Формула арифметической прогрессии суммы: Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия. Сумма арифметической погрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим  здесь.

44

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс  (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

1+2+3+4+5+5+…+97+98+99+100=?

 

А как бы считали вы?

+ показать

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

summa 1-100

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.  

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

-9, -6, -3, 0, 3, …

Решение: 

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем a_{20} по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

a_{20}=a_1+19d, где d=-6-(-9)=3 – разность арифметической прогрессии.

a_{20}=48;

Сумма  чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Ответ: 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых  n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n может быть найдена по формулам

1) S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

2) S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n

,

где  a_1 — первый член прогрессии,  a_n— член с номером n,  n— количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы a_n=a_1+(n-1)d

в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой a_n=20-3n.

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Решение: + показать

Пример 2. 

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Решение:  + показать

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

a_1=2,\;d=2,\;n=20

Воспользуемся формулой S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n

:

S_{20}=\frac{2a_1+(20-1)d}{2}\cdot 20;

 S_{20}=\frac{4+38}{2}\cdot 20=420;

Ответ: 420.  

Пример 3. 

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Решение:  + показать

S_n=153;

Шаг (d

) равен 1;

a_1=1;

Обращаемся к формуле S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n:

153=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 1}{2}\cdot n;

153=\frac{1+n}{2}\cdot n;

n^2+n-306=0;

n=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot (-306)}}{2};

Поскольку мы работаем с натуральными n, то n=17;

Ответ: 17.  

Пример 4. 

Арифметическая прогрессия задана формулой a_n=103-5n.

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Решение:  + показать

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

a_1=103-5\cdot 1=98;

a_2=103-5\cdot 2=93;

d=a_2-a_1=93-98=-5;

Последовательность чисел арифметической  прогрессии, начиная с 5-го  (по 16), – также арифметическая прогрессия.

uj

Поэтому обозначим b_1=a_5,\;b_2=a_6 и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии {b_n} по формуле S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n:

S_{12}=\frac{2b_1+(12-1)d}{2}\cdot 12,

где b_1=a_5=103-5\cdot5=78;

S_{12}=\frac{156-55}{2}\cdot 12=606;

Ответ: 606.  

Пример 5. 

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Решение:  + показать

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

j

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму S_{dvuznach} всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел S_{:4}, кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы S_{dvuznach} вычтем сумму S_{:4};

oik

Итак, S_{dvusnach}=\frac{10+99}{2}\cdot 90=4905;

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96  в ряду 12, 16, … 96  за k. Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию (a_1=12).

Найдем k.

a_k=a_1+(k-1)d;

96=12+(k-1)4;

k=22;

Тогда S_{:4}=\frac{12+96}{2}\cdot 22=1188;

Итак, S=S_{dvuznach}-S_{:4}=4905-1188=3717;

Ответ: 3717.  

тест

Вы можете пойти тест по теме «Сумма арифметической прогрессии».

 

 

 

Сумма арифметической прогрессии | Онлайн калькулятор

Когда речь идет о таком параметре, как сумма арифметической прогрессии, подразумевается всегда сумма первых членов арифметической прогрессии

или сумма членов прогрессии с k по n, то есть количество членов, которые берутся для суммы, строго ограничено в заданных условием пределах. В противном случае задание не будет иметь решения, так как вся числовая последовательность именно арифметической прогрессии начинается с конкретного числа — первого члена a1, и продолжается бесконечно.

Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.

a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=⋯

Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена

формула суммы арифметической прогрессии

Пример. Предположим, задано условие: «Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии». Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член. Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.

В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии

, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.

Смотрите также

Арифметическая прогрессия — методическая рекомендация. Алгебра, 9 класс.
1. Разность арифметической прогрессии 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Вычисление разности арифметической прогрессии, если даны последовательные члены прогрессии.
2. Нахождение члена и разности арифметической прогрессии 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Нахождение следующего члена арифметической прогрессии, если даны два предыдущих, разность прогрессии.
3. Нахождение членов арифметической прогрессии 2 вид — интерпретация лёгкое 5 Б. Нахождение первых четырёх и десятого членов арифметической прогрессии, если дана общая формула.
4. Сумма членов арифметической прогрессии 2 вид — интерпретация среднее 1 Б. Нахождение суммы первых n членов арифметической прогрессии, если известны первый член и разность.
5. Нахождение члена арифметической прогрессии, даны разность и первый член 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление n-ого члена арифметической прогрессии, если даны разность и первый член прогрессии.
6. Сумма первых членов арифметической прогрессии 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии, если даны первые два члена.
7. Разность арифметической прогрессии 2 вид — интерпретация лёгкое 2 Б. Вычисление разности и третьего члена арифметической прогрессии.
8. Сумма членов арифметической прогрессии 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Вычисление суммы членов арифметической прогрессии, если даны два первых члена.
9. Прогрессия в текстовой задаче, вычисление высоты 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Использование прогрессии при вычислении высоты.
10. Сумма натуральных чисел 3 вид — анализ сложное 4 Б. В условии дан остаток деления. При решении используется неравенство.
11. Вычисление разности при наименьшем значении членов прогрессии 3 вид — анализ сложное 4,5 Б. При вычислении используются свойства квадратичной функции.
12. Арифметическая прогрессия и трапеция 2 вид — интерпретация сложное 8 Б. Трапеция и арифметическая прогрессия.
Арифметическая прогрессия, формула суммы элементов, разности, произведения, примеры с решением, чем отличается от геометрической

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Часто, при решении задач, связанных с наблюдениями и присвоением значения определенному событию за определенный промежуток времени, получается ряд чисел, который именуется арифметической прогрессией.

Одна из главных отличительных особенностей такая математическая модель имеет закономерность, по которой можно вычислить любой неизвестный член, что упрощает прогнозирование при вычислении физических ситуаций.

Примерами повседневного использования могут являться наблюдение за температурой воздуха, прогнозирование расходов с занесением результатов в таблицу и др.

Онлайн-калькулятор арифметической прогрессии

Определение и примеры арифметической прогрессии

Это последовательность из чисел, где каждое последующее число ряда (начиная со второго) увеличивается или уменьшается на определенную сумму, являющуюся константой.

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Кроме этого для описания используется ряд сопутствующих терминов и определений. Членом (аn) называется единичное число из последовательности.

Разностью (d) называется фиксированное число, на которое увеличивается или уменьшается последующее число прогрессии.

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Кроме этого, существуют виды таких рядов:

  • возрастающая – числа ряда увеличиваются по своему значению,
  • убывающая – каждое последующее число ряда уменьшается.

В качестве примера представим последовательность чисел «3, 9, 15, 21, 27». Данный случай – этот ряд чисел попадает под характеристику арифметической прогрессии. Этот вывод делается в том случае, когда разница между членами ряда фиксирована и равняется 6.

Виды арифметической (алгебраической) прогрессии

Разновидности строятся на основании характеристики разности (d), а именно на основании отличия последней от нуля.

Таким образом, можно встретить определенные вариации:

  • разность d&lt,0 – прогрессия будет считаться убывающей, а каждый последующий член будет меньше предыдущего,
  • разность d&gt,0 – это предполагает, что каждый член в ряду будет больше предыдущего, а прогрессию будут называть возрастающей,
  • при d=0 ряд тоже будет иметь свойства прогрессии, которую именуют стационарной, и все члены будут одинаковыми (не будут изменяться).

Если прогрессия не изменяется с каждым шагом на одну и ту же разность, то эта прогрессия непостоянная и арифметической не является.

Важно знать: арифметическая от геометрической отличается тем, что в последней производится увеличение каждого последующего на один и тот же множитель.

Формулы арифметической прогрессии

Одно из важнейших свойств заключается в возможности вычисления любого числа конкретного места ряда.

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Чтобы решать это, необходима формула, показывающая, как находится член арифметической прогрессии. В общем виде она будет выглядеть, как значение предыдущего числа в ряду (an-1), к которому прибавляют разность (d):

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Также может возникнуть задача, когда надо просуммировать все числа ряда арифметической прогрессии (сумма членов). Если их малое количество, то можно посчитать это вручную, но если количество чисел перевалит за сотню, то проще будет воспользоваться специальной формулой для обработки.

Итак, нам понадобится значение первого числа в ряду (a1) и последнего (an), а также информация об общем количестве чисел в ряду. Рекуррентная формула, показывающая, как искать сумму, будет выглядеть в таком случае следующим образом:

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Обратите внимание: под значением n подразумевается именно количество членов ряда, для которых производится нахождение суммы.

Произведение членов арифметической прогрессии можно находить по похожей формуле:

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

где, Pn – произведение, b1 и bn – соответственно первое и последнее числа, а n – количество членов.

Отдельно следует коснуться такого понятия, как характеристическое свойство прогрессии. Оно сводится к выполнению определенного условия для каждого элемента:

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Примеры задач с решением

Рассмотрим как решать задачи на заданную тему.

Пример 1

Требуется вычислить 574 член в ряду арифметической прогрессии, первые три члена которой «8, 15, 22…».

Вариант рассуждений по примеру 1. Для нахождения любого конкретного элемента ряда нам необходима информация о значении первого члена (a1) и о разности (d). Чтобы вычислить разность, вычитаем из второго члена ряда первый (15 – 8) и получаем d = 7. Теперь мы можем считать по формуле:

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Подставляя полученные значения, получим выражение вида a574 = 8 + (574-1) * 7.

После вычисления получаем ответ: a574 = 4019.

Пример 2

Требуется вычислить 544 член ряда, являющийся арифметической прогрессией, при условии, что 154-ый член равен 17, а разность (d) равна 8.

Вариант рассуждений по примеру 2. Пользоваться в данной ситуации мы будем формулой из предыдущего примера:

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

Подставляя известные значения, получаем выражение – а544 = 17 + (544 1) * 8.

Вычисляя, получаем ответ а544 = 4361.

Пример 3

Для подготовки к экзамену по биологии студенту Смирнову необходимо выучить 730 вопросов (включая загадки). Известно, что он весьма обеспокоен и по мере приближения даты экзамена учит ежедневно на 27 вопросов больше, чем в предыдущий день. Друг Смирнова выяснил, что тот в первый день выучил всего 17 вопросов.

Требуется выяснить, сколько времени у студента ушло на подготовку.

Вариант рассуждений по примеру 3. Очевидно, что случай с подготовкой студента к экзамену решается через формулы арифметической прогрессией (поскольку присутствует фиксированная разность d = 17). Производим подстановку известных данных:

Арифметическая (алгебраическая) прогрессия определение, примеры нахождения с решением

После подстановки получаем выражение: 730 = 17 + (n 1) * 27.

После вычислений определяем ответ – 27 дней.

Арифметическая прогрессия является наиболее простой из всех числовых зависимостей. Использование описанных формул позволит намного ускорить вычисления в задачах, где это требуется.

Кроме этого, для упрощения можно использовать онлайн калькулятор. В школе данную тему изучают в программе за 9 класс, а основные задания касаются нахождения членов и сумм.

Калькулятор арифметической прогрессии с формулами и примерами решений

Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22… Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.

Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:

  • 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,   
  • 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
  • 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6

А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.

An = 2n.

Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.

An = 2n − 1

Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.

Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:

An = n2 + 2

Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 10002 + 2 = 1000002.

Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.

Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.

Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:

  • An = 2n
  • Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)

Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.

Замечания

Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то ​ что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.

Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.

Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.

Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…

Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…

Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:

An = a1 + (n − 1)d

Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.

Sn = [(a1 + an) / 2] × n

Примеры задач

Пример 1

В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.

В калькуляторе задаем:

  • Первое число: 3
  • Последнее число: 20
  • Разница (шаг): 3

Получаем:

  • Арифметическая прогрессия: 61
  • Сумма членов прогрессии: 650
  • Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61

Проверяем самостоятельно по формулам с теории:

  • a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61

Пример 2

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…

В калькуляторе задаем:

  • Первое число: 5
  • Последнее число: 20
  • Разница (шаг): 2

Результаты рассчета:

  • Арифметическая прогрессия: 43
  • Сумма членов прогрессии: 480
  • Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43

Проверяем:

  • Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
  • S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480

Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.

Урок по алгебре на тему «формула суммы n-членов арифметической прогрессии»

«Формула суммы n-членов арифметической прогрессии»

Цель урока: Вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы. 

Задачи урока:

  • Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Выработать навыки применения формулы суммы п— первых членов арифметической прогрессии при решении заданий по данной теме.

  • Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, самостоятельность при решении заданий по теме. любознательность и вычислительные навыки. 

  • Воспитательная: воспитывать интерес к предмету, внимательность.

Тип урока: Урок изучения новой темы и целевого применения изученного.

Оборудование: Электронный учебник, интерактивная доска, презентационные слайды с использованием мультимедий.

Эпиграф урока: 

Давным-давно сказал один мудрец 
Что прежде надо 
Связать начало и конец 
У численного ряда.

Ход урока

  1. Математический диктант

  2. Объяснение новой темы.

  3. Закрепление темы.

  4. Задание на дом.

  5. Сообщения учащихся

  6. Рефлексия

 

    1. Математический диктант по вариантам. Двое учащихся работают на оборотной стороне доски. Взаимопроверка диктанта

      Вариант1

      Вариант2

      1

      Найти 5-й член числовой последовательности заданной формулой http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image002.gif

      Ответ: 25.

      Найти 4-й член числовой последовательности заданной формулой http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image004.gif

      Ответhttp://festival.1september.ru/articles/577450/full_image006.gif

      2

      Чему равна разность арифметической прогрессии: 1; 4; 7; …

      Ответ: 3

      Чему равна разность арифметической прогрессии: 3; 0; -3; -6; …

      Ответ: -3

      3

      Найдите пятый член арифметической прогрессии: 3; 7; 11; …

      Ответ: 19

      Найдите шестой член арифметической прогрессии; если http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image008.gif   

      Ответ: 20

      4

      Найти 10-й член арифметической прогрессии если http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image010.gif 

      Ответ: 43

      Найти 5-й член арифметической прогрессии если http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image012.gif 

      Ответ: 21

    2. Объяснение новой темы.

Учитель: найдите сумму всех натуральных чисел от единицы до ста. Кто быстрее? Я предложила вам задачу, которую Гаусс решил в шестилетнем возрасте

Эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно: 1 + 2 + 3 + …98+99 +100. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…» Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное: 5050

Учитель: Попытаемся найти ответ на данный вопрос.  Кто увидел закономерность?

http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image014.gif

Ответ: Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50.

Учитель: Что собой представляет последовательность чисел

1;2;3;…;98;99;100?

Ответ: арифметическую прогрессию, первый член которой 1, а разность арифметической прогрессии 1.

Учитель: Что собой представляет сумма: 1+2+3+4+…+99+100?

Ответ: Сумму арифметической прогрессии.

Учитель: тема урока : формулы суммы п— первых членов арифметической прогрессии.

Пусть сумма первых n членов арифметической прогрессии равна Sn тогда:

http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image016.gif

Складывая эти равенства почленно, получим:

http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image018.gif

Отсюда имеем формулу:

http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image020.gifТеорема

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов.

Тренировочные упражнения:

  1. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 6, a5 = 26. Найти S5. 
    Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S5 = (6+26) : 2 × 5=80. Ответ: 80. 

  2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = — 3. Найти S16. 

Решение: S16 = (а1+а16):2×16

Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: а16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33

Теперь вычислим сумму: S16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = -168. Ответ: -168.

Учитель: При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой для нахождения Sn.

http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image022.gif

Если учесть, что

то получим формулу

  1. Закрепление темы.

Если в арифметической прогрессии первый член равен 20, разность арифметической прогрессии равен (- 0,5) и сумма п-го члена равна 371, то найдём п и ап.

Дано:

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image032.gif

http://festival.1september.ru/articles/577450/full_image034.gif

Ответhttp://festival.1september.ru/articles/577450/full_image036.gif

 

Работа по учебнику. Выполнить самостоятельно, с последующей проверкой с помощью интерактивной доски.

            1 вариант — № 371(а),  №372 (а).

            2 вариант — № 371(б),  №372 (б).  

  1. Домашнее задание.

  1. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой а1 = 6, d = 4.

  2. Найдите сумму первых n – членов арифметической прогрессии, 1,6; 1,4; …, если n = 6.

  3. Найти сумму натуральных чисел начиная с 20 по 110 включительно.

  4. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 6, а7 = 26. 

  5. Сообщения учащихся.

Это интересно: 

1 ученик: (презентация).  Информация о задаче, которую решил шестилетний Колмогоров.

Когда шестилетний Колмогоров нашёл, что сумма первых нечётных чисел равна п2, он вероятно рассуждал так: « Возьмем число 1, 1 = 12. Представим это геометрически, как один квадратик. Теперь прибавим к единице число 3. К нашему квадратику прибавим ещё тир квадратика. Затем прибавим число 5, добавим ещё 5 квадратиков – 2 сверху. 2 справа и один в углу. Получится квадратик 3 на 3. Девять. Каждый раз мы будем прибавлять к квадрату п на п новый уголок, состоящий из п квадратиков сверху, п квадратиков справа и одного в углу. Вот и будет получаться новый квадрат со стороной п + 1. Значит, прибавляя последовательные нечётные числа, мы всегда будем получать квадрат их количества».

http://festival.1september.ru/articles/577450/img1.gif

Рисунок 1

2 ученик (презентация): Информация о стихотворных слогах ямбе и хорее, связь их с арифметической прогрессией.

В романе А.С.Пушкина «Евгений Онегин» была такая фраза: «Не мог он ямба от хорея, как мы не бились отличить…» Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный размер с ударением на чётных слогах, хорей с ударением на нечётных слогах.

Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха

«Мой дя-дя са-мых чест-ных пра-вил…» то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2; 4; 6; 8 …

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха.

«Бу-ря мгло-ю не-бо кро-ет» Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1; 3; 5; 7; …

  1. Рефлексия.

Каждому учащемуся предлагается закончить одно из следующих предложений:

Я сегодня на уроке узнал о…

Мне понравились на уроке моменты…

Я чувствую себя…

Мне не понравилось…

У меня сейчас настроение…

Я узнал на уроке новое о…

По данной теме мне хотелось бы узнать еще о…

Мне было сегодня на уроке…

Мое состояние сейчас я оцениваю, как……

Я хотел бы изучить подробнее по данной теме следующие вопросы…

Данная тема была для меня…

Урок был…

Формула суммы арифметической последовательности с решенным примером вопроса
    • Классы
      • Класс 1 — 3
      • Класс 4 — 5
      • Класс 6 — 10
      • Класс 11 — 12
    • КОНКУРСЫ
      • BBS
      • 000000000 Книги
        • NCERT Книги для 5 класса
        • NCERT Книги Класс 6
        • NCERT Книги для 7 класса
        • NCERT Книги для 8 класса
        • NCERT Книги для 9 класса
        • NCERT Книги для 10 класса
        • NCERT Книги для 11 класса
        • NCERT Книги для 12-го класса
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • NCERT Exemplar Class 12
        • 9000al Aggar Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • Решения RS Aggarwal класса 11
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • Решения класса RD Sharma
          • Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • ФИЗИКА
          • Механика
          • 000000 Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • МАТС
          • Теорема Пифагора
          • Отношения и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Делительные дроби
        • 000 ФОРМУЛЫ
          • Математические формулы
          • Алгебровые формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          • S000
          • S0003
          • Pегипс Класс 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 11
          • Образец образца CBSE pers for Class 12
        • CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
          • CBSE Документы за предыдущий год Class 10
          • CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • Решения HC Verma Class 12 Physics
        • Решения Lakhmir Singh
          • Решения Lakhmir Singh Class 9
          • Решения Lakhmir Singh Class 10
          • Решения Lakhmir Singh Class 8
        • Примечания
        • CBSE
        • Notes
            CBSE Класс 7 Примечания CBSE
          • Класс 8 Примечания CBSE
          • Класс 9 Примечания CBSE
          • Класс 10 Примечания CBSE
          • Класс 11 Примечания CBSE
          • Класс 12 Примечания CBSE
        • Примечания пересмотра
        • CBSE Редакция
        • CBSE
        • CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
        • CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
        • Замечания по пересмотру CBSE класса 12
      • Дополнительные вопросы CBSE
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 класса
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 по естественным наукам
        • CBSE 9 класса Дополнительные вопросы
        • CBSE 9 дополнительных вопросов по науке CBSE
        • 9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
      • Класс CBSE
        • Класс 3
        • Класс 4
        • Класс 5
        • Класс 6
        • Класс 7
        • Класс 8
        • Класс 9
        • Класс 10
        • Класс 11
        • Класс 12
      • Решения для учебников
    • Решения NCERT
      • Решения NCERT для класса 11
          Решения NCERT для физики класса 11
        • Решения NCERT для класса 11 Химия
        • Решения для класса 11 Биология
        • NCERT Решения для класса 11 Математика
        • 9 0003 NCERT Solutions Class 11 Бухгалтерия
        • NCERT Solutions Class 11 Бизнес исследования
        • NCERT Solutions Class 11 Экономика
        • NCERT Solutions Class 11 Статистика
        • NCERT Solutions Class 11 Коммерция
      • NCERT Solutions для класса 12
        • NCERT Solutions для Класс 12 Физика
        • Решения NCERT для 12 класса Химия
        • Решения NCERT для 12 класса Биология
        • Решения NCERT для 12 класса Математика
        • Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения NCERT Класс 12 Бизнес исследования
        • Решения NCERT Класс 12 Экономика
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 1
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 2
        • NCERT Solutions Class 12 Микроэкономика
        • NCERT Solutions Class 12 Коммерция
        • NCERT Solutions Class 12 Макроэкономика
      • NCERT Solutions Для Класс 4
        • Решения NCERT для математики класса 4
        • Решения NCERT для класса 4 EVS
      • Решения NCERT для класса 5
        • Решения NCERT для математики класса 5
        • Решения NCERT для класса 5 EVS
      • Решения NCERT для класса 6
        • Решения NCERT для класса 6 Maths
        • Решения NCERT для класса 6 Science
        • Решения NCERT для класса 6 Общественные науки
        • Решения NCERT для класса 6 Английский
      • Решения NCERT для класса 7
        • Решения NCERT для класса 7 Математика
        • Решения NCERT для 7 класса Science
        • Решения NCERT для 7 класса Общественные науки
        • Решения NCERT для 7 класса Английский
      • Решения NCERT для 8 класса Математические решения
        • для 8 класса Математика
        • Решения NCERT для класса 8 Science
        • Решения NCERT для класса 8 Общественные науки
        • NCERT Solutio ns для класса 8 Английский
      • Решения NCERT для класса 9
        • Решения NCERT для класса 9 Общественные науки
      • Решения NCERT для класса 9 Математика
        • Решения NCERT для класса 9 Математика Глава 1
        • Решения NCERT Для класса 9 Математика 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 3
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 4
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 5
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 6
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 7
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 8
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 9
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 10
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 11
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 12
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 13
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 9 класса
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 4
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 5
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 6
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 7
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 8
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 10
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 12
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 11
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 13
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 14
        • Решения NCERT для класса 9 Science Глава 15
      • Решения NCERT для класса 10
        • Решения NCERT для класса 10 Общественные науки
      • Решения NCERT для математики класса 10
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 3
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 4
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 5
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 6
        • решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 8
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 9
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 10
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 11
        • решения NCERT для математики класса 10, глава 12
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 13
        • соль NCERT Решения для математики класса 10 Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 10 класса
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 3
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 4
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 5
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 6
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 7
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 9
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 10
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 11
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 12
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 9
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 14
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
      • Программа NCERT
      • NCERT
    • Коммерция
      • Класс 11 Коммерческая программа Syllabus
      • Учебный курс по бизнес-классу 11000
      • Учебная программа по экономическому классу
    • Учебная программа по коммерческому классу
      • Учебная программа по 12 классу
      • Учебная программа по 12 классу
      • Учебная программа по экономическому классу
          000000 000000 000000
        • Образцы коммерческих документов класса 11
        • Образцы коммерческих документов класса 12
      • Решения TS Grewal
        • Решения TS Grewal Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения TS Grewal Класс 11 Бухгалтерский учет
      • Отчет о движении денежных средств
      • eurship
      • Защита потребителей
      • Что такое фиксированный актив
      • Что такое баланс
      • Формат баланса
      • Что такое акции
      • Разница между продажами и маркетингом
    • P000S Документы ICSE
    • ML Решения Aggarwal
      • ML Решения Aggarwal Class 10 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 9 Математика
      • ML Решения Aggarwal Class 8 Maths
      • ML Решения Aggarwal Class 7 Математические решения
      • ML 6 0004
      • ML 6
    • Selina Solutions
      • Selina Solution для класса 8
      • Selina Solutions для класса 10
      • Selina Solution для класса 9
    • ICSE класс
      • ICSE класс 6
      • ICSE класс 7
      • ICSE
      • ICSE
      • ICSE Class 9
      • ICSE Class 10
      • ISC C lass 11
      • ISC Class 12
  • IAS
    • IAS экзамен
    • экзамен по гражданской службе
    • UPSC Syllabus
    • бесплатный IAS Prep
    • текущие дела
    • экзамен по IAS
      • IAS 2019 Mock Test 1
      • IAS 2019 Mock Test 2
    • Комиссия по государственной службе
      • KPSC KAS экзамен
      • UPPSC PCS экзамен
      • MPSC экзамен
      • RPSC
      • группа 1PPS RASP
      • группа 1SPS
      • группа 1SPS
      • группа 1SPS
      • группа 1SPS
      • группа 1PPS
      • группа 1PPS группа
      • 1
      • Экзамен BPSC
      • Экзамен WBPSC
      • Экзамен MPPSC
      • Экзамен JPSC
      • Экзамен GPSC
    • Вопросный документ UPSC 2019
      • Ключ ответа UPSC 2019
      • 000 8000
          000
            000
              000
                000
                  000 000 000 Коучинг IAS Дели
                • Коучинг IAS Ченнаи
                • Коучинг IAS Хайдарабад
                • Коуч IAS ing Mumbai
            • JEE
              • JEE Программа
              • JEE Main
              • JEE Advanced
              • JEE Образец бумаги
              • JEE Вопрос о
              • NEET
                • Программа NEET Byju
                • NEET 2020
                • Критерии соответствия NEET 2020
                • Образцы документов NEET
                • Подготовка NEET
                • Поддержка NEET Syllabus
                • Поддержка
                  • Служба поддержки клиентов
                  • поддержки клиентов
                  • 9000 требует обязательной поддержки для обращения с
                  • государственных советов
                    • GSEB
                      • GSEB Syllabus
                      • Вопросник GSEB
                      • Образец бумаги GSEB
                      • GSEB Книги
                    • MSBSHSE
                    • SBSS000000 MSBSSE Документы estion
                  • AP Board
                    • APSCERT Книги
                    • AP SSC Syllabus
                    • AP 1-й курс Syllabus
                    • AP 2-й год Syllabus
                  • MP Board
                    • MP000 Sample
                    • MP000 Sample Sill Учебники MP Board
                  • Assam Board
                    • Assam Board Syllabus
                    • Assam Board Учебники
                    • Assam Board Образцы документов
                  • BSEB
                    • Bihar Board
                    • 000 Документы для моделей Bihar
                  • 9000 9000-е годы
                  • PSE для PSE
                  • S000 PBSS
                  • PS000
                  • P0003000 Доска Syllabus
                  • 9000 3 RBSE Учебники
                  • RBSE Документы с вопросами
                • HPBOSE
                  • HPBOSE Syllabus
                  • HPBOSE Учебники
                  • HPBOSE Вопросы для бумаг
                • JOSBOSE
                • JOSBOSE
                • JOSE S000S
                • TN Board
                  • TN Board Syllabus
                  • TN Board Вопросы к бумагам
                  • TN Board Образцы документов
                  • Samacheer Kalvi Books
                • JAC
                  • JAC Syllabus
                  • JAC
                  • JASK
                  • учебные пособия
                  • JAS Telangana Board
                    • Telangana Board Syllabus
                    • Telangana Board Учебники для
                    • Telangana Board Вопросные бумаги
                  • KSEEB
                    • KSEEB Syllabus
                    • KSEEB Модель
                    • KB
                    • 9000
                    • 9000
                    • 9000 books
                    • KBPE Вопросы для бумаг
                  • UPMSP
                    • UP Board Syllabus
                    • UP Board Книги для документов
                    • UP Board Вопросы для бумаг
                  • Западная Бенгалия Board
                    • Западно-Бенгальская доска Syllabus
                    • Text
                    • BookBook
                    • Book Book Book Book Book BookBook 4 Документы для заседаний Совета Западной Бенгалии
                  • UBSE
                  • TBSE
                  • Goa Board
                  • NBSE
                  • CGBSE
                  • MBSE
                  • Meghalaya Board
                  • Manipur Board
                  • Испанский
                  • Испанский
                    • SBI Exams
                    • PIL, Exams
                    • RBI Exams
                    • PIL, РРБ экзамен
                  • SSC Exams
                    • SSC JE
                    • SSC GD
                    • SSC CPO
                    • SSC CHSL
                    • SSC CGL
                  • РРК Экзамены
                    • RRB JE
                    • RRB NTPC
                    • RRB AL P
                  • Страховые экзамены
                    • LIC экзамены
                    • LIC HFL
                    • LIC ADO
                  • UPSC CAPF
                  • Список государственных экзаменов Статьи
                • Класс
                • Дети
                • Класс 3
              • Академические вопросы
                • Физические вопросы
                • Вопросы химии
                • Биологические вопросы
                • Вопросы математики
                • Научные вопросы
                • Вопросы ГК
                  • CAT
                    • BYJU’S CAT Программа
                    • CAT Силабус
                    • CAT экзамен
                    • Free CAT Prep
                    • CAT 2020 экзамен шаблон
                    • Byju в App Обзор на CAT
                • КУПИТЬ КУРС
                • +919243500460
              • Формулы
              • Математические формулы
                • Формулы алгебры
                  • Формулы алгебры для класса 8
                  • Формулы алгебры для класса 9
                  • Формулы алгебры для класса 10
                  • Формулы алгебры для класса 11
                  • Формулы алгебры для класса 12
                  • Формула алгебры для класса 12
                • Формулы площади и периметра
                  • Формула площади круга
                  • Формула площади квадрата
                • Формула ромба
                  • Периметр формулы ромба
                • Формула
                • Космоса Обратная формула
                • Син Тета формула
                • Tan2x формула
            ,Алгоритм
            — Какова сложность арифметической прогрессии? Переполнение стека
            1. Товары
            2. Клиенты
            3. Случаи использования
            1. Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
            2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
            3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
            4. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
            5. Талант Нанимать технический талант
            6. реклама Связаться с разработчиками по всему миру
            ,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *