Cos sin ctg: формулы cos, sin, tg, ctg

Содержание

формулы cos, sin, tg, ctg

Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Тригонометрические тождества

sin2a+cos2a=1tgα=sinαcosα, ctgα=cosαsinαtgα·ctgα=1tg2α+1=1cos2α, ctg2α+1=1sin2α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβcosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβtgα±β=tgα±tgβ1±tgα·tgβctgα±β=-1±ctgα·ctgβctgα±ctgβ

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла. 

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы двойного и тройного угла

sin2α=2·sinα·cosαcos2α=cos2α-sin2α, cos2α=1-2sin2α, cos2α=2cos2α-1tg2α=2·tgα1-tg2α сtg2α=сtg2α-12·сtgα sin3α=3sinα·cos2α-sin3α, sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=cos3α-3sin2α·cosα, cos3α=-3cosα+4cos3αtg3α=3tgα-tg3α1-3tg2αctg3α=ctg3α-3ctgα3ctg2α-1

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени

sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2sin3α=3sinα-sin3α4cos3α=3cosα+cos3α4sin4α=3-4cos2α+cos4α8cos4α=3+4cos2α+cos4α8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n

sinnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1(-1)n2-k·Ckn·cos((n-2k)α)cosnα=Cn2n2n+12n-1∑k=0n2-1Ckn·cos((n-2k)α)

для нечетных n

sinnα=12n-1∑k=0n-12(-1)n-12-k·Ckn·sin((n-2k)α)cosnα=12n-1∑k=0n-12Ckn·cos((n-2k)α)

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2·cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2·sinα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·sinβ-α2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα·sinβ=12·(cos(α-β)-cos(α+β))cosα·cosβ=12·(cos(α-β)+cos(α+β))sinα·cosβ=12·(sin(α-β)+sin(α+β))

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс, — могут быть выражены через тангенс половинного угла. 

Универсальная тригонометрическая подстановка

sinα=2tgα21+tg2α2cosα=1-tg2α21+tg2α2tgα=2tgα21-tg2α2ctgα=1-tg2α22tgα2

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы [wiki.eduVdom.com]

subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы

Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).


Окружность с центром в точке О и радиусом ОА

Рис.1

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

  • Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

  • Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

  • Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

  • Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

  • Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)

  • Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)

  • В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
0 рад $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\sin \alpha$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 0 -1 0
$\cos \alpha$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$
0
-1 0 1
$\textrm{tg}\, \alpha$ 0 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 1 $\sqrt{3}$ 0 0
$\textrm{ctg}\, \alpha$ $\sqrt{3}$ 1 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 0 0

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

  1. Определение знака

    • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;

    • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;

    • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;

    • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;

    • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0

      и ctg α > 0;

    • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.

  2. Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.

    • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.

    • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.

  3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.

1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения

X $\frac{\pi}{2}-\alpha$ $\frac{\pi}{2}+\alpha$ $\pi-\alpha$ $\pi+\alpha$ $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ $2\pi-\alpha$ $2\pi+\alpha$
sin x cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α
cos x sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α
tg x ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α
ctg x tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α

Формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла или двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента (для sin и cos — формулы понижения степени):

Формулы суммы и разности

Формулы произведения

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.

Простейшие тригонометрические уравнения

Дополнительно

subjects/mathematics/тригонометрические_выражения_и_формулы.txt · Последние изменения: 2021/03/24 18:37 —

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы [wiki.eduVdom.com]

subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы

Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).


Окружность с центром в точке О и радиусом ОА

Рис.1

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

  • Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

  • Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

  • Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

  • Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

  • Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)

  • Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)

  • В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
0 рад $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\sin \alpha$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 0 -1 0
$\cos \alpha$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 -1 0 1
$\textrm{tg}\, \alpha$ 0 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 1 $\sqrt{3}$ 0 0
$\textrm{ctg}\, \alpha$ $\sqrt{3}$ 1 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 0 0

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

  1. Определение знака

    • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;

    • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;

    • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;

    • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;

    • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;

    • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.

  2. Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.

    • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.

    • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.

  3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.

1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения

X $\frac{\pi}{2}-\alpha$ $\frac{\pi}{2}+\alpha$ $\pi-\alpha$ $\pi+\alpha$ $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ $2\pi-\alpha$ $2\pi+\alpha$
sin x cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α
cos x sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α
tg x ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α
ctg x tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α

Формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла или двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента (для sin и cos — формулы понижения степени):

Формулы суммы и разности

Формулы произведения

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.

Простейшие тригонометрические уравнения

Дополнительно

subjects/mathematics/тригонометрические_выражения_и_формулы.txt · Последние изменения: 2021/03/24 18:37 —

Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы [wiki.eduVdom.com]

subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы

Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).


Окружность с центром в точке О и радиусом ОА

Рис.1

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

  • Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

  • Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

  • Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

  • Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

  • Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)

  • Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)

  • В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
0 рад $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\sin \alpha$ 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 0 -1 0
$\cos \alpha$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 -1 0 1
$\textrm{tg}\, \alpha$ 0 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 1 $\sqrt{3}$ 0 0
$\textrm{ctg}\, \alpha$ $\sqrt{3}$ 1 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 0 0

Свойства sin, cos, tg и ctg

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

  1. Определение знака

    • Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;

    • Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;

    • Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;

    • Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;

    • Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;

    • Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.

  2. Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.

    • Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.

    • Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.

  3. При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.

1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения

X $\frac{\pi}{2}-\alpha$ $\frac{\pi}{2}+\alpha$ $\pi-\alpha$ $\pi+\alpha$ $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ $2\pi-\alpha$ $2\pi+\alpha$
sin x cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α
cos x sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α
tg x ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α
ctg x tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α

Формулы сложения

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла или двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента (для sin и cos — формулы понижения степени):

Формулы суммы и разности

Формулы произведения

Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)

Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.2⁡x\), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.


Примеры из ЕГЭ

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})\).
Решение. \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})=-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}\).


Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) принимает наименьшее т.е. \(cos\,⁡\frac{π}{3}=\frac{1}{2}\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(sin⁡\,\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Получается:

\(-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}=-24\sqrt{2}\cdot\)\(\frac{1}{2}\)\(\cdot\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{-24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4}\)\(=\)\(\frac{-24\cdot 2}{4}\)\(=-6\cdot2=-12\)

Ответ: \(-12\).° )=-44\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).

Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью «Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы?».

Доказательства формул с минусом в аргументе:


Таблица тригонометрических значений углов: синус, косинус, тангенс, котангенс

Ниже представлена таблица со значениями синусов (sin), косинусов (cos), тангенсов (tg) и котангенсов (ctg) углов от 0 до 360 градусов (или от 0 до 2π).

α°αsin αcos αtg αctg α
0 0 1 0
30° π/6 1/2√3/21/√3√3
45° π/4√2/2√2/21 1
60° π/3√3/21/2√3 1/√3
90° π/21 0 0
120° 2π/3√3/2

-1/2

-√3

-1/√3

135° 3π/4√2/2

-√2/2

-1 -1
150° 5π/61/2

-√3/2

-1/√3

-√3
180° π 0 -1 0
210° 7π/6

-1/2

-√3/2

1/√3√3
225° 5π/4

-√2/2

-√2/2

1 1
240° 4π/3

-√3/2

-1/2

√3 1/√3
270° 3π/2-1 0 0
300° 5π/3

-√3/2

1/2-√3

-1/√3

315° 7π/4

-√2/2

√2/2-1 -1
330° 11π/6

-1/2

√3/2

-1/√3

-√3
360° 0 1 0

microexcel.ru

Таблица Брадиса sin cos tg ctg

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Найти точное значение


Таблица Брадиса sin, cos
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
090°
0,0000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036603840401041904360454047104880506052387°369
0523054105580576059306100628064506630680069886°369
0698071507320750076707850802081908370854087285°369
0872088909060924094109580976099310111028104584°369
1045106310801097111511321149116711841201121983°369
1219123612531271128813051323134013571374139282°369
1392140914261444146114781495151315301547156481°369
1564158215991616163316501668168517021719173680°369
10°1736175417711788180518221840185718741891190879°369
11°1908192519421959197719942011202820452062207978°369
12°2079209621132130214721642181219822152233225077°369
13°2250226722842300231723342351236823852402241976°368
14°2419243624532470248725042521253825542571258875°368
15°2588260526222639265626722689270627232740275674°368
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
16°2756277327902807282328402857287428902907292473°368
17°2924294029572974299030073024304030573074309072°368
18°3090310731233140315631733190320632233239325671°368
19°3256327232893305332233383355337133873404342070°358
20°3420343734533469348635023518353535513567358469°358
21°3584360036163633364936653681369737143730374668°358
22°3746376237783795381138273843385938753891390767°358
23°3907392339393955397139874003401940354051406766°358
24°4067408340994115413141474163417941954210422665°358
25°4226424242584274428943054321433743524368438464°358
26°4384439944154431444644624478449345094524454063°358
27°4540455545714586460246174633464846644679469562°358
28°4695471047264741475647724787480248184833484861°358
29°4848486348794894490949244939495549704985500060°358
30°5000501550305045506050755090510551205135515059°358
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
31°5150516551805195521052255240525552705284529958°257
32°5299531453295344535853735388540254175432544657°257
33°5446546154765490550555195534554855635577559256°257
34°5592560656215635565056645678569357075721573655°257
35°5736575057645779579358075821583558505864587854°257
36°5878589259065920593459485962597659906004601853°257
37°6018603260466060607460886101611561296143615752°257
38°6157617061846198621162256239625262666280629351°257
39°6293630763206334634763616374638864016414642850°247
40°6428644164556468648164946508652165346547656149°247
41°6561657465876600661366266639665266656678669148°247
42°6691670467176730674367566769678267946807682047°246
43°6820683368456858687168846896690969216934694746°246
44°6947695969726984699770097022703470467059707145°246
45°7071708370967108712071337145715771697181719344°246
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
46°7193720672187230724272547266727872907302731443°246
47°7314732573377349736173737385739674087420743142°246
48°7431744374557466747874907501751375247536754741°246
49°7547755975707581759376047615762776387649766040°246
50°7660767276837694770577167727773877497760777139°246
51°7771778277937804781578267837784878597869788038°245
52°7880789179027912792379347944795579657976798637°245
53°7986799780078018802880398049805980708080809036°235
54°8090810081118121813181418151816181718181819235°235
55°8192820282118221823182418251826182718281829034°235
56°8290830083108320832983398348835883688377838733°235
57°8387839684068415842584348443845384628471848032°235
58°8480849084998508851785268536854585548563857231°235
59°8572858185908599860786168625863486438652866030°134
60°8660866986788686869587048712872187298738874629°134
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
61°8746875587638771878087888796880588138821882928°134
62°8829883888468854886288708878888688948902891027°134
63°8910891889268934894289498957896589738980898826°134
64°8988899690039011901890269033904190489056906325°134
65°9063907090789085909291009107911491219128913524°124
66°9135914391509157916491719178918491919198920523°123
67°9205921292199225923292399245925292599265927222°123
68°9272927892859291929893049311931793239330933621°123
69°9336934293489354936193679373937993859391939720°123
70°9397940394099415942194269432943894449449945519°123
71°9455946194669472947894839489949495009505951118°123
72°9511951695219527953295379542954895539558956317°123
73°9563956895739578958395889593959896039608961316°122
74°9613961796229627963296369641964696509655965915°122
75°9659966496689673967796819686969096949699970314°112
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos
76°9703970797119715972097249728973297369740974413°112
77°9744974897519755975997639767977097749778978112°112
78°9781978597899792979697999803980698109813981611°112
79°9816982098239826982998339836983998429845984810°112
80°98489851985498579860986398669869987198749877011
81°98779880988298859888989098939895989899009903011
82°99039905990799109912991499179919992199239925011
83°99259928993099329934993699389940994299439945011
84°99459947994999519952995499569957995999609962011
85°99629963996599669968996999719972997399749976001
86°99769977997899799980998199829983998499859986000
87°99869987998899899990999099919992999399939994000
88°99949995999599969996999799979997999899989998000
89°999899999999999999991.01.01.01.01.01.0000
90°1
sin0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′cos

Таблица Брадиса tg, ctg
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
090°
0,000001700350052007000870105012201400157017589°369
0175019202090227024402620279029703140332034988°369
0349036703840402041904370454047204890507052487°369
0524054205590577059406120629064706640682069986°369
06990717073407520769078708050822084008570,087585°369
0,0875089209100928094509630981099810161033105184°369
1051106910861104112211391157117511921210122883°369
1228124612631281129913171334135213701388140582°369
1405142314411459147714951512153015481566158481°369
15841602162016381655167316911709172717450,176380°369
10°0,1763178117991817183518531871189019081926194479°369
11°1944196219801998201620352053207120892107212678°369
12°2126214421622180219922172235225422722290230977°369
13°2309232723452364238224012419243824562475249376°369
14°24932512253025492568258626052623264226610,267975°369
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
15°0,2679269827172736275427732792281128302849286774°369
16°2867288629052924294329622981300030193038305773°369
17°3057307630963115313431533172319132113230324972°3610
18°3249326932883307332733463365338534043424344371°3610
19°34433463348235023522354135613581360036200,364070°3710
20°0,3640365936793699371937393759377937993819383969°3710
21°3839385938793899391939393959397940004020404068°3710
22°4040406140814101412241424163418342044224424567°3710
23°4245426542864307432743484369439044114431445266°3710
24°44524473449445154536455745784599462146420,466365°4711
25°0,4663468447064727474847704791481348344856487764°4711
26°4877489949214942496449865008502950515073509563°4711
27°5095511751395161518452065228525052725295531762°4711
28°5317534053625384540754305452547554985520554361°4811
29°55435566558956125635565856815704572757500,577460°4812
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
30°0,5774579758205844586758905914593859615985600959°4812
31°6009603260566080610461286152617662006224624958°4812
32°6249627362976322634663716395642064456469649457°4812
33°6494651965446569659466196644666966946720674556°4813
34°67456771679668226847687368996924695069760,700255°4913
35°0,7002702870547080710771337159718672127239726554°4813
36°7265729273197346737374007427745474817508753653°5914°
37°7536756375907618764676737701772977577785781352°5914
38°7813784178697898792679547983801280408069809851°5914
39°80988127815681858214824382738302833283610,839150°510 15
40°0,83918421845184818511854185718601863286620,869349°51015
41°8693872487548785881688478878891089418972900448°51016
42°9004903690679099913191639195922892609293932547°61116
43°93259358939194249457949095239556959096230,965746°61117
44°96579691972597599793982798619896993099651,000045°61117
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
45°1,0000003500700105014101760212024702830319035544°61218
46°0355039204280464050105380575061206490686072443°61218
47°0724076107990837087509130951099010281067110642°61319
48°1106114511841224126313031343138314231463150441°71320
49°15041544158516261667170817501792183318751,191840°71421
50°1,1918196020022045208821312174221822612305234939°71422
51°2349239324372482252725722617266227082753279938°81523
52°2799284628922938298530323079312731753222327037°81624
53°3270331933673416346535143564361336633713376436°81625
54°37643814386539163968401940714124417642291,428135°91726
55°1,4281433543884442449645504605465947154770482634°91827
56°4826488249384994505151085166522452825340539933°101929
57°5399545855175577563756975757581858805941600332°102030
58°6003606661286191625563196383644765126577664331°112132
59°66436709677568426909697770457113718272511,732130°112334
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg
60°1,7321,7391,7461,7531,7601,7671,7751,7821,7891,7971,80429°124
61°1,8041,8111,8191,8271,8341,8421,8491,8571,8651,8731,88128°134
62°1,8811,8891,8971,9051,9131,9211,9291,9371,9461,9541,96327°134
63°1,9631,9711,9801,9881,9972,0062,0142,0232,0322,0412,0526°134
64°2,0502,0592,0692,0782,0872,0972,1062,1162,1252,1352,14525°235
65°2,1452,1542,1642,1742,1842,1942,2042,2152,2252,2362,24624°235
66°2,2462,2572,2672,2782,2892,32,3112,3222,3332,3442,35623°245
67°2,3562,3672,3792,3912,4022,4142,4262,4382,4502,4632,47522°246
68°2,4752,4882,52,5132,5262,5392,5522,5652,5782,5922,60521°246
69°2,6052,6192,6332,6462,662,6752,6892,7032,7182,7332,74720°257
70°2,7472,7622,7782,7932,8082,8242,8402,8562,8722,8882,90419°358
71°2,9042,9212,9372,9542,9712,9893,0063,0243,0423,063,07818°369
72°3,0783,0963,1153,1333,1523,1723,1913,2113,2303,2513,27117°3610
73°3,2713,2913,3123,3333,3543,376 3710
 3,3983,423,4423,4653,48716°4711
74°3,4873,5113,5343,5583,5823,606 4812
 3,6303,6553,6813,7063,73215°4813
75°3,7323,7583,7853,8123,8393,867 4913
 3,8953,9233,9523,9814,01114°51014
tg0′6′12′18′24′30′36′42′48′54′60′ 1′2′3′
60′54′48′42′36′30′24′18′12′6′0′ctg

Тригонометрические формулы

1. Тождества тригонометрических функций одного и того же аргумента:

2. Значения тригонометрических функций в определенных точках:

α ° 0 30 45 60 90 180 270 360
sin (α) 0 12 22 32 1 0 -1 0
cos (α) 1 32 22 12 0 -1 0 1
тг (α) 0 13 1 3 0 0
карат (α) 3 1 13 0 0

3.Четность или нечетность:

4. Знаки в кварталах:

Триг. функция Quater
I II III IV
sin (α) + +
cos (α) + +
тг (α) + +
карат (α) + +

5.Формулы приведения:

β = 90 ± α 180 ± α 270 ± α 360 ± α
sin (β) cos (α) ∓sin (α) -cos (α) ± sin (α)
cos (β) ∓sin (α) -cos (α) ± sin (α) cos (α)
тг (β) ∓ctg (α) ± tg (α) ∓ctg (α) ± tg (α)
ктг (β) ∓тг (α) ± ctg (α) ∓тг (α) ∓ctg (α)

6.Решение простейших тригонометрических уравнений:

sin (x) = a x = (-1) n arcsin (a) + n π, n = 0, 1 … ∈ Z

cos (x) = a ⇔ x = ± arccos (a) + 2 n π, n = 0, 1 … ∈ Z

tg (x) = a ⇔ x = arctg (a) + n π, n = 0, 1 … ∈ Z

7. Формулы суммирования и вычитания:

sinαβsinαcosβcosαsinβ sinαβsinαcosβcosαsinβ cosαβcosαcosβsinαsinβ cosαβcosαcosβsinαsinβ

8.Формулы двойного угла:

9. Формулы тройного угла:

10. Формулы преобразования суммы и разности:

а) Преобразование суммы и разности одинаковых тригонометрических функций под разными углами:

Синусоидальные преобразования:

sinαsinβ2sinαβ2cosαβ2 sinαsinβ2sinαβ2cosαβ2

Косинусных преобразований:

cosαcosβ2cosαβ2cosαβ2 cosαcosβ2sinαβ2sinαβ2

Касательных преобразований:

tgαtgβsinαβcosαcosβ tgαtgβsinαβcosαcosβ

преобразований котангенса:

ctgαctgβsinβαsinαsinβ ctgαctgβsinβαsinαsinβ

б) Преобразование суммы и разности различных тригонометрических функций под разными углами:

sinαcosβ2sinαβ2π4cosαβ2π4 sinαcosβ2sinαβ2π4cosαβ2π4

c) Особые формулы:

AsinαBcosαA2B2sinαarctgBA sinαsin2α…sinnαsin12n1αsinnα2sinα2 cosαcos2α … cosnαcos12n1αsinnα2sinα2

11. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций:

sinαsinβcosαβcosαβ2 sinαcosβsinαβsinαβ2 cosαcosβcosαβcosαβ2

12. Редукция тригонометрических функций по степенным формулам:

13. Выражение тригонометрических функций тангенсом половинного угла:

ttgα2sinα1cosα1cosαsinα1cosα1cosα

sin cos tan таблица


Таблицы Брадиса sin, cos, tg, ctg.

Таблица

sin cos tan (тригонометрические значения) содержит рассчитанные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Также приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов, используемых в расчетах.

Таблицы с расчетными значениями sin, cos, tg, ctg используются для упрощения и ускорения математических вычислений, когда нет возможности использовать калькулятор или компьютер.



  • грех
  • cos
  • тг
  • CTG
  • триг. значения
  • Брэдис грех и соз
  • Bradys tg и ctg

sin 0 ° = sin 360 ° = 0

α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α
α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α

cos 0 ° = cos 360 ° = 1

α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α
α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α

тг 0 ° = тг 360 ° = 0

α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α
α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α

ctg 0 ° = ctg 360 ° = ∞

α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α
α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α

Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов.



Таблица Брэдиче для синусов и косинусов

грех 0 ‘ 6 ‘ 12 ‘ 18 ‘ 24 ‘ 30 мин. 36 ‘ 42 ‘ 48 ‘ 54 ‘ 60 ‘ cos 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘
0.0000 90 °
0 ° 0,0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89 ° 3 6 9
1 ° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88 ° 3 6 9
2 ° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87 ° 3 6 9
3 ° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86 ° 3 6 9
4 ° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0.0872 85 ° 3 6 9
5 ° 0,0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84 ° 3 6 9
6 ° 1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83 ° 3 6 9
7 ° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82 ° 3 6 9
8 ° 1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81 ° 3 6 9
9 ° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 0.1736 80 ° 3 6 9
10 ° 0,1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79 ° 3 6 9
11 ° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78 ° 3 6 9
12 ° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77 ° 3 6 9
13 ° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76 ° 3 6 8
14 ° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0.2588 75 ° 3 6 8
15 ° 0,2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74 ° 3 6 8
16 ° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73 ° 3 6 8
17 ° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72 ° 3 6 8
18 ° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71 ° 3 6 8
19 ° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0.3420 70 ° 3 5 8
20 ° 0,3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69 ° 3 5 8
21 ° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68 ° 3 5 8
22 ° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67 ° 3 5 8
23 ° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66 ° 3 5 8
24 ° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0.4226 65 ° 3 5 8
25 ° 0,4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64 ° 3 5 8
26 ° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63 ° 3 5 8
27 ° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62 ° 3 5 8
28 ° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61 ° 3 5 8
29 ° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0.5000 60 ° 3 5 8
30 ° 0,5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59 ° 3 5 8
31 ° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58 ° 2 5 7
32 ° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57 ° 2 5 7
33 ° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56 ° 2 5 7
34 ° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0.5736 55 ° 2 5 7
35 ° 0,5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 0,5878 54 ° 2 5 7
36 ° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53 ° 2 5 7
37 ° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52 ° 2 5 7
38 ° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51 ° 2 5 7
39 ° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0.6428 50 ° 2 4 7
40 ° 0,6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49 ° 2 4 7
41 ° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48 ° 2 4 7
42 ° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47 ° 2 4 6
43 ° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 8909 6921 6934 6947 46 ° 2 4 6
44 ° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0.7071 45 ° 2 4 6
45 ° 0,7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44 ° 2 4 6
46 ° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43 ° 2 4 6
47 ° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42 ° 2 4 6
48 ° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41 ° 2 4 6
49 ° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0.7660 40 ° 2 4 6
50 ° 0,7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39 ° 2 4 6
51 ° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38 ° 2 4 5
52 ° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37 ° 2 4 5
53 ° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36 ° 2 3 5
54 ° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0.8192 35 ° 2 3 5
55 ° 0,8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34 ° 2 3 5
56 ° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33 ° 2 3 5
57 ° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32 ° 2 3 5
58 ° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31 ° 2 3 5
59 ° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0.8660 30 ° 1 3 4
60 ° 0,8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29 ° 1 3 4
61 ° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28 ° 1 3 4
62 ° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27 ° 1 3 4
63 ° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26 ° 1 3 4
64 ° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0.9063 25 ° 1 3 4
65 ° 0,9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24 ° 1 2 4
66 ° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23 ° 1 2 3
67 ° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9256 9272 22 ° 1 2 3
68 ° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21 ° 1 2 3
69 ° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9383 9391 0.9397 20 ° 1 2 3
70 ° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 0,9455 19 ° 1 2 3
71 ° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18 ° 1 2 3
72 ° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17 ° 1 2 3
73 ° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16 ° 1 2 2
74 ° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0.9659 15 ° 1 2 2
75 ° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14 ° 1 1 2
76 ° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13 ° 1 1 2
77 ° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12 ° 1 1 2
78 ° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11 ° 1 1 2
79 ° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0.9848 10 ° 1 1 2
80 ° 0,9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 9 ° 0 1 1
81 ° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8 ° 0 1 1
82 ° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7 ° 0 1 1
83 ° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6 ° 0 1 1
84 ° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 5 ° 0 1 1
85 ° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 4 ° 0 0 1
86 ° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3 ° 0 0 0
87 ° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2 ° 0 0 0
88 ° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 0.9998 1 ° 0 0 0
89 ° 9998 9999 9999 9999 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0 ° 0 0 0
90 ° 1.0000
грех 60 ‘ 54 ‘ 48 ‘ 42 ‘ 36 ‘ 30 мин. 24 ‘ 18 ‘ 12 ‘ 6 ‘ 0 ‘ cos 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘

Таблица Брэдиса для касательных и котангенсов

тг 0 ‘ 6 ‘ 12 ‘ 18 ‘ 24 ‘ 30 мин. 36 ‘ 42 ‘ 48 ‘ 54 ‘ 60 ‘ CTG 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘
0 90 °
0 ° 0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89 ° 3 6 9
1 ° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88 ° 3 6 9
2 ° 0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87 ° 3 6 9
3 ° 0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86 ° 3 6 9
4 ° 0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85 ° 3 6 9
5 ° 0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84 ° 3 6 9
6 ° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83 ° 3 6 9
7 ° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82 ° 3 6 9
8 ° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81 ° 3 6 9
9 ° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80 ° 3 6 9
10 ° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79 ° 3 6 9
11 ° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78 ° 3 6 9
12 ° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77 ° 3 6 9
13 ° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76 ° 3 6 9
14 ° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75 ° 3 6 9
15 ° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74 ° 3 6 9
16 ° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73 ° 3 6 9
17 ° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72 ° 3 6 10
18 ° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71 ° 3 6 10
19 ° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70 ° 3 7 10
20 ° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69 ° 3 7 10
21 ° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68 ° 3 7 10
22 ° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67 ° 3 7 10
23 ° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66 ° 3 7 10
24 ° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65 ° 4 7 11
25 ° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64 ° 4 7 11
26 ° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63 ° 4 7 11
27 ° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62 ° 4 7 11
28 ° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61 ° 4 8 11
29 ° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60 ° 4 8 12
30 ° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59 ° 4 8 12
31 ° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58 ° 4 8 12
32 ° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57 ° 4 8 12
33 ° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56 ° 4 8 13
34 ° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55 ° 4 9 13
35 ° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54 ° 4 8 13
36 ° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53 ° 5 9 14 °
37 ° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52 ° 5 9 14
38 ° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 51 ° 5 9 14
39 ° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50 ° 5 10 15
40 ° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49 ° 5 10 15
41 ° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48 ° 5 10 16
42 ° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47 ° 6 11 16
43 ° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46 ° 6 11 17
44 ° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 1,0000 45 ° 6 11 17
45 ° 1,0000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44 ° 6 12 18
46 ° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43 ° 6 12 18
47 ° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42 ° 6 13 19
48 ° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41 ° 7 13 20
49 ° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40 ° 7 14 21
50 ° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39 ° 7 14 22
51 ° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38 ° 8 15 23
52 ° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37 ° 8 16 24
53 ° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36 ° 8 16 25
54 ° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35 ° 9 17 26
55 ° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34 ° 9 18 27
56 ° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 33 ° 10 19 29
57 ° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32 ° 10 20 30
58 ° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31 ° 11 21 32
59 ° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30 ° 11 23 34
60 ° 1,732 1,739 1,746 1,753 1,760 1,767 1,775 1,782 1,789 1,797 1 804 29 ° 1 2 4
61 ° 1 804 1,811 1819 1827 1834 1842 1849 1857 1865 1873 1881 28 ° 1 3 4
62 ° 1881 1889 1897 1 905 1 913 1 921 1 929 1 937 1 946 1 954 1 963 27 ° 1 3 4
63 ° 1 963 1 971 1 980 1 988 1,997 2 006 2,014 2,023 2 032 2 041 2,05 26 ° 1 3 4
64 ° 2 050 2,059 2 069 2,078 2 087 2 097 2,106 2,116 2,125 2,135 2,145 25 ° 2 3 5
65 ° 2,145 2 154 2 164 2 174 2 184 2 194 2 204 2,215 2,225 2,236 2,246 24 ° 2 3 5
66 ° 2,246 2,257 2,267 2,278 2,289 2,3 2,311 2,322 2,333 2,344 2,356 23 ° 2 4 5
67 ° 2,356 2,367 2,379 2,391 2,402 2,414 2,426 2,438 2,450 2,463 2,475 22 ° 2 4 6
68 ° 2,475 2,488 2,5 2,513 2,526 2,539 2,552 2,565 2,578 2,592 2 605 21 ° 2 4 6
69 ° 2 605 2 619 2 633 2 646 2,66 2,675 2,689 2 703 2 718 2 733 2 747 20 ° 2 5 7
70 ° 2 747 2 762 2,778 2 793 2 808 2 824 2 840 2 856 2 872 2 888 2 904 19 ° 3 5 8
71 ° 2 904 2 921 2 937 2 954 2,971 2,989 3 006 3 024 3 042 3,06 3 078 18 ° 3 6 9
72 ° 3 078 3 096 3,115 3,133 3,152 3 172 3,191 3 211 3,230 3 251 3 271 17 ° 3 6 10
73 ° 3 271 3 291 3 312 3 333 3 354 3 376 3 7 10
3 398 3,42 3 442 3 465 3 487 16 ° 4 7 11
74 ° 3 487 3,511 3,534 3,558 3,582 3 606 4 8 12
3 630 3 655 3 681 3,706 3,732 15 ° 4 8 13
75 ° 3,732 3,758 3,785 3 812 3 839 3 867 4 9 13
3 895 3 923 3 952 3 981 4 011 14 ° 5 10 14
тг 60 ‘ 54 ‘ 48 ‘ 42 ‘ 36 ‘ 30 мин. 24 ‘ 18 ‘ 12 ‘ 6 ‘ 0 ‘ CTG 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘

Sin Cos Tg Ctg 0

КР° к Ð ± Ñ ‹Ñ Ñ‚Ñ € о Ð · Ð ° помнить Ñ‚Ð ° Ð ± Ð Ð¸Ñ † у Ð · нР° Ñ ‡ ений «sin», «cos», «tgî», «ctg» €?

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: СинуÑ, ÐºÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð¸ Ñ‚Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ñƒ гРР° AC

ÐžÑ‚Ð²ÐµÑ‚Ñ ‹Mail ru: РжнР° Ñ‚Ð ° Ð ± Ð Ð¸Ñ † Ð ° Ñ Ð¾ Ð · нР° Ñ ‡ ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¼Ð¸ î €€ cosî €, € € sinî €, € € tgî €

î €€ Sinî € (€ € 90 ° € + ±) = € € Cos ‘€ (€ € 90 ° € ° + ±) = € € tgî € (€ € 90 ° € + ±) = € € Â ° ±

Na czym polegają funkcje trygonometryczne lub trójką ty

Ð — нР° Ñ ‡ ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¡Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð ° ÐšÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð ° Ð ¢ Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð ° КотР° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð ° emalldownloader

разоны с зажимом для пальцев

Ð ¢ Ð ° Ð ± Ð Ð¸Ñ † Ñ ‹Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð¾Ð², ÐºÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð¾Ð², Ñ‚Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð¾Ð² и котР° нген котР° нген ввР°

sin cos tan таблица тригонометрических формул

sin tan cos таблица радиан

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: СинуÑ, ÐºÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ, Ñ‚Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð¸ ÐºÐ¾Ñ ‚Ð ° нгенÑ

тригонометрия тригонометрическая tg valorile sinus cosinus graficul

таблица cos tg sin ctg valori тригонометрическая функция cosinus functia directe ppt презентация в PowerPoint fitfab

tg cos ctg tabela cosinus sin cotangens sinus aksu znalezienie styczna Definicje

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: Ð’Ñ ‹Ñ € Ð ° Ð · ите угоРв Ñ € Ð ° ди Ð ° нР° Ñ… Ñ Ð¿Ð¾Ð¼Ð¾Ñ ‰ ью

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¿Ð¾ мР° темР° тике Ð — нР° ки Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð °, ÐºÐ¾Ñ Ð Ð½ÑƒÑ Ð °

T¡blázat î €€ sinî €, € € cosî €, € € tgî €, î €€ ctgî €

Ø £ كم Ù „ÙŠ Øساب x Ù ÙŠ كل Øا٠„Ø ©

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: Ð Ð ° йти: 1) î €€ sinî € A, 2) cоs A, 3) î € € A

tabela wzory redukcyjne funkcji

Krótszy bok równolegÅ‚oboku ma dÅ‚ugoÅ ›Ä ‡ 4 см, a wysokoÅ› Ä ‡

180 sin cos Ð¿Ð¾Ð´Ñ € оР± но Ð¿Ð¾Ð ÑƒÑ ‡ Ð ° ем Ñ Ñ‚Ð¾Ð¼ же Ñ Ñ € Ð ° Ð · у Ð¾Ñ Ñ‚Ð ° нР° вРРвР° Ñ‚ÑŒÑ Ñ Ð¾Ñ‚Ñ ÑŽÐ´Ð ° tg нР°

sin cos tg ctg 60 45 стопни

Ð ¢ Ñ € игономет € Ð¸Ñ Ð¤Ð¾Ñ € Ð¼ÑƒÐ Ñ ‹Ð¿Ñ € Ð¸Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿Ñ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¾Ð½Ð Ð ° йн

Ð’Ñ ‹Ñ ‡ Ð¸Ñ Ð ‚е î €€ sinî € a, î € € cosî € a, î €€ tgî € a, î €€ ctgî € a дРР· Ð ° дР° нного Ð · нР° Ñ ‡ ениÑ

Ð ¢ Ñ € игономет € Ð¸Ñ Ð¤Ð¾Ñ € Ð¼ÑƒÐ Ñ ‹Ð¿Ñ € Ð¸Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿Ñ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¾Ð½Ð Ð ° йн

Ð ¢ Ñ € игономет € Ð¸Ñ Ð¤Ð¾Ñ € Ð¼ÑƒÐ Ñ ‹Ð¿Ñ € Ð¸Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿Ñ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¾Ð½Ð Ð ° йн

(î € € Sinî € (a) î €€ ctgî € (a)) / (î €€ cosî € (360 ° a) î €€ tgî € (î €€ 180î € ° + a )) Ð¿Ñ € Ð¾Ñ Ñ‚Ð¸Ñ‚ÑŒ

Таблица тригонометрическая (tabel «sin», «cosî», «tgî», «ctg» €

СР± Ð¾Ñ € ник Ð · Ð ° дР° Ñ ‡

Wzory trygonometryczne

Tablice z wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych znajdują się pod tym linkiem.2 {\ alpha} -1} \\\\\ end {split} \]

Funkcje trygonometryczne sumy i rónicy kątów

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} = \ sin {\ alpha} \ cos {\ beta} + \ sin {\ beta} \ cos {\ alpha} \\\\\\\\ & \ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ sin {\ alpha} \ cos {\ beta} — \ sin {\ beta} \ cos {\ alpha} \\\\\\\\ & \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} = \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} — \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} \\\\\\\\ & \ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} + \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ left (\ альфа + \ beta \ right)} = \ frac {\ text {tg} {\ alpha} + \ text {tg} {\ beta}} {1- \ text {tg} {\ alpha} \ \ text {tg} {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ frac {\ text {tg} {\ alpha} — \ text {tg } {\ beta}} {1+ \ text {tg} {\ alpha} \ \ text {tg} {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} = \ frac {\ text {ctg} {\ alpha} \ \ text {ctg} {\ beta} -1} {\ text {ctg} {\ beta} + \ text {ctg} {\ альфа}} \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ frac {\ text {ctg} {\ alpha} \ \ text { ctg} {\ beta} +1} {\ text {ctg} {\ beta} — \ text {ctg} {\ alpha}} \\\\\ end {split} \]

Wzory redukcyjne

\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \\\ \ & \ text {ctg} {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \] \ [\ begin {split } & \ sin {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \]
\ [\ begin {split} & \ sin {\ left ( 180 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (180 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ cos {\ alpha} \ \\\ & \ text {tg} {\ left (180 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (180 ^ \ circ + \ альфа \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \] \ [\ begin {split} & \ sin {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ cos {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \]
\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ cos { \ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \] \ [\ begin {split} & \ sin {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ cos {\ alpha} \\ \\ & \ cos {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \]
\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \ \\\ & \ text {ctg} {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \] \ [\ begin { split} & \ sin {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \]

Сумы и różnice funkcji trygonometrycznych

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin {\ alpha} + \ sin {\ beta} = 2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha — \ beta} } {2}} \\\\\\\\ & \ sin {\ alpha} — \ sin {\ beta} = 2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha — \ beta} {2}} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} + \ cos {\ beta} = 2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2} } \ cos {\ frac {\ alpha — \ beta} {2}} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} — \ cos {\ beta} = — 2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha — \ beta} {2}} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ alpha} + \ text {tg} {\ beta} = \ frac {\ sin { \ left (\ alpha + \ beta \ right)}} {\ cos {\ alpha} \ cos {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ alpha} — \ text {tg } {\ beta} = \ frac {\ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ right)}} {\ cos {\ alpha} \ cos {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ alpha} + \ text {ctg} {\ beta} = \ frac {\ sin {\ left (\ beta + \ alpha \ right)}} {\ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} } \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ alpha} — \ text {ctg} {\ beta} = \ frac {\ sin {\ left (\ beta — \ alpha \ right)}} { \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta}} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} + \ sin {\ alpha} = \ sqrt {2} \ sin {\ left (45 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sqrt {2} \ cos {\ left (45 ^ \ circ — \ alpha \ right)} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} — \ sin { \ alpha} = \ sqrt {2} \ cos {\ left (45 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sqrt {2} \ sin {\ left (45 ^ \ circ — \ alpha \ right)} \ \\\\ end {split} \]

Sumy i różnice jedności z funkcjami trygonometrycznymi

\ [\ begin {split} & \\ & 1+ \ sin {\ alpha} = 2 \ sin ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ + \ frac {\ alpha} {2} \ right)} = 2 \ cos ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ — \ frac {\ alpha} {2} \ right)} \\\\\\ \\ & 1- \ sin {\ alpha} = 2 \ sin ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ — \ frac {\ alpha} {2} \ right)} = 2 \ cos ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ + \ frac {\ alpha} {2} \ right)} \\\\\\\\ & 1+ \ cos {\ alpha} = 2 \ cos ^ 2 {\ frac {\ alpha} {2}} \\ \\\\\\ & 1- \ cos {\ alpha} = 2 \ sin ^ 2 {\ frac {\ alpha} {2}} \\\\\\\\ & 1+ \ text {tg} ^ 2 {\ alpha } = \ frac {1} {\ cos ^ 2 {\ alpha}} \\\\\\\\ & 1+ \ text {ctg} ^ 2 {\ alpha} = \ frac {1} {\ sin ^ 2 {\ alpha}} \\\\\\\\\ end {split} \]

Rónice kwadratów funkcji trygonometrycznych

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin ^ 2 {\ alpha} — \ sin ^ 2 {\ beta} = \ cos ^ 2 {\ beta} — \ cos ^ 2 {\ alpha} = \ sin {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} \ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ справа)} \\\\\\\\ & \ cos ^ 2 {\ alpha} — \ sin ^ 2 {\ beta} = \ cos ^ 2 {\ beta} — \ sin ^ 2 {\ alpha} = \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} \ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} \\\\\ end {split} \]

Iloczyny funkcji trygonometrycznych

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} = \ frac {1} {2} \ left [\ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right) — \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)}} \ right] \\\\\\ & \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} = \ frac {1} { 2} \ left [\ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)}} \ right] \\\\\\ & \ sin {\ альфа} \ cos {\ beta} = \ frac {1} {2} \ left [\ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ sin {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} } \ right] \\\\\\\ end {split} \]

Тригонометрия: sin, cos, tg, ctg.

Trigonometria este știința care se ocupă cu măsurarea unghiurilor unui triunghi. Unghiurile se pot măsura fie cu raportorul, fie cu ajutorul unor funcții numite funcții trigonometrice . Trigonometria este des utilizată в географии, навигации, физике, астрономии и топографии. Cu ajutorul trigonometriei putem Calcula distanțele dintre orașe și putem întocmi hărți точный.

Funcțiile trigonometrice pe care le vom studia se aplică în triunghiul dreptunghic.

fign figura de mai jos avem o pârtie de ski și la fiecare 100 de m parcurși, înălțimea pârtiei ( h ) scade cu 5 m. Notăm cu x unghiul pe care pârtia îl face cu orizontala. N fiecare punct, raportul dintre înălțimea pârtiei și distanța rămasă de parcurs până la baza pârtiei este постоянная :

Фото предоставлено Schior: Pixabay

De aici putem trage următoarea заключение: în triunghiurile dreptunghice care conțin același unghi ascuțit x, raportul dintre cateta opusă unghiului x iunghiurile lat.Acest raport se va numi sinusul unghiului x . N Continuous Vom Defini și alte rapoarte trigonometrice, luând in caurare laturi ale triunghiului dreptunghic.

Sinusul unui unghi x Este raportul dintre cateta opusă i ipotenuză.

Cosinusul unui unghi x Este raportul dintre cateta alăturată i ipotenuză.

Tangenta unui unghi x Este raportul dintre cateta opusă i cateta alăturată.

Cotangenta unui unghi x Este raportul dintre cateta alăturată i cateta opusă.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta se numesc funcții trigonometrice .

Iată tabelul cu valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor uzuale:

Funciile trigonometrice uzuale

Probleme rezolvate cu funcții trigonometrice

Проблема 1

Fie ABC un triunghi dreptunghic в A.Dacă AB = 3 см și AC = 4 см, aflați sinusul unghiului B.

Rezolvare:

Aflăm mai lungimea ipotenuzei BC cu Teorema lui Pitagora. Обțинем ВС = 5 см. Sinusul unghiului B este raportul dintre cateta opusă AC și ipotenuza BC.
sin B = AC / BC = 4/5.

Проблема 2

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Dacă AB = 6 см și BC = 12 см, aflați măsura unghiului B.

Rezolvare:

Cunoaștem cateta alăturată unghiului B i ipotenuza.Vom Calcula cosinusul unghiului B:

cosB = AB / BC = 6/12 = 1/2. Prin urmare, unghiul B are măsura de 60 de grade (vezi tabelul funcțiilor trigonometrice uzuale).

Калькулятор тригонометрии

. Простой способ найти sin, cos, tan, cot

Этот калькулятор тригонометрии поможет вам в двух популярных случаях, когда необходима тригонометрия. Если вы хотите найти значения синуса, косинуса, тангенса и их обратных функций, используйте первую часть калькулятора. Ищете недостающую сторону или угол в прямоугольном треугольнике с помощью тригонометрии? Наш инструмент — тоже беспроигрышный вариант! Введите 2–3 заданных значения во второй части калькулятора, и вы в мгновение ока найдете ответ.Прокрутите вниз, если хотите узнать больше о тригонометрии и о том, где ее можно применить.

Есть много других инструментов, полезных при решении задач тригонометрии. Ознакомьтесь с двумя популярными тригонометрическими законами: калькуляторами закона синусов и закона косинусов, которые помогают решить любой вид треугольника. Если вы хотите узнать больше о тригонометрических функциях, перейдите к нашим специальным инструментам:

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это раздел математики. Само это слово происходит от греческого слова trignon (что означает «треугольник») и metron («мера»).Как следует из названия, тригонометрия имеет дело в основном с углами и треугольниками ; в частности, он определяет и использует отношения и соотношения между углами и сторонами в треугольниках. Таким образом, основное приложение — решение треугольников, в частности прямоугольных, а также любого другого типа треугольника, который вам нравится.

Тригонометрия имеет множество приложений: от повседневных задач, таких как вычисление высоты или расстояния между объектами, до спутниковой навигационной системы, астрономии и географии.Кроме того, функции синуса и косинуса являются фундаментальными для описания периодических явлений — благодаря им мы можем описывать колебательные движения (как простой маятник) и волны, такие как звук, вибрация или свет.

Тригонометрия и тригонометрические функции используются во многих различных областях науки и техники, если упомянуть лишь некоторые из них: музыка, акустика, электроника, медицина и медицинская визуализация, биология, химия, метеорология, электрика, машиностроение и гражданское строительство, даже экономика. Тригонометрические функции действительно вокруг нас!

Калькулятор триггеров нахождение sin, cos, tan, cot, sec, csc

Чтобы найти тригонометрические функции угла, введите выбранный угол в градусах или радианах.Под калькулятором появятся шесть самых популярных триггерных функций — три основных: синус, косинус и тангенс, а также их обратные величины: косеканс, секанс и котангенс. Кроме того, если угол острый, будет отображаться прямоугольный треугольник, который может помочь вам понять, как могут быть интерпретированы функции.

Чтобы найти недостающие стороны или углы прямоугольного треугольника, все, что вам нужно сделать, это ввести известные переменные в калькулятор тригонометрии. Вам нужны только два заданных значения в случае:

  • одна сторона и один угол
  • с двух сторон
  • площадь и одна сторона

Помните, что если вы знаете два угла, этого недостаточно, чтобы найти стороны треугольника.Два треугольника, имеющие одинаковую форму (что означает, что они имеют равные углы), могут быть разных размеров (не с одинаковой длиной стороны) — такая связь называется подобием треугольника . Если стороны имеют одинаковую длину, то треугольники равны .

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это исследование отношений внутри треугольника . Для прямоугольных треугольников соотношение между любыми двумя сторонами всегда одинаково и задается в виде тригонометрических соотношений, cos, sin и tan.Тригонометрия также может помочь найти некоторую недостающую треугольную информацию , например правило синуса.

Сложна ли тригонометрия?

Поначалу тригонометрия

может быть сложной задачей, но после некоторой практики вы справитесь с ней! Вот несколько советов по тригонометрии: Обозначьте гипотенузу, смежную и противоположную на вашем треугольнике, чтобы помочь вам выяснить, какую идентификацию использовать, и запомните мнемонику SOHCAHTOA для тригонометрических отношений!

Для чего используется тригонометрия?

Тригонометрия используется для поиска информации обо всех треугольниках и, в частности, прямоугольных треугольниках.Поскольку треугольников повсюду в природе , тригонометрия используется вне математики, в таких областях, как строительство, физика, химическая инженерия и астрономия.

Кто изобрел тригонометрию?

Так как тригонометрия — это соотношение между углами и сторонами треугольника, никто не придумал ее , она все равно была бы там, даже если бы об этом никто не знал! Первыми, кто открыл часть тригонометрии, были древние египтяне и вавилоняне , но Евклид и Архемид первыми подтвердили идентичность, хотя они сделали это с помощью форм, а не алгебры.

Какой уровень у тригонометрии?

Тригонометрия обычно преподается подросткам в возрасте 13-15 лет , что составляет 8 и 9 классов в США и лет 9 и 10 в Великобритании. Точный возраст преподавания тригонометрии зависит от страны, школы и способностей учеников.

Best Excel Tutorial — Как использовать триггерные функции в Excel?

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между элементами (сторонами и углами) треугольника.Теперь вы можете вспомнить многие тригонометрические формулы и уравнения, которые вы выучили в школе или колледже. Некоторые из них: cot x = 1 / tanx, шесть x / cos x = tan x, sin (900-x) — cos x и так далее. Excel предлагает ряд встроенных функций, связанных с тригонометрией. Эти тригонометрические функции можно использовать для решения сложных тригонометрических выражений.

Главное, что вам нужно учитывать при решении тригонометрических выражений, — это то, что Excel выполняет вычисления с учетом значения угла в радианах, а не в градусах.Возможно, вы знаете, что sin 900 = 1. Итак, если вы введете формулу SIN (90) в Excel, результатом будет 0,8, а не 1, потому что Excel считает 90 как 90 радиан, а не 90 градусов. Если вы хотите найти синус 90 градусов, вам следует сначала преобразовать градусы в радианы, а затем использовать формулу SIN, доступную в Excel. Не волнуйтесь, мы узнаем, как использовать тригонометрические функции в Excel за считанные минуты.

Excel предоставляет функции для синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tan), гиперболического синуса (sinh), гиперболического косинуса (cosh) и гиперболического тангенса (tanh).Excel не предоставляет функций для секанса (сек), косеканса (косеканс), котангенса (cot) и их гиперболических аналогов. Однако вы можете рассчитать эти функции, используя базовые функции (синус и косинус). Excel также предлагает функции для преобразования угла из радианов в градусы и наоборот.

Использование тригонометрических функций в Excel

Откройте Excel и сохраните файл как trig-functions.xlsx. Введите «Угол (градусы)» в A1, «Угол (радианы)» в B1, «SIN» в C1, «COS» в D1, «TAN» в E1, «COSEC» в F1, «SEC» в G1 и « СОТ »в h2.Также введите «0» в A2, «30» в A3, «45» в A4, «60» в A5, «90» в A6, «180» в A7, «270» в A8 и «360» в A9. При вводе данных не следует вводить двойные кавычки. Вы можете отформатировать эти тексты и сделать их жирными. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку B2 и перейдите в Формулы (главное меню) -> Math & Trig (в группе Function Library ).

Прокрутите вниз и выберите функцию РАДИАНЫ , чтобы получить следующий экран:

После щелчка внутри пространства для ввода значения (обведено красным) щелкните ячейку A2.

Нажмите ОК, и ячейка B2 будет иметь значение 0.

Щелкните ячейку B2, скопируйте формулу (CTRL + C) и вставьте ее (CTRL + V) в ячейки B3, B4, B5, B6, B7. , B8 и B9. Если вы опытный пользователь Excel, вы можете просто перетащить формулу в ячейки вместо копирования и вставки. Теперь ваш экран будет выглядеть следующим образом:

Щелкните ячейку C2 и перейдите к Формулы -> Math & Trig (в группе Function Library ).Выберите функцию SIN и, щелкнув внутри пробела для ввода значения, щелкните ячейку B2. Щелкните ОК. Скопируйте формулу в ячейку C2 и вставьте ее в ячейки C3 – C9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку D2 и перейдите к Формулы -> Math & Trig (в группе Function Library ). Выберите функцию COS и, щелкнув внутри пробела для ввода значения, щелкните ячейку B2. Щелкните ОК. Скопируйте формулу в ячейку D2 и вставьте в ячейки с D3 по D9.Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку E2 и перейдите к Formulas -> Math & Trig (в группе Function Library ). Выберите функцию TAN и, щелкнув внутри пробела для ввода значения, щелкните ячейку B2. Щелкните ОК. Скопируйте формулу в ячейку E2 и вставьте в ячейки E3 – E9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Как уже упоминалось, нет встроенных функций для расчета значений COSEC, SEC и COT.Вы должны рассчитать их, используя следующие основные функции:

cosec x = 1 / sin x

sec x = 1 / cos x

cot x = 1 / tan x

Щелкните ячейку F2 и щелкните внутри формулы Полоса (обведена красным) и введите формулу «= 1 / C2» (без двойных кавычек). Скопируйте формулу в ячейку F2 и вставьте в ячейки с F3 по F9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку G2, щелкните внутри строки формул и введите формулу «= 1 / D2» (без двойных кавычек).Скопируйте формулу в ячейку G2 и вставьте в ячейки G3 — G9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку h3, щелкните внутри строки формул и введите формулу «= 1 / E2» (без двойных кавычек). Скопируйте формулу в ячейку h3 и вставьте в ячейки с h4 по H9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Вы можете округлить полученные значения до двух или трех десятичных знаков, чтобы получить более реалистичные результаты. Измените все формулы в ячейках C, D, E, F, G и H таким образом, чтобы новая формула стала = ОКРУГЛ (существующая формула, 3) .Например, формула в ячейке C4 становится = ОКРУГЛ (SIN (B4), 3) , где существующая формула была = SIN (B4) . Вы также можете заменить все ошибки (# DIV / 0!) На * и просто предоставить описание где-нибудь на том же листе, указав, что * означает undefined. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Точно так же вы можете найти значение sinh, cosh и tanh, используя формулы SINH, COSH и TANH, и вычислить cosech, sech и coth из sinh, cosh и tanh.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *