Формула котангенса: определение, формула, таблица, график, свойства

Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов, примеры

1. Тангенс и котангенс суммы
2. Тангенс и котангенс разности
3. Примеры

п.1. Тангенс и котангенс суммы

Для вывода формул тангенса и котангенса суммы используем формулы синуса и косинуса суммы, полученные в §13 данного справочника.

\begin{gather*} tg(\alpha+\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}=\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}=\frac{\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}{\frac{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}=\\ =\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha\cdot tg\beta}\\ \\ ctg(\alpha+\beta)=\frac{cos(\alpha+\beta)}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}= \frac{\frac{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}{\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}=\\ =\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta-1}{ctg\alpha+ ctg\beta} \end{gather*}

п.

2. Тангенс и котангенс разности

Для вывода формулы тангенса и котангенса разности используем формулы синуса и косинуса разности, полученные в §13 данного справочника. \begin{gather*} tg(\alpha-\beta)=\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha-\beta)}=\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}=\frac{\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}{\frac{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}=\\ =\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha\cdot tg\beta}\\ \\ ctg(\alpha-\beta)=\frac{cos(\alpha-\beta)}{sin(\alpha-\beta)}=\frac{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}= \frac{\frac{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}{\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}=\\ =\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta+1}{ctg\beta-ctg\alpha}=-\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta+1}{ctg\alpha-ctg\beta} \end{gather*}

\begin{gather*} tg(\alpha+\beta) =\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha\cdot tg\beta},\ \ \ ctg(\alpha+\beta) =\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta-1}{ctg\alpha+ ctg\beta}\\ \\ tg(\alpha-\beta) =\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha\cdot tg\beta},\ \ \ ctg(\alpha-\beta)=-\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta+1}{ctg\alpha-ctg\beta} \end{gather*}

п.

2\alpha\)
г*) \(tg\alpha tg\beta+tg\beta tg\gamma+tg\gamma tg\alpha\), если \(\alpha+\beta+\gamma=\frac\pi2\)
По условию \(\gamma=\frac\pi2-(\alpha+\beta)\). Подставляем: \begin{gather*} tg\alpha tg\beta+tg\beta tg\left(\frac\pi2-(\alpha+\beta)\right)+tg\left(\frac\pi2-(\alpha+\beta)\right)tg\alpha=\\ =tg\alpha tg\beta+ctg(\alpha+\beta)\cdot (tg\alpha+tg\beta)=tg\alpha tg\beta+\frac{tg\alpha+tg\beta}{tg(\alpha+\beta)}=\\ =tg\alpha tg\beta+\frac{(tg\alpha+tg\beta)(1-tg\alpha tg\beta)}{tg\alpha+tg\beta}=tg\alpha tg\beta+1-tg\alpha tg\beta=1 \end{gather*} Ответ: 1

Пример 3.Докажите, что \(\alpha+\beta=\frac\pi4\), если \(tg\alpha=\frac25,\ tg\beta=\frac37,\ \ 0\lt\alpha\lt\frac\pi2,\ \ 0\lt\beta\lt\frac\pi2\)

Найдем тангенс суммы: \begin{gather*} tg(\alpha+\beta)=\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha\cdot tg\beta}=\frac{\frac25+\frac37}{1-\frac25\cdot\frac37}=\frac{\frac{14+15}{35}}{\frac{35-6}{35}}=\frac{29}{29}=1\\ \alpha+\beta=\frac\pi4+\pi k \end{gather*} По условию: \begin{gather*} \begin{cases} 0\lt\alpha\lt\frac\pi2\\ 0\lt\beta\lt\frac\pi2 \end{cases} \Rightarrow 0\lt\alpha+\beta\lt\pi\\ 0\lt\frac\pi4+\pi k\lt \pi\Rightarrow k = 0 \end{gather*} Значит: \(\alpha+\beta=\frac\pi4\)

Что и требовалось доказать.

Рейтинг пользователей

за неделю

• за неделю
• один месяц
• три месяца

Помогай другим

Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю

См. подробности

COTH (функция COTH) — Служба поддержки Майкрософт

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel для Mac 2011 Еще…Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции COTH в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает гиперболический котангенс гиперболического угла.

Синтаксис

COTH(число)

Аргументы функции COTH описаны ниже. 27.

• Если число находится за пределами ограничения, coTH возвращает #NUM! (значение ошибки).

• Если значение «число» не является числом, coTH возвращает #VALUE! (значение ошибки).

• Используется следующая формула:
  

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=COTH(2)	Возвращает гиперболический котангенс числа 2 (1,037).	1,037

К началу страницы

определений и примеров котангенса — Club Z! Обучение

Определения и примеры формул котангенса

Введение

Котангенс — это тригонометрическая функция, обратная функции тангенса. Он обозначается символом «кроватка» и определяется как отношение косинуса к синусу угла. В этом сообщении блога мы рассмотрим формулу котангенса и несколько примеров того, как ее можно использовать. Мы также углубимся в его историю и то, как он используется в современном мире. Так что, если вы хотите узнать больше об этой увлекательной теме, читайте дальше!

Что такое котангенс?

В математике котангенс является обратной функцией тангенса. Котангенс угла равен длине прилежащей стороны, деленной на длину противолежащей стороны. Другими словами, это мера того, насколько острым является угол.

Функцию котангенса можно использовать для решения задач по тригонометрии и геометрии. Например, его можно использовать для нахождения длин сторон треугольника, когда известны два угла и одна сторона. Его также можно использовать для нахождения углов в треугольнике, когда известны две стороны и один угол.

Функция котангенса также важна в исчислении. Он используется в интегралах и производных с участием тригонометрических функций. Например, его можно использовать для нахождения площади под кривой, заданной тригонометрической функцией.

Формула котангенса

Котангенс угла – это отношение длины прилежащей стороны к длине противолежащей стороны. Другими словами, это функция, обратная касательной. Котангенс можно записать в виде дроби с горизонтальной чертой, например:

cot(?) = смежный / противоположный

Или это можно записать в виде отношения следующим образом:

cot(?) = 1 / tan(?)

Котангенс является важной тригонометрической функцией, которая имеет множество применений по математике и физике. Он используется в исчислении для вычисления производных и интегралов, и он появляется во многих формулах в физике.

Свойства котангенса

Котангенс – это отношение стороны, примыкающей к углу прямоугольного треугольника, к стороне, противолежащей этому углу. Это также величина, обратная касательной.

Котангенс угла обозначается символом: ?

Чтобы найти котангенс угла, разделите длину прилежащей стороны на длину противолежащей стороны:

cot(?) = прилежащая ÷ противолежащая = a/b

Функция котангенса не определена, когда ? = 0° или ? = 180°, потому что в этих случаях смежная и противоположная стороны равны. Следовательно, мы не можем делить на ноль.

Закон котангенса

В математике котангенс является обратной функцией тангенса. Котангенс угла – это отношение длины прилежащей стороны к длине противолежащей стороны. Другими словами, это наклон линии, касательной к кривой в данной точке. Его можно рассматривать как меру того, насколько «крутой» является кривая в данной точке.

Функция котангенса имеет ряд полезных свойств, которые можно вывести из ее определения как функции, обратной функции тангенса. К ним относятся:

– функция котангенса является нечетной, что означает, что она меняет знак, когда x изменяется на -x. Это означает, что он симметричен относительно начала координат (0,0).
— диапазоном функции котангенса являются все действительные числа, кроме тех, которые находятся между двумя вертикальными асимптотами (где функция тангенса не определена).
— Областью определения функции котангенса являются все действительные числа, кроме тех, где есть вертикальные асимптоты (где функция тангенса не определена). 9-1.

Период котангенса — это расстояние между двумя последовательными максимумами или минимумами на его графике. Как и в случае с синусоидальным или косинусоидальным графиком, период котангенсного графика будет в два раза больше длины одного полного цикла. Формула для расчета периода котангенса:

P = 2 * pi / |b|

где P — период, а b — коэффициент при x в уравнении y = cot(x). Например, если y = cot(x), то период будет равен 2 * пи / 1 или просто 2 * пи.

Котангенс единичной окружности

Котангенс является обратной функцией тангенса. Он определяется как отношение длины прилежащей стороны к длине противолежащей стороны в прямоугольном треугольнике. Котангенс можно использовать для нахождения углов в треугольниках, когда известны две стороны. Его также можно использовать для поиска недостающих сторон в треугольнике, когда известны два угла и одна сторона. Котангенс также определен на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1. Котангенс единичной окружности определяется как координата x точки, в которой линия, проведенная из начала координат, пересекает единичную окружность.

Область, диапазон и график котангенса

Область: все действительные числа
Диапазон: все действительные числа, кроме 0
График котангенса: График котангенса представляет собой волну, которая начинается в бесконечности, приближается к 0, затем отрицательная бесконечность. Он имеет вертикальные асимптоты при x=0 и x=(-n)*pi, где n — любое целое число.

Производная и интеграл котангенса

Производная котангенса является обратной величиной тангенса:

$$\frac{d}{dx}\cot x = \frac{1}{\tan x}$$

Интеграл котангенса есть натуральный логарифм тангенса:

$$\int \cot x \, dx = \ln |\tan x| + C$$

Заключение

Мы надеемся, что эта статья помогла прояснить любую путаницу, связанную с формулой котангенса и ее различными приложениями. Как видите, формула котангенса — мощный инструмент, который можно использовать для решения самых разных задач. Немного потренировавшись, вы сможете использовать его как профессионал!

---

Участки

Альтернативные формы

Альтернативная форма в предположении, что x действительно

Корни

9000 2

Свойства как действительная функция

Разложение в ряд при x = 0

Производная

Неопределенный интеграл

Тождества

Альтернативные представления

Представления рядов

Плюсы и минусы формулы котангенса

Сегодня мы рассмотрим формулу котангенса и то, как ее можно использовать в математике. Котангенс угла определяется как отношение косинуса угла к синусу этого угла. Эту формулу часто записывают как cot x = cos x sin x.

Коэффициент котангенса равен длине прилежащей стороны угла, деленной на длину противоположной стороны, поэтому его также можно записать как cb x = c b или cot x = cbx. Это соотношение также может быть выражено через тангенс, который будет выглядеть либо как cot θ = 1/tan θ, либо как cot θ = tan (π/2 – θ).

В прямоугольном треугольнике котангенс угла равен длине прилежащей стороны, деленной на противолежащую сторону. Затем эту формулу можно использовать для определения других сторон и углов в прямоугольном треугольнике, если известны одна сторона и один угол.

По этой формуле также можно определить тангенс угла; она равна отношению его противоположной стороны к прилежащей стороне. Знание этой информации позволяет вам вычислять углы, для которых иначе вы бы не знали, как решить.

В заключение давайте повторим, что мы узнали:

• Формула котангенса записывается как cot x = cos x sin x или cbx =c b
• В прямоугольном треугольнике она равна длина его смежной стороны, деленная на его противоположную сторону
• Его также можно выразить через тангенс: либо 1/тангенс θ, либо тангенс (π/2 -θ)
• Формула тангенса равна отношению его противоположной стороны над соседней стороной
• Зная эту информацию, вы можете вычислить углы, которые иначе не смогли бы решить для

Надеюсь, этот блог прояснил любую путаницу с формулой котангенса и ее отношением к треугольникам!

Формула раскладушки

Формула котангенса используется для вычисления котангенса заданного угла. Котангенс угла равен косинусу угла, деленному на синус угла. Математически это можно выразить как cot x = cos x / sin x. Чтобы найти котангенс угла, нужно сначала вычислить косинус и синус этого угла, а затем разделить одно на другое. Например, если у нас есть угол θ с косинусом и синусом, равными 0,5 и 0,866 соответственно, то его котангенс будет рассчитан как 0,5/0,866 = 0,57735.


Источник: commons.wikimedia.org

Что такое котангенс угла θ?

Котангенс θ — это тригонометрическое отношение, измеряющее угол в прямоугольном треугольнике. Он равен длине прилежащей стороны, деленной на длину стороны, противоположной углу. Это отношение может быть выражено как кроватка (θ) = смежный / противоположный. Важно отметить, что котангенс θ применим только к прямоугольным треугольникам, так как он зависит от двух сторон с углом 90 градусов между ними.

Формула котангенса угла

Формула cot θ выражается двумя способами. Во-первых, это cot θ = 1/tan θ. Это означает, что котангенс угла равен обратной величине тангенса этого угла. Второе выражение для cot θ – это tan(90° – θ). Это означает, что котангенс угла равен тангенсу дополнительного угла (180° – θ). В обоих случаях cot θ можно рассчитать, взяв обратное (или обратное) значение тангенса θ.

Нахождение котангенса треугольника

Чтобы найти котангенс треугольника, вам сначала нужно знать длины сторон, прилегающих к рассматриваемому углу и противоположных ему. Чтобы вычислить отношение котангенса, разделите длину прилежащей стороны на длину противолежащей стороны. Например, если у вас есть треугольник с углом θ и двумя сторонами с длинами a и b, то отношение котангенса будет записано как cot θ = a/b. Это даст вам соотношение между этими двумя сторонами для этого конкретного угла.

Значение слова «кроватка» в калькуляторах

Котангенс, или котангенс, представляет собой тригонометрическую функцию, которая используется для вычисления отношения длин сторон треугольника. Детскую кроватку можно использовать для вычисления углов и сторон треугольника. Кроме того, кроватку можно использовать в более сложных вычислениях, таких как вектора и комплексные числа. Чтобы использовать кроватку в калькуляторе, ее часто выражают как COT(x), где x представляет собой угол, выраженный в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, вы можете использовать функцию РАДИАНЫ. Выход COT(x) будет котангенсом x.

Сравнение функций Cot и Cos

Котангенс (cot) и косинус (cos) — две основные тригонометрические функции, используемые в математике. Cot является обратной функцией тангенса, что означает, что для каждого угла котангенс этого угла равен обратной величине его тангенса. Косинус, с другой стороны, является обратной функцией синуса, что означает, что для каждого угла косинус этого угла равен обратной величине его синуса. Котангенс и косинус связаны тем, что оба они используют углы для вычисления отношения между двумя сторонами прямоугольного треугольника.

Значение θ в тригонометрии

В тригонометрии θ — это угол в треугольнике. Он широко известен как угол «тета» и обычно используется для вычисления сторон прямоугольного треугольника. В частности, это один из острых углов треугольника, и его синус, косинус и тангенс можно рассчитать, используя отношения противолежащего катета к гипотенузе и прилежащего катета к гипотенузе для синуса и косинуса соответственно, а также отношение противолежащего катета. к соседней стороне для касательной.

Что означает θ в математике?

В математике θ (греческая буква «тета») обычно используется для обозначения угла. Углы обычно измеряются в градусах, а θ обычно используется как символ для неизвестной меры угла. Он также иногда используется в качестве переменной для указания произвольного угла при решении уравнений или выполнении вычислений с использованием углов.

Значение котангенса в градусах

Значение cot (отношение косинуса и синуса угла) для любого заданного градуса равно отношению косинуса этого угла к синусу этого угла. Таким образом, для любой заданной степени, если мы обозначим ее как ‘x’, то cot(x) = cos(x)/sin(x). Однако в тех случаях, когда синус заданного угла равен 0, тогда значение cot неопределенно или равно бесконечности (∞), так как потребовалось бы взять отношение, где знаменатель равен 0. Это происходит при 0°, 180° и 360°.


Источник: intomath.org

Является ли котангенс обратным тангенсу?

Да, cot (котангенс) является обратной величиной tan (тангенса). Котангенс — это отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника, а тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Поскольку эти два отношения являются обратными друг другу, отсюда следует, что cot является обратным отношением tan.

Обратная функция котангенса

Обратная функция котангенса, также известная как арккот или арккотангенс, представляет собой математическую функцию, которая берет котангенс числа и возвращает его угол в радианах. Область определения и диапазон функции арккота равны -∞ < x < ∞ и 0 < y < π соответственно.

No related posts.