F y x 2: Построить график функции | Онлайн калькулятор

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элементарная математика Основы алгебры Алгебра Тригонометрия Основы мат. анализа Математический анализ Конечная математика Линейная алгебра Химия

Для функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.

Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.

Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:

• число
• буква
• специальный символ: @$#!%*?&

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элементарная математика Основы алгебры Алгебра Тригонометрия Основы мат. анализа Математический анализ Конечная математика Линейная алгебра Химия

Для функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.

Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.

Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:

• число
• буква
• специальный символ: @$#!%*?&

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элементарная математика Основы алгебры Алгебра Тригонометрия Основы мат. анализа Математический анализ Конечная математика Линейная алгебра Химия

Для функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.

Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.

Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:

• число
• буква
• специальный символ: @$#!%*?&

Возрастание и убывание функций | Алгебра

Определения

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

   

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x₁,x₂ из этого промежутка выполняется условие

   

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пример 1.

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x₁;x₅]:

Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x₂;x₃] и [x₄;x₅]

Функция y=f(x) убывает на промежутках [x₁;x₂] и [x₃;x₄].

Кратко это записывают так:

   

   

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k<0.

 

5) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x₁,x₂ из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пример 2.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x₁;x₃], является невозрастающей и неубывающей:

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x₁;x₂].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x₂;x₃].

 

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

Для этого при условии x₂>x₁ на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x₂)>f(x₁) либо f(x₂)>f(x₁), то есть определить f(x₂)-f(x₁)>0 или f(x₂)-f(x₁)<0.

Примеры.

1) Доказать, что функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Доказательство:

Функция определена на всей числовой прямой.

Пусть x₂>x₁.

f(x₁)=x₁²+4x₁, f(x₂)=x₂²+4x₂,

f(x₂)-f(x₁)=(x₂²+4x₂)-(x₁²+4x₁)=x₂²+4x₂-x₁²-4x₁=

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

=(x₂²-x₁²)+(4x₂-4x₁)=(x₂-x₁)(x₂+x₁)+4(x₂-x₁)=

Теперь выносим общий множитель (x₂-x₁) за скобки:

=(x₂-x₁)(x₂+x₁+4).

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x₁, x₂ ∈(-∞;-2) x₂+x₁+4<0. Значит, (x₂-x₁)(x₂+x₁+4)<0 и f(x₂)<f(x₁). Отсюда следует, что функция функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что функция

   

возрастает на промежутке (2;+∞).

Доказательство:

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

Пусть x₂>x₁.

   

   

Так как x₂>x₁, то x₂-x₁>0.

Для x₁, x₂ ∈ (2;+∞) (2-x₁)(2-x₂)>0. Значит,

   

Отсюда y(x₂)-y(x₁)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

 

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной  (начала математического анализа — производную и её применение —  проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элементарная математика Основы алгебры Алгебра Тригонометрия Основы мат. анализа Математический анализ Конечная математика Линейная алгебра Химия

Для функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.

Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.

Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:

• число
• буква
• специальный символ: @$#!%*?&

Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные проблемы

Популярные задачи

Основы математики Предалгебра Алгебра Тригонометрия Precalculus Исчисление Конечная математика Линейная алгебра Химия

Mathway требует javascript и современного браузера.

Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство работы с ним.

Убедитесь, что ваш пароль состоит не менее чем из 8 символов и содержит каждое из следующих значений:

• номер
• письмо
• специальный символ: @ $ #!% *? &

.

.,,

() . :. …	y = kx + b
— -,.	y = k / x
. ,,.
-. .	y = x 2
. : a — ( a R, a ≠ 0), b , c -.	y = ax 2 + bx + c
— y = x a , а -. y = kx a , k — ().	y = x 3
-. ( x 1/2 = √ x ).	y = x 1/2		y = √ x
— . ( 1 / x = x -1 ) — -. к = 1.	y = k / x
— f (x) = a x , a , x -.	y = e x
. a > 0 a ≠ 1. a . y = 2 x ( a = 2> 1).	y = a x		> 1
. a > 0 a ≠ 1. а . y = 0,5 x ( a = 1/2 <1).	y = a x		0

.