Решение уравнений четвертой степени
В общем случае решение уравнения четвёртой степени осуществляется с использованием методов решения уравнений для высших степеней, например, методом Феррари или с помощью схемы Горнера. Но некоторые уравнения 4-ой степени имеют более простое решение.
Существует несколько особых типов уравнений четвертой степени, со способами решения которых вы познакомитесь ниже:
- Биквадратное уравнения $ax^4+bx^2+c=0$;
- Возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Уравнения вида $ax^4+b=0$.
Решение биквадратных уравнений четвёртой степени
Биквадратные уравнения $ax^4+bx^2+c=0$ сводятся к квадратным путём замены переменной $x^2$ на новую, например, на $y$. После замены решается новое полученное уравнение, а затем значение найденной переменной подставляется в уравнение $x^2=y$. Результатом решения будут корни уравнения $x^2=y$.
Пример 1
Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Раскроем скобки в многочлене:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
В таком виде становится очевидно, что в качестве новой переменной можно выбрать выражение $y=x^2-3x$, подставим её:
$y \cdot (y+2)=24$
$y^2+2y-24=0$
$y_1=4;y_2=-6$.
Теперь решим два квадратных уравнения $x^2-3x=-4$ и $x^2-3x=-6$.
Корни первого уравнения $x_1{1,2}=4;-1$, второе решений не имеет.
Решение возвратных уравнений 4 степени
Эти уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ повторяют своими коэффициентами при младших членах коэффициенты при многочленах со старшими степенями. Для решения такого уравнения сначала делят его на $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac{b}{x} + \frac{a}{x^2}=0$
$a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x}) + c=0$
Затем заменяют $(x+\frac{1}{x})$ на новую переменную, тогда $(x^2+\frac{1}{x^2})=y^2-2$, после подстановки получаем следующее квадратное уравнение:
$a(y^2-2)+by+c=0$
После этого ищем корни уравнений $x+\frac{1}{x}=y_1$ и $x+\frac{1}{x}=y_2$.
Аналогичным методом решаются возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Пример 2
Решите уравнение:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Данное уравнение – возвратное уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Поэтому разделим всё уравнение на $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac{2 \cdot 2}{x}+3 \cdot (\frac{2}{x})^2=0$
$3(x^2+\frac{4}{x^2})-2(x+\frac{2}{x}-9=0$
Произведём замену выражения $x+\frac{2}{x}$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Рассчитаем корни данного уравнения, они равны $y_1=3$ и $y_2=-\frac{7}{3}$.
Соответственно, теперь необходимо решить два уравнения $x+\frac{2}{x}=3$ и $x+\frac{2}{x}=-\frac{7}{3}$. Решение первого уравнения — $x_1=1, x_2=2$, второе уравнение не имеет корней.
Следовательно, корнями исходного уравнения являются $x_1=1, x_2=2$.
Уравнения вида $ax^4+b=0$
Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.
spravochnick.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра
Схема метода Феррари
Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени
| a0x4 + a1x3 + a2x2 + + a3x + a4 = 0, | (1) |
где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
| x4 + ax3 + bx2 + + cx + d = 0, | (2) |
где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
| (3) |
где y – новая переменная.
Тогда, поскольку
то уравнение (2) принимает вид
В результате уравнение (2) принимает вид
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
| y4 + py2 + qy + r = 0, | (5) |
где p, q, r – вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
2sy2 + s2,
где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
| (7) |
то уравнение (6) примет вид
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
или, раскрыв скобки, — в виде
| (9) |
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Действительно,
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
| (10) |
а также квадратное уравнение
| (11) |
Вывод метода Феррари завершен.
Пример решения уравнения 4-ой степени
Пример. Решить уравнение
| x4 + 4x3 – 4x2 – – 20x – 5 = 0. | (12) |
Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
Поскольку
x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 =
= (y – 1)4 + 4(y – 1)3 –
– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 +
+ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –
– 4y2 + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
| y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0. | (14) |
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
| p = – 10, q = – 4, r = 8. | (15) |
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,
которое при сокращении на 2 принимает вид:
| s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0. | (16) |
Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
y2 – 2y – 4 = 0,
корни которого имеют вид:
| (18) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
y2 + 2y – 2 = 0,
корни которого имеют вид:
| (19) |
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Ответ.
Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:
| y4 – 10y2 – 4y + 8 = = (y2 – 2y – 4) (y2 + + 2y – 2). | (20) |
Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение уравнений четвертой степени
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
| Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. | |||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | |||||||||||||
| 2 ∙ 9 — 11 = 7 | |||||||||||||
|
2 ∙ 7 — 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x4 + 5x
Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x3 + 9x2 + 7x — 6.
Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена
Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:
|
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) — 6 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x2 + 5x — 3)
Многочлен 2x2 + 5x — 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3
|
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) — 3 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:
2x4 + 5x3 — 11x2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)
А корнями уравнения являются:
x = ±2; 3; 0.5
tutata.ru
5. Уравнения третьей и четвёртой степени
Заадача№1
Решить уравнение третьей степени по формуле Кардано:
x3-3x2-3x-1=0.
Решение :Приведём уравнение к виду , не содержащему второй степени неизвестного. Для этого воспользуемся формулой
x = y –, где а коэффициент при x2.
Имеем : x=y+1.
(y+1)3-3(y+1)2-3(y+1)-1=0.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены ,получим:
y3— 6y-6=0.
Для корней кубического уравнения y 3+py+q=0 имеется формула Кардано:
yi= (i=1,2,3,),где значение радикала
,=.
Пусть α1 –одно /любое/ значение радикала α. Тогда два других значения находятся следующим образом:
α2= α1ε1 , α3= α1ε2, где ε1= + i, ε2= – i — корень третьей степени из единицы.
Если положить β1= –
Подставляя полученные значение в формулу yi = αi+βi,найдём корни уравнения
yi+py+q =0:
y1= α1+β1,
y2= -1/2(α1+β1) + i( α1-β1),
y3= -1/2(α1+β1) – i( α1-β1),
В нашем случае p = -6, q= — 6.
α= =
Одно из значений этого радикала равно . Поэтому положим α1=. Тогда β1= – = – =,
y1=,
y2= ) + i ),
y2= ) – i ).
Наконец, находим значение x по формуле x = y+1.
x1=
x2= ) + i ) + 1,
x3= ) – i ) + 1.
Задача№2
Решить способом Феррари уравнение четвёртой степени :
x4-4x3+2x2-4x+1=0.
Решение: Перенесём три последних члена в правую часть и оставшиеся два члена дополним до полного квадрата .
x4-4x3=-2x2+4x-1,
x4-4x3+4x2=4x2-2x2+4x-1,
(x2-2x)2=2x2+4x-1.
Введём новое неизвестное следующим образом:
(x2-2x+)2=2x2+4x-1+(x2-2x)y+,
(x2-2x+)2=(2+y)x2+(4-2y)x+() /1/.
Подберём y так, чтобы и правая часть равенства была полным квадратом .Это будет тогда ,когда B2-4AC=0, где A=2+y, B=4-2y, C= -1.
Имеем:B2-4AC=16-16y+4y2-y3-2y2+4y+8=0
Или y3-2y2+12y-24=0.
Мы получили кубическую резольвенту ,одним из корней которой является y=2. Подставим полученное значение y=2 в /1/,
Получим (x2-2x+1)2=4x2.Откуда (x2-2x+1)2-(2x)2=0 или (x2-2x+1-2x) (x2-2x+1+2x)=0.
Мы получим два квадратных уравнения:
x2-4x+1=0 и x2+1=0.
Решая их, находим корни первоначального уравнения:
x1=2-, x2=2+, x3=-I, x4=i.
6.Рациональные корни многочлена
Задача№1
Найти рациональные корни многочлена
f(x)=8x5-14x4-77x3+128×2+45x-18.
Решение :Для того, чтобы найти рациональные корни многочлена ,пользуемся следующими теоремами.
Теорема 1. Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами ,то p есть делитель свободного члена, а q- делитель старшего коэффициента многочлена f(x).
Замечание: Теорема 1 даёт необходимое условие для того, чтобы рациональное число . Было корнем многочлена ,но этого условия недостаточно , т.е. условие теоремы 1 может выполняться и для такой дроби , которая не является корнем многочлена.
Теорема 2: Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то при любом целом m ,отличном от , число f(m) делится на число p-qm, т.е целое число.
В частности полагая m=1, а затем m=-1, получим:
если корень многочлена, не равный ±1,то f(x) (p-q) и f(-x):.(p+q) , т.е. — целые числа.
Замечание: Теорема 2 даёт ещё одно необходимое условие для рациональных корней многочлена. Это условие удобно тем, что оно легко проверяется практически. Находим сначала f(1) и f(-1), а затем для каждой испытываемой дроби проверяем указанное условие. Если хотя бы одно из чисел дробное, то корнем многочлена f(x) не является.
Решение: По теореме 1 корни данного многочлена следует искать среди несократимых дробей, числители которых являются делителями 18, а знаменателями 8. Следовательно, если несократимая дробь есть корень f(x), то p равно одному из чисел : ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q равно одному из чисел
±1, ±2,±4, ±8.
Учитывая, что = , = , знаменатели дробей будем брать лишь положительными.
Итак, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±.
Воспользуемся вторым необходимым.
Так как f(1)=72, f(-1)=120,отсюда в частности следует, что 1 и -1 не являются корнями f(x). Теперь для каждой возможной дроби будем проверять условия теоремы 2 при m=1 и m=-1, т. е. будем устанавливать, целыми или дробными являются числа : = и =
Результаты сведём в таблицу, где буквы”ц” и “д” означают соответственно, целым или дробным является число или
P | 2 | -2 | 3 | -3 | 6 | -6 | 9 | -9 | 18 | -18 | 1 | -1 | 3 | -3 | 9 | -9 | 1 | -1 | 3 | -3 | 9 | -9 | 1 | -1 | 3 | -3 | 9 | -9 |
Q | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
ц | ц | ц | ц | д | д | ц | д | д | д | ц | ц | ц | д | д | д | ц | д | ц | д | д | д | д | ц | д | д | ц | д | |
ц | ц | ц | ц | ц | ц | ц | ц | ц | д | д | д |
Из полученной таблицы видно, что и являются целыми лишь в тех случаях, когда равно одному из чисел: 2, -2, 3, -3, , , , .
По следствию из теоремы Безу число α- корень f(x) тогда и только тогда, когда f(x) (x-α). Следовательно, для проверки оставшихся девяти целых чисел можно применить схему Горнера деление многочлена на двучлен.
8 | -14 | -77 | 128 | 45 | -18 | |
2 | 8 | 2 | -73 | -18 | 9 | 0 |
2 | 8 | 18 | -37 | -92 | -172≠0 |
2 – корень.
Отсюда имеем : x=2 – простой корень f(x). Остальные корни данного многочлена совпадают с корнями многочлена.
F1(x) = 8x4+2x3-73x2-18x+9.
Аналогично проверим остальные числа.
8 | 2 | -73 | -18 | 9 | |
-2 | 6 | -14 | -45 | 72 | -139≠0 |
3 | 8 | 26 | 5 | -3 | 0 |
3 | 8 | 50 | 155 | 462≠0 | |
-3 | 8 | 2 | -1 | 0 | |
-3 | 8 | -22 | 65≠0 | ||
9 | 8 | 74 | 665≠0 | ||
½ | 8 | 6 | 2≠0 | ||
-1/2 | 8 | -2 | 0 | ||
-1/2 | 8 | 6≠0 | |||
3/2 | 8 | 10≠0 | |||
1/4 | 8 | 0 |
-2 – не корень, 3 – корень, -3 –корень, 9 – не корень, ½ — не корень , -1/2 –корень, 3/2 – не корень, ¼ — корень.
Итак, многочлен f(x)= 8x5-14x4-77x3+128x2+45x-18 имеет пять рациональных корней:{2, 3, -3, -1/2, ¼}.
studfiles.net
Вывод формул решения алгебраического уравнения четвёртой степени.
Вывод формул решения алгебраического уравнения четвёртой степени.1. Приведение уравнения к каноническому виду.
Сделаем замену переменного по формуле:Получим уравнение:
Раскроем скобки:
Получим уравнение:
Уравнение приведено к каноническому виду:
2. Решение уравнения
Способ №1.
Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения
Рассмотрим случай, когда q не равно нулю.Верно тождество:
Поэтому:
Получили уравнение:
Выберем параметр z так, чтобы правая часть этого уравнения была полным квадратом относительно y. Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант из коэффициентов трехчлена относительно y, стоящего справа, обращался в нуль:
Мы получили кубическое уравнение.
Вывод формул кубичекого уравнения.
Если z — один из корней кубического уравнения:
то уравнение
запишется в виде:
Отсюда следует:
Необходимо решить два квадратных уравнения:
Получаем четыре корня:
Корни этих квадратных уравнений y1, y2, y3, y4 являются решением исходного уравнения
Рассмотрим случай, когда q=0
Уравнение
имеет четыре корня:
Способ №2.
Решение Декарта-Эйлера.
Обоснование этого способа решения уравнения четвёртой степени находится в стадии разработки.
Эта программа находит четыре корня уравнения четвёртой степени двумя способами
Способ №1.
Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения
Если q не равно нулю, то кубическое уравнениевсегда имеет положительный действительный корень, так как при z=0 значение многочлена в левой части уравнения отрицательно: -q^2/8, а при стремлении z к плюс бесконечности значение многочлена в левой части уравнения также стремится к плюс бесконечности, то есть становится положительным при некотором положительном z=M, и так как непрерывная на отрезке [0; M] функция принимает на интервале (0; M) любое промежуточное, в том числе и нулевое, значение, то существует положительный корень этого кубического уравнения. Таким положительным корнем является либо первый корень в программе решения кубического уравнения, где под знаком косинуса стоит аргумент F/3, так как Cos(F/3)≥0 при 0≤F≤3/2*Pi, если кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, либо единственный действительный корень этого кубического уравнения.
Если какой-то из действительных корней кубического уравнения принимает нулевое значение, то решается биквадратное уравнение
Способ №2.
Решение Декарта-Эйлера.
После приведения алгебраического уравнения четвёртой степени к каноническому виду программа находит три корня кубического уравненияЕсли это кубическое уравнение имеет три действительных положительных корня, то уравнение четвёртой степени имеет четыре действительных корня.
Если это кубическое уравнение имеет три действительных корня, один положительный и два отрицательных, то уравнение четвёртой степени имеет две пары комплексно-сопряжённых корней.
Если это кубическое уравнение имеет один положительный действительный корень и два комплексно сопряжённые корня, то уравнение четвёртой степени имеет два действительных и два комплексно-сопряжённых корня. Программа на javascript «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0» Программа «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0». Код программы «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0» Вывод корней кубического уравнения. На главную страницу.
ateist.spb.ru
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ СПОСОБОМ ДЕКАРТА-ЭЙЛЕРА
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ СПОСОБОМ ДЕКАРТА-ЭЙЛЕРА
Фомин Александр Владимирович
студент 2 курса, отделение информационных технологий, Колледж электроники и бизнеса ОГУ, РФ, г. Оренбург
E-mail: f
Нурманова Сабиля Андреевна
научный руководитель, преподаватель I кв. категории предметно-цикловой комиссии физико-математических дисциплин, Колледж электроники и бизнеса ОГУ, РФ, г. Оренбург
Решение уравнений четвертой степени способом Декарта-Эйлера.
Рассмотрим неполное уравнение четвертой степени
х4 + рх2+ qx + r = 0 (1)
с произвольными комплексными коэффициентами р, q, r.
Пусть х1, х2, x3,х4 — его корни. По формулам Виета,
х1 + х2 + x3 + х4 = 0,
х1 х2 + х1 х3 + х1 х4 + х2 х3 + х2 х4 + х3 х4 = p (2)
х2х3х4 + х1х3х4 + х1х2х4 + х1х2х3 = – q,
х1х2х3х4 = r.
Числа х1х2 + х3х4 , х1х3 + х2 х4 и х1х4 + х2х3 являются корнями кубического уравнения
х3 – px2 – 4rx + (4pr – q2) = 0 (3)
Заметим, что
х1х2 + х3х4 = (х1 + х2 – x3 – х4)2 – (х1 + х2 + x3 + х4)2 + (х1х2 + х1 х3 + х1 х4 +
+ х2 х3 + х2 х4 + х3 х4) = (х1 + х2 – x3 – х4)2 + p.
Аналогично
х1х3 + х2 х4 = (х1 – х2 + x3 – х4)2 + p,
х1х4 + х2 х3 = (х1 – х2 – x3 + х4)2 + p.
Поэтому, если мы сделаем в уравнении (3) замену х = у + р, то полученное уравнение
у3 + 2 pу2+ (p2— 4r)у — q2 = 0 (4)
будет иметь своими корнями числа
y 1 = (х1 + х2 – x3 – х4)2,
y 2 = (х1 – х2 + x3 – х4)2, (5)
y 3 = (х1 – х2 – x3 + х4)2.
Из формул (5) получаем, что
(х1 + х2 – x3 – х4)2 = u1,
(х1 – х2 + x3 – х4)2 = u2, (6)
(х1 – х2 – x3 + х4)2 = u3,
где u1, u2, u3 — квадратные корни из y1, y2, y3.
Поскольку квадратный корень из комплексного числа имеет два значения, необходимо уточнить, какие значения квадратных корней следует взять в формулах (7).
Пусть дано тождество
(х1 + х2 – x3 – х4) (х1 – х2 + x3 – х4) (х1 – х2 – x3 + х4) = – 4 σ 1 σ 2 + 8 σ 3,
где ơ1, ơ2, ơ3 — элементарные симметрические многочлены от х1, х2, х3, х4. Для корней уравнения (1) имеем, в силу формул (2):
(х1 + х2 – x3 – х4) (х1 – х2 + x3 – х4) (х1 – х2 – x3 + х4) = 8q.
Отсюда следует, что
u1, u2, u3 = – q. (7)
Условие (7) оставляет четыре из восьми вариантов выбора значений квадратных корней из y1, y2, у3. Любой из этих четырех вариантов допустим, так как, перенумеровав подходящим образом х1, х2, х3, х4, можно умножить на (– 1) любые два из выражений х1 + х2 – x3 – х4, х1 – х2 + x3 – х4, х1 – х2 – x3 + х4, не изменив третьего. Например, если поменять номера у х1 и х2 и одновременно у х3 и х4, то выражение х1 + х2 – x3 – х4 не изменится, в то время как остальные два умножатся на (– 1). Складывая равенства (6) и равенство х1 + х2 + x3 + х4 = 0, находим: x1 (u1 + u2 – u3).
Аналогично находим:
x 2 (u1 – u2 – u3),
x 3 (– u1 + u2 – u3),
x 4 (– u1 – u2 + u3).
Эти формулы можно объединить в одну:
x = ( + + ), (8)
которую следует понимать таким образом, что значения квадратных корней выбираются всеми возможными способами, лишь бы их произведение равнялось (– q).
Подставляя полученную формулу в выражения для корней кубического уравнения (3), найденные при помощи формулы Кардано, можно получить явную формулу, выражающую корни уравнения (1) через его коэффициенты, которая, однако, столь громоздка, что выписывать ее не имеет смысла.
Пример. Решите уравнение на множестве действительных чисел
Решение. Поставим задачу привести это уравнение к виду
Для этого воспользуемся подстановкой получим:
, откуда находим , , .
,
или
Подберем так, чтобы квадратный трехчлен, стоящий в скобках, стал полным квадратом, чтобы затем получить разность квадратов двух выражений.
Для этого его дискриминант должен быть равен нулю
Мы получили кубическое уравнение относительно . Решение кубических уравнений по формуле Кардано нам уже известно.
Положим тогда кубическое уравнение примет вид:
Ответ:
Список литературы:
1.Винберг Э.Б. Алгебра многочленов: учебное пособие для студентов заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. М.: Просвещение, 1980. — 175 с.
2.Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. М.: Наука, 1975. — 34 с.
3.Мишина А.П, Проскуряков И.А. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. М.: Наука, 1980. — 563 с.
4.Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. М.: ОГИЗ, 1941. — 462 с.
5.Туманов С.И. Поиски решения задачи. М.: Просвещение, 1969. — 275 с.
6.Тишин В.И. Математика для учителей и учащихся: рациональные алгебраические уравнения. М.: Комаричи, 2002. — 166 с.
sibac.info
42
42. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 4-ой СТЕПЕНИ
Тип игры: граф
Класс: 8, 9
Тема: Уравнения, приводящиеся к квадратным
Комментарий. Эта игра интересна тем, что важными и полезными являются различные пути получения результата. Это как раз пример на воплощение дидактической идеи – процесс важнее результата.
Кроме обычной организации игры с разбивкой учащихся на группы, идущие различными путями, можно предложить и фронтальный вариант, в котором учитель показывает и комментирует различные этапы решения. Разумеется, при этом ослабляется игровой характер задания, не появляется возможность в деятельностной форме ознакомить учащихся с несколькими важными алгебраическими идеями.
Тип игры: граф (выбор пути решения).
Дано уравнение x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 360.
Шаг 1
Выберите один из возможных способов преобразования уравнения.
1. Перемножить сомножители в левой части.
2. Сгруппировать сомножители по два.
3. Использовать симметрию множителей и сделать замену .
4. Воспользоваться известным тождеством для преобразования произведения четырех подряд идущих целых чисел.
Реакция на выбор способа преобразования
1. Этот способ самый прямой, однако не ясно, приведет ли он к цели. Тем не менее, попробуйте перемножить и получить уравнение 4-ой степени вида x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Закончив вычисления, перейдите к шагу 2.
Сверьте свои вычисления с правильным ответом.
Шаг 2
x4 + 6x3 + 11x2 + 6x – 360 = 0
Выберите один из двух известных вам типов решения уравнения 4-ой степени.
1.1. Приведение к биквадратному уравнению с помощью удачной замены неизвестного.
1.2. Приведение к возвратному уравнению, используя симметрию коэффициентов.
Реакция на второй шаг
1.1. Это хороший путь. Чтобы подобрать замену, советуем выделить полный квадрат, используя первые два слагаемых.
Предлагайте выкладки, подберите необходимую замену и сверьте с ответом.
Шаг 3
1.1.1. У вас должно получиться следующее уравнение:
(x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) –360 = 0.
Теперь замена ясна. Обозначьте новое неизвестное через y и сверьте ответ.
Шаг 4
y2 + 2y – 360 = 0
Решите это квадратное уравнение и запишите два его корня: y1 = (–20), y2 = (18).
Реакция: верно – неверно.
Для каждого найденного значения y решите уравнение x2 + 3x = y. До записи ответа укажите число корней.
Шаг 5
Уравнение имеет (2) корня.
Запишите ответ.
Шаг 6
x1 = (–6), x2 = (3)
1.2. Этот путь хороший, но нелегкий. Мешает свободный член – 360. Советуем продолжить путь обычным образом – поделить на x2 и заменить . Не пугайтесь того, то x не исчезнет – останется слагаемое вида .
Сверьте с правильным ответом.
Шаг 2
Слева и справа стоят полные квадраты. Воспользуйтесь этим, извлеките корни из обеих частей и перейдите к следующему шагу.
Шаг 3
Проверьте себя, что вы не забыли извлечь корень с двумя знаками и получить два уравнения: и .
Вернитесь к неизвестному x и получите два квадратных уравнения.
Шаг 4
x2 + 3x + 20 = 0
x2 + 3x – 18 = 0
До записи ответа укажите число корней исходного уравнения.
Шаги 5 и 6 совпадают с этими шагами в пути 1.1.
2. Этот путь самый естественный. Решите, какие пары множителей вы будете объединять.
Шаг 2
|
Первый и второй |
|
Неудачно, попробуйте другой способ |
|
Третий и четвертый |
|
|
|
Первый и третий |
|
|
|
Второй и четвертый |
|
|
Первый и четвертый |
|
Это удачный способ, подсказанный соображениями симметрии. Сверьте ответ |
|
Второй и третий |
|
Шаг 3
(x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 360
Сделайте замену.
2.1. y = (x2 + 3x)
2.2. y = (x2 + 3x + 1)
2.1. Эта замена естественная, хотя и не самая лучшая. Лучше было бы заменить x2 + 3x + 1 = y. Продолжите свой способ и получите квадратное уравнение относительно y.
Шаг 4
Совпадает с шагом 4 в 1.1 и дальше до конца.
2.2. Это очень толково. Сразу замечаете симметрию. Сверьте уравнение.
Шаг 4
y2 – 1 = 360; y2 = 361
До записи окончательного ответа укажите число корней исходного уравнения.
Шаг 5
как в 1.1
3. Это способ наиболее короткий. Сверьте запись получающегося биквадратного уравнения.
Шаг 2
Запишите квадратное уравнение относительно z2 = y.
Шаг 3
Решите это квадратное уравнение. Сверьте корни.
Шаг 4
,
Вспомните, что y = z2.
До записи ответа найдите число корней исходного уравнения.
Шаг 5 и далее – тот же, что и в 1.1
4. Этот способ хорош, если вы действительно помните тождество x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + ___x + ___)2
Сверьте ответ.
Шаг 2
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1)2
Извлеките корень и перейдите к двум уравнениям относительно x.
Сверьте ответ.
Шаг 3
x2 + 3x + 1 = –19
x2 + 3x + 1 = +19
До записи окончательного ответа укажите число корней исходного уравнения.
Шаг 4 = Шаг 5 в 1.1
________________________
Граф
files.school-collection.edu.ru