Уравнения пуассона решение: Уравнения Пуассона и Лапласа | Электротехника

Содержание

Численные методы решения уравнений эллиптического типа / Хабр

Введение


Наиболее распространённым уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона.
К решению этого уравнения сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.

Для решения эллиптических уравнений в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Точность решения опреде­ляется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера [1]

Цель публикации получить решение уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле и Неймана, исследовать сходимость релаксационного метода решения на примерах.

Уравнение Пуассона относится к уравнениям эллиптического типа и в одномерном случае имеет вид [1]:

(1)

где x – координата; u(x) – искомая функция; A(x), f(x) – некоторые непрерывные функции координаты.

Решим одномерное уравнение Пуассона для случая А = 1, которое при этом принимает вид:

(2)

Зададим на отрезке [xmin, xmax] равномерную координатную сетку с шагом ∆х:

(3)

Граничные условия первого рода (условия Дирихле) для рассматривае­мой задачи могут быть представлены в виде:

(4)

где х1, xn – координаты граничных точек области [xmin, xmax]; g1, g2 – некоторые
константы.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) для рассматривае­мой задачи могут быть представлены в виде:

(5)

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной координатной сетке (3) с использованием метода конечных разностей, по­лучим:

(6)

где u1, un – значения функции u(x) в точках x1, xn соответственно.

Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (3), по­лучим:

(7)

Проводя дискретизацию уравнения (2) для внутренних точек сетки, по­лучим:

(8)

где ui, fi – значения функций u(x), f(x) в точке сетки с координатой xi.

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью n, содержащую n – 2 уравнения вида (8) для внутренних точек области и уравнения (6) и (7) для двух граничных точек [1].

Ниже приведен листинг на Python численного решения уравнения (2) с граничными условиями (4) – (5) на координатной сетке (3).

Листинг решения
from numpy import*
from numpy.linalg import solve
import matplotlib.pyplot as plt
x0=0#Начальная координата области решения
xn=5#Конечная координата области решения
n=100#Число точек координатной сетки
dx=(xn-x0)/(n-1)#Задание равномерной координатной сетки с шагом dx
x=[i*dx+x0 for i in arange(0,n,1)]#Задание равномерной координатной сетки с шагом dx
def f(i):#Функция правой части уравнения
         return 2*sin(x[i]**2)+cos(x[i]**2)
v1=1.0#Вид ГУ на левой границе (1 - Дирихле, 2 - Неймана)
g1=0.0#Значение ГУ на левой границе
v2=2.0#'Вид ГУ на правой границе (1 - Дирихле, 2 - Неймана)
g2=-0.5#Значение ГУ на правой границе
a=zeros([n,n])#Задание матрицы коэффициентов СЛАУ размерностью n x n
b=zeros([1,n])# Задание матрицы-строки свободных членов СЛАУ размерностью 1 x n
 #Определение коэффициентов и свободных членов СЛАУ,
# соответствующих граничным условиям и проверка корректности
#значений параметров v1, v2
b[0,n-1]=g1;
if v1==1:
         a[0,0]=1
elif v1==2:
         a[0,0]=-1/dx
         a[0,1]=1/dx;
else:
         print('Параметр v1 имеет неправильное значение')
b[0,n-1]=g2;
if v2==1:
         a[n-1,n-1]=1         
elif v2==2:
         a[n-1,n-1]=1/dx
         a[n-1,n-2]=-1/dx;
else:
         print('Параметр v2 имеет неправильное значение')
#Определение коэффициентов и свободных членов СЛАУ,
# соответствующих внутренним точкам области         
for i in arange(1, n-1,1):
         a[i,i]=-2/dx**2
         a[i,i+1]=1/dx**2
         a[i,i-1]=1/dx**2
         b[0,i]=f(i)
u=linalg.
solve(a,b.T).T#Решение СЛАУ def viz(v1,v2): if v1==v2==1: return "ГУ Дирихле на левой и ГУ Дирихле на правой границе " elif v1==1 and v2==2: return "ГУ Дирихле на левой и ГУ Неймана на правой границе " elif v2==1 and v2==1: return "ГУ Неймана на левой и ГУ Дирихле на правой границе " plt.figure() plt.title("График функции правой части уравнения Пуассона") y=[f(i) for i in arange(0,n,1)] plt.plot(x,y) plt.grid(True) plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.figure() plt.title("График искомой функции уравнения Пуассона") plt.xlabel('x') plt.ylabel('u(x)') plt.plot(x,u[0,:],label='%s'%viz(v1,v2)) plt.legend(loc='best') plt.grid(True) plt.show()


Получим:

Разработанная мною на Python программа удобна для анализа граничных условий.Приведенный алгоритм решения на Python использует функцию Numpy — u=linalg.solve(a,b.T).T для решения системы алгебраических уравнений, что повышает быстродействие при квадратной матрице {a}. Однако при росте числа измерений необходимо переходить к использованию трех диагональной матрицы решение для которой усложняется даже для очень простой задачи, вот нашёл на форуме такой пример:

Пример решения с трёх диагональной матрицей
from __future__ import print_function 
from __future__ import division 
import numpy as np 
import time 
ti = time.clock() 
m = 1000 
A = np.zeros((m, m)) 
B = np.zeros((m, 1))  
A[0, 0] = 1 
A[0, 1] = 2 
B[0, 0] = 1 
for i in range(1, m-1): 
    A[i, i-1] = 7 
    A[i, i] = 8  
    A[i, i+1] = 9 
    B[i, 0] = 2 
A[m-1, m-2] = 3 
A[m-1, m-1] = 4 
B[m-1, 0] = 3 
print('A \n', A) 
print('B \n', B) 
x = np.linalg.solve(A, B)  # solve A*x = B for x 
print('x \n', x) 
print('NUMPY time', time.clock()-ti, 'seconds') 


Программа численного решения на равномерной по каждому направлению сетки задачи Дирихле для уравнения конвекции-диффузии

[2]

(9)

Используем аппроксимации центральными разностями для конвективного слагаемого и итерационный метод релаксации. для зависимость скорости сходимости от параметра релаксации при численном решении задачи с /(х) = 1 и 6(х) = 0,10. В сеточной задаче:

(10)

Представим матрицу А в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольных матриц:

(10)

Метод релаксации соответствует использованию итерационного метода:

(11)

При \ говорят о верхней релаксации, при — о нижней релаксации.

Листинг програмы
from numpy import *
""" Численное решение задачи Дирихле
для уравнения конвекции-диффузии в
прямоугольнике.Метод релаксации."""
def relaxation(b, f, I1, I2, n1, n2, omega, tol = 1.e-8):
         h2 = I1 / n1
         h3 = I2 / n2
         d = 2. / h2**2 + 2. / h3**2
         y = zeros([n1+1, n2+1])
         ff = zeros([n1+1, n2+1])
         bb = zeros([n1+1, n2+1])
         for j in arange(1,n2,1):
                  for i in arange(1,n1,1):
                           ff [i,j] = f(i*h2, j*h3)
                           bb[i,j] = b(i*h2, j*h3)                           
         #максимальное число итераций - 10000
         for k in arange(1, 10001,1):
                  rn = 0.
for j in arange(1,n2,1): for i in arange(1,n1,1): rr = - (y[i-1,j] - 2.*y [i, j] + y[i+1,j]) / h2**2 \ - (y[i,j-1] - 2.*y [i,j] + y[i,j+1]) / h3**2 \ + bb[i,j]*(y [i+1,j] - y [i-1,j]) / (2.*h2) - ff [i,j] rn = rn + rr**2 y[i,j] = y[i,j] - omega * rr / d rn = rn*h2*h3 if rn < tol**2: return y, k print ('Метод релаксации не сходиться:') print ('после 10000 итерации остаток=',sqrt(rn)) import matplotlib.pyplot as plt bcList = [0., 10.] sglist = ['-','--'] kk = 0 for bc in bcList: I1 = 1. I2 = 1. def f(x,y): return 1. def b(x,y): return bc n1 = 25 n2 = 25 m = 20 om = linspace(1.
, 1.95, m) it = zeros(([m])) for k in arange(0,m,1): omega = om[k] y, iter = relaxation(b, f, I1, I2, n1, n2, omega, tol=1.e-6) it[k] = iter s1= 'b =' + str(bc) sg = sglist[kk] kk = kk+1 plt.plot( om,it, sg, label = s1) plt.title("Число итераций метода релаксации\n для приближённого решения эллиптической задачи\n с использованием заданного параметра релаксации $\\omega$") plt.xlabel('$\\omega$') plt.ylabel('iterations') plt.legend(loc=0) plt.grid(True) plt.show(
)

Получим:

На графике показана зависимость числа итераций от параметра релаксации для уравнения Пуассона (b(х) = 0) и уравнения конвекции-диффузии (b(х) = 10). Для сеточного уравнения Пуассона оптимальное значении параметра релаксации находится аналитически, а итерационный метод сходиться при .

Выводы:

  1. Приведено решение эллиптической задачи на Python с гибкой системой установки граничных условий
  2. Показано что метод релаксации имеет оптимальный диапазон () параметра релаксации.

Ссылки:
  1. Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики. – Таганрог:
    Изд-во ТРТУ, 2003. – 120 с.
  2. Вабищевич П.Н.Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом
    «ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.

УМФ. Метод Фурье: уравнения Лапласа и Пуассона в шаре и сферическом слое

Теоретический минимум

Рассмотрим уравнение Лапласа в трёхмерной области со сферической симметрией — это может быть внутренность
или внешность сферы, либо сферический слой. Обсуждать будем два вида краевых задач: Дирихле (заданы значения функции на
границе области) и Неймана (на границе области заданы значения производной функции по нормали к этой границе).
Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней) и внешней задачи Неймана единственно (в случае задачи Неймана — условие существования
решения сильнее, чем в случае задачи Дирихле; строго говоря, следует проверять его выполнение, но мы в примерах ниже на этом не

останавливаемся, предполагая, что проверка выполнена). Решение внутренней задачи Неймана единственное с точностью до константы.

Общее решение в рамках метода Фурье ищется в виде

где ,
, .
Вид функции диктуется требованием ограниченности решения уравнения и областью, в которой решается
уравнение. Если решается внутренняя задача, то , так как функции не являются ограниченными
при . Если решается внешняя задача, то , так как функции не являются ограниченными при .
Вид функции не определяется условием ограниченности решения уравнения, если задача решается в сферическом слое.

Обратимся к угловой части решения. Она представляет собой т.н. сферические функции. Их вид может показаться довольно-таки громоздким,
однако функции, соответствующие небольшим значениям индексов, выглядят совсем просто. Для удобства решения задач приведём
несколько примеров



Напомним, что в сферических координатах лапласиан можно записать следующим образом:
,
где . Вид угловой части лапласиана нам не потребуется, но важно знать, что
.

Поиск коэффициентов основан на свойстве ортогональности сферических функций на сфере:
.
Мы не приводим здесь нормировочный коэффициент , так как он нам не потребуется. Важно то, что любые две сферические
функции с различными индексами ортогональны на сфере.

Используется краевое условие. Пусть, например, заданы значения функции на границе области, например, при . Тогда подставим
в общий вид решения и приравняем полученный ряд функции из краевого условия. Затем эта функция раскладывается по
сферическим функциям. Остаётся приравнять коэффициенты при одинаковых сферических функциях слева и справа.

Примеры

Пример 1. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа.

Так как решается внутренняя задача, то общее решение ищем в виде
. (1)
Множитель введён исключительно для удобства записи краевого условия.
Учтём краевое условие:
. (2)
Дальше следует раскладывать правую часть по сферических функциям. Однако сразу понятно, что индекс может принимать
только нулевое значение: в противном случае в правой части (2) присутствовали бы функции азимутального угла
(это следует из определения сферических функций). Поэтому задача несколько упрощается:
.
Далее, представим правую часть в виде . Сравнивая это выражение с приведёнными в теоретическом
минимуме сферическими функциями, заключаем, что слева могут быть только функции и , т.е. из всего
ряда остаются только два слагаемых: с и .


Возвращаемся к виду решения (1), в котором полагаем и оставляем слагаемые с и :
.

Пример 2. Внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа.

Так как решается внешняя задача, то решение ищем в виде
.
Вычислим производную этой функции, чтобы учесть краевое условие:
.
. (3)
Разложим правую часть по сферическим функциями:

Видно, что в сумме в левой части (3) останутся только слагаемые, соответствующие значению индекса :
,
.
Возвращаемся к общему вид решения. Полагаем и находим:

.

Пример 3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в сферическом слое.

Так как задача рассматривается в шаровом слое, то решение ищем в виде

Учтём краевые условия:


Правые части здесь с точностью до коэффициента представляют собой сферические функции:
.
Следовательно, в общем решении следует оставить только слагаемые, отвечающие значениям индексов и :


;
;
Можно выписать окончательный ответ:


Пример 4. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Пуассона. Случай однородного краевого условия.

Задачу упрощает то, что краевое условие однородное. В данном случае общий подход сохраняется, т.е. решение ищем в виде
,
но вид функций заранее неизвестен.
Подставим такой вид решения в уравнение. При этом лапласиан запишем, выделяя угловую часть:
.
Учтём, что .
Кроме того, заметим, что неоднородность уравнения можно записать как . Следовательно, из всей суммы при поиске
решения можно оставить только слагаемые, отвечающие значению индексов , .
Тогда получим
.
(4)
Это неоднородное уравнение. Ищем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения в виде .
При подстановке такой функции в уравнение получим , т.е. общее решение однородного уравнения

Вид неоднородности уравнения (4) подсказывает, что его частное решение следует искать в виде . Подстановка этой функции
в уравнение (4) приводит к значению . Итак, общее решение уравнения (4)
.
Определяем неизвестные константы. Во-первых, ищем решение, ограниченное внутри шара, поэтому . Во-вторых.
есть краевое условие:
,
откуда следует в силу произвольности углов и, принимая во внимание, что от ряда осталось лишь одно слагаемое, условие .
Это условие позволяет найти . Итак, окончательный ответ
.

Пример 5. Внешняя задача Дирихле для уравнения Пуассона. Случай неоднородного краевого условия.

Как обычно бывает при применении метода Фурье к неоднородным уравнениям с неоднородными дополнительными условиями, используется
метод редукции. Решение представляется в виде суммы двух функций, одна из которых «принимает на себя» неоднородность в дополнительном
условии, в другая — неоднородность уравнения. Так поступим и здесь. Рассмотрим две задачи:
и .
Тогда решение исходной задачи . Задачи, из которых находятся функции и , уже обсуждались выше
(примеры 1 и 4).
1. Поиск функции .
Решение ищем в виде
.
Подставим этот вид решения в уравнение.
.
Учитываем, что .
Неоднородность уравнения записываем через сферическую функцию: . Следовательно, из всей суммы при поиске
решения можно оставить только слагаемые, отвечающие значению индексов , .
Тогда получаем
.

Опуская детали решения этого обыкновенного дифференциального уравнения (оно полностью аналогично разобранному в примере 4),
приводим общее решение
.
Определяем неизвестные константы. Снова используем условие ограниченности решения вне шара, поэтому . Используем
краевое условие:
. Таким образом,
.

2. Поиск функции .
Решение ищем в виде
.
Здесь учтено, что решается внешняя задача. Используем краевое условие:
Учтём краевое условие:
.
Раскладываем правую часть по сферических функциям: . Таким образом, из ряда, определяющего
решение задачи, остаются только два слагаемых: с и .
.
Возвращаемся к общему виду решения, в котором полагаем и оставляем слагаемые с и :
.
Фактически, тем самым исходная задача решена.

Замечание. В рассмотренных примерах удавалось достаточно легко проводить разложения функций по сферическим функциям. В общем случае
разложение проводится стандартным способом. А именно раскладываемую функцию представляем в виде ряда по сферическим функциям, умножаем её на
произвольную сферическую функцию и интегрируем по сфере, применяя приведённое в теоретическом минимуме соотношение ортогональности. В результате
решение задачи будет представлять собой ряд, который иногда удаётся суммировать.

О КОНЕЧНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ.

Please use this identifier to cite or link to this item: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/24395

Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.

Title: О КОНЕЧНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ.
Authors: Пастухов, Д. Ф.
Пастухов, Ю. Ф.
Волосова, Н. К.
Волосов, К. А.
Волосова, А. К.
Keywords: Ключевые слова: метод прогонки в блочной форме, диагональные матрицы, монотонные матрицы, уравнения математической физики, численные методы, уравнение Пуассона.
Issue Date: 11-Feb-2020
Publisher: Полоцкий государственный университет, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет), Российский университет транспорта (МИИТ)
Citation: Пастухов Д. Ф., Пастухов Ю. Ф., Волосова Н. К., Волосов К. А., Волосова А. К. О конечных методах решения уравнения Пуассона на прямоугольнике с краевым условием Дирихле/Д. Ф. Пастухов, Ю. Ф. Пастухов, Н. К. Волосова, К. А. Волосов, А. К. Волосова//УДК 517.6. Статья по математике. Численные методы, — Новополцк, Москва; 2020.19 С.
Abstract: Предложен алгоритм прогонки в матричной форме с шестым порядком погрешности для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике за конечное число арифметических операций. Аналитическим примером и программой, использующей данный алгоритм, подтвержден шестой порядок погрешности. В теореме 1 доказана монотонность матриц с диагональным преобладанием, у которых элементы главной диагонали отрицательны (положительны), а недиагональные положительны (отрицательны). В теореме 2 получена верхняя оценка бесконечной нормы обратной к монотонной матрице. В теореме 3 получены достаточные условия корректности предложенного алгоритма. -12 .
Description: Введение. Матрицы и матричные уравнения специального типа применяются во многих разделах прикладной математики. В квантовой механике динамика частиц со спином определяется матрицами кватернионов (полукватернионов)[1,2]. Для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике (параллелепипеде) используется метод прогонки[3,4,5,6,10,12,13,19]. Алгебраический метод прогонки, совместно с формулой простой итерации[5] является приближенным методом, так как число итераций не ограничено, но имея формулу аппроксимации уравнения Пуассона с шестым порядком погрешности можно значительно снизить погрешность и время вычислений[5]. В данной работе рассмотрен метод прогонки в матричной форме для численного решения уравнения Пуассона за конечное число арифметических операций. Идея работы частично основана на идее статьи[10], а также модификации краевых столбцов и строк в матрице правой части уравнения Пуассона с шестым порядком аппроксимации[5]. Получены достаточные условия корректности предложенного алгоритма, теоремы 1,2,3. Метод можно использовать в прикладных задачах математической физики[15,16,17], а также в двумерных задачах гидродинамики, система уравнений которых содержит уравнение Пуассона от функции тока, где правая часть – функция вихря.
URI: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/24395
Appears in Collections:Уравнения математической физики (1-98 01 01) 3к5с

Вывод уравнения Пуассона в электростатике.

Уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля.

Выше мы познакомились со свойствами электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность связан с величиной электрического заряда внутри этой поверхности (теорема Гаусса), а циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна нулю (свойство потенциальности). Локальные проявления описанных свойств напряженности электростатического поля выражаются связью дивергенции вектора напряженности с величиной объёмной плотности электрического заряда

(1)

и связью напряженности с потенциалом электростатического поля (2)

Если второе из рассматриваемых соотношений подставить в первое, можно получить уравнение Пуассона, связывающее потенциал электростатического поля с величиной объёмной плотности электрического заряда:

. (3)

Левую часть уравнения Пуассона обычно записывают с помощью специального оператора «лапласиана скалярной функции»

. (4)

Если ввести в рассмотрение оператор Гамильтона (другое его название – «оператор набла»)

, (5)

где — орты декартовой системы координат, то формально дивергенцию вектора можно рассматривать как результат скалярного произведения «вектора» набла на вектор , а градиент скалярной функции как произведение «вектора» набла на скаляр, только при этом надо помнить, что оператор набла – дифференциальный оператор — при записи операции должен стоять перед функцией, на которую он действует:

(6)

Лапласиан, таким образом, можно рассматривать как последовательное применение оператора Гамильтона (оператора набла):

. (7)

Итак, уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля в вакууме имеет вид:

(8)

В частном случае, когда объёмная плотность электрического заряда равна нулю, т.е. в рассматриваемой области отсутствуют распределенные по объёму электрические заряды, уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа

(9)

Уравнение Лапласа в электростатике описывает изменение потенциала в пространстве, свободном от электрических зарядов. Значение уравнений Пуассона и Лапласа для изучения электростатических явлений чрезвычайно велико: в отличие от дифференциальной формы теоремы Гаусса эти уравнения — уравнения для единственной неизвестной функции, решение этих уравнений можно получить при самых общих предположениях о характере распределения в пространстве неподвижных и неизменных по величине электрических зарядов. Конкретные результаты получаются с обязательным учетом «граничных условий», т.е. условий, налагаемых на общее решение уравнения Пуассона спецификой рассматриваемой области пространства, свойств замыкающей область поверхности и особенностей распределения электрических зарядов по этой поверхности.

Выражение для лапласиана скалярной функции (4) записано в декартовой системе координат. В цилиндрической системе координат ( ) уравнение Пуассона принимает вид

, (10)

а в сферической системе координат( ) –

. (11)

В произвольной системе координат можно воспользоваться известными определениями дивергенции вектора и градиента скалярной функции (символическая форма записи).


Узнать еще:

Курсовая на тему Численное решение уравнений Пуассона методом релаксации

Цель исследования. Ознакомиться и проанализировать решение различных задач для уравнения Пуассона; различные способы постановки краевых условий, задача Дирихле. Изучить способы сведения с помощью разностных методов этих задач к системам линейных уравнений. Получить понятие итерационных методов решения СЛАУ. Изучить их особенности, возможности и недостатки. 
В ходе подготовки компьютерной  реализации изучить алгоритмы работы с разряженными матрицами. Проанализировать понятие сходимости итерационных методов, погрешности и ее контроля при вычислениях.
Научиться представлять решение уравнения Пуассона в различных видах, в том  числе различными графическими способами.
Написать программу на языке программирования Си++, реализующую основные алгоритмы метода релаксации для решения задачи Дирихле.

Разработка и исследование значительной части элементов современных СБИС и МОЭМС связана с решением так называемых задач математической физики, к которым относятся задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформациях твердых тел и многие другие.

Подобной же постановке удовлетворяет задача стационарного двумерного распределения температуры в пластине конечной толщины, если внутри пластины источников и стоков тепла нет, а на границах пластины поддерживается заданная температура.
Решение уравнения Пуассона в достаточно большом количестве случаев является наиболее удобным методом поиска напряженности полей электростатики и термостатики. В случае электромагнитного поля уравнение может быть получено, используя в качестве основы уравнения Максвелла и теорему Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме.
Метод релаксации не относится к общедоступным и общеупотребимым в обширной области алгоритмов решения уравнений математической физики и, тем более, алгоритмов решения линейных систем уравнений. Никому не придет в голову решать этим методом системы 2-го и 3-го порядка. Однако, когда число неизвестных переваливает через 100, у этого метода становится мало конкурентов. Среди его «плюсов» — он устойчив к ошибкам округления, способен устранять их самостоятельно. А ошибки округления отнюдь не привилегия ручного счета, длительные вычисления способны накапливать ошибки даже на суперсовременных компьютерах
Мы познакомились с методом, который требует предварительной подготовки системы к решению, проверки условий применимости. Зато, если эти условия выполнены, метод найдет решение, пусть и не быстро, пусть и приближенное. К тому же те вычислители, занимающиеся прикладными задачами прекрасно знают: точных решений не бывает, точно также как не бывает точных исходных параметров, коэффициентов систем и свободных членов. Да и простота программирования – выгодная черта данного метода.
Поэтому этот метод, условия его применимости, особенности программных реализаций, должен знать каждый специалист в прикладных математических вопросах.
 

Уравнение Пуассона — это… Что такое Уравнение Пуассона?

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

где — оператор Лапласа или лапласиан, а — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см. , например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Электростатика

Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

— то есть кулоновский потенциал — есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

где — обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

  • Здесь мы имеем в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение — см. в статье Функция Грина.
  • Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов .

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда :

где Q — общий заряд, тогда решение Φ (r) уравнения Пуассона:

даётся:

где erf(x) — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением . Заметьте, что для r, много больших, чем σ, erf(x) приближается к единице, и потенциал Φ (r) приближается к потенциалу точечного заряда , как и можно было ожидать.

См. также

Ссылки

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля | Князев

1. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближённых решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. — Москва : Наука, 1991. — 352 с.

2. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, А. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. — 1998. — Vol. 9. — Pр. 69‒95.

3. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Изв. РАН. Серия физическая. — 2008. — Т. 72, № 9. — С. 1259‒1261.

4. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2010. — № 1. — С. 3‒12. 5. Chen, C.

5. S. A domain embedding method and quasi-Monte Carlo method for Poisson’s equation / C. S. Chen, M. A. Golberg // BEM 17 / C. A. Brebbia, S. Kim, T. A. Osswald, H. Power, eds. — Southampton : Comput. Mech. Publ., 1995. — Pp. 115‒122.

6. Golberg, M. A. An efficient mesh-free method for nonlinear reaction-diffusion equations / M. A. Golberg, C. S. Chen // CMES 2 (1). — 2001. — Vol. 2 (1). — Pp. 87‒95.

7. Li, X. Convergence of the method of fundamental solutions for Poisson’s equation on the unit sphere / X. Li // Adv. Comput. Math. — 2008. — Vol. 28. — Pp. 269‒282.

8. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. — № 2. — С. 77‒78.

9. Князев, С. Ю. Решение граничных задач математической физики методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. — № 3. — С. 11‒15.

10. Alves, C. J. S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C. J. S. Alves, C. S. Chen // Advances in Computational Mathematics. — 2005. — Vol. 23 — Pр. 125‒142.

11. Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — Москва : Наука, 1966. — 632 с.

12. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.

Уравнение Пуассона

Уравнение Пуассона
Следующая: Эксперименты Ампера Up: Не зависящие от времени уравнения Максвелла Предыдущая: Закон Гаусса Мы видели, что электрическое поле, создаваемое набором неподвижных зарядов, можно записать как градиент скалярного потенциала, так что
(218)

Это уравнение можно объединить с уравнением поля (213), чтобы получить частичное дифференциальное уравнение для скалярного потенциала:
(219)

Это пример очень известного типа уравнения в частных производных, известного как уравнение Пуассона .

В самом общем виде уравнение Пуассона записывается

(220)

где — некоторый скалярный потенциал, равный подлежит определению, и — известная « функция источника ». Наиболее распространенное граничное условие применительно к этому уравнению заключается в том, что потенциал равен нулю на бесконечности. Решения уравнения Пуассона полностью суперпозиционны. Таким образом, если — потенциал, порожденный функцией источника, и потенциал, порожденный функцией источника, так что
(221)

тогда потенциал, порождаемый равен, поскольку
(222)

Уравнение Пуассона обладает этим свойством, потому что оно является линейным и как в потенциал и исходный термин.

Тот факт, что решения уравнения Пуассона суперпозиционированы, предполагает наличие общий метод решения этого уравнения. Предположим, что мы смогли построить все решений генерируется точечными источниками. Конечно, эти решения должен удовлетворять соответствующим граничным условиям. Любая функция общего источника может быть построена из набора подходящих взвешенных точечные источники, поэтому общее решение уравнения Пуассона должно быть выражается как взвешенная сумма по решениям точечных источников.Таким образом, как только мы Зная все решения из точечных источников, мы можем построить любое другое решение. В математической терминологии нам требуется решение

(223)

который стремится к нулю при . Функция — решение, генерируемое единичным точечным источником, расположенным в позиции. Эта функция известна математикам как функция Грина . Решение генерируется общей функцией источника — это просто соответственно взвешенная сумма все решения функции Грина:
(224)

Мы можем легко продемонстрировать, что это правильное решение:
(225)

Давайте вернемся к формуле.(219):

(226)

Функция Грина для этого уравнения удовлетворяет уравнению. (223) с в виде . Из уравнения (215) что
(227)

Обратите внимание, из уравнения. (180) следует, что функция Грина имеет тот же вид, что и потенциал генерируется точечным начислением. Это неудивительно, учитывая определение функция Грина. Из уравнения(224) и (227) следует, что общее решение уравнению Пуассона (226) записывается
(228)

Фактически, мы уже получили это решение другим способом [см. (177)].

Следующая: Эксперименты Ампера Up: Не зависящие от времени уравнения Максвелла Предыдущая: Закон Гаусса
Ричард Фицпатрик 2006-02-02

Подход к решению уравнения Пуассона в области, ограниченной поверхности с известным потенциалом были изложены в гл.5.1. Потенциал был разделен на особую часть, лапласиан которой уравновешивает — / o по всей интересующей области, и однородная часть, которая заставляет сумму двух потенциалов удовлетворять граничным условиям. Коротко,

и на ограждающих поверхностях,

Следующие примеры иллюстрируют этот подход. В то же раз они демонстрируют использование декартовых координатных решений для Уравнение Лапласа и идея о том, что описываемые поля могут быть время меняется.

Пример 5.6.1. Поле бегущей волны космического заряда между эквипотенциальными поверхностями

Поперечное сечение двумерной системы, простирающейся до бесконечность в направлениях x и z показана на рис. 5.6.1. Дирижеры в плоскостях y = a и y = -a ограничивают интересующую область. Между В этих плоскостях плотность заряда периодична в направлении x и равномерно распределены в направлении y .

Рисунок 5.6.1 Поперечное сечение слоя заряда, который периодичен в направлении x и ограничен сверху и снизу пластины с нулевым потенциалом. Когда это обвинение переводится вправо, изолированный электрод, вставленный в нижний уравнивающий потенциал, используется для обнаружить движение.

Параметры o и являются константами. Пока что, сегмент соединенный с землей через резистор в нижнем электроде, может быть считается имеющим тот же нулевой потенциал, что и остальная часть электрод в плоскости x = -a и электрод в плоскости y = a .Сначала мы спрашиваем о распределении полей.

Помните, что подойдет любое конкретное решение (2). Так как плотность заряда не зависит от y , естественно искать частное решение с тем же свойством. Затем слева в (2) — вторая производная по x , а уравнение можно интегрировать дважды, чтобы получить

Это конкретное решение не зависит от и . Обратите внимание, что это не потенциал, который был бы получен при оценке суперпозиции интеграл по заряду между заземленными плоскостями.Просмотрено на всех пространство, это распределение заряда не является независимым от y . Фактически потенциал (6) связан с распределением заряда, как задано по (5), которая продолжается до бесконечности в направлениях + y и -y .

Однородный раствор должен компенсировать то, что (6) не удовлетворяет граничным условиям. То есть на границах, = 0 в (1), поэтому однородные и частные решения должны баланс там.

Таким образом, мы ищем решение уравнения Лапласа, (3), который удовлетворяет этим граничным условиям.Потому что потенциал имеет то же значение на границах, а начало оси y имеет был выбран как промежуточный вариант, ясно, что потенциал должен быть четной функцией y . Кроме того, он должен иметь периодичность в x направление, которое соответствует направлению (7). Таким образом, из списка решения уравнения Лапласа в декартовых координатах в средний столбец таблицы 5.4.1, k = , sin kx членов устранены в в пользу решений cos kx , и выбрано решение cosh ky потому что это даже у .

Коэффициент A теперь настроен так, чтобы граничные условия были удовлетворяется подстановкой (8) в (7).

Суперпозиция частного решения (7) и однородный раствор, полученный путем подстановки коэффициента при (9) в (8) приводит к желаемому распределению потенциала.

Математические решения, использованные при выводе (10), проиллюстрированы. на рис. 5.6.2. Частное решение описывает электрическое поле который возникает в областях с положительной плотностью заряда и заканчивается в областях с отрицательной плотностью заряда.Это чисто x направлено и поэтому является касательной к эквипотенциальной границе. В однородный раствор, добавляемый в это поле, целиком обусловлен поверхностные заряды. Это приводит к возникновению поля, которое компенсирует тангенциальное поле у ​​стен, делая их поверхностями постоянного потенциал. Таким образом, сумма решений (также изображенных на рисунке), удовлетворяет закону Гаусса и граничным условиям.

Рисунок 5.6.2 Эквипотенциалы и силовые линии для конфигурация рис.5.6.1 графическое изображение суперпозиции частные и однородные части, дающие требуемый потенциал.

Имея в виду этот статический взгляд на поля, предположим, что распределение заряда движется в направлении x с скорость v .

Переменная x в (5) заменена на x — vt . С этим движением распределение заряда, поле тоже движется. Таким образом, (10) принимает вид

Обратите внимание, что однородный раствор теперь представляет собой линейную комбинацию первое и третье решения в среднем столбце таблицы 5.4.1.

Когда волна пространственного заряда движется, заряды, индуцированные на идеально проводящие стены следуют синхронно. Электрический ток сопровождающее перераспределение поверхностных зарядов, обнаруживается, если часть стены изолирована от остальной и соединена с заземление через резистор, как показано на рис. 5.6.1. Под предположение, что сопротивление достаточно мало, чтобы отрезок остается практически нулевым потенциалом, какое выходное напряжение В, или ?

Ток через резистор определяется путем вызова заряда сохранение для сегмента, чтобы найти ток, который является временем скорость изменения чистой платы по сегменту.Последний следует из интегрального закона Гаусса и (12) как

Отсюда следует, что динамика бегущей волны пространственного заряда равна отражается в измеренном напряжении

При написании этого выражения формулы двойного угла были вызван.

Некоторые прогнозы должны соответствовать интуиции. В выходное напряжение изменяется синусоидально со временем с частотой, равной пропорциональна скорости и обратно пропорциональна скорости длина волны, 2/.Чем выше скорость, тем больше Напряжение. Наконец, если электрод обнаружения является кратным длина волны 2/, напряжение равно нулю.

Если плотность заряда сосредоточена в поверхностно-подобных областях тонкие по сравнению с другими интересующими нас размерами, возможно для решения уравнения Пуассона с граничными условиями с помощью процедуры который имеет вид решения уравнения Лапласа, а не Уравнение Пуассона. Потенциал обычно разбивается на кусочки непрерывные функции, и влияние плотности заряда вводится в условием непрерывности Гаусса, которое используется для сращивания функций на поверхности, занятой плотностью заряда.Следующий пример иллюстрирует эту процедуру. Достигнутое — это решение Уравнение Пуассона во всей области, включая несущие заряд поверхность.

Пример 5.6.2. Тонкий пучок заряженных частиц между токопроводящими пластинами

В усилителях СВЧ и генераторах электронного пучка типа, основной проблемой является оценка создаваемого электрического поля. пучком электронов. Поперечное сечение балки обычно составляет мала по сравнению с длиной волны электромагнитного поля в свободном пространстве. волна, в этом случае применяется приближение электроквазистатики.

Рассмотрим полосовой электронный пучок с плотностью заряда, равной равномерный по сечению . Луч движется с скорость v в направлении x между двумя плоскими идеальными проводники, расположенные в точке y = a и удерживается при нулевом потенциале. Конфигурация показана на поперечный разрез на рис. 5.6.3. Помимо равномерного заряда плотности заряда возникает «рябь» плотности заряда, так что чистый заряд плотность

где o , 1 и \ Lambda — константы.Система может быть идеализированным, чтобы иметь бесконечную протяженность в направлениях x и y .

Рисунок 5.6.3 Поперечное сечение листовой балки шихты между плоскопараллельными эквипотенциальными пластинами. Луч моделируется плотность поверхностного заряда, имеющая части постоянного и переменного тока.

Толщина луча намного меньше длины волны периодической пульсации плотности заряда и намного меньше, чем расстояние плоских проводников. Таким образом, пучок рассматривается как лист поверхностного заряда с плотностью

где o = o и 1 = 1 .

В областях (а) и (б) соответственно выше и ниже пучка потенциал подчиняется уравнению Лапласа. Верхние индексы (а) и (б) теперь используется для обозначения переменных, оцениваемых в этих регионах. Гарантировать что фундаментальные законы выполняются внутри листа, эти потенциалы должны удовлетворять условиям скачка, подразумеваемым законами Фарадей и Гаусс, (5.3.4) и (5.3.5). То есть при y = 0

Завершить спецификацию поля в области между пластины, граничные условия такие, при y = a ,

и при y = -a ,

В соответствующих областях потенциал делится на постоянный и переменный. части, соответственно, произведенные однородной и волнистой частями плотность заряда.

По определению, o и 1 удовлетворяют уравнению Лапласа и (17), (19) и (20). Часть постоянного тока, или , удовлетворяет (18) только первый член справа, а часть переменного тока, 1 , удовлетворяет (18) только со вторым членом.

Плотность поверхностного заряда постоянного тока не зависит от x , поэтому она равна Естественно искать потенциалы, которые также не зависят от x .Из первый столбец в таблице 5.4.1, такие решения

Четыре коэффициента в этих выражениях определяются из (17) — (20), если необходимо, путем подстановки этих выражений и формальных решение для коэффициентов. Более привлекательным является решение от проверка, которая признает, что система симметрична относительно y , однородный поверхностный заряд вызывает однородные электрические поля, направленные вверх и вниз в две области, и что связанный линейный потенциал должен быть равен нулю в две границы.

Теперь рассмотрим переменную часть потенциала. Зависимость x имеет вид предложено (18), из которого видно, что для продукта решений, зависимость потенциала x должна быть функция косинуса, движущаяся во времени. Ни зла, ни кошмара функции обращаются в нуль на границ, поэтому придется брать линейную комбинацию из них, чтобы удовлетворить граничным условиям при y = + a . Это эффективно проводится инспекцией, если установлено, что происхождение ось y , используемая при записи решений, произвольна.Решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие границе условия (19) и (20) являются

Эти потенциалы должны совпадать при y = 0 , как того требует (17), поэтому мы с таким же успехом мог бы написать их с поправленными коэффициентами соответственно.

Один оставшийся коэффициент определяется путем подстановки этих выражения в (18) (с опущенными o ).

Мы нашли потенциал как кусочно-непрерывную функцию. В область (а), это суперпозиция (24) и (28), а в области (b) это (25) и (29). В обоих выражениях C равно предоставлено (30).

Когда t = 0 , переменная часть этого распределения потенциала будет такой, как показано Рис. 5.6.4. С увеличением времени распределение поля переводится вправо со скоростью v . Обратите внимание, что некоторые строки напряженность электрического поля, возникающего на конце пучка в другом месте на балке, в то время как другие заканчиваются на эквипотенциальном стены.Если стены находятся на расстоянии даже длины волны от луча (a = \ Lambda) , почти все силовые линии заканчиваются в другом месте на луч. То есть примыкание к стене имеет значение только в том случае, если длина волны порядка или больше a . Природа решения уравнения Лапласа очевидны. Двумерный потенциалы, которые быстро меняются в одном направлении, должны одинаково распадаться. быстро в перпендикулярном направлении.

Рисунок 5.6.4 Эквипотенциалы и силовые линии, вызванные переменным током листового заряда в конфигурации рис. 5.6.3.

Сравнение полей от листовой балки показано на рис. 5.6.4. и периодическое распределение объемной плотности заряда, показанное на Рис. 5.6.2 напоминает о схожести двух физических ситуации. Несмотря на то, что уравнение Лапласа применяется в подобластях конфигурации, рассмотренной в этом разделе, это действительно Уравнение Пуассона, которое решается «в целом», как и в предыдущем пример.

Электростатика

— Общее решение уравнения Пуассона

Уравнение Яда — это уравнение в частных производных (PDE), поэтому его можно решить, используя методы дифференциального исчисления (или что-то более интересное).Итак, как правило, сначала решается однородная часть рассматриваемого ОДУ, а затем, во-вторых, неоднородная часть, а затем вы объединяете два решения для получения общего решения. Конечно, плотность заряда $ \ rho (x, y, z) $ должна быть указана для решения неоднородной части PDE. Это обычное упражнение во вводном E&M, то есть о нем доступно много информации:

Вот явное решение уравнения Лапласа с использованием метода разделения переменных http: // tutorial. math.lamar.edu/Classes/DE/LaplacesEqn.aspx

Вот решение уравнения Пуассона с использованием метода функций Грина. http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node31.html

Я рекомендую учебник Griffith Intro to E&M для дальнейшего ознакомления с тем, как решать конкретные граничные условия для уравнения Пуассона, вот PDF-файл, который я нашел в Интернете (надеюсь, это нормально) http://kestrel.nmt.edu/~mce/ griffiths_4.pdf

Для получения дополнительной информации по теории дифференциальных уравнений см. M.Математические методы Боаса в физических науках https://www.amazon.com/Mat Mathematical-Methods-Physical-Sciences-Mary/dp/0471198269

Хорошее введение в книгу «Дифференциальные уравнения» написано Р. Хаберманом https://www.amazon.com/Applied-Differential-Equations-Boundary-Problems/dp/032179706X

Edit: использование функционального подхода Грина обычно преподается / изучается после подхода разделения переменных. Функции Грина требуют большего знакомства с математической абстракцией, чем разделение переменных. Кроме того, разделение переменных позволяет учащемуся увидеть «гайки и болты» ОДУ, не заблудившись в теоремах единственности и взаимности (особенно при рассмотрении нетривиальных распределений зарядов). Однако пылкий студент должен изучить метод функций Грина, если он хочет продолжить обучение в аспирантуре (см. Классическую электродинамику Джона Дэвида Джексона).

% PDF-1.4 % 2088 0 объект > эндобдж xref 2088 93 0000000016 00000 н. 0000003492 00000 н. 0000003702 00000 п. 0000003832 00000 н. 0000003869 00000 н. 0000004383 00000 п. 0000011005 00000 п. 0000011605 00000 п. 0000012148 00000 п. 0000012727 00000 п. 0000012945 00000 п. 0000018947 00000 п. 0000019164 00000 п. 0000026416 00000 н. 0000026632 00000 н. 0000027252 00000 п. 0000031029 00000 п. 0000031621 00000 п. 0000032697 00000 п. 0000033804 00000 п. 0000034024 00000 п. 0000042795 00000 п. 0000043014 00000 п. 0000043736 00000 п. 0000044411 00000 п. 0000046215 00000 п. 0000046440 00000 п. 0000046853 00000 п. 0000047033 00000 п. 0000047710 00000 п. 0000050751 00000 п. 0000050970 00000 п. 0000052338 00000 п. 0000052556 00000 п. 0000052892 00000 п. 0000058946 00000 п. 0000059170 00000 п. 0000059741 00000 п. 0000060000 00000 н. 0000060595 00000 п. 0000060894 00000 п. 0000061206 00000 п. 0000061923 00000 п. 0000062141 00000 п. 0000062532 00000 п. 0000063021 00000 п. 0000063540 00000 п. 0000064629 00000 н. 0000065079 00000 п. 0000065509 00000 п. 0000065891 00000 п. 0000065952 00000 п. 0000066542 00000 п. 0000067123 00000 п. 0000067703 00000 п. 0000067896 00000 п. 0000068553 00000 п. 0000068775 00000 п. 0000072010 00000 п. 0000072210 00000 п. 0000074736 00000 п. 0000074935 00000 п. 0000079039 00000 п. 0000079323 00000 п. 0000079398 00000 п. 0000079566 00000 п. 0000079777 00000 п. 0000079970 00000 н. 0000080130 00000 п. 0000080324 00000 п. 0000080534 00000 п. 0000080702 00000 п. 0000080916 00000 п. 0000081117 00000 п. 0000081277 00000 п. .: j = Nl4 ~ d $) v

Уравнение Пуассона — чтение Фейнмана

Предварительный сценарий (от 26 июня 2020 г.): этот пост стал менее актуальным (даже, возможно, неактуальным), потому что мои взгляды на все квантово-механические вещи значительно изменились в результате моего продвижения к более полному реалисту (классическая) интерпретация квантовой физики. Вдобавок часть материала была удалена темной силой (что, как я теперь вижу, также создало проблемы с компоновкой).В любом случае рекомендуем прочитать наши свежие статьи. Я храню подобные сообщения в блогах в основном потому, что хочу отслеживать, откуда я. Я мог бы пересмотреть их однажды, но в настоящее время у меня нет на это времени или сил. 🙂

Оригинальный пост :

Мои предыдущие посты были сосредоточены в основном на фотонах, так что этот должен быть больше сосредоточен на частицах материи, вещах с массой , и зарядом . Однако я буду использовать это больше как возможность поговорить о полях и представить некоторые результаты из электростатики с использованием наших новых векторных дифференциальных операторов (см. Мои сообщения о векторном анализе).

Прежде, чем я это сделаю, позвольте мне отметить кое-что очевидное, но … Ну … Подумайте об этом: фотоны несут электромагнитную силу, но сами не имеют электрического заряда . Точно так же электромагнитные поля имеют энергию и вызваны зарядами , но поэтому они также не несут заряда . Итак … Поля воздействуют на заряд , а фотоны взаимодействуют с электронами, но только частицы материи (особенно электрон и протон, состоящий из кварков) на самом деле несут электрический заряд .Имеет ли это смысл? Должно. 🙂

Еще одна вещь, о которой я хочу вам напомнить, прежде чем углубляться во все это, — это основные единицы и отношения, которые действительны всегда , независимо от того, о чем мы говорим. Они представлены ниже:

Позвольте мне резюмировать основные моменты:

  • Скорость света всегда одинакова, независимо от системы отсчета (инерциальной или движущейся), и ничто не может двигаться быстрее света (кроме математических точек, таких как фазовая скорость волновой функции).
  • Это универсальное правило лежит в основе теории относительности и соотношения эквивалентности массы и энергии E = m c 2 .
  • Постоянная скорость света также позволяет нам переопределить единицы времени и / или расстояния так, чтобы c = 1. Например, если мы заново определим единицу расстояния как расстояние, пройденное светом за одну секунду, или единица времени, когда свету необходимо пройти один метр, тогда c = 1.
  • Закон движения
  • Ньютона определяет силу как произведение массы и ее ускорения: F = м · a .Следовательно, масса является мерой инерции , а единица силы — 1 ньютон (Н) = 1 кг · м / с 2 .
  • Импульс объекта является произведением его массы и его скорости : p = м · v . Следовательно, его единица составляет 1 кг · м / с = 1 Н · с. Следовательно, понятие количества движения объединяет силу (Н) и время (с).
  • Энергия определяется в терминах работы : 1 Джоуль (Дж) — это работа , выполняется при приложении силы в один ньютон на расстоянии одного метра: 1 Дж = 1 Н · м.Следовательно, понятие энергии объединяет силу (Н) и расстояние (м).
  • Теория относительности устанавливает релятивистское соотношение энергии-импульса p c = E v / c , которое также можно записать как E 2 = p 2 c 2 + m 0 2 c 4 , с м 0 масса покоя объекта (то есть его масса, когда объект будет в состоянии покоя, относительно наблюдателя, конечно).Эти уравнения сводятся к м = E и E 2 = p 2 + м 0 2 при выборе единиц времени и / или расстояния, таких что c = 1. масса м — это полная масса объекта, включая его инерционную массу, а также эквивалентную массу его кинетической энергии.
  • Приведенные выше соотношения устанавливают (а) энергию и время и (б) импульс и положение как дополнительных переменных, и, следовательно, принцип неопределенности может быть выражен в терминах обоих.Принцип неопределенности, а также соотношение Планка-Эйнштейна и соотношение де Бройля (не показано на диаграмме) устанавливают квант действия , h , размерность которого объединяет силу, расстояние и время ( h ≈ 6,626 × 10 −34 Н · м · с). Этот квант действия ( Wirkung ) можно определить по-разному, поскольку он возникает в нескольких фундаментальных соотношениях, но одним из наиболее очевидных подходов является определение h как константы пропорциональности между энергией фотона. (я.е. «легкая частица») и ее частота: ч = E / ν.

Обратите внимание, что мы говорили о силах и энергии выше, но мы ничего не сказали о происхождении этих сил. Это то, что мы собираемся делать сейчас, даже если ограничимся только электромагнитной силой .

Электростатика

Согласно Википедии, электростатика имеет дело с явлениями и свойствами стационарных или медленно движущихся электрических зарядов без ускорения.Фейнман обычно использует этот термин, говоря только о стационарных зарядах . Если присутствует ток (т.е. медленно движущиеся заряды без ускорения), термин магнитостатика является предпочтительным. Однако различие не имеет большого значения, потому что — замечательно! — при стационарных зарядах и постоянных токах электрические и магнитные поля ( E и B ) могут быть проанализированы как отдельные поля: нет никакой взаимосвязи! Математически это показывает четкое разделение между (1) первым и вторым уравнениями Максвелла и (2) третьим и четвертым уравнениями Максвелла:

  1. Электростатика: (i) ∇ • E = ρ / ε 0 и (ii) × E = 0.
  2. Магнитостатика: (iii) c 2 ∇ × B = j / ε 0 и (iv) B = 0.

Электростатика : ρ в уравнении (i) — это так называемая плотность заряда , которая описывает распределение электрических зарядов в пространстве: ρ = ρ (x, y, z). Проще говоря: ρ — это «количество заряда» (которое мы обозначим Δq) на единицу объема в данной точке.Что касается ε 0 , это постоянная, обеспечивающая «совместимость» всех единиц. Уравнение (i) в основном говорит, что у нас есть поток из E, , точное количество которого определяется плотностью заряда ρ или, в более общем смысле, распределением заряда в пространстве. Что касается уравнения (ii), то есть × E = 0, мы можем забыть об этом. Это означает, что curl E равен нулю: везде и всегда. Так что тиража E.Следовательно, E представляет собой так называемое поле без завитков , по крайней мере в этом случае, то есть когда задействованы только стационарные заряды и постоянные токи.

Магнитостатика : j в (iii) действительно представляет собой постоянный ток, вызывающий циркуляцию примерно B . Фактор c 2 связан с тем фактом, что магнетизм на самом деле является только релятивистским эффектом электричества, но я не могу здесь останавливаться на этом.Я просто отсылаю вас к тому, что Фейнман пишет об этом в своей лекции , и настоятельно рекомендую прочитать это. Ох… Уравнение (iv), B = 0, означает, что расхождение для B равно нулю: везде и всегда. Таким образом, нет потока из B . Никто. Итак, B — бездивергентное поле.

Из-за аккуратного разделения мы просто забудем про B и поговорим только о E .

Электрический потенциал

ОК. Давайте попробуем выполнить движения как можно быстрее. Как упоминалось во введении, энергия определяется с точки зрения проделанной работы. Так что нам нужно просто умножить силу и расстояние, верно? 1 Джоуль = 1 ньютон × 1 метр, верно? Ну… Да и нет. В подобных обсуждениях мы говорим о потенциальной энергии , то есть энергии, хранящейся в системе, так сказать, . Это означает, что мы смотрим на работу, выполненную против силы , например, когда мы несем ведро с водой на третий этаж или, если использовать более научное описание того, что происходит, когда мы разделяем на два. массы.Поскольку мы выполняем работу против силы , мы ставим знак минус перед нашим интегралом:

Электромагнитная сила работает почти так же, как гравитация, за исключением того, что, говоря о гравитации, мы имеем только положительные «заряды» (масса некоторого объекта всегда положительна). В электромагнетизме есть как положительный, так и отрицательный заряд, и обратите внимание, что два заряда и отталкиваются (это не относится к гравитации). Следовательно, выполнение работы против электромагнитной силы может включать сближение одинаковых зарядов или, альтернативно, разделение противоположных зарядов.Мы не можем сказать. К счастью, когда дело доходит до математики, это не имеет значения: у нас будет такой же знак минус перед нашим интегралом. Дело в том, что мы выполняем работу против силы , и это означает знак минус. Таким образом, это не имеет ничего общего с особенностями закона притяжения и отталкивания в данном случае (электромагнетизм в противоположность гравитации) и / или с тем фактом, что электроны несут отрицательный заряд. №

Вернемся к интегралу. На всякий случай, если вы забыли, знак интеграла ∫ означает букву S: S из summa , т.е.е. — это сумма на латыни, и мы используем эти интегралы, потому что мы добавляем , добавляя здесь бесконечное количество бесконечно малых вкладов в общие усилия. Вы должны признать это, потому что это общая формула энергии или работы. Это, опять же, так называемый линейный интеграл , поэтому он немного отличается от материала f (x) dx, который вы выучили в средней школе. Не очень разные, но все же разные. Отличие состоит в том, что у нас есть векторный скалярный продукт F • d s после знака интеграла, так что это , а не , как f (x) dx.Если вы забыли, что произведение f (x) dx представляет собой поверхность бесконечно малого прямоугольника, как показано ниже: мы делаем основание прямоугольника все меньше и меньше, поэтому dx действительно становится бесконечно малым. Затем мы складываем их все и получаем площадь под кривой. Если f (x) отрицательно, то вклады будут отрицательными.

Но здесь у нас нет маленьких прямоугольников. У нас есть два вектора, F, и d s , и их векторное скалярное произведение, F • d s , которые дадут вам… Что ж… У меня есть соблазн написать: тангенциальная составляющая силы вдоль path, но это не совсем правильно: если бы d s был единичным вектором, это было бы правдой — потому что тогда это точно так же h • n произведение, которое я представил в нашем первом классе векторного исчисления.Однако d s — это , а не единичный вектор: это бесконечно малый вектор , и, следовательно, если мы запишем тангенциальную составляющую силы вдоль пути как F t , тогда F • d с = | F || d s | cos θ = F · cos θ · ds = F t · ds. Таким образом, этот F • d s является тангенциальным компонентом на бесконечно малом участке кривой . Короче говоря, это действительно бесконечно малый вклад в общий объем проделанной работы.Вы можете понять это, посмотрев на геометрическое изображение ситуации ниже.

Я просто говорю это, чтобы вы знали, что означает этот интеграл. Обратите внимание, что это , а не , снова добавляем стрелки, как мы это делали при вычислении амплитуд или около того. На самом деле все намного проще : скалярное произведение вектора — это скаляр, поэтому это просто некоторое действительное число — точно так же, как любой компонент вектора (тангенциальный, нормальный, в направлении одной из осей координат или в в любом направлении) — это , а не вектор, а действительное число.Следовательно, W также является некоторым действительным числом. Оно может быть положительным или отрицательным, потому что … Ну … Когда мы идем по вниз по лестнице с ведром с водой, наш знак минус не исчезает. В самом деле, наше соглашение о том, чтобы поставить там знак минус, очевидно, должно быть , а не , в зависимости от того, о каких точках a и b мы говорим, поэтому мы можем фактически пройти в направлении силы при переходе от a к b.

На самом деле, вы должны отметить, что это на самом деле ситуация, которая изображена выше.Итак, мы получаем отрицательное число для W. Имеет ли это смысл? Конечно, дает: очевидно, что не выполняет здесь никакой работы, поскольку мы движемся в направлении, поэтому мы определенно не добавляем какой-либо (потенциальной) энергии в систему. Напротив, мы забираем энергию из системы . Следовательно, мы уменьшаем для его (потенциальной) энергии и, следовательно, мы должны иметь отрицательное значение для W. Итак, просто представьте, что знак минус присутствует, чтобы гарантировать, что мы добавляем потенциальной энергии к системе , когда идем против силы , и уменьшаем ее, когда движемся с силой.

ОК. Вы поняли это. Вы, вероятно, также знаете, что мы переопределим W как разность потенциалов между двумя точками, которую мы запишем как Φ (b) — Φ (a). Теперь это должно еще раз напомнить вам о вашем школьном интеграле ∫ f (x) dx. Для определенного интеграла по отрезку [a, b] вам нужно будет найти первообразную f (x), которую вы запишете как F (x), а затем возьмете разность F (b) — F (a) тоже. Теперь вы можете вспомнить или не вспомнить, что это первообразное на самом деле было семейством функций F (x) + k, а k могло быть любой константой — 5/9, 6π, 3.6 × 10 124 , 0,86, да что угодно! — потому что такая постоянная обращается в нуль при взятии производной.

Здесь у нас есть то же самое, мы можем определить бесконечное количество функций Φ ( r ) + k, из которых градиент даст… Стоп! Я иду здесь слишком быстро. Во-первых, нам нужно переписать эту функцию W выше, чтобы гарантировать, что мы вычисляем материал в единицах заряда единицы , поэтому мы пишем:

А? Ну… Да.Я использую определение поля E здесь действительно: E — это сила ( F ) при установке заряда единицы в поле. Следовательно, если мы хотим, чтобы работа выполнялась на единицу заряда, то есть W (, единица ), то мы должны интегрировать векторное скалярное произведение E · d s по пути от a до b. Но теперь вы видите, что я хочу сделать. Это завершает сравнение с нашим школьным интегралом. Вместо того, чтобы брать производную только по одной переменной, т.е. dF (x) / dx) = f (x), мы имеем здесь функцию Φ не от одной, а от трех переменных: Φ = Φ (x, y, z) = Φ ( r ) и, следовательно, имеем взять вектор производной (или градиент , как его называют) от Φ, чтобы получить E :

Φ (x, y, z) = (∂Φ / ∂x, ∂Φ / ∂y, ∂Φ / ∂z) = — E (x, y, z)

Но это тот же принцип, что и вы научились использовать для решения интеграла средней школы. Теперь вы обычно видите выражение выше, записанное как:

E = — Φ

Почему такой короткий? Что ж … Мы все просто любим эти загадочные сокращения, не так ли? 🙂 Шутки в сторону, правда, некоторые из этих векторных уравнений содержат очень много информации.Просто прислушайтесь к совету Фейнмана: «Если это помогает написать компоненты, чтобы быть уверенным, что вы понимаете, что происходит, просто сделайте это. В этом нет ничего неэлегантного. На самом деле, в этом часто есть определенная сообразительность ». Итак … Пойдем дальше.

Я должен упомянуть, что мы можем применить только эту более сложную версию «школьного трюка», потому что Φ и E подобны температуре (T) и тепловому потоку ( h ): это поля . T — скалярное поле, а h — векторное поле, поэтому мы можем и должны применить наш новый трюк: если у нас есть скалярное поле, мы можем получить векторное поле.Если вам нужны подробности, я просто отошлю вас к нашему первому классу векторного исчисления. В самом деле, наша так называемая Первая теорема в векторном исчислении была чуть ли не более сложной версией « школьного трюка »: если у нас есть какое-то скалярное поле ψ (например, температура или потенциал: просто замените ψ в приведенном ниже уравнении для T или Φ), тогда мы всегда найдем, что:

Г здесь — это кривая между точками 1 и 2, так что это путь, по которому мы идем, а ψ должно представлять некоторое векторное поле.

Вернемся к нашему интегралу W. Я должен упомянуть, что не имеет значения, какой путь мы выберем: мы всегда получим одно и то же значение для W, независимо от того, какой путь мы выберем. Вот почему на иллюстрации выше показаны два возможных пути: неважно, какой из них мы выберем. Опять же, это только , потому что E — векторное поле. Если быть точным, электростатическое поле представляет собой так называемое консервативное векторное поле , что означает, что мы не можем получить энергию из поля, сначала перенося некоторый заряд по одному пути, а затем возвращая его по другому.Вы, вероятно, обнаружите, что это очевидно, и это так. Просто отметьте это где-нибудь в глубине души.

Итак, мы закончили. Мы должны просто заменить E на Φ, не так ли? Ну да. Для минус Φ , то есть . Еще один знак минус. Почему? Что ж… Из-за этого получается, что Вт (шт.) интеграл. В самом деле, нам нужна формула вида W = Φ (b) — Φ (a), а не формула Φ (a) — Φ (b). Посмотри на это. Мы действительно могли бы определить E как (положительный) градиент некоторого скалярного поля ψ = –Φ, и поэтому мы могли бы написать E = ψ , но тогда мы обнаружим, что W = — [ ψ (б) — ψ (а)] = ψ (а) — ψ (б).

Вы скажете: ну и что? Ну… Ничего особенного. Просто наши векторы поля будут указывать от ниже до выше значений ψ , так что они будут течь вверх по , так сказать. Мы не хотим этого в физике. Почему? Это просто не выглядит хорошо. Мы хотим, чтобы наши векторы поля были направлены от более высокого потенциала к более низкому потенциалу, всегда . Подумайте только: тепло ( h ) течет от более высокой температуры (T) к более низкой, а яблоко Ньютона падает с большей на меньшую высоту.Точно так же, помещая единичный заряд в поле, мы хотим видеть, как он движется от более высокого к более низкому электрическому потенциалу. Теперь мы не можем изменить направление E , потому что это направление силы, а Природа не заботится о наших условностях, и поэтому мы не можем выбирать направление силы. Но мы можем выбрать нашу условность. Поэтому мы ставим знак минус перед Φ, когда пишем E = — Φ. Благодаря этому все получается хорошо. 🙂 Поэтому в уравнении дифференциального теплового потока стоит знак минус: h = — κ T.

Итак, теперь у нас есть простая формула W (unit) = Φ (b) — Φ (a), которую мы хотели с самого начала. Теперь обратите внимание, что когда мы говорим об единичном заряде, мы имеем в виду плюс один заряд . Да: +1. Итак, это заряд протона (он обозначен буквой e), так что вам следует перестать думать о перемещении электронов! [Я говорю это, потому что этим я запутывал себя. В итоге вы получите те же формулы для W и Φ, но вам понадобится больше времени, чтобы добраться до них, поэтому позвольте мне сэкономить ваше время здесь. :-)]

Но… Да? На самом деле это электроны, проходящие через провод, не так ли? Не протоны. Да. Но это неважно. Единицы — это единицы в физике, и они всегда равны +1 для чего бы то ни было (время, расстояние, заряд, масса, вращение и т. Д.). Всегда . Для чего угодно . Также обратите внимание, что в лабораторных экспериментах или в ускорителях частиц мы часто используем протоны вместо электронов, поэтому в этом нет ничего странного. Наконец, что наиболее важно, если у нас есть заряд –e, движущийся через нейтральный провод в одном направлении, то это в точности то же самое, что и заряд + e, движущийся в другом направлении.

Чтобы убедиться, что вы поняли суть, давайте еще раз взглянем на эту иллюстрацию. Мы уже сказали, что у нас есть F и, следовательно, E , указывающий от a к b, и мы будем уменьшать потенциальную энергию системы при перемещении нашего единичного заряда от a к b, поэтому W было некоторым отрицательным значением. Теперь, принимая во внимание, что мы хотим, чтобы силовые линии указывали от более высокого к более низкому потенциалу, Φ (a) должна быть на больше, чем на , чем Φ (b), и поэтому… Ну… Да. Все это имеет смысл: у нас есть отрицательная разница Φ (b) — Φ (a) = W ( единица ), что, конечно же, составляет уменьшение потенциальной энергии.

Последнее, о чем нам нужно сейчас позаботиться, это ориентир. В самом деле, подойдет любая функция Φ ( r ) + k, так какую из них мы возьмем? Подход здесь состоит в том, чтобы взять опорную точку P 0 на бесконечность . Что такое бесконечность? Ну… Сложно сказать. Это место очень далеко от всех обвинений, которые у нас тут валяются. Очень далеко действительно. Так далеко, что мы можем сказать, что на самом деле там ничего нет. Никаких сборов.🙂 Что-то вроде того. 🙂 В любом случае. Мне нужно двигаться дальше. Итак, Φ (P 0 ) равно нулю, и поэтому мы можем, наконец, записать общий результат для — электрический потенциал Φ (P) (также известный как потенциал электростатического или электрического поля):

Итак, теперь мы можем вычислить все потенциалы, т.е. когда мы знаем хотя бы где находятся заряды. Я показал пример ниже. Как вы можете видеть, помимо нулевого потенциала на бесконечности, мы обычно также будем иметь одну или более эквипотенциальных поверхностей с нулевым потенциалом.Можно сказать, что эти линии с нулевым потенциалом как бы «разделяют» положительное и отрицательное пространство. Это , а не , очень точное с научной точки зрения описание, но вы понимаете, о чем я.

Позвольте мне сделать несколько заключительных замечаний по поводу единиц. Во-первых, позвольте мне еще раз отметить, что наш единичный заряд составляет плюс , и он действительно будет течь от положительного к отрицательному потенциалу, как показано ниже, даже если мы знаем это, в реальной электрической цепи, и теперь я я говорю о медном проводе или чем-то подобном, это означает, что (свободные) электроны будут двигаться в другом направлении.

Если вы умны (а вы умны), вы скажете: а как насчет правила правой руки для магнитной силы ? Что ж … Мы не обсуждаем здесь магнитную силу, но, поскольку вы настаиваете, будьте уверены, что все получится хорошо. Посмотрите на приведенную ниже иллюстрацию магнитной силы на проводе с током, которая является довольно стандартной.

Итак, у нас есть B из-за стержневого магнита, а затем v , вектор скорости для… электронов? Нет.Вам нужно быть последовательным. Это вектор скорости для единичных зарядов, который равен положительным (+ e). Теперь просто рассчитайте силу F = q v × B = e v × B , используя правило правой руки для векторного векторного произведения, как показано ниже. Итак, v — это большой палец, а B — это указательный палец в этом случае. Все, что вам нужно сделать, это наклонить руку, и все получится.

Но … Мы, , знаем, что это электроны, идущие в другую сторону.Что ж… Если вы настаиваете. Но тогда вы должны поставить знак минус перед q, потому что мы говорим минус e (–e). Итак, теперь v находится в другом направлении, и поэтому v × B действительно находится в другом направлении, но наша сила F = q v × B = –e v × B нет. К счастью, нет, потому что физическая реальность не должна зависеть от наших условностей. 🙂 Итак … Каков вывод.Ничего такого. Вы можете помнить, а можете и не помнить, что, когда мы говорим, что наш текущий ток j течет в том или ином направлении, мы на самом деле можем говорить об электронах (с зарядом минус единиц), текущих в противоположном направлении, но тогда это не имеет значения. Вдобавок, как упоминалось выше, в лабораторных экспериментах или на ускорителях мы можем на самом деле говорить о протонах, а не об электронах, поэтому не думайте, что электромагнетизм — это дело только электронов.

Чтобы завершить это непропорционально длинное введение (мы, наконец, готовы говорить о более сложных вещах), я должен просто отметить единицы измерения.Как известно, электрический потенциал измеряется в вольтах. Однако из всего того, что я написал выше, очевидно, что действительно имеет значение разница в потенциале и . Из определения , приведенного выше, следует измерять в той же единице, что и наша единица измерения энергии или работы, так что это джоуль . Если быть точным, его следует измерять в джоулях на единицу заряда. Но здесь мы имеем дело с одним из очень немногих несоответствий в физике, когда дело касается единиц измерения. Протон называется единичным зарядом (е), но его фактическое значение измеряется в кулонах и (Кл).Чтобы быть точным: +1 e = 1,602176565 (35) × 10 −19 C. Итак, мы измеряем напряжение , а не — извините, разность потенциалов 🙂 — в джоулях, а в джоулях на кулон (Дж / Кл).

Теперь мы обычно используем другой термин для единицы джоуль / кулон. Вы угадали (потому что я это сказал): это вольт (В). Один вольт равен одному джоуля / кулону: 1 В = 1 Дж / Кл. Вы скажете, что это нечестно. Вы правы, но заряд протона e не является так называемой единицей СИ. Является ли кулон единицей СИ? Да. Он получен из ампер (А), который, хотите верьте, хотите нет, на самом деле является единицей измерения базовой системы в системе СИ.Один ампер равен 6,241 × 10 18 электронов (т.е. один кулон) в секунду. Вы можете задаться вопросом, как ампер (или кулон) может быть базовой единицей. Могут ли они быть выражены в килограммах, метрах и секундах, как и все другие базовые единицы. Ответ — да, но, как вы понимаете, это довольно сложное описание, поэтому для этого я отсылаю вас к Интернету.

Уравнение Пуассона

Я начал этот пост с того, что расскажу о полях и представлю некоторые результаты электростатики с использованием наших «новых» векторных дифференциальных операторов, так что пора мне это сделать.Первое уравнение простое. Используя нашу формулу E = — Φ, мы можем переписать уравнение ∇ • E = ρ / ε 0 как:

∇ • E = ∇ • ∇ Φ = ∇ 2 Φ = –ρ / ε 0

Это так называемое уравнение Пуассона. Оператор ∇ 2 называется лапласианом и иногда также записывается как Δ, но мне это не нравится, потому что это также символ полного дифференциала, а это определенно , а не то же самое.Формула для лапласиана приведена ниже. Обратите внимание, что он действует на скалярное поле (то есть на потенциальную функцию Φ в данном случае).

Как отмечает Фейнман: «Весь предмет электростатики — это просто изучение решений одного этого уравнения». Однако я должен заметить, что это не мешает Фейнману посвятить ей как минимум дюжину из своих Лекций , и они не самые легкие для чтения. [Если вы сомневаетесь в этом утверждении, посмотрите, например, его лекцию об электрических диполях.] Вкратце: не думайте, что «изучить одно это уравнение» легко. Все, что я делаю, это просто отмечу некоторые из наиболее фундаментальных результатов этого «исследования».

Также обратите внимание, что • E действительно является одним из наших «новых» векторных дифференциальных операторов: это векторное скалярное произведение нашего оператора del () на E . Это что-то , сильно отличающееся от , скажем, Φ. Маленькая точка и жирный шрифт имеют здесь огромное значение. 🙂 Вы можете или можете вспомнить, что мы называли оператор ∇ • оператором расхождения (div) (см. Мой пост по этому поводу).

Закон Гаусса

Закон Гаусса не следует путать с теоремой Гаусса, о которой я писал в другом месте. Он дает поток E через замкнутую поверхность S, на самом деле любую закрытую поверхность S, как сумму всех зарядов внутри поверхности , деленную на электрическую постоянную ε 0 (но тогда вы знаете, что константа равна просто там, чтобы блоки выходили нормально).

Вывод закона Гаусса немного длинен, поэтому я не буду воспроизводить его здесь, но вы должны отметить, что его вывод основан, главным образом, на том факте, что (а) площади поверхности пропорциональны r 2 (поэтому, если мы удвоим расстояние от источника, площадь поверхности увеличится в четыре раза), и (б) величина E задается законом обратных квадратов , поэтому она уменьшается как 1/ r 2 .Это объясняет, почему, если поверхность S описывает сферу, число, которое мы получаем из закона Гаусса, не зависит от радиуса сферы. Диаграмма ниже (кредит взята из Википедии) иллюстрирует эту идею.

Диаграмма может использоваться, чтобы показать, как можно представить поле и его поток. Действительно, линии представляют поток E , исходящий от заряда. Теперь общее количество силовых линий зависит от заряда, но остается постоянным с увеличением расстояния , потому что сила является радиальной и сферически симметричной . Более высокая плотность магнитных линий (линий на единицу площади) означает более сильное поле , при этом плотность магнитных линий (то есть величина E ) действительно следует закону обратных квадратов, потому что площадь поверхности сферы увеличивается с квадратом радиуса. Следовательно, в законе Гаусса два эффекта взаимно компенсируются: два фактора меняются с расстоянием, но их произведение является постоянным.

Теперь, если мы опишем расположение зарядов в терминах плотности зарядов (ρ), то мы можем записать Q int как:

Теперь закон Гаусса применим также к бесконечно малой кубической поверхности, и в одном из моих постов о векторном исчислении я показал, что поток E из такого куба равен E · dV.На этом этапе, вероятно, будет хорошей идеей напомнить вам о том, что означает этот «новый» векторный дифференциальный оператор •, то есть наш оператор «расхождения», : расхождение E (то есть • применяется к E , так что E ) представляет объемную плотность потока E из бесконечно малого объема вокруг данной точки. Следовательно, это поток на единицу объема , в отличие от потока из самого бесконечно малого куба, который является произведением E и dV, i.е. E · dV.

И что? Что ж … Закон Гаусса, примененный к нашему бесконечно малому объему, дает нам следующее равенство:

Это, в свою очередь, упрощается до:

Итак, это еще раз первое уравнение Максвелла, которое эквивалентно нашему уравнению Пуассона: E = ∇ 2 Φ = –ρ / ε 0 . Так что мы здесь делаем? Просто перечисляете эквивалентные формулы? Да. Я также должен отметить, что они могут быть выведены из закона силы Кулона, который, вероятно, вы изучали в старшей школе.Так да. Все последовательно. Но тогда, конечно, этого и следовало ожидать. 🙂

Энергия в поле

Все эти формулы выглядят очень абстрактно. Пора нам использовать их для чего-нибудь. Многое из того, что написано в Лекциях Фейнмана по электростатике, действительно имеет прикладной характер: среди прочего, оно сосредоточено на вычислении потенциала в различных обстоятельствах и для различных распределений заряда. Как ни странно, хотя это уравнение E = –ρ / ε 0 эквивалентно закону Кулона и, очевидно, гораздо более компактно для записи, закон Кулона легче начать для основных вычислений.Позвольте мне сначала написать закон Кулона. Вы, вероятно, узнаете его еще со школьных лет:

F 1 — сила на заряде q 1 , а F 2 — сила на заряде q 2 . Теперь q 1 и q 2 . могут притягивать или отталкивать друг друга, но в обоих случаях силы будут равными и противоположными. [Если вам интересно, да, это в основном закон действия и противодействия.] Вектор e 12 — это единичный вектор от q 2 до q 1 , а не от q 1 до q 2 , как и следовало ожидать.Это потому, что здесь , а не , говорят о гравитации: подобные заряды не притягиваются, а отталкиваются, и, следовательно, мы должны изменить порядок здесь. Сказав это, это, по сути, единственная особенность уравнения. Все остальное стандартно:

  1. Сила составляет обратно пропорционально квадрату расстояния , поэтому здесь действительно действует закон обратных квадратов.
  2. Сила пропорциональна заряду (ам).
  3. Наконец, у нас есть константа пропорциональности, 1 / 4πε 0 , которая заставляет единицы работать нормально.Вы можете задаться вопросом, почему это написано так, как написано, то есть с этим коэффициентом 4π, но этот коэффициент (4π или 2π) фактически исчезает в ряде вычислений, поэтому тогда у нас останется только 1 / ε 0 или Коэффициент 1 / 2ε 0 . Так что не беспокойтесь об этом.

Мы хотим вычислить потенциалы и все такое, поэтому первое, что мы сделаем, это вычислим силу, действующую на единичный заряд. Итак, мы разделим это уравнение на q 1 , чтобы вычислить E (1) = F 1 / q 1 :

Кусок торта.Но… Что такое E (1) на самом деле? Что ж … Это сила , сила на единичном заряде (+ e), но не имеет значения, присутствует ли этот единичный заряд на самом деле, так что это поле E , вызванное зарядом q 2 . [Если для вас это не имеет смысла, подумайте еще раз.] Итак, мы можем опустить индексы и просто написать:

Какое облегчение, не правда ли? Самая простая формула: величина поля как простая функция заряда q и его расстояния ( r ) от точки, на которую мы смотрим, которую мы запишем как P = (х, у, г).Но какое начало мы используем для измерения x, y и z. Не удивляйтесь: происхождение — q .

Теперь это формула, которую мы можем использовать в интеграле Φ (P). Действительно, первообразное ( q / 4πε 0 r 2 ) d r . Теперь мы можем вывести q / 4πε 0 , и поэтому у нас остается ∫ (1/ r 2 ) d r . Теперь ∫ (1/ r 2 ) d r равно –1 / r + k, и поэтому вся первообразная — q / 4πε 0 r + k.Однако знак минус заменяется знаком минус перед интегралом Φ (P) = Φ (x, y, z), и поэтому мы получаем:

Вы должны просто выполнить интеграл, чтобы проверить этот результат. Это тот же интеграл, но с P 0 (бесконечность) в качестве точки a и P в качестве точки b в интеграле, поэтому у нас есть ∞ как начальное значение и r как конечное значение. Тогда интеграл дает Φ (P) — Φ (P 0 ) = — q / 4πε 0 [1/ r — 1 / ∞). [Константа k уменьшается при вычитании Φ (P 0 ) из Φ (P).] Но 1 / ∞ = 0, и перед интегралом стоит знак минус, который отменяет знак — q / 4πε 0 . Итак, да, мы получаем чудесно простой результат выше. Также, пожалуйста, быстро проверьте, имеет ли это смысл с точки зрения знака: заряд блока равен + e, так что это положительный заряд. Следовательно, Φ (x, y, z) будет положительным, если знак q также положительный, и отрицательным, если q окажется отрицательным. Так что все в порядке.

Также обратите внимание, что потенциал — который, помните, представляет собой объем работы, который необходимо выполнить при переносе единичного заряда (е) из бесконечности на некоторое расстояние r от заряда q — равен , пропорционально заряду q.Мы также знаем, что сила и, следовательно, работа пропорциональны заряду, который мы вносим (именно так мы в первую очередь рассчитали работу на единицу : разделив общий объем работы на заряд). Следовательно, если мы используем , а не , принесем какой-то единичный заряд, а какой-то другой заряд q 2 , проделанная работа также будет пропорциональна q 2 . Теперь нам нужно убедиться, что мы понимаем, о чем пишем, поэтому давайте приведем в порядок и снова обозначим наш первый заряд q 1 , а расстояние r как r 12 , потому что это что такое r : расстояние между двумя зарядами.Тогда у нас есть еще один очевидный, но приятный результат: работа, проделанная по сближению двух зарядов с большого расстояния (бесконечности), составляет

Итак, одно из многих хороших свойств полей (скалярных или векторных полей) и связанных с ними энергий (потому что это то, о чем мы здесь говорим) заключается в том, что мы можем просто складывать вклады. Например, если бы у нас было много зарядов и мы хотели бы вычислить потенциал Φ в точке, которую мы называем 1, мы можем использовать ту же формулу Φ (r) = q / 4πε 0 r который мы вывели для только один заряд , для все заряды , а затем мы просто складываем вклады каждого, чтобы получить общий потенциал:

Теперь, когда мы здесь, я должен, конечно, также дать континуумную версию этой формулы, т. Е.е. формула, используемая, когда мы говорим о плотности заряда, а не об отдельных зарядах. Затем сумма становится бесконечной суммой (т.е. интегралом), а q j (обратите внимание, что j идет от 2 до n) становится переменной, которую мы записываем как ρ (2). Получаем:

Возвращаясь к дискретной ситуации, мы получаем тот же тип суммы, когда объединяем несколько пар , зарядов q i и q j вместе. Следовательно, полная электростатическая энергия U является суммой энергий всех возможных пар зарядов :

Вы давно не видели каких-либо диаграмм, поэтому позвольте мне вставить одну, чтобы убедить вас, что это действительно так просто:

Конечно, мы должны осознавать риск двойного счета.Мы должны , а не , складывать q i q j / 4πε 0 r ij дважды. Вот почему мы пишем «все пары» под знаком суммирования ∑ вместо обычных индексов i, j. Континуальная версия этого уравнения ниже делает этот коэффициент 1/2 явным:

Хм… Что за интеграл , что ? Это так называемый двойной интеграл , , потому что здесь две переменные. Нелегко. Однако есть шанс.Мы можем использовать континуальную версию нашей формулы для Φ (1), чтобы избавиться от переменных ρ (2) и dV 2 и свести все это к более стандартному «единственному» интегралу. Действительно, мы можем написать:

Теперь, поскольку наша точка (2) больше не появляется, мы можем записать ее более элегантно как:

Выглядит неплохо, не правда ли? Но понимаем ли мы это? Просто чтобы убедиться. Позвольте мне это объяснить. Потенциальная энергия заряда ρdV является произведением этого заряда и потенциала в той же точке.Таким образом, полная энергия является интегралом по ϕρdV, но тогда мы считаем энергии дважды, поэтому нам нужен коэффициент 1/2. Теперь мы можем записать это еще красивее:

Разве это не чудесно? У нас есть выражение для энергии поля , не в терминах зарядов или распределения зарядов, а в терминах поля , которое они создают.

Я почти уверен, что к настоящему времени вы, должно быть, страдаете от «перегрузки формулой», так что вы, вероятно, просто смотрите на это, даже не пытаясь понять.Жаль, тогда тебе стоит сделать перерыв или просто заняться чем-нибудь другим, например, покататься на велосипеде или что-то в этом роде. 🙂

Во-первых, вы должны отметить, что вы уже знаете это выражение E E : E E — это просто квадрат величины вектора поля E , поэтому E E = E 2 . Это имеет смысл, потому что мы знаем из того, что мы знаем о волнах, что энергия всегда пропорциональна квадрату амплитуды, и поэтому мы просто пишем здесь то же самое, но с небольшой константой пропорциональности (ε 0 ).

Хорошо, скажете вы. Но вы, вероятно, все еще задаетесь вопросом, какое применение может иметь эта формула. Что это за число, которое мы получаем в результате некоторой интеграции по всему пространству? Итак, мы связываем Вселенную с некоторым числом U и что дальше? Что ж … Разве это не просто , хорошо, ? 🙂 Шутки в сторону, мы на самом деле смотрим на E E = E 2 продукт внутри интеграла, как представляющий плотность энергии (т.е. энергию на единицу объема ).Обозначим это строчными буквами и и напишем:

Просто чтобы убедиться, что вы «поняли» то, о чем мы здесь говорим: и — это плотность энергии в маленьком кубе dV на довольно упрощенной (и, следовательно, чрезвычайно полезной) иллюстрации ниже (которая, как и большинство других то, что я пишу выше, я получил от Фейнмана).

Теперь , что должно иметь для вас смысл — я надеюсь. 🙂 В любом случае, если вы все еще со мной, и если вы , а не , все с формулой , вы можете задаться вопросом, как мы получаем, что ε 0 E E = ε 0 E 2 выражение из этого выражения ρΦ.Конечно, вы знаете, что E = –Φ, и у нас также есть уравнение Пуассона ∇ 2 Φ = –ρ / ε 0 , но это далеко не уедет. Это один из тех примеров, когда простая формула требует много гимнастики. Однако, поскольку цель этого поста — сделать кое-что из этого, позвольте мне провести вас через вывод.

Давайте сначала сделаем что-нибудь с этим уравнением Пуассона, поэтому мы перепишем его как ρ = –ε 0 2 Φ, а затем мы можем заменить ρ в интеграле на произведение ρΦ.Получаем:

Теперь вы должны проверить эти причудливые формулы с нашими новыми векторными дифференциальными операторами, которые мы перечислили в нашем втором классе по векторному исчислению, но, к сожалению, ни один из них не применим. Итак, мы должны все это записать и посмотреть, что у нас получится:

Теперь , этот выглядит ужасно, и вы наверняка подумаете, что с этим мы ничего не добьемся. Что ж … Физики, кажется, не так легко отчаиваются, как мы, и поэтому они подставляют его в интеграл, который, конечно, становится еще более чудовищным выражением, потому что теперь у нас есть два объемных интеграла вместо одного! Действительно, получаем:

Но если Φ — векторное поле (это минус E , помните!), То Φ Φ тоже векторное поле, и тогда мы можем применить теорему Гаусса, о которой мы упоминали в нашей статье. первый класс по векторному исчислению, а какой — заметьте! — не имеет ничего общего с законом Гаусса.Действительно, Гаусс произвел так много, что за всем трудно уследить. 🙂 Итак, позвольте мне напомнить вам эту теорему. [Я также должен показать, почему Φ Φ все еще дает поле, но я предполагаю, что вы мне верите.] Теорема Гаусса в основном показывает, как мы можем перейти от интеграла объема к интегралу поверхности:

Если мы применим это ко второму интегралу в нашем выражении U , мы получим:

И что? Куда мы идем с этим? Расслабиться. Потерпи. О каком объеме и поверхности идет речь? Чтобы убедиться, что у нас есть все заряды и влияния, мы должны интегрировать более все пространство и, следовательно, поверхность уходит в бесконечность.Итак, мы говорим о (сферической) поверхности огромного радиуса R , центр которой является началом нашей системы координат. Я знаю, что это звучит нелепо, но с математической точки зрения это все равно, что переносить заряд из бесконечности, что мы и сделали для расчета потенциала. Итак, если у нас нет проблем с бесконечными линейными интегралами, у нас не должно быть проблем с бесконечной поверхностью и бесконечными объемами. Это все, что я могу, так что … Что ж … Давай сделаем это.

Давайте посмотрим на это произведение Φ Φ • n в поверхностном интеграле.Φ — скаляр, а Φ — вектор, и поэтому… Ну… Φ • n тоже скаляр: это нормальный компонент из Φ = — E. [Чтобы убедиться, вы должны отметить, что способ определения нормального единичного вектора n таков, что ∇Φ • n действительно является некоторым положительным числом! Таким образом, n будет указывать в том же направлении, более или менее, как ∇Φ = — E .Таким образом, угол θ между Φ = –E и n заведомо меньше ± 90 ° и, следовательно, косинусный коэффициент в Φ • n = | ∇Φ || n | cos θ = | ∇Φ | cos θ положительно, поэтому скалярное произведение всего вектора положительно.]

Итак, у нас есть произведение двух скаляров. Что с ними произойдет, если R уйдет в бесконечность? Что ж … Потенциал изменяется как 1/ r , поскольку мы уходим в бесконечность.Это очевидно из формулы Φ = ( q / 4πε 0 ) (1 / r): просто подумайте о q как о некотором среднем значении, которое работает, потому что мы предполагаем, что все заряды расположены в пределах некоторого конечного расстояния , пока мы идем в бесконечность. А как насчет Φ • n ? Что ж … Снова предполагая, что мы достаточно далеко от зарядов, мы говорим о плотности силовых линий здесь (то есть величине E ), которая, как показано выше, следует закону обратного квадрата , потому что площадь поверхности сферы увеличивается с квадратом радиуса.Таким образом, Φ • n изменяется не как 1/ r , а как 1/ r 2 . Короче говоря, весь продукт Φ Φ • n падает на 1/ r в бесконечность. Теперь мы не должны забывать, что мы интегрируем здесь поверхностный интеграл: r = R , так что R уходят в бесконечность. Таким образом, интеграл поверхности должен стремиться к нулю, когда мы включаем все пространство.Однако интеграл объема все еще остается в силе, поэтому наша формула для U теперь состоит только из одного члена, то есть интеграла объема, и теперь у нас есть:

Готово!

Что осталось?

В электростатике? Много. Электрические диполи (как полярные молекулы), электролиты, плазменные колебания, ионные кристаллы, электричество в атмосфере (как молния!), Диэлектрики и поляризация (включая конденсаторы), сегнетоэлектричество,… Как только мы попытаемся применить нашу теорию к материи , все становится очень сложным.Но теория работает. К счастью! 🙂 Я должен посоветовать вам учебники, если вы хотите узнать больше об этом. [Я уверен, что нет, но ведь никто не знает.]

Я хотел дать вам примерно чувство для этих векторных и полевых уравнений в электростатическом случае . Теперь нам нужно вернуть магнитное поле в картину и, что наиболее важно, перейти к электродинамике , в которой электрическое и магнитное поля , а не , выглядят как совершенно разные вещи.Нет! В электродинамике они полностью связаны между собой производными по времени ∂ E / ∂t и ∂ B / ∂t . Это показывает, что на самом деле они являются неотъемлемой частью одного и того же: электромагнетизма.

Но мы постараемся решить эту проблему в будущих публикациях. А пока до свидания!

Некоторое содержимое на этой странице было отключено 16 июня 2020 г. в результате уведомления о нарушении Закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https: // en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении Закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) Калифорнийским технологическим институтом. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https: // en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении Закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) Калифорнийским технологическим институтом. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https: // en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении Закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) Калифорнийским технологическим институтом. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https: // en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении Закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) Калифорнийским технологическим институтом. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https: // en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера и Калифорнийского технологического института. . Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт.Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 17 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» от Майкла А.Готлиба, Рудольфа Пфайффера и Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 17 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» от Майкла А.Готлиба, Рудольфа Пфайффера и Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 17 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» от Майкла А.Готлиба, Рудольфа Пфайффера и Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 17 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» от Майкла А.Готлиба, Рудольфа Пфайффера и Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 17 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» от Майкла А.Готлиба, Рудольфа Пфайффера и Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 17 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 20 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» от Майкла А.Готлиба, Рудольфа Пфайффера и Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/

2.3 Уравнение Пуассона или Лапласа в конечной области

2.3 Уравнение Пуассона или Лапласа в конечной области
Уравнения в частных производных 0,15 альфа © Леон ван Доммелен


Подразделы


2.3 Уравнение Пуассона или Лапласа в конечной области

2.3.1 Обзор
Рисунок 2.9: Пример конечной области, в которой пуассоновский или Требуется решить уравнение Лапласа.

В этом разделе будет получено решение уравнения Пуассона в конечная область, как показано на рисунке 2.9. Регион будет обозначается как, а его граница через. Так и будет снова предположим, что область двумерна, оставляя трехмерный футляр к домашнему заданию.Как показано на рисунке 2.9, внутри области применяется уравнение Пуассона. В В этом случае это становится уравнением Лапласа. На границе там — некоторое граничное условие, которое пока оставим произвольным.


2.3.2 Введение в процедуру решения

Большая идея состоит в том, чтобы связать решение в конечной области с бесконечным доменное решение, полученное ранее.

Для заданного теплового подвода вы все еще можете выполнить интеграл по области, чтобы получить бесконечное доменное решение.Это решение теперь будет называться, как показано на рисунке 2.10.

Решение в бесконечной области удовлетворяет уравнению Пуассона, но оно не удовлетворяет граничным условиям. Получится что к нему необходимо добавить некоторые поверхностные интегралы, чтобы получить граничные условия справа.

Точный вид этих интегралов может варьироваться. Различные версии все дают одно и то же правильное решение внутри домена. Однако они дают разные ответы на продолжение этого решение для за пределами домена.Так многозначительный обсуждение различных возможностей требует рассмотрения решение вне домена. Хотя решение вне домена на самом деле не является частью проблемы.

Решение снаружи будет обозначено как, поэтому картинка становится такой, как показано на рисунке 2.10. Поскольку ты конечно, не хочу просто придумать произвольную функцию вне , предполагается, что снаружи. Так удовлетворяет однородному уравнению Пуассона, уравнению Лапласа.А также то же самое и с бесконечным пространством снаружи, в этом отношении. Только интегрирование по области то же, что и установка на ноль вне домена.


2.3.3 Вывод интегрального решения

(книга, пример 8.2)

Искомое интегральное решение для конечной области Пуассона решение является обобщением решения в бесконечной области


где — функция Грина в бесконечной области, полученная в предыдущий раздел.В двумерном случае, обсуждаемом здесь:

Поскольку приведенное выше выражение представляет собой важную связь между решением в бесконечной области и фактическое решение в конечной области:


где

является лапласианом относительно и. Джордж Грин обнаружил, что интеграл в правой части может быть упрощается до поверхностных интегралов с помощью теоремы о расходимости, и это напрямую связано с.
Рисунок 2.11: Область интегрирования интеграла для решение в бесконечном пространстве. Обратите внимание, что это ограничивающий поверхность как темно-серого домена, так и светло-серого внешний регион.

Однако следует соблюдать осторожность. Функция Грина бесконечна когда , а интегралы от бесконечных функций не являются правильный. И не интегралы по бесконечным областям. Ты должен исключить очень маленький кружок вокруг точки, в которой желательно из интеграции, а также вне очень большой круг, как показано на рисунке 2.11. Программа правильное значение для может быть получено как предел в радиус маленького круга становится равным нулю и радиус большого круга становится бесконечным. Кроме того, вы должны думайте об интеграле как о состоящем из двух отдельных интеграции; один над темно-серой областью и один над светло-серый внешний вид. Причина в том, что и его производные обычно не непрерывны на поверхности, и теорему о расходимости можно использовать только для достаточно гладких функции.

Чтобы упростить оставшееся обсуждение, начало координат система будет смещена к точке, в которой желательно. Координата интегрирования может затем описываться полярными координатами и центрироваться вокруг этой точки. Это упрощает вычисление выражения до

Чтобы получить интеграл расходимости, переместите впереди, добавление поправочного члена, чтобы исправить ошибку при этом:


Переместить впереди во втором интеграле к создать еще один интеграл дивергенции, добавив еще один поправочный член:

Однако этот последний поправочный член равен нулю.Чтобы понять почему, помните что функция Грина это температура распределение из-за всплеска тепла в точке. Так везде кроме особой точки . И так как выглядит точно так же в функция Грина как, значит, такова нуль.

Остальные два члена становятся «поверхностными» (фактически, контура в 2D,) интегралов с помощью теоремы о расходимости. В специфический:

Чтобы проверить это выражение, обратите внимание, что «поверхности» включать маленькие и большие круги, и это считается обе части «поверхности» темно-серой области в фигура 2.11, а также часть «поверхности» светло-серая область. Вектор нормали на был выведен за пределы региона, что составляет дополнительный знак минус в соответствующих терминах. Также в соответствии с полным дифференциалом исчисления производная в направление нормали к поверхности. На большом круге это то же самое в виде , а на маленьком кружке — так как там внешняя нормаль указывает на Происхождение.

Особенно интересен второй интеграл по маленькому кругу: поскольку , его производная есть, которая является инверсией «поверхности» (периметра) круг.Итак, вы получаете


Это просто среднее значение на маленьком круге, и оно становится в точке (используется здесь как начало координат) в пределе, что радиус маленького круга становится равным нулю. Итак, поскольку этот интеграл упрощается до, все остальные интегралы в уравнении (2.9) просто описывают разницу между истинными решение и решение в бесконечной области.

Первый интеграл по малой окружности в (2.9) равен исчезающе мала, и на нее можно не обращать внимания.Чтобы понять, почему, обратите внимание, что это не больше максимального значения градиента на малой время круга


и он обращается в ноль в пределе .

С интегралами по «поверхность» . Однако интегралы по большой кружок в (2.9) все еще требует оценки. Делать Итак, вы должны кое-что знать о поведении решения для больших значений. В общем, это описанный


В трех или более измерениях константа равна нулю.Два интегралы по большому кругу становятся, отмечая, что ,

который становится в пределе.

Собирая результаты вместе, решение для температуры в любой момент:

(2.10)

где — бесконечная область , функция Грина, , с участием расстояние между точкой интеграции и точка при которой температура желательна.Первое интеграл, следовательно, является решением в бесконечной области, которое имеет правильные значения для добавленного тепла, но не удовлетворяет правильное граничное условие на

2.3.3 Обзорные вопросы

1

Выполните эквивалентный анализ в трехмерном случае.

Решение pnfd-a


2.3.4 Граничные интегральные (панельные) методы

В предыдущем разделе было получено решение уравнения Пуассона в конечной области.Он был задан уравнением (2.10). Этот В подразделе будет рассмотрено, как это решение может быть оценено.

Кроме , все остальные величины в правой руке часть уравнения (2.10) оцениваются в точке интеграция. Например, обозначает нормальную производную оценен в граничная точка интегрирования. Это означает, что если вы просто знать и нормальная производная на границу, вы можете найти в интерьере, взяв на равняться нулю и выполняя указанные выше интегралы.К сожалению, априори у только одно из (граничное условие Дирихле) или (Граничное условие Неймана) будет известно на граница.

Возможны различные решения этой проблемы. Панельный метод может решите вычислить конкретное решение, где нет ноль, но имеет те же значения, что и на границе. Большой преимущество в том, что второй интеграл в (2.10) падает out, оставив только последний интеграл как проблему.

Теперь простой метод панелей будет дискретизировать границу в большом количество плотно расположенных точек, а затем положим функцию Грина в каждой точке.Поскольку каждая функция Грина соответствует добавление всплеска тепла в этой точке, это называется поверхностью «Исходное» распространение. Проблема остается в том, что сильные стороны


из этих источников неизвестны, так как даже если задается на границе, не является. Таким образом, сила каждого источника неизвестна, и столь же большой количество уравнений необходимо. Эти уравнения можно найти из требуя, чтобы в таком количестве точек ошибка границы условие, вычисленное из (2.10) равен нулю. Поместите все эти уравнения на компьютере и решить. И с силой источника сейчас известно, затем можно оценить в любой произвольной точке.

В качестве альтернативы метод панели может решить вычислить решение для случай, что и имеют одинаковые нормальные производные на границе. Это убивает исходный интеграл, оставляя второй интеграл в (2.10). Количество в этом интеграле называется «диполь.» Причину этого имени можно понять по написание определения производной:

(2.11)

Это показывает, что диполь соответствует бесконечно большому источнику тепло и бесконечно большой сток тепла бесконечно близко друг к другу.

2.3.5 Интегральные формулы Пуассона

В предыдущем разделе было показано, что уравнение Пуассона может быть решено с помощью подходящего источника и / или дипольного распределения на границе домена. Однако сильные стороны этих распределений не обычно известны, поскольку они включают оба и его нормальную производную на границе, и есть только одно граничное условие.И если выбрано внешнее решение для устранения одного из них, что приводит к введению неизвестных значений или его производное в проблему. Итак, хотя бы одна раздача сила должна быть найдена с помощью грубой числовой силы. Или грубо аналитическая сила, может быть, если домен прост.

Однако есть исключение, и это происходит для Дирихле. проблема внутри шара (круг в двух измерениях, сфера в трехмерный и так далее.) В этом случае подходящий дистрибутив сильные стороны можно найти простыми средствами.

Следующее обсуждение ограничится уравнением Лапласа, поскольку уравнение Пуассона всегда можно превратить в уравнение Лапласа уравнение путем вычитания неограниченного пространственного решения. Это приводит лишь к несущественному изменению неоднородного члена граничное условие. В таком случае необходимо решить следующую проблему:


где — заданная функция, физически температура на граница в задачах теплопроводности, — радиус мяч.

В двух измерениях, используя полярные координаты, решение имеет вид

(2,12)

и в трех измерениях, используя сферические координаты, решение
(2,13) ​​

Эти результаты известны как «интеграл Пуассона. формула »в двух, соответственно, трех измерениях.

2.3.6 Вывод

В этом подразделе будет выведена двумерная формула выше, оставляя трехмерный для домашнего задания.Для простоты, теперь предполагается, что мяч (т. е. круг в двух измерениях) имеет единичный радиус,


Чтобы вернуться к формулам для шар произвольного радиуса.

Интегральная формула может быть получена путем грамотного выбора решение вне круга в интегральном решении (2.10). В частности, уловка состоит в том, чтобы взять

(2.14)

Вот константа, которую еще предстоит выбрать. Обратите внимание, что если затем: эти правила превращают решения внутри шара в решения вне шара. Преобразование называется инверсией относительно поверхности единичного шара.

Первое, что нужно показать, это то, что удовлетворяет Лапласу уравнение. Интегральное решение (2.10) не применяется. иначе. Лапласиан,


должно быть равно нулю.

Чтобы показать, что это так, сначала дифференцируйте (2.14) once, используя цепное правило для преобразования производных от производные:


Продифференцируйте это еще раз, чтобы получить вторую производную. Обратите внимание, что теперь вам нужно использовать правило дифференциации продукта, чтобы различать факторы. И вам снова нужно цепное правило для дифференциации фактор первый. Ты получаешь

Также,

Если вы подставите эти производные в лапласиан, приведенный выше, вы получите

Поскольку вы узнаете лапласиан внутри квадратных скобках.Это ноль, потому что удовлетворяет Лапласу уравнение. Тогда вы видите, что так оно и есть.

Теперь идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать константу так, чтобы интеграл решение (2.10) включает только заданные значения on граница. В частности, нормальная производная от должны быть устранены. Теперь для сферической границы нормальная производная — это радиальная производная. И на поверхности мяч, . Итак, на границе, используя приведенные выше выражения,


Обратите внимание, что в последнем члене первая независимая переменная в имеет переименовали просто.Не имеет значения, что вы называете независимая переменная функции; мы просто использовали планку, когда мы лечили в одном месте, чтобы определить другое место. Бар должен был просто держать эти два места отдельно друг от друга.

Для исчезнуть на поверхности сфера. по приведенным выше уравнениям нужно брать. В этом случае, на сфере равно, и является заданная функция на поверхности сферы. Итак, интеграл решение (2.10) становится

(2,15)

Вышеупомянутое решение полностью соответствует с учетом функция. Итак, проблема Дирихле решена.

Но, конечно, вы хотите его очистить. Вы хотели бы решение проблема в круге быть в полярных координатах. Итак, установите


для точки, в которой требуется температура, и точка интеграции соответственно.Тогда Элемент «поверхность» в интеграле по периметр круга , и по кругу.

Также производная нормально к круг просто . G является функцией расстояние между точками и ; в частности, в двух измерениях. Ты можешь написать

(2,16)

производная которого по равна

или избавиться от уродливого термина скалярного произведения, используя выражение (2.16) для,

Таким образом, вы можете написать, используя цепное правило, что

Подставьте выражение для двумерного Функция Грина, и обратите внимание на то, что по кругу нужно получить:

Подставим это в интегральное выражение (2.15) для , взяв из (2.16) с равно , получить

Два последних члена — это просто константы, и они отменяют друг друга. Причина в том, что


Теорема о среднем, доказанная в {D.2}, говорит, что равно среднему значению по кругу.

Кроме того, чтобы учесть случай, когда радиальная координата не нормализованный с радиусом круга, вы хотите заменить в выше результат с. Это дает интеграл Пуассона, как указано в предыдущем подразделе.

2.3.6 Контрольные вопросы

1

Найдите подходящее решение вне сферы в трех измерениях. Покажите, что он удовлетворяет уравнению Лапласа.

Решение pnifd-a

2

Выведите интегральную формулу Пуассона в трех измерениях, как указано в предыдущем подразделе.

Решение pnifd-b


2.3.7 Интегральная формула задачи Неймана.

Проблема Неймана в двух измерениях:


Физически это соответствует задаче, когда тепловой поток вместо температуры описывается на границе.Решение
(2,17)

Обратите внимание, что есть только правильное решение, если

Если вы введете недействительный, вы получите, но у него не будет тепловой поток через границу. В частности, добавление отличная от нуля константа для будет производить и не будет теплового потока. Может Из приведенного выше выражения видно, что неопределенная константа — температура в центре круга.

Вывод формулы выше аналогичен выводу в предыдущий подраздел. Вы будете разочарованы, узнав, что вы должны скучаю по домашнему заданию. Одна и та же история не работает в трех размеров, так как вы не можете избавиться от неизвестных значений поверхности как в источнике, так и в дипольном распределении. В двух измерениях, однако, если вы возьмете , то дипольная сила равна нулю, и остается только интеграл источника:


и использование выражения (2.16) для дает заявленное результат.

2.3.8 Гладкость решения

Один важный качественный вывод, который можно сделать из Различные результаты предыдущих подразделов заключаются в том, что решение Задача уравнения Лапласа бесконечно гладкая внутри регион, в котором он применяется.

Например, рассмотрим производное выражение, если внешнее решение равно нулю:

(2.18)

Если взять производные по компонентам , вы будете дифференцировать внутри интеграл. И имеет бесконечно много конечных производных вне особая точка другими словами, вдали от граница.

Итак, если и просто интегрируются на граница, что по-прежнему позволяет им быть достаточно сингулярными, решение в каждой точке интерьера будет бесконечно много непрерывных производные.

Несколько иначе обстоит дело с уравнением Пуассона, поскольку если форсирование в какой-то момент имеет особенность, тогда будет и решение .Но все же решение для будет менее необычным, чем является. Например, в двух измерениях дельта-функция в, чья квадрат не интегрируется, дает логарифмическую функцию Грина, для которого каждая степень интегрируема по особой точке. В В общем, это видно из решения Фурье задачи Пуассона который, как правило, будет иметь еще две квадратично интегрируемые производные чем . (Предполагая, что отсутствие распада на больших расстояниях равно не фактор или вычитаемый первым.)

Численное решение двумерного уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле :: Science Publishing Group

Численное решение двумерного уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле

Benyam Mebrate, Purnachandra Rao Koya *

Школа математики и статистики Наук, Университет Хавасса, Хавасса, Эфиопия

Адрес электронной почты:

(Б. Мебрате) (П.Р. Койя)

Для цитирования:

Беньям Мебрате, Пурначандра Рао Коя. Численное решение двумерного уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле. Американский журнал прикладной математики. Vol. 3, № 6, 2015, с. 297-304. doi: 10.11648 / j.ajam.20150306.19

Аннотация: В этой статье мы представили численные методы решения двумерного уравнения Пуассона вместе с граничными условиями Дирихле. В частности, для численного решения используются два метода, а именно.Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Реализация решений осуществляется с использованием рабочего листа Microsoft Office Excel или электронной таблицы. Численные решения, полученные этими двумя методами, также сравниваются друг с другом графически в двух и трех измерениях.

Ключевые слова: граничные условия Дирихле, метод конечных разностей, метод конечных элементов, уравнение Пуассона, электронная таблица

1. Введение

Дифференциальные уравнения возникают во многих областях приложений, таких как наука и техника.Большинство задач практически во всех областях науки и техники моделируются с помощью уравнений в частных производных. Уравнения с частными производными возникают, когда зависимая переменная зависит от двух или более независимых переменных. Обычно аналитические решения этих уравнений в частных производных трудно вычислить, поэтому используются альтернативные методы. Численные методы широко используются для решения уравнений в частных производных в заданной области вместе с граничными условиями.

Как правило, область делится на конечное число элементов или область дискретизируется на маленькие треугольники или прямоугольники.Вычисляются значения зависимой переменной в узлах или точках сетки этих треугольников или прямоугольников. В литературе методы конечных разностей и конечных элементов применяются для решения двумерных уравнений Лапласа с граничными условиями Дирихле с использованием электронной таблицы [8]. Это побуждает нас использовать реализацию электронных таблиц для решения двумерных уравнений Пуассона с граничным условием Дирихле.

В разделе 2 мы ввели и обсудили двумерное уравнение Пуассона с граничными условиями Дирихле.В разделе 3 метод конечных разностей применяется для решения уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле. Кроме того, мы использовали реализацию электронных таблиц. В разделе 4 метод конечных элементов применяется для решения уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле. Кроме того, мы использовали реализацию электронных таблиц. В разделе 5 мы сравнили результаты, полученные в разделах 3 и 4. Работа заканчивается заключительными замечаниями в разделе 6.

2. Уравнение Пуассона и постановка задачи

Уравнение Пуассона имеет вид [1 — 2, 4 , 6 и 10]

(1)

Здесь оператор Лапласа обозначает.Уравнение (1) является эллиптическим линейным уравнением в частных производных второго порядка. В (1) зависимая переменная является функцией своих аргументов и зависит от независимых переменных и. Эта функция известна как функция источника. Для численного решения уравнения Пуассона (1) мы рассматриваем плоскую область, определяемую формулой. Мы также наложим граничные условия Дирихле для зависимой переменной в области, определенной как

(2 )

Область вместе с граничными условиями Дирихле (2) показана на рисунке 1.Переменная — увеличивается вдоль положительной горизонтальной оси, а переменная — увеличивается вдоль положительной вертикальной оси.

Рисунок 1. Прямоугольная область R с граничными условиями.

Теперь мы разделим область на рисунке 1 на конечное число прямоугольных элементов. Выбор длины шага в направлении — и внутрь — разделит плоскую область на 16 прямоугольных элементов.

Узлы и стороны внутри и снаружи региона можно разделить на две группы, а именно.интерьер и экстерьер. Внутренние узлы и стороны лежат внутри области, а внешние узлы и стороны лежат на границе области. Кроме того, все внутренние узлы и стороны являются общими для соседних прямоугольных элементов. Конечно, этот факт не распространяется на внешние узлы и стороны. Узлы региона пронумерованы и показаны на рисунке 2.

Рисунок 2. Прямоугольные элементы с номерами узлов.

Здесь наша задача состоит в том, чтобы найти численные значения функции во внутренних узловых точках области при условии, что уравнение Пуассона (1) и условия Дирихле, приведенные в (2), выполнены.

3. Метод конечных разностей

Методы конечных разностей основаны на замене дифференциальных уравнений приблизительно эквивалентными уравнениями конечных разностей. Если аналитическое решение дифференциальных уравнений затруднено, тогда дифференциальные уравнения заменяются соответствующими уравнениями конечных разностей, и они решаются. Кроме того, дифференциальные уравнения дают точные значения, а разностные уравнения дают приблизительные значения для переменных.Аппроксимация решения связана с количеством сеток, на которые разделена данная область. Больше сеток и лучше приближение.

Конечно-разностные уравнения являются алгебраическими по своей природе, и их приближенные решения связаны с количеством узлов сетки в области. Конечно-разностное решение в основном включает следующие три этапа:

(i) Разделите область решения с помощью сеток и узлов на маленькие прямоугольники

(ii) Аппроксимировать данное дифференциальное уравнение эквивалентными уравнениями конечных разностей, которые связывают решения с точками сетки.

(iii) Решите разностные уравнения с учетом заданных граничных и / или начальных условий.

Чтобы найти решение функции в области, мы разделим область решения R плоскости на равные прямоугольники или ячейки со сторонами, вдоль и направления соответственно, как показано на рисунке 2. Теперь мы построим уравнение конечных разностей для представления уравнения (1) и граничные условия (2), что поможет нам вычислить значения в узлах прямоугольников в области.Подробный вывод конечно-разностного уравнения из (1) приведен в Приложении 1. Здесь мы непосредственно рассматриваем разностное уравнение как

(3)

Кроме того, граничные условия как

(4)

Уравнение (3) представляют разностное уравнение, а (4) представляет собой граничные условия, эквивалентные соответственно дифференциальному уравнению (1) и граничным условиям (2). Здесь в (3) мы использовали обозначения как и. Кроме того, набор представляет собой множество разбиений. точки отрезка [0, 1] по оси с длиной шага.Аналогично, множество — это множество точек разбиения отрезка [0, 1] по оси с длиной шага. Конечно, в нашем настоящем исследовании мы выбираем. Численные решения для вычисляются во всех девяти свободных узлах региона, расположенных в этих местах. Эти девять свободных узлов пронумерованы, как показано на рисунке 3.

Метод Гаусса Зейделя применяется для численного решения (3) для конкретного значения функции. Функция фактически допускает любую константу или выражение в терминах и. Для простоты и иллюстрации процедуры численного решения здесь мы выбрали это.Другие выражения для будут рассмотрены по мере необходимости в нашей дальнейшей работе.

В узловых точках, как показано на рисунке 3, мы вычисляем последовательные приближенные решения для использования электронной таблицы. Итерации и аппроксимации решений представлены в табличной форме в таблице 1. Итерации Гаусса-Зейделя для каждого узла продолжаются до тех пор, пока приближенные значения решения не сойдутся к константе.

Рисунок 3. Свободные нумерованные узлы региона R.

Таблица 1. Решение с использованием метода Гаусса Зейделя.

0

88 -0,0532

88 -0,0532,900 9246-0,0539

88 10

88

88 10

88

8 9289,04 24

88-0,0429 2488

42

429 12

32488-0,04-0,04
Итерации Номера узлов
7 8 9 12 13 14 17 18 19
0
0 900 0 0 0 0 0 0 0
2 -0.0156 -0,0195 -0,0205 -0,0195 -0,0254 -0,0271 -0,0205 -0,0271 -0,0292
-0,0292
30,015
3015 900 -0,0334 -0,0459 -0,0421 -0,0308 -0,0421 -0.0367
4 -0,0323 -0,0429 -0,0369 -0,0429 -0,0581 -0,0485 -0,0369 -0,0885 -0,0369 -0,0885 -0,0885 0,0371 -0,0486 -0,0399 -0,0486 -0,0642 -0.0516 -0,0399 -0,0516 -0,0414
6 -0,0399 -0,0516 -0,0414 -0,0516 -0,0673 -0,0673 -0,0422
7 -0,0414 -0,0532 -0.0422 -0,0532 -0,0688 -0,0539 -0,0422 -0,0539 -0,0426
8 -0,0422 -0,0539 -0,01542 -0,01542 900 -0,0543 -0,0426 -0,0543 -0,0428
9 -0.0426 -0,0543 -0,0428 -0,0543 -0,0699 -0,0545 -0,0428 -0,0545 -0,0429
-0,0545 -0,0701 -0,0546 -0,0429 -0.0546 -0,0429
11 -0,0429 -0,0546 -0,0429 -0,0546 -0,0702 -0,0546 -0,0429 -0,0429 -0,0546 -0,0429 -0,0546 -0.0703 -0,0547 -0,0429 -0,0547 -0,0430
13 -0,0429 -0,0547 -0,0430 -0,0547 -0,0547 -0,0430
14 -0,0430 -0.0547 -0,0430 -0,0547 -0,0703 -0,0547 -0,0430 -0,0547 -0,0430
15 -0,0430 -0,0447 -0,0430 -0,04 -0,0703 -0,0547 -0,0430 -0,0547 -0.0430

4. Метод конечных элементов

Методы конечных элементов — это, по сути, методы поиска приближенных решений уравнений в частных производных, определенных в конечной области или области. Метод конечных элементов включает следующие шаги в решении уравнения в частных производных вместе с граничными условиями:

i. Разделите область на конечное количество элементов.

ii. Вбейте слабую постановку, соответствующую данной задаче.

iii. Рассчитайте матрицу жесткости и вектор нагрузки для каждого элемента в области.

iv. Рассчитайте глобальную матрицу жесткости и выполните сборку. Вычислите глобальный вектор нагрузки и соберите

v. Решите полученную систему алгебраических линейных уравнений при соблюдении граничных условий.

Данная область разделена на 32 равнобедренных прямоугольных и равнобедренных треугольника. Узлы треугольников представлены незакрытыми числами.Эти незакрытые числа называются номерами глобальных узлов. Точно так же треугольники представлены прямоугольными числами. Эти заключенные числа называются номерами элементов. Число в прямоугольнике — это число, заключенное в прямоугольник. Эти детали показаны на рисунке 4.

Рисунок 4. Разделение области R на равнобедренные и прямоугольные треугольники.

Слабая формулировка задачи, определенной в (1) и (2), требует, чтобы функция (i) была членом пространства Соболева i.e., и (ii) должно удовлетворять условию. Здесь пространство Соболева определяется как набор функций, удовлетворяющих условиям (i) (ii) (iii) и (iv) на границе области. Подробный вывод слабой формулировки уравнения (1) приведен в приложении 2.

Задача конечных элементов для аппроксимации уравнения Пуассона (1) вместе с граничным условием (2) требует нахождения, удовлетворяющего следующему условию:

(5 )

Здесь в (5) пространство аппроксимируется и определяется как

Где = пространство непрерывной функции на замыкании, то есть..

= граница области

= пространство плиномов степени меньше или равной

= треугольные элементы области

Кроме того, каждая функция уникально характеризуется значениями, которые она принимает в узлы треугольных элементов. Основой в пространстве может быть набор характерных функций Лагранжа, таких как

Функция называется функцией формы.Функция может быть выражена через линейную комбинацию базисных функций следующим образом:

(6)

Выразив дискретное решение через базис, мы имеем

(7)

Теперь присваиваем числа 1 , 2 и 3 к узлам каждого элемента треугольника. Начиная с прямоугольной вершины, пронумеруйте узлы против часовой стрелки, используя 1, 2 и 3 соответственно. Эта процедура нумерации поможет нам получить для всех элементов одну и ту же матрицу жесткости, поскольку эти элементы имеют одинаковую геометрию.Подробный вывод уравнения матрицы жесткости и вектора нагрузки приведен в приложении 3. Здесь мы рассматриваем только уравнение матрицы жесткости и вектора нагрузки. Матрица жесткости для каждого треугольного элемента вычисляется с использованием соотношения

Треугольный элемент в области. Здесь.

Матрица жесткости треугольного элемента th .

= Запись матрицы жесткости.

= Функции формы в узлах элемента. Здесь.

Таким образом, матрица жесткости для каждого элемента равна

Таблица 2. Матрица жесткости, представляющая каждый треугольный элемент области R.

Запись глобальной матрицы элемента принимает запись матрицы жесткости элемента, где находятся глобальные номера узлов, соответствующие номера локальных узлов для номеров глобальных узлов и. Сумма 32 глобальных матриц дает собранную глобальную матрицу, а собранная глобальная матрица приведена в таблице 3.

Таблица 3. Собранная глобальная матрица жесткости.

Таблица 6. Уменьшенная собранная глобальная матрица и вектор нагрузки.

Номера глобальных узлов
7 8 9 12
13 14 17 915 915 915 988 924 9 9 1
13 14 17
Глобальные номера узлов 7 -4 1 0 1 0 0 0 0 0 Глобальные номера узлов 7 0.0417
8 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 8 0,0833
9 -4 0 0 1 0 0 0 9 0.0417
12 1 0 0 -4 1 0 1 0 0 12 0,0833
13 13 1 0 1 -4 1 0 1 0 13 0.0417
14 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 14 0,0833
17 0 0
0 1 0 0 -4 1 0 17 0.0417
18 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 18 0,0833
19
0 0 0 1 0 1 -4 19 0.0417

Методом Гаусса Зейделя получено последовательное приближенное решение для в свободных узлах области. Результаты приведены в таблице 7.

Таблица 7. Решение свободных узлов R с использованием метода Гаусса Зейделя.

—.02 —2902 82488-0,0647 82488-0,0647 82488-0,0647 82488-0,0
Итерации Номера глобальных узлов
7 8 9 12 13 14 17 18 19
1
1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 -0.0104 -0,0234 -0,0163 -0,0234 -0,0221 -0,0304 -0,0163 -0,0304 -0,0256
3 -0,0256
3 -0,036 -0,0436 -0,0449 -0,027 -0,0449 -0.0329
4 -0,0284 -0,0456 -0,033 -0,0456 -0,0557 -0,0512 -0,033 -0,0512 -0,033 -0,0512 -0,0512 900 0,0332 -0,0513 -0,0361 -0,0513 -0,0617 -0.0543 -0,0361 -0,0543 -0,0376
6 -0,0361 -0,0543 -0,0376 -0,0543 -0,0647 -0,0383
7 -0,0376 -0,0558 -0.0383 -0,0558 -0,0662 -0,0565 -0,0383 -0,0565 -0,0387
8 -0,0383 -0,0565 88 -0,0383
-0,0565 38
-0,0565 38
900 -0,0569 -0,0387 -0,0569 -0,0389
9 -0.0387 -0,0569 -0,0389 -0,0569 -0,0673 -0,0571 -0,0389 -0,0571 -0,039
10 38
9
10 38924

-0,024

-0,024

-0,024 0,0390
-0,0571 -0,0675 -0,0572 -0,0390 -0,0572 -0.039
11 -0,0390 -0,0572 -0,039 -0,0572 -0,0676 -0,0572 -0,0390 -0,0572 -0,0572 -0,0572 -0,0572 -0,039 -0,0572 -0,0677 -0.0573 -0,0390 -0,0573 -0,0391
13 -0,0390 -0,0573 -0,0391 -0,0573 -0,0677 88 -0,0573
-0,0677 88 -0,0573
-0,0677 5738
-0,0677 15
900 -0,0391
14 -0,0391 -0,0573 -0.0391 -0,0573 -0,0677 -0,0573 -0,0391 -0,0573 -0,0391
15 -0,0391 -0,0391 -0,024573 -0,024573 900 -0,0573 -0,0391 -0,0573 -0,0391

5.Сравнение двух решений

Для дифференциального уравнения (1) вместе с уравнениями граничных условий (2) мы нашли численные решения с использованием двух методов, а именно. Конечно-разностные и конечно-элементные методы. В этом разделе мы сравниваем эти численные решения друг с другом. Решения в свободных узлах области, полученные двумя методами, приведены в таблице 8.

Таблица 8. Конечно-разностные и конечно-элементные решения.

0,0430 900
Узлы Решение с конечными разностями Решение с конечными элементами
7 -0,0430 -0,0391
8 -0,0547 -0,0573 -0,0573 -0,0391
12 -0,0547 -0.0573
13 -0,0703 -0,0677
14 -0,0547 -0,0573
17 -0,0430 -0,03
-0,0430 -0,03
-0,03
-0,0573
19 -0,0430 -0,0391

Рисунок 5. Сравнение конечных разностей и конечных элементов решения с использованием двумерных изображений.

Из таблицы 8 видно, что максимальная разница между двумя решениями составляет 0,0039 в узле 7. Эту разницу можно минимизировать, взяв большее количество узловых точек. Эти два решения можно описать графически в двух и трех измерениях, как показано на рисунках 5 и 6 соответственно.

Как видно на рисунке 5, конечно-элементные и конечно-разностные решения близки друг к другу в свободных узлах.

Рис. 6. Сравнение конечно-разностных и конечно-элементных решений с использованием трехмерных изображений.

Как видно из рисунка 6, конечно-разностное решение в (a) и конечно-элементное решение в (b) в некоторой степени одинаковы.

6. Выводы

В этой статье мы представили электронные таблицы реализации численных методов для решения уравнения Пуассона в двух измерениях с граничными условиями Дирихле.Другие типы граничных условий и функции правой части уравнения Пуассона могут быть рассмотрены для решения той же проблемы с использованием электронной таблицы. Применение метода конечных разностей несколько сложнее по сравнению с методом конечных элементов. Многие физические задачи имеют границы неправильной формы, а граничные условия выражаются с помощью производных. Граничные условия, которые выражаются с помощью дифференциальных уравнений, трудно обрабатывать, используя методы конечных разностей, потому что каждое граничное условие, включающее производную, должно аппроксимироваться коэффициентом разности в точках сетки.Кроме того, если форма границы неправильная, размещение точек сетки на границе затруднено. Метод конечных элементов снимает все трудности, возникающие в методе конечных разностей. Он не зависит от граничных условий задачи.

Приложение 1 Вывод конечно-разностного уравнения

Чтобы управлять конечно-разностными уравнениями (3), рассмотрим рисунок 2. Теперь на рисунке 2 мы представляем узел 8, узел 12, узел 13, узел 14 и узел 18 соответственно заглавными буквами.Если координата соответствует Q, то координаты и соответственно соответствуют. Расширяя и используя разложение в ряд Тейлора вокруг точки, мы получаем

(8)

и

(9)

соответственно. Добавление (8) и (9) дает

Следовательно,

(10)

Аналогично

(11)

Подставляя уравнения (10) и (11) в уравнение (1), мы получаем

Следовательно,

Приложение 2 Вывод слабой формулировки уравнения (1)

Умножаем оба сторон уравнения (1) произвольной пробной функцией и проинтегрированием по области, получим

(12)

Для понижения порядка производных в (12) воспользуемся формулой Грина.Формула утверждает следующее:

(13)

Здесь ,, и обозначает соответственно границу области, отрезок линии на границе, градиент и внешнюю единичную нормаль на границе.

Подставив уравнение (13) в (12), получим

(14)

Так как условие выполняется. Таким образом, уравнение (14) становится

Приложение 3 Вывод уравнений матрицы жесткости и вектора нагрузки

Теперь рассмотрим треугольный элемент.Уравнение (5) может быть определено на треугольном элементе как

(15)

Подставляя (6) и (7) в уравнение (15), мы получаем

.

Что эквивалентно

.

Поскольку это уравнение справедливо для всех, мы имеем

Здесь для каждого из них у нас есть матрица жесткости и вектор нагрузки соответственно areand.

Ссылки

  1. Альфио Квартерони, Численные модели для дифференциальных задач (2 , издание ), Springer-Verlag, Италия, 2014.
  2. Chapra Canal, Численные методы для инженеров (4 th edition), The McGraw Hill Companies, 2001.
  3. Эрвин Крейзинг, Advanced Engineering Mathematics (9 th edition), 2006 John Wiley and Sons, Inc.
  4. Дж. Эванс, Дж. Блэкледж и П. Ярдли, Численные методы для уравнений с частными производными, Springer-Verlag London Limited 2000.
  5. Дж. Дэвид Логан, Первый курс DE, 2006 Springer Science + Business Media. Inc.
  6. Личард Л. Берден и Дж. Дуглас Фейрес, Численный анализ (9 -е издание ), 2011, 2005, 2001 Брукс / Коул, Cengage Learning, 20 Channel Center Street, Бостон, MA02210, США.
  7. Марк А. Лау и Састри П. Куруганты, Реализация электронных таблиц для решения краевых задач в электромагнитной области, электронные таблицы в образовании (eJSiE) 4 (1), 2001.
  8. Параг В. Патил и доктор J.S.V.R. Кришна Прасад, Численное решение двумерного уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле, Том 6, Выпуск 4 (май — июнь 2013 г.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта