Построить график функции y 3cosx
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
- Комментарии
- Отметить нарушение
Ответ
Функция периодическая с периодом . Область определения функции – вся числовая ось.
Область значений функции:
План построения графика. Строим сначала график функции затем растягиваем от оси Ох на 3 единицы и параллельно сдвигаем вниз на 2 единицы.
Тема: Циклические алгоритмы. Построение графиков функций.
Цели:
- дать понятие возможности построения графиков функций;
- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и с их помощью показывать свойства соответствующих функций.
Основные знания и умения:
- Знать графики и свойства элементарных тригонометрических функций.
- Уметь читать свойства тригонометрических функций по их графикам.
1. Проверка домашнего задания
2. Актуализация знаний и умений
Повторить свойства тригонометрических функций.
3. Объяснение нового материала
При построении графиков функций необходимо учитывать особенности графического экрана: разрешение; ориентацию экранной системы координат.
Расчет построения графика заключается в следующем: пусть на [a; b] надо построить график функции f(х). Отрезок [a; b] ––> [0; 640] с коэффициентом k = 640/( b – а), где х = – k * а.
Точечный график можно реализовать фрагментом:
100 for x = a to b step 640/(b – a)
110 pset ( x + x + k, y – k * f(x))
120 next
Задача 1
Провести ось через центр экрана и построить график функции y = sin x.
10 screen 2
20 line (350, 0) – (350, 260)
30 line (0, 120) – (640, 120)
40 for x = 0 to 100
60 next x
Рассмотренный график представляет собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить применяя прием уплотнения:
40 for x = 0 to 100 step 0.01
Для построения более сложных графиков удобно пользоваться оператором определения функции (функция пользователя).
Задача 2
Построить график функции y = 3cosx и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC.
Построим график функции y = cosx.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–1, 1].
в) Функция четная: cos(–x) = cosx для всех х R.
г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. cos(x + 2) = cosx для всех х R.
д) cosx = 0 при х = + k, k Z.
е) cosx >0 для всех х (– + 2 k; + 2k), k Z.
ж) cosx 0 для всех х (2 k; + 2k), k Z.
ж) sin x 0 для всех х (–+ 2 k; + 2k), k Z.
Решение
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 cos <left (x
ight )>- 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_ <1>= – operatorname<left (- frac<1> <3>
ight )> + 2 pi$$
$$x_ <2>= operatorname<left (- frac<1> <3>
ight )>$$
Численное решение
$$x_ <1>= 52.1761156937$$
$$x_ <2>= 35.7884786068$$
$$x_ <3>= 71.0256716152$$
$$x_ <4>= -83.5920422296$$
$$x_ <5>= 67.2044051427$$
$$x_ <6>= -96.1584128439$$
$$x_ <7>= 54.6380345284$$
$$x_ <8>= 1.91063323625$$
$$x_ <9>= -35.7884786068$$
$$x_ <10>= -33.3265597721$$
$$x_ <11>= -48.3548492212$$
$$x_ <12>= 79.7707757571$$
$$x_ <13>= -29.5052932996$$
$$x_ <15>= 23.2221079925$$
$$x_ <16>= 58.4593010009$$
$$x_ <17>= 77.3088569224$$
$$x_ <18>= 155.168999443$$
$$x_ <19>= -23.2221079925$$
$$x_ <20>= 8.19381854343$$
$$x_ <21>= -27.043374465$$
$$x_ <22>= -64.742486308$$
$$x_ <23>= -20.7601891578$$
$$x_ <24>= 92.3371463714$$
$$x_ <25>= 86.0539610643$$
$$x_ <26>= -39.6097450793$$
$$x_ <27>= 96.1584128439$$
$$x_ <28>= -58.4593010009$$
$$x_ <29>= -86.0539610643$$
$$x_ <30>= -4.37255207093$$
$$x_ <31>= -92.3371463714$$
$$x_ <32>= -60.9212198355$$
$$x_ <33>= 14.4770038506$$
$$x_ <34>= -73.4875904499$$
$$x_ <35>= 89.8752275368$$
$$x_ <36>= 73.4875904499$$
$$x_ <37>= 48.3548492212$$
$$x_ <38>= 42.071663914$$
$$x_ <39>= -77.3088569224$$
$$x_ <40>= 20.7601891578$$
$$x_ <42>= 16.9389226853$$
$$x_ <43>= -52.1761156937$$
$$x_ <44>= -89.8752275368$$
$$x_ <45>= -10.6557373781$$
$$x_ <46>= -7726.40729459$$
$$x_ <47>= -971.983089377$$
$$x_ <48>= -79.7707757571$$
$$x_ <49>= -67.2044051427$$
$$x_ <50>= 98.6203316786$$
$$x_ <51>= 27.043374465$$
$$x_ <52>= 64.742486308$$
$$x_ <53>= -54.6380345284$$
$$x_ <54>= 60.9212198355$$
$$x_ <55>= 10.6557373781$$
$$x_ <56>= -42.071663914$$
$$x_ <57>= -14.4770038506$$
$$x_ <58>= 39.6097450793$$
$$x_ <59>= 3426.24662565$$
$$x_ <60>= 83.5920422296$$
$$x_ <61>= -45.8929303865$$
$$x_ <62>= -8.19381854343$$
$$x_ <63>= 4.37255207093$$
$$x_ <64>= 29.5052932996$$
$$x_ <65>= 45.8929303865$$
$$x_ <66>= -98.6203316786$$
$$x_ <67>= -16.9389226853$$
$$x_ <68>= -1.91063323625$$
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$fracf <left (x
ight )>= 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$fracf <left (x
ight )>= $$
Первая производная
$$3 sin <left (x
ight )>= 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ <1>= 0$$
$$x_ <2>= pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_ <2>= 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_ <2>= pi$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac>> f <left (x
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac2>>> f <left (x
ight )>= $$
Вторая производная
$$3 cos <left (x
ight )>= 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ <1>= frac<pi><2>$$
$$x_ <2>= frac<3 pi><2>$$2>
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн
3cosx график
Вы искали 3cosx график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y cosx 3, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «3cosx график».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 3cosx график,y cosx 3,график y 3cosx,график функции y 3 cosx,график функции y 3cosx,построить график функции y 3cosx. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3cosx график. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, график y 3cosx).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3cosx график Онлайн?
Решить задачу 3cosx график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
«Циклические алгоритмы. Построение графиков тригонометрических функций»
Тема: Циклические алгоритмы. Построение графиков функций.
Цели:
- Учебные:
- дать понятие возможности построения графиков функций;
- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и с их помощью показывать свойства соответствующих функций.
- Воспитательная:
- способствовать развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, обобщение.
Основные знания и умения:
- Знать графики и свойства элементарных тригонометрических функций.
- Уметь читать свойства тригонометрических функций по их графикам.
ХОД УРОКА
1. Проверка домашнего задания
2. Актуализация знаний и умений
Повторить свойства тригонометрических функций.
3. Объяснение нового материала
При построении графиков функций необходимо учитывать особенности графического экрана: разрешение; ориентацию экранной системы координат.
Расчет построения графика заключается в следующем: пусть на [a; b] надо построить график функции f(х). Отрезок [a; b] ––> [0; 640] с коэффициентом k = 640/( b – а), где х = – k * а.
Точечный график можно реализовать фрагментом:
100 for x = a to b step 640/(b – a)
110 pset ( x0 + x + k, y0 – k * f(x))
120 next
Задача 1
Провести ось через центр экрана и построить график функции y = sin x.
10 screen 2
20 line (350, 0) – (350, 260)
30 line (0, 120) – (640, 120)
40 for x = 0 to 100
50 pset (10 * x, 120 + 120 * sin(x – 120) / 10)
60 next x
Рассмотренный график представляет собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить применяя прием уплотнения:
40 for x = 0 to 100 step 0.01
Для построения более сложных графиков удобно пользоваться оператором определения функции (функция пользователя).
Задача 2
Построить график функции y = 3cosx и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC.
Решение:
Построим график функции y = cosx.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–1, 1].
в) Функция четная: cos(–x) = cosx для всех х R.
г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. cos(x + 2) = cosx для всех х R.
д) cosx = 0 при х = + k, k Z.
е) cosx >0 для всех х (– + 2 k; + 2k), k Z.
ж) cosx< 0 для всех х ( + 2k; + 2k), k Z.
з) Функция убывает от 1 до –1 на промежутке [2k; + 2k], k Z.
и) Функция возрастает от –1 до1 на промежутке [– + 2k; 2k], k Z.
к) Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точке х = 2k, k Z.
л) Функция принимает наименьшее значение, равное –1, в точке х = + 2k, k Z.
Используя эти свойства строим график функции у = cosx. Затем полученный график растягиваем по оси ординат в 3 раза, получим график функции у = 3cosx.
10 rem
20 def fny(x) = 3*cos(x)
30 screen 2
40 line (345, 0) – (345, 260)
50 line (0, 120) – (640, 120)
60 for x = 0 to 640 step 0.01
70 pset (10 * x, 120 + 120 * fny(x) / 10)
80 next x
Для построения графика другой функции достаточно вставить ее в строку № 20.
Рассмотренные графики представляют собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить, применяя прием уплотнения.
Задача 3
Построить график функции y = –sin x + 1и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC
Построим график функции y = sin x.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–1, 1].
в) Функция нечетная: sin(–x) = sin x для всех х R.
г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. sin(x + 2) = sinx для всех х R.
д) sin x = 0 при х = k, k Z.
е) sin x >0 для всех х (2 k; + 2k), k Z.
ж) sin x < 0 для всех х ( +2 k; 2 + 2k), k Z.
з) Функция убывает от 1 до –1 на промежутке [+ 2k; + 2k], k Z.
и) Функция возрастает от –1 до1 на промежутке [–+ 2k; + 2k], k Z.
к) Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точке х = +2k, k Z.
л) Функция принимает наименьшее значение, равное –1, в точке х = + 2k, k Z.
Используя эти свойства строим график функции у = sin x. Далее построим график функции у = sin x. Нетрудно заметить, что ординаты графика у = sin x в два раза меньше соответствующих ординат графика у = sin x. Поэтому график заданной функции строится путем уменьшения всех ординат исходного графика в два раза, т.е. путем сжатия исходного графика по оси Оу в два раза. График функции у = – sin x симметричен графику функции у = sin x относительно оси Ох. График функции у = –sin x + 1 получается параллельным переносом графика у = – sin x. в положительном направлении оси Оу на 1.
10 rem y = –sinx
+ 1
20 def y(x) = –
* sin(x) + 1
30 screen 2
40 line(320, 0) – (320, 120)
50 line(0, 120) – (640, 120)
60 for x = 0 to 640 step 0.33
70 pset (27 * x,120 – 120 * fny(x) / 10)
80 next x
График на экране можно построить в виде линии, для чего надо соединить точки графика прямыми. График будет иметь вид ломаной линии, однако чем плотнее будут располагаться точки, тем плавнее будет выглядеть кривая. Иногда необходимо вводить перерасчет координат из математической системы (х, у) в Экранную (U, V) по следующим формулам:
U = (x – a) * um / (b – a)
V = (d – y) * vm / (d – c)
Где um – размер экрана в пикселях по горизонтали,
vm – размер экрана по вертикали,
um/(b – a) – число точек на [a, b] (по горизонтали),
vm/(d – c) – число точек на [c, d] (по вертикали).
Задача 4
Построить график функции y = 2sin( x + ) и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC
Порядок построения графика такой:
– строим график функции у = sinх;
– ось ординат переносим по горизонтали на ;
– график растягиваем по оси ординат в 2 раза.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–2, 2].
в) Функция нечетная: sin(– x) = sin x для всех х R.
г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. sin(x + 2) = sinx для всех х R.
д) sin x = 0 при х = – + k, k Z.
е) sin x >0 для всех х (–+ 2 k; + 2k), k Z.
ж) sin x < 0 для всех х (+ 2k; + 2k), k Z.
з) Функция убывает от 2 до – 2 на промежутке [+2k; + 2k], k Z.
и) Функция возрастает от – 2 до 2 на промежутке [–+ 2k; + 2k], k Z.
к) Функция принимает наибольшее значение, равное 2, в точке х = + 2k, k Z.
л) Функция принимает наименьшее значение, равное –2, в точке х = + 2k, k Z.
10 rem y = 2sin(x + )
20 def y(x) = 2 * sin(x + 3.14/3)
30 screen 2
40 line(320, 0) – (320, 120)
50 line(0, 120) – (640, 120)
60 for x = 0 to 640 step 0.33
70 pset (27 * x,120 – 120 * fn y(x) / 10)
80 next x
5. Подведение итогов занятия
6. Домашнее задание: составить программы и построить графики функций у = – sin 3x, у = cos x – 2.
keepslide.com — Алгебра и начала анализа10 класс…
Алгебра и начала анализа10 класс
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Сгруппируйте функции на две группы по какому-нибудь признаку:
y = cos(x + 2)
y = cos2x
y = tg2x
y = sinx + 2
y = 1/3sinx
y = 4 – cosx
y = sin(x – 5)
y = 2ctgx
y = ctg1/3x
y = ctgx + 1
y = – 3cosx
y = 2ctgx
Проверьте свои группы со следующими:
Изменение аргумента:
y = cos(x + 2)
y = cos2x
y = tg2x
y = sin(x – 5)
y = ctg1/3x
Изменение функции:
y = sinx + 2
y = 1/3sinx
y = 4 – cosx
y = 2ctgx
y = ctgx + 1
y = – 3cosx
y = 2ctgx;
Алгоритм построения графиков функций
Алгоритм построения графика функции y = cos2x:
Построить график y = cosx
Сжать в 2 раза по оси ОХ
Алгоритм построения графика функции y = cos1/2x:
Построить график y = cosx
Растянуть в 2 раза по оси ОХ
Алгоритм построения графика функции
Алгоритм построения графика функции
y = sin(x + 2):
Построить график y = sinx.
Сдвинуть график на 2 единицы влево по оси ОХ.
Алгоритм построения графика функции y = sin(x – 2):
Построить график y = sinx.
Сдвинуть график на 2 единицы вправо по оси ОХ.
Постройте графики функций:
y = tg1/2x
y = tg2x
y = tgx
y = ctgx
y = ctg(x – 1)
y = ctg(x + 2)
Алгоритм построения графиков функций
Алгоритм построения графика функции y = 2cosx:
Построить график y = cosx
Увеличить ординату в 2 раза
Алгоритм построения графика функции
y = 1/2cosx:
Построить график
y = cosx
уменьшить ординату в
2 раза.
Алгоритм построения графика функции
y = – cosx:
Построить график
y = cosx
Выполнить зеркальное отображение относительно оси ОХ.
Алгоритм построения графиков функций
Алгоритм построения графика функции y = sinx + 2:
Построить график y = sinx
Сдвинуть график на 2 единицы вверх по оси Оy
Алгоритм построения графика функции y = sinx – 2:
Построить график y = sinx
Сдвинуть график на 2 единицы вниз по оси Оy
Свойства функции
Свойства функции
y = cos2x:
D(y) = R
E(y) = [–1; 1]
Период:Пп
Четная
Возрастает:
[–П/2 + Пn; Пn]
Убывает:
[Пn; П /2 + Пn]
Нули функции:
(П/4 + Пn; 0)
Точки max: Пn
Точки min: П/2 +П n
Свойства функции
y = cos1/2x:
D(y) = R
E(y) = [–1; 1]
Период: 4Пп
Четная
Возрастает:
[– 2 + 4Пn; 4Пn]
Убывает:
[4Пn; 2П + 4Пn]
Нули функции:
( + 2Пn; 0)
Точки max: 4Пn
Точки min: 2П + 4Пn
Свойства функции
y = 2 – 2cosx:
D(y) = R
E(y) = [0; 4]
Период: 2Пп
Четная
Возрастает:
[2Пn; П + 2Пn]
Убывает:
[П+ 2n; 2П + 2Пn]
Нули функции: (2П; 0)
Точки max: П + 2Пn
Точки min: 2Пn
y = 1/2sinx + 1:
D(y) = R
E(y) = [0,5; 1,5]
Период: 2Пп
Ни четная, ни нечетная
Возрастает:
[–П /2 + 2Пn;П /2 + 2Пn]
Убывает:
[П/2 + 2Пn; 3/2П + 2Пn]
Нули функции: нет
Точки max: П/2 + 2Пn
Точки min:– П/2 + 2Пn
Построить график функции y 3cosx
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
- Комментарии
- Отметить нарушение
Ответ
Функция периодическая с периодом . Область определения функции — вся числовая ось.
Область значений функции:
План построения графика. Строим сначала график функции затем растягиваем от оси Ох на 3 единицы и параллельно сдвигаем вниз на 2 единицы.
Тема: Циклические алгоритмы. Построение графиков функций.
Цели:
- дать понятие возможности построения графиков функций;
- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и с их помощью показывать свойства соответствующих функций.
Основные знания и умения:
- Знать графики и свойства элементарных тригонометрических функций.
- Уметь читать свойства тригонометрических функций по их графикам.
1. Проверка домашнего задания
2. Актуализация знаний и умений
Повторить свойства тригонометрических функций.
3. Объяснение нового материала
При построении графиков функций необходимо учитывать особенности графического экрана: разрешение; ориентацию экранной системы координат.
Расчет построения графика заключается в следующем: пусть на [a; b] надо построить график функции f(х). Отрезок [a; b] ––> [0; 640] с коэффициентом k = 640/( b – а), где х = – k * а.
Точечный график можно реализовать фрагментом:
100 for x = a to b step 640/(b – a)
110 pset ( x + x + k, y – k * f(x))
120 next
Задача 1
Провести ось через центр экрана и построить график функции y = sin x.
10 screen 2
20 line (350, 0) – (350, 260)
30 line (0, 120) – (640, 120)
40 for x = 0 to 100
50 pset (10 * x, 120 + 120 * sin(x – 120) / 10)
60 next x
Рассмотренный график представляет собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить применяя прием уплотнения:
40 for x = 0 to 100 step 0.01
Для построения более сложных графиков удобно пользоваться оператором определения функции (функция пользователя).
Задача 2
Построить график функции y = 3cosx и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC.
Построим график функции y = cosx.
а) Область определения – множество всех действительных чисел.
б) Множество значений – отрезок [–1, 1].
в) Функция четная: cos(–x) = cosx для всех х R.
г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. cos(x + 2) = cosx для всех х R.
д) cosx = 0 при х = + k, k Z.
е) cosx >0 для всех х (– + 2 k; + 2k), k Z.
ж) cosx 0 для всех х (2 k; + 2k), k Z.
ж) sin x 0 для всех х (–+ 2 k; + 2k), k Z.
Решение
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 cos <left (x
ight )>- 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_ <1>= — operatorname<left (- frac<1> <3>
ight )> + 2 pi$$
$$x_ <2>= operatorname<left (- frac<1> <3>
ight )>$$
Численное решение
$$x_ <1>= 52.1761156937$$
$$x_ <2>= 35.7884786068$$
$$x_ <3>= 71.0256716152$$
$$x_ <4>= -83.5920422296$$
$$x_ <5>= 67.2044051427$$
$$x_ <6>= -96.1584128439$$
$$x_ <7>= 54.6380345284$$
$$x_ <8>= 1.91063323625$$
$$x_ <9>= -35.7884786068$$
$$x_ <10>= -33.3265597721$$
$$x_ <11>= -48.3548492212$$
$$x_ <12>= 79.7707757571$$
$$x_ <13>= -29.5052932996$$
$$x_ <14>= 33.3265597721$$
$$x_ <15>= 23.2221079925$$
$$x_ <16>= 58.4593010009$$
$$x_ <17>= 77.3088569224$$
$$x_ <18>= 155.168999443$$
$$x_ <19>= -23.2221079925$$
$$x_ <20>= 8.19381854343$$
$$x_ <21>= -27.043374465$$
$$x_ <22>= -64.742486308$$
$$x_ <23>= -20.7601891578$$
$$x_ <24>= 92.3371463714$$
$$x_ <25>= 86.0539610643$$
$$x_ <26>= -39.6097450793$$
$$x_ <27>= 96.1584128439$$
$$x_ <28>= -58.4593010009$$
$$x_ <29>= -86.0539610643$$
$$x_ <30>= -4.37255207093$$
$$x_ <31>= -92.3371463714$$
$$x_ <32>= -60.9212198355$$
$$x_ <33>= 14.4770038506$$
$$x_ <34>= -73.4875904499$$
$$x_ <35>= 89.8752275368$$
$$x_ <36>= 73.4875904499$$
$$x_ <37>= 48.3548492212$$
$$x_ <38>= 42.071663914$$
$$x_ <39>= -77.3088569224$$
$$x_ <40>= 20.7601891578$$
$$x_ <41>= -71.0256716152$$
$$x_ <42>= 16.9389226853$$
$$x_ <43>= -52.1761156937$$
$$x_ <44>= -89.8752275368$$
$$x_ <45>= -10.6557373781$$
$$x_ <46>= -7726.40729459$$
$$x_ <47>= -971.983089377$$
$$x_ <48>= -79.7707757571$$
$$x_ <49>= -67.2044051427$$
$$x_ <50>= 98.6203316786$$
$$x_ <51>= 27.043374465$$
$$x_ <52>= 64.742486308$$
$$x_ <53>= -54.6380345284$$
$$x_ <54>= 60.9212198355$$
$$x_ <55>= 10.6557373781$$
$$x_ <56>= -42.071663914$$
$$x_ <57>= -14.4770038506$$
$$x_ <58>= 39.6097450793$$
$$x_ <59>= 3426.24662565$$
$$x_ <60>= 83.5920422296$$
$$x_ <61>= -45.8929303865$$
$$x_ <62>= -8.19381854343$$
$$x_ <63>= 4.37255207093$$
$$x_ <64>= 29.5052932996$$
$$x_ <65>= 45.8929303865$$
$$x_ <66>= -98.6203316786$$
$$x_ <67>= -16.9389226853$$
$$x_ <68>= -1.91063323625$$
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$fracf <left (x
ight )>= 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$fracf <left (x
ight )>= $$
Первая производная
$$3 sin <left (x
ight )>= 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ <1>= 0$$
$$x_ <2>= pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_ <2>= 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_ <2>= pi$$
Убывает на промежутках
Возрастает на промежутках
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac>> f <left (x
ight )>= 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac2>>> f <left (x
ight )>= $$
Вторая производная
$$3 cos <left (x
ight )>= 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_ <1>= frac<pi><2>$$
$$x_ <2>= frac<3 pi><2>$$2>
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции» | Учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему:
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 1
- Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
- Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [– π; π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 1
- Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
- Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [– π; π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 1
- Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
- Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [– π; π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 2
- Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
- Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 2
- Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
- Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 2
- Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
- Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике — функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления…, в радиотехнике — функции управления и функции отклика, в статистике — функции распределения… Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке «Преобразования графиков функций».
| ||||
Графический косинус
Функция косинуса выглядит и действует так же, как и ее приятель, функция синуса.
Для функции косинуса y = a cos ( bx ) период (время, необходимое для одного полного цикла) такой же, как у синуса.
Средняя линия из y = a cos ( bx ) всегда равна y = 0, как и синус. Он может сдвигаться вверх или вниз, когда мы добавляем константу, но мы сохраним это позже на этой странице.
Амплитуда (расстояние по вертикали между средней линией и «пиками») y = a cos ( bx ) равно | а |. Если a <0, график переворачивается (инвертируется). Опять то же самое, что и синус.
Блин, какой подражатель.
Пример задачи
График y = cos x.
Амплитуда y = cos x равна 1, период равен 2π, а средняя линия — это просто ось x .
Давайте составим нашу диаграмму для y = cos x.
График x в сравнении с y дает нам эту красоту:
Пример задачи
Сформулируйте амплитуду и период y = 3cos (2 x ). Затем изобразите функцию.
Просто сравните это с y = a cos ( bx ) и запустите плагин.
амплитуда = | a | = 3
На этот раз наш график завершит один полный цикл в единицах π вместо единиц 2π.Другими словами, они будут больше смешиваться.
Теперь изобразите это. Начнем со стола.
На этот раз мы найдем наши пять ключевых углов, используя период π, и наши пять ключевых точек, используя амплитуду 3.
Когда мы построим график, мы просто будем следовать той же схеме, чтобы расширить график до 2π. .
До сих пор все графики косинусов, которые мы рассматривали, имели ось x в качестве средней линии. (Это дает нам еще одну ось для шлифования.)
Подобно синусоидальным графикам, косинусные графики можно смещать вверх или вниз от оси x .
В целом, для y = k + cos x график сдвигается вверх на k единиц, когда k > 0, и смещается вниз на k единиц, когда k <0.
Пример задачи
График y = 3 + cos x.
Период равен 2π, а амплитуда — 1.
Мы применяем сдвиг (вертикальное перемещение) 3 к нашим ключевым точкам.
Теперь изобразите график функции от 0 до 2π.
Средняя линия этого парня находится на y = 3.
Просмотреть вопрос — Изобразите уравнения косинуса.
Стандартный график y = cos (x)
В уравнении y = -3 (cos (2 (x — pi / 4) — 1:
Знак минус переворачивает график по вертикали.
3 изменения амплитуда, растягивая ее по вертикали в 3 раза.
2 изменяет период. Исходный период равен 2pi, теперь он равен 2pi / 2 = pi.
Таким образом, новая функция имеет половину периода старой функция.
Пи / 4 переводит график по горизонтали на величину после знака минус. Поскольку «x» был изменен на «x — pi / 4», график был перемещен вправо на pi / 4.
Если бы изменение было с ‘x’ на ‘x + pi / 3’, график был бы перемещен влево на pi / 3.
-1 переводит график по вертикали, перемещая график вниз 1.
График y = cos (x) имеет максимум в точке (0,1), минимум в точке (пи, -1) и максимум. в (2pi, 1).
Имеет период 2pi и амплитуду 1.
График y = -cos (x) переворачивает график по вертикали; поэтому он имеет минимальное значение (0, -1), максимальное значение (pi, 1) и минимальное значение (2pi, -1).
По сравнению с предыдущим графиком его период и амплитуда не изменились.
График y = -3cos (x) увеличивает амплитуду на 3. Он имеет минимум в (0, -3), максимум в (pi, 3) и минимум в (2pi, -3).
По сравнению с предыдущим графиком его период не изменился.
График y = -3cos (x) -1 переводит график на единицу вниз.Он имеет минимальное значение (0, -4), максимальное значение (pi, 2) и минимальное значение (2p, -2).
По сравнению с предыдущим графиком его период и амплитуда не изменились.
График y = -3cos (x — pi / 4) — 1 переводит график вправо на число пи / 4. Он имеет максимум при (pi / 4, -4) и т.д.
По сравнению с предыдущим графиком, его период и амплитуда не изменились.
График y = -3co (2 (x — pi / 4)) — 1 изменяет период; период теперь равен пи (определяется путем деления исходного периода 2pi на 2, что дает период 2pi / 2 = пи.)
По сравнению с предыдущим графиком изменился его период, но не амплитуда.
1. Графики y = a sin x и y = a cos x
М. Борна
(a) Синусоидальная кривая
y = a sin tМы видим синусоидальные кривые во многих естественных явлениях, таких как волны на воде. Когда волны имеют больше энергии, они поднимаются и опускаются более энергично. Мы говорим, что у них амплитуда больше .
Исследуем форму кривой л = a sin t и посмотрите, что означает понятие «амплитуда , ».
Поиграйте со следующим интерактивом.
Синусоидальная кривая Interactive
Вы можете изменить радиус окружности (который изменяет амплитуду синусоидальной кривой) с помощью ползунка.
Масштаб по горизонтальной оси t (и по окружности) составляет радиан . Помните, что π радиан — это `180 °`, поэтому на графике значение «pi = 3,14» на оси t представляет «180 °», а «2pi = 6,28» эквивалентно «360 °».
Остановка
t = θ = 0
y = 70 sin (0) = 0
Авторские права © www.intmath.com Частота кадров: 0
Вы заметили?
- Форма синусоидальной кривой образует регулярный узор (кривая повторяется после того, как колесо совершит один поворот). Мы говорим, что такие кривые периодические . Период — это время, необходимое для прохождения одного полного цикла.
- В интерактивном режиме, когда радиус круга составлял «50» единиц, кривая увеличивалась до «50» единиц и снижалась до «-50» на оси y . Эта величина синусоиды называется амплитудой графика. Это показывает, сколько энергии участвует в отображаемой величине. Более высокая амплитуда означает большую энергию.
- Угол поворота в радиан. совпадает со временем (в секундах). Подробнее о радианах. Все графики в этой главе относятся к углам в радианах.Радианы гораздо более полезны в инженерии и науке, чем ученые степени.
- Когда угол находится в первом и втором квадрантах, синус положительный, а когда угол находится в 3-м и 4-м квадрантах, синус отрицательный.
[Источники: приведенная выше анимация в общих чертах основана на демонстрационном графике HumbleSoftware.]
Амплитуда
« a » в выражении y = а грех x представляет амплитуду графика.Это показатель того, сколько энергии содержит волна.
Амплитуда — это расстояние от положения «покоя» (также известного как среднее значение или среднее значение ) кривой. В интерактивном режиме выше амплитуда может быть изменена от «10» до «100» единиц.
Амплитуда всегда равна положительной величине . Мы могли бы написать это, используя знаки абсолютного значения. Для кривой y = a sin x ,
амплитуда `= | a |`
График синуса
x — с переменной амплитудойНачнем с y = sin x .
Имеет амплитуду `= 1` и период ` = 2pi`.
График `y = sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`
Теперь посмотрим на график y = 5 sin x .
На этот раз амплитуда = 5, а период = 2 π . (Я использовал другой масштаб на оси и .)
График `y = 5sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`
А теперь для y = 10 sin x .
Амплитуда = 10 и период = 2 π .
График `y = 10sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`
Для сравнения, используя ту же шкалу осей y , вот графики
p ( x ) = sin x ,
q ( x ) = 5 sin x и
r ( x ) = 10 sin x
на одном комплекте осей.
Обратите внимание, что графики имеют тот же период (который равен «2pi»), но разные амплитуда .
Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`
(б) График косинуса
x — с разными амплитудамиТеперь посмотрим, как выглядит график y = a cos x . На этот раз угол отсчитывается от положительной вертикальной оси.
Косинусная кривая Интерактивный
Подобно синусоидальному интерактиву вверху страницы, вы можете изменить амплитуду с помощью ползунка.
Нажмите «Пуск», чтобы увидеть анимацию.@) `.
Значение функции косинуса положительно в первом и четвертом квадрантах (помните, что на этой диаграмме мы измеряем угол от вертикальной оси) и отрицательно во 2-м и 3-м квадрантах.
Теперь посмотрим на график простейшей косинусной кривой, y = cos x (= 1 cos x ).
График `y = cos (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`
Отметим, что амплитуда `= 1` и период ` = 2π`.
Аналогично тому, что мы сделали с y = sin x выше, теперь мы видим графики
- p ( x ) = cos х
- q ( x ) = 5 cos х
- r ( x) = 10 cos х
на одном комплекте осей, для сравнения:
Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`
Примечание. Для косинусоидальной кривой, как и для синусоидальной кривой, период каждого графика одинаков (2pi), но амплитуда изменилась.
Упражнения
Нарисуйте один цикл следующего без , используя таблица значений! (Важно знать форму этих графики — не то, чтобы можно было соединять точки!)
Каждый имеет период «2 пи». Мы узнаем больше о периоде в следующем разделе Графики y = a sin bx.
В примерах в качестве независимой переменной используется t . В электронике переменная чаще всего составляет t .
1) i = sin t
Ответ
i = sin t
Мы видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем i для тока и t для времени.Это очень распространенные переменные в тригонометрии.
График `i = sin (t)` для `0
Период = 2 π
Амплитуда `= 1`
2) v = cos t
Ответ
v = cos t
Мы снова видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем v для напряжения и t для времени.
График `v = cos (t)` для `0
Период = 2 π
Амплитуда `= 1`
3) i = 3 sin т
Ответ
i = 3 sin t
График `i = 3sin (t)` для `0
Период = 2 π
Амплитуда `= 3`
4) E = −4 cos т
Ответ
E = −4 cos t
Переменная E используется для «электродвижущей силы», другого термина для напряжения.
График `E = -4cos (t)` для `0
Период = 2 π
Амплитуда `= 4`
Обратите внимание, что:
- Отрицательный знак перед косинусом приводит к переворачиванию кривой косинуса «вверх ногами». То есть это зеркальное отображение по горизонтальной оси t .
- Амплитуда — положительное число (это расстояние)
Опишите преобразования, которые изменяют y = cosx в… y = cos (x-30) y = 3cosx y = -cosx.
Презентация на тему: « Опишите преобразования, которые изменяют y = cosx в… y = cos (x-30) y = 3cosx y = -cosx.» — Стенограмма презентации:
ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>1 Опишите преобразования, которые изменяют y = cosx в… y = cos (x-30) y = 3cosx y = -cosx
2 Цели: познакомиться с функциями синуса, косинуса и тангенса.
3 Имя: чтобы узнать функции синуса, косинуса и тангенса. Опишите: откуда берутся функции синуса, косинуса и тангенса, и нарисуйте их графики. Примените преобразования к этим функциям и начните использовать графический калькулятор для их рисования.
4 P225 Ex 1A Q2,3 + Пересмотр C2 / C1 Следующий урок: больше триггерных графиков и функций Гиппарх — греческий математик (родился в современной Турции) открыл основы тригонометрии c140 до н.э., но более известен своими работами в астрономии.
5
6 Визуальные демонстрации синуса и косинуса из единичной окружности. http://integralmaths.org/course/view.p hp? Id = 33 http://integralmaths.org/course/view.p hp? Id = 33
7 Те же правила преобразования, которые мы видели до сих пор, могут быть применены к этим графам.Вы должны знать, как эти графики влияют на ключевые элементы / свойства. Например,
8 Используя прозрачные пленки, сопоставьте функции с графиками.
9 Ampiltude: Max / Min: Период (растяжки): Osscilates О:
10 Амплитуда = 1 Период = 120 ° Колебания около 0
11 Амплитуда = 2 Период = 90 ° Колебания около 0
12 Амплитуда = 4 Период = 1080 ° Колебания около 0
13 Амплитуда = 4 Период = 180 ° Колебания около -3
14 Амплитуда = 2 Период = 6 ° Колебания около 5
15 Амплитуда = 10 Период = 100 ° Колебания около 12
16 y = sinx y = cosx
17 Задача «Преобразования, триггеры и радианы» Математик: c500CE этот индийский математик, который первым рассмотрел тригонометрические отношения синуса и косинуса как функции.
18 Как определить максимальные и минимальные значения тригонометрических функций, включающих синус и косинус … Например, Каковы максимальные и минимальные значения 4 + 2sinx?
19
20
21 год
22
23
24 Учитывая, что sinx = 0.23 и 0≤x≤360 какие возможные значения x? Используйте calc, чтобы получить главное значение…
25 Учитывая sinx = 0,23 и 0≤x≤360, каковы возможные значения x? Используйте график, чтобы найти другие значения…
26 год
27
28 год
29 Режим графика — все мощно!
30
31 год
32
33
34
график косинуса со сдвигом фазы | y = a cos (bx + c)
Стандартная форма графика косинуса со сдвигом фазы:y = a cos (bx + c) + d
Где, a = амплитуда
$ \ frac {2 \ pi} {b} $ = Период
$ \ frac {-c} {b} $ = Горизонтальный сдвиг
d = Вертикальный сдвиг
Оба b и c на этих графиках влияют на фазовый сдвиг в графике косинуса ( или смещение).
Фазовый сдвиг — это величина, на которую кривая смещается в горизонтальном направлении от своего нормального положения. Если фазовый сдвиг отрицательный, то смещение будет перемещаться влево, а если фазовый сдвиг положительный, то смещение будет двигаться вправо.
Фазовый сдвиг получается путем решения выражения
bx + c = 0
bx = — c
x = -c / b
‘d’ влияет на вертикальный сдвиг косинусного графика. Если d положительно, график перемещается вверх на d единиц, а если d отрицателен, график перемещается вниз на d единиц.
Примечание. Период косинусного графика равен $ 2 \ pi $.
Как нанести точки на ось x косинусного графика?
Разделите период на 4 Назовем его «а».
Первая точка: Отметьте фазовый сдвиг по оси X. Если фазовый сдвиг отрицательный, нанесите его слева от нуля, а положительный — справа от нуля.
Вторая точка: Добавьте фазовый сдвиг и a.
Пример на графике косинусов со сдвигом фазы
Пример 1: График y = 3 cos (x + $ \ frac {\ pi} {4} $)Решение: сравнить y = a cos (bx + c ) + d и y = cos (x + $ \ frac {\ pi} {6} $)
a = амплитуда = 3
b = 1
$ \ frac {2 \ pi} {b} $ = $ \ frac { 2 \ pi} {1} $ = $ 2 \ pi $ = Период
Для фазового сдвига решите x + $ \ frac {\ pi} {4} $ = 0
x = $ \ frac {- \ pi} {4} $ = фазовый сдвиг
Поскольку фазовый сдвиг отрицательный, график переместится на $ \ frac {\ pi} {4} $ единицу влево.
d = 0 = вертикальный сдвиг, поэтому вертикального сдвига нет.
Поскольку фазовый сдвиг отрицательный, 1-я точка на оси X — это $ \ frac {- \ pi} {4} $, которую мы строим слева от нуля.
2-я точка: $ \ frac {- \ pi} {4} $ + $ \ frac {period} {4} $
= $ \ frac {- \ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {\ pi} {4} $
3-я точка: $ \ frac {\ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {3 \ pi} {4} $
4-я точка: $ \ frac {3 \ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac { 5 \ pi} {4} $
5-я точка: $ \ frac {5 \ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {7 \ pi} { 4} $
Примечание. Ниже показан только один цикл графика косинуса.
Решение: сравнить y = a cos (bx + c) + d и y = 3 cos (x — $ \ frac {2 \ pi} {5} $) + 1
a = амплитуда = 3
b = 1
$ \ frac {2 \ pi} {b} $ = $ \ frac {2 \ pi } {1} $ = $ 2 \ pi $ = Период
Для фазового сдвига решите x — $ \ frac {2 \ pi} {5} $ = 0
x = $ \ frac {2 \ pi} {5} $ = фазовый сдвиг
Поскольку фазовый сдвиг положительный, график переместится на $ \ frac {2 \ pi} {5} $ единицу вправо.
d = 1 = вертикальный сдвиг, поэтому график переместится на 1 единицу вверх, поскольку d положительно.
Итак, новая ось X — это y = 1 Поскольку фазовый сдвиг отрицательный, 1-я точка на оси X — это $ \ frac {2 \ pi} {5} $, которую мы строим справа от нуля.
2-я точка: $ \ frac {2 \ pi} {5} $ + $ \ frac {period} {4} $
= $ \ frac {2 \ pi} {5} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {9 \ pi} {10} $
3-я точка: $ \ frac {9 \ pi} {10} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4 } $ = $ \ frac {14 \ pi} {10} $
4-я точка: $ \ frac {14 \ pi} {10} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {19 \ pi} {10} $
5-я точка: $ \ frac {19 \ pi} {10} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {24 \ pi } {10} $
Примечание. Ниже показан только один цикл графика косинуса.
Математика в 11 классе
Home
Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.
За электронным обучением будущее уже сегодня.
Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!
Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.
Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.
ДЕНЬ 4
ДЕНЬ 4ДЕНЬ 4 — Графики синуса и косинуса — Мэри Х.Брюс — EMAT 6690
Задача: Учащиеся смогут рисовать уравнения в форме у = грех х и у = соз х
Из ранее обсуждавшихся концевых углов и повторяющихся значений на единичной окружности, можно предположить, что тригонометрические функции будут периодическими и повторяйте в обычных циклах. Взять единичный круг и построить радианы (ось x) в зависимости от координаты y упорядоченных пар (x, y) на единичной окружности, можно сгенерировать один полный цикл или период графика y = sin x (помните, что sin x — координата y при радиусе 1).Как точка вращается против часовой стрелки вокруг единичного круга, из эскиза GSP легко увидеть, как разворачиваются тригонометрические графики. Студенты должны рассчитать свою таблицу точных значений из единичного круга, чтобы соответствовать десятичным значениям из эскиз GSP. НАЖМИТЕ здесь для GSP анимация y = sin x. Следует заметить, что синусоидальный граф ограничен между -1 и 1 (свяжите это с предыдущим обсуждением), максимум происходит при Π / 2 и минимум 3Π / 2 с пересечениями в 0, Π и 2Π (свяжите это с координатами y от единичного круга).Технология помогает укрепить концепции амплитуды, периода, максимальных и минимальных значений и точки пересечения, относящиеся к самой единичной окружности.
Студенты могут составить таблицу значений для y = cos x также график. Предложите учащимся угадать форму, амплитуду, период, максимумы, минимумы и точки пересечения. НАЖМИТЕ здесь, чтобы просмотреть GSP-анимацию косинусоидальная кривая.
Так же, как студенты знакомы с построением графиков из алгебра, посредством которой коэффициенты и константы могут влиять на сам график, студенты следует поощрять исследовать с помощью технологий различные преобразования тригонометрические графики.
Рассмотрим график y = 2 cos x. Был бы передний коэффициент влияет на период родительского графа y = cos x? Как бы отрицательный коэффициент влияет на график? Обратите внимание на иллюстрацию Nucalc графики y = cos x, y = 1/2 cos x, y = 2 cos x, y = 3 cos x и y = -3 cos x.
Передний коэффициент не меняет аргумент косинуса и, таким образом, изменяет график только по вертикали направление.Период (длина одного полного цикла), перехватов, максимум и это число не влияет на минимальные значения домена. Амплитуда увеличивается в соответствии с этим значением, а отрицательное значение отражает график на ось x (связать f (x) и -f (x) из алгебры).
Упражнения: Изобразите следующее: y = 1/3 sin x
у = 5 соз х
ВЕРНУТЬСЯ в Краткое содержание учебного блока
графиков функции синуса и косинуса
График вариаций y = sin (x) и y = cos (x)
Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности.Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности.
| x | 0 | [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ latex] | π |
| sin (x) | 0 | [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] | [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] | 1 | [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex] | 0 |
Построение точек из таблицы и продолжение по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.
Рисунок 2. Синусоидальная функция
Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.
Рисунок 3. График значений синусоидальной функции
Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.
| x | 0 | [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {π} {4} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ latex] | π |
| cos (x) | 1 | [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex] | [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex] | 0 | [латекс] — \ frac {1} {2} \\ [/ latex] | [латекс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] | [латекс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] | -1 |
Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.
Рисунок 4. Функция косинуса
Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].
На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой конкретный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в области f .Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.
Рисунок 5
Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.
Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции
На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex].
Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса
Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса
Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:
- Это периодические функции с периодом 2π.
- Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1].
- График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
- График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.
Исследование синусоидальных функций
Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы посмотрим на океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:
y = A sin ( Bx — C ) + D
и
y = A cos ( Bx — C ) + D
Определение периода синусоидальной функции
Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.
В общей формуле B связано с периодом соотношением [latex] \ text {P =} \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, то период меньше 2π и функция испытывает сжатие по горизонтали, а если | B | <1, то период больше 2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому период равен 2π, который мы знали.Если f ( x ) = sin (2 x ), то B = 2, поэтому период равен π и график сжат. Если [латекс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период равен 4π, и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |.
Рисунок 8
Общее примечание: период синусоидальной функции
Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы
Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].
Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса
Определите период функции [latex] f (x) = \ sin (\ frac {π} {6} x) \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [latex] y = Asin (Bx) [/ latex].
В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет
[латекс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]
Попробуйте 1
Определите период функции [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex].
Решение
Определение амплитуды
Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь давайте обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут расстоянием | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия — это ось x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда f ( x ) = 4 sin x в два раза больше амплитуды
f ( x ) = 2 sin x .
Если | A | <1, функция сжимается. На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами.
Рисунок 9
Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций
Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы
[латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex]
Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |.Кроме того, обратите внимание, что в примере
[латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex]
Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса
Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?
Решение
Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = A sin ( Bx ).
В данной функции A = −4, поэтому амплитуда | A | = | −4 | = 4. Функция растягивается.
Анализ решения
Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.
Рисунок 10
Попробуйте 2
Какова амплитуда синусоидальной функции f ( x ) = 12 sin ( x )? Функция растягивается или сжимается по вертикали?
Решение
Анализ графиков вариаций
y = sin x и y = cos xТеперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общую форму:
[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]
или
[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]
Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или косинусоидальной функции . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex].
Рисунок 11
В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].
Рисунок 12
Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. .
Рисунок 13
Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса
Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это фазовый сдвиг , а D — это вертикальный сдвиг .
Пример 3: Определение фазового сдвига функции
Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex].
В данном уравнении обратите внимание, что B = 1 и [латекс] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг
[латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]
или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева.
Анализ решения
Обязательно обратите внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.
Попробовать 3
Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].
Решение
Пример 4: Определение вертикального сдвига функции
Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex]
Попробовать 4
Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].
Решение
Практическое руководство. Учитывая синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
- Определите амплитуду как | A |.
- Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
- Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
- Определите среднюю линию как y = D.
Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения
Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.
Затем B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex].
В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].
Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.
Анализ решения
Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3.См. Рисунок 14.
Рисунок 14
Попробовать 5
Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс].
Решение
Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика
Определите формулу для функции косинуса на рисунке 15.
Рисунок 15
Решение
[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex]
Попробовать 6
Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.
Рисунок 16
Решение
Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика
Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.
Рисунок 17
Решение
При максимальном значении 1 и минимальном значении −5 средняя линия будет находиться посередине между −2. Итак, D = −2.
Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3.
Период графика равен 6, который может быть измерен от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , находим, что
[латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex]
Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс].Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:
- косинус, смещенный вправо
- отрицательный косинус, сдвинутый влево
- синус, сдвинутый влево
- отрицательный синус смещен вправо
Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целые числа. Таким образом, наша функция становится
[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс]
Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.
Попробовать 7
Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.
Рисунок 18
Решение
Графические вариации
y = sin x и y = cos xВ этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.
Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида
[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],
мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.
Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график.
- Определить амплитуду, | A |.
- Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
- Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A положительно, или уменьшается, если A отрицательно.
- В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А .
- Кривая возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex].
- Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] при y = — А .
- Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex].
Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода
Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex].
Решение
Начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].
Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.
| A | = 2
Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен
[латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]
Шаг 3. Поскольку A отрицательно, график опускается по мере продвижения вправо от начала координат.
Шаг 4–7. Прерывания x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода при x = 4.
Квартальные точки включают минимум x = 1 и максимум x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.
Рисунок 19
Попробовать 8
Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
Решение
Практическое руководство. Для синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.
- Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] .
- Определите амплитуду, | A |.
- Укажите период, [латекс] P = 2π | B | [/ латекс].
- Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
- Нарисуйте график [латекс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [латекс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D .
Пример 9: Построение преобразованной синусоиды
Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex].
Решение
Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начинающейся от средней линии и увеличивающейся вправо.
Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.
Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом.
[латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс]
Период 8.
Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен
[латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].
Фазовый сдвиг — 1 ед.
Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.
Рис. 20. Горизонтально сжатая, вертикально растянутая и смещенная по горизонтали синусоида
Попробовать 9
Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.
Решение
Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции
Учитывая [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.
Решение
Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.
[латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ латекс]
Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.
Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.
Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4.
Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Фазовый сдвиг -2.
Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается 3.
Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x .
На рисунке 21 показан один цикл графика функции.
Рисунок 21
Использование преобразований функций синуса и косинуса
Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием функции синуса или косинуса .
Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения
Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.
Решение
Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [латекс] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [латекс] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.
Рисунок 22
Анализ решения
Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоидальной волны равна 3.
Попробовать 10
Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.
Решение
Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения
Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении окружности; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.
Рисунок 23
Решение
Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.
Рисунок 24
Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.
Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.
Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Собирая эти преобразования вместе, получаем, что
[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]
Попробуй 11
К пружине прикрепляется груз, который затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение груза и относительно доски изменяется в диапазоне от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в единицах x .
Рисунок 25
Решение
Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения
Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.
Решение
При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.
Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.
Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.
Наконец, поскольку райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.
- Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
- Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
- Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
- Форма: −cos ( t )
Уравнение для роста всадника будет
[латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс]
, где т, измеряется в минутах, а y измеряется в метрах.
Ключевые уравнения
| Синусоидальные функции | [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ латекс] |
| [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс] |
- Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
- Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
- График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
- В общей формуле синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
- В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
- Значение [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
- Значение D в общей формуле для синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
- Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
- Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
- Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
- Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
- Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.
Глоссарий
- амплитуда
- вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции
- средняя линия
- горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции
- периодическая функция
- функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для конкретной константы P и любого значения x
- фазовый сдвиг
- горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]
- синусоидальная функция
- любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]
Упражнения по разделам
1.Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?
2. Как график [латекса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex].
3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]?
4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?
5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]?
6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс]
7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ latex]
8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс]
9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс]
10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс]
11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс]
12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]
13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс]
14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]
15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс]
16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс]
17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс]
Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x на одном периоде для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков.
18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]
19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]
20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс]
21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]
22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex]
23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию, для графика, показанного на рисунке 26.
Рисунок 26
24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.
Рисунок 27
25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28.
Рисунок 28
26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 29.
Рисунок 29
27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.
Рисунок 30
28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 31.
Рисунок 31
29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 32.
Рисунок 32
30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 33.
Рисунок 33
Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].
31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].
32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].
33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x .
34. На [0,2π) максимальное значение (я) функции встречается (а) при каком значении (ах) x ?
35. На [0,2π) встречается минимальное значение (-я) функции, при каком (-ых) значении (-ях) x ?
36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ .
Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].
37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].
38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].
39. На [0,2π) найдите x -перехватывания [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].
40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.
41. На [0,2π) решите уравнение [latex] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].
42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так.
43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении?
44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ].
45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график.
46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график.
47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минут после начала поворота колеса.
а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( т ).
г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ).
г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут?