Онлайн системы неравенств: Решение системы неравенств · Калькулятор Онлайн

калькулятор системы неравенств онлайн

Вы искали калькулятор системы неравенств онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решить графически систему неравенств онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «калькулятор системы неравенств онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор системы неравенств онлайн,решить графически систему неравенств онлайн,решить систему неравенств графически онлайн,решить систему неравенств онлайн графически.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор системы неравенств онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, решить систему неравенств графически онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор системы неравенств онлайн Онлайн?

Решить задачу калькулятор системы неравенств онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Решение систем неравенств — презентация онлайн

1. Решение систем неравенств

(9 класс)
А. Нивен

3. Запомним

Решить систему неравенств – это
значит найти значение переменной, при
котором верно каждое из неравенств
системы.

4. Запомним

Если надо решить систему неравенств,
то:
1)
2)
решаем каждое неравенство системы
отдельно
изображаем полученные решения на числовой
прямой и смотрим пересечения этих решений.
Эта общая часть и является
решением данной системы неравенств.

5. Содержание

Решение систем линейных неравенств
Решение двойных неравенств
Решение систем, содержащих квадратные
неравенства

6. Решим систему неравенств (состоящую из линейных неравенств)

5х + 1 > 6
2х – 4
Решение: решим каждое неравенство отдельно
5х + 1 > 6
2х – 4
5х > 6 -1
2х
5х > 5
2х
х >1
х
1
3,5
х
Ответ: (1; 3,5)

7. Решим систему неравенств

5х + 12 ≤ 3х+ 20
х
2х + 7 ≥ 0
Решение: решим каждое неравенство отдельно
5х + 12 ≤ 3х+ 20
5х – 3х ≤ — 12 + 20
2х ≤ 8
х≤4
х
х – 2х
2х ≥ -7
-х
х ≥ -7/2
х>-3
х ≥ -3,5
Изобразим на числовой прямой:
-3,5
Ответ: ( -3; 4]
-3
4

8. Работа в парах:

Решить систему
неравенств:
1) 3х – 2 ≥ х + 1
4 – 2х ≤ х – 2
2) 3х > 12 + 11х
5х – 1 ≥ 0
Проверим ответы:
1) [2; +∞)
2) Нет решения

9. Примеры двойных неравенств

Прочитайте неравенства:
-6
-1,2 ≤ х
0

10. Решение двойных неравенств

Решить неравенство: 0
Решение: составим систему:
4х + 2 > 0
4х + 2 ≤ 6
Решим каждое неравенство системы отдельно:
1) 4х + 2 > 0
2) 4х + 2 ≤ 6
х > — 0,5
х≤1
Полученные результаты изобразим на числовой прямой:
-0,5
1
Ответ: -0,5
х
(-0,5; 1]

11. Решите неравенства, работая в парах

Решить неравенства:
1) -6 ≤ — 3х ≤ 3
2) 4
3) -2 ≤ 6х + 7
4) 0,3
5) 0
Проверим
ответы:
1)
2)
3)
4)
5)
[-1; 2]
(2,5; 7]
[- 1,5; — 1)
(-2; 1)
(-4; 0)

12. Решим систему неравенств (в которую входит квадратное неравенство)

Решить систему неравенств:
х² — 5х + 4 ≤ 0
9 — 4х
Решение: решим каждое неравенство системы отдельно
1) х² — 5х + 4 ≤ 0
х² — 5х + 4 = 0
т.к. а+в+с=0, то х1=1; х2=4
2) 9 — 4х
— 4х
х > 9/4=2,25
Полученные результаты изобразим на числовой прямой:
1
2,25
Ответ: [ 4; +∞)
4
х

13. Решим систему неравенств (в которую входит квадратное неравенство)

Решить систему неравенств:
х² — 3х + 2
2х² — 3х – 5 > 0
Решение: решим каждое неравенство отдельно
х² — 3х + 2
2х² — 3х – 5 > 0
Найдем корни соответствующих квадратных уравнений
х² — 3х + 2 = 0
2х² — 3х – 5 = 0
По свойствам коэффициентов имеем:
х1 = 1 х 2 = 2
х1 = -1
Изобразим метод интервала на числовой оси:
-1
Ответ: (- ∞; -1) υ (2,5; +∞)
1
х2 = 5/2= 2,5
2
2,5
х

14. Решим системы неравенств, работая вместе

1) 6х² — 5х + 1 > 0
4х – 1 ≥ 0
2) 4х² — 1 ≤ 0
х² > 1
3х² — 2х – 1
х² — х – 6 > 0

15. Решите системы неравенств, работая самостоятельно

1) х² — 10х + 9 ≥ 0
12 – 3х
Проверим ответы:
2) 2х²- 5х + 2 > 0
4х – 1 ≥ 3
2) [1; 2)
1) (4; 9]
3) (- ∞; 1)
3)
2х² — 7х + 5
2–х≥0

Системы тригонометрических неравенств и методы их решения

Системы неравенств можно решать с помощью единичной окружности, придерживаясь следующего алгоритма:

1. Отметить на окружности решение первого неравенства.
2. Отметить решение второго неравенства.
3. Выделить общее решение (пересечение дуг).
4. Записать общее решение системы неравенств с учетом периода.

Пример 1. Ре­шите си­сте­му нера­венств: \(\begin{cases} sinx>-\frac{\sqrt2}2, \\ cosx\le\frac{\sqrt3}2. \\ \end{cases}\)

Решение: Решим про­стей­шие нера­вен­ства с по­мо­щью фор­мул общих ре­ше­ний: \(x\in (arcsina+2\pi n; \pi-arcsina+2\pi n), n\in Z \ и \\ x\in[arccosa+2\pi n; 2\pi-arccosa+2\pi n], n\in Z.\)

Для наших нера­венств имеем два про­ме­жут­ка ре­ше­ний:

\(1)\ x\in (arcsin(-\frac{\sqrt2}2)+2\pi n; \pi-arcsin(-\frac{\sqrt2}2)+2\pi n), n\in Z \Rightarrow \\ x\in(-\frac{\pi}4+2\pi n; \pi+\frac{\pi}4+2\pi n) \Rightarrow x\in(-\frac{\pi}4+2\pi n; \frac{5\pi}4+2\pi n), n\in Z. \)

\(2)\ x\in [arccos\frac{\sqrt3}2+2\pi n; 2\pi-arccos\frac{\sqrt3}2+2\pi n], n\in Z \Rightarrow \\x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; 2\pi-\frac{\pi}6+2\pi n] \Rightarrow x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; \frac{11\pi}6+2\pi n], n\in Z.\)

Для этих двух про­ме­жут­ков необ­хо­ди­мо ука­зать пе­ре­се­че­ние. Изоб­ра­зим это на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти:

Видно, что пе­ре­се­че­ни­ем об­ла­стей ре­ше­ний яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток:

\(x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; \frac{5\pi}4+2\pi n), n\in Z\).

Про­ме­жу­ток \(x\in(-\frac{\pi}4+2\pi n; \frac{11\pi}6+2\pi n], n\in Z\) не яв­ля­ет­ся ча­стью ре­ше­ния, т. к. на самом деле здесь об­ла­сти не пе­ре­се­ка­ют­ся, по­сколь­ку лежат в раз­ных диа­па­зо­нах углов: от­ри­ца­тель­ном и по­ло­жи­тель­ном.

Об­ра­ти­те вни­ма­ние на то, что на­ча­ло про­ме­жут­ка ре­ше­ний вклю­ча­ет­ся, а конец ис­клю­ча­ет­ся.

Ответ: \(x\in[\frac{\pi}6+2\pi n; \frac{5\pi}4+2\pi n), n\in Z\).

▶▷▶▷ гдз решить систему неравенств

▶▷▶▷ гдз решить систему неравенств

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	05-10-2019

гдз решить систему неравенств — Калькулятор онлайн — Решение систем неравенств (линейных wwwmath-solutionrumath-tasksystems-inequality Cached Решить систему неравенств это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет Неравенства ( x geq -2 ) и ( x leq 3 ) можно записать в виде двойного неравенства: ( -2 leq x leq 3 ) Алгебра 9 класс 11 октября системы неравенств 1 — YouTube wwwyoutubecom watch?vBDkarZHazrA Cached Алгебра 9 класс 11 октября системы неравенств 1 Алгебра 9 класс Решаем систему уравнений — Duration: 14:00 320 (е) Алгебра 9 класс Решить систему Неравенств — YouTube wwwyoutubecom watch?vGQyuwEZHMk8 Cached ГДЗ Алгебра 9 класс Макарычев номер 320 решите систему Неравенств Тема Неравенства с одной переменной системы неравенств wwwmathstylepro?pagereferencepage2systems_of Cached Рассмотрим систему линейных неравенств из двух уравнений с одним неизвестным Алгоритм решения подобной системы прост: Решить первое неравенство, найти его промежутки значений Калькулятор онлайн — Решение системы двух линейных уравнений wwwmath-solutionrumath-tasksys-lin-eq Cached С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения Онлайн калькулятор Решение систем линейных уравнений Метод ruonlinemschoolcommathassistanceequationgaus Cached Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы Глава 1 Неравенства Гдз по алгебре 9 класс Дорофеев 2015 gdz-vipruменюшка9-класс Cached Глава 1 Неравенства Гдз по учебнику Дорофеев(2015) СС МИНАЕВА РОСЛОВА Алгебра 9 класс Уравнения и неравенства с двумя переменными урок Алгебра wwwyaklassrupalgebra11-klassuravneniia-i Cached Решить систему неравенств с двумя переменными значит найти множество всех таких точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы Решение систем (и совокупностей) линейных неравенств с одной schooledrulessonmathematicsalgebra913html Cached Решение систем (и совокупностей) линейных неравенств с одной переменной — АЛГЕБРА — Уроки для 9 классов — конспекты уроков — Планы и конспекты уроков — Разработки уроков — Стандарт и академический уровень школьная Системы неравенств Готовимся к ОГЭ по математике Модуль 1 math-helperrugotovimsya-k-ege-i-ogedpa-po Cached Решите систему неравенств огэ 2017 математика решить систему ГДЗ к сборнику Ершовой Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 5,000

• Решить систему неравенств. О том, как не запутаться и правильно собрать окончательный ответ примеры,
• вы и узнаете из моего ролика. Подготовка к ЕГЭ по математике, варианты, тесты, конспекты по математике, алгебре, геометрии. Образцы решения заданий по теме quot;Использование свойств функций при реш
• тике, алгебре, геометрии. Образцы решения заданий по теме quot;Использование свойств функций при решении уравнений и неравенствquot; Система неравенств . ГДЗ онлайн. Решить неравенство. Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству: Данное неравенство равносильно системе: 1. В первую очередь, необходимо решить по отдельности каждое неравенство системы. ГДЗ по алгебре 8 класс Белянина — Разработано Вам в помощь! Здесь содержатся ответы на домашние задания учебника годовой программы! Решите систему неравенств. Перейти к содержанию задачника. Решение демонстрационного варианта ГИА (ОГЭ) по математике 2015. Решение типового варианта 2. Теперь решим второе уравнение. Решить первое неравенство, найти его промежутки значений. Как решать системы неравенств. Подробная инструкция. Что такое ГДЗ и как с ним работать? Так же если вам, как говорится, нужно решить такое неравенство наразок, то алгоритм вам в помощь. Мы решили квадратное уравнение x 2 2 x 80. Посмотрите его запись в таком виде: Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). А) Решим неравенство. Более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему уравнений? Понятие неравенства и системы неравенств. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Замена рационального неравенства системами неравенств. Рациональное неравенство (линейное уравнение) Рациональное неравенство (общий знаменатель) Рациональное неравенство (неполный квадратный трехчлен)

тесты

как говорится

• найти его промежутки значений Калькулятор онлайн — Решение системы двух линейных уравнений wwwmath-solutionrumath-tasksys-lin-eq Cached С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения Онлайн калькулятор Решение систем линейных уравнений Метод ruonlinemschoolcommathassistanceequationgaus Cached Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса
• координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы Решение систем (и совокупностей) линейных неравенств с одной schooledrulessonmathematicsalgebra913html Cached Решение систем (и совокупностей) линейных неравенств с одной переменной — АЛГЕБРА — Уроки для 9 классов — конспекты уроков — Планы и конспекты уроков — Разработки уроков — Стандарт и академический уровень школьная Системы неравенств Готовимся к ОГЭ по математике Модуль 1 math-helperrugotovimsya-k-ege-i-ogedpa-po Cached Решите систему неравенств огэ 2017 математика решить систему ГДЗ к сборнику Ершовой Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
• координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы Решение систем (и совокупностей) линейных неравенств с одной schooledrulessonmathematicsalgebra913html Cached Решение систем (и совокупностей) линейных неравенств с одной переменной — АЛГЕБРА — Уроки для 9 классов — конспекты уроков — Планы и конспекты уроков — Разработки уроков — Стандарт и академический уровень школьная Системы неравенств Готовимся к ОГЭ по математике Модуль 1 math-helperrugotovimsya-k-ege-i-ogedpa-po Cached Решите систему неравенств огэ 2017 математика решить систему ГДЗ к сборнику Ершовой Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз решить систему неравенств Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Решение системы неравенств Задание Алгебра класс gdz reshenie Ответы на вопрос Решение системы неравенств Задание Алгебра класс Мордкович АГ читайте на Решение системы неравенств Алгебра класс gdz reshenie Ответы на вопрос Решение системы неравенств Алгебра класс Мордкович читайте на Рамблеркласс Решите систему неравенств ГДЗ к Решите систему неравенств решение и ответ Решите систему неравенств ГДЗ к Решите систему неравенств решение и ответ Как решать системы неравенств mathprostoru? system system Урок решение систем неравенств Чтобы решить систему неравенств нужно представляют собой готовые ответы сразу перейдем к поиску общего решения системы неравенств Задача ГДЗ решебник Алгебра класс Макарычев wwwmathcomua gdz makarychevht Решите систему неравенств а x , в х задачи ГДЗ по алгебре класс Макарычев Задача ГДЗ решебник Алгебра класс Макарычев mathcomua gdz ГДЗ по алгебре класс Макарычев Задача Решите систему неравенств а x x Решите систему неравенств ГДЗ и решебники от VIPGDZ gdz comitogovoepovtoreni Подробный ответ из решебника ГДЗ на Итоговое повторение , Неравенства и системы неравенств по а Алгебра класс Системы Неравенств решение мар Решение линейных Неравенств с одной переменной ГДЗ по Алгебре класс Макарычев номер myoutubecom Итоговое повторение , Неравенства и системы https gdz putinainfoitogovoe ГДЗ готовое домашние задание из решебника на Итоговое повторение , Решите систему неравенств Решение системы неравенств Калькулятор Онлайн kontrolnayarabotaru Решение системы неравенств онлайн Введите неравенства, входящие в систему и получите ответ! ГДЗ по , Готовое домашнее задание mygdzcom wwwmy gdz comalgebraklass Наш робот распознал а б в Решите систему неравенств алгебра класс макарычев решить систему уравнений wwwolympicwroclawplalgebrakla дек решите систему Неравенств Алгебра класс Макарычев РЕШЕНИЕ Лиса Системы Неравенств решение ГДЗ по Алгебре класс Макарычев номер а,б КАК Задание Неравенства и системы неравенств ГДЗ gdz netzadanie Задание Неравенства и системы неравенств Алгебра класс Мордкович Видео решение задания Системы неравенств определение, неравенства и их system s sistem y Системы неравенств начальные сведения, неравенства и их системы, виды неравенства Системы неравенств урок Алгебра, класс yaklassru sistem y sistem Урок по теме Системы неравенств Решить систему неравенств это найти все её решения Пример решить Тест Решение систем неравенств с одной GDZGo https gdz gorutestreshenie sistem Решение систем неравенств с одной переменной из ГДЗ к Контрольно измерительным материалам РешеноУпр ГДЗ Алимов класс по алгебре Решенное задание Упр из учебника Алимов класс бесплатно с пояснениями Решение систем неравенств Еуроки eurokiorg gdz Решебник по алгебре за класс авторы Жохов, Макарычев, Миндюк издательство Просвещение Задание РЕШУ ЕГЭ математика ЕГЭ задания, ответы Версия для печати и копирования в MS Word Задания Д C Решите систему неравенств Решение Системы неравенств с двумя переменными, способы sistem y_ Рейтинг , отзывов Бесплатно Android Обучение Из данной статьи вы узнаете о системе линейных неравенств с двумя Пример Решить систему неравенств Решить систему неравенств с мя переменными онлайн sistem u окт Калькулятор позволяет решить систему неравенств с двумя переменными, где подробно Решение систем неравенств Открытый урок открытыйурокрфстатьи Обобщающий урок алгебры в м классе на тему Решение систем Что значит решить систему неравенств ? определения функции у А ; ; Б ; ; В ; ; Г ; Ответы Б; Б; Решить систему неравенств sinx , cosx Mathway mathwaycomru Бесплатный сервис по решению математических задач даст ответы на ваше домашнее задание по алгебре, Итоговое повторение , Неравенства и системы gdz ruitogovoepovtorenie Итоговое повторение , Неравенства и системы неравенств ГДЗ по Алгебре Решите систему неравенств Как решать неравенства Решение неравенств основные viripitruPage_htm А В либо А В, если их ответы совпадают Решение системы неравенств есть пересечение решений всех Линейные неравенства Системы линейных неравенств wwwmathprofirulineinye_neravenstva Решить систему линейных неравенств это значит найти множество точек плоскости, Решения и ответы Решение неравенств с модулем Павел Бердов berdovcomreshenie фев Ответы и решения Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств , нас интересует Использование графиков функций при решении уравнений Использование графиков функций при решении уравнений , неравенств , систем Подробная теория с примерами Решите систему неравенств ГДЗ Решебники Gdz expert https gdz expertmakarychev ГДЗ по алгебре за класс Макарычева Упражнения решение задания Решите систему неравенств а x? x Калькулятор онлайн Решение неравенств линейных mathsolutionruinequalit Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств Система неравенств с одной переменной Традиционно неравенства системы объединяются фигурной скобкой Пример Решите систему неравенств Тема Неравенства и системы неравенств Материалы При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового Решить систему неравенств Ответы х ; х ; х ГДЗ по алгебре для класса ША Алимов номер gdz nomer Решить систему неравенств Решебник номер Решить систему неравенств Решебник Системы неравенств класс Nelorac net neloracregapynrunet?qy Алгебра классМакарычев Помогите решить графически Решите систему неравенств , ответ ответы Глава Неравенства Гдз по алгебре класс Дорофеев https gdz vipru гдз гдз дорофее Решить систему неравенств Решение Ответ ; Пример Найти наименьшее целое решение системы Уравнения и неравенства с модулем Репетитор по Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы со статьей Решение систем логарифмических и показательных неравенств Решение систем неравенств с одной переменной ГДЗ к wwwленарфкhtml Неравенства с одной переменной и их системы ГДЗ к учебнику Макарычева Алгебра класс Онлайн учебник Двойные неравенства и их решение SolverBook rusolverbookcomdvojnyeneravenst Для решения двойного неравенства записывают систему неравенств и находят общее решение пересекают Системы линейных неравенств с одним неизвестным янв Решите систему неравенств В помощь учителю даны ответы для проверки работ Захаров ВС Неравенства и системы неравенств Задание Решить систему уравнений ; , Домашнее задание Задача Используя формулы блока , решить Решение систем неравенств Глава Неравенства sistem Решение систем неравенств Глава Неравенства Полный и качественный решебник ГДЗ Алгебра класс Неравенство с одной переменной Система и совокупность schooledrulessonmathematicshtml Система и совокупность неравенств с одной переменной АЛГЕБРА Уроки для Учебники математики Все предметы ЗНО ГДЗ Разработки уроков системы неравенств с одной переменной и что значит решить систему класс Алгебра Рациональные неравенства и их системы kursotekarucourse Системы рациональных неравенств Как решать рациональное неравенство Решить систему неравенств Урок по теме Решение систем неравенств с одной июн Решите систему неравенств с одним неизвестным Учитель внимательно выслушивает ответы , учащиеся имеют возможность думать, высказывать свое мнение, в случае Презентация решение систем неравенств класс фев Решить систему неравенств это значит найти значение переменной , при Проверим ответы решить систему неравенства x Знанияcom дек Нажми, чтобы увидеть ответ на свой вопрос ️ решить систему неравенства x xlt; PDF МАТЕМАТИКА ЕГЭ alexlarinnetegeCpdf сен ЕГЭ Решите систему неравенств ражнений, к которым приведены ответы и указания Алгебра класс дорофеев учебник гдз ГДЗ по алгебре авг Глава Неравенства Гдз по алгебре класс Дорофеев Решить систему неравенств PDF неравенства Abiturientru abiturientruZan ноя ответу, заданному в виде системы неравенств или картинки Надо уметь без ошибок решать простые неравенства, часто решение неравенства на промежутках; Ответы к подготовительным заданиям Запросы, похожие на гдз решить систему неравенств решите систему неравенств как решать систему неравенств с дробями решить систему неравенств онлайн как решать систему неравенств класс как решать систему неравенств с двумя переменными как решать систему квадратных неравенств как решать систему неравенств с квадратом решение систем неравенств с двумя переменными онлайн След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

Решить систему неравенств. О том, как не запутаться и правильно собрать окончательный ответ примеры, вы и узнаете из моего ролика. Подготовка к ЕГЭ по математике, варианты, тесты, конспекты по математике, алгебре, геометрии. Образцы решения заданий по теме quot;Использование свойств функций при решении уравнений и неравенствquot; Система неравенств . ГДЗ онлайн. Решить неравенство. Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству: Данное неравенство равносильно системе: 1. В первую очередь, необходимо решить по отдельности каждое неравенство системы. ГДЗ по алгебре 8 класс Белянина — Разработано Вам в помощь! Здесь содержатся ответы на домашние задания учебника годовой программы! Решите систему неравенств. Перейти к содержанию задачника. Решение демонстрационного варианта ГИА (ОГЭ) по математике 2015. Решение типового варианта 2. Теперь решим второе уравнение. Решить первое неравенство, найти его промежутки значений. Как решать системы неравенств. Подробная инструкция. Что такое ГДЗ и как с ним работать? Так же если вам, как говорится, нужно решить такое неравенство наразок, то алгоритм вам в помощь. Мы решили квадратное уравнение x 2 2 x 80. Посмотрите его запись в таком виде: Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). А) Решим неравенство. Более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему уравнений? Понятие неравенства и системы неравенств. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Замена рационального неравенства системами неравенств. Рациональное неравенство (линейное уравнение) Рациональное неравенство (общий знаменатель) Рациональное неравенство (неполный квадратный трехчлен)

Решение системы неравенств с модулем

Решим систему неравенств с модулем из варианта №50 А. Ларина.

Решим каждое неравенство системы по отдельности, а потом совместим решения обоих неравенств на одной координатной прямой.

1. Решим первое неравенство системы.

Чтобы решить неравенство, содержащее модули, нужно раскрыть модули.

Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки, в которых подмодульные выражения меняют знак.

Нанесем эти значения на числовую прямую:

Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Раскроем модули на каждом промежутке (мы можем граничные точки  и  включать в оба промежутка):

а)

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком:

(1)

Так как исходное неравенство «превращается» в неравенство (1) только при , получим систему неравенств:

.

Решим первое неравенство, и получим систему:

.

Решением системы неравенств является промежуток:

б)

На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй с противоположным.

Получаем неравенство:

(2)

Так как исходное неравенство «превращается» в неравенство (2) только при , получим систему неравенств:

или

Решением системы неравенств является промежуток:

в)

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, поэтому оба модуля мы раскрываем с тем же знаком.

Получаем неравенство:

(3)

Так как исходное неравенство «превращается» в неравенство (3) только при , получим систему неравенств:

или

Решением системы является промежуток:

Объединим три промежутка и получим решение первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы.

Приведем левую часть неравенства к общему основанию. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя и нанесем их на числовую ось.

На самом правом промежутке , поэтому знаки расставим так:

Нас интересуют промежутки со знаком «-«:

следовательно, решение этого неравенства:

Совместим решения первого и второго неравенств исходной системы на одной координатной прямой и найдем их пересечение:

 

Ответ: [-2;1)(2;2,4]

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Неравенство — это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство. Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств — часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования, в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

которую назовём граничной прямой.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.

Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Найдём пересечение с осью :

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

, откуда .

Таким образом, нашли абсциссу точки A .

Найдём координаты точки пересечения с осью .

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:

Решение:

,

следовательно, координаты точки B: .

Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного неравенства. Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решаем систему линейных неравенств, то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Начертим прямую

Подставив в уравнение прямой , получим , а подставив , получим . Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A(3; 0), B(0; 2). Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим координаты начала (0; 0):

,

получим , т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид

,

то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде некоторого многоугольника, в частном случае — может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2. Решить систему линейных неравенств

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую , и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .

Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым в данной системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC. Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC, является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы. Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на рисунке, в виде четырёхугольника ABCE. Получили, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является четырёхугольником ABCE.

Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость n-мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

Так же, как и в двухмерном пространстве (на плоскости), каждое из неравенств системы определяет n-мерное полупространство. Пересечение всех этих полупространств образует многогранник решений. Но изобразить этот многогранник (называемый симплексом) геометрически невозможно. Лишь в случае, когда число неизвестных не больше трёх, то есть в действительном пространстве, многогранник решений можно изобразить геометрически.

Множество решений линейных неравенств геометрически составляет выпуклый многогранник или выпуклое множество точек.

Как уже отмечалось, системы линейных неравенств играют важную роль в линейном программировании. Теоремы линейного программирования содержат такие понятия, как выпуклые множества и крайние точки. Разберёмся бегло, о чём речь.

Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их. Если же существует хотя бы такая пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки, не принадлежит целиком этому множеству, то такое множество называется невыпуклым. На рисунке 4 слева изображено выпуклое множество, а справа — невыпуклое.

Выпуклые множества обладают важным свойством, которое устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Пересечение двух выпуклых множеств — также выпуклое множество.

Через любую внутреннюю точку выпуклого множества можно провести отрезок, для которого она является внутренней, а сам отрезок целиком принадлежит этому множеству. Но есть точки (для выпуклого многоугольника это его вершины), для которых такое построение выполнить нельзя: нет ни одного отрезка, для которого вершина являлась бы внутренней, а отрезок целиком бы принадлежал мноргоугольнику.

Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.

Продолжение темы «Систем уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение неравенств, все формулы и примеры

Определение и формулы неравенств

Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.

Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Основные правила, применяемые при решении неравенств

1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
2. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
3. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

В зависимости от того, какие функции входят в неравенство, различают линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные неравенства, неравенства с параметром.

Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

Примеры решения неравенств

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Графические неравенства с программой «Пошаговое решение математических задач»

В предыдущих главах мы решали уравнения с одной неизвестной или переменной. Теперь мы изучим методы решения систем уравнений, состоящих из двух уравнений и двух переменных.

ТОЧКИ НА САМОЛЕТЕ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Представьте декартову систему координат и определите начало координат и оси.
2. Для упорядоченной пары найдите эту точку в декартовой системе координат.
3. Для данной точки в декартовой системе координат укажите связанную с ней упорядоченную пару.

Мы уже использовали числовую прямую, на которой мы представили числа в виде точек на прямой.

Обратите внимание, что это понятие содержит элементы из двух областей математики, строки из геометрии и чисел из алгебры. Рене Декарт (1596-1650) разработал метод соотношения точек на плоскости с алгебраическими числами. Эта схема называется декартовой системой координат (от Декарта) и иногда упоминается как прямоугольная система координат.

Эта система состоит из двух числовых линий, перпендикулярных в своих нулевых точках.

Перпендикуляр означает, что две прямые расположены под прямым углом друг к другу.

Внимательно изучите диаграмму, отмечая каждый из следующих фактов.

Числовые линии называются осями . Горизонтальная линия — это ось x , а вертикальная — ось y . Нулевая точка, в которой они перпендикулярны, называется исходной точкой .

Оси множественного числа. Ось особенная.

Положительный — справа и вверх ; отрицательный — к слева и вниз .

Стрелки указывают, что числовые линии продолжаются бесконечно. Таким образом, плоскость бесконечно простирается во всех направлениях.

Самолет разделен на четыре части, называемые квадрантами . Они пронумерованы в направлении против часовой стрелки, начиная с верхнего правого угла.

Точки на плоскости обозначаются упорядоченными парами чисел, записанными в скобках с запятой между ними, например (5,7). Это называется упорядоченной парой, потому что важен порядок, в котором написаны числа. Заказанная пара (5,7) — это , а не , как заказанная пара (7,5). Точки расположены на плоскости следующим образом.

Сначала начните с начала координат и посчитайте слева или справа количество пробелов, обозначенных первым числом в упорядоченной паре.Во-вторых, от точки на оси x, заданной первым числом, отсчитайте вверх или вниз количество пробелов, обозначенных вторым числом упорядоченной пары. Упорядоченные пары всегда сначала пишутся с x, а затем y, (x, y). Числа, представленные x и y, называются координатами и точки (x, y).

Это важно. Первое число упорядоченной пары всегда относится к горизонтальному направлению, а второе число всегда относится к вертикальному направлению.

Пример 1 В следующей декартовой системе координат точки A (3,4), B (0,5), C (-2,7), D (-4,1), E (-3 , -4), F (4, -2), G (0, -5) и H (-6,0) обозначены. Проверьте каждый, чтобы определить, как они расположены.

Каковы координаты начала координат?

ГРАФИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Найдите несколько упорядоченных пар, которые делают данное линейное уравнение истинным.
2. Найдите эти точки в декартовой системе координат.
3. Проведите прямую линию через те точки, которые представляют график этого уравнения.

График — это графическое изображение пронумерованных фактов. Есть много типов диаграмм, таких как гистограммы, круговые диаграммы, линейные диаграммы и так далее. Примеры таких графиков обычно можно найти в финансовом разделе газеты. Графики используются, потому что изображение обычно упрощает понимание числовых фактов.

В этом разделе мы обсудим метод построения графика уравнения с двумя переменными. Другими словами, мы нарисуем картину уравнения с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение x + y — 7 и заметим, что мы легко можем найти множество решений. Например, если x = 5, то y — 2, поскольку 5 + 2 = 7. Кроме того, если x = 3, то y = 4, поскольку 3 + 4 = 7. Если мы представим эти ответы в виде упорядоченных пар (x, y) , то у нас есть (5,2) и (3,4) как две точки на плоскости, которые представляют ответы на уравнение x + y = 7.

Все возможные ответы на это уравнение, расположенные в виде точек на плоскости, дадут нам график (или картинку) уравнения.

Конечно, мы никогда не сможем найти все числа x и y такие, что x + y = 7, поэтому мы должны довольствоваться наброском графика. Эскиз можно охарактеризовать как «кривую наилучшего соответствия». Другими словами, необходимо найти достаточно точек, чтобы получить достаточно точную картину уравнения.

Помните, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые удовлетворяли бы уравнению.

Пример 1 Нарисуйте график 2x + y = 3.

Решение Мы хотим найти несколько пар чисел, которые сделают это уравнение истинным. Мы добьемся этого, выбрав число для x, а затем найдя соответствующее значение для y. Таблица значений используется для записи данных.

В верхней строке (x) мы разместим числа, которые мы выбрали для x. Затем в нижней строке (y) мы поместим соответствующее значение y, полученное из уравнения.

Конечно, мы также могли бы начать с выбора значений для y, а затем найти соответствующие значения для x.

В этом примере мы позволим x принимать значения -3, -2, -1,0, 1,2,3.

Эти значения произвольны. Мы могли выбирать любые ценности.

Обратите внимание, что после того, как мы выбрали значение для x, значение для y определяется с помощью уравнения.

Эти значения x дают целые числа для значений y.Таким образом, это хороший выбор. Предположим, мы выбрали

Эти факты дают нам следующую таблицу значений:

Теперь мы находим упорядоченные пары (-3,9), (-2,7), (-1,5), (0,3), (1,1), (2, -1), (3, -3) на координатной плоскости и соедините их линией.

Теперь у нас есть график 2x + y = 3.

Линия указывает, что все точки на линии удовлетворяют уравнению, а также точки из таблицы.Стрелки указывают, что линия продолжается бесконечно.

Графики всех уравнений первой степени с двумя переменными будут прямыми линиями. Этот факт будет использован здесь, хотя в математике будет намного позже, прежде чем вы сможете доказать это утверждение. Такие уравнения первой степени называются линейными уравнениями .

Таким образом, любое уравнение вида ax + by — c, где a, b и c — действительные числа, является линейным уравнением.

Уравнения с двумя неизвестными более высокой степени дают графики, которые представляют собой кривые разных типов.Вы изучите их на будущих курсах алгебры.

Поскольку график уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию, необходимо иметь только две точки. Однако ваша работа будет более точной, если вы найдете хотя бы три точки. Ошибки можно найти и исправить, если найденные точки не лежат на одной линии. Таким образом, мы называем третью точку «контрольной точкой».

Это важно. Не пытайтесь сократить свою работу, найдя только два момента.Вы будете удивлены, как часто вы обнаружите ошибку, обнаружив все три точки.

Пример 2 Нарисуйте график 3x — 2y — 7.

Решение Сначала составьте таблицу значений и выберите три числа, которые будут заменять x. Попробуем 0, 1,2.

Опять же, вы также могли начать с произвольными значениями y.

Ответ не так легко найти на графике, как целое число.Похоже, что x = 0 был не очень удачным выбором. Иногда можно заглянуть вперед и сделать лучший выбор для x.

Поскольку и x, и y являются целыми числами, x = 1 было хорошим выбором.

Точку (1, -2) будет легче найти. Если x = 2, у нас будет другая дробь.

Точку (3,1) легко найти.

x = 3 был еще одним хорошим выбором.

Скорректируем таблицу значений и будем использовать точки, дававшие целые числа.Это не всегда возможно, но попытка получить целые значения даст более точный набросок. Теперь у нас есть таблица для 3x — 2y = 7.

Мы можем это сделать, поскольку выбор x был произвольным.

Расположение точек (1, -2), (3,1), (- 1, -5) дает график 3x — 2y = 7.

Сколько упорядоченных пар удовлетворяют этому уравнению?

НАКЛОН ЛИНИИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Свяжите уклон линии с ее крутизной.
2. Запишите уравнение прямой в форме пересечения наклона.
3. Постройте прямую линию, используя ее наклон и точку пересечения по оси Y.

Теперь мы хотим обсудить важную концепцию, называемую наклоном линии. Интуитивно мы можем думать об уклоне как о крутизне линии по отношению к горизонтали.

Ниже приведены графики из нескольких линий. Внимательно изучите их и мысленно ответьте на следующие вопросы.

Какая линия круче?

Какова, по-видимому, связь между коэффициентом при x и крутизной Какой график будет круче: линии, когда уравнение имеет вид y = mx?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Теперь изучите следующие графики.

Какая линия круче?

Как отрицательное значение m влияет на график?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Для графика y = mx необходимо было сделать следующие наблюдения.

1. Если m> 0, то
   • по мере увеличения значения m крутизна линии увеличивается и
   • линия поднимается вправо и опускается влево.
2. Если м
3. по мере увеличения значения m крутизна линии уменьшается и
4. линия поднимается влево и опускается вправо

Помните, m> 0 означает, что «m больше нуля.»

Другими словами, в уравнении вида y — mx, m управляет крутизной линии. В математике мы используем слово наклон для обозначения крутизны и формируем следующее определение:

В уравнении вида y = mx, m — это наклон графика уравнения.

Пример 1 Нарисуйте график y = 6x и укажите наклон линии.

Решение Сначала мы составим таблицу, показывающую три набора упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению.

Помните, нам нужны только две точки для определения линии, но мы используем третью точку в качестве проверки.

Затем мы делаем набросок графика.

Значение m равно 6, следовательно, наклон равен 6. Мы можем просто написать m — 6.

Пример 2 Нарисуйте график и укажите наклон

.

Решение Выбирая значения x, которые делятся на 3, получаем таблицу

Зачем использовать значения, которые делятся на 3?

Тогда график

Склон

Теперь мы хотим сравнить графики двух уравнений, чтобы установить другую концепцию.

Пример 3 Нарисуйте графики y 3x и y — 3x + 2 на одном и том же наборе координатных осей.

Сравните коэффициенты при x в этих двух уравнениях.

Решение

В примере 3 посмотрите на таблицы значений и обратите внимание, что для данного значения x, значение y в уравнении y = 3x + 2 на два больше, чем соответствующее значение y в уравнении y = 3x.

Теперь посмотрите на графики двух уравнений и обратите внимание, что график y = 3x + 2, кажется, имеет тот же наклон, что и y = 3x.Также обратите внимание, что если весь график y = 3x перемещается вверх на две единицы, он будет идентичен графику y = 3x + 2. График y = 3x пересекает ось y в точке (0,0) , а график y = 3x + 2 пересекает ось y в точке (0,2).

Снова сравните коэффициенты при x в двух уравнениях.

Сравните эти таблицы и графики, как в примере 3.

Обратите внимание: когда две линии имеют одинаковый наклон, они параллельны.

Наклон от одной точки на линии к другой определяется отношением изменения y к изменению x. То есть

Если вы хотите произвести впечатление на своих друзей, вы можете написать , где греческая буква (дельта) означает «изменение».

Обратите внимание, что изменение x равно 3, а изменение y равно 2.

Изменение x равно -4, а изменение y равно 1.

Можно также сказать, что изменение x равно 4, а изменение y равно -1.Это приведет к той же строке.

Пример 7 На графике y = 3x — 2 наклон равен 3.

Изменение x равно 1, а изменение y равно 3.

y = mx + b называется формой с пересечением наклона уравнения прямой линии. Если уравнение имеет такую ​​форму, m — это наклон линии, а (0, b) — точка, в которой график пересекает (пересекает) ось y.

Точка (0, b) называется точкой пересечения по оси y.

Если уравнение прямой имеет форму пересечения наклона, можно нарисовать его график, не составляя таблицу значений. Используйте точку пересечения оси Y и наклон, чтобы нарисовать график, как показано в примере 8.

Обратите внимание, что это уравнение имеет вид y = mx + b.

Сначала найдите точку (0, -2). Это одна из точек на линии. Наклон показывает, что изменение x равно 4, поэтому из точки (0, -2) мы перемещаем четыре единицы в положительном направлении параллельно оси x.Поскольку изменение y равно 3, мы перемещаем три единицы в положительном направлении параллельно оси y. Получившаяся точка тоже на линии. Поскольку две точки определяют прямую линию, мы рисуем график.

Всегда начинайте с точки пересечения оси Y. Распространенная ошибка, которую допускают многие студенты, — это путать точку пересечения оси y с точкой пересечения оси x (точка, в которой линия пересекает ось x).

Пример 9 Задайте наклон и точку пересечения по оси Y и нарисуйте график y = 3x + 4.

Решение m = -3, точка пересечения по оси y = (0,4).

Чтобы выразить наклон в виде отношения, мы можем написать -3 как или. Если мы запишем наклон как, то из точки (0,4) мы перемещаем одну единицу в положительном направлении параллельно оси x, а затем перемещаем три единицы в отрицательном направлении параллельно оси y. Затем мы проводим линию через эту точку и (0,4).

Предположим, уравнение не имеет формы y = mx + b. Сможем ли мы найти наклон и точку пересечения по оси Y? Ответ на этот вопрос — да.Однако для этого мы должны изменить форму данного уравнения, применив методы, использованные в разделе 4-2.

Раздел 4-2 посвящен решению буквальных уравнений. Вы можете просмотреть этот раздел.

Пример 10 Найдите наклон и точку пересечения оси Y для 3x + 4y = 12.

Решение Во-первых, мы понимаем, что уравнение не находится в форме пересечения наклона, необходимой для ответа на заданные вопросы. Чтобы получить эту форму, решите данное уравнение относительно y.

Нарисуйте здесь график.

Пример 11 Найдите наклон и точку пересечения оси y для 2x — y = 7.

Решение Поместив уравнение в форму пересечения наклона, получим

Нарисуйте график линии на сетке ниже.

ГРАФИК ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете построить график линейных неравенств.

В главе 4 мы построили линейные графики неравенств, например

Это были неравенства с участием только одной переменной. Мы обнаружили, что во всех таких случаях график представлял собой некоторую часть числовой прямой. Поскольку уравнение с двумя переменными дает график на плоскости, кажется разумным предположить, что неравенство с двумя переменными будет отображаться как некоторая часть или область плоскости. На самом деле это так. Решение неравенства x + y

Пример 1 Каждая из следующих пар чисел в наборе решений x + y

Решение

Набор решений состоит из всех упорядоченных пар, которые делают утверждение верным.

Подводя итог, следующие упорядоченные пары дают верное утверждение. (2,1), (3, -4), (0,0), (- 1,4)

Следующие упорядоченные пары дают ложное утверждение. (5,6), (3,2), (- 2,8)

Ниже приведен график прямой x + y = 5. Точки из примера 1 указаны на графике с ответами на вопрос «Является ли x + y

Обратите внимание, что все точки, удовлетворяющие уравнению, находятся слева и ниже линии, а все точки, которые не соответствуют, находятся сверху и справа.

Обратите внимание, что все ответы «да» лежат на одной стороне линии x + y = 5, а все ответы «нет» лежат на другой стороне линии или на самой строке.

График прямой x + y = 5 делит плоскость на три части: саму линию и две стороны линий (называемые полуплоскостями).

х + у х + у

Если одна точка полуплоскости находится в наборе решений линейного неравенства, то все точки в этой полуплоскости входят в набор решений.Это дает нам удобный метод построения графиков линейных неравенств.

Построение графика линейного неравенства
1. Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
2. Отметьте одну точку, которая, очевидно, находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
3. Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.

Почему нужно проверять только одну точку?

Пример 2 Нарисуйте график 2x 4- 3y> 7.

Решение Шаг 1. Сначала нарисуйте график линии 2x + 3y = 7, используя таблицу значений или форму пересечения наклона.

Шаг 2: Затем выберите точку, которая не находится на прямой 2x + 3y = 7. [Если линия не проходит через начало координат, то точка (0,0) всегда является хорошим выбором.] Теперь обратимся к неравенство 2x + 3y>> 7, чтобы увидеть, находится ли выбранная точка в наборе решений.

Шаг 3: Точка (0,0) не входит в набор решений, поэтому полуплоскость, содержащая (0,0), не является набором решений. Следовательно, другая полуплоскость, определяемая линией 2x + 3y = 7, является множеством решений.
Поскольку сама линия не является частью решения, она показана пунктирной линией, а полуплоскость заштрихована, чтобы показать набор решений.

Набор решений — это полуплоскость сверху и справа от линии.

Пример 3 Изобразите график решения линейного неравенства 2x — y ≥ 4.

Решение Шаг 1. Первый график 2x — y = 4. Поскольку линейный график для 2x — y = 4 не проходит через начало координат (0,0), проверьте эту точку в линейном неравенстве.

Шаг 2:

Шаг 3: Поскольку точка (0,0) не входит в набор решений, полуплоскость, содержащая (0,0), отсутствует в наборе. Следовательно, решение — другая полуплоскость. Обратите внимание, однако, что строка 2x — y = 4 включена в набор решений. Поэтому нарисуйте сплошную линию, чтобы показать, что это часть графика.

Набор решений — это линия и полуплоскость ниже и справа от линии.

Пример 4 График x

Решение Первый график x = y. Затем проверьте точку не на линии. Обратите внимание, что график линии содержит точку (0,0), поэтому мы не можем использовать ее в качестве контрольной точки. Чтобы определить, какая полуплоскость является набором решений, используйте любую точку, которая явно не находится на прямой x = y. Точка (- 2,3) является такой точкой.

Используя эту информацию, график x

Когда график линии проходит через начало координат, любая другая точка на оси x или y также будет хорошим выбором.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Нарисуйте графики двух линейных уравнений в одной и той же системе координат.
2. Найдите общее решение двух графиков.

Пример 1 Пара уравнений называется системой линейных уравнений.

Мы заметили, что каждое из этих уравнений имеет бесконечно много решений, и каждое из них будет образовывать прямую линию, когда мы построим его в декартовой системе координат.

Теперь мы хотим найти решения для системы. Другими словами, нам нужны все точки (x, y), которые будут на графике обоих уравнений.

Решение Мы рассуждаем следующим образом: если все решения 2x — y = 2 лежат на одной прямой, а все решения x + 2y = 11 лежат на другой прямой, то решение обоих уравнений будет их точками пересечение (если две прямые пересекаются).

В этой таблице мы позволяем x принимать значения 0, 1 и 2. Затем мы находим значения для y, используя уравнение. Сделайте это перед тем, как продолжить. В этой таблице мы позволяем y принимать значения 2, 3 и 6. Затем мы находим x, используя уравнение. Также проверьте эти значения.

Две прямые пересекаются в точке (3,4).

Обратите внимание, что точка пересечения выглядит как (3,4). Теперь мы должны проверить точку (3,4) в обоих уравнениях, чтобы убедиться, что это решение системы.

В качестве проверки мы подставляем упорядоченную пару (3,4) в каждое уравнение, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение. Существуют ли другие точки, которые удовлетворяли бы обоим уравнениям? Почему?

Следовательно, (3,4) является решением системы.

Не все пары уравнений дают единственное решение, как в этом примере. На самом деле существует три возможности, и вы должны знать о них.

Поскольку мы имеем дело с уравнениями, которые представляют собой прямые линии, мы можем исследовать эти возможности, наблюдая за графиками.

1. Независимые уравнения Две прямые пересекаются в одной точке. В этом случае есть единственное решение.

Приведенный выше пример представляет собой систему независимых уравнений.

2. Несогласованные уравнения Две линии параллельны. В этом случае решения нет.

Независимо от того, как далеко протянуты эти линии, они никогда не пересекутся.

3. Зависимые уравнения Два уравнения дают одну и ту же линию. В этом случае любое решение одного уравнения является решением другого.

В этом случае общих решений будет бесконечно много.

На более поздних курсах алгебры будут изучены методы распознавания несовместных и зависимых уравнений. Однако на этом уровне мы будем иметь дело только с независимыми уравнениями. Тогда вы можете ожидать, что для всех проблем, приведенных в этой главе, будут найдены уникальные решения.

Это означает, что графики всех систем в этой главе будут пересекаться в одной точке.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений с помощью построения графиков
1. Составьте таблицу значений и нарисуйте график каждого уравнения в той же системе координат.
2. Найдите значения (x, y), которые называют точку пересечения линий.
3. Отметьте эту точку (x, y) в обоих уравнениях.

Опять же, в этой таблице wc произвольно выбрал значения x равными — 2, 0 и 5. Здесь мы выбрали для x значения 2, 4 и 6. Вы можете выбрать любые значения, которые захотите. Мы говорим «кажущийся», потому что мы еще не проверили упорядоченную пару в обоих уравнениях. Как только он проверит, это определенно решение.

Поскольку (3,2) проверяет оба уравнения, это решение системы.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Постройте два или более линейных неравенства на одном и том же наборе осей координат.
2. Определите область плоскости, которая является решением системы.

Более поздние занятия по математике будут включать тему линейного программирования. Несмотря на то, что сама тема выходит за рамки этого текста, одна техника, используемая в линейном программировании, вполне доступна вам — построение графиков систем линейных неравенств — и мы обсудим это здесь.

В предыдущем разделе вы обнаружили, что решение системы линейных уравнений — это пересечение решений каждого из уравнений.Таким же образом решение системы линейных неравенств представляет собой пересечение полуплоскостей (и, возможно, прямых), которые являются решениями каждого отдельного линейного неравенства.

Другими словами, x + y> 5 имеет множество решений и 2x — y

имеет в качестве своего решения область плоскости, которая находится в наборе решений обоих неравенств.

Для построения графика решения этой системы мы наносим на график каждое линейное неравенство на одном и том же наборе координатных осей и указываем пересечение двух наборов решений.

Обратите внимание, что решением системы линейных неравенств будет набор точек.

Опять же, используйте либо таблицу значений, либо форму уравнения с пересечением наклона для построения графика линий.

Проверка точки (0,0) в неравенстве x + y> 5 показывает, что точка (0,0) не входит в набор ее решений. Мы указываем набор решений x + y> 5 экраном справа от пунктирной линии.

Эта область находится справа и выше линии x + y = 5.

Проверка точки (0,0) в неравенстве 2x — y

Эта область находится слева и выше линии 2x — y = 4.

Пересечение двух наборов решений — это та область плоскости, в которой пересекаются два экрана. Этот регион показан на графике.

Еще раз обратите внимание, что решение не включает строки.Если, например, нас попросили изобразить решение системы , что указывает на то, что решение включает точки на линии x + y = 5.

Результаты показывают, что все точки в заштрихованной части графика будут в наборах решений x + y> 5 и 2x — y.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом подстановки.

В разделе 6-5 мы решили систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью построения графиков. Графический метод очень полезен, но он был бы непрактичным, если бы решения были дробными. Фактическую точку пересечения определить может быть очень сложно.
Существуют алгебраические методы решения систем. В этом разделе мы обсудим метод подстановки.

Пример 1 Решить методом подстановки:

Решение
Шаг 1 Мы должны решить одну неизвестную в одном уравнении.Мы можем выбрать либо x, либо y либо в первом, либо во втором уравнении. Наш выбор может быть основан на получении простейшего выражения. В этом случае мы решим относительно x во втором уравнении, получив x = 4 + 2y, потому что любой другой выбор привел бы к дроби.

Посмотрите на оба уравнения и посмотрите, есть ли в одном из них переменная с коэффициентом, равным единице.

Шаг 2 Подставьте значение x в другое уравнение.В этом случае уравнение
2х + 3у = 1.
Подставляя (4 + 2y) вместо x, мы получаем 2 (4 + 2y) + 3y = 1, уравнение только с одной неизвестной.

Причина в том, что если x = 4 + 2y в одном из уравнений, то x должен быть равен 4 + 2y в другом уравнении.

Шаг 3 Решите неизвестное.

Помните, сначала удалите скобки.

Шаг 4 Подставьте y = — 1 в любое уравнение, чтобы найти соответствующее значение для x.Поскольку мы уже решили второе уравнение относительно x через y, мы можем его использовать.

Мы можем подставить y = — 1 в любое уравнение, поскольку y имеет одинаковое значение в обоих.

Таким образом, у нас есть решение (2, -1).

Помните, что x записывается первым в упорядоченной паре.

Шаг 5 Проверьте решение в обоих уравнениях. Помните, что решение системы должно быть верным для каждого уравнения в системе.С

решение (2, -1) действительно проверяет.

Это проверяет: 2x + 3y = 1 и x — 2y = 4.

Проверьте эту упорядоченную пару в обоих уравнениях. Ни в одном из этих уравнений не было переменной с коэффициентом, равным единице. В этом случае решение заменой — не лучший метод, но мы сделаем это так, просто чтобы показать, что это возможно. В следующем разделе будет предложен более простой метод.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДОПОЛНЕНИЕМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом сложения.

Метод сложения для решения системы линейных уравнений основан на двух фактах, которые мы использовали ранее.

Во-первых, мы знаем, что решения уравнения не меняются, если каждый член этого уравнения умножается на ненулевое число. Во-вторых, мы знаем, что если мы добавим одинаковые или равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты все равно будут одинаковыми.

Пример 1 Решить сложением:

Обратите внимание, что мы можем решить эту систему методом подстановки, решив первое уравнение относительно y.Решите эту систему методом подстановки и сравните свое решение с решением, полученным в этом разделе.

Решение
Шаг 1 Наша цель — сложить два уравнения и исключить одно из неизвестных, чтобы мы могли решить полученное уравнение с одним неизвестным. Если мы сложим уравнения как есть, мы не удалим неизвестное. Это означает, что мы должны сначала умножить каждую сторону одного или обоих уравнений на число или числа, что приведет к исключению одного из неизвестных при сложении уравнений.
Внимательно изучив проблему, мы замечаем, что проще всего устранить неизвестное y. Это делается путем умножения каждой стороны первого уравнения на -2.

Обратите внимание, что каждый член необходимо умножить на (- 2).

Шаг 2 Добавьте уравнения.

Шаг 3 Решите полученное уравнение.

В этом случае мы просто умножаем каждую сторону на (-1).

Шаг 4 Найдите значение другой неизвестной, подставив это значение в одно из исходных уравнений.Используя первое уравнение,

Подставьте x = 4 во второе уравнение и посмотрите, получите ли вы такое же значение для y.

Шаг 5 Если мы проверим упорядоченную пару (4, -3) в обоих уравнениях, мы увидим, что это решение системы.

Пример 2 Решить сложением:

Обратите внимание, что в этой системе ни одна переменная не имеет коэффициента, равного единице. Поэтому лучший метод решения — метод сложения.

Решение
Шаг 1 Необходимо изменить оба уравнения, чтобы исключить одно из неизвестных. Ни одно из неизвестных не будет проще другого, поэтому удалите либо x, либо y.
Чтобы исключить x, умножьте каждую сторону первого уравнения на 3 и каждую сторону второго уравнения на -2.

Если вы решили исключить y, умножьте первое уравнение на — 2, а второе уравнение на 3. Сделайте это и решите систему.Сравните ваше решение с полученным в примере.

Шаг 2 Сложив уравнения, мы получаем

Шаг 3 Решение для урожайности

Шаг 4 Использование первого уравнения в исходной системе для нахождения значения другой неизвестной дает

Шаг 5 Убедитесь, что упорядоченная пара (- 1,3) является решением системы.

Чек остается на ваше усмотрение.

СТАНДАРТНАЯ ФОРМА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Напишите линейное уравнение в стандартной форме.
2. Решите систему двух линейных уравнений, если они заданы в нестандартной форме.

Уравнения в предыдущих разделах не содержали дробей, как неизвестные в левой части уравнения, так и неизвестные в том же порядке.
Такие уравнения называются стандартными. То есть они имеют вид ax + by = c, где a, b и c — целые числа. Перед решением методом сложения уравнения необходимо привести к стандартному виду.

Пример 1 Изменить 3x = 5 + 4y на стандартную форму.

Решение 3x = 5 + 4y не в стандартной форме, потому что одно неизвестное находится справа. Если мы прибавим -4y к обеим сторонам, мы получим 3x — 4y = 5, что в стандартной форме.

Будьте осторожны здесь. Многие студенты забывают умножить правую часть уравнения на 24.

Опять же, убедитесь, что каждый член умножен на 12.

Теперь прибавьте — 24x к обеим сторонам, получив — 24x + 9y = -10, что в стандартной форме.Обычно уравнения пишутся так, что первый член положительный. Таким образом, мы умножаем каждый член этого уравнения на (- 1).

Вместо того, чтобы говорить «первый член положительный», мы иногда говорим «ведущий коэффициент положительный».

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите, когда проблема со словом может быть решена с использованием двух неизвестных.
2. Составьте уравнения и решите словесную задачу.

Многие проблемы со словами можно обрисовать и решить, используя два неизвестных.

Пример 1 Сумма двух чисел равна 5. Трижды первое число, умноженное на пять, второе число равно 9. Найдите числа.

Решение Пусть x = первое число
y = второе число
Первое утверждение дает нам уравнение
x + y = 5.
Второе утверждение дает нам уравнение
3x + 5 y = 9.
Теперь у нас есть система

, которую мы можем решить любым из известных нам методов, чтобы получить
x = 8 и y = — 3.

Решите систему с помощью подстановки.

Пример 2 Два работника получают в общей сложности 136 долларов за 8-часовую работу. Если одному работнику платят на 1 доллар в час больше, чем другому, найдите почасовую ставку для каждого.

Решение Пусть x = почасовая ставка одного работника
y = почасовая ставка другого работника.

Обратите внимание, что очень важно сказать, что представляют x и y.

Первое утверждение дает нам уравнение
8x + 8y = 136.
Второе утверждение дает уравнение
х = у + 1.
Теперь у нас есть система (в стандартном виде)

Решение дает x = 9 и y = 8. Ставка одного рабочего составляет 9 долларов в час, а другого — 8 долларов в час.

Решите эту систему методом сложения.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Декартова система координат — это метод наименования точек на плоскости.
• Упорядоченные пары чисел используются для обозначения точек на плоскости.
• Линейное уравнение представляет собой прямую линию.
• Наклон от одной точки на линии до другой — это отношение.
• Угол наклона-пересечения уравнения прямой имеет вид y = mx + b.
• Линейное неравенство отображается как часть плоскости.
• Система двух линейных уравнений состоит из линейных уравнений, для которых мы хотим найти одновременное решение.
• Независимые уравнения имеют уникальные решения.
• Противоречивые уравнения не имеют решения.
• Зависимые уравнения имеют бесконечно много решений.
• Система двух линейных неравенств состоит из линейных неравенств, для которых мы хотим найти одновременное решение.
• Стандартная форма линейного уравнения — это ax + by = c, где a, b и c — действительные числа.

Процедуры

• Чтобы нарисовать график линейного уравнения, найдите упорядоченные пары чисел, которые являются решениями этого уравнения.Найдите эти точки в декартовой системе координат и соедините их линией.
• Чтобы нарисовать график линии, используя ее наклон:
  Шаг 1 Запишите уравнение прямой в форме y — mx + b.
  Шаг 2 Найдите точку пересечения j (0, b).
  Шаг 3 Начиная с (0, b), используйте наклон m, чтобы найти вторую точку.
  Шаг 4 Соедините две точки прямой линией.
• Чтобы построить график линейного неравенства:
  Шаг 1 Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
  Шаг 2 Проверьте одну точку, которая явно находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
  Шаг 3 Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.
• Чтобы решить систему двух линейных уравнений с помощью построения графиков, тщательно изобразите уравнения в одной и той же системе координат.Их точка пересечения и будет решением системы.
• Чтобы решить систему двух линейных неравенств с помощью построения графиков, определите область плоскости, которая удовлетворяет обоим утверждениям неравенства.
• Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем подстановки, решите одну неизвестную одного уравнения через другое неизвестное и подставьте эту величину в другое уравнение. Затем подставьте полученное таким образом числовое значение в любое уравнение, чтобы найти значение другого неизвестного.Наконец, проверьте решение в обоих уравнениях.
• Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем сложения, умножьте одно или оба уравнения на необходимые числа так, чтобы при сложении уравнений одно из неизвестных было удалено. Решите оставшиеся неизвестные и подставьте это значение в одно из уравнений, чтобы найти другое неизвестное. Проверьте оба уравнения.
• Чтобы решить словесную задачу с двумя неизвестными, найдите два уравнения, которые показывают связь между неизвестными.Затем решите систему. Всегда проверяйте решение указанной проблемы.

Решение систем неравенств — Бесплатная математическая справка

Сначала нам нужно рассмотреть символы неравенства:

• Символ <означает меньше чем.
• Символ> означает больше чем.
• Символ \ (\ leq \) означает меньше или равно. Обычно на компьютерах это пишется как <=, потому что это легче вводить.
• Символ \ (\ geq \) означает больше или равно.Иногда на компьютерах это пишется как> =, потому что так легче набирать.

Есть бесконечные решения для неравенства. В свете этого факта может быть проще всего найти набор решений для неравенств, решив систему графически.

Как решить системы неравенств графически

1) Запишите неравенство в форме пересечения наклона или в форме \ (y = mx + b \).

Например, если вас попросят решить \ (x + y \ leq 10 \), мы сначала перепишем как \ (y \ leq -x + 10 \).

2) Временно замените данный символ неравенства (в данном случае \ (\ leq \)) на просто равный символ. При этом вы можете рассматривать неравенство как уравнение. НО НЕ забудьте заменить символ равенства на исходный символ неравенства в КОНЕЦ задачи!

Итак, \ (y \ leq -x + 10 \) на данный момент становится \ (y = -x + 10 \).

3) Изобразите линию, найденную на шаге 2. Это сформирует «границу» неравенства — с одной стороны линии условие будет истинным, с другой — нет.Посмотрите, как построить линию здесь.

4) Вернемся к найденному ранее неравенству как \ (y \ leq -x + 10 \). Обратите внимание, что это верно, когда y меньше или равно. На шаге 3 мы построили линию (случай равенства), поэтому теперь нам нужно учесть случай «меньше чем». Поскольку y меньше определенного значения в нижней части оси, мы закрасим область под линией, чтобы указать, что неравенство верно для всех точек ниже линии:

5) Проверить. Вставьте точку не на линии, например (0,0).Убедитесь, что неравенство выполнено. В данном случае это означает \ (0 \ leq -0 + 10 \), что явно верно. Мы заштриховали правильную сторону линии.

Пример:

Найдите все значения x и y, которые удовлетворяют: \ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \).

Обратите внимание, что это неравенство уже имеет форму пересечения наклона. Я заменю данный символ неравенства на символ равенства для построения линии.

\ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \) становится \ (y = \ frac {-3} {2} x + 6 \). Теперь постройте эту линию, как показано:

Так как это случай, когда неравенство верно для значений y, которые больше или равны чему-то, мы закрасили область над линией.Все точки на этой линии графика или ВЫШЕ будут удовлетворять нашему неравенству. Опять же, выберите любую точку над линией графика, чтобы убедиться, что она удовлетворяет или раскрывает ИСТИННОЕ утверждение с точки зрения исходного неравенства. Например, (5,3). Подключите это, и у нас будет \ (3 \ geq \ frac {-3} {2} * 5 + 6 \). Упростив его до \ (3 \ geq -1.5 \), мы увидим, что неравенство верно в точке (5,3). Поскольку эта точка находилась над нашей линией, она должна быть заштрихована, что подтверждает наше решение.

Множественные неравенства — система неравенств

Система неравенств содержит более одного условия неравенства, которое должно быть выполнено.Графически это означает, что нам нужно сделать то, что мы только что сделали — построить линию, представленную каждым неравенством, — а затем найти область графика, которая верна для ОБОИХ неравенств. Для двух приведенных выше примеров мы можем объединить оба графика и построить площадь, разделяемую двумя неравенствами.

Какой набор решений? Набор решений для ОБЕИХ неравенств будет ЛЮБОЙ ТОЧКОЙ, в которой ОБЕИ области закрашены вместе или где встречаются ОБЕ заштрихованные области.

Первоначально принадлежит г-ну Фелизу, © 2005

Графические системы линейных неравенств

Чтобы построить линейный неравенство в двух переменных (скажем, Икс а также у ), сначала получите у один на одной стороне.Затем рассмотрим соответствующее уравнение, полученное заменой знака неравенства на знак равенства. График этого уравнения представляет собой линию.

Если неравенство строгое ( < или же > ), начертите штриховой линией. Если неравенство не строгое ( ≤ или же ≥ ), начертите сплошной линией.

Наконец, выберите одну точку, которая не находится ни на одной строке ( ( 0 , 0 ) обычно самый простой) и решите, удовлетворяют ли эти координаты неравенству или нет.Если это так, заштрихуйте полуплоскость, содержащую эту точку. Если нет, закройте другую полуплоскость.

Аналогичным образом изобразите каждое из неравенств в системе. Решение система неравенств — область пересечения всех решений в системе.

Пример 1:

Решите систему неравенств, построив графики:

у ≤ Икс — 2 у > — 3 Икс + 5

Сначала изобразим неравенство у ≤ Икс — 2 .Связанное уравнение у знак равно Икс — 2 .

Поскольку неравенство ≤ , не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем, ( 0 , 0 ) — и подставляем в неравенство у ≤ Икс — 2 .

0 ≤ 0 — 2 0 ≤ — 2

Это неправда.Итак, решение не содержит точки ( 0 , 0 ) . Заштрихуйте нижнюю половину линии.

Аналогичным образом нарисуйте пунктирную линию для соответствующего уравнения второго неравенства у > — 3 Икс + 5 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .

Решение системы неравенств — это область пересечения решений двух неравенств.

Пример 2:

Решите систему неравенств, построив графики:

2 Икс + 3 у ≥ 12 8 Икс — 4 у > 1 Икс < 4

Перепишем первые два неравенства с у один на одной стороне.

3 у ≥ — 2 Икс + 12 у ≥ — 2 3 Икс + 4 — 4 у > — 8 Икс + 1 у < 2 Икс - 1 4

Теперь изобразим неравенство у ≥ — 2 3 Икс + 4 .Связанное уравнение у знак равно — 2 3 Икс + 4 .

Поскольку неравенство ≥ , не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем, ( 0 , 0 ) — и подставляем в неравенство.

0 ≥ — 2 3 ( 0 ) + 4 0 ≥ 4

Это неправда.Итак, решение не содержит точки ( 0 , 0 ) . Заштрихуйте верхнюю половину линии.

Аналогичным образом проведем пунктирную линию соответствующего уравнения второго неравенства у < 2 Икс - 1 4 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .

Нарисуйте пунктирную вертикальную линию Икс знак равно 4 которое является родственным уравнением третьего неравенства.

Здесь точка ( 0 , 0 ) удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, содержащую точку.

Решение системы неравенств — это область пересечения решений трех неравенств.

Графические системы линейных неравенств — Элементарная алгебра

Системы линейных уравнений

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
• Решите систему линейных неравенств, построив график
• Решите приложения систем неравенств

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. График на числовой прямой.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
2. Решите неравенство.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Определите, является ли заказанная пара решением для системы.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок)

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.

Система линейных неравенств

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений в ней есть неравенства. Ниже представлена ​​система двух линейных неравенств.

Для решения системы линейных неравенств мы найдем значения переменных, которые являются решениями обоих неравенств. Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика.Мы найдем на плоскости область, содержащую все упорядоченные пары, удовлетворяющие обоим неравенствам.

Решения системы линейных неравенств

Решениями системы линейных неравенств являются значения переменных, которые делают все неравенства истинными.

Решение системы линейных неравенств показано заштрихованной областью в системе координат x-y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, мы подставляем значения переменных в каждое неравенство. Если упорядоченная пара выполняет оба неравенства, это решение системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐ (−2, 4) ⓑ (3,1)

Решение

1. ⓐ Является ли упорядоченная пара (−2, 4) решением?
   

Упорядоченная пара (−2, 4) выполнила оба неравенства.Следовательно, (−2, 4) — решение этой системы.

1. ⓑ Является ли упорядоченная пара (3,1) решением?
   

Упорядоченная пара (3,1) сделала одно неравенство истинным, а другое — ложным. Следовательно, (3,1) не является решением этой системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐⓑ

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐⓑ

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

Решением единственного линейного неравенства является область на одной стороне граничной линии, которая содержит все точки, которые делают неравенство истинным.Решением системы двух линейных неравенств является область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы построим график каждого неравенства отдельно, а затем определим область, в которой оба неравенства верны. Решение всегда отображается в виде графика.

Как решить систему линейных неравенств

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков.

1. Изобразите первое неравенство.
   • Постройте граничную линию.
   • Заштриховать сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
   • Постройте граничную линию.
   • Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
3. Решением является область перекрытия штриховки.
4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Системы линейных неравенств с параллельными граничными линиями могут не иметь решения. Мы увидим это на (Рисунок).

Решите систему, построив график.

Решение

Нет смысла в обеих заштрихованных областях, поэтому у системы нет решения.У этой системы нет решения.

Решите систему, построив график.

нет решения

Решите систему, построив график.

нет решения

Решите систему, построив график.

Решение

Ни одна точка на граничных линиях не включена в решение, так как обе линии пунктирны.

Решение — это дважды заштрихованная область, которая также является решением.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решение приложений систем неравенств

Первое, что нам нужно сделать для решения приложений систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы строим график системы, как делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичными только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому на их графиках будет отображаться только Квадрант I.

Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 фунта, а каждая большая фотография — 10 фунтов. Она не хочет тратить больше 200 фунтов на фотографии для показа.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.

ⓑ Изобразите систему в виде графика.

ⓒ Могла ли она показать 15 маленьких и 5 больших фотографий?

ⓓ Могла ли она показать 3 больших и 22 маленьких фотографии?

Решение

1. ⓐ Пусть количество маленьких фото.
   количество больших фото
   Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
   
   У нас есть своя система неравенства.
2. ⓑ
   
   

   Для графика, график x + y = 25 в виде сплошной линии. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, закрасьте сторону, на которой нет точки (0, 0), красным цветом. Для построения графика, график 4 x + 10 y = 200 в виде сплошной линии. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, заштрихуйте сторону, которая включает точку (0, 0), синим.

   
   Решение системы — это область графика, которая заштрихована дважды и поэтому заштрихована темнее.

3. ⓒ Чтобы определить, будут ли работать 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (10, 20) в области решения. Нет. Кристи не показывала 10 маленьких и 20 больших фотографий.
4. ⓓ Чтобы определить, будут ли работать 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (20, 10) в области решения. Это. Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.

Обратите внимание, что мы также можем протестировать возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Прицеп может нести максимальный вес 160 фунтов и максимальный объем 15 кубических футов. Микроволновая печь весит 30 фунтов и имеет объем 2 кубических фута, в то время как принтер весит 20 фунтов и имеет 3 кубических фута пространства.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Можно ли перевозить на этом прицепе 4 микроволновые печи и 2 принтера?
ⓓ Можно ли перевозить на этом прицепе 7 микроволновых печей и 3 принтера?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ да
4. ⓓ нет

Мэри необходимо приобрести запасы листов для ответов и карандашей для стандартного теста, который будет проводиться среди младших классов в ее средней школе. Количество необходимых листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей.Карандаши стоят 2 фунта, а листы с ответами — 1 фунт. Бюджет Мэри на эти принадлежности предусматривает максимальную стоимость в 400 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли Мэри купить 100 карандашей и 100 листов для ответов?
ⓓ Может ли Мэри купить 150 карандашей и 150 листов для ответов?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ нет
4. ⓓ нет

Омару нужно съесть не менее 800 калорий, прежде чем отправиться на командную тренировку.Все, что ему нужно, — это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше пяти фунтов стерлингов. В гамбургер-ресторане рядом с его колледжем каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1,40 фунта стерлингов. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Мог ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
ⓓ Мог ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?

Решение

ⓐ Давай количество гамбургеров.
количество файлов cookie
Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
Калории из гамбургеров по 240 калорий каждый плюс калорий из печенья по 160 калорий в каждом должны быть больше 800.

Сумма, потраченная на гамбургеры по 1,40 фунта за штуку, плюс сумма, потраченная на печенье по цене 0,50 фунтов стерлингов, должна быть не более 5,00 фунтов стерлингов.

У нас есть система неравенства.

ⓑ

Решение системы — это область графика, которая закрашена дважды и поэтому закрашена темнее.

ⓒ Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 1) в области решения.Это. Он может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.
ⓓ Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. Это. Он может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.

Мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Tension необходимо съедать не менее 1000 лишних калорий в день, чтобы подготовиться к марафону. У него есть только 25 фунтов стерлингов, чтобы потратить на необходимое дополнительное питание, и он потратит их на 0 фунтов стерлингов.75 пончиков по 360 калорий в каждом и 2 энергетических напитка по 110 калорий.

ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка?
ⓓ Может ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ да
4. ⓓ нет

Врач Филиппа говорит ему, что он должен добавлять как минимум 1000 калорий в день к своему обычному рациону. Филип хочет купить протеиновые батончики по цене 1 фунт стерлингов.80 каждый и содержат 140 калорий и сок по цене 1,25 фунтов стерлингов за бутылку и содержат 125 калорий. Он не хочет тратить больше? 12.

ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 3 протеиновых батончика и 5 бутылок сока?
ⓓ Может ли он купить 5 протеиновых батончиков и 3 бутылки сока?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ да
4. ⓓ нет

Ключевые понятия

• Для решения системы линейных неравенств с помощью построения графиков
  1. Изобразите первое неравенство.
     • Постройте граничную линию.
     • Заштриховать сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
  2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
     • Постройте граничную линию.
     • Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
  3. Решением является область перекрытия штриховки.
  4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Упражнения по разделам

Практика ведет к совершенству

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

В следующих упражнениях определите, является ли каждая упорядоченная пара решением для системы.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.

Нет решения

Нет решения

Решение приложений систем неравенств

В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.

Кейтлин продает свои рисунки на окружной ярмарке. Она хочет продать не менее 60 рисунков, у нее есть портреты и пейзажи. Она продает портреты за 15 евро и пейзажи за 10 евро. Ей нужно продать рисунков на сумму не менее 800 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Получит ли она прибыль, если продаст 20 портретов и 35 пейзажей?
ⓓ Получит ли она прибыль, если продаст 50 портретов и 20 пейзажей?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ Нет
4. ⓓ Есть

Джейк не хочет тратить больше 50 фунтов на мешки с удобрениями и торфяной мох для своего сада.Удобрение стоит 2 евро за мешок, а торфяной мох — 5 евро за мешок. Фургон Джейка вмещает не более 20 сумок.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 15 мешков удобрений и 4 мешка торфяного мха?
ⓓ Может ли он купить 10 мешков удобрений и 10 мешков торфяного мха?

Рэйко нужно отправить рождественские открытки и посылки по почте, и она хочет, чтобы ее почтовые расходы не превышали 500 фунтов стерлингов. Количество карточек минимум на 4 больше, чем в два раза больше пакетов.Стоимость пересылки открытки (с картинками) — 3 евро, посылки — 7 евро.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она отправить 60 открыток и 26 пакетов?
ⓓ Может ли она отправить по почте 90 открыток и 40 пакетов?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ Есть
4. ⓓ Нет

Хуан готовится к выпускным экзаменам по химии и алгебре. Он знает, что у него всего 24 часа на обучение, и ему потребуется как минимум в три раза больше времени, чтобы изучать алгебру, чем химию.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он потратить 4 часа на химию и 20 часов на алгебру?
ⓓ Может ли он потратить 6 часов на химию и 18 часов на алгебру?

Джоселин беременна и ей нужно съедать как минимум на 500 калорий в день больше, чем обычно. При покупке продуктов в один день с бюджетом в 15 фунтов стерлингов на дополнительную еду она покупает бананы, каждый из которых содержит 90 калорий, и шоколадные батончики мюсли, каждый из которых содержит 150 калорий.Бананы стоят 0,35 фунта стерлингов каждый, а батончики мюсли — 2,50 фунта стерлингов каждый.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она купить 5 бананов и 6 батончиков мюсли?
ⓓ Может ли она купить 3 банана и 4 батончика мюсли?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ Нет
4. ⓓ Есть

Марк пытается нарастить мышечную массу, поэтому ему необходимо дополнительно съедать не менее 80 граммов белка в день. Бутылка протеиновой воды стоит 3 фунта.20, а протеиновый батончик стоит 1,75 фунтов стерлингов. Белковая вода содержит 27 граммов белка, а батончик — 16 граммов. Если он есть? 10 долларов на расходы

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Мог ли он купить 3 бутылки протеиновой воды и 1 протеиновый батончик?
ⓓ Мог ли он покупать не бутылки с протеиновой водой и 5 протеиновых батончиков?

Джоселин хочет увеличить потребление белка и калорий. Она хочет есть как минимум на 35 граммов больше белка каждый день и не более чем на 200 дополнительных калорий в день.Унция сыра чеддер содержит 7 граммов белка и 110 калорий. Унция сыра пармезан содержит 11 граммов белка и 22 калории.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она съесть 30 грамм сыра чеддер и 100 грамм сыра пармезан?
ⓓ Может ли она съесть 2 унции сыра чеддер и 30 грамм сыра пармезан?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ Есть
4. ⓓ Нет

Марк увеличивает свои физические нагрузки, бегая и ходя не менее 4 миль каждый день.Его цель — сжечь как минимум 1500 калорий с помощью этого упражнения. Ходьба сжигает 270 калорий на милю, а бег — 650 калорий.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 3 мили и пробежав 1 милю?
ⓓ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 2 мили и пробежав 2 мили?

Повседневная математика

Билеты на матч Американской бейсбольной лиги для 3 взрослых и 3 детей стоят менее 75 фунтов стерлингов, а билеты для 2 взрослых и 4 детей — менее 62 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой проблемы.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Могут ли билеты стоить 20 евро для взрослых и 8 евро для детей?
ⓓ Могут ли билеты стоить? 15 для взрослых и 5? Для детей?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ Нет
4. ⓓ Есть

Дедушка и бабушка развлекают свою семью в кино. Билет на утренник стоит 4 евро для ребенка и 4 евро для взрослого. Вечерние билеты стоят 6 евро для ребенка и 8 евро для взрослого.Они планируют потратить не больше 80 фунтов на билеты на утренник и не более 100 на вечерние билеты.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Могут ли они взять с собой 9 детей и 4 взрослых на оба спектакля?
ⓓ Могут ли они взять с собой 8 детей и 5 взрослых на оба спектакля?

Письменные упражнения

Изобразите неравенство. Как узнать, какую сторону линии нужно растушевать?

Изобразите систему.Что означает решение?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глава 5 Упражнения на повторение

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений .

В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью построения графиков.

совпадающих линий

Определите количество решений линейной системы

В следующих упражнениях без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

бесконечно много решений, непротиворечивая система, зависимые уравнения

нет решений, несовместная система, независимые уравнения

Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков

ЛаВелле делает кувшин кофе мокко. На каждую унцию шоколадного сиропа она использует пять унций кофе. Сколько унций шоколадного сиропа и сколько унций кофе нужно ей, чтобы приготовить 48 унций кофе мокко?

ЛаВеллю нужно 8 унций шоколадного сиропа и 40 унций кофе.

Эли готовит коктейль для вечеринок, состоящий из крендельков и чекса. На каждую чашку крендельков он использует три чашки чекса. Сколько чашек кренделей и сколько чашек чекса ему нужно, чтобы приготовить 12 чашек коктейля для вечеринок?

Решите системы уравнений заменой

Решите систему уравнений подстановкой

В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.

Решите приложения систем уравнений подстановкой

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна 55. Одно число на 11 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 22 и 33.

Периметр прямоугольника 128. Длина на 16 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше, чем в 3 раза больше размера другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размеры: 23 градуса и 67 градусов.

Габриэла работает в страховой компании, которая платит ей зарплату в размере 32 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный полис.Она рассматривает возможность перехода на другую работу в компанию, которая будет платить зарплату в размере 40 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 80 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Сколько полисов нужно продать Габриэле, чтобы общая сумма была такой же?

Решите системы уравнений методом исключения

Решите систему уравнений методом исключения В следующих упражнениях решите системы уравнений методом исключения.

Решение приложений систем уравнений методом исключения

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна. Их разница есть. Найдите числа.

Цифры и.

Омар каждый день останавливается в магазине пончиков по дороге на работу. На прошлой неделе он съел 8 пончиков и 5 капучино, что дало ему в общей сложности 3000 калорий. На этой неделе он съел 6 пончиков и 3 капучино, что в общей сложности составило 2160 калорий. Сколько калорий в одном пончике? Сколько калорий в одном капучино?

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

В следующих упражнениях решите, что было бы удобнее решить систему уравнений путем подстановки или исключения.

Решение приложений с помощью систем уравнений

Перевести в систему уравнений

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений. Не решайте систему.

Сумма двух чисел равна. Одно число на два меньше, чем другое. Найдите числа.

Четыре раза больше числа плюс трижды второе число. Дважды первое число плюс второе число — три.Найдите числа.

В прошлом месяце Джим и Дебби заработали 7200 фунтов стерлингов. Дебби заработала на 1600 фунтов больше, чем заработал Джим. Сколько они заработали?

Анри вложил 24 000 евро в акции и облигации. Сумма в акциях на 6 000 евро больше, чем в три раза больше, чем в облигациях. Сколько стоит каждая инвестиция?

Решение задач прямого перевода

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Пэм на 3 года старше своей сестры Ян.Сумма их возрастов — 99. Найдите их возраст.

Молли хочет посадить 200 луковиц в своем саду. Она хочет все ирисы и тюльпаны. Она хочет посадить в три раза больше тюльпанов, чем ирисов. Сколько ирисов и сколько тюльпанов ей следует посадить?

Приложения Solve Geometry

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Разница двух дополнительных углов составляет 58 градусов. Найдите размеры углов.

Размеры: 119 градусов и 61 градус.

Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в пять раз больше, чем в четыре раза меньшего угла. Найдите размеры обоих углов.

Бекка вешает 28-футовую цветочную гирлянду с двух сторон и наверху беседки, чтобы подготовиться к свадьбе. Высота на четыре фута меньше ширины. Найдите высоту и ширину беседки.

Пергола 8 футов в высоту и 12 футов в ширину.

Периметр городского прямоугольного парка составляет 1428 футов. Длина на 78 футов более чем в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину парка.

Решение Uniform Motion Applications

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Шейла и Ленор ехали в дом своей бабушки. Ленора ушла через час после Шейлы. Шейла ехала со скоростью 45 миль в час, а Ленора ехала со скоростью 60 миль в час. Сколько времени потребуется Леноре, чтобы догнать Шейлу?

Это займет у Леноры 3 часа.

Боб ушел из дома на своем велосипеде со скоростью 10 миль в час, чтобы добраться до озера. Черил, его жена, уехала через 45 минут (час) спустя, двигаясь на своей машине со скоростью 25 миль в час. Сколько времени потребуется Шерил, чтобы догнать Боба?

Маркус может проехать на своей лодке 36 миль по реке за три часа, но ему нужно четыре часа, чтобы вернуться вверх по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения.

Скорость лодки 10,5 миль в час. Скорость тока — 1.5 миль / ч.

Пассажирский реактивный самолет может пролететь 804 мили за 2 часа с попутным ветром, но только 776 миль за 2 часа при встречном ветре. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.

Решение смесей приложений с помощью системы уравнений

Приложения для растворения смеси

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Линн заплатила в общей сложности 2780 фунтов стерлингов за 261 билет в театр. Студенческие билеты стоят 10 евро, взрослые — 15 евро.Сколько студенческих билетов и сколько взрослых билетов купила Линн?

Линн купила 227 студенческих билетов и 34 взрослых билета.

У Приама в машине есть десять центов и центов в подстаканнике. Общая стоимость монет — 4,21 фунта стерлингов. Количество десятицентовиков на три меньше, чем четырехкратное количество пенсов. Сколько центов и сколько центов в чашке?

Юми хочет приготовить 12 чашек смеси для вечеринок из конфет и орехов. Ее бюджет требует, чтобы вечеринка обошлась ей в 1 фунт.29 на чашку. Конфеты стоят 2,49 фунтов за чашку, а орехи — 0,69 фунтов за чашку. Сколько чашек конфет и сколько чашек орехов ей следует съесть?

Юми следует использовать 4 чашки конфет и 8 чашек орехов.

Ученому нужно 70 литров 40% раствора спирта. У него есть 30% и 60% раствор. Сколько литров 30% и сколько литров 60% растворов он должен смешать, чтобы получить 40% раствор?

Заявки на выплату процентов

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

У Джека есть 12 000 евро для инвестирования, и он хочет получать 7,5% годовых. Он поместит часть денег на сберегательный счет, который приносит 4% в год, а остальную часть — на счет CD, который приносит 9% в год. Сколько денег он должен положить на каждый счет?

Джек должен положить 3600 евро в сбережения и 8400 евро на компакт-диск.

Когда она закончит колледж, Линда будет должна 43 000 фунтов стерлингов в виде студенческих ссуд. Процентная ставка по федеральным займам составляет 4,5%, а ставка по ссудам частных банков — 2%.Общая сумма процентов, которую она задолжала за один год, составила 1585 фунтов стерлингов. Какая сумма каждого кредита?

Графические системы линейных неравенств

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

В следующих упражнениях определите, является ли каждая упорядоченная пара решением для системы.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.

Нет решения

Решение приложений систем неравенств

В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.

Роксана производит браслеты и ожерелья и продает их на фермерском рынке. Браслеты она продает по 12 фунтов за штуку, а ожерелья — по 18 фунтов. На рынке в следующие выходные у нее будет место для демонстрации не более 40 штук, и ей нужно продать не менее 500 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.

1. ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
2. ⓑ Изобразите систему в виде графика.
3. ⓒ Следует ли ей показать 26 браслетов и 14 ожерелий?
4. ⓓ Следует ли ей показать 39 браслетов и 1 ожерелье?

ⓐ
ⓑ

ⓒ да
ⓓ нет

У Энни есть бюджет в 600 фунтов стерлингов на покупку книг в мягкой обложке и книг в твердом переплете для своего класса. Она хочет, чтобы количество книг в твердой обложке было как минимум в 5 раз больше, чем в три раза больше книг в мягкой обложке.Книги в мягкой обложке стоят 4 фунта каждая, а книги в твердой обложке — 15 фунтов.

1. ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
2. ⓑ Изобразите систему в виде графика.
3. ⓒ Может ли она купить 8 книг в мягкой обложке и 40 книг в твердой обложке?
4. ⓓ Может ли она купить 10 книг в мягкой обложке и 37 книг в твердой обложке?

Практический тест

В следующих упражнениях решите следующие системы с помощью графиков.

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений.Используйте либо замену, либо исключение.

бесконечно много решений

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна −24. Одно число на 104 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 40 и 64

Рамон хочет посадить в своем саду огурцы и помидоры.У него есть место для 16 растений, и он хочет посадить в три раза больше огурцов, чем помидоров. Сколько огурцов и сколько помидоров нужно посадить?

Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в шесть раз больше, чем мера меньшего угла, более чем в два раза. Найдите размеры обоих углов.

Размеры углов: 28 градусов и 62 градуса.

В понедельник Лэнс бегал 30 минут и плавал 20 минут. Его фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 610 калорий.В среду фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 695 калорий, когда бегал 25 минут и плавал 40 минут. Сколько калорий он сжег за одну минуту бега? Сколько калорий он сжег за минуту плавания?

Кэти вышла из дома, чтобы дойти до торгового центра, быстро шагая со скоростью 4 мили в час. Ее сестра Эбби вышла из дома через 15 минут и ехала на велосипеде до торгового центра со скоростью 10 миль в час. Сколько времени понадобится Эбби, чтобы догнать Кэти?

Это займет у Кэти час (или 10 минут).

Самолету требуется несколько часов, чтобы преодолеть 2475 миль при встречном ветре из Сан-Хосе, Калифорния, в Лихуэ, Гавайи. Обратный рейс из Лихуэ в Сан-Хосе с попутным ветром занимает 5 часов. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.

Лиз заплатила 160 фунтов за 28 билетов, чтобы отвести отряд Брауни в музей науки. Детские билеты стоят 5 евро, взрослые — 9 евро. Сколько билетов для детей и сколько билетов для взрослых купила Лиз?

Лиз купила 23 детских и 5 взрослых билетов.

Фармацевту необходимо 20 литров 2% физиологического раствора. У него есть 1% и 5% раствор. Сколько литров 1% и сколько литров 5% растворов нужно смешать, чтобы получился 2% раствор?

Переведите в систему неравенств и решите.

Энди хочет потратить не больше 50 фунтов стерлингов на Хэллоуинские угощения. Она хочет купить шоколадные батончики стоимостью 1 фунт каждый и леденцы стоимостью 0,50 фунтов стерлингов каждый, и она хочет, чтобы количество леденцов было как минимум в три раза больше, чем шоколадных батончиков.

1. ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
2. ⓑ Изобразите систему в виде графика.
3. ⓒ Может ли она купить 20 шоколадных батончиков и 70 леденцов на палочке?
4. ⓓ Может ли она купить 15 шоколадных батончиков и 65 леденцов на палочке?

ⓐ
ⓑ

ⓒ Нет
ⓓ Да

Глоссарий

система линейных неравенств

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

4.2: Графические системы линейных неравенств

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определите, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств.
• Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков.
• Решайте приложения систем неравенств.

Необходимые навыки

Прежде чем начать, пройдите предварительный тест.

1. Является ли \ ((3, 12) \) решением задачи \ (y> 2x + 3 \)?

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

Да, потому что \ (12> 9 \).

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите раздел 4.1. . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

2. Изобразите график всех решений для \ (2x-3y <12 \).

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите раздел 4.1 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

3. Где пересекаются прямые \ (y = 2x + 1 \) и \ (y = -3x + 6 \)?

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

\ ((1, 3) \)

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите раздел 3.1 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений в ней есть неравенства. Здесь показана система двух линейных неравенств.

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y \ geq 10 \\ 3x − 2y <12 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

Для решения системы линейных неравенств мы найдем значения переменных, которые являются решениями обоих неравенств.Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика. Мы найдем на плоскости область, содержащую все упорядоченные пары \ ((x, y) \), в которых выполняются оба неравенства.

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Решениями системы линейных неравенств являются значения переменных, которые делают все неравенства истинными.

Решение системы линейных неравенств показано заштрихованной областью в системе координат x, y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, мы подставляем значения переменных в каждое неравенство. Если упорядоченная пара выполняет оба неравенства, это решение системы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y \ geq 10 \\ 3x − 2y <12 \ end {array} \ right. \)

а. \ ((- 2,4) \)

г. \ ((3,1) \)

Ответ

а.Является ли упорядоченная пара \ ((- 2,4) \) решением?

Упорядоченная пара \ ((- 2,4) \) выполняла оба неравенства. Следовательно, \ ((- 2,4) \) является решением этой системы.

г. Является ли упорядоченная пара \ ((3,1) \) решением?

Упорядоченная пара \ ((3,1) \) сделала одно неравенство истинным, а другое — ложным. Следовательно, \ ((3,1) \) не является решением этой системы.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 5y> 10 \\ 2x + 3y> −2 \ end {array} \ right.\)

а. \ ((3, −1) \)

г. \ ((6, −3) \)

Ответ

а. нет б. да

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y> 4x − 2 \\ 4x − y <20 \ end {array} \ right. \)

а. \ ((- 2,1) \)

г. \ ((4, −1) \)

Ответ

а. да б.нет

Решите систему линейных неравенств, построив график

Решением единственного линейного неравенства является область на одной стороне граничной линии, которая содержит все точки, которые делают неравенство истинным. Решением системы двух линейных неравенств является область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы построим график каждого неравенства отдельно, а затем определим область, в которой оба неравенства верны. Решение всегда отображается в виде графика.

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ.

1. Изобразите первое неравенство.
   • Постройте граничную линию.
   • Заштриховать сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
   • Постройте граничную линию.
   • Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
3. Решением является область перекрытия штриховки.
4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): как решить систему линейных неравенств с помощью построения графиков

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ geq 2x − 1 \\ y

Решение

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y <3x + 2 \\ y> −x − 1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y <- \ dfrac {1} {2} x + 3 \\ y <3x − 4 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y> 3 \\ y <−15x + 4 \ end {array} \ right. \)

Ответ

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y> 3 \\ y <−15x + 4 \ end {array} \ right.\)
График x — y > 3, построив график x — y = 3 и проверив точку. Пересечения: x = 3 и y = −3, а граничная линия будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому заштрихуйте (красным) сторону, которая не содержит (0, 0).

График \ (y <−15x + 4 \) путем построения графика \ (y = −15x + 4 \) с использованием наклона \ (m = −15 \) и y -интерсепта b = 4. Граничная линия будет пунктирной. Test (0, 0), что делает неравенство истинным, поэтому закрашивает (синим) сторону, содержащую (0, 0). Выберите контрольную точку в решении и убедитесь, что это решение обоих неравенств.

Точка пересечения двух линий не включена, поскольку обе граничные линии были пунктирными. Решение — это дважды заштрихованная область, которая выглядит как самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y \ leq 2 \\ y \ geq \ frac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right . \)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x − 2y \ leq 6 \\ y> — \ frac {1} {4} x + 5 \ end {array} \ right .\)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y <5 \\ y> −4 \ end {array} \ right. \)

Ответ

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y <5 \\ y> −4 \ end {array} \ right.\)
График \ (x − 2y <5 \), построив график \ (x − 2y = 5 \) и проверив точку. Пересечения: x = 5 и y = −2,5, а граничная линия будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрасьте (красным) сторону, содержащую (0, 0).

График \ (y> −4 \), построив график \ (y = −4 \) и , узнав, что это горизонтальная линия от до \ (y = −4 \).Граничная линия будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрасьте (синим) сторону, содержащую (0, 0).

Точка \ ((0,0) \) находится в решении, и мы уже нашли, что это решение каждого неравенства. Точка пересечения двух линий не включена, поскольку обе граничные линии были пунктирными.

Решение — это дважды заштрихованная область, которая выглядит как самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {11} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ geq 3x − 2 \\ y <−1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {12} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x> −4x − 2 \\ y \ geq −4 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Системы линейных неравенств с параллельными граничными линиями могут не иметь решения. Мы увидим это в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {13} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 3y \ geq 12 \\ y <- \ frac {4} {3} x + 1 \ end {array} \ right . \)

Ответ

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 3y \ geq 12 \\ y <- \ frac {4} {3} x + 1 \ end {array} \ right.\)
График \ (4x + 3y \ geq 12 \), построив график \ (4x + 3y = 12 \) и проверив точку. Пересечения составляют x = 3 и y = 4, и линия границы будет сплошной. Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому закрашивает (красным) сторону, которая не содержит (0, 0).
График \ (y <- \ frac {4} {3} x + 1 \) путем построения графика \ (y = - \ frac {4} {3} x + 1 \) с использованием наклона \ (m = — \ frac {4} {3} \) и y -intercept b = 1.Граничная линия будет пунктирной. Test (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрашивает (синим) сторону, содержащую (0, 0).

Нет смысла в обеих заштрихованных областях, поэтому у системы нет решения.

Пример \ (\ PageIndex {14} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x − 2y \ geq 12 \\ y \ geq \ frac {3} {2} x + 1 \ end {array} \ right . \)

Ответ

Нет решения.

Пример \ (\ PageIndex {15} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 3y> 8 \\ y <- \ frac {1} {3} x − 2 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Нет решения.

Некоторые системы линейных неравенств с параллельными граничными линиями имеют решение. Мы увидим это в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y> \ frac {1} {2} x − 4 \\ x − 2y <−4 \ end {array} \ right.\)

Ответ

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y> \ frac {1} {2} x − 4 \\ x − 2y <−4 \ end {array} \ right. \)
График \ (y> \ frac {1} {2} x − 4 \) путем построения графика \ (y = \ frac {1} {2} x − 4 \) с использованием наклона \ (m = \ frac {1} {2} \) и точка пересечения b = −4. Граничная линия будет пунктирной. Test (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрашивает (красным) сторону, содержащую (0, 0).
График \ (x − 2y <−4 \) путем построения графика \ (x − 2y = −4 \) и проверки точки. Пересечения: x = −4 и y = 2, а граничная линия будет пунктирной. Выберите контрольную точку в решении и проверьте , что это решение обоих неравенств. Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому закрашивает (синим) сторону, которая не содержит (0, 0).

Никакая точка на граничных линиях не включается в решение, так как обе линии пунктирны.

Решение — это дважды заштрихованная область, которая также является решением для \ (x − 2y <−4 \).

Пример \ (\ PageIndex {17} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ geq 3x + 1 \\ −3x + y \ geq −4 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {18} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ leq — \ frac {1} {4} x + 2 \\ x + 4y \ leq 4 \ end {array} \ верно.\)

Ответ

Решение — самая темная заштрихованная область.

Решение приложений систем неравенств

Первое, что нам нужно сделать для решения приложений систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы строим график системы, как мы делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичными только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому мы добавляем неравенства в систему в качестве дополнительных требований.

Пример \ (\ PageIndex {19} \)

Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 доллара, а каждая большая фотография — 10 долларов. Она не хочет тратить больше 200 долларов на фотографии для показа.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Могла ли она показать 10 маленьких и 20 больших фотографий?
г.Могла ли она показать 20 больших и 10 маленьких фотографий?

Ответ

а.
\ (\ begin {array} {ll} \ text {Let} & {x = \ text {количество маленьких фотографий.}} \\ {} & {y = \ text {количество больших фотографий}} \ конец {массив} \)

Для поиска системы уравнений переведите информацию.

\ (\ qquad \ begin {array} {l} \\ \\ \ text {Она хочет иметь как минимум 25 фотографий.} \\ \ text {Количество маленьких плюс количество больших должно быть не менее} 25 .\\ \ hspace {45mm} x + y \ geq 25 \\ \\ \\ $ 4 \ text {для каждого маленького и} $ 10 \ text {для каждого большого должно быть не более чем} $ 200 \\ \ hspace {40mm} 4x + 10y \ leq 200 \\ \\ \\ \ text {Количество маленьких фотографий должно быть больше или равно} 0. \\ \ hspace {50mm} x \ geq 0 \\ \\ \\ \ text {Количество больших фотографий должно быть больше или равно} 0. \\ \ hspace {50mm} y \ geq 0 \ end {array} \)

У нас есть система уравнений.

\ (\ hspace {65mm} \ left \ {\ begin {array} {l} x + y \ geq 25 \\ 4x + 10y \ leq 200 \\ x \ geq 0 \\ y \ geq 0 \ end {массив }\верно.\)

г.
Поскольку \ (x \ geq 0 \) и \ (y \ geq 0 \) (оба больше или равны), все решения будут в первом квадранте. В результате на нашем графике показан только квадрант.

Чтобы изобразить \ (x + y \ geq 25 \), граф \ (x + y = 25 \) сплошной линией. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, закрасьте (красным) сторону, на которой нет точки (0, 0). Чтобы изобразить \ (4x + 10y \ leq 200 \), изобразите \ (4x + 10y = 200 \) сплошной линией. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это делает неравенство истинным, закрасьте (синим) сторону, которая включает точку (0, 0).

Решение системы — это самая темная заштрихованная область графика. Участки граничной линии, которые граничат с темным участком, включены в решение, как и точки на оси x от (25, 0) до (55, 0).

г. Чтобы определить, подойдут ли 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим на график, чтобы увидеть, находится ли точка (10, 20) в области решения.Мы также можем проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением обоих уравнений.

Нет, Кристи не показала бы 10 маленьких и 20 больших фотографий.

г. Чтобы определить, подходят ли 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим на график, чтобы увидеть, находится ли точка (20, 10) в области решения. Мы также можем проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением обоих уравнений.

Это так, поэтому Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.

Обратите внимание, что мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Пример \ (\ PageIndex {20} \)

Прицеп может нести максимальный вес 160 фунтов и максимальный объем 15 кубических футов. Микроволновая печь весит 30 фунтов и имеет объем 2 кубических фута, в то время как принтер весит 20 фунтов и имеет 3 кубических фута пространства.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Можно ли в этом прицепе перевезти 4 микроволновки и 2 принтера?
г. Можно ли в этом прицепе перевезти 7 микроволновых печей и 3 принтера?

Ответ

а.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 30m + 20p \ leq 160 \\ 2m + 3p \ leq 15 \ end {array} \ right. \)
b.

г. да
г. нет

Пример \ (\ PageIndex {21} \)

Мэри необходимо приобрести запасы листов для ответов и карандашей для стандартного теста, который будет проводиться среди младших классов в ее средней школе. Количество необходимых листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей. Карандаши стоят 2 доллара, а листы для ответов — 1 доллар. Бюджет Мэри на эти принадлежности предусматривает максимальную стоимость в 400 долларов.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Может ли Мэри купить 100 карандашей и 100 листов для ответов?
г. Может ли Мэри купить 150 карандашей и 150 листов для ответов?

Ответ

а. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} a \ geq p + 5 \\ a + 2p \ leq 400 \ end {array} \ right. \)
б.

г. №
д. нет

Когда мы используем переменные, отличные от x и y для определения неизвестной величины, мы также должны изменить имена осей графика.

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Омару нужно съесть не менее 800 калорий, прежде чем отправиться на командную тренировку. Все, что ему нужно, — это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше пяти долларов. В гамбургер-ресторане рядом с его колледжем каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1,40 доллара. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 доллара США.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Сможет ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
г.Сможет ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?

Ответ

а.
\ (\ begin {array} {ll} \ text {Let} & {h = \ text {количество гамбургеров.} \\ & {c = \ text {количество файлов cookie} \ end {array} \)

Для поиска системы уравнений переведите информацию.

Калории из гамбургеров по 240 калорий каждый плюс калорий из печенья по 160 калорий в каждом должны быть больше 800.

\ (\ qquad \ begin {array} {l} \ hspace {40mm} 240h + 160c \ geq 800 \\ \\ \\ \ text {Сумма, потраченная на гамбургеры в} 1 $.40 \ text {каждый, плюс сумма, потраченная на файлы cookie} \\\ text {at} 0,50 $ \ text {каждое должно быть не более} 5,00 $. \\ \ hspace {40mm} 1,40h + 0,50c \ leq 5 \\ \\ \\ \ text {Количество гамбургеров должно быть больше или равно 0.} \\ \ hspace {50mm} h \ geq 0 \\ \ text {Количество файлов cookie должно быть больше или равно 0. } \\ \ hspace {50 мм} c \ geq 0 \ end {array} \)

\ (\ text {У нас есть наша система уравнений.} \ Qquad \ left \ {\ begin {array} {l} 240h + 160c \ geq 800 \\ 1.40h + 0.50c \ leq 5 \\ h \ geq 0 \\ c \ geq 0 \ end {array} \ right.\)

г.
Поскольку \ (h \ geq 0 \) и \ (c \ geq 0 \) (оба больше или равны), все решения будут в первом квадранте. В результате на нашем графике показан только квадрант.

Для построения графика \ (240h + 160c \ geq 800 \), график \ (240h + 160c = 800 \) в виде сплошной линии. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, закрасьте (красным) сторону, на которой нет точки (0, 0).

График \ (1.40h + 0.50c \ leq 5 \). Граничная линия равна \ (1.40h + 0.50c = 5 \). Мы проверяем (0, 0), и это делает неравенство истинным. Заштриховываем сторону линии, которая включает (0, 0).

Решением системы является наиболее темная заштрихованная область графика. Участки граничной линии, которые граничат с темным заштрихованным участком, включены в решение, как и точки на оси x от (5, 0) до (10, 0).

г. Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 2) в области решения.Это так, поэтому Омар может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.

г. Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. То есть Омар может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.

Мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Пример \ (\ PageIndex {23} \)

Tension необходимо съедать не менее 1000 лишних калорий в день, чтобы подготовиться к марафону.У него есть только 25 долларов, которые он может потратить на дополнительную еду, и он потратит их на пончики по 0,75 доллара, каждый из которых содержит 360 калорий, и энергетические напитки за 2 доллара, в которых содержится 110 калорий.

а. Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Может ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка и удовлетворить свои потребности в калориях?
г. Может ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка и удовлетворить свои потребности в калориях?

Ответ

а. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 0.75d + 2e \ leq 25 \\ 360d + 110e \ geq 1000 \ end {array} \ right. \)
b.

г. да
г. нет

Пример \ (\ PageIndex {24} \)

Врач Филиппа говорит ему, что он должен добавлять как минимум 1000 калорий в день к своему обычному рациону. Филип хочет купить протеиновые батончики стоимостью 1,80 доллара каждый, 140 калорий и сок, который стоит 1,25 доллара за бутылку и содержит 125 калорий. Он не хочет тратить больше 12 долларов.

а. Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Может ли он купить 3 протеиновых батончика и 5 бутылок сока?
г. Может ли он купить 5 протеиновых батончиков и 3 бутылки сока?

Ответ

а. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 140p + 125j \ geq 1000 \\ 1.80p + 1.25j \ leq 12 \ end {array} \ right. \)
б.

г. да
г. нет

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем линейных неравенств с помощью построения графиков.

• Решение систем линейных неравенств с помощью построения графиков
• Системы линейных неравенств

Ключевые понятия

• Решения системы линейных неравенств: Решения системы линейных неравенств — это значения переменных, которые делают все неравенства истинными. Решение системы линейных неравенств показано заштрихованной областью в системе координат x, y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.
• Как решить систему линейных неравенств с помощью построения графиков.
  1. Изобразите первое неравенство.
     Постройте граничную линию.
     Заштрихуйте сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
  2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
     Постройте граничную линию.
     Заштрихуйте ту сторону границы, где выполнено неравенство.
  3. Решением является область перекрытия штриховки.
  4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Глоссарий

система линейных неравенств

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Системы линейных неравенств

Системы линейных неравенств (стр. 1 из 2) Как только вы научитесь построить линейный график неравенство, вы можно перейти к решению систем линейных неравенств. А «система» линейные неравенства — это набор линейных неравенств, с которыми вы имеете дело все вместе. Обычно вы начинаете с двух или трех линейных неравенств. Методика решения этих систем довольно проста. Вот пример. Решите следующее система: Так же, как и при решении одиночных линейных неравенств, обычно лучше всего решать как можно больше возможные неравенства для « y » на одной стороне.Решая первые два неравенства, я переставляю система: «Решающие» системы линейных неравенств означает «графическое отображение каждого отдельного неравенства, а затем нахожу совпадения различных решений «. Итак, я рисую каждое неравенство, а затем найти перекрывающиеся части решения регионы. Линия для первое неравенство в вышеприведенной системе, y > ( 2 / 3 ) x 4, выглядит так: Это неравенство неравенство «больше, чем», поэтому я хочу заштриховать над линией.Тем не мение. поскольку будет более одного неравенства на этом графике я не знаю (пока), сколько из этой верхней стороны Мне действительно понадобится. Пока я не узнаю, я могу отслеживать Дело в том, что я хочу, чтобы верхняя область нарисовала небольшую «бахрому» вдоль верхней стороны линии, вот так: Теперь я построю график линия для второго неравенства выше, y < ( 1 / 5 ) x + 4: …и с тех пор это неравенство «меньше», я нарисую бахрому по низу строки: Последнее неравенство обычное ограничение «реальной жизни»: разрешить только х быть позитивным.Линия « x » = 0 » это просто ось y , и я хочу правую сторону. Мне нужно не забыть разбить в строке, потому что это не неравенство «или равно», поэтому граница (линия) не включена в решение: «Решение» системы — это регион, где устраивают все неравенства; то есть решение там, где работают все неравенства, область, в которой перекрываются все три отдельные области решения.В данном случае решением является заштрихованная часть посередине: Вверх | 1 | 2 | Возвращаться к указателю Вперед >> Цитируйте эту статью как: Стапель, Елизавета.«Системы линейных неравенств». Purplemath . Имеется в наличии из https://www.purplemath.com/modules/syslneq.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Системы уравнений и неравенств Введение

Системы уравнений и неравенств Введение

Как любой достойный супергерой, Шмооп за годы приобрел одного или двух врагов.Теперь наши старые противники начинают объединяться, чтобы попытаться уничтожить нас. Раньше мы сталкивались с системами уравнений, и мы также ловко справлялись с неравенствами, но можем ли мы взять оба сразу? Ответ: «Конечно». Шмуп не отказывается от математической задачи.

Даже если нам это удастся, надвигается еще большая угроза: системы уравнений с тремя переменными. Хорошо, что мы сначала попрактикуемся в построении графиков и решении уравнений с двумя переменными. Нам нужно научиться жонглировать двумя пылающими факелами, прежде чем мы сможем бросить третий.

Имеем ли мы дело с равенством или неравенством, двумя или тремя переменными, мы набросимся и спасем положение, дав вам качественный совет для получения правильного ответа, легко и просто.

Системы уравнений и ресурсы для неравенств

Веб-сайты

Классная математика — системы уравнений 3×3
Математика такая крутая, как ледяная. Охватывает системы с тремя уравнениями, включая все причудливые вещи, которые случаются, когда нет одного решения. На сайте также есть игры и столь необходимый раздел для снятия стресса.

Решение систем неравенства — бесплатная математическая справка
Этот веб-сайт восходит к самым основам неравенства. Если вам просто нужен перерыв, сыграйте в игру «Атака пришельцев».

Онлайн-математические заметки Пола — линейные системы с тремя переменными
Пол знает свое дело, и он позаботится о том, чтобы вы тоже его знали.

Видео

All I Do Is Solve (WSHS Math Rap Song)
Что рифмуется, какой ритм. Поднимитесь и встряхните этот математический рэп о решении систем уравнений.

Патрик Дж.М.Т. — Решение систем уравнений с использованием исключения путем сложения
Успокаивающий голос Патрика помогает нам пройти через метод исключения с рядом подробно объясненных проблем.

MathTV
Здесь не только масса видео, но и несколько видеороликов разных людей, объясняющих одну и ту же проблему, каждый по-своему. Некоторые из их объяснений тоже на испанском. Шмооп одобряет.

Khan Academy: Algebra
Возьмите еще одну трещину в этом трехмерном графике с помощью хорошо сделанного видео Хана.

Игры и инструменты

Алгебра против тараканов
Проверьте свои знания и навыки, соревнуясь с тараканами, чтобы найти уравнение линии в форме пересечения наклона. Разбить их ракетой — это на удивление лечебное действие.