Элементы теории множеств примеры решения задач для чайников: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Решение некоторых задач по теории множеств

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

, где

“” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Например:

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

(рис.1)

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где  

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

(рис.2)

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

(рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где  A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4)

Е

(рис.4)

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

_

А Ā=Е                      Ø = Е             Е Ā=Ā

_

А ∩ Ā= Ø                 Ē = Ø             (Ā)=А

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

________ _ _

АВ = А∩В

________ _ _

АВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

m (A) + m (Ā) = m (E)

А = В => m(A) = m(B)

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

  1. Сколько учащихся решили все задачи?
  2. Сколько учащихся решили только две задачи?
  3. Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

  • m (Е) = 40
  • m (А) = 20
  • m (В) = 18
  • m (С) = 18
  • m (А∩В) = 7
  • m (А∩С) = 8
  • m (В∩С) = 9

___________

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

(рис.5)

К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

  • m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
  • m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5
  • m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 7-5=2
  • m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 8-5=3
  • m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-5=4
  • m (К1) = m (А) — m (К2) — m (К4) — m (К5) = 20-2-3-5=10
  • m (К3) = m (В) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 18-2-4-5=7
  • m (К7) = m (С) — m (К4) — m (К6) — m (К5) = 18-3-4-5 =6
  • m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
  • m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

  • m (АВ) = 33
  • m (АС) = 31
  • m (ВС) = 32
  • m (К2) + m (К4) + m (К6) + m (К5) = 20

Найти m (К1) + m (К3) + m (К7)

  • m (АUВ) = m (К1) + m (К2) + m (К3) + m (К4) + m (К5) + m (К6) = m (К1) + m (К3) + 20 = 33 =>
  • m (К1) + m (К3) = 33 – 20 = 13
  • m (АUС) = m (К1) + m (К4) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) = m (К1) + m (К7) + 20 = 31 =>
  • m (К1) + m (К7) = 31 – 20 = 11
  • m (ВUС) = m (К3) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) + m (К4) = m (К3) + m (К7) + 20 = 32 =>
  • m (К3) + m (К7) = 32 – 20 = 12
  • 2m (К1) + m (К3) + m (К7) = 13+11=24
  • 2m (К1) + 12 = 24
  • m (К3)= 13-6=7
  • m (К7)=12-7=5
  • m (К1) + m (К3) + m (К7) = 6+7+5=18

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

  • m (Е) = 35
  • m (А∩В∩С)= m (К5) = 6
  • m (А∩В)= 15
  • m (А∩С)= 13
  • m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К7)

  • m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 15-6=9
  • m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 13-6=7
  • m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-6=3
  • m (К1) + m (К3) + m (К7) = m (Е) — m (К4) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

Задачи по Python 3 для начинающих от Tproger и GeekBrains

Вместе с факультетом Python-разработки GeekUniversity собрали для вас несколько простых задач по Python для обучения и тренировки. Их можно решать в любом порядке.

Обратите внимание, что у любой задачи по программированию может быть несколько способов решения. Чтобы посмотреть добавленный нами вариант решения, кликните по соответствующей кнопке. Все приведённые варианты написаны на Python 3.

***

Задача 1

Есть список a = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89].

Выведите все элементы, которые меньше 5.

Самый простой вариант, который первым приходит на ум — использовать цикл for:

for elem in a:
    if elem < 5:
        print(elem)

Также можно воспользоваться функцией

filter, которая фильтрует элементы согласно заданному условию:

print(list(filter(lambda elem: elem < 5, a)))

И, вероятно, наиболее предпочтительный вариант решения этой задачи — списковое включение:

print([elem for elem in a if elem < 5])

Задача 2

Даны списки:

a = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89];

b = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13].

Нужно вернуть список, который состоит из элементов, общих для этих двух списков.

Можем воспользоваться функцией filter:

result = list(filter(lambda elem: elem in b, a))

Или списковым включением:

result = [elem for elem in a if elem in b]

А можно привести оба списка к множествам и найти их пересечение:

result = list(set(a) & set(b))

Однако в таком случае каждый элемент встретится в результирующем списке лишь один раз, т.к. множество поддерживает уникальность входящих в него элементов. Первые два решения (с фильтрацией) оставят все дубли на своих местах.

Задача 3

Отсортируйте словарь по значению в порядке возрастания и убывания.

Импортируем нужный модуль и объявляем словарь:

import operator 
d = {1: 2, 3: 4, 4: 3, 2: 1, 0: 0}

Сортируем в порядке возрастания:

result = dict(sorted(d.items(), key=operator.itemgetter(1)))

И в порядке убывания:

result = dict(sorted(d.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True))

Задача 4

Напишите программу для слияния нескольких словарей в один.

Допустим, вот наши словари:

dict_a = {1:10, 2:20}
dict_b = {3:30, 4:40}
dict_c = {5:50, 6:60}

Объединить их можно вот так:

result = {}
for d in (dict_a, dict_b, dict_c):
    result.update(d)

А можно с помощью «звёздочного» синтаксиса:

result = {**dict_a, **dict_b, **dict_c}

О звёздочном синтаксисе можно прочитать в нашей статье.

Задача 5

Найдите три ключа с самыми высокими значениями в словаре my_dict = {'a':500, 'b':5874, 'c': 560,'d':400, 'e':5874, 'f': 20}.

Можно воспользоваться функцией sorted:

result = sorted(my_dict, key=my_dict.get, reverse=True)[:3]

Аналогичный результат можно получить с помощью функции nlargest из модуля heapq:

from heapq import nlargest
result = nlargest(3, my_dict, key=my_dict.get)

Читайте также: Всё о сортировке на Python

Задача 6

Напишите код, который переводит целое число в строку, при том что его можно применить в любой системе счисления.

Второй аргумент функции int отвечает за указание основания системы счисления:

print(int('ABC', 16))

Задача 7

Нужно вывести первые n строк треугольника Паскаля. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух расположенных над ним чисел.

def pascal_triangle(n):
   row = [1]
   y = [0]
   for x in range(max(n, 0)):
      print(row)
      row = [left + right for left, right in zip(row + y, y + row)]
   
pascal_triangle(6) 

Задача 8

Напишите проверку на то, является ли строка палиндромом. Палиндром — это слово или фраза, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.

Тут всё просто, достаточно сравнить строку с её обратной версией, для чего можно использовать встроенную функцию reversed:

def is_palindrome(string):
    return string == ''.join(reversed(string))

print(is_palindrome('abba'))

Того же эффекта можно добиться с помощью срезов:

def is_palindrome(string):
    return string == string[::-1]

print(is_palindrome('abba'))

Задача 9

Сделайте так, чтобы число секунд отображалось в виде дни:часы:минуты:секунды.

def convert(seconds):
    days = seconds // (24 * 3600)
    seconds %= 24 * 3600
    hours = seconds // 3600
    seconds %= 3600
    minutes = seconds // 60
    seconds %= 60
    print(f'{days}:{hours}:{minutes}:{seconds}')

convert(1234565)

Задача 10

Вы принимаете от пользователя последовательность чисел, разделённых запятой. Составьте список и кортеж с этими числами.

values = input('Введите числа через запятую: ')
ints_as_strings = values.split(',')
ints = map(int, ints_as_strings)
lst = list(ints)
tup = tuple(lst)
print('Список:', lst)
print('Кортеж:', tup)

Задача 11

Выведите первый и последний элемент списка.

lst = [1, 2, 3, 4, 5]
print(f'Первый: {lst[0]}; последний: {lst[-1]}')

Задача 12

Напишите программу, которая принимает имя файла и выводит его расширение. Если расширение у файла определить невозможно, выбросите исключение.

def get_extension(filename):
    filename_parts = filename.split('.')
    if len(filename_parts) < 2:  # filename has no dots
        raise ValueError('the file has no extension')
    first, *middle, last = filename_parts
    if not last or not first and not middle:
        # example filenames: .filename, filename., file.name.
        raise ValueError('the file has no extension')
    return filename_parts[-1]

print(get_extension('abc.py'))
print(get_extension('abc'))  # raises ValueError
print(get_extension('.abc'))   # raises ValueError
print(get_extension('.abc.def.'))   # raises ValueError

Задача 13

При заданном целом числе n посчитайте n + nn + nnn.

def solve(n):
    n1 = n
    n2 = int(str(n) * 2)
    n3 = int(str(n) * 3)
    print(n1 + n2 + n3)

solve(5)

Задача 14

Напишите программу, которая выводит чётные числа из заданного списка и останавливается, если встречает число 237.

numbers = [    
    386, 462, 47, 418, 907, 344, 236, 375, 823, 566, 597, 978, 328, 615, 953, 345, 
    399, 162, 758, 219, 918, 237, 412, 566, 826, 248, 866, 950, 626, 949, 687, 217, 
]

for x in numbers:
    if x == 237:
        break
    elif x % 2 == 0:
        print(x)

Задача 15

Напишите программу, которая принимает два списка и выводит все элементы первого, которых нет во втором.

set_1 = set(['White', 'Black', 'Red'])
set_2 = set(['Red', 'Green'])

print(set_1 - set_2)

Задача 16

Выведите список файлов в указанной директории.

from os import listdir
from os.path import isfile, join
files = [f for f in listdir('/home') if isfile(join('/home', f))]
print(files)

Задача 17

Сложите цифры целого числа.

def sum_digits(num):
    digits = [int(d) for d in str(num)]
    return sum(digits)

print(sum_digits(5245))

Задача 18

Посчитайте, сколько раз символ встречается в строке.

string = 'Python Software Foundation'
string.count('o')

Задача 19

Поменяйте значения переменных местами.

Можно написать монструозную конструкцию в стиле языка C:

x = 5
y = 10
temp = x
x = y
y = temp

Но в Python есть более удобный способ для решения этой задачи:

x = 5
y = 10
x, y = y, x

Задача 20

С помощью анонимной функции извлеките из списка числа, делимые на 15.

nums = [45, 55, 60, 37, 100, 105, 220]
result = list(filter(lambda x: not x % 15, nums))

Задача 21

Нужно проверить, все ли числа в последовательности уникальны.

def all_unique(numbers):
    return len(numbers) == len(set(numbers))

Задача 22

Напишите программу, которая принимает текст и выводит два слова: наиболее часто встречающееся и самое длинное.

import collections

text = 'lorem ipsum dolor sit amet amet amet'
words = text.split()
counter = collections.Counter(words)
most_common, occurrences = counter.most_common()[0]

longest = max(words, key=len)

print(most_common, longest)

***

Хотите вырасти от новичка до профессионала? Факультет Python-разработки GeekUniversity даёт год опыта для вашего резюме. Обучайтесь на практических заданиях, по-настоящему освойте Python и станьте ближе к профессии мечты.

Узнать больше

Издательство ФИЗМАТЛИТ — физико-математическая и техническая литература

Издательство ФИЗМАТЛИТ — физико-математическая и техническая литература

  • Абрамовский В.А., Архипов Г.И., Найда О.Н. «Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной»
  • Акивис М.А., Гольдберг В.В. «Тензорное исчисление»
  • Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. «Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи»
  • Артамонов В.А., Бахтурин Ю.А., Винберг Э.Б., Голод Е.С. и др. «Сборник задач по алгебре» Под ред. А.И. Кострикина
  • Арутюнов А.В. «Лекции по выпуклому и многозначному анализу»
  • Афанасьев В.И., Зимина О.В., Кириллов А.И., Петрушко И.М. и др. «Решебник. Высшая математика. Специальные разделы» Под ред. А.И. Кириллова
  • Баврин И.И. «Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей»
  • Беклемишев Д.В. «Решение задач »
  • Бесов О.В. «Лекции по математическому анализу»
  • Битюков Ю.И., Ильина А.Н., Мартюшова Я.Г. «Математический анализ» Под. ред. Кибзуна
  • Бочаров П.П., Печинкин А.В. «Теория вероятностей. Математическая статистика»
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. «Сборник задач по высшей математике»
  • Вагин В.Н., Головина Е.Ю., Загорянская А.А., Фомина М.В. «Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах» Под ред. В.Н. Вагина, Д.А. Поспелова
  • Васильева А.Б., Тихонов Н.А. «Интегральные уравнения»
  • Владимиров В.С., Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. «Сборник задач по уравнениям математической физики»
  • Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. «Задачи и упражнения по дискретной математике»
  • Гантмахер Ф.Р. «Теория матриц»
  • Геворкян П.С. «Высшая математика. Основы математического анализа»
  • Геворкян П.С. «Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения»
  • Геворкян П.С. «Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
  • Геворкян П.С., Потемкин А.В., Эйсымонт И.М. «Теория вероятностей и математическая статистика» Под ред. П. С. Геворкяна
  • Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. «Курс классической математики в примерах и задачах»
  • Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. «Курс классической математики в примерах и задачах»
  • Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. «Курс классической математики в примерах и задачах»
  • Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. «Дискретная математика» Под ред. В.М. Курейчика
  • Головешкин В.А., Ульянов М.В. «Теория рекурсии для программистов»
  • Гордин В.А. «Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики»
  • Горелик Г.С. «Колебания и волны»
  • Гурова З.И., Каролинская С.Н., Осипова А.П. «Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами» Под ред. А.И. Кибзуна
  • Дураков Б.К. «Краткий курс высшей алгебры»
  • Егоров А.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями»
  • Егоров А.И. «Классификация решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка»
  • Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. «Математическая логика»
  • Ефимов Н.В. «Высшая геометрия»
  • Ефимов Н.В. «Квадратичные формы и матрицы»
  • Ефимов Н.В. «Краткий курс аналитической геометрии»
  • Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. «Линейная алгебра и многомерная геометрия»
  • Закревский А.Д., Поттосин Ю.В., Черемисинова Л.Д. «Логические основы проектирования дискретных устройств»
  • Зельдович Я.Б. «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике» Под общ. ред. С.С. Герштейна
  • Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. «Решебник. Высшая математика» Под ред. А.И. Кириллова
  • Злобина С.В., Посицельская Л.Н. «Математический анализ в задачах и упражнениях»
  • Ибрагимов Н.Х. «Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности » Емельяновой И.С.
  • Измаилов А.Ф. «Чувствительность в оптимизации»
  • Измаилов А.Ф., Солодов М.В. «Численные методы оптимизации»
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра» Под ред. В.А. Ильина
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Под ред. В.А. Ильина
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Аналитическая геометрия» Под ред. В.А. Ильина
  • Кадомцев С.Б. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
  • Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами»
  • Кирсанов М.Н. «Задачи по теоретической механике с решениями в Maple 11»
  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа»
  • Кострикин А.И. «Введение в алгебру»
  • Крянев А.В., Лукин Г.В. «Математические методы обработки неопределенных данных»
  • Крянев А.В., Лукин Г.В., Удумян Д.К. «Метрический анализ и обработка данных»
  • Кудрявцев В.Б., Гасанов Э.Э., Долотова О.А., Погосян Г.Р. «Теория тестирования логических устройств» Под ред. В.А. Садовничего
  • Кудрявцев Л.Д. «Краткий курс математического анализа»
  • Кудрявцев Л.Д. «Краткий курс математического анализа»
  • Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. «Сборник задач по математическому анализу» Под ред. Л.Д. Кудрявцева
  • Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. «Сборник задач по математическому анализу» Под ред. Л.Д. Кудрявцева
  • Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. «Сборник задач по математическому анализу» Под ред. Л.Д. Кудрявцева
  • Кузнецова Т.А., Мироненко Е.С., Розанова С.А., Сирота А.И. и др. «Высшая математика» Под ред. С. А. Розановой
  • Лавров И.А., Максимова Л.Л. «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов»
  • Лебедев В.И. «Функциональный анализ и вычислительная математика»
  • Лизунова Н.А., Шкроба С.П. «Матрицы и системы линейных уравнений»
  • Лунгу К.Н. «Линейное программирование. Руководство к решению задач»
  • Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Высшая математика. Руководство к решению задач»
  • Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Задачи по математике»
  • Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Основные методы решения задач по элементарной математике»
  • Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Высшая математика. Руководство к решению задач»
  • Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И. «Дискретная математика»
  • Марченков С.С. «Конечные автоматы»
  • Марченков С.С. «Функциональные уравнения дискретной математики»
  • Марченков С.С. «Основы теории булевых функций»
  • Миллер Б.М., Панков А.Р. «Теория случайных процессов в примерах и задачах»
  • Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. «Высшая математика, краткий курс»
  • Мищенко А.С., Фоменко А.Т. «Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии»
  • Мышкис А.Д. «Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы»
  • Ольшанский М.А. «Лекции и упражнения по многосеточным методам»
  • Петров И.Б. «Вычислительная математика для физиков»
  • Печинкин А.В., Разумчик Р.В. «Системы массового обслуживания в дискретном времени»
  • Половинкин Е.С., Балашов М.В. «Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа»
  • Посицельская Л.Н. «Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях»
  • Прудников В.В., Вакилов А.Н., Прудников П.В. «Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования»
  • Пугачев В.С. «Теория вероятностей и математическая статистика»
  • Ракитин В.И. «Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD»
  • Редькин Н.П. «Дискретная математика»
  • Розендорн Э.Р. «Задачи по дифференциальной геометрии»
  • Розендорн Э.Р., Соболева Е.С., Фатеева Г.М. «Уравнения с частными производными» Под ред. Э.Р. Розендорна
  • Рябенький В.С. «Введение в вычислительную математику»
  • Сабитов К.Б. «Уравнения математической физики»
  • Семаков С.Л. «Элементы теории вероятностей и случайных процессов»
  • Сидельников В.М. «Теория кодирования»
  • Сизый С.В. «Лекции по теории чисел»
  • Сизый С.В. «Лекции по дифференциальной геометрии»
  • Сизый С.В. «Математические задачи»
  • Соболевский Н.М. «Метод Монте-Карло в задачах о взаимодействии частиц с веществом»
  • Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. «Курс методов оптимизации»
  • Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. «Дифференциальные уравнения»
  • Треногин В.А. «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
  • Треногин В.А., Недосекина И.С. «Уравнения в частных производных»
  • Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева T.С. «Задачи и упражнения по функциональному анализу»
  • Турчак Л.И., Плотников П.В. «Основы численных методов»
  • Тыртышников Е.Е. «Основы алгебры»
  • Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И., Казарян К.С. и др. «Действительный анализ в задачах»
  • Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. «Вводный курс математической логики»
  • Федорчук В.В., Филиппов В.В. «Общая топология. Основные конструкции»
  • Федоткин М.А. «Модели в теории вероятностей»
  • Федоткин М.А. «Лекции по анализу случайных явлений»
  • Филиппов В.А. «Основы геометрии поверхностей оболочек пространственных конструкций»
  • Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Пред. и прим. А.А. Флоринского
  • Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. «Линейная алгебра и геометрия»
  • Щитов И.Н. «Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач»
  • Язенин А.В. «Основные понятия теории возможностей: математический аппарат для принятия решений в условиях гибридной неопределенности»

Конспект факультативного занятия » Элементы теории множеств»

Конспект урока из цикла уроков по программе факультатива «Элементы теории множеств»

Одно из самых важных, самых распространенных и широко употребляемых понятий математики является понятие множества.

Цель нашего занятия: повторить свойства действий над множествами и рассмотреть некоторые задачи, которые решаются при помощи понятия множества.

Для начала определим, какое понятие мы называем множеством?

Сообщение учащегося о Канторе ( презентация)

Итак, в одно множество можно объединить любые объекты.

Как называется множество артистов, работающих в одном театре?

Какие названия применяются для обозначения множества военнослужащих?

Какие названия применяются для обозначения множества кораблей

Какое название применяется для обозначения множества цветов, стоящих в вазе?

Как называется множество царей, фараонов, императоров данной страны, принадлежащих одному семейству?

Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от Северного полюса?

Как называется множество точек земной поверхности, имеющих одинаковую долготу?

Пусть А – множество всех треугольников.

Приведите примеры своих множеств множеств, которые вы составили сами.

Группы предлагают списки элементов. Класс должен догадаться, о каком множестве идет речь.

О некоторых множествах до сих пор неизвестно, пусты они ли нет. Так, до сих пор неизвестно, пусто ли множество натуральных чисел n, таких, что n>2, а уравнение X+Y=Z имеет положительные целочисленные решения (известная теорема Ферма). Неизвестно, пусто ли множество цифр, встречающихся лишь конечное число раз в десятичном разложении числа «пи».

Графический диктант: Итак, я считаю, что все следующие множества пусты. Если вы со мной согласны поставьте 1 , если нет -0.

  • Множество квадратов с неравными сторонами.

  • Множество прямоугольников с неравными диагоналями.

  • Множество треугольников, медианы которых не пересекаются в одной точке.

  • Множество целых корней уравнения 4х-1=0

  • Множество натуральных корней уравнения 2х-3х-9=0.

  • Множество точек пересечения двух параллельных прямых.

Итак, мы с вами задавали множества способом перечисления его элементов. Но не все множества можно задать списком. Например, невозможно составить список рыб в океане. Как еще можно задать множество?

Как называется такое свойство? (характеристическое)

Какое множество у вас получилось в первом и втором случае? ( {2, 4}

Действительно, одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Приведите свои примеры.

В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите этот элемент.

  • {2, 6, 15 ,84, 156}

  • {2, 7, 13, 16, 29}

  • {1, 4, 9, 25, 67, 121}

  • {квадрат, параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб}

  • { жираф, аист, корова, барсук, собака}

  • { лев, гиена, лисица, слон, рысь}

  • {Евклид, Пифагор, Декарт, Колумб, Виет}

В ряде случаев при решении задач и доказательстве теорем, используют свойства действий с множествами.

Множества можно «складывать», «умножать», «вычитать»

разность

Пересечением (произведением) двух множеств А и В называют такое множество, элементы которого входят и в первое, и во второе множество.

Обозначают: А*В .

Удобно изображать пересечение множеств на кругах Эйлера.

Приведите примеры применения в реальной жизни операции пересечения множеств.

А – множество мальчиков всей школы.

В – множество учеников 8 класса.

А * В – множество мальчиков, которые учатся в 8 классе.

Объединением (суммой) двух множеств А и В называют такое множество, которое составлено из всех элементов обоих множеств А и В.

Обозначают: А+В.

Удобно изображать объединение множеств при помощи кругов Эйлера.

Приведите примеры применения в реальной жизни операции объединения множеств.

А – множество успевающих учеников в классе.

В – множество девочек в этом классе.

С – множество неуспевающих мальчиков.

А+ В+ С – является множеством всех учащихся этого класса.

Разностью множеств А и В называют множество тех элементов из А, которых нет в В.

Обозначают: А\В (косой минус)

Удобно изображать разность множеств при помощи кругов Эйлера.

Приведите примеры применения в реальной жизни операции пересечения множеств.

А – множество всех учащихся 8 класса.

В – множество всех девочек.

А\ В – множество мальчиков.

Для рассуждений о множествах используют круги (схемы) Эйлера. Леонард Эйлер предложил наглядно изображать каждое множество в виде круга (размер и положение круга не имеют значения)

нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707(17070415), Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — российский и швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и, начиная с 1766 года, был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Решение задач

1. Три купчихи – Олимпиада Карповна, Дарья Петровна и Агриппина Ивановна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Дарья Петровна выпили вдвоем 11 чашек. Дарья Петровна и Агриппина Ивановна -15, а Агриппина Ивановна и Олимпиада Карповна-14. сколько чашек чая выпили купчихи вместе?

2. Во время опроса в одной Орских школ оказалось, что из- 800 опрошенных учеников 430 посещают электив по математике, 220- по истории, 180 посещают оба электива. Сколько человек не посещают элективов вообще?

3. Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек, немецкий-30, французский-42, английский и немецкий-8, английский и французский -10, немецкий и французский -5.

все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?

Выполнение творческого задания: (у учащихся на партах набор из трех палочек, кольца, пластилина и игрушка-коза)

веревок привязать козу, чтобы она могла есть

траву лишь на части луга, имеющей форму полукруга.

Поставить колышки в точках А и В, на

колышки А и В натянуть веревку,

по которой может скользить

колечко. К колечку привязать веревку

длины R , а к концу этой веревки — козу. Кроме того, привязать козу к веревке длины R, идущей от третьего колышка.

Итак, мы с вами повторили основные понятия теории множеств. Теория множеств является одной из дисциплин, на которые базируются почти все математические дисциплины — анализ, общая алгебра и другие.

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4 г.Орска»

Николаева Ольга Владимировна

Программа факультативного курса «Элементы теории множеств и комбинаторики» 8 класс.

Программа факультативного курса.

Пояснительная записка

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством.

Один из разделов теории вероятности является комбинаторика.

На современном этапе развития науки невозможно полноценное ее изучение и понимание без минимальной вероятностно-статистической грамотности. Элементы комбинаторики включены в Федеральный компонент государственных образовательных стандартов основного общего образования по математике.

Данная программа факультативного курса по теме «Элементы теории множеств и комбинаторики» предназначена для учащихся 8 класса. Курс рассчитан на 34 часа. Он ведется в рамках предмета «Алгебра» 8 класса общеобразовательной школы. Данный факультативный курс расширяет учебный материал, представленный в обязательном минимуме содержания учебной программы курса математики.

Актуальность программы связана тем, что, во-первых, школьный возраст – это такой период развития ребенка, когда при создании специальных условий наиболее интенсивно развиваются свойства творческого мышления; во-вторых, программа является пропедевтической по отношению к стохастической линии, введенной в настоящее время в содержание математики общеобразовательной школы; в-третьих, каждой теме «Элементы теории множеств» и «Комбинаторика», по отдельности, в различных учебниках уделяется очень мало времени, поэтому такие темы должны быть вынесен на факультативной курс.

Цель факультативного курса: расширение представлений учащихся о теории множестве и комбинаторике.

Основная задача курса состоит в том, чтобы научить учащихся применять формулы комбинаторики к решению комбинаторных задач, а также уметь применять понятия теории множеств.

В ходе изучения факультативного курса учащиеся должны будут подготовить и защитить доклады.

Обучение предполагает теоретическую, практическую и самостоятельную работу учащихся. Основные формы теоретических занятий: лекция, комбинированные уроки, практикумы по решению задач.

В ходе обучения значительное место отводится практическим и самостоятельным работам учащихся.

Текущий контроль осуществляется в разных формах: устная, письменная, фронтальная (в зависимости от темы).

Итоговый контроль – контрольная работа.

В результате изучения факультативного курса учащийся должен:

знать:

  • Оперировать понятиями: множество, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность;

  • основные понятия и формулы комбинаторики;

  • приемы решения задач.

уметь:

  • Определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств, задавать множество с помощью перечисления множеств, словесного описания;

  • применять формулы комбинаторики к решению комбинаторных задач.

Планируемые результаты УУД (универсальных учебных действий):

Личностные универсальные учебные действия:

  • Осознавать собственные мотивы учебной деятельности и личностный смысл учения;

  • Испытывать интерес к различным видам учебной деятельности;

  • Сопоставлять собственную оценку своей деятельности с оценкой учителя.

Метапредметные универсальные учебные действия:

  • Воспринимать учебное задание, выбирать последовательность действий, оценивать ход и результат выполнения;

  • Планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей;

  • Слушать высказывания других, принимать другую точку зрения;

  • Осознанно строить речевые высказывания в речевой форме;

  • Применять знания и способы действий в измененных условиях;

  • Перерабатывать полученную информацию: делать выводы на основе обобщения знаний, сравнивать и группировать факты и явления.

Предметные универсальные учебные действия:

  • Результаты первого уровня (приобретение школьником математических знаний, понимания практической направленности математики в повседневной жизни).

  • Результаты второго уровня (формирование позитивного школьника к математической деятельности и к творческому саморазвитию в процессе ее выполнения).

  • Результаты третьего уровня (приобретение школьниками опыта интеллектуального саморазвития).

Формы реализации:

  1. Внеучебная деятельность в режиме второй половины дня образовательного учреждения.

  2. Кружковая работа в учреждениях дополнительного образования.

Тематический план факультативного курса

Содержание программы факультативного курса

Раздел 1. Элементы теории множеств.

Множество и его элементы. Способы задания множества. Раздача докладов. (3 часа)

Понятие множества. Элемент множества. Равные множества. Конечное, бесконечное множество. Пустое множество. Способы задания множества.

Операции над множествами и их свойства. (4 часа)

Пересечение множеств. Объединение множеств. Разность множеств. Дополнение множеств.

Декартово произведение. (2 часа)

Упорядоченная пара. Равные упорядоченные пары. Произведение двух множеств. Декартово произведение. Декартов квадрат.

Формула включений и исключений. (2 часа)

Формула включений и исключений.

Подготовка к контрольной работе. (1 час)

Контрольная работа №2 по теме «Комбинаторика». (1 час)

Раздел 2. Комбинаторика.

Примеры комбинаторных задач. (1 час)

Историческая справка. Понятие комбинаторики. Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов. Комбинаторное правило умножения.

Размещение. (3 часа)

Понятие выборки. Равенство выборок. Размещение с повторениями. Размещение без повторений.

Перестановки. (3 часа)

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями.

Сочетания. (3 часа)

Сочетания без повторения. Сочетания с повторениями.

Подготовка к контрольной работе. (2 час)

Контрольная работа №2 по теме «Комбинаторика». (1 час)

Защита докладов. (3 час)

Повторение. Резерв.(5 часов)

Построение системы KPI бизнес-процесса | Udemy

НАУЧИТЕСЬ РАЗРАБАТЫВАТЬ СИСТЕМЫ KPI НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ, ЧТОБЫ ЭФФЕКТИВНО ВНЕДРЯТЬ ПРОЦЕССНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД В УПРАВЛЕНИЕ БИЗНЕС-СТРУКТУРОЙ

Итак, Вы умеете строить (разрабатывать, проектировать) модели бизнес-процессов. Но зачем это нужно, что дальше?

Дело в том, что модель бизнес-процесса, которую Вы получили — это первая из множества задач при внедрении процессно-ориентированного подхода в управление бизнес-структурой.

Следующая задача — это построение системы KPI бизнес-процесса, которая необходима в дальнейшем для решения всех последующих задач.

Регистрация на курс предоставляет вам неограниченный по сроку доступ ко всем материалам курса. Кроме того, вы получите индивидуальную поддержку по любым возникающим вопросам или сомнениям. И все это сопровождается гарантией возврата денег. Вы много приобретаете и при этом ничего не теряете.

Что входит в этот курс?

Этот курс позволит вам на основе знаний о построении моделей бизнес-процессов (например, мой курс «Построить модель бизнес-процесса с «0»») получить практические навыки — компетенции в использовании того, что необходимо для создания систем KPI бизнес-процессов.

  • Видеоуроки, построенные на простых и понятных примерах, помогают вам получать конкретное понимание изучаемого материала.

  • Индивидуальная он-лайн поддержка означает, что любые вопросы, которые у вас есть, можно легко решить и прояснить.

  • Доступ без истечения срока действия к материалам курса, чтобы вы могли учиться в удобном для вас темпе и возвращаться в любое время, когда чувствуете себя неуверенно или нуждаетесь в переподготовке.

Это самый исчерпывающий курс по построению системы KPI бизнес-процесса и он шаг за шагом проведет вас через все, что вам нужно знать, в практичной и простой для понимания форме.

Каждый урок и последующие действия основываются на предыдущих навыках, которые вы усвоили, поэтому к концу вы будете уверенно строить системы KPI любых бизнес-процессов, с которыми вы сталкиваетесь.

В дополнение ко всем инструментам — программам, которые вам понадобятся, чтобы приступить к построению системы KPI бизнес-процессов, вы также в моем лице познакомитесь с этой частью предметной области бизнес-анализа. Я не просто преподаватель, написавший этот курс, я также ресурс и наставник, через руки которого прошли сотни студентов и тысячи разработанных ими схем процессов и который направит вас к долгой и плодотворной карьере в области бизнес-анализа!

Более подробно о курсе смотрите в «Ознакомительном занятии» (в свободном доступе).

теория множеств | Символы, примеры и формулы

теория множеств , раздел математики, который имеет дело со свойствами четко определенных наборов объектов, которые могут иметь или не иметь математическую природу, например числа или функции. Теория менее ценна в прямом применении к обычному опыту, чем как основа для точной и адаптируемой терминологии для определения сложных и изощренных математических понятий.

Между 1874 и 1897 годами немецкий математик и логик Георг Кантор создал теорию абстрактных множеств сущностей и превратил ее в математическую дисциплину.Эта теория выросла из его исследований некоторых конкретных проблем, касающихся определенных типов бесконечных множеств действительных чисел. Набор, как писал Кантор, представляет собой совокупность определенных, различимых объектов восприятия или мысли, задуманных как единое целое. Объекты называются элементами или членами набора.

Теория имела революционный аспект рассмотрения бесконечных множеств как математических объектов, которые находятся на равных с теми, которые могут быть построены за конечное число шагов. С древних времен большинство математиков тщательно избегали введения в свои аргументы фактической бесконечности (т.е., наборов, содержащих бесконечное количество объектов, рассматриваемых как существующие одновременно, по крайней мере, мысленно). Поскольку такое отношение сохранялось почти до конца XIX века, работа Кантора подвергалась серьезной критике, поскольку она касалась вымысла — более того, что она вторгалась в сферу философии и нарушала принципы религии. Однако как только начали находить приложения к анализу, отношение начало меняться, и к 1890-м годам идеи и результаты Кантора получили признание.К 1900 году теория множеств была признана отдельной отраслью математики.

Однако именно тогда было обнаружено несколько противоречий в так называемой наивной теории множеств. Для устранения таких проблем была разработана аксиоматическая основа теории множеств, аналогичная той, которая была разработана для элементарной геометрии. Степень успеха, достигнутого в этом развитии, а также нынешний уровень теории множеств были хорошо выражены в Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique (начат в 1939 г .; «Элементы математики»): «В настоящее время это известно, что логически можно вывести практически всю известную математику из единого источника — теории множеств.”

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Введение в теорию наивных множеств

Основные концепции множеств

В наивной теории множеств набор — это совокупность объектов (называемых членами или элементами), которые рассматриваются как один объект. Чтобы указать, что объект x является членом набора A , пишут x A , а x A указывает, что x не является членом A .Набор может быть определен правилом (формулой) членства или перечислением его членов в фигурных скобках. Например, набор, заданный правилом «простые числа меньше 10», также может быть задан как {2, 3, 5, 7}. В принципе, любое конечное множество может быть определено явным списком его членов, но для определения бесконечных множеств требуется правило или шаблон, указывающий на членство; например, многоточие в {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} указывает, что список натуральных чисел ℕ продолжается бесконечно. Пустой (или void, или null) набор, обозначенный {} или Ø, не содержит вообще никаких элементов.Тем не менее, он имеет статус набора.

Набор A называется подмножеством набора B (обозначен символами A B ), если все элементы A также являются членами B . Например, любой набор является подмножеством самого себя, а Ø — подмножеством любого набора. Если и A, B и B A , то A и B имеют точно такие же элементы. Часть концепции набора состоит в том, что в этом случае A = B ; то есть A и B — это один и тот же набор.

Обзор теории множеств | Пустой набор | Универсальный набор | Реальные числа | Рациональные числа



1.2 Обзор теории множеств

Теория вероятностей использует язык множеств. Как мы увидим позже, вероятность определяется и рассчитывается по сетам. Таким образом, здесь мы кратко рассмотрим некоторые основные концепции теории множеств. которые используются в этой книге. Мы обсуждаем обозначения множеств, определения и операции (такие как пересечения и союзы).Затем мы вводим счетные и несчетные множества. Наконец, мы кратко обсудим функции. Этот раздел может показаться несколько теоретическим и поэтому менее интересным. чем остальная часть книги, но она закладывает основу для будущего.

Набор — это набор некоторых предметов (элементов). Мы часто используем заглавные буквы для обозначения множество. Чтобы определить набор, мы можем просто перечислить все элементы в фигурных скобках, например, чтобы определим набор $ A $, состоящий из двух элементов $ \ clubuit $ и $ \ diamondsuit $, запишем $ A = \ {\ clubuit, \ diamondsuit \} $.Чтобы сказать, что $ \ diamondsuit $ принадлежит $ A $, мы пишем $ \ diamondsuit \ in A $, где «$ \ in $» произносится как «принадлежит». Чтобы сказать, что элемент не принадлежит множеству, мы используйте $ \ notin $. Например, мы можем написать $ \ heartsuit \ notin A $.

Набор сбор вещей (элементов).

Обратите внимание, что порядок не имеет значения , поэтому два набора $ \ {\ clubuit, \ diamondsuit \} $ и $ \ {\ diamondsuit, \ clubuit \} $ равны. Мы часто работаем с наборами чисел.Некоторые важные наборы приведены в следующем примере.



Пример
В этой книге используются следующие наборы:

  • Набор натуральных чисел, $ \ mathbb {N} = \ {1,2,3, \ cdots \} $.
  • Набор целых чисел, $ \ mathbb {Z} = \ {\ cdots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ cdots \} $.
  • Множество рациональных чисел $ \ mathbb {Q} $.
  • Множество действительных чисел $ \ mathbb {R} $.
  • Закрытые интервалы на реальной линии.Например, $ [2,3] $ — это набор всех действительных чисел. $ x $ такое, что $ 2 \ leq x \ leq3 $.
  • Открытые интервалы на реальной линии. Например, $ (- 1,3) $ — это набор всех действительных чисел $ x $ такой, что $ -1
  • Аналогично, $ [1,2) $ — это множество всех действительных чисел $ x $, таких что $ 1 \ leq x
  • Набор комплексных чисел $ \ mathbb {C} $ — это набор чисел в форме $ a + bi $, где $ a, b \ in \ mathbb {R} $ и $ i = \ sqrt {-1} $.


Мы также можем определить набор, математически указав свойства, которым удовлетворяет элементы в наборе. 2 | x \ in \ mathbb {N} \} $, то $ D = \ {1,4,9,16, \ cdots \} $.

  • Набор рациональных чисел можно определить как $ \ mathbb {Q} = \ {\ frac {a} {b} | a, b \ in \ mathbb {Z}, b \ neq 0 \} $.
  • Для действительных чисел $ a $ и $ b $, где $ a
  • $ \ mathbb {C} = \ {a + bi \ mid a, b \ in \ mathbb {R}, i = \ sqrt {-1} \} $.

  • Набор $ A $ — это подмножество набора $ B $, если каждый элемент $ A $ также является элементом $ B $. Мы пишем $ A \ subset B $, где «$ \ subset $» означает «подмножество». Эквивалентно, мы говорим, что $ B $ — это надмножество $ A $ или $ B \ supset A $.


    Пример
    Вот несколько примеров наборов и их подмножеств:

    • Если $ E = \ {1,4 \} $ и $ C = \ {1,4,9 \} $, то $ E \ subset C $.
    • $ \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} $.
    • $ \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {R} $.

    Два набора равны, если они имеют абсолютно одинаковые элементы. Таким образом, $ A = B $ тогда и только тогда, когда $ A \ subset B $ и $ B \ subset A $. Например, $ \ {1,2,3 \} = \ {3,2,1 \} $ и $ \ {a, a, b \} = \ {a, b \} $. Набор без элементы, т.е., $ \ emptyset = \ {\} $ — это нулевой набор или пустой набор . Для любого набора $ A $, $ \ emptyset \ subset A $.

    Универсальный набор — это набор всего, что мы могли бы рассмотреть в контексте мы учимся. Таким образом, каждое множество $ A $ является подмножеством универсального множества. В этой книге мы часто обозначаем универсальное множество $ S $ (Как мы увидим, на языке теории вероятностей универсальное множество называется пробел .) Например, если мы обсуждаем бросание кубика, наш универсальный множество может быть определено как $ S = \ {1,2,3,4,5,6 \} $, или, если мы обсуждаем подбрасывание монеты один раз, наш универсальный set может быть $ S = \ {H, T \} $ ($ H $ для орла и $ T $ для решки).


    Теория множеств — определение и примеры

    Теория множеств — это раздел математической логики, изучающий множества, их операции и свойства.

    Георг Кантор впервые инициировал теорию в 1870-х годах в статье под названием « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел .С помощью операций над множеством степеней он доказал, что одни бесконечности больше других бесконечностей. Это привело к широкому использованию канторовских концепций.

    Теория множеств — одна из основ математики. В настоящее время он считается независимым разделом математики с приложениями в топологии, абстрактной алгебре и дискретной математике.

    В этой статье мы рассмотрим следующие темы:

    • Основы теории множеств.
    • Доказательства теории множеств.
    • Формулы теории множеств.
    • Обозначения теории множеств.
    • Примеры.
    • Практические задачи.

    Основы теории множеств

    Самая фундаментальная единица теории множеств — это множество. Набор — это уникальный набор объектов, называемых элементами. Эти элементы могут быть чем угодно, например деревьями, компаниями мобильной связи, числами, целыми числами, гласными или согласными. Наборы могут быть конечными или бесконечными. Примером конечного набора может быть набор английских алфавитов, действительных чисел или целых чисел.

    Наборы записываются тремя способами: в табличной форме, в нотации конструктора наборов или в описании. Далее они подразделяются на конечные, бесконечные, одноэлементные, эквивалентные и пустые множества.

    Мы можем выполнять с ними несколько операций. У каждой операции есть свои уникальные свойства, как мы скажем позже в этой лекции. Мы также рассмотрим обозначения множеств и некоторые основные формулы.

    Доказательства теории множеств

    Одним из наиболее важных аспектов теории множеств являются теоремы и доказательства, касающиеся множеств.Они помогают в базовом понимании теории множеств и закладывают основу для продвинутой математики. Один экстенсивно требуется для доказательства различных теорем, большинство из которых всегда о множествах.

    В этом разделе мы рассмотрим три доказательства, которые служат ступенькой к доказательству более сложных утверждений. Однако мы будем делиться только подходом, а не пошаговым руководством для лучшего понимания.

    Объект является элементом набора:

    Как мы знаем, любой набор в нотации конструктора наборов определяется как:

    X = {x: P (x)}

    Здесь P (x) равно открытое предложение о x, которое должно быть истинным, если какое-либо значение x должно быть элементом множества X.Поскольку мы это знаем, мы должны сделать вывод, что для доказательства объект является элементом множества; нам нужно доказать, что P (x) для этого конкретного объекта истинно.

    Набор является подмножеством другого:

    Это доказательство является одним из наиболее избыточных доказательств в теории множеств, поэтому его необходимо хорошо понять и уделить особое внимание. В этом разделе мы рассмотрим, как доказать это предложение. Если у нас есть два набора, A и B, A является подмножеством B, если оно содержит все элементы, присутствующие в B, это также означает, что:

    , если A, то B.

    Это тоже утверждение, которое нам нужно доказать. Один из способов — предположить, что элемент A является элементом A, а затем сделать вывод, что a также является элементом B. Однако другой вариант называется контрапозитивным подходом, где мы предполагаем, что a не является элементом B, поэтому a также не является элементом A.

    Но для простоты всегда следует использовать первый подход в связанных доказательствах.

    Пример 1

    Докажите, что {x ∈ Z : 8 I x} {x ∈ Z : 4 I x}

    Решение:

    Предположим, что a ∈ {x ∈ Z : 8 I x}, что означает, что a принадлежит целым числам и может делиться на 8.Должно быть целое число c, для которого a = 8c; если присмотреться, то можно записать это как a = 4 (2c). Из a = 4 (2c) мы можем вывести, что 4 I a.

    Следовательно, a — целое число, которое можно разделить на 4. Следовательно, a {x ∈ Z : 4 I x}. Как мы доказали, a ∈ {x ∈ Z : 8 I x} влечет {x ∈ Z : 4 I x}, это означает, что {x ∈ Z : 8 I x} {x ∈ Z : 4 I x}. Следовательно доказано.

    Два набора равны:

    Существует элементарное доказательство того, что два набора равны.Предположим, мы доказываем, что A B; это будет означать, что все элементы A присутствуют в B. Но на втором этапе, если мы покажем, что B ⊆ A, это будет означать, что вся возможность некоторых элементов B, которых не было в A на первом этапе, была удаленный. Нет никаких шансов, что какие-либо элементы в B теперь не присутствуют в A или наоборот.

    Теперь, поскольку и A, и B являются подмножеством друг друга, мы можем доказать, что A равно B.

    Формулы теории множеств

    В этом разделе будут рассмотрены некоторые формулы теории множеств, которые помогут нам выполнять операции с наборы.Не только операции над множествами, мы сможем применять эти формулы к реальным задачам и понимать их.

    Формулы, которые мы будем обсуждать, являются фундаментальными и будут выполняться только на двух наборах. Прежде чем мы углубимся в эти формулы, некоторые обозначения нуждаются в пояснении.

    n (A) представляет количество элементов в A

    n (A B) представляет количество элементов в A или B

    n (A B) представляет количество элементов, общих для оба набора A и B.

    • n (A B) = n (A) + n (B) — n (A B)

    Мы можем использовать эту формулу для расчета количества элементов присутствует в союзе А и Б. Эта формула может использоваться только тогда, когда A и B перекрываются и имеют общие элементы между ними.

    Эту формулу можно использовать, когда A и B — непересекающиеся множества, так что между ними нет общих элементов.

    • n (A) = n (A B) + n (A B) — n (B)

    Эта формула используется, когда мы хотим вычислить число элементов в множестве A, при условии, что нам дано количество элементов в A union B, A пересечении B и B.

    • n (B) = n (A B) + n (A B) — n (A)

    Эта формула используется, когда мы хотим вычислить число элементов в множестве B при условии, что нам дано количество элементов в объединении A B, пересечении B и в A.

    • n (A B) = n (A) + n (B ) — n (A B)

    Если мы хотим найти элементы, общие для A и B, нам нужно знать размер A, B и A объединения B.

    • n (A B) = n (A — B) + n (B — A) + n (A B)

    В этой формуле мы снова вычисление количества элементов в объединении B, но на этот раз предоставленная информация отличается. Нам дана величина разницы относительно B и разницы относительно A. Наряду с этим нам дается количество элементов, общих для A и B

    Пример 2

    В школе 20 учителей.10 преподают науку, 3 — искусство, а 2 преподают и то, и другое.

    Определите, сколько учителей преподают любой из предметов.

    Решение:

    Количество учителей, преподающих любой из предметов:

    n (A B) = n (A) + n (B) — n (A B)

    n ( A B) = 10 + 3 — 2 = 11

    Итак, 11 учителей обучают любого из них.

    Обозначение теории множеств

    В этом разделе мы будем говорить обо всех обозначениях, используемых в теории множеств.Он включает математические обозначения от множества до символа для действительных и комплексных чисел. Эти символы уникальны и зависят от выполняемой операции.

    Мы обсуждали подмножества и наборы мощности ранее. Мы также рассмотрим их математические обозначения. Использование этого обозначения позволяет нам представить операцию наиболее компактным и упрощенным способом.

    Это позволяет случайному наблюдателю-математику точно узнать, какая операция выполняется.Итак, давайте разберемся с этим по порядку.

    Набор:

    Мы знаем, что набор — это набор элементов, как мы неоднократно обсуждали ранее. Этими элементами могут быть названия некоторых книг, машин, фруктов, овощей, числа, алфавиты. Но все это должно быть уникальным и неповторяющимся в наборе.

    Они также могут быть связаны с математикой, например, различные линии, кривые, константы, переменные или другие наборы. В современной математике вы не найдете такого обычного математического объекта.Для определения наборов мы обычно используем заглавный алфавит, но его математическое обозначение:

    {} Набор фигурных скобок используется в качестве математического обозначения наборов.

    Пример 3

    Запишите 1, 2, 3, 6 как один набор A в математической записи.

    Решение:

    A = {1, 2, 3, 6}

    Union:

    Предположим, у нас есть два набора: A и B. Объединение этих двух наборов определяется как новый набор, который содержит все элементы A, B и элементы, присутствующие в обоих.Единственное отличие состоит в том, что элементы повторяются в A и B. В новом наборе эти элементы будут только один раз. В математической индукции это представляется с помощью логики «или» во внутреннем смысле. Если мы говорим A или B, это означает объединение A и B.

    Он представлен с помощью символа:

    Пример 4

    Как бы вы изобразили объединение множеств A и B?

    Решение:

    Объединение двух наборов A и B, также определенных как элементы, принадлежащие либо A, либо B, либо обоим, может быть представлено следующим образом:

    A B

    Пересечение:

    Давайте снова предположим, что у нас есть два набора: A и B.Пересечение этих множеств определяется как новый набор, содержащий все элементы, общие для A и B, или все элементы A, которые также присутствуют в B. Другими словами, мы также можем сказать, что все элементы, присутствующие в A и B.

    В математической индукции логика «И» используется для представления пересечения между элементами. Итак, если мы говорим A и B, мы имеем в виду пересечение или общие элементы. Включены только элементы, присутствующие в обоих наборах.

    Он представлен с помощью символа:

    Пример 5

    Как бы вы изобразили пересечение A и B?

    Решение:

    Пересечение двух наборов представлено следующим образом:

    A B

    Подмножество:

    Любой набор A считается подмножеством набора B, если все элементы набора A также являются элементами набор Б.Это набор, который содержит все элементы, также присутствующие в другом наборе.

    Эту взаимосвязь можно также называть «включением». Два набора A и B могут быть равными, они также могут быть неравными, но тогда B должно быть больше, чем A, поскольку A является подмножеством B. Далее мы обсудим несколько других вариантов подмножества. Но пока мы говорим только о подмножествах.

    Он представлен с помощью символа:

    Пример 6

    Представьте, что A является подмножеством B.

    Решение:

    Это отношение A, являющегося подмножеством B, представлено как:

    A B

    Правильное подмножество:

    Раньше мы говорили о подмножестве, теперь мы должны чтобы посмотреть на обозначение для правильного подмножества любого набора, но сначала нам нужно знать, что такое правильное подмножество. Предположим, у нас есть два набора: A и B. A является правильным подмножеством B, если все элементы A присутствуют в B, но B имеет больше элементов, в отличие от некоторых случаев, когда оба набора равны в нескольких элементах.A — собственное подмножество B с большим количеством элементов, чем A. По сути, A является подмножеством B, но не равно B. Это правильное подмножество.

    В теории множеств он представлен с помощью символа:

    Этот символ означает «правильное подмножество. Б?

    Решение:

    Учитывая, что A является правильным подмножеством B:

    A B

    Не подмножество:

    Мы обсуждали, что всякий раз, когда все элементы A присутствуют в другом в нашем случае это множество B, то можно сказать, что A является подмножеством B.Но что, если все элементы A отсутствуют в B? Как мы это называем и как представляем?

    В этом случае мы называем это A не подмножеством B, потому что все элементы A не присутствуют в B, и математический символ, который мы используем, чтобы представить это:

    Это означает «не подмножество. of. ‘

    Пример 8

    Как вы изобразите связь A, не являющуюся подмножеством B?

    Решение:

    Учитывая, что A не является правильным подмножеством B:

    A B

    Надмножество:

    Надмножество также можно объяснить с помощью подмножества.Если мы говорим, что A является подмножеством B, тогда B является надмножеством A. Здесь следует отметить, что мы использовали слово «подмножество», а не собственное подмножество, где B всегда имеет больше элементов, чем A. Здесь B может либо иметь больше элементов или такое же количество элементов, что и A. Другими словами, мы можем сказать, что B имеет те же элементы, что и A, или, возможно, больше. Математически мы можем представить это с помощью символа: ⊇

    Это означает «надмножество.»

    Пример 9

    Как вы изобразите отношение A как надмножества B?

    Решение:

    Учитывая, что A является надмножеством B:

    A B

    Правильный надмножество:

    Так же, как концепция правильного подмножества, где набор, который является правильным подмножеством, всегда имеет меньше элементов, чем другой набор, когда мы говорим, что набор является надлежащим надмножеством некоторого другого набора, он также должен иметь больше элементов, чем другой набор.Теперь определим его: любой набор A является правильным надмножеством любого набора B, если он содержит все B и более элементов. Это означает, что A всегда должен быть больше B. Эта операция представлена ​​с помощью символа:

    Это означает правильное «подмножество.»

    Пример 10

    Как вы будете представлять отношения является ли A правильным надмножеством B?

    Решение:

    Учитывая, что A является правильным надмножеством B:

    A B

    Не надмножество:

    Если какой-либо набор не может быть подмножеством другого набора, любой набор может также не должен быть надмножеством какого-либо другого набора.Чтобы определить это в терминах теории множеств, мы говорим, что любой набор A не является надмножеством B, если он не содержит всех элементов, присутствующих в B, или имеет меньше элементов, чем B. Это означает, что размер A может быть меньше B или иметь все элементы, присутствующие в B. В обозначении набора мы представляем это как:

    Это означает «не надмножество.»

    Пример 11

    Как вы представите отношение A не является надмножеством B?

    Решение:

    Учитывая, что A не является надмножеством B:

    A B

    Дополнение:

    Чтобы понять дополнение любого набора, вам сначала нужно знать, что универсальный набор есть.Универсальный набор — это набор, содержащий все, что находится под наблюдением. Он включает в себя все объекты и все элементы в любом из связанных наборов или в любом наборе, который является подмножеством этого универсального набора.

    Теперь, когда мы знаем, что такое универсальный набор, дополнение набора, скажем, набор A определяется как все элементы, присутствующие в универсальном наборе, но не в A, при условии, что A является подмножеством U. Это означает, что набор элементов, которых нет в A. Он представлен с помощью небольшого скрипта c:

    Ac

    Читается как «дополнение A».

    Пример 12

    У нас есть набор U, но не A; как вы их представляете?

    Решение:

    Учитывая, что эти элементы не находятся в A, мы имеем:

    Ac

    Разница:

    Дополнение набора использует функцию разницы между универсальным набором и любым набором A. Теперь , в чем разница между наборами?

    В теории множеств разница между множествами заключается в том, что новый набор содержит все элементы, присутствующие в одном наборе, но не в другом.Итак, предположим, что мы хотим найти разницу между множеством A и B, нам нужно будет построить новый набор, содержащий все элементы, присутствующие в A, но не в B. Разница — это двоичная функция. Для этого нужны два операнда: мы используем символ оператора вычитания. Итак, предположим, что у нас есть два набора, A и B. Нам нужно найти разницу между ними относительно B. Это будет новый набор, содержащий все элементы в B, но не в A. Это можно представить с помощью обозначение:

    A — B

    Элемент:

    Мы знаем, что набор состоит из уникальных объектов.Эти уникальные объекты называются элементами. Отдельный объект набора называется элементом набора. Это объекты, которые используются для формирования набора.

    Их также можно назвать членами множества. Любой элемент набора — это уникальный объект, принадлежащий этому набору. Как мы уже выяснили ранее, они записываются в фигурных скобках с разделителями-запятыми. Название набора всегда представлено заглавными буквами английского алфавита.

    Если какой-либо объект, скажем «6», является элементом набора, мы запишем его как:

    6 A

    Где означает «элемент из.’

    Пример 13

    A определяется как {2, 5, 8, 0}. Укажите, является ли следующее утверждение истинным или ложным.

    0 A

    Решение:

    Как мы видим, 0 является элементом A, поэтому утверждение верно.

    Не является элементом:

    Что означает, что элемент не является частью набора, и как мы это представляем?

    Любой объект не является элементом набора, если его нет в наборе, или мы можем сказать, что его нет в наборе.Для обозначения этого используется следующий символ:

    Это означает «не является элементом».

    Пример 14

    A определяется как {2, 5, 8, 0}. Укажите, является ли следующее утверждение истинным или ложным.

    0 A

    Решение:

    Как мы видим, 0 является элементом A, в то время как данное условие утверждает, что 0 не является элементом A, поэтому утверждение FALSE.

    Пустой набор:

    Пустой набор — увлекательная концепция в теории множеств.По сути, это набор, не содержащий вообще никаких элементов. Причина, по которой нам это нужно, состоит в том, что мы хотим иметь какое-то представление о пустоте. Пустой набор не пуст. Если вы заключите его в скобки, это будет набор, содержащий эту пустоту. Размер пустого набора также равен нулю. Он существует на самом деле? Это можно вывести из некоторых теорем. Он также имеет уникальные свойства, например, является подмножеством всех наборов. Однако единственное подмножество, которое содержит пустой набор: пустое множество.

    Есть несколько способов представить это; некоторые используют пустые фигурные скобки; некоторые используют символ Ⲫ.

    Универсальный набор:

    Как мы обсуждали в разделе «Дополнения», универсальный набор содержит все элементы, присутствующие в соответствующих наборах. Эти объекты уникальны, уникальны и не должны повторяться. Итак, если мы установили A = {2, 5, 7, 4, 9} и установили B = {6, 9}. Универсальный набор, обозначенный с помощью символа «U», будет равен набору U = {2, 5, 4, 6, 7, 9, 10, 13}.

    Если вам дан универсальный набор, вы должны сделать вывод, что он должен содержать некоторые элементы разных, но связанных наборов вместе со своими собственными уникальными элементами, которых нет в связанных наборах.

    Как мы упоминали ранее, универсальный набор обозначается символом «U». Нет формулы для расчета одного набора из нескольких наборов. К этому моменту вы должны уметь рассуждать, что составляющие множества универсальных множеств также являются подмножествами U.

    Набор мощности:

    В теории множеств набор мощности определенного набора A — это набор, который включает в себя все подмножества A. Эти подмножества включают в себя пустой набор и сам набор. Количество элементов в наборе мощности может быть рассчитано с использованием предопределенной формулы 2s, где — количество элементов в исходном наборе.

    Набор мощности — прекрасный пример наборов внутри наборов, где элементы набора являются другим набором. Любое подмножество набора мощности называется семейством наборов над этим набором. Итак, допустим, у нас есть набор A. Набор мощности A представлен следующим образом:

    P (A)

    Равенство:

    Любые два набора считаются равными, если они имеют одинаковые элементы. Теперь порядок этих элементов быть одинаковым не обязательно; однако важен сам элемент.

    Чтобы два набора были равны, их объединение и пересечение должны давать одинаковый результат, который также равен обоим задействованным множествам. Как и в других свойствах равенства, мы также используем символ равенства в теории множеств. Если два набора A и B равны, мы запишем это как:

    A = B

    Декартово произведение:

    Как следует из названия, это продукт любых двух наборов, но этот продукт заказан. Другими словами, декартово произведение любых двух наборов — это набор, содержащий все возможные и упорядоченные пары, так что первый элемент пары происходит из первого набора, а второй элемент берется из второго набора.Теперь это упорядочено таким образом, чтобы имели место все возможные вариации между элементами.

    Чаще всего декартово произведение реализуется в теории множеств. Как и другие операции с продуктом, мы используем знак умножения, чтобы представить это, поэтому, если мы установили a и B, декартово произведение между ними будет представлено как:

    A x B

    Мощность элементов:

    В наборе Согласно теории, мощность набора — это размер этого набора. Под размером набора мы понимаем количество присутствующих в нем элементов.Он имеет то же обозначение, что и абсолютное значение, которое представляет собой две вертикальные полосы с каждой стороны. Допустим, мы хотим представить мощность множества A, мы запишем это как:

    IAI

    Это обозначает количество элементов, присутствующих в A.

    Для всех:

    Это символ в установите обозначение для представления «для всех».

    Допустим, у нас есть x> 4, x = 2. Это означает, что для всех значений x больше четырех, x будет равен 2.

    Следовательно:

    Следовательно, символ, наиболее часто используемый в математической записи теории множеств, отключен.Он используется в своем английском значении и обозначается символом: ∴

    Проблемы:
    1. Докажите, что 21 A, где A = {x: x N и 7 I x}.
    2. Определите количество элементов в наборе мощности A = {5, 8, 3, 4, 9}.
    3. Найдите объединение A = {4, 6, 8} и B = {1, 2, 5}.
    4. В школе 35 учителей; 15 преподают науку, 9 — искусство, а 6 — и то, и другое. Определите, сколько учителей преподают оба предмета.
    5. Найдите разницу между A = {набор целых чисел} и B = {набор натуральных чисел} относительно B.

    Ответы:
    1. Доказательство оставлено читателю
    2. 32
    3. {1, 2, 4, 5, 6, 8}
    4. 6
    5. {0}, это не пустой набор
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Математика | Операции над множествами (теория множеств)

    Объединение

    Объединение множеств A и B, обозначенное A ∪ B, представляет собой набор отдельных элементов, которые принадлежат множеству A или множеству B, или обоим.

    Диаграмма Венна для A ∪ B

    Выше представлена ​​диаграмма Венна для A U B.

       Пример  : Найдите объединение A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5};
    Решение: A ∪ B = {2, 3, 4, 5}. 

    Пересечение

    Пересечение множеств A и B, обозначенное A ∩ B, является набором элементов, которые принадлежат как A, так и B, т.е. набор общих элементов в A и B.

    Диаграмма Венна из A ∩ B

    Выше диаграмма Венна для A ∩ B.

       Пример  : Найдите пересечение A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}
    Решение: A ∩ B = {3, 4}.

    Непересекающийся

    Два множества называются непересекающимися, если их пересечение является пустым множеством. т.е. у наборов нет общих элементов.


    Выше диаграмма Венна непересекающейся B.

       Пример  : Пусть A = {1, 3, 5, 7, 9} и B = {2, 4, 6, 8}
    A и B - непересекающиеся множества, поскольку оба они не имеют общих элементов. 

    Разница между наборами

    Разница между наборами обозначается буквой «A — B», которая представляет собой набор, содержащий элементы, которые находятся в A, но не в B.то есть все элементы A, кроме элемента B.

    Выше представлена ​​диаграмма Венна для A-B.

       Пример  : Если A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {2, 4, 6, 8}, найдите A-B
    Решение: AB = {1, 3, 5} 

    Дополнение

    Дополнение набора A, обозначенное A C , является набором всех элементов, кроме элементов в A. Дополнением набора A является U — A.

    Выше представлена ​​диаграмма Венна для A c

       Пример  : Пусть U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} и А = {2, 4, 6, 8}.Найдите A  C 
    Решение: A  C  = UA = {1, 3, 5, 7, 9, 10} 

    Сложение и вычитание

    Сложение наборов A и B, называемое сложением Минковского , является набором в элементы которого представляют собой сумму каждой возможной пары элементов из двух наборов (то есть один элемент из набора A, а другой из набора B).
    Вычитание множества следует тому же правилу, но с операцией вычитания для элементов. Следует отметить, что эти операции выполняются только с числовыми типами данных.Даже если бы действовал иначе, это было бы только символическое представление без какого-либо значения. Кроме того, легко увидеть, что сложение множеств коммутативно, а вычитание — нет.

    Для сложения и последующего вычитания обратитесь к этому ответу.

    [Tex] AB = A \ cap \ bar {B} [/ Tex]

    1. Ассоциативные свойства: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C и A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
    2. Коммутативные свойства: A ∪ B = B ∪ A и A ∩ B = B ∩ A
    3. Свойство идентичности для Union: A ∪ φ = A
    4. Пересечение Свойство пустого множества: A ∩ φ = φ
    5. Распределительные свойства: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) аналогично для пересечения.

    Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Практикуйте экзамен GATE задолго до самого экзамена с помощью предметных и общих викторин, доступных в курсе GATE Test Series .

    Изучите все концепции GATE CS с бесплатными живыми классами на нашем канале YouTube.

    Что такое символы диаграммы Венна — с примерами

    Этот пост был первоначально опубликован 11 сентября 2018 г. и последний раз обновлялся 26 июля 2020 г.

    Когда вы оглядываетесь на диаграммы Венна, которые вы создали в начальной школе, у вас, вероятно, остались приятные воспоминания о том, какие типы шоколадных батончиков нравились вам и вашим друзьям, или о сравнении ваших любимых героев фильмов. Хотя вы, возможно, думали, что дни построения диаграмм Венна давно остались позади, эти инструменты на самом деле полезны в зрелом возрасте. Фактически, математики и родственные профессии используют их для представления сложных взаимосвязей и решения математических задач все время.

    Конечно, объекты, изучаемые на профессиональных диаграммах, обычно не являются шоколадными батончиками или персонажами фильмов. И вам нужно понять гораздо больше, чтобы использовать их эффективно. Чтобы полностью погрузиться в мир профессиональных диаграмм Венна, вы должны иметь базовое понимание раздела математической логики, называемого «теорией множеств», и связанных с ней символов и обозначений.

    Используя теорию множеств, исследователи и математики заложили основы многих математических понятий, включая разнообразные наборы структур, отношений и теорем, которые могут применяться в различных областях исследования, включая топологию, абстрактную алгебру и дискретную математику.

    Используя основы, которые мы рассмотрим здесь, вы также можете начать использовать диаграммы Венна более сложными способами.

    Обозначения диаграммы Венна

    Хотя в теории множеств используется более 30 символов, вам не нужно запоминать их все, чтобы начать. Фактически, следующие три являются идеальной основой.

    Символ союза ∪

    Диаграммы Венна состоят из серии перекрывающихся кругов, каждый из которых представляет категорию. Чтобы представить объединение двух множеств, мы используем символ ∪ — не путать с буквой ‘u.’

    В приведенном ниже примере у нас есть круг A зеленого цвета и круг B фиолетового цвета. Эта диаграмма представляет собой объединение A и B, которое мы обозначим как A ∪ B.

    Давайте на мгновение вернемся к тем дням в начальной школе на примере шоколадных батончиков. Если бы в круге A были люди, которым нравились батончики Snickers, а в круге B — люди, которым нравились батончики 3 Musketeers, A ∪ B представляли людей, которым нравятся Snickers, 3 Musketeers или оба.

    Знак перекрестка ∩

    Область пересечения двух наборов — это то место, где объекты разделяют обе категории.В нашем примере диаграммы бирюзовая область (где зеленый и фиолетовый перекрываются) представляет собой пересечение точек A и B, которое мы обозначили как A ∩ B.

    На этом перекрестке мы найдем людей, которым нравятся и Snickers, и 3 Musketeers.

    Дополнительный символ A

    c

    Категории, не представленные в наборе, называются дополнением набора. Чтобы представить дополнение набора A, мы используем символ A c .

    Для представления абсолютного дополнения набора, т.е.е., все, что не входит в набор, мы используем уравнение A c = U \ A, где буква «U» представляет данную вселенную. Это уравнение означает, что все во Вселенной, кроме A, является абсолютным дополнением к A в U.

    Серая часть нашего примера диаграммы представляет все, что находится за пределами A.

    Если использовать наш пример с шоколадным батончиком, это будет представлять всех, кто не любит Snickers.

    Другой пример

    Давайте попробуем новый пример. Допустим, мы планируем вечеринку на работе и пытаемся понять, какие напитки подать.Мы спрашиваем трех человек, какие напитки они любят. Когда мы спрашиваем, вот что получаем:

    Напиток A B С
    Вино Х Х Х
    Пиво Х Х
    Мартини Х Х
    Старомодный Х Х
    Ром и кокс
    Джин-тоник

    Используя трехкружную диаграмму Венна, мы можем охватить все возможности.Каждый человек представлен в виде круга, который обозначается буквами A, B и C. Используя символ ∩, мы можем показать, где должны быть размещены пересечения между множествами.

    Когда мы заполняем диаграмму нашими данными, мы размещаем каждый объект в соответствии с формулами, которые мы указали выше. Например, мы помещаем мартини в области B и C, потому что респонденты B и C указали, что они им нравятся. Поскольку ром и кока-кола и джин-тоник не были выбраны никем, они не входят в какой-либо круг. Однако, поскольку они все еще существуют и доступны во вселенной, их можно поместить в белое пространство.

    Вот наша последняя диаграмма:

    Понятно, что вино — лучший выбор для нашей предстоящей вечеринки. Пиво, мартини и старомодные напитки могут быть хорошими дополнительными напитками, но к ним, вероятно, не следует подавать ром с кока-колой или джин с тоником.

    Примеры диаграмм Венна

    Использование всех этих версий с усвоенными вами символами должно послужить отличным началом для построения диаграмм Венна, которые помогут вашей команде. Используйте серию шаблонов диаграмм Венна на Cacoo в качестве отправной точки.

    Вот еще несколько примеров, когда вы продолжите:

    Как читать диаграмму Венна

    Теперь, когда вы знаете все о том, как построить диаграмму Венна и включили официальную терминологию и символы, вы должны понять, как правильно ее читать.

    Путем реверс-инжиниринга вы можете взять информацию, уже имеющуюся на диаграмме, чтобы увидеть, где будут располагаться обозначенные нами символы и уравнения. Независимо от того, сколько опций добавлено, вы знаете, в чем их сходства или предпочтения, а также различия между тем, какие элементы в конечном итоге оказываются внутри и за пределами диаграммы.

    Теория множеств

    Хотя мы могли бы очень глубоко изучить теорию множеств (всегда есть чему поучиться), подходящим способом завершить урок по диаграммам Венна является изучение некоторой теории, лежащей в основе этих диаграмм.

    Набор — это группа или набор вещей, также называемых элементами. Эти элементы действительно могут быть чем угодно. В приведенном выше примере набор — это выбор, который безымянная группа сделала для своих предпочтений по напиткам.

    В теории множеств мы бы записали это вместо этого в виде уравнения, перечислив все элементы в фигурных скобках:

    {человек 1, человек 2, человек 3, человек 4,…}

    Поскольку вопрос в примере заключается в том, какой напиток они предпочитают, эти люди в конечном итоге делятся на группы по своему выбору:

    Старомодный = {X человек}

    Мартини = {X человек}

    Пиво = {X человек}

    Ром и кокс = {X человек}

    Джин-тоник = {X человек}

    Поскольку мы предлагаем пять различных вариантов напитков, мы получаем пять отдельных наборов, которые затем представлены на диаграмме Венна.

    Заключительные мысли

    Для ясности здесь мы остановились на основных примерах, но есть гораздо больше информации, которую вы можете использовать для более глубокого изучения теории множеств. На самом деле, статья в Стэнфордской энциклопедии по теории множеств — отличное место для начала.

    По мере того, как вы исследуете больше установленных взаимосвязей, визуализация вашей работы с помощью диаграмм Венна — мощный и простой способ с легкостью передать эти отношения.

    Когда вы будете готовы приступить к созданию собственных диаграмм Венна, остановитесь на нашем облачном инструменте построения диаграмм Cacoo.Наша библиотека форм может помочь вам легко создавать диаграммы с нуля, или вы можете начать с одного из наших сотен готовых шаблонов, чтобы просто вставить свою информацию и начать.

    Совместная работа над идеями для согласования видения вашей команды в Cacoo

    Брэнди Гратис Брэнди — менеджер по контент-маркетингу в Nulab, создателе Cacoo, Backlog и Typetalk. Она регулярно вносит и редактирует контент для всех веб-сайтов и блогов Nulab.

    От математики к SQL Server, быстрое введение в теорию множеств

    Введение

    В предыдущей статье этой серии «Введение в подходы на основе наборов и процедурное программирование в T-SQL» мы увидели на простом примере, что можем найти реальную пользу от изучения подхода, основанного на наборах, при написании кода T-SQL. .

    В этой статье мы продолжим в том же духе, посмотрев, что такое набор и что мы можем с ним делать с математической точки зрения, а также как он реализован и предоставлен нам в SQL Server.Мы также рассмотрим более «реалистичные» примеры с использованием базы данных Microsoft AdventureWorks.

    Теория множеств и основы

    Определение набора

    В математике мы определяем, что теория множеств — это раздел математики и, в частности, математической логики, изучающий совокупности объектов, которые мы называем множествами.

    Не волнуйтесь, здесь мы не будем заниматься математикой, так как сосредоточимся на практических аспектах, которые мы будем использовать при написании запросов T-SQL.Давайте просто рассмотрим некоторые основы этой теории:

    • Элементарный набор — это пустой набор. Это набор нулевых объектов, который вы найдете в некоторых справочниках, он также называется набором null . Его обозначение — ∅ или {}.
    • Непустой набор содержит пустой набор плюс один или несколько объектов. Это также означает, что набор может содержать набор.
    • Существует фундаментальная бинарная связь между объектом и набором: объект для набора членства.Это эквивалентно операции IN в запросе T-SQL.
    • Поскольку набор может содержать другой набор, последнее двоичное отношение может быть расширено, чтобы установить членство, также известное как отношение подмножества или включение набора.
    • Как и любая арифметическая теория, теория множеств определяет собственные бинарные операции над множествами. Например, в теории чисел мы можем найти такие операции, как сложение или деление.

    Графическое изображение набора

    Для графического представления операции над наборами обычно используются диаграммы Венна, которые показывают все возможные логические отношения между конечным числом различных наборов.

    Вы найдете пример представления отдельного набора и его объектов на следующем рисунке. Этот набор содержит следующие объекты: A, B, D, L, o, Q и z.

    В дальнейшем мы будем использовать это представление, чтобы обеспечить хорошее понимание продукта каждой операции, которую мы определим.

    Установить операции и их эквиваленты в SQL Server

    Теперь поговорим об операциях с двумя наборами, которые называются A и B .Мы также переведем их в операторы T-SQL, где A и B будут либо таблицами, либо результатами запроса.

    Как должны знать почти все читатели, способ получить содержимое набора A или набора B выполняется следующим образом с использованием T-SQL (пример с набором A ):

    Примечание

    В дальнейшем, если не оговорено иное, «наборы» T-SQL A и B имеют одинаковое количество столбцов одного и того же типа.Это причина, по которой мы использовали обозначение SELECT * выше.

    Профсоюзное предприятие

    Операция объединения создаст набор, состоящий из всех объектов из A и всех объектов из B . Обозначается как A∪B.

    Например, если A состоит из {1,3,6} и B из {3,9,10}, тогда A∪B представляет собой набор, состоящий из {1,3,6,9,10}.

    Графическое представление A∪B выглядит следующим образом. Набор A представлен красным кружком, а зеленый кружок представляет набор B .A∪B — это части этих кругов в оттенках серого. Дальнейшие представления будут использовать это соглашение об использовании цвета.

    В SQL Server мы найдем реализацию оператора UNION. Ниже вы найдете эквивалентную инструкцию T-SQL для набора A∪B:

    ВЫБРАТЬ *

    ИЗ A

    СОЕДИНЕНИЕ

    ВЫБРАТЬ *

    ИЗ B

    Между T-SQL и теорией множеств есть небольшая разница: Microsoft предоставляет своим пользователям возможность хранить повторяющиеся записи, которые обычно должны быть удалены оператором UNION.Для этого мы добавим слово ALL после UNION.

    Вернемся к предыдущему примеру с использованием наборов чисел, UNION ALL набора A с набором B сгенерирует следующий набор:

    {1,3,3,6,9,10}

    Теперь давайте рассмотрим пример использования SQL Server и проверим, действительно ли существует разница между операторами UNION и UNION ALL.

    Пример союза

    Объединить все Пример

    Как видно из приведенного выше примера, операция UNION преобразуется в оператор MERGE JOIN в SQL Server, в то время как оператор UNION ALL просто берет все строки из каждого набора и объединяет их.

    До сих пор мы не видели, что такое «присоединение». По сути, соединение — это способ получить набор на основе двух или более таблиц. Этот набор результатов имеет либо те же столбцы, что и базовые таблицы, либо столбцы из обеих таблиц, подразумеваемые при операции соединения.

    Эксплуатация перекрестка

    Пересечение набора A и набора B обозначено A∩B и представляет собой набор элементов, которые можно найти в обоих наборах.

    Вернемся к примеру с числовыми наборами,

    • A = {1,3,6}
    • B = {3,9,10}
    • A∩B = {3}

    Графически это выглядит так:

    В SQL Server есть также оператор INTERSECT T-SQL, который реализует эту операцию над множеством.Ниже вы найдете эквивалентную инструкцию T-SQL для набора A∪B:

    ВЫБРАТЬ *

    ОТ A

    ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

    ВЫБРАТЬ *

    ОТ B

    Теперь давайте посмотрим на конкретный пример T-SQL, где A — это набор лиц, имя которых начинается с «J», а B — это набор лиц, фамилия которых начинается с «E».A∩B — это совокупность лиц, инициалы которых имеют «J.E.».

    ВЫБЕРИТЕ BusinessEntityID, PersonType, FirstName, MiddleName, LastName

    FROM [Person]. [Person]

    WHERE FirstName LIKE ‘J%’

    INTERSECT

    SELECT BusinessEntityName, LastNameType ОТ [Человек]. [Человек]

    ГДЕ Фамилия КАК «E%»

    План выполнения для этого конкретного запроса не представляет собой эквивалентного оператора в ядре базы данных SQL Server.Как мы видим, операция INTERSECT транслируется в цепочку операторов вложенного цикла, поскольку у нас есть предложение WHERE в каждом подзапросе.

    Если мы прокомментируем эти предложения WHERE, мы получим следующий план выполнения, в котором используется оператор MERGE JOIN, как и для операции UNION, но в режиме «внутреннего соединения»:

    Установка разницы в работе

    Разница между набором A и набором B обозначена A \ B и будет принимать все элементы, составляющие набор A , которых нет в наборе B .

    Вернемся к примеру с числовыми наборами,

    • A = {1,3,6}
    • B = {3,9,10}
    • A \ B = {1,6}

    Графически это выглядит так:

    В SQL Server эта операция также реализована и доступна пользователям через оператор EXCEPT. Ниже вы найдете эквивалентную инструкцию T-SQL для набора A \ B:

    ВЫБРАТЬ *

    ИЗ A

    ИСКЛЮЧАЯ

    ВЫБРАТЬ *

    ИЗ B

    Итак, если мы хотим получить конкретный пример, допустим, мы хотим получить идентификаторы всех лиц, у которых нет номера контактного телефона.Для этого возьмем таблицу Person.Person как набор A и таблицу Person.PersonPhone как набор B . Это дает нам следующее утверждение:

    ВЫБЕРИТЕ BusinessEntityID

    ОТ [Person]. [Person]

    EXCEPT

    выберите BusinessEntityID

    из Person.PersonPhone

    Если мы посмотрим на его план выполнения, мы увидим, что оператор, используемый SQL Server, называется «Hash Match (Left Anti Semi Join)».

    Операция декартова произведения

    Описание работы

    Декартово произведение обозначается A × B и представляет собой набор, составленный из всех возможных упорядоченных пар (a, b), где a является членом набора A и b является членом набора B .

    Вернемся к нашему примеру с использованием чисел, где:

    Чтобы получить элементы A × B, мы можем составить таблицу с элементом A по строке и элементом B по столбцу.Каждая комбинация значений строки и столбца будет элементом A × B.

    Элементы набора B
    Элементы набора A 3 9 10
    1 (1,3) (1,9) (1,10)
    3 (3,3) (3,9) (3,10)
    6 (6,3) (6,9) (6,10)

    Итак, A × B = {(1,3), (1,9), (1,10), (3,3), (3,9), (3,10), (6,3), ( 6,9), (6,10)}

    Что ж, мы можем быть очень сбиты с толку, увидев эту операцию, и спросить себя: «Что, черт возьми, я могу с этим сделать? ».На самом деле, эта операция очень полезна во множестве ситуаций, и мы будем широко ее использовать в последней статье этой серии.

    Сначала мы рассмотрим способ выполнения перекрестного соединения с помощью T-SQL.

    Соответствующая реализация в SQL Server

    В SQL Server мы можем написать декартово произведение с помощью команды CROSS JOIN следующим образом.

    SELECT *

    FROM A

    CROSS JOIN B

    Примечание :

    • Здесь звездочка вернет все столбцы из A и из B .
    • Если мы хотим перекрестно соединить A с самим собой, мы получим следующее сообщение об ошибке, за исключением случаев, когда мы предоставим псевдоним по крайней мере для одного из вхождений таблицы A .

    В качестве альтернативы мы можем просто использовать запятую, чтобы заменить нотацию CROSS JOIN:

    Примеры использования реальных приложений Cross join

    Теперь мы знаем, как написать запрос, используя перекрестное соединение или декартово произведение, ну, мы должны знать, в каких случаях мы могли бы его использовать.

    Пример 1: Вычислить / создать все возможные варианты для конкретной ситуации

    Предположим, мы работаем на швейной фабрике и хотим знать, сколько разных видов изделий мы можем создать и по какой цене в зависимости от размера и цвета одежды.

    Если у нас есть таблицы ClothingSizes и ClothingColors, мы можем воспользоваться операцией CROSS JOIN следующим образом.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    140002

    13

    14

    18

    19

    20

    21

    22

    23

    24

    25

    26

    27

    28

    29

    30

    000

    000 34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    — Создать таблицу размеров одежды

    СОЗДАТЬ ТАБЛИЦУ Размеры одежды (

    SizeDisplay VARCHAR (32),

    Need4FabricUnits INT

    );

    ВСТАВИТЬ В РАЗМЕРЫ одежды

    ЗНАЧЕНИЯ

    («Маленький», 1), («Средний», 2), («Большой», 3), («Очень большой», 4)

    ;

    — Создать таблицу ClothingColors

    СОЗДАТЬ ТАБЛИЦУ ClothingColors (

    ColorName VARCHAR (32),

    ColorPrice INT

    );

    — Создать все комбинации

    ВСТАВИТЬ В ClothingColors

    ЗНАЧЕНИЯ

    («Белый», 10),

    («Серый», 12),

    («Красный», 15),

    ( «Желтый», 20),

    («Черный», 10)

    ;

    SELECT

    cs.SizeDisplay,

    cc.ColorName,

    cc.ColorPrice * cs.Need4FabricUnits as ManufactoringPrice

    FROM ClothingSizes cs,

    ClothingColors cc

    — cleanups 9000P

    — cleanups 9000P

    — cleanups

    DROP TABLE Размеры одежды;

    Результаты:

    Пример 2: Создание тестовых данных

    В приведенном выше примере вы можете представить решение со списком имен и списком фамилий.При выполнении перекрестного соединения на обоих, мы получим кандидатов для таблицы Contact или Person. Это также может быть распространено на адреса и любые типы данных. Ваше воображение — это предел.

    Пример 3: Создание данных диаграмм (ось X)

    Этот пример является частью расширенного примера подхода, основанного на множествах, поэтому здесь мы не будем его подробно разрабатывать. Мы просто представим ситуацию. Допустим, у нас есть инструмент, который регистрирует любое ненормальное поведение с отметкой времени внутри таблицы SQL Server, но ничего не регистрирует, когда все работает, как ожидалось.В таком случае, если мы хотим, например, построить график количества аномалий по дням, мы столкнемся с проблемой, поскольку в данных есть «дыры».

    Таким образом, мы не можем построить диаграмму напрямую, и мы должны сначала создать временную шкалу с соответствующим шагом (здесь часы). Чтобы создать эту временную шкалу, нам нужно будет использовать CROSS JOIN.

    Таким образом, мы могли бы рассмотреть набор, содержащий короткие интересующие даты, а затем соединить их перекрестно с набором из 24 чисел от 0 до 23, представляющих часы в день.

    Если нам нужно отчитываться по минутам в день, мы бы добавили еще одну операцию CROSS JOIN с набором из 60 чисел от 0 до 59, представляющих минуты в час.

    Математические операции, не имеющие эквивалента в SQL Server

    Эти операции над наборами не так просто реализовать, чтобы они работали эффективно для каждого отдельного случая. Думаю, именно поэтому Microsoft их не реализовала.

    Далее мы представим саму операцию, пример использования, в котором они могут быть полезны, и реализацию, специфичную для этого варианта использования.

    Симметричная разностная операция

    Симметричная разностная операция эквивалентна логическому исключающему ИЛИ. Он обозначается как A⊕B и содержит все элементы, которые находятся в наборе A , но не входят в набор B , и те, которые находятся в наборе B , но не входят в набор A .

    Графически эту операцию можно представить как:

    Мы можем реализовать это разными способами:

    Реализация 1 — просто как ее определение

    (

    SELECT *

    FROM A

    EXCEPT

    SELECT *

    FROM B

    ) UNION ALL (

    SELECT *

    FROM B 9000EP5

    EXC

    )

    Реализация 2 — Использование оператора IN для ключевых столбцов

    ВЫБРАТЬ *

    ОТ A

    ГДЕ A_Keys НЕ ВХОДИТ (ВЫБРАТЬ B_Keys ИЗ B)

    UNION ВСЕ

    ВЫБРАТЬ *

    ОТ B

    ОТКЛЮЧИТЬ ОТКРЫТЬ B_Keys

    Работа силовой установки

    Набор мощности набора A — это набор, состоящий из всех возможных подмножеств набора A.

    В нашем предыдущем примере с использованием наборов чисел A = {1,3,6}. Это означает, что набор мощности A состоит из следующих элементов:

    • Пустой набор
    • Наборы из одного элемента {1} {3} {6}
    • Наборы из двух элементов {1,3} {1,6} {3,6}
    • Наборы из трех элементов (на самом деле это набор А, ).

    Я не нашел особой причины использовать эту операцию с набором в реальной жизни, но не стесняйтесь обращаться ко мне, если вы ее найдете!

    Сводка

    В этой статье мы увидели, что SQL Server реализует большинство математических операций над наборами.Мы можем добавить операторы множества, определенные здесь, справа от таблицы, созданной в предыдущей статье этой серии — «Введение в подходы к программированию на основе множеств и процедурные подходы в T-SQL». Напоминаем, что в этой таблице приведены инструкции и объекты, которые мы можем использовать как в процедурном, так и в основанном на наборах подходах.

    Процедурный подход Основанный на наборах подход
    SELECT и другие операции DML,

    WHILE,
    BREAK,
    CONTINUE,
    IF… ELSE,
    TRY… CATCH
    Курсоры (OPEN, FETCH, CLOSE)
    DECLARE

    SELECT и другие операции DML,

    Агрегатные функции (MIN, MAX, AVG, SUM…)

    UNION и UNION ALL
    EXCEPT и INTERSECT
    CROSS JOIN

    Дополнительная информация

    На этом вторая статья завершается, но есть третья и последняя из серии.В следующей статье мы уделим внимание различным типам объединений и стандартной функции SQL, называемой Common Tabular Expression. Затем мы будем использовать всю информацию, полученную в этой серии, чтобы предоставить основанное на наборах решение некоторых реальных проблем, с которыми я столкнулся как администратор баз данных.

    Другие статьи из этой серии:


    Живя в Бельгии, я получил степень магистра компьютерных наук в 2011 году в Льежском университете.

    Я один из тех немногих, кто начал работать администратором баз данных сразу после окончания учебы.Итак, я работаю в университетской больнице Льежа с 2011 года. Изначально я занимался администрированием баз данных Oracle (которые все еще находятся в моей компетенции), а в 2013 году у меня была возможность изучать экземпляры SQL Server и управлять ими. много о SQL Server в администрировании и разработке.

    Мне нравится работа администратора баз данных, потому что вам нужно обладать общими знаниями во всех областях ИТ. Вот почему я не перестану изучать (и делиться) продуктами моего обучения.

    Посмотреть все сообщения Jefferson Elias

    Последние сообщения Jefferson Elias (посмотреть все)

    Примеры вопросов теории множеств

    17 апреля 2011 г. · Дано решение: A = {a}, B = {a} и C = пустое множество.Мой вопрос в том, как вы можете это решить — мне сказали, что это возможно из диаграмм Венна, но я не уверен, как это работает. Мой метод поиска примеров счетчиков обычно состоит в том, чтобы сделать A = {a}, B = {b} и C = {c}, а затем показать, что LHS не совпадает с RIGHT. Селонис — аналитик данных (вопросы теории MCQ). Селонис — инженер по данным (вопросы по теории MCQ). Предположим, у нас есть три центроида кластера, и. Кроме того, у нас есть обучающий пример.

    Заработная плата VIP-бортпроводника

    21 ноября 2017 г. · Задать теорию упражнений 1.1 Является ли каждый из следующих четко определенным набором? Обоснуйте каждый свой ответ вкратце. (а) Набор всех буквенно-цифровых символов. (б) Собрание всех высоких людей. (c) Набор всех действительных чисел x, для которых: 2x — 9 = 16. (d) Набор всех целых чисел x, для которых: 2x — 9 = 16. Второй вопрос заключается в том, объясняются ли явления создателями и сторонниками Теорию этологической привязанности можно было бы объяснить иначе, используя другие психологические механизмы. Это два критерия, которым необходимо соответствовать, чтобы теория привязанности считалась отличной идеей.

    Как сказать спасибо за неожиданный подарок от брата?

    Теория цвета включает в себя множество определений, концепций и дизайнерских приложений — достаточно, чтобы заполнить несколько энциклопедий. Тем не менее, есть три основных категории теории цвета, которые логичны и полезны: цветовое колесо, цветовая гармония и контекст использования цветов. Определение теории, связная группа проверенных общих положений, обычно считающихся правильными, которые можно использовать в качестве принципов объяснения и предсказания для класса явлений: теории относительности Эйнштейна.

    Mekanism chargepad

    17 апреля 2011 г. · Дано решение: A = {a}, B = {a} и C = пустой набор. Мой вопрос в том, как вы можете это решить — мне сказали, что это возможно из диаграмм Венна, но я не уверен, как это работает. Мой метод поиска примеров счетчиков обычно состоит в том, чтобы сделать A = {a}, B = {b} и C = {c}, а затем показать, что LHS не совпадает с RIGHT. Набор восприятия — хороший пример так называемой обработки сверху вниз. При нисходящей обработке восприятие начинается с самого общего и движется к более конкретному.На такое восприятие сильно влияют ожидания и предыдущие знания.

    Danganronpa genderswap

    Пример 1.1: Некоторые примеры групп. 1. Целые числа Z при сложении +. 2. Набор GL 2 (R) обратимых матриц 2 на 2 над вещественными числами с матричным умножением в качестве бинарной операции. Это общая линейная группа матриц 2 на 2 над вещественными R. 3. Набор матриц G = ˆ e = 1 0 0 1; a = 1 0 0 1; b = 1 0 0 1; c = 1 0 0 1 ˙ Множество всех четных перестановок в S n является подгруппой в S n.3.6.5. Определение. Множество всех четных перестановок S n называется знакопеременной группой на n элементах и ​​обозначается A n. Другие примеры Пример 3.1.4. (Группа единиц по модулю n) Пусть n — натуральное число.

    2013 lexus es 350 замена свечи зажигания

    Теория чисел — обширная и увлекательная область математики, иногда называемая «высшей арифметикой», состоящая из изучения свойств целых чисел. Простые числа и факторизация на простые множители особенно важны в теории чисел, как и ряд функций, таких как функция делителя, дзета-функция Римана и функция общего числа.01 мая 2002 г. · В наивной теории множеств набор — это просто набор объектов, удовлетворяющих некоторому условию. Считается, что любое четко сформулированное условие определяет набор, а именно те вещи, которые удовлетворяют условию. Вот несколько наборов: Набор всех красных мотоциклов; Набор всех целых чисел больше нуля; Набор всех синих бананов — это просто пустой …

    Анализ иронии в литературном листе ответы

    Находите и изучайте онлайн-карточки и заметки в классе дома или на своем телефоне.Посетите StudyBlue сегодня, чтобы узнать больше о том, как делиться и создавать карточки бесплатно! Кроме того, эта страница содержит тему с дополнительными ответами, например, WAEC GCE Expo 2017 | (Все предметы) Математика, английский язык, биология, физика, химия и т. Д., А также WAEC Obj & Theory — наверняка На этой странице мы предоставим вам точные прошлые вопросы и ответы, которые позволят вам и другим ученикам прочитать и подготовиться к Экспертиза WAEC GCE.

    Какой из следующих процессов требует, чтобы ячейка использовала atppercent27s

    Исчисление предикатов с равенством.Примеры языков и теорий первого порядка. Формулировка теоремы о полноте; * эскиз доказательства *. Теорема компактности и теоремы Ловенгейма-Сколема. Ограничения логики первого порядка. Теория моделей. [5] Теория множеств Теория множеств как теория первого порядка; аксиомы теории множеств ZF.

    10 ТЕОРИЯ ГРАФОВ {ЛЕКЦИЯ 4: ДЕРЕВЬЯ Изоморфизмы и автоморфизмы деревьев Пример 1.1. Два графика на рис. 1.4 имеют одинаковую последовательность степеней, но их можно легко увидеть как неизомные по нескольким причинам.Например, центр левого графа — это единственная вершина, а центр правого графа — единственное ребро.

    Prediksi jitu togel hari ini

    Задачи теории множеств обычно сбивают с толку учащихся. Наш сайт может помочь вам прояснить, и вы также можете задать нам вопросы относительно диаграмм Венна или любой другой подтемы в вашей теории множеств. Домашнее задание по теории множеств на самом деле различается в зависимости от уровня домашнего задания, так как оно отличается в случае высокого …

    Вопросы и ответы по интерпретации данных с пояснениями для собеседования, конкурсного экзамена и вступительного испытания.Полностью решенные примеры с подробным описанием ответов, даны пояснения, которые легко понять.

    Alice launcher apk

    Rocket league семинар карты карты

    щенки корги для продажи в charlotte nc

    The Great Gatsby Movie скачать бесплатно

    Goal zero van setup

    проблемы практики осмоса pdf

    Retro0005 background free

    22 9 Финансы 30210 Решения набора проблем № 8: Введение в теорию игр.1) Рассмотрим следующую версию игры с дилеммой заключенного (выигрыши игрока выделены жирным шрифтом)

    В этой статье мы рассмотрим некоторые элементарные результаты теории чисел, отчасти потому, что они интересны сами по себе, а отчасти потому, что они полезны для других целей. контекстах (например, в задачах олимпиад), и отчасти потому, что они дадут вам представление о том, что такое теория чисел.

    Примером такого отношения может быть функция. Функции связывают ключи с единичными значениями.Набор всех функций — это подмножество набора всех отношений — функция — это отношение, в котором первое значение каждого кортежа уникально для всего набора. Другими хорошо известными отношениями являются отношение эквивалентности и отношение порядка.

    Покупаете учебники? Получите бесплатную доставку для соответствующих заказов на сумму свыше 25 долларов и сэкономьте до 90% при покупке учебников на Textbooks.com.

    10 ТЕОРИЯ ГРАФОВ {ЛЕКЦИЯ 4: ДЕРЕВЬЯ Изоморфизмы и автоморфизмы деревьев Пример 1.1. Два графика на рис.4 имеют одинаковую последовательность степеней, но их можно легко увидеть как неизомные по нескольким причинам. Например, центр левого графа — это единственная вершина, а центр правого графа — единственное ребро.

    Население города Солт-Лейк-Сити

    Расширитель для труб из ПВХ

    Построить лодку для кодов сокровищ апрель 2020

    Ugebra ответы проверьте себя

    Велосипедист из Бостона убит

    Карта пула Python несколько аргументов

    Dana 44 уплотнение задней оси

    signal 5v

    Gen v 454 прокладка головки

    Tbm 900 синтетическое зрение

    9 Консоль разработчика firefox

    Baldwin, датское современное акросоническое пианино с тростником

    Инженер Artitec

    Коды Klondike adventures 2020

    Dd15 Шум детонации

    Dd15 Шум детонации

    Стандартные законы о нейтрализаторах Аризоны форма ключ ответа

    Какой из следующих организмов расположен только на 3-м трофическом уровне почвенной пищевой сети_

    Коды Gamehag

    Просить профессора о расширении reddit

    Адаптер фрезерованного материала Mak 90

    Как предотвратить фокусировку на клике

    Wr3d 2k20 скачать

    Динамо-машина для улучшения теплового расширения

    Портал для переадресации не перенаправляется

    Выполняется дата выплаты пособия tn

    Стеклянные банки с крышками рядом со мной

    Двойное крепление для пропанового бака

    Win32 veeam

    Пропустить вашей организации требуется модуль Windows меньше

    12240 2 Grade unit

    Селектор безопасности Radian Talon

    Лист для ухода за Rhysida longipes

    So3 + h3o h3so4 Тип реакции

    3 sulphite Farming выдвижной слив

    C Продажа нестандартных микроавтобусов б / у

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.