Теперь мы обсудим некоторые примеры дифференциации, за которыми следуют некоторые вопросы дифференциации:

Рисунок 1:

Каков уклон кривой y = 2x 3 в точке (3, 54)?

Решение:

Градиент кривой задается ее производной, поэтому вопрос на самом деле требует, чтобы вы вычислили производную.

Производная: dy / dx = 6x 2

Когда x = 3, dy / dx = 6 × 9 = 54.

Следовательно, требуемый уклон составляет 54.

________________________________________________________________________________

Иллюстрация 2:

Найдите производную от Differentiation Formulae

Решение:

Мы будем использовать правило частного, чтобы найти производную.

Differentiation Formulae

Теперь мы знаем, что

Differentiation Formulae ……….(1)

Differentiation Formulae ……. (2)

Следовательно, объединяя (1) и (2), получаем требуемый ответ.

_______________________________________________________________________________

Рисунок 3:

Найдите производную f (x) = x 4 + sin (x 2 ) — ln (x) e x + 7.

Решение:

Используя формулы, получаем производную как

Differentiation Formulae

___________________________________________________________________________-

Рисунок 4:

Найдите производную от (x 2 + 5x — 3) / 3 x ½ .

Решение:

Выглядит сложно, но это не так. Уловка состоит в том, чтобы сначала упростить выражение: выполните деление (каждый член в числителе разделите на 3x ½ .

Делая это получаем

(1/3) x 3/2 + (5/3) x ½ — x (по законам индексов).

Итак, дифференцируя по срокам: ½ x ½ + (5/6) x + ½x -3/2 .


Differentiation Formulae Differentiation Formulae

1 кв.И производная, и интеграл этой функции одинаковы

(a) функция e x .

(b) функция e 2x .

(c) функция 2e x .

(d) функция ln x.

2 кв. Если f (x) = h (g (x)), то f ‘(x) =

(а) h ‘(g ’(x)). г (х)

(b) h (g ’(x)). г ‘(х)

(c) h ‘(g (x)). г (х)

(d) h ‘(g (x)). г ‘(х)

3 кв.Производная журнала a x равна

.

(a) 1 / x ln ax

(б) 1 / x ln ax

(c) 1 / x ln ax

(d) 1 / x ln ax

4 кв. Производная постоянной функции:

(а) ноль

(б) сама функция.

(в) постоянная

(d) ни один из этих

Q5. производная функции [f (x)] n равна

(a) n f (x) n (f ’(x))

(b) n f ’(x) n-1 (f (x))

(c) n f (x) n-1 (f ’(x))

(d) f (x) n-1 (f ’(x))

Differentiation Formulae Differentiation Formulae

1 кв.

2 кв.

3 кв.

4 кв.

Q5.

(а)

(г)

б)

(а)

(в)


Связанные ресурсы

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Методы дифференциации , включающие учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д.Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .


Другие материалы

Логарифмическое дифференцирование

Differentiation Formulae

Особенности курса

  • 731 Видео-лекции
  • Примечания к редакции
  • Документы за предыдущий год
  • Интеллектуальная карта
  • Планировщик исследования
  • Решения NCERT
  • Обсуждение Форум
  • Тестовая бумага с видео-решением

,

Дифференциация экспоненциальных и логарифмических функций

Дифференциация экспоненциальных и логарифмических функций

Экспоненциальные функции и соответствующие им обратные функции, называемые логарифмическими функциями , имеют следующие формулы дифференцирования:

Обратите внимание, что экспоненциальная функция f ( x ) = e x имеет особое свойство, заключающееся в том, что ее производной является сама функция, f ′ ( x ) = e x = f ( x ).

Пример 1: Найдите f ′ ( x ), если

Пример 2: Найдите y ′, если .

Пример 3: Найдите f ′ ( x ), если f ( x ) = 1n (sin x ).

Пример 4: Найдите , если y = log 10 (4 x 2 -3 x −5).

,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.