Формула котангенс половинного угла: Формулы половинного угла в тригонометрии, синус и косинус половинного угла, вывод формул половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии, синус и косинус половинного угла, вывод формул половинного угла

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α2 при помощи тригонометрических функций угла α. В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α. Формулу для tg любого угла αопределяет tgα2, значение угла α≠π+2π·z при z равном любому целому числу ( выражение 1+cosα с таким же значением α не должно принимать значение 0). Формула ctg угла считается справедливой для любого угла α, где половинный угол имеет место быть, α≠2π·z.

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sinα2=±1-cosα2, cosα2=±1+cosα2, tgα2=±1-cosα1+cosα, ctgα2=±1+cosα1-cosα

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α2.

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cosα=1-2·sin2α2 и cosα=2·cos2α2-1. Упростив первое выражение по sin2α2, получим саму формулу половинного угла sin2α2=1-cosα2, второе выражение по cos2α2 получим cos2α2=1+cosα2.

Чтобы доказать формулы половинного угла для tg и ctg угла α2, необходимо применить основные тригонометрические тождества tgα2=sinα2cosα2 и ctgα2=cosα2sinα2, к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin, которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

tg2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα21+cosα2=1-cosα1+cosα;ctg2α2=cos2α2sin2α2=1-cosα21+cosα2=1+cosα1-cosα;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Пример 1

Известно, что cos30°=32. Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Решение

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos2α2=1+cosα2.

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos215°=1+cos30°2=1+322=2+34. После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos215°=2+34, тогда cos 15°=2+34=2+32. Ответ: cos 15°=2+32.

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α2 и α, а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду.

Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin27α=1-cos14α2 или sin2 5α17=1-cos10α172, то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

 

 

Решение задач от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. {\circ}=2-\sqrt{3} \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Котангенс двойного угла Котангенс угла Тангенс 45 градусов Теорема тангенсов

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Cot Half Angle Formula — GeeksforGeeks

Тригонометрия — это раздел математики, который использует тригонометрические соотношения для определения углов и неполных сторон треугольника. Тригонометрические отношения, такие как синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, используются для исследования этой области математики. Это исследование того, как связаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Тригонометрия состоит из слов «Тригонон» и «Метрон», которые обозначают треугольник и измерение соответственно. Применение уравнений и тождеств, основанных на этой связи, облегчает оценку неизвестных размеров прямоугольного треугольника.

Котангенс Тригонометрическое отношение

Отношение длин любых двух сторон прямоугольного треугольника называется тригонометрическим отношением. В тригонометрии эти соотношения связывают отношение сторон прямоугольного треугольника к углу. Отношение котангенса выражается как отношение длины прилежащей стороны угла к длине противолежащей стороны. Обозначается символом кроватка.

 

Если θ — угол между основанием и гипотенузой прямоугольного треугольника, то

cot θ = Основание/Перпендикуляр = cos θ/sin θ

Здесь основание – сторона, примыкающая к углу, а перпендикуляр – сторона, противоположная ему.

Cot Половина угла (Cot θ /2) Формула

В тригонометрии формулы половинного угла обычно представляются как θ/2, где θ — угол. Уравнения половинного угла используются для определения точных значений тригонометрических соотношений стандартных углов, таких как 30°, 45° и 60°. Мы можем получить значения отношений для сложных углов, таких как 22,5° (половина 45°) или 15° (половина 30°), используя значения отношений для этих обычных углов. Котангенс половинного угла обозначается аббревиатурой cot θ/2. Это тригонометрическая функция, которая возвращает значение функции кроватки для половины угла. Период функции кроватка θ равен π, а период кроватки θ/2 равен 2π.

 

cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))

Вычисление

Формула синуса и косинуса.

Мы знаем, что sin θ/2 = ±√((1 – cos θ) / 2).

Найдите cos θ/2, используя тождество sin ² θ + cos ² θ = 1.

cos θ/2 = √(1 – (√((1 – cos θ) / 2)) ² )

cos θ/2 = √(1 – ((1 – cos θ)/ 2))

cos θ/2 = √((2 – 1 + cos θ)/ 2)

cos θ/2 = √((1 + cos θ)/ 2)

Кроме того, мы знаем cot θ/2 = cos (θ/2)/sin (θ/2).

Получаем

ctg θ/2 = √((1 + cos θ)/ 2)/ √((1 – cos θ)/ 2)

ctg θ/2 = √((1 + cos θ )/(1 – cos θ))

Отсюда выводится формула для коэффициента половин котангенса.

Примеры задач

Задача 1. Если cos θ = 3/5, найти значение ctg θ/2 по формуле половинного угла.

Решение:

Имеем, cos θ = 3/5.

По формуле получаем

ctg θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))

= √((1 + (3/5))/ (1 – ( 3/5)))

= √((8/5)/ (2/5))

= √4

= 2

Задача 2. Если cos θ = 12/13, найти значение кроватки θ/2 по формуле половинного угла.

