№№ п/п | Понятия, | Содержание, формула |
1 | Множество | Множество $A-$ совокупность каких-либо объектов $a$, называемых элементами множества: $a\in A$ |
2 | Дополнение $\overline A $ | $\overline A $ содержит все элементы, не принадлежащие $A$ |
3 | Равенство | Два множества $A$ и $B$ равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов |
4 | Объединение { сумма } множеств $C=A+B$ | Множество $C$ состоит из всех элементов, принадлежащих или множеству $A$, или множеству $B$ или и $A$ и $B$ одновременно |
5 | Пересечение | Множество $C$ состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$ и множеству $B$ |
6 | Разность двух | $C$ состоит из элементов множества $A$, которые не являются элементами множества $B$ |
7 | Эквивалентные | Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие. |
12 | Стохастический эксперимент | Это опыт { испытание } , результат которого заранее не определен |
13 | Достоверное | Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий { опыта, эксперимента } называется достоверным событием |
14 | Случайное | Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании |
15 | Невозможное | Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий |
16 | Относительная частота события $A$ | Отношение $\nu (A)=\frac { m } { n } $ числа экспериментов $m$, завершившихся событием $A$, к общему числу $n$ проведенных экспериментов |
17 | Статистическое определение | Если при неограниченном увеличении числа экспериментов относительная частота события $\nu (A)$ стремится к некоторому фиксированному числу, то событие $A$ стохастически устойчиво и это число $p(A)$ называют вероятностью события $A$ |
18 | Определение | $P(A)=\frac { m } { n } $, где $m$ – число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих наступлению события $A$, $n$ – общее число всех равновозможных исходов |
19 | Вероятность | $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ |
20 | Вероятность | $P(AB)=P(A)\cdot P(B/A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$, где $P(B\vert A)$ – условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ с ненулевой вероятностью произошло |
21 | Независимые | Это такие события, для которых $P(B\vert A)=P(B)$ и $P(A\vert B)=P(A)$. |
27 | Понятие | Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом. |
28 | Понятие | ДСВ $X$ – случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, то есть численные значения которой образуют конечное или счетное множество. |
29 | Закон | Соответствие между значениями $x_1, x_2, \cdots $ дискретной случайной величины и их вероятностями $p_1, p_2, \cdots $ называется законом распределения и может быть задан таблично или аналитически { то есть с помощью формул } . |
30 | Понятие | НСВ $X$ – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть множество значений непрерывной случайной величины несчетно. |
31 | Функция | Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция действительного переменного $x$, определяемая равенством $F(x)=P(X\lt x)$, где $P(X\lt x)$ — вероятность того, что случайная величина $X$ принимает значение, меньше $x$ Функция распределения $F(x)$ для ДСВ $X$, которая может принимать значения $x_1 ,x_2 ,…x_n $ c соответствующими вероятностями $p_1 ,p_2 ,…,p_n$ имеет вид $F(x)=\sum\limits_ { x_k \lt x } { P(X\lt x_k ) } $, где символ $x_k \lt x$ означает, что суммируются вероятности $p_k $ тех значений, которые меньше $x$. Функция является разрывной. Случайная величина $X$ называется непрерывной, если ее функция распределения $F(x)$ является непрерывно дифференцируемой. Вероятность того, что СВХ примет значение из промежутка $\left[ { \alpha ;\beta }\right)$, равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала: $P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$ Свойства функции распределения 1. $0\leqslant F(x)\leqslant 1$ 2. Если $x_1 \lt x_2 $, то $F(x_1 )\leqslant F(x_2 )$, то есть функция распределения является неубывающей.
|
31 | Функция | 3. Функция $F(x)$ в точке $x_0 $ непрерывна слева, то есть $\mathop { \lim } \limits_ { x\to x_0 -0 } F(x)=F(x_0 )$; $F(x_0 -0)=F(x_0 )$ 4. Если все возможные значения СВХ принадлежат интервалу $(a;b)$, то $F(x)=0$ при $x\leqslant a$, $F(x)=1$ при $x\geqslant b$ 5. Если все возможные значения СВХ принадлежат бесконечному интервалу $\left( { -\infty ;+\infty }\right)$, то $\mathop { \lim } \limits_ { x\to -\infty } F(x)=0;\mathop { \lim } \limits_ { x\to +\infty } F(x)=1;$ Если $X$ – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно заданное определенное значение, равна нулю: $P(X=\alpha )=0$ Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства: $P(\alpha \lt X\lt \beta )=P(\alpha \leqslant X\leqslant \beta )=P(\alpha \leqslant X\lt \beta )=$ $=P(\alpha \lt X\leqslant \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$ |
32 | Плотность Для нормального распределения $Э_x =0$. Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной кривой Гаусса, имеют $Э_x \gt 0$. |
n$
2 } { 2 } } } dt$; $\Phi (-x)=-\Phi (x)$ { таблица 4 }
\infty { p_k =1 } $
4 } -3.$Условная вероятность. Формула Байеса.
Условная вероятность. Формула Байеса
Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.
Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло.
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается .
Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:
Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям и , обозначим его .
Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.
То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.
Если мы вычисляем вероятность события в предположении, что событие уже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию окажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию . То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям и составляет от числа исходов, благоприятствующих событию .
Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )
Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )
Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событиям и , — число всех возможных исходов.
( В нашей иллюстрации — число элементов множества , которое является пересечением множеств и ).
Тогда
Но по определению условной вероятности , следовательно
(1)
Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события при условии, что событие произошло:
(2)
Очевидно, что
Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.
Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.
Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Решение.
В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.
Нам нужно найти вероятность того, что что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.
Нарисуем дерево вероятностей:
Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их от всех тарелок.
Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна . При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна .
Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна
Ответ: 0,98.
Пример 2.
40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.
а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.
б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает.
Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает %.
Нарисуем дерево вероятностей:
Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено всех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов.
Получаем , отсюда . То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С. протекает, равна . Получим, что на заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л.
(0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)
Тогда вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. равна .
Ответ: а) , б) .
Расчет вероятности: формулы, бином, дробь
Вероятность означает возможность. Чтобы найти вероятность того, что произойдет одно событие, нам нужно сначала узнать общее количество возможных исходов.
Вероятность — это математическая мера того, насколько вероятно событие. Это аспект математики, который имеет дело с возникновением случайного события.
Математически вероятность находится в диапазоне от 0 до 1, где 0 означает невозможность того, что событие произойдет, а 1 означает, что событие обязательно произойдет. Между обоими значениями у нас есть разные степени вероятности того, что событие произойдет. 0,5 означает, что шансы на событие равны.
Например, при подбрасывании монеты есть только две возможности исхода. В результате либо орел, либо решка.
Однако, когда вы подбрасываете две монеты, возможны три исхода. У вас либо две головы, либо две решки, либо одна голова и одна решка. Теперь мы рассмотрим, какая формула используется для выполнения этих расчетов и поможет нам решить более сложные задачи.
Формула вероятности
Формула вероятности определяется как вероятность наступления события, равная отношению числа благоприятных/желательных исходов к общему числу исходов. Математически это записывается как:
Расчеты вероятностей
Вероятность можно записать с помощью следующих обозначений:
Обе ситуации должны в сумме давать 1. Если вероятность события А находится между тем, что А произойдет, и тем, что А не произойдет, то вероятность того, что событие А не произойдет . Например, если то.
Предположим, был проведен эксперимент, в котором игральная кость была брошена 500 раз, и вы получили 74 пятерки. Экспериментальная вероятность выбросить пятерку равна.
Если предположить, что кубик правильный, то теоретическая вероятность выпадения 5 равна.
Это потому, что 6 — это общее количество возможных исходов, которые могут быть при броске костей. И 1 указывает на желаемый результат (выпадение пятерки).
Итак, в среднем, если кубик правильный, вы увидите пятерки.
Эта математика означает, что если бросить кости 500 раз, при условии, что кости правильные, то выпадет примерно 83 пятерки.
При одновременном подбрасывании двух монет какова вероятность того, что одна монета выпадет орлом, а другая решкой?
Ответ:
Примерное пространство для подбрасывания двух монет выглядит следующим образом;
S = {HH,HT,TH,TT}
Где H= решка и T= решка
P(голова на одной и хвост на другой) = P(HT) + P(TH)
Разделить на 2
Это означает, что при одновременном подбрасывании монеты с вероятностью 50% выпадет орел на одном и решка на другом.
Какова вероятность того, что случайная карта, вытащенная из колоды карт, является лицевой?
ответ:
Поскольку в стандартной колоде 52 карты, общее количество исходов будет 52.
n(S) = 52
Теперь пусть E будет событием вытягивания лицевой карты.
Количество благоприятных событий = n (E)
Это также может быть выражено в процентах как вероятность 23%.
У нас есть коробка, в которой 4 синих шара, 5 красных шаров и 11 белых шаров. Если из сосуда наугад вынуть три шара, какова вероятность того, что первый шар будет красным, второй – синим, а третий – белым?
Ответ:
Сначала найдем вероятность каждого выбранного цвета.
Так как всего 20 шаров, возможный исход для выбора равен 20.
Тогда вероятность того, что первый шар будет красным, равна.
Теперь мы выбрали шар, который оставляет нас с возможным исходом 19.
Таким образом, вероятность того, что второй выбранный шар будет синим, равна.
Опять же, поскольку у нас уже есть другой выбор, наши общие возможные исходы уменьшаются на 1, оставляя нам 18.
Вероятность того, что третий шар белый, равна.
Таким образом, полная вероятность того, что первый шар красный, второй шар синий, а третий шар белый, равна
P = 0,032
Это также может быть выражено в процентах как вероятность 3,2%.
Расчеты вероятностей – основные выводы
- Вероятность – это математическая мера вероятности наступления события.
- Математически вероятность находится в диапазоне от 0 до 1, где 0 означает, что событие не может произойти, а 1 означает, что событие обязательно произойдет.
- Формула вероятности.
- P (A) — обозначение вероятности наступления события A.
- P (A ‘) — обозначение вероятности того, что событие A не произойдет.
- Вероятность того, что событие произойдет и не произойдет, должна в сумме давать 1.
Условная вероятность — примеры и обозначения
событие, событие B, произошло. В этой статье мы рассмотрим обозначения условной вероятности и то, как найти условную вероятность с помощью таблицы или формулы.
реклама
Содержание:
- Обозначение
- Примеры условной вероятности с таблицами
- Примеры условной вероятности с формулой
- Резюме
Обозначение
На изображении ниже показаны общепринятые обозначения условной вероятности. Вы можете думать о линии как о представлении «данного». Слева — интересующее нас событие, а справа — событие, которое, как мы предполагаем, произошло.
При таком обозначении вы также можете использовать слова для описания событий. Например, допустим, вы хотите найти вероятность того, что кто-то купит новую машину, когда вы знаете, что он начал новую работу. Это будет выглядеть так:
Пример использования таблицы данных
Один из распространенных типов задач, которые вы увидите, использует двустороннюю таблицу данных. Здесь мы рассмотрим, как найти разные вероятности, используя такую таблицу.
Пример
В ходе опроса студентов, занятых полный и неполный рабочий день, спросили, как часто они посещали репетиторский центр колледжа за последний месяц.
Результаты показаны ниже.
Предположим, что опрошенный студент выбран случайным образом.
а) Какова вероятность того, что студент посещал репетиторский центр четыре или более раз при условии, что студент работает полный рабочий день?
Условная вероятность заключается в сосредоточении внимания на известной вам информации. При расчете этой вероятности нам дано, что студент находится на дневном отделении. Поэтому мы должны смотреть только на студентов дневного отделения, чтобы найти вероятность.
(b) Предположим, что студент работает неполный рабочий день. Какова вероятность того, что студент посещал репетиторский центр один или меньше раз?
Это немного сложнее из-за формулировки. Подумайте об этом следующим образом:
- Найдите: вероятность того, что студент посетил репетиторский центр один или меньше раз
- Предположим или дано: студент работает неполный рабочий день («предположим, что студент работает неполный рабочий день»)
Поскольку мы предполагаем (или предполагаем), что студент работает неполный рабочий день, для этого расчета мы будем рассматривать только студентов, занятых неполный рабочий день.
(c) Если студент посещал репетиторский центр четыре или более раз, какова вероятность того, что он или она работает неполный рабочий день?
Как и выше, нам нужно убедиться, что мы знаем, что нам дают и что мы находим.
- Найти: вероятность того, что он или она работает неполный рабочий день
- Предположим или дано: учащийся посещал репетиторский центр четыре или более раз («если учащийся посещал репетиторский центр четыре или более раз…»)
Для этого вопроса мы рассматриваем только учащихся, которые посещали репетиторский центр четыре или более раз.
Как видите, при использовании таблицы нужно просто обращать внимание на то, на какую группу из таблицы следует ориентироваться.
Примеры использования формулы для нахождения условной вероятности
В некоторых ситуациях вам потребуется использовать следующую формулу для нахождения условной вероятности.
Эту формулу действительно можно использовать с табличными данными, хотя часто ее проще применять в задачах, подобных следующему примеру.
Пример
В выборке из 40 автомобилей 18 красных, 6 грузовиков и 2 обоих. Предположим, что случайно выбранное транспортное средство красного цвета. Какова вероятность, что это грузовик?
Нас просят найти следующую вероятность:
\(\text{P(грузовик}|\text{красный)}\)
Применение формулы:
\(\begin{align}\text{P(грузовик}|\text{красный)} &= \dfrac{\text{P(грузовик и красный)}}{\text{P(красный)}}\\ & = \dfrac{\tfrac{2}{40}}{\tfrac{18}{40}}\\ &= \dfrac{2}{18}\\ &= \dfrac{1}{9} \примерно\в коробке{0.11}\конец{выравнивание}\)
Мысль, стоящая за формулой, очень похожа на мысль, используемую с таблицей. Например, обратите внимание, что то, что мы «знаем», оказывается внизу дроби. Мы также можем применить это к ситуациям, когда нам даны вероятности, а не подсчеты.
Пример
В настольной игре есть специальная колода карт, некоторые из которых черные, а некоторые золотые. Если карта выбрана случайным образом, вероятность того, что она золотая, равна 0,20, а вероятность того, что она даст второй ход, равна 0,16.
Предположим, что карта выбрана случайным образом и позволяет игроку сделать второй ход. Какова вероятность, что это была золотая карта?
На этот раз нам даны следующие вероятности:
- «вероятность того, что это золото, равна 0,20» -> P(золото) = 0,2
- «вероятность второго хода равна 0,16» -> P(второй ход) = 0,16
- «вероятность того, что это золото и дает второй ход, равна 0,08» -> P(золото и второй ход) = 0,08
Пытаемся вычислить:
\(\text{P(золото}|\text{второй ход)}\)
Мы можем применить формулу, чтобы найти эту вероятность:
\(\begin{align}\text{P(золото}|\text{второй ход)} &= \dfrac{\text{P(золото и второй ход)}}{\text{P(второй ход)}} \\ &= \dfrac{0.08}{0.16}\\ &= \boxed{0.5}\end{align}\)
Вы увидите, что это работает очень хорошо, если вы уделите минутку и запишете информацию, указанную в задаче. На самом деле, вы могли бы сказать это о любой реальной задаче по математике!
реклама
Резюме
Условная вероятность отличается от других вероятностей тем, что вы знаете или предполагаете, что какое-то другое событие уже произошло.