45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы ии докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . ТочкаH — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где — площадь сектора)
(из 🙂
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательства
Теоремы
о пределах.
Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и.
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
;
Получаем:
46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.
Ограниченность функции.
Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что
m ≤ f(x) ≤ M
при хє(a,b).
Число mo= inf {f(x)} [x є (a,b)] = max m называется нижней гранью функции ,
а число Mo= sup {f(x)} [x є (a,b)]=min M называется верхней гранью функции на данном промежутке (a,b).
Разность Mo— mo называется колебанием функции на промежутке (a,b).
Критерий Коши:
Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что
|f(x’ ) — f(x» )| < ε,
как только 0 < |x’ — a| < δ
47. Бесконечно малые функции, их свойства. Леммы
Функция α(х) называется бесконечно малой при , если ,
т.
е. для любого числа ε > 0 существует
такое число δ > 0, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Бесконечно малую функцию α(х) называют бесконечно малой величиной или просто бесконечно малой.
Функция f (х) называется ограниченной при , если существуют положительные числа М и δ, такие, что при условии , выполняется неравенство .
Например, любая бесконечно малая α(х) является ограниченной функцией при .
В дальнейшем будем рассматривать бесконечно малые при .
Свойства бесконечно малых.
1. Если функции и являются бесконечно малыми, то функция также есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.
2.
Произведение ограниченной при функции
на бесконечно малую есть функция
бесконечно малая.
3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.
4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.
1.10. Второй замечательный предел | Электронная библиотека
Естественные науки / Математический анализ функции одной переменной / 1.10. Второй замечательный предел
Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4).
Рассмотрим возрастающую последовательность: Для нее для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку.
Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)
Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.
Применим эту теорему для доказательства следующей теоремы.
Теорема 2 (второй замечательный предел)
Существует предел .
Доказательство. Рассмотрим последовательность с общим членом
Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона:
.
Преобразуем по этой формуле , полагая :
.
В полученном выражении:
третье слагаемое
четвертое =
и т.д., а последнее
Получаем:
(*)
Покажем, что последовательность возрастающая, т.е. :
(**)
Так как то и т. д., поэтому каждое слагаемое (начиная с третьего) из равенства (*) меньше соответствующего слагаемого из равенства (**), кроме того, в равенстве (**) правая часть содержит на одно (положительное) слагаемое больше. Отсюда заключаем, что .
Покажем, что последовательность ограничена (сверху), т.е.
Если в равенстве (**) каждую из скобок заменить на 1 (на большее число), то получим неравенство:
Так как то
.
По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:
поэтому .
Последовательность возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e. Итак,
.
Так как 2 < an < 3, то 2 < an 3, т.е. 2 < e 3. Это число e иррациональное и e 2,718282.
Число e широко используется как основание для показательной функции (экспонента) и как основание для логарифмов (натуральные логарифмы).
Рассмотрим (рис. 1.13) функцию y = , которая не определена на отрезке (подумайте почему?). Ее область определения (–, –1)(0, +).
Известно, что
и .
Нетрудно показать, что
.
Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.
Рассмотрим применение второго замечательного предела для вычисления некоторых пределов.
Пример. Найти
Решение. Обозначим: 3n = m, n = . Если n, то mи мы получим:
=
§ 3.
6. Первый замечательный предел и его обобщениеследующий предел существует и равен 1:
.
Доказательство. Взять окружность с центром в начале произвольного радиуса R
у М В А х | . Позволять находим площади: , , |
. Подставляя их в неравенства и уменьшая на , получаем
.
Позволять разделим эти неравенства на грех х> 0 :
.
Замена отношения в неравенствах на обратные и обращение знаки, получаем
, или же ,
откуда
.
По Теорема IV, (3), искомый предел существует:
.
Пример:
(1) ,2) .
3.6.1 первый обобщенный замечательный предел. первый замечательный предел можно обобщить, а именно записать в более общая форма
(4)
В эта формула, ( х ) является бесконечно малым; очень важно, что аргумент синуса и знаменатель должно быть абсолютно идентичный.
Примеры.
(1) ,
(2) .
§ 3.7. Второй замечательный предел
Рассмотреть возможность лимит
. (5)
Теорема. лимит (5)
существует и равен числу е между 2 и 3.
Схема доказательства. Рассмотрите значение для конкретного n . Разлагая его по биномиальной теореме, мы видим, что это значение увеличивается с
После анализируя каждый член в разложении и используя геометрическую мы показываем, что эта величина никогда не превышает 3 , т. е. б) последовательность ограничена. Теорема V об ограниченном возрастании функций следует существование предела (5). Посмотреть популярные учебники Больше подробностей.
Рассмотреть возможность предел функции
, (*)
куда х это реальное число.
Находить
большое число n для
что n
, .
Мы возведите больший член в большую степень, средний член в среднюю мощности, а меньший член в меньшую мощность:
.
Позволять найдем пределы каждого слагаемого в неравенствах на с помощью (5):
,
.
Таким образом, неравенства принимают вид , что не может быть правдой. Отсюда следует, что неравенства и ( * ).
В настоящее время, докажем, что
. (**)
Мы используйте замену
, , ,
Это предел выхода (*), который был найден выше.
также имеет место соотношение:
,
это доказывается с помощью замены х=–(t+ 1 ).
номер е удовлетворяет
неравенства 2
у=е х есть
показательная функция .
формула
,
за изменение основания логарифма подразумевает формулу для натуральный логарифм:
.
Примеры. Найдите следующие пределы, используя второй замечательный предел:
(1) ,
(2)
(мы выделить 1 круглую скобку)
.
§ 3.8. Второй обобщенный замечательный предел
второй замечательный предел (*) и его модификацию (**) можно обобщенные, т. е. записанные в более общих формах
и
. (6)
В
эти формулы, ( х ) это
бесконечно малое и N(x) является бесконечностью.
Очень важно, что в этих формулах N(x) и ( х ) ар абсолютно
идентичный в знаменателе и показатели степени .