Решение:

Имеем, cos θ = 12/13.

Используя формулу получаем,

кроватка θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))

= √((1 + (12/13))/ (1 – (12/13))

= √((25/13)/ (1/13))

= √25

= 5

-угловая формула.

Решение:

Итак, sin θ = 8/17.

Найдите значение cos θ по формуле sin ² θ + cos ² θ = 1.

cos θ = √(1 – (64/289)))

= √(225/289)

= 15/17

По формуле получаем = √((1 + (15/17))/ (1 – (15/17)))

= √((32/17)/ (2/17))

= √16

= 4

Задача 4. Если sec θ = 5/4, найти значение ctg θ/2 по формуле половинного угла.

Решение:

Имеем, сек θ = 5/4.

Используя cos θ = 1/сек θ, мы получаем cos θ = 4/5.

По формуле получаем

cot θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))

= √((1 + (4/5))/ (1 – ( 4/5)))

= √((9/5)/ (1/5))

= √9

= 3

Задача 5. Если тангенс θ = 12/5, найти значение кроватки θ/2 по формуле половинного угла.

Решение:

Имеем тангенс θ = 12/5.

Очевидно, cos θ = 5/√(12 ² + 5 ² ) = 5/13

Используя формулу, получаем,

кроватка θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))

= √((1 + (5/13))/ (1 – (5/13))

= √((18/13)/ (8/5))

= √(18/8)

= √(9/4)

= 3/2

Задача 6. Если кроватка θ = 8/15, найдите значение cot θ/2 по формуле половинного угла.

Решение:

Имеем, кроватка θ = 8/15.

Очевидно, cos θ = 8/√(8 ² + 15 ² ) = 8/17

Используя формулу, получаем,

кроватка θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ))

= √((1 + (8/17))/ (1 – (8/17))

= √((25/17)/ (9/17))

= √(25/9)

= 5/3

Задача 7. Найти значение cot 15° по формуле половинного угла .

Решение:

Нам нужно найти значение кроватки 15°.

Возьмем θ/2 = 15°

=> θ = 30°

Используя формулу половины угла, которую мы имеем,

ctg θ/2 = √((1 + cos θ)/(1 – cos θ )) 92}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 — \cos \alpha}}{2},\;\; \Стрелка вправо\влево| {\ грех \ гидроразрыва {\ альфа} {2}} \ справа | = \ sqrt {\ frac {{1 — \ cos \ alpha}} {2}} , \; \; \Rightarrow \sin \frac{\alpha}}{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 — \cos\alpha}}{2}} .\]

Мы получили тождество синуса половины угла:

\[\sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 — \cos\alpha}{2}}\]

Знак \(\pm\) в начале правой части означает, что квадратный корень может быть положительным или отрицательным — в зависимости от квадранта, в котором угол \(\frac{\alpha }{2}\) вранье. 92}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 + \cos \alpha}}{2},\;\; \Стрелка вправо\влево| {\ cos \ frac {\ alpha {2}} \ right | = \ sqrt {\ frac {{1 + \ cos \ alpha}} {2}}, \; \; \Rightarrow \cos\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos\alpha}}{2}} .

\]

Следовательно,

\[\cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}\]

Знак зависит от квадранта, в котором находится \(\frac{\alpha }{2}\).

Тангенс половины угла

Теперь мы можем вывести формулу для вычисления \(\tan \frac{\alpha}{2}.\) Используя приведенные выше тождества, мы получаем 92}\frac{\alpha}{2}}} = \frac{{1 — \cos \alpha}}{{1 + \cos \alpha}}.\]

Следовательно,

\[\tan \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 — \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}\]

, где знак \(\pm\) зависит от того, в какие квадранты окружности попадает угол \(\frac{\alpha}{2}\).

Мы также можем получить выражение для \(\tan \frac{\alpha }{2}\), не извлекая квадратный корень.

Умножение числителя и знаменателя в правой части формулы 92}\frac{\alpha} {2}}} = \frac{{\sin\alpha}}{{1 + \cos\alpha}},\]

то есть

\[\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\]

Аналогично, умножая числитель и знаменатель на \({\sin\frac{\alpha}{2}},\), мы можем получить тождество тангенса половинного угла в форме

\[\tan \ frac{\ alpha} {2} = \ frac {{\ sin \ frac {\ alpha} {2}}} {{\ cos \ frac {\ alpha} {2}}} = \ frac {{2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}}}{{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{ 2}}} = \ frac {{2 {{\ sin } ^ 2} \ frac {\ alpha {2}}} {{\ sin \ alpha}} = \ frac {{1 — \ cos \ alpha }} {{\ грех \ альфа}}, \]

или

\[\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 — \cos\alpha}{\sin\alpha}\]

Котангенс половинного угла

По определению,

\[\cot \frac{\alpha }{2} = \frac{1}{{\tan \frac{\alpha }{2}}}.

No related posts.